Traitement des Signaux Aléatoires Introdution: Rappels sur les

Thierry Paquet Traitement des signaux aléatoires M1 1

Traitement des Signaux Aléatoires

Introdution: Rappels sur les sytèmes linéaires discrets• Rappels sur les filtres RIF• Bancs de filtres• Compression audio (compression musicale: MP3)• Filtrage des signaux aléatoires (compression parole


Introduction: Rappel sur les Systèmes Linéaires Discrets

2.1. Définition Convertit une séquence numérique d‘entrée en une séquence numérique de sortie

y(k)h(k)x(k)

)()( 2211 kxakxa +

)()( 2211 kyakya +

- Il est linéaire si la séquence est convertie en la séquence

)( 0kkx − )( 0kky −

0k

- Il est invariant dans le temps si la suite est convertie en quel

que soit


Introduction Les Systèmes Linéaires Discrets

2.2. Impulsion numérique unitaire

⎪⎩

⎪⎨⎧ ==

on

nsinu

sin0

01)(u(n)

1

n

)(mx

∑+∞

−∞=

−=m

mnumxnx )()()( **

)(* nx2.3. Décomposition d’un signal numériqueToute séquence numérique peut se décomposer en fonction de l’impulsion unitaire

C’est une somme d’impulsions unitaires placées chacune à un instant particulier (m)et pondérées chacune par l’amplitude du signal à cet instant


Introduction Les Systèmes Linéaires Discrets

2.4. Réponse impulsionnelle d’un SLD

C’est la réponse d’un SLD lorsque l’entrée est une impulsion unitaireon la note )(* nh

)(nh

n

)(nu

n

)(* nh


Introduction: Les Systèmes Linéaires Discrets

2.5. Produit de convolutionDu fait de la propriété du retard et de la linéarité, la sortie d’un SLD est une combinaison linéaire de réponses impulsionnelles retardées chacune de m

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−== ∑

+∞

−∞=mmnumxRéponsenxRéponseny )()())(()(

( ) ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−=mm

mnhmxmnuRéponsemx )()()()(

∑+∞

−∞=−=

mmnhmxny )()()(

Soit finalement

c’est l’équation de convolution temporelle qui donne la sortie en fonction de l’entrée

∑+∞

−∞=−=

kkhknxny )()()(

mnk −=Qui s’écrit également en faisant le changement de variable



2.5. Produit de convolution (suite)Tout SLD invariant dans le temps est caractérisé par son équation de convolution qui exprime la relation entre l’entrée et la sortie du filtre grâce à la connaissance de la réponse impulsionnelle du SLD

∑+∞

=−=

0)()()(

kkhknxny

2.6. SLD causalUn SLD est causal si sa sortie à l’instant n=n0 ne dépend que des entrées aux instants précédents.Ceci modifie la relation de convolution:

Ce qui est équivalent à dire que la réponse impulsionnelle est nulle pour k<0

∞<∑n

nh )(

2.7. Stabilité d’un SLDUn SLD invariant dans le temps est stable si toute entrée d’amplitude bornée donne naissance à une sortie d’amplitude bornée.On montre qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un SLD soit stable est devérifier que



2.8. Illustration du produit de convolution numérique

Tout SLD causal sollicité par à son entrée par le signal x(m) restitue à sa sortie le signal y(n) selon la formule suivante

∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

)(kx

k

XXXXXXXXX)( kx −

k

XXX X XXX XX

)( knx −

k

XXX X XXX XX

n



2.8. Illustration du produit de convolution numérique (suite)

∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

OO

OOO

OOO O

)(kh

m0

OOO)( kx −

OO

k

OO

)0(y


O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

OOOOO

)1( kx −

k

OO

)1(y

O


O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

O)2( kx −

OOO O

k

OO

)2(y

OO


O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

O)3( kx −

OOO O

k

OO

)3(y

OOO


OO O

O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

O)4( kx −

OOO

k

O

)4(y

OOO


OOO

O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

O)5( kx −

OOO O

k

O

)5(y

OO


O OO

O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

O)6( kx −

OO

k

OO

)6(y

OOO


O OO

OOO

OOO

)(kh

m0



∑+∞

=

−=0

)()()(k

khknxny

O O OOO OO

)( knx −

k

O

O

)(ny



2.9. Fonction de Transfert en ZL’Équation de convolution s’écrit

c’est l’expression d’un produit simple

avec la fonction de Transfert du SLD.

C’est la TZ de la réponse impulsionnelle h(m)!!

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∑

mmnxmhZnyZ )()()(

)()()( zHzXzY =

∑ −=m

mzmhzH )()(

y(k)h(k)x(k)



2.10. Réponse en fréquence d’un SLDon évalue la transformée de Fourier de H(z) soit

On évalue la TZ sur le cercle unitéElle est de période Fe!!Le module est donc une fonction paire (symétrie par rapport à )

Ceci veut dire qu’un filtre (quel qu’il soit) sera défini modulo FeExemple d’un filtre passe bas numérique

[ ] )2exp()()(ejfTzzHfH π==

ef ef2 ef3ef−

2/ef


Chap. I Rappel sur la synthèse des filtres RIF

1.1. Rappels

Le produit de convolution possède un nombre fini de termes

Les N coefficients représentent la réponse impulsionnelle

Fonction de transfert

de période fe

PropriétésToujours stables

∑−

=−=

1

0)()(

N

ii ineans

∑−

=−=

1

0)2exp()(

N

iei jfiTafH π

∑−

=

−=1

0)(

N

i

ii zazH


1.2. Synthèse par développement en série de Fourier de la réponse modèle

La réponse idéale admet une décomposition en série de Fourier car elle est périodique

avec

On choisit

Toute fonction de filtrage stable et causale peut être approchée par la fonction de transfert d’un filtre RIF

Synthèse d’un filtre RIF

∑+∞

−∞==

nnèle jfnTfH )2exp()(mod πα ∫ −= dfjfnTfH

f èlee

n )2exp()(1mod πα

∑−

≅=2/

2/mod )()2exp()(

N

Nèlen fHjfnTfH πα

Fe/2 Fe

)(mod fH èle


La réponse obtenue est d’autant plus proche du modèle que le nombre de coefficients conservés sur la réponse impulsionnelle est grand


∑−

≅=2/

2/mod )()2exp()(

N

Nèlen fHjfnTfH πα

21=N 41=N 61=N

81=N 101=N 121=N


L’amplitude des ondulations en bande passante ainsi qu’en bande atténuée n’est pas modifiée par le nombre de coefficients

C’est la largeur de la bande de transition qui est diminuée quand N augmenteEt on a la relation approchée suivante:

- La largeur de la bande de transition est inversement proportionnelle à N- les valeurs des affaiblissements ont peu d’influence sur N


21=N 121=N

ffLogN e

∆≅ )10

1(32

2110 δδ


On calcule facilement les coefficients d’un RIF Passe-Bas par développement en série de Fourier

On obtient finalement


fdffnjfH

fnh

ef

ee ∫ −=0

)2exp()(1)( π

e

e

e

fffn

fffn

fffnh

21

21

21)sin(

)(+

++=

π

π

1f 2f

11 δ−11 δ+

2δ

[ ]2/;2/ NNn −∈


1.3 Synthèse par la méthode de la fenêtreLorsqu’on tronque la réponse impulsionnelle du filtre modèle à N coefficients cette opération est équivalente à une multiplication par la fenêtre rectangulaire de durée N

En fréquence on obtient donc

Les ondulations observées sur la réponse proviennent des lobes de la fenêtre rectangulaire

Il suffit de choisir une autre fenêtre pour diminuer l’amplitude des ondulations


)(Re)()( mod nctnhnh Nèle ×=

)(Re)()( mod fctfHfH Nèle ⊗=


Propriétés des fenêtres spectrales et propriétés des filtres réalisés


N3∆-74dB6/N-59dBBlackman

N2∆-53dB4/N-41dBHamming

N2∆-44dB4/N-31dBHanning

N∆-21dB2/N-13dBRectangulaire

Durée de la réponse impulsionnelle

Largeur relative de la bande de transition

Atténuation minimale en bande atténuée

Largeur du pic principal

Atténuation du lobe secondaire

Fenêtre

0 5 10 15 20 25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

)(')()( khkwkh =×)(kh )(kw )(' kh

=×


Filtrage de la réponse impulsionnelle

0 5 10 15 20 25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

)(')()( fHfWfH =⊗

)(')()( khkwkh =×


Mais la réponse impulsionnelle n’est pas causale puisqu’elle est centrée sur zéro

On la rend causale en la retardant de N/2 échantillons

On obtient un filtre à phase linéaire!!

où est réelle

et la phase est linéaire


∑−=

2/

2/)2exp()(

N

Nn jfnTfH πα

nα

n

n

∑−

−=2/

2/)2exp()22exp()(

N

Nncausale jfnTTNjffH παπ

))(exp()()( fjfRfH ϕ−=

ωτπϕ −=−= TNff 22)(

)( fR


Rectangle avec N=9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-500

-400

-300

-200

-100

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (d

egre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0

20


Mag

nitu

de (d

B)


Hanning avec N=9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-800

-600

-400

-200

0


Pha

se (d

egre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50


Mag

nitu

de (d

B)


Rectangle avec N=65

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3000

-2000

-1000

0

N li d F ( d/ l )

Pha

se (d

egre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50


Mag

nitu

de (d

B)


Hanning avec N=65

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4000

-3000

-2000

-1000

0


Pha

se (d

egre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-150

-100

-50

0

50


Mag

nitu

de (d

B)


Chap. 2 Bancs de filtres

2.1. Cascade Décimation/Interpolationa. Suppression d’un échantillon sur 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= )()(

21)( 2

121

zXzXzX dec

2

On garde un échantillon sur 2Le fréquence d’échantillonnage ne change pasLa durée du signal est divisée par 2

)(zX )(zX dec


2.1. Cascade décimation Interpolation

b. Décimation = Suppression + sous-échantillonnage d’un facteur 2

[ ])()(21)( zXzXzX sous −+=

On garde un échantillon sur 2Le fréquence d’échantillonnage est divisée par 2La durée du signal est inchangée

2)(zX )(zX sous

Fe/2


2.1. Cascade Décimation Interpolation

b. Décimation : Représentation fréquentielle[ ])()(

21)( zXzXzX sous −+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++==

=)

2()(

21)()(

)2exp(e

jfTzsoussousffXfXzXfX

eπ

Le spectre d’origine

Le spectre d’origine replié



b. Décimation : Représentation fréquentielle

Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe Fe/4




Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe B1

)(1 fB sous

Fe/2 Fe/4

Fe/4




Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe B1

)(1 fB sous

Fe/2 Fe/4

B2

)(2 fB sous

Fe/2 Fe/4

Fe/4




Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe B1

)(1 fB sous

Fe/2 Fe/4

B2

)(2 fB sous

Fe/2 Fe/4

)( fX sous

Fe/2

Fe/4




Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe B1

)(1 fB sous

Fe/2 Fe/4

B2

)(2 fB sous

Fe/2 Fe/4

)( fX sous

Fe/2

Fe/4




Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe B1

)(1 fB sous

Fe/2 Fe/4

B2

)(2 fB sous

Fe/2 Fe/4

)( fX sous

Fe/2

)( fX sous

Fe/4




)( fX sous

Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe B1

)(1 fB sous

Fe/2 Fe/4

B2 )(2 fB sous

Fe/2 Fe/4

)( fX sous

Fe/2

Fe/4




Fe/2

B1 B2 )( fX

Fe Fe/4

Conclusion: La demie bande B2 se replie complètement sur B1

2)(zX sous

Fe/2

)( fX sous

)(zX



c. insertion de zéros

)()( 2zXzXins =

2)(zX )(zXins

Ajout de zéros entre les échantillonsLa fréquence d’échantillonnage est inchangéeLa durée est donc doublée



d. Interpolation = insertion de zéro + sur-échantillonnage

)()(int zXzX =

2)(zX )(int zX

Ajout de zéros entre les échantillonsOn double la fréquence d’échantillonnageLa durée est la même

2 Fe



d. Interpolation :Représentation Fréquentielle (vue 1er semestre)

Le motif spectral est répété

apparition de fréquences parasites

Fe/2 Fe

[ ]efffXfX 2,0)()(int ∈=

)( fX

2 Fe Fe

)(int fX

Le signal sur-échantillonné puis filtré Passe Bas Permet de reconstruire le signal


2.1. Cascade Décimation / Interpolation

e. Cascade Décimation / Interpolation

[ ])()(21)( zXzXzX −+=

∧

Même fréquence d’échantillonnageMême duréeLe signal reconstruit est identique au signal d’entrée pour les échantillon pairsLes échantillons impairs sont nulsOn va vouloir les reconstruire par filtrage

2 2Fe/2 2 Fe )(zX∧

)(zX

2 2 )(zX∧

)(zX


2.2 Bancs de filtres

Idée générale : On veut reconstruire parfaitement la sortie

• on veut décimer en évitant le repliement de spectre : Filtres Passe Bande

• on veut interpoler en éliminant les fréquences parasites : Filtres Passe Bande

H0(z)

H1(z)

2

2F1(z)

F0(z)2

2

)(zX∧

+)(zX

)(1 zX∧

)(0 zX∧

Étage d’analyse Étage de synthèse


2.2. Bancs de filtres

a. Mise en équation du banc de filtres

Sur la branche supérieure on a

( ) )()()()()(21)(ˆ

0000 zFzHzXzHzXzX −−+=

H0(z)2

F0(z)2

)(ˆ0 zX)(zX

( ) )()()()()(21)(ˆ

1111 zFzHzXzHzXzX −−+=

H1(z)2

F1(z)2

)(ˆ1 zX)(zX

Idem sur la branche inférieure


a. Mise en équation du banc de filtres

La sortie est la somme des deux branches

)(ˆ)(ˆ)(ˆ10 zXzXzX +=

( ) )()()()()(21

000 zFzHzXzHzX −−+= ( ) )()()()()(21

111 zFzHzXzHzX −−++

( ))()()()()( 1100 zFzHzFzHzX + ( ))()()()()( 1100 zFzHzFzHzX −+−−+21

= ][

Terme de repliement dans les deux branches

Terme du au filtrage de X(z) dans les deux branches


b. Conditions de reconstruction

Pour avoir une reconstruction parfaite en sortie il faut:

1. Annuler l’effet du repliement

Solution:

- Le filtre de synthèse de la branche 0 est symétrique du filtre d’analyse de la branche 1

Ce sont des filtres miroirs

- Le filtre de synthèse de la branche 1 est symétrique du filtre d’analyse de la branche 0

Les repliements dans les deux branches se compensent exactement

0)()()()( 1100 =−+− zFzHzFzH

)()( 10 zHzF −= )()( 01 zHzF −−=

ef2ef

)(1 fHPasse haut

ef2ef

)(0 fFPasse bas


b. Conditions de reconstruction

Pour avoir une reconstruction parfaite en sortie il faut:

2. Avoir un gain unitaire dans le banc avec un certain retard K

Il y a deux solutions possibles pour satisfaire les conditions 1 & 2

• Les filtres miroirs en quadrature (QMF: Quadrature Miror Filters)

• Les filtres conjugués en quadrature (CQF: Conjugate Quadrature Filters)

[ ] KzzFzHzFzHzT −=+= )()()()(21)( 1100 la fonction de transfert du

banc


Si l’on choisit des filtres miroirs pour le banc d’analyse

c. Filtres miroirs en quadrature à reconstruction parfaite

H0(z)

H1(z)

)(zX

ef2ef

)(1 fHef2ef

)(0 fH Passe bas

Passe haut

Or l’annulation du repliement (condition 1) a conduit à

et)()( 10 zHzF −= )()( 01 zHzF −−=

)()( 01 zHzH −=On choisit donc

[ ])()(21)( 2

020 zHzHzT −−=On déduit donc que


c. Filtres miroirs en quadrature à reconstruction parfaite

la condition de reconstruction parfaite s’écrit alors

[ ] KzzHzHzT −=−−= )()(21)( 2

020

Mais les deux filtres d’analyse sont peu sélectifsexemple pour

peu adapté pour la compression

( )ωω cos12)(2

0 +=jeH

( )ωω cos12)(2

1 −=jeH

11010 ==== kkhh

( )121

200

10)( +−− += kk zhzhzHOn montre qu’il n’y a qu’une solution possible de la forme

( )12210

102)( ++−= kkzhhzTalors la fonction de transfert du filtre s’écrit


d. Filtres Conjugués en Quadrature à reconstruction parfaite

L’expression de la sortie du banc est

( ))()()()()( 1100 zFzHzFzHzX + ( ))()()()()( 1100 zFzHzFzHzX −+−−+21)(

^=zX ][

)()( 10 zHzF −= )()( 01 zHzF −−=1. Pour annuler le repliement il faut

[ ] KzzFzHzFzHzT −=+= )()()()(21)( 1100

2. Pour avoir un gain unitaire dans le banc avec un certain retard K il faut

[ ] KzzHzHzHzHzT −=−−−= )()()()(21)( 0110

en reportant la condition 1 dans cette expression on obtient



Si on choisit des filtres d’analyse RIF symétriques

avec N pair)1(101 )()( −−−−−= NzzHzHH0(z)

H1(z)

)(zX

)(0 zH)(1 zH est le filtre miroir de et sa réponse impulsionnelle est retournée

∑=

−=N

k

kzkhzH0

0 )()( ( )∑=

−−−=N

k

NkzkhzH0

1 )()(Si alors



Exemple



Alors la fonction de transfert du banc qui s’écrit

Pour avoir une reconstruction parfaite en sortie il faut

[ ] KN zzzHzHzHzHzT −−−−− =−−+= )1(100

100 )()()()(

21)(

[ ])()()()(21)( 0110 zHzHzHzHzT −−−=

[ ] )1(100

100 )()()()(

21)( −−−− −−+= NzzHzHzHzHzT

Devient

CstezHzHzHzH =−−+ −− )()()()( 100

100

Il suffit donc d’avoir


d. Filtres Conjugues en Quadrature à reconstruction parfaite

On pose )()()( 100

−= zHzHzG

∑−

+−=

−=1

1)()(

N

Nk

kzkgzGOn peut toujours écrire

Il ne reste que les termes pairs qui sont égaux àLes termes impairs sont nuls

)(kg

alors [ ] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=−+ ∑∑

−

+−=

−−

+−=

−1

1

1

1)()(

21)()(

21 N

Nk

kN

Nk

k zkgzkgzGzG

( )∑−

+−=

−−+=

1

1 2)1(1

)(N

Nk

kk

zkg

[ ] [ ])()(21)()()()(

21 1

001

00 zGzGzHzHzHzH −+=−−+ −−

A lors



On obtient

e

e

e

fffk

fffk

fffkwkg

21

21

21

)sin()()(

+

++

×=π

π

Si on choisit pour un filtre RIF non causal demie bande selon la méthode de la fenêtre

)(zG

Où est la fenêtre utilisée )(kw

kOn a alors pour tout pair sauf pour 0)( =kg 0=k

Pour un filtre demie bande on a 41

=cf

2/)2/sin()(

21)(

kkkwkg

ππ

×=Soit finalement

c

cc kf

kfkwfkgππ

2)2sin()(2)( ××=et il reste



On déduit donc que dans ce cas

et on parvient donc à avoir une reconstruction parfaite !!

)1()0(21)( −−= NzgzT



Il reste à déterminer le filtre )(0 zH

)()()( 100

−= zHzHzGOr on a choisit

Pour trouver il faut parvenir à factoriser en deux termes)(0 zH )(zG

Il faut donc que G(z) possède des paires de racines inverses

l’une de l’autre etnznz

1

et des racines doubles lorsqu’elles sont sur le cercle unité

++

+

++

++

ooooo

oo

x x x xx

x

xx



On montre que cela est possible si on choisit une fenêtre triangulaire non nulle dans l’intervalle pour construire )(zG[ ])1(2),1(2 −−− NN

Alors on peut écrire ( )( )n

N

nn zzzzzG −−= −

−

=∏ 1

1

1

)( α

et l’on déduit ( )∏−

=

− −=1

1

10 )(

N

nnzzzH α

Il est recommandé de choisir des racines à l’intérieur et à l’extérieur du cercle unité pour que les réponses impulsionnelles des deux filtres

et aient des valeurs importantes au milieu

de l’intervalle [0,…,N-1] et des valeurs faibles sur les bords

)(0 zH )(1 zH


d. Filtres RIF symétriques à reconstruction parfaite

Exemple

N= 4

Racine de G(z)

4.2780 -2.0127 + 2.0558i-2.0127 - 2.0558i-0.2432 + 0.2484i-0.2432 - 0.2484i0.2338


Chap. III Compression Audio

H0(z)

HM-1(z) FM-1(z)

F0(z)M M

M M

)(nx∧

)(nxQuantification

codage

Allocation

Dynamique

De bits

Estimation spectrale +

Modèle auditif

M filtres passe-bande Décimation d’un facteur M

Sous-échantillonnage critique d’un facteur M

Sur-échantillonnaged’un facteur Majout de M-1 zéros

M filtres interpolateurs

+


III.1. Construction des M Filtres passe bande

on veut construire M filtres passe bande de largeur

ils sont centrés chacun sur la fréquence

Mfe

2

Mfm

Mfm

Mff eee

m 4)12(

24+

=+=

ef2ef

)(0 fH

ef2ef

)(4 fH

ef2ef

)(1 fHM −



Les M filtres se complètent pour couvrir toute la bande passante de 0 à fe /2

2ef ef



Chaque filtre est déduit du filtre passe bas de largeur de bande

ef2ef

)( fH Mfe

4)( fH

Mfe

4

Le filtre passe bas est un filtre RIF à 512 coefficients avec une fenêtre de Hanning



)4

12()4

12()( eem fM

mfHfM

mfHfH +++

+−=

On déduit chaque filtre passe bande du passe bas

ef2ef

)( fH

Mfk e

4)12( +

Mfkf e

e 4)12( +

−

)2

12cos()(2)( lM

mlhlhm+

= π


III.1. Filtres pseudo QMF

On a un banc de filtres pseudo QMF appariés par paires

∑−

=

=1

2

0)()(

M

mm zTzT

ef

)(zTm

ef

[ ])()(21)( 2

020 zHzHzTm −−=

)(zT


III.1. Exemple pour M =2

Filtres pseudo QMF, la reconstruction n’est pas parfaite!!


III.2 Modèle auditif

H0(z)

HM-1(z) FM-1(z)

F0(z)M M

M M

)(nx∧

)(nxQuantification

codage

Allocation

Dynamique

De bits


Modèle auditif





+


Effet de masquage

Seuil d’audition absolue et courbes de masquage d’une sinusoïde à la fréquence 5KHz pour des puissances de 20, 40 et 60 db

Inutile de coder ce que nous ne percevons pas dans le signal musical.Une compression avec perte est possible en utilisant le modèle auditif humain

dans une ambiance parfaitement silencieuse l’oreille n’est sensible àune fréquence qu’à condition que sa puissance dépasse le seuil d’audition absolu (0dB)

Une fréquence masque ces voisines i.e. augmente le seuil de perception


Courbes de masquage du Modèle MPEG Audio 1

f2 perçue si P(f2 ) > Pf1(f2) courbe de masquage en f2 par la présence de f1

Si l’on exprime la fréquence en Bark (Barkhausen, 1881-1956)

alors les courbes de masquage peuvent être représentées par des segments de droites dont la pente ne dépend que de f1

La courbe de masquage s’écrit

f1 f

Pf1(f)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

75005,3100076,013 hertzhertzbark

farctgfarctgf

),(()()(),,( 1211111122 PffMfafPPffP −++=


Courbes de masquage du Modèle MPEG Audio 1

La courbe de masquage s’écrit

Avec la puissance de la fréquence

l’indice de masquage tel que son tonal (sinus)son non tonal

),(()()(),,( 1211111122 PffMfafPPffP −++=

5,4275,0525,1)( 11 −−−= ffat)( 1fa

)( 11 fP 1f

5,0175,0525,1)( 11 −−−= ffan

13 21 −<−<− ff ( ) ( )64.0117),( 121121 +−+−=− PffPffM

01 21 <−<− ff

10 21 <−< ff

81 21 <−< ff

( )( )64.0),( 121121 +−=− PffPffM

( )21121 17),( ffPffM −−=−

( )( ) 1715.0171),( 121121 −−−−−=− PffPffM


Exemples

Courbes de masquage par 3 sons pursà 1, 5 et 10 KHz et une puissance de 50dB

Courbes de masquage par 3 bruits à bande étroiteP=50dB

Courbes de masquage par 3 sons pursà 1, 5 et 10 KHz et une puissance de 30dB

Courbes de masquage par 3 bruits à bande étroiteP=30dB


Notion de bande critique

C’est la bande de fréquence dont la perception est modifiée en présence d’une fréquence masquante

La largeur de la bande critique augmente avecla fréquence Masquante

1 Bark mesure la largeur d’une bande critique quelle quesoit sa position sur l’axe des fréquences

100/1 fBark=

)1000/log(491 fBark +=

Hzfsi 500<

Hzfsi 500>


Les 24 bandes critiques de la bande audible

HzKHzf 5,62512

32==∆


Calcul de la courbe de Masquage

• Il s’agit d’analyser la composition spectrale du signal pour déterminer les bandes de fréquence qui ne sont pas audibles

• On procède à des analyses locales pour avoir des propriétés de stationnarité du signal

• Le signal audio est donc analysé par tronçons successifs• N = 512 échantillons• D = 16 ms pour Fe = 33KHz• D = 11,6 ms pour Fe = 44 Khz

• On note les 512 échantillons du tronçon n° l• On note les 512 échantillons de la TFD du trançons

511,...,0)( =kkxl

)(1 kx )(2 kx )(3 kx

511,...,0)( =nnXl

511,...,0)( =kkxl


Les 25 bandes critiques du MPEG

HzKHzf 1,865121,44

==∆Pour KHzfe 1,44=

Limites des bandes critiques

N° de bandes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Fréquences (Hz)86 172 258 431 517 689 775 947 1120 1292 1464 1723 1981 2326 2756

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

3187 3876 4479 5340 6374 7580 9302 11370 15504 19983



• Etape 1: estimation de la densité spectrale de puissance par l’estimateur adouci (fenêtre de hanning mais sans moyennage)

• Etape 2: normalisation à 96dB (par translation + ou – du max)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×= 2

10 ))(*)((1log10)( kwkxTFDNP

nR ll

dBnRln96)(max =



• Etape 3: Détection des composantes tonales vérifiant les 3 conditions

avec si (basses fréquences)

si (fréquences moyennes)

si (hautes fréquences)

dBjkSkSnSnSnSnS

7)()()1()()1()(

≥+−+≥−>

[ ] 2,263,3 +−=∈ jalorsn

[ ] 3,2,2,3126,64 ++−−=∈ jalorsn

[ ] 6,...,2,2,...,6250,127 ++−−=∈ jalorsn



• Etape 4: Renforcement des composantes tonalesOn ajoute aux composantes tonales la puissance des deux harmoniques voisines (on intègre la DSP- fenêtre de hanning)

si n est tonale

( )10/)1(10/)(10/)1(101 101010log10)( +− ++×= nRnRnR lllnP



• Etape 5: Renforcement des composantes non tonalesDans chaque bande critique on somme les puissances des composantes non tonales

si n est non tonale

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×= ∑

fin

tonalenonndebut

nRlnP,

10/)(101 10log10)(


Calcul de la courbe de Masquage• Etape 6: Elimination des fréquences tonales et non tonales inférieures au

seuils d’audition absolu

• Etape 7: passer à une échelle en Bark

• Etape 8: deux composantes tonales séparées de moins de 0,5 Barkentraînent l’élimination de la moins puissante

• Il reste Nt composantes tonales et Nn composantes non tonales

• Etape 9: calcul du seuil de masquage à la fréquence

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×= ∑∑

==

nta

N

j

PnnPN

j

PnnPnSm nS

1

10/),,(

1

10/),,(10/)(102

121212122 101010log10)(


Chap. IV Filtrage des Signaux Aléatoires

3.1. RappelsLes signaux aléatoires ne sont pas exactement prédictibles au cours du temps

On souhaite développer des techniques pour- Prédire les valeurs à venir du signal (un « bon » prédicteur est un bon modèle)- Déterminer les propriétés des systèmes qui ont générés ces signaux

Processus aléatoireOn définit un processus aléatoire comme une application qui à chaque expérience fait correspondre une fonction du temps qu’on appellera signal aléatoire

On le note souvent mais en toute rigueur on doit noter pour marquer son caractère aléatoire.

Il y a donc 2 façons d’analyser de représenter le signal aléatoire-pour une expérience donnée le signal aléatoire est une fonction du temps. est une trajectoire du processus aléatoire

-pour un instant donnéest une variable aléatoire

)(tX ),( ωtX

ω

0ω

0t),( 0ωtX

)(tX

)(ωX


4.1. Rappels

Processus aléatoire

4 expériences différentes du même processus


4.1. Rappels

Description temporelle

On décrit les signaux aléatoires par les propriétés des variables aléatoires qui dépendent du temps

Moyenne

Fonction d’autocovariance

On montre que

( )( ) ( )( )( ))()()()(),( 221121 tXEtXtXEtXEttRXX −×−=

)),(()( tXEtmX ω=

( ) )()()()(),( 212121 tmtmtXtXEttR XXXX −×=


4.1. Rappels

Processus stationnaire au second ordre

Moyenne et autocovariance sont indépendantes du temps

Propriétés de l’autocovariance

- Symétrie Hermitienne

- Matrice de covariance: c’est la matrice symétriqueexemple pour les 3 premières valeurs de la covariance

-caractère positif de l’autocovariancepour tout vecteur on a

XX mtm =)( ( ) 221 )()()(),( XXXXX mtXtXERttR −×+== ττ

)()( * ττ −= XXXX RR

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

)0()1()2()1()0()1()2()1()0(

2

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

RRRRRRRRR

R

0≥Rvvtv


4.1. Rappels

Propriétés de l’autocovariance

- Matrice de Toeplitz:C’est une matrice pour laquelle les diagonales sont constituées d’un même termeLa matrice de covariance est une matrice de Toeplitz


4.1. Rappels

Propriétés fréquentielles des signaux aléatoires

Théorème de Wiener-KintchineLa transformée de Fourier de la fonction d’autocovariance est la densité spectrale de puissance

Vu en détails dans la partie analyse spectrale des signaux aléatoires

∫+∞

∞−

−==Φ ττπττ djfRRTFf XXXXX )2exp()())(()(


4.2. Filtrage des processus aléatoires

Rappels

Soit un système linéaire de fonction de transfert complexe

Si on place à son entrée un signal aléatoire stationnaire de fonction de covariance

et de densité spectrale de puissance

Alors le signal aléatoire de sortie possède les propriétés suivantes:

Fonction de covariance entre X et Y densité interspectrale de puissance

)(τXXR

)( fH

)( fH

)( fXΦ

)(kX )(kY

)(tY)0(Hmm XY= )()()( 2 fSfHfS XXYY =

)()()( fSfHfS XXYX =( ) )()()()()( ττττ XXYX RhtXtYER ⊗=+=



Génération d’un signal aléatoire de spectre connuSi on place un bruit blanc à l’entrée d’un filtre linéaire, la densité spectralede puissance du signal de sortie est

Le spectre du signal de sortie est donc directement proportionnel à la réponse en fréquence du filtre

Il suffit donc de construire le filtre numérique de réponse en fréquence souhaitéepour obtenir en sortie du filtre le signal aléatoire aux propriétés désirées en plaçantà son entrée un bruit blanc

CstefHfSfHfS XXYY ×== 22 )()()()(



Estimation de la réponse impulsionnelle d’un système linéaire

Puisque la fonction de covariance entre l’entrée et la sortie est donnée par la relation suivante

Si le signal d’entrée est un bruit blanc, sa fonction d’autocovariance est un diracet obtient tout simplement

La réponse impulsiopnnelle du système linéaire est proportionnelle à la fonction de covariance entre l’entrée et la sortie

( ) )()()()()( ττττ XXYX RhtXtYER ⊗=+=

( ) 2)()()( στδττ ⊗= hRYX

2)()( σττ YXRh =


4.3. Prédiction linéaire

Le prédicteur est vu comme un modèle du signal aléatoire Le modèle est d’autant meilleur que la prédiction est bonne

Le prédicteur linéaire effectue la prédiction à partir des N dernière valeurs acquises sur le signal aléatoire. Cette prédiction est une combinaison linéaire des échantillons

Si on note la prédiction du signal x à l’intant n, faite par le prédicteurlinéaire d’ordre N, alors par définition on a

Le prédicteur linéaire peut donc être vu comme un filtre RIF dont la sortie est laprédiction

)(nx∧

)()(1

zXzazXN

i

ii ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

−∧

∑=

∧−=

N

ii inxanx

1)()(



3.3.1 Détermination du prédicteur linéaire optimal

La prédiction est d’autant meilleure que le signal prédit est proche du signal réel

Le prédicteur optimal est celui qui rend minimale la puissance de l’erreur de prédiction notée

La puissance de l’erreur de prédiction s’écrit:

)(nx∧

)()()( nxnxne∧

−=

)(nx

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

∧∧∧)()(2)()()()(

22

22 nxnxnxnxEnxnxEeσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∑∑

==

N

ii

N

iie inxanxinxanxE

1

2

1

22 )()(2)()(σ

( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑∑= ==

−−+−−=N

i

N

jji

N

iie jnxinxEaainxnxEanxE

1 11

22 )()(2)(σ


L’équation s’écrit en fonction de la fonction de covariance

Si l’on place les coefficients du prédicteur dans le vecteur de paramètres

Alors l’équation s’écrit


( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑∑= ==

−−+−−=N

i

N

jji

N

iie jnxinxEaainxnxEanxE

1 11

22 )()(2)(σ

∑∑∑= ==

−+−=N

i

N

jXXji

N

iXXiXXe jiRaaiRaR

1 11

2 )()(2)0(σ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−

N

Naa

a

1

1...a

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

−−−

−

N

NNNN

N

NXXXXXXXXe

aa

aaaa

aa

aNRNRRR

1

1

1111

12 .........)()1(...)1(2)0( Rσ

( ) aRaa t1

2 )()1(...)1(2)0( −+−−= NXXXXXXXXe NRNRRRσ


Le prédicteur optimal est donc celui qui rend minimale cette équationIl suffit d’annuler la dérivée par rapport au vecteur de paramètres

On obtient

Soit finalement

(eq. 1)

En reportant cette expression dans l’expression de l’erreur on obtient

eq. 2


( ) 02)()1(...)1(2 1 =+−− −aRNt

XXXXXX NRNRR

( )( )0

)()1(...)1(2)0( 12=

+−−= −

aaRaa

at

dNRNRRRd

dd NXXXXXXXXeσ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=−

)()1(

...)1(

1

NRNR

R

XX

XX

XX

N aR

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−−=)(

)1(...

)1()()1(...)1(2)0(2

NRNR

RNRNRRR

XX

XX

XX

XXXXXXXXe taaσ


L’équation 2 se réécrit (eq. 3)

soit sous forme matricielle

(eq. 4)


( ) a)()1(...)1()0(2 NRNRRR XXXXXXXXe −−=σ

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

−

N

NXXXXXXXXe

aa

aNRNRRR

1

12 ...

1

)()1(...)1()0(σ


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

0...00

...

1

)0()1()(

)2(...)0()1()2()1(...)1()0()1(

1

NXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

a

a

RNRNR

NRRRRNRRRR

Or l’équation 1. peut également se réécrire

(eq. 5)

Soit finalement

(eq. 6)


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=−

−

)()1(

...)1(

...

)0()1(

)2(...)0()1()1(...)1()0(

1

1

1

NRNR

R

aa

a

RNR

NRRRNRRR

XX

XX

XX

N

N

XXXX

XXXXXX

XXXXXX

N aR


Finalement on a donc les deux équations 4) et 6)

Qui s’écrivent comme une seule équation matricielle

équation de Yule-Walkerou de Wiener Hopf


( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

−

N

NXXXXXXXXe

aa

aNRNRRR

1

02 ...

1

)()1(...)1()0(σ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

N

N

e

aa

a

1

0

2

...

1

00...0

NRσ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

0...00

...

1

)0()1()(

)2(...)0()1()2()1(...)1()0()1(

1

NXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

a

a

RNRNR

NRRRRNRRRR


Les paramètres du prédicteur optimal s’obtiennent en inversant la matrice de covariance


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

− 00...0

...

1 2

1

1

0e

N

Naa

a σ

NR


7.3.2. Interprétation du signal d’erreurLe signal d’erreur a la puissance la plus faible donc on a vu que


0)()(2

1=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

∂∂ ∑

=

N

ii

iinxanxE

a0)()()(2

1=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−− ∑

=inxinxanxE

N

ii

( ) 0)()( =−inxneE

)( ine −)(ne )( ine −

le signal d’erreur est non corrélé aux N derniers échantillonsdu signal

comme est une combinaison linéaire des échantillons passés on déduit que est non corrélé avecDonc le signal d’erreur de prédiction est un bruit blanc

C’est la partie non prédictible de )(nx



Le signal d’erreur s’écrit )()()( nxnxne∧

−=

∑=

−−=N

ii inxanxne

1)()()(Soit

)(1 zA−Le filtre de fonction de transfert est un filtre blanchissant

Il élimine la partie prédictible du signal

( ) )()(1)(1)(1

zXzAzXzazEN

i

ii −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

=

−Donc

)(1 zA− )(zE)(zX


Soit un signal aléatoire stationnaire.

Dans ce modèle on considère que le signal aléatoire possède une partie prédictibleEt une partie non prédictible.

La partie prédictible est modélisée par un prédicteur linéaire La partie non prédictible ( partie purement aléatoire du signal) est un bruit blanc

4.3. Modèle autorégressif

)(nx

)()()(1

nwinxanxN

ii +−=∑

=


Cela revient à considérer que le signal aléatoire est le résultat du filtrage linéaire d’un bruit blanc par le filtre T(z)

4.3. Modèle autorégressif

∑=

−−== N

i

ii za

zTzWzX

11

1)()()(

)(zT est le modèle autorégressif du signal il est complètement déterminé par les

paramètres du prédicteur linéaire. Il explique comment est généré le signal

)(zW )(zX∑=

−−N

i

ii za

11

1


4.4 Application au codage de la parole

)(zX)(1

1zA−

)(1 zA−)(zX )(zW

La parole est un signal aléatoire stationnaire sur une durée de quelques dizaines de millisecondes

Sur cette durée il est modélisé par un modèle autorégressif

Codage de la parole pour la transmission Téléphonique

• on transmet le signal d’erreur + le modèle• le récepteur reconstruit le signal


4.4 Application au codage de la parole

Codage de la parole pour la transmission Téléphonique

• on transmet le signal d’erreur + le modèle• le récepteur reconstruit le signal

)(zX)(1

1zA−

)(zA

)(zX )(zW+-

ÉmetteurRécepteur


Définition:Le filtre adapté est le filtre qui optimise le rapport signal sur bruit pour ladétection d’un signal déterministe en présence d’un bruit additif

Soit x(n) le signal déterministeSoit b(n) le bruit additif

Le signal observé est

On cherche à construire le filtre linéaire de réponse impulsionnelledont la sortie y(n) possède un rapport signal sur bruit maximal

La détection de dans se ramène à la détection de dans

4.5. Filtrage adapté des signaux aléatoires

)()()( nbnxne +=

)(nh

)(nh )(ny)(nb

)(nx )(ne

)(nx )(ne )()( nhnx ⊗ )(ny


En sortie du filtre on a:Le signal utile filtréLe bruit filtré

Le rapport signal sur bruit en sortie s’écrit

Au dénominateur on a:

Au numérateur on a:

inégalité de Schwartz

L’égalité est atteinte quand

Donc est maximale si on choisit


))()((

)()()( 2

2

nhnbE

nhnxn

⊗

⊗=ρ

)()( nhnx ⊗)()( nhnb ⊗

∑∫−

==⊗ )()())()(( 222

1

21

222 τσσ hdffHnhnbE

∑∑∑ ≤−=⊗ )()()()()()( 2222 ττττ xhnxhnhnx

)()( ττ −= nxh

)()( ττ −= nxh)(nρ


Le filtre qui optimise la détection du signal déterministe a donc pour réponse impulsionnelle la copie retournée et retardée du signal déterministe

Dans ce cas, lorsqu’on place en entrée du filtre adapté le signal x(n), La sortie s’écrit:

En posant on obtient

avec

Le produit de convolution est un produit de corrélation. Il est maximal pour t=0, c’est à dire pour k=n


∑∑ −−=−= )()()()()( ττττ kxnxkxhky

τξ −=k

∑ += )()()( ξξ xtxky knt −=


Rappels sur les formules de dérivation vectorielle

Soit u et v deux vecteurs de dimension M,

Dérivée du produit scalaire

Dérivée d’une forme quadratique, soit P une matrice MxM

Si P est une matrice symétrique cad si

Annexe

( )udv

vud t=

( ) ( )uPPduPuud

tt

+=

( )2Pudu

Puud t=

tPP=


M. Kunt, Techniques modernes de traitement numérique du signal, Volume 1, PPUR, 1991.

Tisserand & Al., Analyse et Traitement des Signaux, DUNOD, 2004.

Benedir, Théorie et Traitement du Signal, Tome 1, DUNOD, 2002.

Boite & Al, Traitement de la parole, PPUR, 2000.

M. Bellanger, Traitement numérique du signal, 6eme édition, Dunod, 1998.

Blanchet, Charbit, Traitement numérique du signal, Hermes, 1998.

Bibliographie


Chap 2 : Banc de compression Audio

H0(z)

HM-1(z) FM-1(z)

F0(z)M M

M M

)(nx∧

)(nxQuantification

codage

Allocation

Dynamique

De bits


Modèle auditif





+

Documents

Traitement des Signaux Aléatoires Introdution: Rappels sur les