Transparents Bruit M2 CSA

7/25/2019 Transparents Bruit M2 CSA

1/118

Le bruit

enlectronique

Grard [email protected]

Tel : 05 56 84 57 58/59

Dept GEII 15 rue Naudet CS 10207

33175 Gradignan cedex
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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1) lectronique pour linstrumentation : du capteur auprocesseur

2) Les tlcommunications analogiques et numriques

Le programme dlectronique des Depts. GEII fait apparatre

deux grands sous-ensembles

Ces deux sous-ensembles sont concerns par le bruit. Le bruit

limite les performances des dispositifs lectroniques.

La prsentation est ici principalement ddie au bruit eninstrumentation avec un trs bref aperu du bruit dans les

transmissions numriques. La prsentation permet de passer en

revue les concepts de base utiliser pour traiter le bruit en gnral.


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Processeur(mP, mcontrleur,

DSP, FPGA, )Interfacehomme-machine

Numrique

Analogique

Numrique Analogique

Processus

industriel

capteurs

Module de

puissance

Programmedlectron ique

Programme dlectr on ique -

lectr otechnique

Programme de Physique-lectron ique

Programme dlectron ique

Programme d info-industrielle

Leprogrammedautomatiqueest le

trait dunion entre les

diffrents sous

ensembles : il les

rend intelligents

Programme de physique

domaine concern par le bruit

Bruit et instrumentation


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1- Problme typique dinstrumentation : un capteur et un amplificateur

oprationnel

2- Quelques capteurs et circuits intgrs de linstrumentation

3-Bruit des composants lmentaires : rsistances et diodes

4-Rpartition du bruit dans le domaine des frquences : introduction de la densit

spectrale

5-Bruit dans les transistors

6-Modlisation du bruit dans les AOP

7-Manipulation des densits spectrales, bande passante quivalente de bruit dun

amplificateur, facteur de bruit dun amplificateur, facteur de bruit dune chane

damplificateurs,temprature quivalente de bruit

8-Bruit en sortie des montages non inverseur et inverseur

PLAN


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9-Etude de cas : lacclromtre et son conditionement

10- Transmission numrique et bruit : un bref aperu

11-Dtection synchrone

Complment 1 : Fonctions de corrlation : auto corrlation et inter corrlation

Complment 2 : Densit spectrale en sortie des montages non-inverseur etinverseur

Complment 3 : Valeur crte dun bruit Gaussien et crest factor

Bibliographie

Prrequis : Thormes de Norton et Thvenin, valeur efficace dunsignal, srie

de Fourier, calcul intgral, notions de probabilit et statistique

PLAN (suite)


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1-Problme typique dinstrumentation :

un capteur et un amplificateur oprationnel


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Problme typique dinstrumentation

Un capteur transforme une grandeur physique en une grandeur lectrique, le

traitement numrique de la grandeur physique ncessite gnralement un

conditionnement dont le rle est de rendre compatible les niveaux de sortie ducapteur avec la pleine chelle du convertisseur analogique numrique. Le capteur

choisi pour illustrer lexposest ici un acclromtre.

pleine chelledu CAN

plage ducapteur

Vcmax

Vcmin

VFS

0

)V(V

V)V(VV

cmincmax

FScmincs

Capteur N bitsS/H

Horloge

CAN+_

conditionnement

VsA

refV

cV


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9/118

Lacclromtre ADXL103 est un capteur capacitif

masse

raideurk

m

dd

)(

12

acclration

lectrode mobilepoint dancrage

lectrode immobilelectrode immobile

Quand lacclration est nulle, llectrode mobile est au milieu des lectrodes

immobiles : d2=d1.

d1d2

d2 d1

Quand lacclration est diffrente de zro, llectrode mobile est dplace soitvers la gauche soit vers la droite suivant le sens de lacclration: d2d1.


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1)( 21 CCRSi alors et)tcos(

d

dd

EV

21

s

21

2

2 dd

E

Vout

lectronique du capteur acclromtre

masse

raideurk

mdd

)( 12

acclrationavec: KVout

E1

C1

C2R Vs

multiplieur

Vout

Filtre passe basFrquence coupure

Fc


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Plage de mesure + rsolution nombre de bits N

1) On choisit une rsolution (exemple : mesurer une acclration 0,01g prs).

La plage de mesure (exemple : de1g 1g) et la rsolution fixent le nombre debits N du convertisseur analogique numrique, (N=8).

Plage de mesure + sensibilit capteur + pleine chelle CAN conditionnement

2) La plage de mesure, la sensibilit du capteur (exemple : 1V/g) et la pleine

chelle du convertisseur analogique numrique permettent de dimensionner le

conditionnement.

Mthodologie


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Le conditionnement

Ralisation du conditionnement

Dans la dmarche prcdente, nous avons oubli que nous vivons la temprature

de 300K et que les capteurs et amplificateurs sont des sources de bruit !

1

2ref

1

2cs

RRV

RR1VV

+

_

R2R1

Vref

VcAOP

)V(V

V)V(VV

cmincmax

FScmincs

+_

conditionnement

Vc VsA

refV cmincmax

cmincmaxFS

1

2

VV

VVV

R

R

cmincmaxFS

cminFSref

VVV

VVV

Une ralisation possible


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Le signal de sortie du capteur fluctue dans le temps. Les fluctuations ont deuxorigines : 1) mcanique, llectrodemobile vibre* et 2) lectronique.

*valeur quadratique moyenne des fluctuations : aB2

21 Tk2

1)d(dk

2

1

123B JK101,38k

x : constante de Boltzmann, aT : Temprature ambiante


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Le signal Vs lentre du CAN est bruit, le bruit provient du capteur et de

lamplificateurralisant le conditionnement.

Question: le nombre de bits impos par la rsolution est-il compatible avec le

bruit du signal ? Si la tension de bruit est plus grande que le quantum le CAN est

sur dimensionn.

Conclusion : il faut se familiariser avec les donnes constructeurs pour tre en

mesure dvaluerlordrede grandeur du bruit.

1 quantum

t

Vs

2,5V

Signal Vs pour une acclration nulle

VFS=5V

?

La tension de bruit est-elle infrieure ou suprieure au quantum ?


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2- Quelques capteurs et circuits intgrs de linstrumentation

Capteur de temprature : AD590

Capteur de champ magntique : AD22151

Photodiode et amplificateur intgr : OPT30

Amplificateur dinstrumentation : INA101

Multiplieur : AD534


17/118


18/118


19/118


20/118


21/118


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3- Bruit des composants lmentaires :

rsistances et diodes

B it th i (b it J h ) d i t


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Bruit thermique (bruit Johnson) des rsistances

Origine physique:Dans la limiteTa0les atomes sont immobiles. A la temprature

ambiante (Ta=300K), les atomes vibrent autour de leurs positions dquilibre. La

vibration des atomes entrane une fluctuation spatiale de la densit lectronique

gnrant ainsi une fluctuation de tension.

t

e

Ta=300K

eR

Rsistance avec bruit

e

Rrsistancesans bruit

source debruit entension

teR

uQuand Ta0K, le

bruit disparat


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Thermal noise

Thermal noise Johnson or Nyquist-noise

Phys Rev, 32 (1928) no 1, pp 97-113.

Origin of thermal noise : Brownian motion (1827) of free charge carriers (electrons

1897)

Electrons within a conductors lattice make a random walk at T > 0K.

Average kinetic energy of an electron:* 21 3

2 2thE m v kT

We observe in a bandwidth f a variance of the

voltage or current fluctuations given by :

= 4kTRf or = (4kT/R)f

These expressions need a quantum correction if hf is comparable to kT

2

n

4hf f e R

hfexp 1kT

kT6250 GHz

h

Thermal noise exists with IDC=0


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Extension to Noequilibrium: free carriers are subjected to an external electric field

Diffusion noise is caused by collisions of the carriers with the lattice :

Thermal noise

I 2

m

4kT 1S

R 1 2

mmean time between

collisions of free charge

carriers

I

4kTS

R for f


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On peut supprimer les parasites lectromagntiques mais pas le bruit.

Cage de Faraday

moteur eTa=300K R t

e

eTa=300K Rmoteur te

parasites

B i d ill ( h i ) d di d j i l i


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Bruit de grenaille (shot noise) dune diode jonction polarise en

directe

t

IIImoy

source debruit encourant

diode avec bruitdiode sans

bruit

I

Imoyi

i

t

Origine physique : Le bruit de grenaille est d la fluctuation dans le temps duflux de porteurs passant duncot lautrede la jonction (I=dQ/dt). Le courant

est limagedu peloton du tour de France : le nombre de coureurs passant, par

seconde, devant un observateur immobile fluctue dans le temps.


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Shot noise is due to the corpuscular nature of charge transport.

1918Walter Schottky discovered shot noise in radio tubes.

In a tube, under steady-state conditions, the time-averaged current is constant, but

arrival times of the electrons are not equally spaced, because the electrons leave the

cathode at random times.

This leads to fluctuations in the measured current, which can be described by simple

Poisson statistics.

i(t)

tt1 t2 t3

iii t = q t-t

Shot Noise


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Shot Noise

If the average transit time is and G is the generation rate (s-1) of electrons at the

cathode, then we have at the average = G. crossing electrons underway.

The noise is in the emission-time and also in the transit-time due to initial velocity

fluctuations.

2

2 2

2

Nq Nq qI= I= I = N

2

2 2

2

q qPoisson : N =N I =N =I

C(t) = 0 for t > t0 (no overlap in populations) and for 0 < t <

2

C t = I 1- t Power Spectral Density SI


30/118

C(t) = 0 for t > t0 (no overlap in populations) and for 0 < t <

2

C t = I 1- t Power Spectral Density SI

I0

4qI tS =4 C t cos tdt= 1- cos tdt

0

2

I

sin fS =2qIf

IS =2qI for f 1

Shot Noise


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4- Rpartition du bruit dans le domaine des

frquences : introduction de la densit

spectrale


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Dans le cas des signaux priodiques non sinusodaux, les coefficients de la srie de

Fourier renseignent sur la rpartition de la puissance dans le domaine des

frquences.

Question : comment obtenir une information sur la rpartition en frquence dun

bruit, encore appel signal alatoire ?

Problme : le bruit nest pas priodique et on ne dispose pas dune expression

analytique dans le domaine temporel. Intuitivement, la valeur moyenne dunbruit

est nulle, par contre le carr de la valeur moyenne est diffrent de zro.

eTa=300K

t

eR

t

e2


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La valeur quadratique moyenne , encore note e2, est une information

intressante mais ne renseigne pas sur la rpartition du bruit dans le domaine

des frquences.

On peut par contre chercher la rpartition de la valeur quadratique dans le

domaine des frquences. Pour cela il suffit desinspirerde lexpriencesuivante,

faite sur des signaux classiques.

nobservatioddurelaestT

dtteT

ebruitdemoyenneequadratiquValeur T

T

'

)(1

lim0

22

eTa=300K

t

eR

t

e2

2e

Rappel sur la notion de valeur efficace et quadratique moyenne


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Rappel sur la notion de valeur efficace et quadratique moyenne

Conclusion : Les 3 sources ont mme valeur efficace car elles produisent la mme

puissance dans la charge R.

R

e(t)E

i(t)

tR

ERdsdissipemoy.puissanceP

2

.

2

)(. Etede.quad. moyVal

t R

e(t)2E

T

i(t)R

Edttite

TP

T2

0)()(

1

20 2 )(1)( EdtteTtemoy. deVal. quad. T

e(t)

R

t

E

E

T/2T/2

i(t)R

Edttite

TP

T2

0)()(

1

2

0

2

)(

1

)( EdtteTtemoy. deVal. quad.

T

0

)(

n

2n

2

stemoy. deVal. quad.Bessel-Parseval

Les 3 sources ont effectivement la mme valeur quadratique moyenne (carr de


35/118

domaine temporel domaine frquentiel

f

f

s0

s1

[en V]

s1

f

s2 s3 s41/T

t

t

t

[en V]

Les 3 sources ont effectivement la mme valeur quadratique moyenne(carr de

la valeur efficace) et pourtant la rpartition de la puissance dans le domaine des

frquences est trs diffrente dans les 3 cas. La rpartition en puissance dpend

de la distribution du signal e(t) dans le domaine des frquences. La

dcomposition en srie de Fourier de e(t) renseigne sur la distribution :

Avec =2/T, sn et jn sont respectivement lamplitude et la phase de

lharmoniquede rang n.

)cos()(

0n

nn tnste j


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La valeur quadratique moyenne dun signal peut scrire soit dans le domaine

temporel soit encore dans le domaine frquentiel :

0

22

00

02

2)cos(1)(1...

n

nT

nnn

T sdttnsT

dtteT

moyquadVal j

La puissance dissipe dans la rsistance R se met sous la forme :

La quantit est la val. quad. moy. de lharmoniquede rang n, est

la valeur efficace.

2/2ns 2/ns

0

22

2

1

n

ns

RR

EP

2


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Question : Comment accder aux val. quad. moy. ?2/2ns

Rponse: en mesurant la val. quad. moy en sortie dun filtre passe-bande defrquence centrale variable.

n/T

1

dfMesure de la

valeurquadratique

frquence

filtre passe-bande

t

E

E

T/2T/2

e(t)

2/2ns

f1/T

Val. quad. moy.des harmoniques

[en V2]2/

24s

2/23s2/22s

2/21s

Quand on remplace le signal priodique de priode T par un bruit lectronique


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Quand on remplace le signal priodique, de priode T, par un bruit lectronique

non priodique, cest dire de priode , lcart entre deux raies tend vers

zro et le signal de sortie du mesureur de val. quad. moy. devient un signal continu

en fonction de la frquence.

T

0

x 105

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

0

x 105

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x

10

f

Val. quad. moy.

ds. une plage df

source de

bruit

Mesure de lavaleur

quadratique

f

df

frquence

filtre passe-bande

1


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On crit que la valeur quadratique moyenne de bruit mesure en sortie est

proportionnelle : 1) la largeur de bande df et 2) une grandeur appele densit

spectrale:

Si la source de bruit est un gnrateur de courant, cas de la diode, la densit

spectralesexprimeen [A2/Hz].

Val. quad. moy. de bruit dans une plage df situe en f = e(f) df

[V2

] [V2

/Hz] [Hz]Les units

La densit spectrale e(f) dune source de bruit est donc la valeur quadratique

moyenne de bruit par unit de frquence, cest dire pour une largeur de bande 1

Hertz.

Densits spectrales des rsistances et diodes


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Densits spectrales des rsistances et diodes

(sans dmonstration ce niveau dtude)

NB : En toute rigueur, les densits spectrales e(f) et i(f) ne sont pas constantes,

elles diminuent aux frquences trs leves.

R

rsistance sansbruit la

temprature Ta

source de bruiten tension densit spectralee(f)=4kBTaR

kB=1,38x10-23JK-1: constante de

Boltzmann, Taen Kelvin et R en W f

e(f)

I

source debruit encourant

Imoydensit spectrale

i(f)=2qImoy

diode sans

bruit f

i(f)


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5- Bruit dans les transistors

Bruit dans les transistors


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Transistors = diodes + rsistances daccs sources de bruit

Un transistor cest au minimum 2 diodes et trois rsistances daccs, en

consquence il nest pas envisageable, pour obtenir le bruit en sortie dun

transistor de le calculer partir des densits spectrales de chaque source. Enpratique, on adopte une mthode similaire celle utilise pour traiter par

exemple loffsetdunAOP

AOP avec offset Loffset est rejet lentre de lAOP

AOP sans offsetTensiondoffset

+

_

+

_



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t

Avec un court-circuit lentre, on

observe du bruit en sortie

transistor t

Avec un circuit ouvert lentre, on

observe du bruit en sortie

transistor

Question : combien de sources de bruit pour reprsenter le bruit duntransistor ?




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Un gnrateur de bruit en tensionpermet dexpliquer le bruit de sortie

Un gnrateur de bruit en courantpermet dexpliquer le bruit de sortie

Transistoridal

Transistor rel

Transistoridal

Transistor rel

Conclusion : 2 gnrateurs de bruit,un de tension et un de courant, de

densit spectrale en(f) et in(f), sont

ncessaires pour modliser le bruit

duntransistor.

Transistoridal

Transistor rel

en(f)

in(f)



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Attention : les units verticales (nV et pA) et linformationBANDWIDTH=1.0Hz nous

disent que les graphes donnent les racines carresdes densits spectrales en(f) et in(f).

Exemple : Ic=1mA, f=100Hz en2x10-17

V2

/Hzet in11x10-24

A2

/Hz



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Remarque : Les graphes de en et inen fonction de la frquence mettent envidence une remonte de bruit aux basses frquences. Le bruit thermique

des rsistances et le bruit de grenaille (shot noise) ont des densits spectrales

indpendantes de la frquence, en consquence, ils ne peuvent donc

expliquer eux seuls la dpendance en frquence des sources enet in.

Il existe effectivement dautressources de bruit en particulier le flicker

noise dont la densit spectrale varie peu prs comme linverse de la

frquence. Ce bruit est souvent appel bruit en 1/f.


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6- Modlisation du bruit dans les AOP

Modlisation du bruit dans les AOP


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Le bruit des AOP est modlis par trois gnrateurs de bruit : deux de courant, de

densits spectrales inn(f) et inp(f) dus la paire diffrentielle dentre, et un de

tension de densit spectrale en(f).

-VEE

VCC

_+

Entre dun AOP JFET (ex : TL081)

Paire

diffrentielledentre

_

en(f)

inn(f)

inp(f)

+ +

_

Modlisation du bruit dans un AOP

AOPsansbruit

NB: inn(f) inp(f)=in(f)



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Bruit en 1/f

Attention : le graphe donne les racines carresdes densits spectrales en(f) et in(f)

et non les densits spectrales.

Exemple : f=100Hz en9x10-18V2/Hzet in8x10-25A2/Hz

Modlisation du bruit Bruit en sortie dun montage non-inverseur


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Montage non-inverseur

Ad = gain mode diffrence

R1

R2

AOPvs

R3

signal

R2

R14kBTaR1

R34kBTaR3

+

_

in(f)

in(f)

en(f)

vs(f)

v

v

4kBTaR2

Sources de bruit du montage non-inverseur

Gain aux basses frquences :

1

2mRR1G

Question : quelle est la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur?

)( vvAv ds

Modlisation du bruit Bruit en sortie dun montage inverseur


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R2

Montage inverseur

R1

AOPvs

Ad = gain mode diffrence

signal

Gain aux basses frquences :

1

2

m R

R

G

R3

)( vvAv ds vs(f)

R2

R14kBTaR1

R34kBTaR3 +

_

in(f)

in(f)

en(f)

v

4kBTaR2

Sources de bruit du montage inverseur

Remarque : la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateurest identique

celle du montage non-inverseur.

v



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Le fait que les densits spectrales de bruit des composants lectroniques ne

sont pas constantes en fonction de la frquence complique quelque peu lecalcul de la valeur efficace de bruit en sortie duncomposant, heureusement

nous disposons aujourdhui doutils logiciels capables de faire ces calculs.

Avant dutiliserces outils, il est bon cependant de stre initier au calcul en

utilisant les datasheets des constructeurs et un crayon. Avant de se lancer

dans un tel calcul il faut apprendre manipuler les densits spectrales, cest

que nous faisons maintenant. Nous en profitons aussi pour introduire : la

bande passante quivalente de bruit, le facteur de bruit dunamplificateur, lefacteur de bruit dunechane damplificateurs et la temprature quivalente

de bruit dunamplificateur.


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7- Manipulation des densits spectrales

Bande passante quivalente de bruit dun amplificateur

Facteur de bruit dun amplificateur

Facteur de bruit dune chane damplificateurs

Temprature quivalente de bruit

Manipulation des densits spectrales : exemple n1


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Nous avons appris manipuler les gnrateurs de tension et de courant,

maintenant il nous faut apprendre manipuler les densits spectrales. Pour

aborder simplement ce problme prenons le cas de deux sources de bruit en

tension et montes en srie dont les densits spectrales sont respectivement e1(f) et

e2(f) et cherchons la densit spectrale quivalente eeq(f)

e1(f)

e2(f)eeq(f)=?



55/118

e1(t)

e2(t)eeq(t)= e1(t)+e2(t)

Pour rsoudre ce problme, on introduit momentanment deux gnrateurs de

tension e1(t) et e2(t) dont les densits spectrales sont gales e1(f) et e2(f). Nous ne

disposons pas bien entendu dexpression analytique pour e1(t) et e2(t), ce sontjuste des intermdiaires de calcul qui disparatront dans le rsultat final.

TT

TT

TT

TeqT

dttete

T

dttete

T

dtteteT

dtteT

moyquadval

021

0

22

21

02

2102

)()(21

lim)()(1

lim

)()(1

lim)(1

lim...

Calculons la val. quad. moy. de bruit de la source quivalente :



56/118

Des galits :

)(1

lim)(

)(1

lim)(

)(1

lim)(

0 20 2

00

00

dtteT

dffe

dtte

T

dffe

dtteT

dffe

T 2T

T 2

1T1

T 2eqTeq

On tire :

0 21T210 eq (t)dt(t)ee

Tdffefe(f)dfe

2lim)()(

0

Lintgrale nous renseigne sur la corrlation des

sources de bruit e1(t) et e2(t). Pour comprendre ce questla corrlation, mettons

par exemple deux rsistances en srie. Le bruit est, comme nous lavonsdj dit,

d aux fluctuations spatiales de la densit lectronique, dire que les sources sont

corrles revient dire quelles se connaissent. Faisons lhypothse, non

raisonnable, que les fluctuations sont les mmes dans les deux rsistances, il

sensuitque e1

(t) = e2

(t) et donc e1

(f) = e2

(f).

0 21T (t)dt(t)ee

T

2lim



57/118

Dans ce cas :

0 10 10 eq

(f)dfe2(f)dfe2(f)dfe (f)4e(f)e 1eq et

Dans la ralit, les dplacements des lectrons dans les deux rsistances sonttotalement indpendant, autrement dit les deux sources de bruit ne sont pas

corrles et lintgrale est nulle.

0 21T (t)dt(t)ee

T

2lim

Dans le cas o les sources de bruit ne sont pas corrles, ce qui sera toujours

suppos vraie par la suite, les densits spectralessajoutent.

e1(f)

e2(f)

eeq(f)=e1f() + e2(f)

Pour en savoir plus, voir complment 1 (cliquez ici)



58/118

eeq(f)=?

Rsen(f)

4kTRs

in(f)Rs

Dans un premier temps on introduit 3

gnrateurs, 2 de tension e(t) et en(t)et un de courant in(t) dont les densits

spectrales sont gales 4kBTRs, en(f)

et in(f)

en(t)

e(t)

in(t)Rs

Intressons nous maintenant au cas de deux sources de tension et dunesource de

courant, cestun cas trs frquemment rencontr.

T

eqTeq dtteT

dffemoyquadVal0

20

)(1lim)(...


59/118

TnsnnsnT

T

nsnT

TnsnT

qq

dttiRtetiRteteteT

dttiRteteT

dttiRteteT

T

0

02222

02

00

)()()()()()(2

lim

)()()(

1

lim

)()()(1

lim

)0()0()0(2)()()()(...

02

0

nnnn ieseisee

nsneq

CRCRC

dffiRfefedffemoyquadVal

)0()0()0(2

)()()(1

lim0

2222

nnnn ieseisee

TnsnT

CRCRC

dttiRtete

T

Si les 3 sources e, en et inne sont pas corrles :

0)0()0()0( nneiee iCeCC nn

)()(4)( 2 fiRfekTRfe nsnseq

Remarque : valeurs quadratiques et signaux dterministes


60/118

e1(t)=Ecos(t)

Val. quad. E2/2

e2(t)=Ecos(t)

Val. quad. E2/2

eeq(t)= 2Ecos(t)Val. quad. 2E2

Val. quad. E2

eeq(t)= Ecos(t)+Ecos(2t)

e1(t)=Ecos(t)

Val. quad. E2/2

e2(t)=Ecos(2t)

Val. quad. E2/2

Comme pour les sources de bruit, la val. quad. dunsignal dterministe nestpas

toujours la somme des val. quad.

Les deux signaux e1(t) et e2(t) sont indpendant, la val. quad. de eeq(t) est la somme des val. quad.

Les deux signaux e1(t) et e2(t) ne sont pas indpendant, la val. quad. de eeq(t) est diffrente de la

somme des val. quad.



61/118

Un amplificateur, suppos sans bruit, de gain en tension G(f) est attaqu par un

gnrateur de bruit de densit spectrale e(f).

Question : quelle est la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur?

amplificateur

e(f)

f

G(f)

e(f)

f

df

Val. eff. de la source de bruit dans une plage df : dffe )(

Val. eff. en sortie de lampli. dans une plage df : dffefG )()(

Val. quad. moy. en sortie de lampli. dans une plage df : dffefG )()(2

Val. quad. moy. en sortie de lampli. :

0

2e(f)dfG(f)



62/118

Dans le cas o la densit spectrale est indpendante de la frquence, e(f)=ef, cest

le cas par exemple dunersistance, la val. quad. moy. de bruitscrit:

02

f02

dfG(f)ee(f)dfG(f)

Lintgrale , zone hachure rouge, est encore gale la zone hachure

noire : , o Gm et BENBW sont le gain aux basses

frquences et la Bande Passante quivalente de Bruit (Equivalent Noise

BandWidth)

0 2 dfG(f)

0 ENBWm

2BGdfG(f)

2

Gm

f

ef

G(f)

f

Gm2

G(f)2

BENBW



63/118

La bande passante quivalente de bruit BENBW est relie la bande passante 3dB

Passe-bas du 1erordre de frquence de coupure f-3dB3dB

et

do :BENBW = (/2)f-3dB

dBm

dB

m fGdf

f

f

G3

20 2

3

2

21

dB

m

f

fj

GfG

31

)(

Passe-bande de frquence centrale f0et de coef. de surtension Q

et

do :BENBW = (/2)(f0/Q)

Q

fGdf

Qf

f

f

f

Qf

f

G mm02

02

0

22

0

2

02

21

1

1

Qf

fj

f

f

Qf

f

jGfG m

11

1

)(

0

2

0

0

Facteur de bruit dun amplificateur


64/118

Un amplificateur gnre du bruit, en consquence, la val. quad. moy. de bruit est

suprieure . tudions le cas trs frquemment rencontr dun

amplificateur de gain Gmaux basses frquences et de bande passante quivalente

de bruit BENBW attaqu par un gnrateur de rsistance de source Rs.

0

2e(f)dfG(f)

ef = 4kBTaRs

Rs

Amplificateur(Gm, BENBW)

Si lamplificateurtait sans bruit, la val. quad. moy. de bruit en sortiescrirait:

saBENBWm0 saB2

RT4kBGdfRT4kG(f) 2

Pour caractriser le bruit de lamplificateuron introduit le facteur de bruit (NF en

anglais pour Noise Figure), dont la dfinition est la suivante :

; NF>0dB

ENBWmsaB

10dBen

BGRT4k

bruitdemoyquadval10logNF

2

...

Facteur de bruit dun amplificateur : exemple


65/118

On crit le rapport Signal/Bruit :

On trouve E 18,2mV. Avec une telle tension dentre, la sortie sera distordue !

Conclusion : il faut rduire la bande et chercher un ampli. avec NF plus petit.

Quelle doit tre la valeur crte E du signal dentredunamplificateur caractris

par Gm=100, BENBW=10kHz et NF=10dB pour obtenir en sortie un rapport

Signal/Bruit de 80 dB par exemple. La rsistance de source Rsdu gnrateur estgale 1kW et est la temprature Ta=300K.

Amplificateur (Gm= 100,

BENBW= 10kHz, NF = 10 dB)

fSignal : Ecos(0t)

Rs

4kBTaRs

G(f)

f0

NF/10ENBW

2msaB

2m

1010BGRT4k

2E/G10log80dB2

Facteur de bruit dun amplificateur : autre dfinition


66/118

On donne souvent comme autre dfinition du facteur de bruit NF dun

amplificateur, la dfinition suivante :

Soit :

sortie

entre10dBen

Bruit

Signal

Bruit

Signal

10logNF

uitmoy. de brval. quad.

)2(E/G

BRT4k

)2(E/

10logNF22

m

ENBWsaB

2

10dBen

Aprs simplification, on retrouve bien :

ENBWmsaB10dBen

BGRT4k

bruitdemoyquadval10logNF

2

...



67/118

On va montrer que, dans une chane damplificateurs,le facteur de bruit quivalent

de la chane est grosso modo gal au facteur de bruit du premier amplificateur,

dolintrtdavoirun premier amplificateur performant. La dmonstration se fait

pour une largeur de bande de 1 Hz.

Rs

4kBTaRs

NF/102

msaB 10GRT4kbruitdemoyquadVal ..

Cherchons dans un premier temps exprimer le bruit apport par un amplificateur.

Rappel :

2msaB GRT4kbruitnssuppos saamplibruitdemoyquadVal )(..

Le bruit apport par lamplificateur est donc la diffrence, soit :

110GRT4kamplilparapportbruitdemoyquadVal NF/102msaB '..



68/118

RsR

sRs

Rs

G1

NF1

Rs

G2

NF2

Rs

Rs

G3

NF3

Soit une chane de trois amplificateurs de gain en tension G1, G2 et G3, et de

facteurs de bruit NF1, NF2et NF3 (en dB). Les amplificateurs sont adapts, cest

dire que les rsistances de sortie et dentresont toutes gales la rsistance Rsde la source.

Rs

Rs

G1G2G3

NFeq

Rs4

On cherche le facteur de bruit NFeqquivalent la chane des trois amplificateurs.



69/118

Val. quad. moy. de bruit en sortie du deuxime amplificateur :

110GRTkG4

110GRTk

/10NF22saB

22

/10NF21saB

21

Val. quad. moy. de bruit en sortie du premier amplificateur :

/10NF21saB

/10NF21

ss

ssaB

11 10GRTk10G

RR

RRT4k

2

Val. quad. moy. de bruit apport par le premier amplificateur :

110GRTk /10NF21saB 1

Val. quad. moy. de bruit en sortie du troisime amplificateur :

110GRTk

G4

1110GRTkG

4

110GRTk

/10NF2saB

23

/10NF22saB

22

/10NF21saB

21

33

(1)



70/118

sont les gains en puissance du premier

La comparaison des relations (1) et (2) donne :

P121 G

2

G

P2

22 G2

G

et

et deuxime tage.

22

21

/10NF

21

/10NF/10NF/10NF

2

G

2

G

110

2

G

1101010

321eq

)()(

Val. quad. moy. de bruit en sortie de lamplificateur quivalent :

(2)/10NF2321

ss

ssaB

eq104

GGG

RR

RRT4k

2



71/118

...)()( P2P1

/10NF

P1

/10NF/10NF/10NF

GG110

G1101010 321eq

On obtient finalement la relation :

Dans le cas o GP1et GP2, .. >>1, on peut crire en premire approximation que :

/10NF/10NF 1eq 1010

Soit encore : 1eq NFNF

En conclusion, le facteur de bruit quivalent une chane damplificateurs est

approximativement gal au facteur de bruit du premier amplificateur, do

limportancede choisir un premier amplificateur faible bruit.

Facteur de bruit et temprature quivalente de bruit


72/118

Rs

4kBTaRsAmplificateur (Gm, BENBW, NF)

NF/102msaB 10GRT4kuitmoy. de brval. quad.

Val. quad. moy de bruit en sortie dun ampli. de facteur de bruit NF>0dB et

attaqu par une rsistance Rs la temprature ambiante Ta.

4kBTeqRsAmplificateur (Gm, BENBW, NF=0dB)

Rs 2mseqB GRT4kuitmoy. de brval. quad.

On obtient la mme valeur en prenant NF = 0dB et une temprature quivalente

de bruit Teqde la rsistance gale :NF/10

aeq 10TT

Exemple : Ta=300K, NF = 10 dB, Teq=3000K


73/118

8- Bruit en sortie des montages

non inverseur et inverseur

Valeur efficace de bruit en sortie des montages non-inverseur etinverseur


74/118

inverseur

R2

R14k

BT

aR

1

R34kBTaR3

+

_

in(f)

in(f)

en(f)

vs(f)

v

v

4kBTaR2

Sources de bruit des montages non-inverseur et inverseur

On rappelle ci-dessous le schma lectrique pour calculer la valeur efficace de

bruit en sortie dunmontage non-inverseur ou inverseur.

Valeur efficace de bruit en sortie des montages non-inverseur etinverseur


75/118

Une estimation de la valeur quad. moy de bruit en sortie, ou de la val. efficace, est

obtenue en procdant ainsi :

2- on intgre sur la bande passante de lamplificateur,celle-ci dpend du gain en

boucle ouverte de lAOPet des rsistances R1et R2.


1 en appliquant les rgles daddition des densits spectrales, on calcule la

densit spectrale vs(f) de bruit en sortie du montage :

2

21

212

3nsaBnT RR

RRRiRT4k(f)e(f)vavec :

et21

213s

RR

RRRR

)()( fvR

R1fv

T

2

1

2

s

inverseur

Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227


76/118

Pour obtenir un gain Gm=(1+R2/R1)=1000 par exemple, on prend R2=1MW,

R1=1kW , prenons R3=R1//R2=1kW. Compte tenu des ordres de grandeur, on peut

ngliger leffetdu courant de bruit in(f), cestgnralement le cas avec les AOP

entre JFET ou MOSFET, condition que la rsistance de source Rsne soit pas

trop leve. On obtient donc en premire approximation :

saBnT RT4k(f)e(f)v avec Rs=2kW

Flicker noiseGain = 1000

Fc=ef 8kHz



77/118

Question : est-ce bien raisonnable de poursuivre lintgrationjusqu f 0 ?

Autrement dit le continu existe t-il ?

La densit spectrale en(f) varie comme K/f du continu Fc10Hz (corner

frequency), elle est constante et gale ef 10-17 V2/Hz pour F>Fc. Daprs le

graphe de en(f), doK = 4x10-17V2. La bandepassante Fh3dB du montage est voisine de 8kHz, en consquence, la val. quad.

moy. de bruit en sortie du montage est approximativement donne par :

HzV10200,1Hz)(fe 9n / 2x

Remarque: lintgraledu flicker noise en K/f diverge !

)(V10541dff

10410 29

10 17

6x

0x

2112

1

20

2

1

2 hsaBfF FRRRT4kedf

fK

RR c



78/118

En pratique, pour des frquences plus basses que 0,1Hz, il y a probablement

dautreseffets, comme la temprature par exemple, susceptibles de faire changer la

tension dans le circuit.

En pratique, si un montage fonctionne pendant une heure la frquence la plus basse

correspond 1/3600 2,7x10-4Hz et la val. quad. moy. de bruit

est gale : 2

xV10420Ln(f)104df

f

10410 1210

102,7

1110

102,7

176

x4

xx

4

x

dff

K

R

R1 c

F2

1

2

0

Le mme calcul effectu sur une dure de 1 an (soit une frquence de 3,17x10-8Hz)

conduit :

2V10782Ln(f)104dff

10410 1210

103,17

1110

103,17

176

x8

xx

8x

x

Le rsultat est du mme ordre de grandeur



79/118

2

V10184Ln(f)104dff

104

10

1210

0,1

1110

0,1

176

xx

x

En prenant comme limite la plus basse de lintgrale la frquence de 0,1Hz , on

obtient :

Il est intressant de comparer cette valeur celle donne par une simulation

utilisant les modles SPICE. A cet effet on peut utiliser par exemple le logiciel

gratuit TINA-TI de la socit Texas Instruments (www.ti.com)

La val. quad. moy. de bruit en sortie de lamplificateurest donc gale :

)(V105411054110184 29912 xxx

La contribution du flicker noise est quasiment ngligeable. La val. efficace de bruit

est donc finalement gale :

V73510541 9x m

Rsultat de simulation : montage non-inverseur avec AOP 227


80/118

Par simulation, la val. eff. de bruit est voisine de 735mV.

735mV

Autre exemple : montage inverseur avec AOP 227


81/118

Pour obtenir un gain Gm=-R2/R1=-1000 par exemple, on prend R2=1MW, et

R1=R3=1kW . Comme pour le montage non inverseur, on peut ngliger leffetdu

courant de bruit in(f). On obtient donc en premire approximation :

saBnT RT4k(f)e(f)v avec Rs=2kW

Flicker noiseC1=200pF

Fc=ef 800Hz

Montage inverseur avec AOP 227 : influence de la bande passante


82/118

C1=0, bande passante Fh8kHz, val. eff. de bruit 735 mV

C1=200pF, bande passante Fh1800Hz, val. eff. de bruit 232 mV,

Le calcul donne : V232

8000

80073

F

F73

h

h m 55 1

735mV

232mV C1=200pF

C1=0


83/118

9- Etude de cas :

lacclromtre et son

conditionnement

Lacclromtre et son conditionnement

C hi d h d l i i 1 1


84/118

Cahier des charges : mesurer des acclrations comprises entre 1g et +1g et

conditionner le signal pour un CAN unipolaire de pleine chelle VFS=5V

pleine chelledu CAN

-1g1,5V

VFS=5V

plage ducapteur

0V

+1g3,5V0g2,5V

0V

Caractristiques techniques de lacclromtre

C



85/118

Vref 2,5V

R1 1kW

R2 1,5kW

R4 47kW

R3 15kW

C1 56nF

C2 82nF

Cx 100nF

Vref 2,5V

R1 1kW

R2 1,5kW

R4 47kW

R3 15kW

C1 5,6nF

C2 8,2nF

Cx

10nF

Composantspour une

bande passante

BP= 50Hz

Composantspour une

bande passanteBP= 500Hz

Vc

R1R2

Vref

OP227_

+

C1

C2

R4R3

acclromtre


C l l b d l l A 103 ? d l


86/118

Comment simuler le bruit de lacclromtre ADXL103 ? daprs la

caractristique technique la densit spectrale de bruit est gale :

(110x10-6)2g2/Hz. La sensibilit de lacclromtre est gale 1V/g, en

consquence, la densit spectrale, exprime en V2/Hz, est gale :

(110x10-6)2V2/Hz.

Pour valuer le bruit par simulation, il suffit de ramener le bruit sur la rsistance

RFILT=32kWet dcrireque cette rsistance se trouve une temprature Teqtelleque :

26FILTeqB )10(110RT4k

x

Soit : K106,8T 9eq x

RFILT=32kW Xout

4kBTeqRFILT

Source de bruit quivalente de lacclromtre

ADXL103

Lacclromtre et son conditionnement : rsultat de simulation


87/118

1,7mV

2,3mVBP=500Hz

BP=50Hz

Avec une bande passante de 50Hz, la valeur efficace de bruit est gale 1,7mV,

elle devient gale 2,3mV pour 500Hz.Lacclromtreest la principale source

de bruit, le bruit de linstrumentationest ici quasiment ngligeable.

Lacclromtre et son conditionnement :choix du nombre de bits duCAN


88/118

La valeur efficace de bruit est une bonne indication pour valuer le nombre N de

bits du CAN de pleine chelle VFS

=5V. En premire approximation N doit vrifier

lingalit:

NNFS3x2

Vquantum101,7de bruitval. eff.

2

5

En prenant comme critre que la valeur eff. de bruit doit tre infrieure au 1/10

dunquantum, on obtient :

8,2101,710

logN32

xx

5soit N=8 bits

Un autre indicateur plus pertinent pour le calcul de N est la valeur crte crte du

bruit.

Question : comment estimer la valeur crte crte dun bruit ?

Lacclromtre et son conditionnement : choix du nombre de bits duCAN


89/118

Faisons lhypothseraisonnable que le bruit en sortie de lamplificateura une

densit de probabilit p(u) Gaussienne, u est la valeur de la tension de bruit :

2

2

222

1)(

mu

eup

O m et sont respectivement la valeur moyenne et la valeur quadratique

moyenne, pour une bande passante de 50Hz. Enpratique la valeur moyenne m est gale zro.

2

)(x2 223

Ven)10(1,7

-0.01 -0.005 0 0.005 0.010

50

100

150

200

250

Tension u [V]

p(u)

Lacclromtre et son conditionnement : choix du nombre de bits duCAN


90/118

Pour un bruit Gaussien, on montre quavecun crestfactorCF= 3,3, la tension

de bruit est 99,9% du temps dans lintervalle [-valeur crte=-3,3, valeur

crte=3,3].

2

En toute rigueur la tension u peut aller de moins linfinijusquplus linfini,mais

avec une probabilit videmment extrmement faible.Dunpoint de vue pratique,

on dfinit une valeur crte crte comme tant 2x3,3=6,6 fois la valeur efficace

de bruit (Industry-standard crest factor [CF]=3,3). Le crest facteur est le rapport

de la valeur crte sur la valeur efficace, pour un signal sinusodal par exemple le

crest facteur est gal .

Si, pour calculer le nombre N de bits du CAN, on impose comme critre :

on obtient : N=5,47N

3x

10

1quantum

10

1101,76,6crteval. crte

2

5 x



91/118

10- Transmission numrique

et

bruit :

un bref aperu

Transmission numrique et bruit

Le bruit est au cur des transmissions ici on ne sintresse quaux transmissions


92/118

Le bruit est au curdes transmissions, ici on nes intressequ auxtransmissions

en bande de base sans porteuse. On cherche donc transmettre une suite dtats

logiques 0 et 1avec un dbit 1/T (en bits/s) o T est la dure minimale dun

tat. Aux tats 0 est associe une tension A, aux tats 1 est associe une

tension A. Le rcepteur, muni dune horloge de priode T, doit prendre une

dcision sur un signal bruit : si le signal prlev linstant nT est >0 alors il

sagitduntat 1,dans le cas contraire ilsagitduntat 0.

Question : Quel est le taux derreurpour un rapport Signal/Bruit donn ?

Canal detransmissionEmetteur + +

bruit

Rcepteur sans bruit(prise de dcision)A

-A

T

Modlisation dune chane de transmission numrique



93/118

Signal mis

Signal rcupr, deux

erreurs notes 1 et 2

Signal avant prise dedcision, en vert les tops

de lhorloge de rception

1 2

-A

A

Transmission numrique et bruitHypothse : le bruit est de type Gaussien, sa valeur quadratique moyenne est note


94/118

Hypothse : le bruit est de type Gaussien, sa valeur quadratique moyenne est note

2. Soient P0et P1les probabilits dmettreun tat 0et un tat 1,la probabilit

derreurPescrit:

0110e PPP

10P = Prob. de rcuprer un tat 1 quand un tat 0 a t mis

0

2

A)(u

200010 due

2

1PduupPP 2

2

0

)(

01P = Prob. de rcuprer un tat 0 quand un tat 1 a t mis

0 2

Au

21

01101 due

2

1P(u)dupPP 2

2


0 5


95/118

Les densits de probabilit de bruit p1(u) et p0(u) sont centres respectivement

autour des valeurs A et -A

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tension [V]

p1(

u),

p0(u)

A-A

10P01P

p1(u)p0(u)

On fait lhypothse que la probabilit P dmettre un tat 0 est gale la



96/118

On fait l hypothse que la probabilit P0 d mettre un tat 0 est gale la

probabilit P1dmettreun tat 1: P0= P1=1/2.

2

0 2

Au

210

2

Aerf1

2

112

1due

2

112

1P

22

De la mme manire :

2

0 2

Au

201

2

Aerf1

4

1due

2

1

2

1P

2

2

O la fonction erf est dfinie comme suit :

21

2

Auerf1

2

1due

2

1 1u 2

Au

2

2

2


Fi l t


97/118

Finalement :

22

0110e

2

Aerf

4

1

2

Aerf

4

1

2

1PPP

En introduisant la fonction erfc : erf(x)1erfc(x)

22e

2

Aerfc2

1

2

Aerf2

1

2

1P

Le rapport A/reprsente le rapport Signal/Bruit lentredu rcepteur

xerfxerf En utilisant la proprit des fonctions erf :

On obtient :

2e 2

Aerf2121P

Transmission numrique et bruitLog10(Pe)


98/118

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

20log10(A/)

Log10(Pe)

Exemple : un rapport Signal/Bruit de 20dB gnre une probabilit derreur

Pe3x10-3, autrement dit sur 300 tats reus, un tat est probablement faux.


99/118

11- Dtection synchrone

Dtection synchrone

La dtection synchrone permet dextraire un signal de frquence connue noy dans


100/118

La dtection synchrone permet d extraireun signal de frquence connue noy dans

le bruit.

f

densitspectrale e(f)

f0

A

df

Filtrepasse-bande

La premire mthode qui vient lespritpour extraire lamplitudeA dunsignalAcos(0t) noy dans un bruit de densit spectrale e(f) consiste utiliser un filtre

passe-bande de largueur df aussi troite que possible. On fait lhypothse

raisonnable que la densit spectrale e(f) est quasi constante sur la largueur df. En

sortie du filtre de gain suppos gal lunit,le rapport Signal/Bruitscrit:

dffe

A20log

B

S

010

filtrage

dB )(

2/

Dtection synchrone


101/118

Le rapport Signal/Bruit est dautant plus grand que la largeur de bande df est

faible.Dunpoint de vue pratique il est difficile de raliser un filtre passe-bande

avec df trs faible, en effet pour obtenir df trs faible il faut un coefficient desurtension Q trs lev (df=f0/Q). Si par ailleurs la frquence f0du signal vient

changer, il faut dplacer la frquence centrale du filtre passe-bande. En pratique,

il est difficile de raliser un filtre passe-bande troit avec une frquence centrale

ajustable. Une alternative cette difficult consiste transposer le signal lafrquence zro et utiliser alors un filtre passe-bas de faible largeur de bande.

Pour transposer le signal de frquence f0 la frquence zro, cest dire en

continu, il suffit de multiplier le signal Acos(0t) par le signal de rfrence de

frquence f0.

Multiplieur de

Dtection synchrone


102/118

Multiplieur deconstante 1V-1

Filtre passe-

basVoie rfrence

Bos(0t)

Voie signal

Acos(0t)+bruit

AB/2

f2f0

e(f0)B2/4

AB/2

Fc

densit spectralede bruit

filtre

Rapport Signal/Bruit en sortie du filtre passe-bas

c010

c

20

10

synchronedtection

dB Ffe

2A20log

F4

)e(f

22

20logB

S

)(

/

Dtection synchroneIl est intressant de comparer la dtection synchrone avec le filtrage passe-


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bande, que gagne t-on ?

c10

filtrage

dB

synchronedtection

dB F

df20log

B

S

B

S

Il nypas a priori de limite sur la bande Fcdu filtre passe-bas comme il y en a sur

la bande df du passe-bande.Dunpoint de vue mathmatiques si Fc0, le gain est

infini, mais ne rvons pas si Fc0, le rsultat est obtenu au bout duntemps infini

. Le choix de Fcrsulte duncompromis entre le rapport Signal/Bruit acceptableet le temps de rponse.

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Temps [s]

Sortie

detecteursync

hrone

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Temps [s]

Fc=10Hz Fc=1Hz


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Complment 1

Fonctions de corrlation :

auto corrlationet

inter corrlation

Fonction dauto corrlation

L l ( ) d d l l A


105/118

Le signal x(t) ci-dessous prend la mme valeur A aux instants t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8, t9,t10, etc ... Question: les valeurs aux instants t1+t, t2 +t, t3 +t, t4 +t,

t5 +t,t6 +t, t7 +t,t8 +t,t9 +t,t10 +t, etc sont-elles prvisibles ? Si oui lesignal x(t) est dit dterministe, sinon il est dit alatoire.

0

A

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 x(t)

Fonction dauto corrlation


106/118

Pour rpondre cette question, on introduit la fonction dauto corrlation. La

fonction dautocorrlation Cxx() dunsignal x(t) est dfinie comme suit :

T

Txx dttxtxT

limC0

)()(1

)(

Cxx() est obtenue en calculant la val. moy. du signal x(t) multipli par le signal

retard de , loprationest rpte pour les diverses valeurs de .

Si les valeurs prises aux instants t1+t, t2 +t, t3 +t, t4 +t, t5 +t, t6 +t, t7+t,t8 +t,t9 +t,t10 +t, etc sont indpendantes des valeurs prises aux instants

t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9,t10, etc, alors Cxx() est nul partout sauf videmmentpour =0, o Cxx(0) est gale la valeur quad. moy. du signal.

TTxx dttx

TlimC

02 )(

1)0(

Fonction dauto corrlation dun bruit blanc


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Dans cet exemple, le signal x(t) a une fonction dauto corrlation quasiment

nulle partout sauf en =0, o la fonction Cxx()=. Le signal x(t) est un bruit

blanc, blanc fait rfrence a la densit spectrale de x(t) qui dans ce cas

particulier prend une valeur constante indpendante de la frquence.

t

x(t)

Cxx()

0

2x

0

La densit spectrale x(f) du signal x(t) est la transforme de Fourier de la

Fonction dauto corrlation et densit spectrale


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La densit spectrale x(f) du signal x(t) est la transforme de Fourier de la

fonction dauto corrlation (thorme de Wiener-Khintchine sans dmonstration

ici). Un signal de densit spectrale constante contient donc toutes les frquences

avec la mme valeur efficace. En pratique, les bruits ne sont jamais compltement

blanc, la densit spectrale dcrot aux hautes frquences. Dans le cas du bruit

thermique des rsistances par exemple, on peut montrer que la densit spectrale,

gale 4kBTaaux basses frquence, est divise par 2 la frquence de ~1012Hz.

Pour les montages lectroniques une rsistance peut donc tre considre comme

une source de bruit blanc.

Cxx()

f

x(f)

Fonction dauto corrlation Densit spectrale0

Lintroduction de la transforme de Fourier introduit videmment lapparition

Transforme de Fourier et fonction dauto corrlation


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de frquences ngatives qui posent toujours un problme nos tudiants,

fallait pas introduire les nombres complexes ! Avec lintroductionde Fourier la

densit spectrale devient complexe et est dfinie sur lintervallede frquence

[-, ]. Avec Fourier la densit spectrale de bruit thermique nestplus gale

4kBTaR mais 2kBTaR. Pour calculer la val. quad. moy. de bruit en sortie dun

amplificateur il faut alors utiliser le gain complexe de lamplificateurdfini lui

aussi sur lintervalle[-, ].

Val. quad. moy. de bruit

NB : on retrouve le rsultat obtenu

sans lintroductiondes complexes.

La ralit est peut tre complique

mais elle nestpas complexe !

2kBTaRs Rs

amplificateur

-Fc -Fc

Module du gaincomplexe

Gm

Densitspectrale

f

c2msaB

FF

2msaB FGRT4kdfGRT2k

c

c

Fonction dauto corrlation dun signal priodique

Dans le cas dun signal priodique, de priode T, la fonction dauto corrlation est


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t

Cxx()=(A2/2)/cos()

x(t)=A cos(t)

Dans le cas d unsignal priodique, de priode T, la fonction d autocorrlation est

dfinie comme suit :

T

xx dttxtx

T

C0

)()(1

)(

Si x(t) est de la forme Acos( t) par exemple, alorsCxx()=(A2/2) cos( ). Cest

une fonction priodique, de mme priode que le signal. En effet, quand le signal

est translat de T, on retrouve le mme signal.

Fonctions dauto corrlation et dinter corrlation

S it 3 i l t i (t) (t) t (t) O h h i il i t d


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Soit 3 signaux alatoires x(t), y(t) et z(t). On cherche savoir s il existe des

relations entre eux. Pour cela on calcule les fonctions dintercorrlation Cxy() et

Cxz() : T

Txy dttytxT

C0

)()(1

lim)( T

Txz dttztxT

C0

)()(1

lim)( et

La fonction Cxy() nous dit que le

signal y(t) est identique au signal

x(t) retard de la quantit . La

fonction Cxz() nous dit que le

signal z(t) est sans relation avec

le signal x(t), il nexistedonc pas

de corrlation entre ces 2

signaux.

x(t)

y(t)

z(t)

Cxx()

0

0

0

Cxy()

Cxz()

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Complment 2

Densit spectrale en sortie des montages

non-inverseuret

inverseur

R2e2(t)


113/118

vs

+

_

en(t) )( vvAv ds

v

v

R1e1(t)

in1(t)

R3e3(t) in2(t)

Dans un premier temps on introduit 6 gnrateurs dpendant du temps, quatre de

tension e1(t), e2(t), e3(t) et en(t) et deux de courant in1(t) et in2(t) dont les densitsspectrales sont respectivement gales 4kBTaR1, 4kBTaR2, 4kBTaR3, en(f) et in(f).

21

21n11

21

2s2

21

12nnds RR

RR(t)i(t)e

RR

R(t)v(t)e

RR

RtiRteteAtv )()()()( 33

RRRRR


114/118

On crit les expressions des val. quad. moy. dans les domaines temporel et

frquentiel :

On fait lhypothseque les sources de bruit e1(t), e2(t), e3(t), en(t), in1(t) et in2(t) ne

sont pas corrles.

dffvdttvT

sT

sT )()(1

lim00

2

21

21n11

21

2221

1n233ndd

21

1s

RR

RR(t)i(t)e

RR

R(t)e

RR

R(t)iR(t)e(t)eAA

RR

R1(t)v

21

21n1

21

21

21

12n233n

1

21s

RR

RR(t)i

RR

R(t)e

RR

R(t)e(t)iR(t)e(t)e

R

RR(t)v

2

221

2

212

3aBn2

RRRRRT4kfe )(


115/118

oavec :

Finalement : )(fvR

R1(f)v T

2

1

2s

2

21

2123nsaBnT RR

RRR(f)iRT4k(f)efv )(

21

213s

RR

RRRR

2

212123n

221

221

3aBn2

1

21s

RRRRRfi

RRRRf

R

RRfv

)(

)(

)(

2

21

212

3n21

21

3aBn

2

1

21

s RR

RRRfi

RR

RRRT4kfe

R

RRfv )()()(

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116/118

Complment 3

Valeur crte dun bruit Gaussienet

crest factor

Probabilit pour que la tension u soit infrieure une valeur u1:

2

2

1u


117/118

1 )(

uduup avec :

2222

1)(

eup et 1duup

)(

Industry-standard crest factor [CF] = 3,3 3,3u1

Probabilit pour que la tension u soit comprise entre3,3et 3,3:

0,9992

3,3erf

En introduisant la fonction erf, on obtient :

22

uerf1

2

1duup 1

u1 )(

Probabilit pour que la tension u soit comprise entreu1et u1:

car : )(xerfxerf

21

2)()( 11

uerfduupduup

uu

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Bibliographie


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Sites Web constructeurs www.ti.com, www.analog.com

Bonnie C. Baker, Matching the noise performance of the operationalamplifier to the ADC, Analog Applications Journal, 2006, TexasInstruments

James Karki, Calculating noise figure in op amps, Analog ApplicationsJournal, 2005, Texas Instruments

Ron Mancini, Op Amps for everyone, August 2002, Texas Instruments

A. Glavieux et M. Joindot, Communications numriques, Introduction,Masson (1996)

M. et F. Biquard, Signaux systmes linaires et bruit en lectronique,

Ellipses (1992)D. Ventre, Communications analogiques, Ellipses (1991)
http://www.ti.com/http://www.analog.com/http://www.analog.com/http://www.ti.com/

Documents

Transparents Bruit M2 CSA