TRANSFORM]~,ES D E H I L B E R T ET R E L A T I O N S D E B A Y A R D - B O D E

par Francois-Henri RAYMOND Chef de t ravaux au Conservatoire National des A r t s et M6tiers

Maitre de Conf6rences fi l'l~cole Nationale Sup6rieure de l 'Armement *

SOMMAIRE. - - - - Cette dtude est destinde d montrer aux ingdnieurs [amiliarisgs avec le thgordme [ondamental de Cnu(mY que ce thgor~me conduit directement aux trans[ormdes de HILBEnT qui, elles-m~mes, conduisent aux relations clas- siques deBA.cnm~-Boo~. Ainsi se trouvent expliqudes les similitudes de [ormes des intdgrales de HXLSrnT et de CavcaY et la disparition du coefficient 1/2 qui accompagne :~, clans ces dernidres. Nous pensons avoir ainsi rendu plus [amili~res les importantes relations de B~v~aI)-Bot)s, dtablles de manikre indirecte par BAYxaa, BODE OU GUILLEMIN.

La premiere partie de cette dtude est donc purement tMorique, mais eUe reste dldmentaire. La deuxidme partie [ait l'application des trans[ormdes de HtLaEaT et gtablit les relations de BnYAnD-BoDE. La troisidme partie dtend ces rdsultats attz cas des systdmes qtti ne sont pas gt minimum de phase.

Pour dtre plus explicite, cette derni~re partie devrait ~tre suivie d'exemples d'applications. C'est h la demande du Comitd de Lecture des Annales des T616communications que nous avon* aioutg nos notes, qui [orment aujour- d' htti la troisi~me partie de cette dtude, afin que soit prdsentde darts son ensemblel' ~tude des probl~mes du type BAYARD- Bouu. Une prochaine dtude, suite logique de cette troisi~me pattie, sera publide ultdriearement, dans ces colonnes.

I. TRA~SFORM~ES DE HILBERT.

Sur u f(~) 6tant r6guli6re, quel que soit ~', on peut toujours choisir I 'infiniment petit z, de mani~re que

Consid6rons une fonction f(z), analytique dans le demi-plan tRz > / 0 (OR signifie pattie r6elle). Le th6or~me fondamental de CAUCHY permet d'6crire :

(t) f(z) _~1 f f ( ~ ) d ~ ,

F 6tant u n contour positif quelconque, contenu dans le domaine d 'holomorphie de la fonction f(z).

Prenons pour contour celui d6fini (fig. 1) par l 'axe imaginaire et le demi-cercle de rayon R, de centre h l'origine ou non, et situ6 dans le demi-plan de droite.

Admettons que l' intdgrale sur le denti-cercle s' dteigne quand le rayon R croft inddfiniment. Pour appliquer les r6sultats qui vont gtre 6tablis dans ce para- graphe, dans chaque cas particulier, il faudra s'assurer que cette hypoth6se est justiti6e, i

On peut donc 6crire :

(2) f(z) =R-.+oolit" 2u ~ j L - ja f(~)~ __d~'z

Examinons plus particuli~rement le cas o~1 z e,t sur raxe imaginaire.

Si ~ z = 0, le th6or6mc cle C s v c . Y s'applique, condition de consid6rer le contour repr6sent6 ~ur

la tigure 1, tel qu'il contiennc le point Xatnxe z, mai~ ne contienne pas de singuiarit6s de la fonction flU.

S i r est le rayon du demi-cercle u nous avons (grAce h l 'hypoth6se pr6c6dente) :

+ f ' " -1 ~t-.-~oo 2 nj LLJ--In Jliu+z)A

--lim/].r

YI

0

F1o. 1.

X

f(~) diff6re de f(z) d 'une quantit6 petite, fix6e h priori.

Par ailleurs, dE = zje l~ ; si l 'on effectue lc changement de variable ~ - - z = r e 10, on obuent :

(4) . f f(~) d~ nn / ~ ~ J ~f(z)" r , / y % - - z

D6compos6e en ses parties r6elle et imaginairc, f(z) s'6crit, x et y 6rant les coordonn6es, dans le plan xoy, du point d'affixe z :

(5) f(z) = u(x, y) + j ,,(x, y).

* Directear de la Socx~T~ D ' I ~ L E C T R O ~ I Q U E E T D'AuTOMATI~ME (S. E. A.).

-- 262

t. 6, n ~ 10, 1951]

La relation de CAucnY (3), compte tenu de (4), devient donc :

u(0, y) + j v(o, y) (6) 2

. . . . . - " , , ,

/r ~ LJ -- |1: + e l

Si ~ = ~ q- j~, ~ et "4 sont ]es coordonn6es, dans le plan xoy , du point d'attixe ~. Sur / ' axe oy, on a

done : ~ = J'4" Par suite, on pcut 6crirc succcssivcmcnt :

t / ' J (~-r u(0, ~) + jv(0,~q) d(j~) - - 2 g j l j _ j ~ j ~ - - z

l . f y - - e u(O, ~) ~- jv(O,~)d '4 ,

et effeetuer des op6rations analogues sur la deu- xi~me int6grale de (6).

En remontant h (6), on a done :

u(O, y) + j ~(o, u)

r

En 6erivant l'6galit6 des parties r6elle et imagi- naire, respeetivement, des membres de droite et de gauche, nous avons :

u(O,y) = - - - ' 1 l im ~(0,~q) dr l ~: ~.-->or l_J--~ "4--Y

(7)

' i ' R A N S F O R M E E S DE, H I L B E R T ET R E L A T I O N S DE, B A Y A R D - B O D E 2/]-]-

,,i,. L f__, v(0, y) -- n --~ ~ n

-F. ~+~ .... ] u( O. "41 d ~ I

4 - - Y

+ .... ii. Nous conviendrons d;6crire :

�9 - .fi_r Is) P / ' "~(0 '~)d~=l l - , [ f ' " + F . . I ,

J--R'4-- Y r J~+~ j

qui correspond ~ l 'extension de la notion d'int6grale, au sens de (( partie principale de CAucaY )). t~crirc des limites infinies, h la place de ~ R, sous-entendra

lira ct correspond, si cette limite a un sens, fi 1~-----~ l 'extension classique dc l'int~grale, au sons de ~ I E M A N N , a v e c aussi, en plus, lc sons dc <( valeur ou partie principale dc CAucnv )), pour les limitcs

Du reste, dans les applications, il n 'y aura g6n6- ralement pas de dillicult6 pour les liinites infinics, et, en g6n6ral il ne sera pas n6cessaire d'utiliser ce sens de valeur principale de C^ucaY pour les limites infinies des int6grales.

Finalement, nous avons :

u(O, y) = - - r~ "4 - - y ' ('3) t f ~ ~t([), "4)d~

v( ~ a) = 7~ P . ] - ~ "o - - a

Ces deux relations associent entre elles les fonc- tions r6elles u(0, y), v(0, y) et sont connues sous le nom de transformation de HILBERT. La connaissance sur l 'axe imaginaire de la partie r6elle u(0, y) de toute foncfion f(z) entralne celle de v(0, y), pattie imaginaire correspondante, et vice-versa. On salt l'int6r~t consid6rable de ces correspondances.

La d6monstration qui a permis d 'aboutir h cette transformation montre que le calcul des int6grales dolt 6tre effectu6 - - dans le domaine de la variable r6elle ~q - - au sens de partie principale de CAuc.v au voisinage du point y. Pour fitre valable, d'ailleurs, il faudra v6rifier que l 'hypoth~se faite tout au d6but est v6rifi6e. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce point. La connaissance de f(z), d'apr~s (9), sur l 'axe imaginaire entralne que cette fonetion est enti6- rement d6termin6e dans tout le demi-plan tP~z > 0 - - ceci est un r6sultat classique - - grfiee "h l'int6- grale (1).

La sym6trie des relations (9) en constitue la propri6t6 la plus remarquable. On dolt noter que leur forme diff~re, en partieulier, par un coefficient ;l/2, de celle de l'int6grale de CAvcnY. Cela r6sulte clairement du calcul effectu6 plus haut et est la cons6quence" directe du mode de caleul des int6- grales (9).

I1 nous semble qu'un ing6nieur ne doive pas ignorer un autre aspect de la question auquel est li6e une notion plus d61ieate, celle d ' i n t@ra le s ingu- libre de CxucnY. Cette notion montre la puissance de la th6orie de Cxvcnv, mais attire l 'a t tent ion d'une mani~re particuli~rement frappante sur les dangers que pr6sente son utilisation trop h~tive.

Si t~z = x > 0, l'int6grale (2) peut s'6crire :

ilO) u(x,,s) + j v t x , y )

. . . . . lira 1 fltu(ql,~)-~-jv(0,~)d.4 - ](T yT=x

En s6parant parties r6elles et imaginaires, noul avons, apr6s un calcul 616mentaire :

ill) I f ~ , , ( o , . 4 ) l ~ - - , f )

v (x , y ) ~ xZ -F (~q- - Y) id'4

I / ~ u ( 0 , ~ ) ( - 4- -q) d~

Faisons tendre x vcrs z6ro. Nous retrouvons, h '1/2 pros, dans les int6grales de droite, les trans- form6es de HILBER'r; il apparalt, moins direc- tement que plus haut, que ces int6grales doivent se calculer, au sens partie principale de CAucuY.

Les deux autres int6grales ne sont i)as nulles, bieu qu'il scmblerait, h i)remi6rc rue, qu'il en ffit ainsi. Portons notre at tent ion sur ce point.

263

3/f l

On peut 6crire, lorsque x #- 0 :

ccu(O, ~) (12) f : x ' +(~--y)id't}

_ + A : ] , puisque la quantit6 int6gr6e est une fonction r6gu- li~re de ~], sur l 'axe Oy.

Pour caleuler cette int6grale, nous pouvons appliquer le th6or~me de C x v c a v sur les r6sidus.

Les singularit6s de la quantit6 int6gr6e sont les racines de son d6nominateur, so i t :

L = y + i ~ , ~,=y--lx.

Lorsque x - -~ 0, elles tendent vers y, et alors le fait d 'annuler le num6rateur n'entratne pas que l'int6grale soit nulle.

La quantit6

(13) lim f o ~ xu(O,~) d ,,..-~oj_oox':#(~-:~)' ~

est eonnue sous le nom d'intggrale singuli~re de CAucnv. Etle se rencontre dans la th6orie de l'int6- grale de Fovm~.a, ~ laquelle est li6e, .d'ailleurs, la notion de transform6es de Hxrnrar .

Appliquons le th6or~me fondamental de CxucnY au contour F de la figure 2.

D r

! ~=Y B A

F.-H. RAYMOND [ANNALE$ DES TI~LI~COMMUNICATIOM$

correspond au plan de la figure 2 par une rota t ion de n/2, on a alors :

FIG. 2.

d'ofi :

I1 est form6 d'un demi-cercle de rayon 11, de deux segments de l 'axe ~ et du demi-cercle de rayon p.

Aucune singularit6 n '6tant comprise dans ce domaine, on a

f r ~(0,~) ,~ z ' + ( ~ - - y)' a~ = 0,

6tant l'aflixe d 'un point courant sur le contour F. Si on utilise l 'hypoth~se selon laquelle l'int6grale

(t) est nulle sur le demi-grand eercle situ6 h droite de l 'axe imaginaire dans le plan de la variable ~, plan de la figure 1, et en observant que ce plan

/=L+L

Le calcul de l'int6grale sur BC ne pr6sente pas de difiicult6s. On peut ehoisir p aussi petit qu 'on le veut ; alors u(0,~) diff6re aussi peu qu 'on le veut de u(0, y) ; do~c :

= ~(o,y) x~-4~ , _ ~(o,y) _ 5

= u(O,y) arctg -~ 0g--In I . Xlp

off ~r ~ - - y = pe 10 (0va r i an t de 0 f i - - n sur l 'axe BC).

Finalement nous obtenons :

lim [ f : P xu(O,~)d~ f p n ] ,,--.~o x~ + ("1 --y)~ + .... = ~ u(0, y),

qui est la valeur de l'int6grale singuli6re de CAUCHY. En remontant h la premi6re des relations (1t),

nous avons :

2 ~x~ + ( ~ - - y ) :

d'oh i ,. p o v(0,n)(~-- y) d u ( 0 , y ) = - - - nm / ~ , ~. . .~oj -~x + ('q--Y)

EX:" .s176 I lim +

Si la convergence de l'int6grale est uniforme, ce qui est assur6, v 6tant r6guli~re, on obtient la premi6re des relations (9). Un calcul analogue con- duit ~ la deuxi~me relation.

Pour terminer ce paragraphe, nous donnerons, h titre d'exemple, les correspondances de HIt-BERT suivantes (les correspondances d ~ h ont 6t6 6tablies par M. L~. PAGr).

a) u(0,y) = 0, saufpour 0 < y < a, oh elle est 6gale h 1,

v(O,y) ~- ~ log a + Yl; a - - y I

1 y b) 1--4--~' - - t + ~ , ;

c) cos y, - - s i n y ;

l 2 I-yLlYl y L_(I _+_Lyl!- ] d) 1--4--~' ~ L l -- y~ + I-yl t + IM J ;

e) e-I,,, ~:2[shyE,(--]y,)--el,tf'stl---tdt ]

- - 2 6 4 - -

t . 6, n ~ 10, 1951] T R A N S F O R M I : : E S D E I I I L I I E R T E T R E L A T I O N S D E B A Y A R D - B O D E

sin y t - - cos y i ' ) , - - - - - ;

Y Y

~ ~/ {+y , ' q i + y , ~ + v + ~ / ~ + v ~

o o

2 E J~+'(Y) 2 n + t

# = 0

h) Jo(Y),

II. APPLICATIONS FONDAMENTALES.

Pour r~soudre les probl~mes de la physique lin6aire, en raisonnant dans le domaine des fr6quences, on a l e choix entre l 'utilisation directe de l 'int6grale de Cxuc .Y et celle des transform6es de HILBEnT.

On rappelle que les fonctions f(z) de la physique lin6aire sont telles que u(0, y) est une fonction paire et v(0, y) une fonction impaire de y.

On peut 6crire les relations (9) sous la forme 6quivalente (6tant sous-entendu int6grale au sens partie principale) :

.(0,v) = ~ P a~, J--~ g--- ~q 05) t p Coo , , (~)_ ,,(v).

- - - / - - - - u~. . ( O , y ) = ~ d - o o y - - - ~

Il suffit de v6rifier que :

l = p f oo d'~ --0. (t6) y - o o y - - , ]

On a, par d6finition :

1 = lim r d'~ + r Y - - ~q r Y - - ~ g

= lim t[--log(y--~)]L-Z + [--log(v--~)],~+~} g - - + 0

= lim I - - log r -4- log B - - log ( - - B) -4- log ( - - r } r

= lira { - - log r -4- log B - - log R + log r - - l og ( - - t)

+ l o g ( - - l ) l = 0.

Si l 'on consid~re I comme une int6grale au sens ordinaire du mot, son calcul peut ~tre effectu6 par la m6thode des r6sidus, en consid6rant un contour du type de celui consid6r6 figure 3. Cette m6thode est de toute 6videnee erron6e. D'ailleurs, si on l 'applique, on trouve sans difiicuh6 q u e :

F / ce qui est manifestemertt en contradiction avee la mani~re mgme dont les transformfes de thLnEnT sont d6duites de l 'int6grale de C x v c . y (l).

Supposons que v soit une fonetion impaire. Nous avons v(- - ~) = - - v(~), done la relation :

.(0,~) = ~ e f ~ "(~)-"(~) a~ ; j -oo ~ - ~

+ ~ j0 ~---~

) o �9 peut s ecrn'e:

t p f~V(.tl) +v(y) t~ ~,O,y) . . . . = j o Y + ~ 1

+ ~ p i / o o . ( ~ ) - - . ( V l d ~ ' ' ' j - ~

OU :

(17)

Pareillement :

(18) . ( 0 , y ) = - 2 Y p f~176 do Y*-- ~"

Les propri6t6s de parit6 et d ' imparit6 des fonc- tions u(O, ~) et v(O, y) r6sultent alors imm6diatement de (17) et (18).

y '

yh'

O' x

FIG, 3.

BODE a jn t rodui t un ehangement de coordonn6es utile (mais str ictement non indispensable) qui conduit h des formes d'6criture des transform6es d'HILBERT directement exploitables dans les appli- cations physiques, en utilisant les 6chelles logarith- miques, famili6res aux 61ectriciens.

On peut 6crire :

2 p/~176

Posons : 0 = log ~ /y ; on a aussitbt :

i p f r .(0) - - u(0) .(0,y)=~- J-oo- ~V~ dO.

Cette int6grale a un sens, car, pour 0 t endan t vers

<)q i z6ro, la quantit6 int6gr6e tend vers ~ 02o

est suppos6e finie. Aussi, est-il perinis d ' int6grer par parties, ee qui conduit h :

(t9) ~(O,y) = ~ . ~--0 log i ~ yl d 0

si u ( ~ ) est born6e. Nous supposons connues les autres formes d'6cri-

ture de cette relation destin6es uniquement dans l 'esprit de leur auteur h permettre de r6soudre des probl~mes physiques donn6s.

- - 265

Effectuons sur (17) des calculs analogues, nous avons :

7: do V[y/~-- ~ly]

qui est l 'une des relations elassiques de BonE, elle suppose que ~ v(0, ~) a une limite born6e pour infini.

Pour obtenir une autre relation donn6e par Bona, nous 6crivons successivement :

,,(o,u) - 2_ p f o o - - 7~ ..10 y2__ ~

D'autre part, on en tire :

9 f o o d

= P J o

d'ofl par difference :

u(O,y) __ u(O, O) = 2 p / ~ 1 7 6 [-~q LY ~ - "~ + ,~_(~)] ,1__~

2Y'P / ~ 1 7 6 "/~ d~q

et en introduisant ]e changement de variable ]oga- rithmique :

(21) ,,(O,y)--u(O,O)

Les m6thodes expos6es sont g6n6rales et permet- tent de r6soudr~ des probl~mes plus complexes que eeux dont l'6none6 revient finalement h donner ,(0, y) ou ,,(0, y) sur ra , ,e 0 v.

III. APPLICATIONS AUX SYSTI~.MES PHYSIQUES.

Dans la majorit6 des applications pratiques du domaine de la physique lin6aire, les fonctions f(z) sont des fonctions rationnelles de z ou des loga- rithmes de fonctions rationnelles. Nous examinerons plus loin le cas des fonctions logarithmiques.

Consid6rons tout d 'abord

a 0 + a ~ z + .... a=z'~ (22) f(':) - l,,,. + .... J,,,,

U m Si n = m : l i m f ( z ) = ~ , et l'on v6rifie alors

z..-~oo

g J { ~f(~)~z d~ sur le demi-cercle de l'int6grale que

rayoninfini du plan ~, a ~ > 0, ne tend pas vers z6ro; donc les r6sultats d6duits de l'int~grale de HILBEnT ne peuvent gtre appliqu6s.

Si l 'on consid~re f ( z ) - - f ( o o ) , cette fonction d6croit comme 1/z et l 'on v6rifie sans difficult6s que l'int6grale de CAUCHY est nulle sur le demi-cercle pr6c~dent.

F.-H. RAYMOND [ANI~A/~ES DES TI~L~COMMUNICATION$

Si n > m, lcs relations 6tablies pr6c6demment s 'appliquent sans difficult6s.

S i n < m, on pourra les appliquer h la fonction :

(23) z-t~-,~) If(z) - - f(oo)/.

On v6rifie que l 'application des relations 6tablies au paragraphe 2, moyennant ces remarques, condui- sent aux diverses relations que BonE a 6tablies dans son livre [1]~, Network analysis and /eedback amplifier design ~.

I V . EXTENSION DES RESULTATS PRECI~DENTS,

SYST~.MES A DI~PHASAGE NON MINIMUM.

Gfinfiralisation des relations de Bayard-Bode.

Pour des raisons qu'il ne semble pas utile de rappeler ici, il est naturel de caract6riser par son logarithme le coefficient de transfert f(z) d'un sys- t~me lin6aire. Si l 'on pose :

('_)4) k ( z ) = l o a f ( , ) = z = x + j v ,

z 6rant la pulsation eomplexe (g6n6ralement repr6- sent6e par p) ; ]a fonction u repr6sente l 'a t t6nuation (ou le gain) et v le d6phasage.

Les relations pr6c6demment 6tablies ou rappel6es sont applicables aux.fonctions u et v si k(z) n'a pas de singularit6s dans le demi-plan d{z /> 0.

Si f(z) est une imp6dance ou une admittance, pour z = ]Y, nous avons :

log fcJY) = log If(jy)i + ] r ;

donc, u(0, y) mesure en 6chelle logari thmique le module de l ' imp6danee ou de l 'admittance, et q~(y) e n e s t la phase.

Si f(z) est un coefficient de transfert, u e n e s t le gain (ou l 'att6nuation) en 6chelle logarithmique, e n e s t le d6phasage.

Si f(z) est l ' imp6dance ou l 'admit tance d'un syst~me physique stable, ses pbles et z6ros ne peuvent gtre dans ~ z > 0. D'ailleurs, ceux qui sont sur l 'axe imaginaire sont simples, f(z) est, comme il est bien connu, une fonction r6elle positive. Donc, si aucun p61e ni z6ro n'est sur l 'axe imaginaire, les relations de BAYARD-BoDE peuvent s 'appliquer ~ la fonction log f(z).

Si f(z) est le coefficient de transfert d 'un syst~me physique stable, ses pSles sont dans ~Rz < 0, mais ses z6ros peuvent occuper routes r6gions dans le plan complexe. On dit que le coefficient de transfert caract6rise un syst~me ~ minimum de d~phasage si tous ses z6ros sont dans tKz < 0. I1 est clair que, dans ces conditions, 1/f(z) peut repr6senter le coeffi- cient de transfert d 'un syst6me physique stable.

Les relations pr6c6demment 6tablies s 'appliquent donc sans modifications h l '6tude du logarithme de la fonction de transfert d 'un syst~me physique minimum de d6phasage.

Consid6rons le cas off f(z) poss~de les z6ros conju- gu6s a e t a* dans le demi-plan de droite. Si l 'on applique le th6or~me de CAUCHY au contour F de

266

t . 6, n ~ 10, 1951] T R A N S F O R M E E S D E H I L B E R T E T R E L A T I O N S D E B A Y A R D - B O D E

la figure 4, "h l 'int6rieur duquel k(z) est holoniorphe, Ayant :

nous avons : f i.

t f log f(~) d~" ~ ( ~ _ z ) -- z l~ ~ (25) log f(z) = 2~-=1 ] r

Ma]heureusement cette int6gra]e est dlvergen|e. On est alors conduit h appliquer le lh6or~me fonda-

0 ,

3C

B

FIe , . ~.

mental de CJ, ucnY h la fonction z--" log f(z), n >~ 1. Considerons seulement ici le cas n = ]. Nous avons :

(26) log f(z') _ I X l ~ f(~) d~. = 2=I

On d6signera par R le rayon du demi-eercle

BCDA et par p celui des cereles entourant les "(3" points critiques a e t a* el. 1 oral, me, qui est un pSle

pour la fonction int6gr6e. Le logarithmique augmentant de - - 2 n ] apr~s

chaque parcours autour des points critiques a e t a*, le signe - - provenant du sens n6gatif de parcours sur les cercles C~ et Ca, nous avons :

. . . . :! '-'=l.l<, §

les grandeurs absenies sous les signes somme 6tant

log f(~) d~.

On verifie sans difficult6s, par application de deux theor~mes classiques, que les integrales sur C~ et C a sont nulles ainsi que l'int6grale

S o log f(~) d~ DA ~('~ ~--~-~)

lorsque pet (1 i R tendent vers z6ro.

nous avons apr~s avoir constat6 que les int6grales sur CD et DA s 'annulent avec t / R :

= lira - P + + 2 n J z l o g - - - R- - -~oo IP a

t a" - - z ltm f . q- -zl z l ~ ~ + t~---~ .i c , [

Par ailleurs :

logf (0) p - - ~ 0 d (.'1 z '

d'ofi, finalement, l'int6grale portant sur les segments AK et LB de l 'axe imaginaire :

(28) logf(z) lim f l o g f[j~)d~

1 ( a - - z ) ( a " - - z ) t -f- z log " + ~z log f(0).

t / a

On g6n6ralise sans peine aux cas off f(z) poss~de plusieurs racines a~ et a~* et plusieurs racines simples b~ obligatoirement r6elles. Ainsi, dans le eas le plus g6n6ral, nous avons :

- - z / , : log f(j~) d ~ (_99) log f(~) = ~ P ~(~__ ~ +

log(a~--z)(ai --z) +- l o g - ~ - + 5 log f(0). t a / a i * o~ -

Si z tend vers l 'axe imaginaire, nous pouvons reprendre le calcul effectu6 au debut de cette etude, l'int~grale figurant dans (29) devient une int6grale por tant sur une fonction complexe d'une variable r6elle au sens de partie principale de CAUCHY et le

pble ~ = z contribue par ~ log f(z) au second membre

de (29), doric, finalement, pour z = ]y nous avons :

(30) l o g f ( z ) = - - ~ _ j _ o o | ~ ( j ~ j y )

+ 2 E . . + 2 E . . +'o,~f!0). 4 r

On notera que log f(0) est r6elle, f(0) 6tant r~elle. Nous avons, par ailleurs, dans cette relation :

log f(,.)= ,,(O,y)+ ]~(O,y), log f(~)= , , (0,~)+ i,,(O,~), log fro) = u(0,0) ;

d'ofi :

y / s +|v(O,~)jd ~ u(O,y) + j v ( 0 , y ) = - - ~ P j ~ ] ( | ~ _ j y )

+ 2 E . . . + 2 E . . - + " ( ~ 1 7 6

- - 267

7/~

En s6parant parties r6elles et imaginaires, nous avons (*):

!t _ 1 " ~ 1 7 6 ~ , lO ,~q) P . . . . . t|~]

- -2 . logl(a~__jy)(a4, jy)[

bot

ft.

(,3~)

v(o,: / ) = 7: . , - o o ~ ( ~ - - u)

t Z (a i - - j y) '~ai * --- ]'y) + j ,. l~ +JY)

t ~ bot--jy +]- l~ b ~ + j y

On peut 6erire autrement les int6grales dont la forme d6coule directement des int6grales de HH.nEnT. En effet, consid6rons la 2 e int6grale :

_ ~ u(O, ~) dB --

~q, + ; . - - ( - - ~ , - - y )

eomme u(O, - - B') = u(O, y) finalement, elle devient 6gale h :

d'ofl, pour le premier terme du membre de gauche de (31):

r6sultat obtenu au cours du premier paragraphe de cette 6tude.

On peut donc 6crire :

(32) ~,(O,y)= ~Y P ~ ~ ~(0, ~ ) - ~(0,y) B*__y2 d

+ j ~ + ] ~ �9 . . , , .

On observe alors que u(O, :~) &ant r6guli~re, la quantit6 sous le signe int6grale est born6e darts tout l 'intervalle ; doric, au sens de l'int6grale de RIEMANN, nous avons finalement :

2 y ~ ' r 1 6 2 u(0, 7])-- u(0,y) oh (32') v ( 0 ~ ) = - ~ _ ~ u ~ a ~ + . . . . .

Des consid6rations analogues s'appli.quent h la Si premi6re relation (31), qui devient :

on a : (33) u(O,y)_u(O,O)= ~ y ' p ] ~ " ~ - - ~ ( 0 , ~ ) d ~

7: J o ~(~--Y~) et

F . - H ' , H A Y M O N D [ A N N A L E $ D E S T ~ L ~ C O M M U N I f ' , . A T I O N . ~

]~ tude d u d~ iphasage .

Si f(z) correspond h un syst~me dit h minimum de phase, h toute att6nuation correspond un d6pha- sage bien d6termin$, dont le calcul s'effectue par.la relation de BAYAI~D-BODE correspondante, ~critc avec ]es variables que l'on d6sire.

Nous dirons avoir aitaire h un syst~me (c d6pha- seur pur ,) si l'int6grale de BAYARD-BOD~ est nulle sans que v(0, y) soit nulle ; alors, d apres (32), elle a pour expression :

I Z ial--jy)(ai*--jy) (34) ~,(0,y)=~ . log(a~+jy)(ad +jy) $

I ~ bet - - jy . + ~ log br162 + j y

L'int~grale de BAYAnD-BoDE est nulle pour tout y si u(0, ~) - - u(0, y) = 0 ce qui exige u(0, y) = u(0, 0) = constante que nous 6galerons ~ u(0). Donc un (( dgphaseur pur ~) est caractdrisd par une attgnua- tion constante.

Calculons d 'apr& (34) la fonetion de transfert f(z) d 'un tel syst[me. Nous avons :

log f(0 + jy) = u(0,0) + j v(0,y).

En posant u(0, 0) ---- log k, et compte tenu de (34), nous avons :

?__ (a~--jy) ~I ba ~ j y f(O+jy)=kll ta~.d-jy)(a~ ~ + | y ) ba + j y

et finalement :

�9 ~ ( a ~ - - z) ( ad - - z) ~I b~ - - z (35) f(z) = k 1-[ (a~ + z)(a~* + z) b ~ '

qui est l'expression g6n6rale de ]a fonction de trans- fert d 'un syst~me d6phaseur pur.

Calculons le d6phasage v(0, y). Consid~rons le terme en ai, ai*. On place le point z sur l 'axe imagi- naire (fig. 5).

AB reprdsente a i - - z,

AB' , a~ - - z,

AC , ai + z,

AC' ,, a~ + z.

L 'examen de cette figure montre imm6diatement q u e :

a i - - z = p e - J 0, a d + z ~ p e i 0 ,

p = lAB{ = {OC'{.

OD = ~, DB = B' D = ~.~,

- - 2 2 . . . 2 Z . . . t g 0 : Y - - ~ ~ r 0{4

(*) Puisque si log H(z) = U + iV, log H(z*) = log H*(z) ~ U - - JV = log * H(z) 1 t H par cons*quent : U = t~ logH(z) = ~log H.H* = log [HI; l V = Jlog H(z) = ~ log ~-,.

- - 268

t . 8, n o 10, 1951]

Pareillement :

a~ q- z = B el~,

off

TRANSF'ORMI;:F.$ Dr-, HILBRIRT ET RELATIC)N,~ DE B A ' V A R D - I I O D E 8 t1 '~

ai* - - z = I t e--J'~,

#+ = lOCI = IAB'I, tg ~b = g + ~i.

Finalement :

~1o oe-~ORe-i~ - - 9 ( 0 + ~ b ) , v(0 ,y )=~ g pelOBe+l~-- -

d'ofl :

(36) .(0 y ) = - - - 2 Eare lg y-~ , + a~c ,~:~+~, ~<7,_,

~t~, [3~ 6tant deux constantes positives.

b : t - - jy correspond le d6phasage : Au terme log b~ d- jy '

(37) v(O,g) = --- 2 arc tg (y/ba).

Pour r6sumer : le dephasage d'un syst$me (( ddpha- seur put ~) n'est pas une [onction arbitraire de la

B (~a i )

l ~ q C i u \ 'D

FIG. 5.

2 - - - - y /b~ .

[rdquence y ; e'est une [onction bien ddfinie, qui ddpend des param~tres ~, ~ et bot, dont la [orme la plus gdndrale est :

�9 (38) v ( O , y ) = - - 2 l ~ . (arctgY----~-i~,

q- arc tg ~i / ~

De (36) on tire :

v, (O,y) = Iz v(O~y) 2y/oq �9 2 - fail*-- y*'

et de (37):

.(0, y) v~(0, y) = t g - - --

triques par exemple - - dont la fonction de trans- fert cst de la forme g6n6rale (35). C'est un problbmc de synth6se, qu'il n'est pas possible d 'aborder dans los limites de cet article.

I~a conclusion de cello 61.udc cat que le d6pha- sage d 'un systgme physique lin6aire stable le plus g6n6ral est :

2y [ ~ u(o, "D-- u(O,y) , (39) ~(0, y) = ~- . , ~ - ~ . ~ a~

[ ~ Y - - ~ ' +~, - - 2 arc t g ~ ~-arc tg y ~i

II sort du cadre de eet expos6 d 'examiner la topologie des systgmes physiques - - r6seaux 6lee-

-{- ~ arc tg ~ ] .

Puisque l'int6grale est nulle pour u(0, ~1) cons- tante, il est naturel d'effectuer une int6gration par parties, qui met t ra en 6videnee la d6riv6e de u(0, -4) qui seule participe donc ~ l 'existence du d6phasage v(0, y). Ceci est classique ; nous le rappellerons rapi- dement.

On peut 6crire :

~ u(0, -4) - - u(0, y) d~ . "4 2 _ ?fl

p oo - ' C 4 ~ j

~, ~ q - - y 0 Si on pose 0 = l o g ~ log~}_~y-- = l o g e o t h ~ ,

l'int6graIe devient apr6s int6gration par par t ies :

2 f o o d u 0 (40~, , v ( O , y ) = ~ / o ~Iogcotg~dO

l~tude de l 'att~nuation (ou du gain) .

Consid6rons le cas d 'un d6phasage donn6 et cons- tant, de valeur %.

D'apr~s (33), en supposant que f(~) n'a pas de z6ros dans r >~ 0, on a :

(41) ,,(o,y)-- ,,(o,o) = - - ~ 2 y 2 p A ~ 1 7 6 ~od-4 -4(71 ~-- y~)

2y z ~o ~ d-4 ~oP . -41-4~--- yff

Explieitons le ealcul :

P P r ~ 4 § .... !/ ..... 2y, - - - + ~ = I nm f - ' 2 II<,~'. ~lgl + I"~ ~-4--,!N - ~

2y~ ~--~o R--.-~0

+ llo~ (~ - y ) lS~ + ll.~ (-4 +,,)I~ 1 2

= --- ~ [log y - - log r

d'ofl :

lira tuiO, y ) - - u[O,r = 2q~o [log y - - tog r a-.--~o 7~

- - 269

9/I t

Par cons6quent :

(42) u(O,y) _=-- ~ 2 ~o log y + C re.

On a donc, si la constante es t prise 6gale h log C :

log f(0 -4- jy) _--- 2~~ loft y -{- j %, + log C, 7~

d'of~ :

F ]. f(O+jy)=Cy-Wei~'=CLy ~ eosq~o+jy sin~o

Cette relation montre que les seules valeurs admissibles pour ~0, afin que f(0 + jy) soit une fonction rationnelle jy, sont des multiples de ~/2.

Pour r = k:: [2, on a :

f ( z ) = z ~, kentier<>0.

On peut dresser le tableau ci-dessous :

~0 = ~/2 f(0 -f- j y) = j y C, f(z) = Cz ~o = ~. f(0 + i.~) = -- y' c = (! y), c , f(z) = c , ~ o = 3 n / 2 f ( 0 + j y ) : - - j y S C = ( j y ) a C , f ( z )=Cz ~

C C ~ o = ~ / 2 [ (0+ iy~ =:--jy- 'C--jy, f (z)= z .

Nous voyons qu 'une fonction imp6danee h phase eonstante ou une fonction de transfert h d6phasage constant ~o satisfait h la loi fondamentale :

(~3) f(~) = ~,

d'ofl :

(44) ,,(0,y) =/,, lo~:! = ~,.0.

Dans le plan (x, O = log y) avee y ~ 0, la loi de l 'at t6nuation est done une droite de pente k. Nous voyons, en outre, que k est obligatoirement un nombre entier positif ou n6gatif.

Si on rappelle qu 'une fonction imp6danee est une fonetion rationnelle dont les puissances des termes de plus haut degr6 different de i au plus, les seules imp6dances ou admittances r6alisables ayant une phase eonstante sont done : k ---- 0, une r6sistanee ; k----1, une eapaeit6 (ou une auto-induetanee) ; k = - 1, une auto-inductance (ou une eapaeit6).

R6solvons le problbme inverse, e'est-h-dire ealeu- Ions la phase eorrespondant h u(0, y), donn6 par (44). D'apr~s (33), nous avons :

Jo ~ -- y~

e calcul de l'int~grale, reproduit en annexe I, donne : ~,(0, y) = kr:/2 qui peut se d6duire direc-

d u tement de (40), ou~-0--- -k .

Seul, le eas u(0, y) ~ 0 conduit h annuler l'int6- grale de H~LaURT, telle que donu6e par (33), par exemple.

F.-H. RAYMOND [ANNALES DES Tf~Lf:COMMUNICATIONS

Consid~rons done ce eas-l'~, qui est sym6triquc d u

du eas d - ~ 0 r e n c o n t r 6 au t o u r s de ] ' 6 t ude

pr6c6dente. Pour un syst~me ayaut des z6ros dans d~z > 0, nous avons, d'apr~s (31) ou (40):

u(0,y)-- u(O,O) --- - - 2 E lo.-I(a~-- jy)tai" - - jy~

b0t - - 2 E log /~u - -JY

on "-

(47) , ,(0,y)--, ,(0,0)

, F ~ .]" = - - E h)g L ( , , _ j~(-~-~. _ j y i ] ~. �9

Or~

(48)

done :

(49)

u(O,y) = log If(O +JY)I I

:=~ log f(0 + lY) f*(0 + J y ) ;

log f(0 + iy)f*(0 + j y ) f(0) f" (0)

Z (a,--jy)(ai"--jy)[ ]" = 2 log , �9 �9 �9 r a /a i

" , __ jy *

Puisque ~,(0, y) ----- 0

t(0 + jy) = e, ,(n.v~ e l , ( o . ~

est une fonction'r6elle de la variable complexe Jy. On pent 6erire :

ba--jy ba + Jy '2 lag ba ba

l~ (b~ + JYl] [3" 2 log (ai - - j y) (ai ~ -- J y) (ai* -~ j y) (al -~ j y) (aiai*)"

__ log [(a~-- j y) (ad +jy)(oi*--jy)(a,+jy)](a~ aC) 2 [ . . . ] ;"

donc (59) permet d'6crire :

f(0 -4- j y) (b~--jy)(b~ +jy t(0) ~4

(ai - - j y) (ai ~ ~- j y) (a~* - - j y) (a~ -4- j y) ( a ~ ' ) '

qui, pour y r6elle, est bien une fonetion r6elle, et qui possbde les z6ros ba, ai, a~*, dans le demi-plan de droite. En remplaqant par z la variable |y, nous avons finalement :

fCz) = fro) ( b~ - - z)~( b~ + z)

• (a i - - z)(a~" + z)(ad -- z) (a~ + z)

-- 270 - -

t. 6 n o 10, 1!)511 T B A N S F O R M E E S D E J I l l , B E R T E T

ce qui m o n t r e que f(z) est le p ro&t i t de t e rmes de la formc :

e t

(/,2 2 , *2 - - z ) t a i - - z 'z)

Ce dernier f ac teur peu t s"eenre" encore :

~, (a~ + =)] r(,~ - - ~)(a~ + ,.)], soit, en e f fec tuan t ]es produi t s darts chaque crochet :

o i ) j . [aiai -Jr- z ( a i - - ai ) - - z ~] [ a i a i - - z ~ - - z ( a i - - * ]

Posons :

p = a i o i , a t - a i = 2 i

p i = IOBI, ~ i = 1)B ( ense r6 fd ran t f i l a f i gu reS) ;

nous avons alors :

[~, ~+ ' )~ , j= l =~'3 ~ " _ - - fp, - - =- - - 21 P~ < O i l :

�9 2 _ _ _ ~2) _ _ _ [(p~ .... : ) + 2|p,=1 [l~., 2.it3,:]

2 = p, + =2.2(~-2p.~ + ='.

Mais : 2 p; - 2 p~ = =, - p.~,

done :

+ ' . , > - - 5 2) (/If -- :~ /" i " 2 o

p~ + 2 ( ~ , - 13~ ) : + : =-=

(,:__,,.~ ,)2 ~,~

Fina lement :

/L--~ = I1 ~t II '4

Pour z = IY, nous avons z ~ = - - y ' ' , z ~ = y ~ ; on a b ien alors, pour f(0 q- jy), une fonc t ion r6elle de la va r i ab le y.

Si ,(0, y ) = kx /2 , nous avons f ina lement la fo rmule plus g6n6rale su ivan t e :

f(z) i - = ~ I I ' " H . . . . rio)

qui est la forme la plus g6n6rale de la fonc t ion de t r ans f e r t d ' un sys t~me ~ d6phasage cons tan t , ou d 'une imp6dance ou a d m i t t a n c e h phase cons tan te . A rioter, d 'ail l~urs, que l ' ob l iga t ion d ' a v o i r pour f(z) une fonct ion ra t ionnel le impl ique que k soit un ent ier positif , n6gat i f ou nut.

A N N E X E

L ' in t6gra le (45) s'6,crit s u c c e s s i v e m e n t :

- - + = ( ] , + &l. ' ' ~ r ~ 2 I '

R----),oo

R E L A T I O N S D E B A Y A R D - B O D E

O n a :

f 11 = e--+olim ~--e log y-~ ~ __ yZ

= aim I f " - ~ - log ~ [ 1

1.ore

It

I y ] d ~ ;

comlne ~q est eompr i s ent re r et y - - , r - - est a q - - y

n6gat ive. Ef fec tuons done le c h a n g e m e n t de va- r iable su ivan t :

aq' = y - - ~q.

Nous avons : ~" I - - t

1 , = lira (2 ~, ) - I , f ] " ~ ( ~ ] - - ~ ~ ( - - d ~ ' ) X r " J v- -~ \ Y /

- 1 , 1 [.,.-, +] = lim (2V) -1 log y ~ d l o g - -

oh e< ~'< y--e.

2! t I ~' Posans 0 = log "t~' ; on en d6duit :

.~_/= I :1 ~ ' 2 2y. I = e o, ",1' '> -f- 7' e ~ y - l + eO '

y - - ~q'_ ~ v l ' = l - 2 eO--t . 0 1 y . . . . . y I + e 0 c O + t - - 1 1 1 7 ] = 0

c a l h 2

P o u r ~ ' = y - - r :

2 y - - y -f- z Y -4- ~ 0 = log Y - - r = l O g ? l _ _ ~ 0",

Pour ~q' = e :

2y 0 = l o g '" ----~ oo ;

d o n ( " :

2 l t = lira (2V) - I th dO c--...~ o

R - - - ~ o o

f R l o g c o t h dO. 0 = lim (2y) - I

r J r R - - - + , o o

Le calcul de I~ ne pr6sente pas de diff icuh6s ; nous avons :

1o = lim (2y)-t log d~ " e--~o +. r ~ ~- Y ~ + Y

R--- -~co

R > ~ q > y + e .

Nous pouvons 6crire i m m 6 d i a t e m e n t :

1o----- lim (2y) - t ~ d log ; - e---~o +r tog ~ ~ + Y /

R-----~oo

en posan t :

~ - - Y l o g - ~ = coth 0 , 0 = log + y , Y

pour ~ = y + r :

0 = log r ~ ~ .

2 7 t

pour ~ = B :

0 - - - log 1 = 0, t

1~ =2 lim (2 y)-~ f__oo log coth ~ d O.

Posons :

0'---- ~ 0 , dO = - - d O ' ,

0 - - 0 ' O' c o t h ~ = c o t h ~ = - - c o t h ~ > O:

oo O' I~ = lira (2 y)- ~ log coth ~- d 0'.

Finalement :

2 f o o 0 k ~ = - k / 0 log coth ~ d 0 . . . . k (46) ,,(o,y) ~ ~ ~- ~.

Article propos6 le t9 d6cembre 1950.

Manuscrit, rdvisd, re~u le t3 ]uillet t951.

F.-~I. l] AYMOND [ANNALE$ DES T~L~.COMMUNICATIONS

B IBLIOGRAPHIE

BODE (H. W.), , Analyse des circuits et dtude des ampli- ficateurs it r~action. (Network analysis and feedback amplifier design.) D. Van Nostrand Co Inc., New-York (1945).

BAY~aD (M.), Relations entre les parties r6elles et imagi- naires des imp6dances et d6termination des imp6- dances en fonction de l 'une des parties. B. G. E., 25 mai 1935, p. 659-664, t. XXXVII , n ~ 21.

MUnAXAM~-CosRI~CTON (M. S.), Relation entre l 'ampti- tude et la phase dans les circuits 61ectriques. (Rela- tion between amplitude and phase in electrical networks.) R. C. A. Bey. U. S. A. (ddc. i948), 9, n ~ 4, p. 602-631.

GUr~.LEm~ (E. A.), MatMmatiques appliques it l'analyse des circuits. (The mathematics of the circuit analysis). John Wiley and Sons Inc., New-York, 1950, chapi- tre 6.

T~Tcar~Aasca (E. C.), Introduction h la tMorie des int$- grales de Fourier. (Introduction to the theory of FoumEa Integrals.) Ox/ord Clarendon Press, 2 e 6dition (1948).

COMPTES RENDUS DE LIVRES

Guxr~IEa (G.), l~l~ments de physique moderne tMorique, III . Statistiques quantiqucs. Bordas, Paris (195t), t74 p., 47 fig. Prix : 1.200 F. (Collection cc Bibliotheque de la Science moderne ~,, dirig6e par Albert Mercier.)

Ce troisi~me fascicule ach~ve le petit trait6 de physique moderne qui, comme nous l 'avons d6jh signal6 lors des parutions des deux premiers fascicules, constitue un excellent abr6g6 des th6ories de la microphysique.

L'auteur nous expose cette lois, et toujours avec autant de clart6, les mficaniques statistiques de Bos~- EZNSTEINet de FEnm-D~Rac,les applications des quanta h l'6tude des chaleurs sp6cifiques, le rayonnement du corps noir et la formule de PLANCK, la th6orie ~lectro- nique des m6taux.

Ecri t par un p6dagogue qui domine parfaitement son sujet,.cet ouvrage deviendra rite classique et initiera au morns une g6n6ration d'ftudiants aux subtiles th6ories mol6culaires, 61ectroniques et atomiques. On dira bientSt ~( le Guinier )), comme on a dit et on dit encore : , le Bruhat ~,.

S. COLOmbO.

FO:RTET, ( R ) , A) Application des Thdories mathgmatiques, I. Calcul des Probabilitgs. Service des Publications du C. N. R. S., rue d'Ulm, Paris (1950). 330 p., 12 tables num., 1t9 r6f. bibl. Prix : 1.200 F.

L'auteur explique le but qu'il s'est propos6 darts un avant-propos dont nous extrayons les lignes suivantes :

({ Ce livre a 6t6 $crit ~ l 'intention des ing6nieurs, des biologistes, des statisticiens, d 'une fa~on g6n6rale l 'intention de tous ceux, de plus en plus nombreux, qui doivent utfliser le ealeul des probabilit6s, parfois dans ses parties les plus avanc6es, sans gtre cependant des probabilistes ni des math6maticiens de profession ....

On a r~tig6 cet ouvrage de far qu'il soit lisible et utilisable par toute personne poss6dant les

connaissances math6matiques du certificat de Math6- matiques g6n6rales ....

Ce qui est le plus important, ce n'est pas la rigueur math6matique, mais la rigueur logique ....

La simplification essentielle que nous nous sommes permise a 6t6, consid6rant que des utilisateurs ont surtout besoin de d6finitions et de r6sultats, de suppri- met la plupart des d6monstrations .... ~

Ce programme a 6t6 tr~s bien r6alis& L'auteur a laissfi de c6t~ plusieurs chapitres consid6r6s comme peu utiles aux pratieiens, notamment les probabilit6s g6o- m6~riques. Tousles termes principaux sont accompagn~s de leur traduetion en allemand et en anglais.

A l'intention des lecteurs qui d~sireraient consulter des livres ou m6moires plus d6velopp6s et plus sp6eiatis6s, par exemple afin de trouver les d6monstrations d e s th6or6mes 6nonc6s sans d6monstration dans son ouvrage, M. FORTET a dress6 une liste bibliographique situ~e la fin du volume ; chaque chapitre se termine par une notice bibliographique oh sont signal6es les publica- tions de la liste off le lecteur pourra trouver les d6velop- pements qui se rapportent aux divers points trait6s dans le chapitre.

L'ouvrage ne contient malheureusement pas de tables num~riques, mais donne simplement une liste de douze de ces tables. Encore ces tables ne semblent-elles pas toujours choisies parmi les plus r6centes : ainsi

mr pour les tables de e--roT. , l 'auteur indi'que les tables de

SOPEB (Biometrika, 1914), alors que l'on poss~de depuis longtemps des tables beaucoup plus 6tendues et d'une acquisition beaucoup plus facile :

E. C. MOLIr~A, Poisson's Exponential Binomial Limit (New-York, 1942 ; fourth printing t947).

E. VAULOT.

2 7 2