L3PAPP 2015-2016

TRAVAUX DIRIGES DE THERMODYNAMIQUE

Sylvia Matzen

Philippe Lecoeur

Catherine Even

TRAVAUX DIRIGES N°1

I. Détente irréversible d’un gaz parfait

Un cylindre horizontal est fermé par un piston P mobile sans frottements. L’intérieur du cylindre est séparé en deux compartiments A et B par une paroi fixe F. Sur la face extérieure du piston s’exerce la pression atmosphérique constante P0 = 105 Pa. Les parois du cylindre et le piston sont adiabatiques, mais la cloison F est diatherme. Toutes ces parois sont de capacité thermique négligeable.

A l’état initial, le compartiment A contient une mole de gaz parfait caractérisé par la

valeur γ = cP/cV = 1.4, occupant un volume VA = 25 L. Le compartiment B est vide.

Constante des gaz parfaits : R = 8.31 J.mol-1.K-1

1. Préciser la température TA du gaz dans A. 2. On perce un orifice dans la paroi fixe F :

a. Par une analyse qualitative du problème, montrer que selon la valeur du volume VB de B, deux types de solutions existent.

b. En supposant que VB est inférieur à la valeur-seuil VS (inconnue pour l’instant), déterminer les caractéristiques P1, V1, T1 du gaz contenu dans A+B quand le nouvel état d’équilibre est atteint. Application numérique : VB = 25 L

c. Déterminer la valeur –seuil VS en fonction de VA et γ. d. Pour VB > VS, déterminer P2, V2, T2 du gaz enfermé dans le cylindre lorsque

l’état d’équilibre est atteint. Application numérique : VB = 50 L

II. Modèle d’atmosphère adiabatique

Ce modèle consiste à supposer que l’état de l’air à une altitude z quelconque peut se déduire de celui de l’air à l’altitude z = 0 par une transformation adiabatique réversible.

On assimilera ici l’air à un gaz parfait. L’axe (Oz) est orienté vers le haut. L’accélération de la pesanteur vaut –guz.

1. Quelle relation l’hypothèse d’adiabaticité donne-t-elle entre T(z), P(z) et γ ? 2. On suppose en outre l’équilibre mécanique du gaz. On rappelle que la résultante totale

des forces de pression s’exerçant sur un petit volume dV vaut : uz En déduire une relation entre dP/dz, M (masse molaire de l’air), g et V(z) (volume molaire de l’air à l’altitude z).

3. A partir de ce qui précède, établir l’équation différentielle suivante :

où , T0 et P0 étant la température et la pression à l’altitude z = 0. 4. Résoudre cette équation différentielle et donner les expressions de P(z) et T(z). 5. Application numérique : calculer la température et la pression à l’altitude de 5900 m.

Masse molaire de l’air : M = 29 g.mol-1 R = 8.31 J.mol-1.K-1 T0 = 27 °C P0 = 105 Pa g = 9.8 m.s-2

γ = 1.4 6. Expérimentalement, on constate que T(z) peut se schématiser de la façon suivante :

Quelles sont les limites de validité du modèle proposé dans cet exercice ?

TRAVAUX DIRIGES N°2

I. Mélange liquide-solide d’un corps pur

On dispose d’une masse mg de glace, à la température tg = -10°C, et d’une masse ml = 0.1kg d’eau liquide, à la température tl = +20°C. On place ces deux masses en contact dans un récipient adiabatique de capacité calorifique négligeable. La pression est maintenue constante à P = 1 atm durant toute l’expérience.

Certaines données numériques utiles sont rappelées à la fin.

1. Pourquoi la pression a-t-elle une influence négligeable sur le système étudié ? Quelle relation approximative a-t-on entre les capacités calorifiques CP (à pression constante) et CV (à volume constant) ?

2. Quelle doit être la température finale pour que l’on ait coexistence des phases liquide et solide ?

3. On suppose dans cette question que cette coexistence est réalisée. On notera ∆m la masse d’eau qui s’est solidifiée entre l’état initial et l’état d’équilibre final. Calculer

∆m.

Quelle est la valeur maximale possible pour ∆m ? En déduire une valeur maximale mmax de mg pour qu’il y ait coexistence des deux phases.

Peut-on avoir ∆m < 0 ? Comment interpréter un tel résultat ? Quelle inégalité doit-on

avoir entre ∆m et mg dans ce cas ? En déduire une valeur minimale mmin de mg pour qu’il y ait coexistence des deux phases. Application numérique : calculer mmin et mmax .

4. Que se passe-t-il si mg < mmin ? Déterminer la température finale dans ce cas. 5. Que se passe-t-il si mg > mmax ? Déterminer la température finale dans ce cas. 6. L’expérience réalisée est-elle une expérience réversible ? Pourquoi ? 7. On se replace dans le cas où il y a coexistence des deux phases liquide et solide à l’état

final. Trouver un chemin réversible permettant de passer de l’état initial (glaçon de masse mg à tg et eau liquide de masse ml à tl) à l’état final. En déduire la variation d’entropie du système glaçon + liquide entre l’état initial et l’état final. En utilisant le fait que (x – 1 – ln(x)) est toujours positif, vérifier que la variation totale d’entropie du système est positive.

Données :

Capacité calorifique de l’eau liquide à pression constante : Cl = 4.19 kJ.kg-1.K-1

Capacité calorifique de la glace à pression constante : Cg = 2.1 kJ.kg-1.K-1

Chaleur latente de fusion de la glace sous une pression de 1 atm : Lf = 334 kJ.kg-1

Température de fusion de la glace à 1 atm : t0 = 0 °C

II. Evaporation de l’eau

Un récipient dont les parois sont imperméables à la chaleur contient initialement une masse m0 = 20 g d’eau liquide de chaleur massique c = 4185 J.kg-1K-1, à la température T0=345K. La vapeur formée au cours de l’évaporation qui se produit est éliminée grâce à une pompe qui l’aspire lentement. La chaleur latente de vaporisation de l’eau dans l’intervalle de température considéré est de la forme :

L = A – B.T

Elle décroît de 2.9 103 J.kg-1 par degré K.

L’évaporation de la masse dm d’eau produit une variation de la température à l’intérieur du récipient.

1. Etablir l’équation différentielle reliant dm et dT. 2. Lorsque la fraction d’eau vaporisée est de 0.1, la température à l’intérieur du récipient

est T=284K. Déterminer les constantes A et B de la relation L(T). 3. Quelle est la fraction d’eau vaporisée lorsqu’il reste dans le récipient la phase liquide à

0°C ? Quelle est la masse m’ de glace obtenue lorsque tout le liquide a disparu ? On donne : chaleur latente de fusion de la glace Lf = 335 kJ.kg-1 et on négligera la sublimation de la glace.

TRAVAUX DIRIGES N°3

MACHINES THERMIQUES

I. Moteur à deux temps

En 1860, l'ingénieur Lenoir invente un moteur à gaz qui est considéré comme l'ancêtre du moteur à deux temps. Ce type de moteur présente l'avantage d'une très grande compacité et s'est imposé de façon quasi-exclusive pour tous les deux-roues. On peut schématiser le fonctionnement du moteur de Lenoir par le cycle portant son nom, qui se décompose de la façon suivante :

1° temps:

- L'air et le carburant sont admis dans le cylindre. A la fin de l'admission, le système que constitue l'air emprisonné dans le cylindre se trouve dans l'état 1 décrit par (P1, V1, T1).

- Le carburant est brûlé (explosion) de façon très rapide, le volume ne change pas de façon significative. Le nouvel état obtenu est décrit par (P2, V2=V1, T2).

2° temps :

- Le gaz emprisonné dans le cylindre se détend de manière adiabatique jusqu'à l'état (P3=P1, V3, T3)

- La pression étant constante et égale à P1, les gaz brûlés sont expulsés du cylindre et se

refroidissent au contact de l'atmosphère jusqu'à T1.

On supposera que le cycle est décrit de manière quasi-statique réversible et que la variation du nombre de moles de gaz liée au carburant est négligeable. Le gaz sera assimilé à un gaz parfait, de coefficient γ = 1.4.

Question préliminaire : calculer CV et CP en fonction de R et γ pour un gaz parfait (on supposera g constant)

1. Quel est la nature du gaz introduit dans le cylindre?

2. Représenter le cycle de Lenoir sur un diagramme de Clapeyron (V, P), puis sur un diagramme entropique (T, S).

3. Calculer le travail W échangé par une mole de gaz au cours d'un cycle en fonction de γ, R, T1, T2 et T3.

4. Définir le rendement r de cette machine thermique. Calculer r en fonction de γ, et du rapport (T3-T1)/(T2-T1).

5. Calculer T1 et T2 en fonction de T3, γ et du rapport volumétrique a = V3/V1. En déduire une nouvelle expression du rendement r en fonction de γ et a.

6. Calculer le rendement d'une machine de Carnot qui fonctionnerait entre les deux températures extrêmes du cycle en fonction de a et γ.

7. Calculer numériquement ces deux rendements dans le cas où a = 4. Commenter.

II. Efficacité d’une pompe à chaleur

On considère ici une pompe à chaleur avec un échangeur air-air. Cela signifie que la

source utilisée pour récupérer de la chaleur est l'air extérieur. Ce dispositif fonctionne selon

un cycle de Rankine avec du R134a (hexafluorure de carbone). Le compresseur génère une

pression maximale de 10 bar dans la partie haute pression, la pression minimale de la zone

basse pression est de 1 bar.

1. Rappeler la signification des termes de l'inégalité de Carnot-Clausius : Σ Qi

Ti ≤ 0

2. On notera Q1 la chaleur algébrique reçue par le fluide au contact de l'air extérieur et Q2

la chaleur reçue au contact de l'habitation à chauffer.

Quels doivent être les signes de Q1 et Q2? Définir l'efficacité d'une pompe à chaleur.

A l'aide du premier principe, exprimer cette efficacité à l'aide de Q1 et Q2.

3. Déduire de ce qui précède une inégalité exprimée à l'aide de T1 et T2 quant à

l'efficacité de la pompe à chaleur, T1 étant la température de l'air extérieur et T2 la

température de la maison à chauffer.

4. Dans quel cas l'inégalité précédente se transforme-t-elle en égalité?

Que peut-on dire quant à l'efficacité lorsque l'écart de température entre l'extérieur et

l'intérieur augmente?

La pompe à chaleur est-elle mieux adaptée aux régions froides ou aux régions tempérées?

TRAVAUX DIRIGES N°4

Diagramme de Mollier, application à un réfrigérateur à cycle de Rankine

I. Lecture du diagramme de Mollier

En annexe, on trouvera le diagramme de Mollier du propane (appelé R290 par les frigoristes, formule chimique : C3H8, masse molaire du carbone = 12 g.mole-1, masse molaire de l'hydrogène = 1 g.mole-1).

1. Dans quelles zones a-t-on du liquide, du gaz et coexistence liquide-gaz? Comment sont définies les courbes de rosée et d'ébullition? Où se trouve-t-elles sur le diagramme?

2. A quoi correspondent les différents réseaux de lignes ajoutées sur le diagramme? Déterminer graphiquement la chaleur latente de vaporisation du propane à 10°C. Que vaut la pression de vapeur saturante à cette même température?

3. Zone de stabilité du gaz : en assimilant le gaz à un gaz parfait, d'après la 2° loi de Joule, quelle devrait être l'allure des isothermes? Est-ce le cas?

En supposant la 2° loi de Joule, déterminer l'équation des isochores dans la zone de stabilité du gaz.

4. Zone de stabilité du liquide : d'après les approximations de l'état condensé, que peut-on penser de l'influence de P? Qu'en résulte-t-il quant à la dépendance de l'enthalpie vis-à-vis de T? Quelle doit l'allure des isothermes? Que peut-on penser quant à l'écart horizontal entre les isothermes tracées sur le diagramme? Cela est-il bien vérifiée?

5. Zone de coexistence liquide-gaz : à quoi correspondent les lignes iso marquées 0.10 à 0.90? Si on regarde les intersections de ces lignes avec une horizontale, que doit-on avoir? Est-ce le cas? Pourquoi les isothermes sont-elles horizontales dans cette zone?

6. On considère l'isochore v = 0.2. Déterminer la pression correspondant aux températures 60°C, 0°C et -30°C. Regarder numériquement si le gaz vérifie la loi des gaz parfaits. En quelle unité est exprimé le volume v sur le diagramme.

II. Etude d’un réfrigérateur à cycle de Rankine

On rappelle le principe du cycle de Rankine, utilisé par les réfrigérateurs à compresseur :

1 : tout le fluide est gazeux

1-2 : le gaz est compressé de manière adiabatique réversible de la pression P1 à la pression P2.

2-3 : le gaz se refroidit, puis se condense au contact de l'air extérieur.

3 : il ne reste que du liquide à la température T2 pour laquelle la pression de vapeur saturante

vaut P2.

3-4 : le fluide subit une détente de Joule-Thomson

4 : on obtient un mélange liquide-gaz à la pression P1

4-1 : le liquide du mélange se vaporise au contact de l'évaporateur du réfrigérateur, pour

obtenir uniquement du gaz à la température T1.

1. Déterminer qualitativement dans quelle zone doivent se trouver chacun des points 1, 2

3 et 4. Tracer qualitativement le cycle sur un diagramme de Mollier schématique où

l'on aura juste remis les courbes de rosée et d'ébullition.

2. Il faut que le réfrigérateur puisse fonctionner jusqu'à une température extérieure de

40°C. Quelle doit être la pression minimale P2 pour que le gaz puisse se condenser au

contact de l'air? On adoptera cette pression limite.

3. On désire avoir un point froid au niveau de l'évaporateur qui soit inférieur à -5°C pour

pouvoir fabriquer de la glace dans le freezer. Quelle doit être la pression maximale

pour P1? Si on avait voulut faire un congélateur et descendre à -28°C, quelle aurait dû

être la pression maximale pour P1? Pour la suite, on adopte la valeur trouvée pour

-5°C.

4. Lors de la détente de Joule-Thomson, en utilisant le diagramme de Mollier, déterminer

la fraction de fluide vaporisé. En déduire la quantité de fluide qui va se vaporiser dans

l'évaporateur. Pour 1 kg de fluide, déterminer la quantité de chaleur échangée au

niveau de l'évaporateur.

5. Lors de la compression adiabatique, dans quel état est le fluide? Quelle approximation

peut-on adopter? D'après le diagramme de Mollier, quelle est la température du fluide

à l'issue de la compression? En utilisant les propriétés du gaz parfait, en déduire le

travail fourni par l'utilisateur durant la compression.

6. Définir l'efficacité de la machine, puis la calculer numériquement.

TRAVAUX DIRIGES N°5

Gel d’une solution de sucre

On considère une solution liquide d'eau, dans laquelle on a mis 10g/litre d'un sucre. On

refroidit cette solution. La solution d'eau et de sucre est supposée idéale. On constate qu'elle commence à geler pour une température T1 = -0.0543°C. Le but de l'exercice est de

déterminer la masse molaire du sucre.

1. Justifier que les potentiels chimiques peuvent être considérés comme indépendants de la

pression.

2. En supposant que l'eau sucrée constitue une solution idéale, que vaut le potentiel chimique µL(T) de l'eau dans le liquide en fonction de la fraction molaire y du sucre? Même question

pour la phase solide. On admettra que la phase solide qui se forme ne contient pas de sucre. On notera µL°(T) et µS°(T) les potentiels chimiques respectifs de l'eau pure et de la glace

pure.

3. A la température de gel T0 = 0°C de l'eau pure, quelle relation a-t-on entre µL°(T0) et

µS°(T0)? Pour l'eau sucrée, quelle relation doit-on avoir entre µL(T1) et µS°(T1)? En faisant

un développement limité, justifié par le fait que (T1-T0) est très petit, exprimer µL(T1) et

µS°(T1) en fonction de µL°(T0), µS°(T0), (T1-T0) et une dérivée bien choisie.

4. Quelle relation y a-t-il entre le potentiel chimique µ(T) et l'enthalpie libre molaire

g(T,P) ≈ g(T)? Exprimer dg en fonction de l'entropie molaire et du volume molaire. Pourquoi

le terme vdP peut-il être négligé?

5. Exprimer la chaleur latente de fusion de la glace L en fonction de sL(T0) et sS(T0), entropie

molaire respective de l'eau liquide et de la glace. Déduire de tout cela la loi de la cryométrie,

qui donne la variation du point de fusion en fonction de R, T, L et y.

6. En utilisant les résultats expérimentaux donnés en introduction, déterminer la masse

molaire du sucre utilisé. On donne :

Masse molaire de l'eau : 18 g.mole-1

Chaleur latente de fusion de la glace : 335 J.g-1

Constante des gaz parfaits : R = 8.32 J.mole-1

Correspondance degré Kelvin et °C : 0°C = 273 K

TRAVAUX DIRIGES N°6

I. Conduction thermique à travers une sphère de polystyrène

On remplit une sphère de polystyrène creuse d'azote liquide. Le but de l'exercice est de

déterminer combien de temps on peut conserver du liquide dans un tel récipient. On supposera

que la température intérieure T0 de la sphère est constante, et la température extérieure T1

aussi. On supposera en outre que les transferts de chaleur radiatif sont négligeable.

Intérieur de la sphère(remplie d'azote liquide)

Isolation en polystyrène expansé

r = a

r = 2a

1. Quel processus très efficace peut justifier les hypothèses de température constante

pour r < a ou r > b? Pourquoi ce processus ne peut pas être invoqué entre r = a et

r = 2a?

2. On suppose d'abord la conductivité thermique λ du polystyrène constante. Calculer en

régime permanent T(r). En déduire la quantité de chaleur reçue à l'intérieur de la

sphère. Quel effet va produire cette chaleur? La température à l'intérieur de la sphère

peut-elle rester constante?

3. En fait, le polystyrène peut être assimilé à de l'air, dont la conductivité dépend de la

température selon la loi λ(T) = αTβ. Calculer le flux de chaleur Φ en régime permanent.

4. Combien de temps peut-on conserver du liquide à l'intérieur de la sphère?

5. Application numérique : a = 10cm, calculer Φ dans le cas des questions 2 et 3 (pour la

question 2, on prendra λ = 0.026 W.m-1

.K-1

, pour la question 3, on prendra

α = 1.55x10-4

W.m-1

.K-(1+β)

, β = 0.9). Puis calculer la durée de conservation du liquide.

Données : T0 = 77K, T1 = 300K, LV = 161kJ.dm-3

grad→

f = ∂f

∂r ur→

+ 1

r ∂f

∂θ uθ→

+ 1

rsinθ ∂f

∂ϕ uϕ→

∆f = ∂2f

∂r2 +

2

r ∂f

∂r +

1

r2sinθ ∂

∂θ

sinθ∂f

∂θ +

1

r2sin2θ ∂2f

∂ϕ2

II. Effet de serre

Les échanges de chaleur entre la Terre et le Soleil se font uniquement par voie radiative. Le but ici est de calculer la température d'équilibre que devrait atteindre la surface de la Terre si elle se comportait comme un corps noir idéal.

1. En utilisant la loi de Stefan, calculer la puissance totale émise par le Soleil dans toutes les directions de l'espace. En déduire l'énergie reçue par la Terre en fonction de RT (rayon de la

Terre), RS (rayon du soleil) et RTS (distance Terre-Soleil), puis en utilisant l’angle apparent α

du Soleil vu au niveau de la Terre. [Rappel : P = σT4 où P est la puissance émise dans tout

l’espace par unité de surface de corps noir porté à la température T].

2. Calculer la puissance réémise par la surface de la Terre du fait du rayonnement du corps noir. Un corps noir idéal réémet la totalité de l’énergie reçue. En supposant l'équilibre, en déduire la température de la surface de la Terre en régime permanent. Exprimer cette

température en fonction de RS et RTS, puis en fonction de l'angle α.

3. Application numérique : calculer T à la surface de la Terre. On donne α=0.5°,

Tsoleil = 5500 K.

4. La composition de l’atmosphère terrestre en gaz à effet de serre (H2O et CO2

essentiellement) fait qu’une partie x% du rayonnement du corps noir émis par la Terre est

piégée par l'atmosphère et réémise vers la Terre. De ce fait, la chaleur réellement rayonnée par la Terre est inférieure à ce qui a été calculé précédemment. Refaire le bilan thermique et déterminer la nouvelle température d'équilibre.

5. Déterminer x si la température moyenne de la Terre est de 15°C.

6. Comment expliquer que la température sur Vénus soit de 460°C, alors qu’elle est à 1011 m

du Soleil contre une fois et demie pour le cas de la Terre.

TRAVAUX DIRIGES N°7

Cellule à Effet Peltier (CEP) (Sujet extrait d’annales de concours – E3A

2006 PSI, Physique Chimie) La Cellule à Effet Peltier (CEP) ou module Peltier est un assemblage d’éléments semi-conducteurs placés entre deux semelles électriquement isolantes mais conductrices de la chaleur. Dès lors qu’un courant électrique continu traverse un tel montage, il apparaît une « face froide » qui absorbe de la chaleur et une « face chaude » qui dégage de la chaleur. La CEP est donc une pompe à chaleur qui prend de l’énergie thermique à une source froide pour la restituer à une source chaude. Elle est entièrement statique car elle ne possède ni pièce métallique en mouvement (en dehors d’un ventilateur), ni fluide réfrigérant (il est remplacé ici par le courant électrique et ce sont les électrons qui jouent le rôle du fluide frigorifique). C’est le procédé de réfrigération le plus compact, sa petite taille (8,8 mm × 8,8 mm × 2,8 mm) permet un refroidissement très localisé qui ne perturbe pas le reste du système. L’étude qui va suivre s’effectue à une dimension suivant l’axe Ox et en régime permanent. Les paramètres utilisés pour décrire les systèmes sont donc indépendants du temps et ne dépendent que du paramètre d’espace x. Les conductivités thermique λ et électrique σ sont supposées indépendantes de la température et uniformes dans le conducteur. A. Conductivité thermique en présence de courant électrique Le conducteur cylindrique (homogène, d’axe Ox, de section S, de longueur ℓ) est parcouru dans la direction de l’axe Ox par un courant électrique continu d’intensité I uniformément répartie sur la section S. Le conducteur est en contact à ses extrémités avec deux sources idéales de chaleur : d’un côté, une source chaude de température TC (en x = 0) et de l’autre une source froide de température TF (en x = ℓ). Sa surface latérale est parfaitement calorifugée. La résistance électrique du cylindre, comprise entre x = 0 et x = ℓ, est notée Rc. (a) En appliquant le premier principe de la thermodynamique à une tranche élémentaire du conducteur comprise entre x et x + dx, établir l’équation différentielle vérifiée par la température T(x) au sein du conducteur : d²T/dx²=- Rc I² / (λ ℓ S) (b) La solution de cette équation s’écrit T (x) = Ax² + Bx +C. Déterminer A, B et C en fonction de TC, TF, λ, S, ℓ, RC et I. La répartition de la température dans le conducteur dépend-elle du sens du courant I ? (c) Exprimer la puissance thermique P(x) transportée à travers la section S du conducteur à l’abscisse x et dans le sens des x positifs. En déduire les puissances thermiques algébriques PC et PF respectivement reçues par la source chaude et la source froide, en fonction de la conductance thermique Gth du cylindre, de sa résistance électrique RC et en faisant apparaître deux termes dont l’un est proportionnel à I² et l’autre à l’écart de température (TC-TF). Que représentent-ils ? Calculer PC + PF et commenter le résultat. B. Effets thermoélectriques L’effet Peltier est le seul phénomène thermoélectrique considéré dans la suite de cet exercice. Cet effet thermique (autre que l’effet Joule) résulte du passage d’un courant électrique à travers la jonction J (ou interface) entre deux conducteurs A et B différents et à la même température T. Deux conducteurs (ou semiconducteurs) différents A et B, de pouvoirs thermoélectriques (ou coefficients Seebeck) respectifs εA et εB sont associés dans la configuration A – B – A – B… et joints en J1, J2, J3,… L’association est parcourue par un courant électrique continu d’intensité I et maintenue à la température uniforme T par contact avec une source de chaleur.

On note Pth, Pel(J1, A → B) la puissance thermique due à l’effet Peltier reçue par la jonction orientée A → B et prélevée au corps extérieur (1) en contact avec elle. Le pouvoir thermoélectrique εAB = εA – εB du couple de conducteurs (ou semiconducteurs) A → B est positif et supposé constant, il ne dépend que de la nature de A et de B.

(a) Exprimer Pth, Pel(J1, A → B) et en déduire la puissance thermique Pth, Pel(J2, B → A) reçue par la jonction suivante B → A et prélevée au corps extérieur (2) en contact avec elle. (b) À partir des signes des puissances calorifiques, conclure quant aux effets de refroidissement et de réchauffement des jonctions J1 et J2 sur les corps extérieurs placés à leur contact. Qu’advient-il en cas d’inversion du sens du courant ? C. Réfrigérateur thermoélectrique Le « motif élémentaire » de la CEP est un couple thermoélectrique ou pavé constitué de deux thermo éléments semi-conducteurs cylindriques de géométries identiques, asymétriques de types N et P, connectés thermiquement en parallèle et électriquement en série par l’intermédiaire d’un pont de cuivre constituant une soudure métallique M. Le semi-conducteur de type P a une résistance RP, une conductance thermique Gth,P, un coefficient Seebeck εP. Le semiconducteur de type N admet RN, Gth,N et εN, avec εNP = εN – εP > 0. Le métal M, de coefficient εM, a des résistances électrique et thermique négligeables. Dans le sens du courant I alimentant le montage, les deux jonctions successives N → M et M → P sont en contact avec la soudure froide à la température TF de la source froide (le corps à refroidir), les deux jonctions M → N et P → M sont en contact avec la soudure chaude à la température TC de la source chaude (le radiateur). Les deux faces externes en céramique réalisent l’isolement électrique et assurent une conductivité thermique supposée parfaite. Les surfaces latérales des semi-conducteurs sont parfaitement adiabatiques. L’efficacité de la CEP dépend fortement du dispositif d’évacuation de la chaleur sur la plaque chaude, l’énergie thermique transférée sur cette plaque devant être impérativement évacuée pour ne pas réchauffer la plaque froide ou endommager le module. La CEP est donc fixée sur un radiateur à ailettes de refroidissement dont les capacités de transfert de chaleur sont renforcées par un ventilateur. Un tel « puits thermique », surdimensionné, peut dissiper une puissance thermique beaucoup plus élevée que nécessaire et limite la température TC de la face chaude. 1. Bilan des puissances (a) À partir des résultats établis précédemment, exprimer les puissances thermiques Pth(1)(F) et Pth(1)(C) fournies par le pavé respectivement à la face froide et à la face chaude en fonction de l’intensité I, du pouvoir thermoélectrique εNP, de TF et TC, de la résistance électrique du pavé R = RN + RP et de sa conductance thermique Gth = Gth,P + Gth,N. (b) Calculer Pth(1)(F) + Pth(1)(C). En déduire la puissance électrique Pel(1) fournie au couple thermoélectrique par le circuit extérieur auquel il est connecté. (c) La CEP est constituée de n = 69 pavés montés en série. En déduire la puissance électrique Pel prélevée au circuit extérieur par la cellule et les puissances thermique Pth(F) et Pth(C) fournies par le module respectivement à la face froide et à la face chaude.

2. Performances théoriques d’une CEP La température TC est définie lors de la conception du circuit, elle est fixée par le mode de dissipation de la puissance thermique de la face chaude. La puissance frigorifique Pf est la puissance prélevée par le module au composant à refroidir et absorbée par la face froide. (a) Exprimer Pf en fonction de n, εNP, R, I, Gth, TF et (TC –TF). À la température TF imposée par la soudure froide, pour quelle valeur de I notée IMAX cette puissance est-elle maximale? Exprimer alors la puissance frigorifique maximale du module (Pf)MAX. (b) Le coefficient de performance froid COPf ou rendement énergétique est défini comme le rapport entre la puissance thermique absorbée sur la face froide et la puissance électrique transmise au module. Donner son expression en fonction des paramètres de Pf. (c) Montrer que, pour une intensité I imposée par le circuit extérieur, ∆T=TC-TF est maximal lorsque la puissance Pf est nulle, c’est-à-dire lorsque la face froide de la cellule est parfaitement isolée thermiquement. Quelle est alors l’expression de la température minimale théorique TF,MIN que permet d’atteindre le module ? (d) Quelle valeur optimale de l’intensité du courant IOPT permet d’abaisser au maximum TF,MIN et d’atteindre le ∆TMAX de la CEP? La valeur de TF,MIN pour I = IOPT étant notée TOPT, montrer qu’elle est proportionnelle à IOPT et vérifie TOPT = R IOPT / εNP

(e) Afin d’évaluer la qualité thermoélectrique du matériau utilisé dans la réalisation du couple Peltier, les constructeurs ont défini son facteur de mérite noté Z, tel que : ∆TMAX = TC - TOPT = Z TOPT² / 2 Donner son expression en fonction des trois caractéristiques du matériau thermoélectrique : εNP, R et Gth.

3. Application au refroidissement d’un capteur CCD

L’acquisition de l’information en astronomie revêt une importance capitale. L’univers étant dans sa grande partie inaccessible à l’analyse directe, tous les renseignements qu’il nous dévoile sont essentiellement véhiculés par la lumière qu’il nous envoie. Un récepteur CCD (en français DTC pour Dispositif à Transfert de Charges) associé à un collecteur de lumière permet de disposer d’image électronique constituant le point de départ d’une reconstitution numérique par les outils de traitement et d’analyse de l’image. Afin de minimiser le bruit thermique généré par l’agitation thermique et d’améliorer le rapport signal/bruit de l’image initiale, le capteur CCD doit être refroidi à –40°C par un module Peltier. Pour TC = 298 K et ∆T = TC – TF = 65°C, le constructeur fournit l’évolution de la puissance frigorifique Pf et du rendement COPf du module en fonction de I.

Le module est constitué de n=69 pavés de caractéristiques : εNP=592×10–6 V.K–1, R=4,6×10–2 Ω, Gth=1,4×10–3 W.K–1.

(a) Analyser les phénomènes qui limitent le fonctionnement en réfrigérateur de la CEP et préciser dans quels domaines d’intensité I. Expliquer pourquoi le capteur est placé dans un boitier étanche à l’humidité. (b) Que se passe-t-il en cas d’inversion du sens du courant ? Quel phénomène observe-ton lorsque le module est installé sur une plaque chauffante en l’absence de son alimentation électrique externe ? (c) Analyser le choix du point de fonctionnement du module I = 2,2 A. Déterminer dans ce cas la puissance frigorifique du module Pf, son rendement COPf, la puissance électrique Pel prélevée au circuit extérieur et la puissance thermique PC qu’il est nécessaire d’évacuer. Commenter le rapport PC/Pf. (d) Calculer le facteur de mérite Z du semi-conducteur thermoélectrique et ∆TMAX.