Trois points de vue sur l'histoire des mathématiques - une lente évolution de l'écriture des nombres - l'aspect outil avec Fourier - l'apport culturel

Trois points de vue sur l'histoire des mathématiques

- une lente évolution de l'écriture des nombres

- l'aspect outil avec Fourier

- l'apport culturel d'Euclide

Claude Gachet Philippe ClarouAST 23 mars 2007

2

Avant-propos

Les mathématiques apparaissent parfois, tout au moins dans certains aspects, comme une science déconnectée du réel, complètement achevée et immuable, réservée à un certain nombre d'initiés, sans évolution ni recherche.

Pourtant elles sont l'œuvre des différentes civilisations et des générations successives ; elles ont connu et connaissent encore comme toutes les sciences, évolutions, impasses, régressions, progrès et controverses.

Cousquer Éliane, La fabuleuse histoire des nombres, Diderot, Paris, 1998

3

Premier point de vue

Une lente évolution de l'écriture des nombres

4

Notre système pour écrire les nombres

Pour écrire les nombres,- nous utilisons seulement 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ;

- ces chiffres n'ont pas la même signification suivant leur position dans le nombre ;

- chaque chiffre indique le nombre d'unités des différents ordres (unité 100, dizaine 101, centaine 102, millier 103,…) ;

- le chiffre 0 indique une puissance de dix manquante ;

- pour faciliter la lecture, on regroupe les ordres par trois ;

- ce système permet d'écrire des nombres aussi grands que l'on veut ;

- ce système est étendu à droite des unités, au-delà d'une virgule pour écrire les fractions de puissances de dix (dixième, centième, millième,…);

- enfin, à l'aide de l'écriture décimale, on peut donner une valeur approchée de n'importe quel nombre réel aussi précise que l'on veut.

2 007

12 345

1 000 000

5


En résumé, notre système d'écriture des nombres

- en base 10

- chiffres arabes

- système positionnel

- un zéro

- système de notation infini

- système étendu à droite avec les parties fractionnaires

6


Ainsi, on écrit tous les nombres à partir de dix chiffres seulement et éventuellement une virgule (ou un point pour les Anglos-saxons).

Ce système est maintenant universellement adopté, tout au moins au niveau des textes scientifiques.

Ce système est le produit d'une évolution complexe des notations des nombres au cours de plusieurs millénaires.

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Les nombres dans la langue orale

Nombres dans la langue orale

On ne dit pas les nombres comme on les écrit.

En français, on trouve des restes d'une base 20 (celtes, influence normande du 1er millénaire, numération grecque) : quatre-vingts.

Dans les langues égyptienne, hébraïque, arabe, sanscrite, grecque et gothique on trouve trois cas : singulier, duel et pluriel.

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Pratique de l'entaille

Premières représentations de nombres : à l'aide d'entaille

Péroné de babouin muni de 29 encoches (vers 35 000 ans avant notre ère)

Os de loup muni de 55 encoches regroupées par 5 (vers 30 000 ans avant notre ère)

http://histoiredechiffres.free.fr

9

Pratique de l'entaille

Taille des bergers en Dalmatie

Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Paris, R. Laffont, 1994

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=137&IDD=0

10

Premières traces d'écriture

Civilisation sumérienne

On a retrouvé les traces d'un peuple, les Sumériens, qui pratiquaient une écriture dite cunéiforme (en forme de coins, de clous) dont on a retrouvé les traces, en particulier sur des tablettes d'argile.

Ce premier document épigraphique, ramené en Europe en 1786 par A. Michaux est, en fait, une dotation foncière. On peut y lire en particulier la dimension d'un champ.

http://www.ezida.com/caillou%20michaux.htm

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Sumer et Babylone

Civilisation sumérienne – 3500 – 3000Civilisation babylonienne – 2000 – 500(paléo-babylonien ; médio- babylonien ; néo-babylonien)

http://www.cliolamuse.com/spip.php?rubrique42

12

Mésopotamie

Les premières tablettes d'écriture furent des tablettes de comptabilité.

La découverte et le déchiffrement de l'écriture cunéiforme sont plus récents que ceux des hiéroglyphes égyptiens.

- période protosumérienne des débuts de l'écriture ;- autour de –2000 ;- la période Séleucide (–300 à 100) dont le début correspond à la conquête de la région par Alexandre.

Les tablettes mathématiques retrouvées en Mésopotamie datent de trois périodes :

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Civilisation sumérienne

On retrouve en Mésopotamie chez les Sumériens des objets fabriqués ("pierres d'argile"), les calculi (calculus, "caillou" en latin), dès la moitié du 4ème millénaire avant notre ère

http://www.math93.com/histoire-nombres.htm

Dans la numérotation sumérienne, qui est de base 60, le petit cône vaut 1, la bille 10, le grand cône 60, le grand cône perforé 3600 et la sphère perforée 36 000.

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Système babylonien d'écriture des nombres

Système emprunté aux sumériens ayant servi pour les tables astronomiques

- pour écrire les nombres de 1 à 59, utilisation de deux symboles répétés

un clou représentant un

un chevron représentant dix

23 s'écrit donc

Quel est le nombre représenté par ? 35

15


Système emprunté aux sumériens ayant servi pour les tables astronomiques

- la valeur des symboles pouvait dépendre de la place qu'il avait dans le nombre et/ou du contexte

représente :

un clou représente 1, 60, 602, … ou même , ,…

1

60 2

1

60

un chevron représente 10, 1060, 10602,… ou même 10 ,…

1

60

Ainsi

3360 + 27 c à d 2 007

16


Exemple

Comment écrire 7 943 ?

7 943 = 7 200 + 720 + 23

7 943 = … 3 600 + … 60 + 23 2 12

7 943 = … 602 + … 60 + 23 2 12

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Caractéristiques de ce système

Possibilité de noter des nombres aussi grands ou aussi petits que l'on veut.

Ambiguïté par suite de l'absence de zéro et de virgule ; c'est seulement le contexte qui donne l'ordre de grandeur.

Ce système, chronologiquement le premier (2000 ans avant notre ère), a été le système le plus élaboré de ceux apparus dans l'Antiquité au Moyen-Orient. Il fut adopté par Ptolémée pour noter les parties fractionnaires dans ses tables astronomiques.

18


Quelques exemples

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2074

19


Ecoles de scribes en Mésopotamie (vers -1800) Tablette scolaire de Nippur (HS 217a)

Christine Proust Equipe REHSEIS ENS - Site «CultureMATH»

1 92 18

7 60 38 60 12

[Copie de H. Hilprecht, 1906, Mathematical, Metrological and Chronological Tablets from the Temple Library of Nippur, n°15, pl. 14]

Table par 25 (musée du Louvre)

20

Calcul deTablette YBC 7 289

Sur un côté du carré, on peut lire

Sur la diagonale :

soit 1 ; 24, 51, 10 1,414 212 9

Et en dessous de la diagonale :

c-à-d 30 ou éventuellement 1

2

en fait 1,414 213 5 2

soit 42 ; 25, 35 qui correspond à 30 1 ; 24, 51, 10

2

http://perso.ens-lyon.fr/pierre.lescanne/PUBLICATIONS/histoire_algo_babylone.pdf

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Civilisation égyptienne

Les mathématiques égyptiennes nous sont parvenues surtout par deux documents :

- le papyrus de Rhind -1650

copie par le scribe Ahmès d'un document plus ancien de 200 ans environ sûrement babylonien

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Ahmes.html

22

Civilisation égyptienne

Les mathématiques égyptiennes nous sont parvenues surtout par deux documents :

- le papyrus de Moscou -1850

Découvert en 1853 par l'égyptologue russe Golenischev

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Ahmes.htmlillustration empruntée au site UVic de l'université de Victoria (Canada)

23

Système égyptien d'écriture des nombres

Système additif

1|

2| |

3| | |

4| | | |

5| | || |

6| | || | |

7| | | || | |

8| | | || | | |

9| | | | || | | |

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1

|

10

100 1000 10000 105 106

24

Système égyptien d'écriture des nombres

Exemples :

1 |

10

100 1000 10000 105 106

Quel le nombre représenté par ?

Quel le nombre représenté par ?

347

101 011

25

Numération égyptienne : calculs

Dans un système non positionnel, comme la numération égyptienne, grecque ou romaine, toute opération ne peut pas s'effectuer à partir de la simple écriture des nombres.

En Égypte, on utilisait des tables à calculs (ou abaques), table à sable, table à poussière

26

Multiplication égyptienne

Par duplication

1 75

Soit à effectuer 75 23

Puisque 23 = 16 + 4 + 2 + 1

On a : 75 23 = 1200 + 300 + 150 + 75

Donc 75 23 = 1725

2 150

4 300

8 600

16 1200

27

Division par duplication

Soit à diviser 2007 par 29

1 292 007 – 1 856 = 151

151 – 116 = 35

35 – 29 = 6

2 007 = 64 29 + 151

= 64 29 + 4 29 + 35 = 64 29 + 4 29 + 1 29 + 6 = 69 29 + 6

2 58

4 116

8 232

16 464

32 928

64 1 856

www4.ac-lille.fr/~math/classes/serieL/hist_numer.ppt

28

Fractions égyptiennes

Les égyptiens n'avaient pas la notion de fraction mais simplement celle de part.

En fait, dans les calculs ils ramenaient les fractions à des décompositions en somme d'un entier et de fractions unitaires distinctes.

Ainsi, seules les fractions de la forme avaient un sens pour eux. 1

n

On peut montrer que cette décomposition est toujours possible mais elle n'est pas unique. Il y avait une seule exception avec la fraction . 2

3

29

Fractions égyptiennes

Une partie du papyrus de Rhind est consacré à l'établissement de ses tables. On trouve entre autres sur ce papyrus des relations comme :

1 1 1

3 6 2 = 1

1 1 1

2 3 6

2

3

1 1

2 6=

1 8

2 161

2

Pour calculer le quotient de 19 par 8

4

1

42

1

81

19 = 16 + 3 = 2 8 + 3

3 = 2 + 1 = 8 + 81

4

1

8

19 = 8 1 1

2 + +4 8

30

Système grec d'écriture des nombres

Système décimal additionnel utilisant les lettres.


Pour distinguer les nombres, les lettres utilisées sont surmontées d'une barre.

koppa

sampi

digamma

31

Numération romaine

Origine : vers 500 avant notre ère

Caractéristique : numération additive de base 10.Le nombre zéro n'existe pas et n'est pas nécessaire

32

Numération romaine

Au début,

I II III IIII V VI VIIun deux trois quatre cinq six sept

VIII VIIII X XI huit neuf dix onze


Ensuite,

I II III IV V VI VIIun deux trois quatre cinq six sept

VIII IX X XI huit neuf dix onze

33

Numération romaine

Les romains utilisaient M pour 1 000

On trouve aussi ou IDoit y voir un lien avec les Etrusques qui désignait 1 000 par un O ?D désignant 500 résulte-t-il de cette notation ?

34

Règles de la numération romaine

Règle numéro 0 : La numération romaine n’utilise pas de zéro.

Règle numéro 1 : On additionne les symboles entre eux, si ceux inscrits à droite sont plus petits.Exemples : XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 28 LXXVII = …………………

Règle numéro 2 : On n’écrit jamais plus de 3 signes semblables juxtaposés.Exemples : IV et non IIII

IX et non VIIII CD et non CCCC

Règle numéro 3 : Les chiffres écrits à gauche d’un plus grand s’en retranchent.Exemples : IV = 5 – 1 = 4

IX = 10 – 1 = 9 CD = 500 – 100 = 400 LX = …………………

35

Règles de la numération romaine

Règle numéro 4 : Tout chiffre écrit entre 2 plus forts se retranche de celui de droite :Exemples : XIX = 10 + (10 – 1) = 10 + 9 = 19

MCM = 1000 + (1000 – 100) = 1000 + 900 = 1900

Règle numéro 6 : Quand on retranche un nombre d’un nombre plus fort, on ne peut pas sauter une puissance de 10.Exemple : 999 ne peut pas s’écrire IM

999 = 900 + 90 + 9 = CMXCIX

Règle numéro 5 : La barre indique une multiplication par milleExemples : = 12 000

= ……………………………………………XII

XXXIV

36

Numération romaine : calculs

Les tables à calculs

Chez les Romains, chaque colonne de l’abaque était une puissance de dix.

Les tables à calculs , appelées abaques , étaient constituées de tables ou de planchettes avec des colonnes pour séparer les différents ordres de numération : les jetons ou cailloux utilisés valaient chacun une unité dans le rang où ils étaient placés .


37

Numération romaine : calculs

Parfois , chaque colonne était divisée en deux parties, la partie supérieure valant la moitié d’une unité de l’ordre immédiatement supérieur .


38

Boulier

Une addition avec un abaque est très proche d'une addition avec un boulier.

addition

39

Éclipse des sciences avec l'empire romain

Malheureusement, la science devait connaître une éclipse à l'époque de l'Empire romain, dont les élites étaient plus intéressées par la technique et par les conquêtes que par l'avancement des connaissances théoriques, et les invasions qui ont suivi son effondrement, n'ont pas favorisé les recherches scientifiques.

40

Numération indienne

Aryabhata (476 – 550)

Aryabhata est un des premiers grands mathématiciens indiens ; il a publié un traité Aryabhata en sanscrit en 550 (traduit en Europe seulement au 19e siècle), où il utilise des noms de nombres de la langue sanskrite tel que Eka (1), Dasha (10), Shata (100) pour désigner ses données numériques.

Il a présenté un système héliocentrique, s'opposant ainsi au système de Ptolémée, hérité d'Aristote

Mais il emploie également une notation numérique (de type alphabétique) de son invention dont l’usage est peu commode. On peut penser aussi qu’il use de la notation décimale au moyen de symboles numériques et qu’il connaît le principe de position ainsi que le zéro.

41


Brahmagupta (598 – 660 ?)

En fait, c'est Brahmagupta qui emploie dans ses calculs, les chiffres décimaux avec un graphisme proche des chiffres adoptés ensuite par les arabes au 9e siècle.

C'est lui qui utilise pour la première fois explicitement le nombre zéro. Cette apparition est un grand pas vers l'algèbre.

Il est aussi sûrement le premier à utiliser les nombres relatifs pour signifier pertes et profits ; il énonce la règle des signes.

42


Multiplication :

26 = 1225 = 10

35 = 15

36 = 18

37 = 21

27 = 14

45 = 20

46 = 24

47 = 28

soit à effectuer 567 234

43

Les arabes et l'Islam

Le déclin de la mathématique grecque, puis de l'empire romain, marquent le début de l'influence arabe liée à l'apparition du prophète Muhammad vers l'an 600 et d'une nouvelle religion : l'Islam.

Le berceau intellectuel et économique de cette nouvelle civilisation sera d'abord La Mecque, ville natale du prophète et carrefour économique de la région.

Après la mort du prophète (632), les conquêtes musulmanes se succèdent (Syrie, Jérusalem, Mésopotamie, Égypte, Iran, Chypre, Afrique du nord, Sicile, Espagne).

44

Renouveau scientifique

Ces invasions seront un important vecteur de la transmission du savoir et du renouveau des mathématiques.

En effet, si les premières conquêtes sont plus motivées par la soif du gain que celle de la culture, l'installation des califats conduira les conquérants à s'intéresser aux autres trésors des contrées traversées (architecture, sciences, médecine, philosophie, arts).

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Renouveau scientifique

Bagdad (capitale de l'actuel Iraq) sera le fief de la connaissance dès le règne du calife Al Mansour (seconde moitié du 8e siècle).

De nombreuses écoles et bibliothèques sont créées.Le calife Al Ma'mun, y fonde - en 829 le grand observatoire ;- en 832, la maison de la Sagesse (Baït al-Hikma), véritable laboratoire des Lettres, des Arts et et des Sciences.

Les textes scientifiques (astronomie , mathématique, médecine) récoltés au cours des conquêtes sont traduits et étudiés (en particulier, arithmétique et géométrie grecque, algèbre indienne).

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La traduction des textes

Déjà sous le règne de Harun-al-Rachid (766 - 809) avait été publiée la première traduction des Éléments d'Euclide, mais à partir d'une version syriaque et le calife Al-Mansour avait encouragé la traduction en arabe de tous les textes grecs. Il avait en particulier obtenu de l'empereur byzantin une version grecque des Éléments d'Euclide.

Un peu plus tard, le calife Al-Ma'mun (786 - 833) avait été jusqu'à exiger de l'empereur d'Orient, qu'il venait de vaincre, qu'il lui remette un exemplaire de tous les livres grecs en sa possession.

47

La traduction des textes

La façon dont nous sont parvenues toutes ces traductions de textes grecs ressemblent souvent à des aventures romanesques.

Par exemple, la traduction du grec en latin de l'Almageste de Ptolémée, faite par Boèce au VIe siècle, a été perdue et nous n'en avons connaissance aujourd'hui que grâce à une traduction arabe de l'original grec, faite à Bagdad au IXe siècle, qui fut elle-même retraduite en latin au XIIIe siècle.

La première traduction en arabe des Eléments d'Euclide, à partir du texte grec, date de 813 et celle de l'Almageste de Ptolémée, de 827.

48

Les mathématiciens arabes

Mais les Arabes n'ont pas été uniquement les introducteurs de la science grecque en Occident. Ils ont aussi été de grands savants.

Utilisant avec brio l'héritage géométrique grec, les mathématiciens arabes furent particulièrement novateurs en algèbre et en trigonométrie avec le développement de l'astronomie. Leur contribution implicite dans le renouveau des mathématiques en Europe est ainsi capitale.

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Al-Khawârizmi (780-850)

Mathématicien arabe, il fut l'un des membres les plus importants de la maison de la Sagesse à Bagdad, où le calife al-Ma'mun avait regroupé hommes et moyens en vue du développement des sciences.

Il a écrit un ouvrage sur l'arithmétique qui est le premier exposé systématique sur le système décimal de position et sur les opérations à l'aide de cette notation des nombres.

http://farabi.ifrance.com/khawarismi.html

Le seul manuscrit connu est une traduction latine partielle de cet ouvrage dont le titre probable est : Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens.

50

Al-Khawârizmi (780-850)

La notoriété d'Al-Khawarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calcul algébrique.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Al-Khawarizmi

Auteur d'un Livre sur la science de la transposition et de la réduction ("Kitab Al jabr w'al mouqabala"), on peut le considérer comme un des premiers algébristes.

51

AL-KHWARIZMI Muhammad Ibn Moussa vers 780-850

"al muqabala" Si 3 choses valent 2 choses et 5, alors 1 chose vaut 5.

"al hatt" Si 2 carrés et 42 valent 20 choses, alors 1 carré et 21 valent 10 choses.

"al jabr" compensation, restauration, …Si 3 choses diminuées de 5 valent 2 choses, je compense avec 5 ; alors 3 choses diminuées de 5 et augmentées de 5 valent 2 choses augmentées de 5 ; 3 choses valent donc 2 choses et 5.

3 x – 5 = 2 x3 x – 5 + 5 = 2 x + 53 x = 2 x + 5

3 x = 2 x + 5 x = 5

2 x2 + 42 = 20 x1 x2 + 21 = 10 x

52

Système décimal

Les chiffres de notre système décimal (0 à 9) dits "arabes" ne furent introduits en Europe que vers l'an 1000.

Gerbert d'Aurillac (plus tard pape sous le nom de Sylvestre II) , après des études à Cordoue à la fin du Xe siècle, contribue à l'introduction des chiffres arabes en France.

Abaque de Gerbert

53

Les chiffres arabes

Au moyen âge, les mathématiciens arabes occidentaux utilisaient sensiblement :

Les chiffres arabes orientaux (Égypte) et actuels sont différents (ci-dessous) :

Le mot français chiffre est une déformation du mot arabe écrit ci-dessus (prononcer approximativement sifrone ) et désignant zéro. En italien, zéro se dit zero, et serait une contraction de zefiro : on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes chiffre et zéro ont la même origine.

54

Le système décimal

Léonard de Pise dit Fibonacci (1170 - 1245) dans son Liber abaci (paru en 1202) expose longuement la méthode de position de la numération décimale et les possibilités offertes pour le calcul ; cet ouvrage a eu beaucoup de succès mais ce calcul décimal a eu du mal à s'imposer dans l'usage courant.

• Viète (1540 – 1603) dans un important traité, publié en 1579, tend à imposer le calcul décimal ce que réussiront Stevin puis Neper.

• Riese (1492 – 1559) dans un traité imprimé en 1550 assoit définitivement l’usage des chiffres indo-arabes et du système décimal en allemagne.

On continue à utiliser en astronomie le système sexagésimal.

55

Vers les nombres décimaux

• Stevin (1548 – 1620) flamand, contribua par son traité La Disme (1585) à développer le calcul algébrique, les notions de nombre décimal, de fraction, d'exposant fractionnaire et de nombre irrationnel avec l'usage du radical actuel.

Stevin nota un nombre comme 32,57 sous la forme

La notation va s'alléger devenant 32 o 57, puis 32.57 utilisée avec les anglo-saxons. Notre notation actuelle (à virgule) semble provenir de l'astronome hollandais Snellius et de Neper.

56

Vers les nombres décimaux

Cependant, ce système deviendra officiel et d'usage courant en France seulement après l'adoption du système métrique au moment de la révolution française.

57

Repères chronologiques à propos de l'écriture des nombres

Système sumérien – 3300Système égyptien – 2000 Système babylonien – 1800 Système grec – 400 Système romain – 300 Numération de position en Inde 300Numération arabe en Europe 900Arrivée du zéro en Europe 1200Fraction décimale Stevin publieDe Thiende (La dîme) en 1586Système métrique 30 mars 1791Système métrique international 1960

D'après http://tboivin.free.fr/mpi/histoire/histoire.htm

58

Deuxième point de vue

L'aspect outil avec Fourier

A propos des séries de Fourier

1ère séance AST du 23 mars 2007Claude Gachet

60

Fourier et sa célèbre transformée

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 - 1830

Joël Le Roux, [email protected]

61

62

L'ouvrage de Fourier a été réédité aux éditions Jacques Gabay en 1988

63

D'Alembert (1746) : équations des cordes vibrantes avec condition initiale

2 2

2 2 2

1 y y

c t x

( ,0) ( )y x xx

Bernouilli (1750) : il pense que toutes les solutions sont de la forme

1

sin cosn

nx nctb

l l

Fourier (1821) : équation de la chaleur avec condition initiale2

2

T TD

t x

x ( ,0) ( )T x f x

il pense que toutes les solutions sont de la forme :2

2

1

sinDn t

ln

nxb e

l

Des sons des timbres

fourson

65

Une idée fulgurante:

transposer ce que l’on sait de la constitutions des sons depuis longtemps à des « signaux » d’autre nature.

66

foursimple

C:\Atelier\foursimple\foursimple2.exe

67

A propos de Fourier:

2ème séance AST du 30 mars 2007

Philippe Clarou et Claude Gachet

68

Stockage

une base orthonormée

Il faut …

2 2

0( )E k f t dt

un produit scalaire2

0

1, ( ) ( )

2f g f t g t dt

si fn et gn sont définies par fn(t) = cos(nt) et gn(t) = sin(nt), elles forment une base orthogonale (presque une base orthonormée)

de l’énergie

69

70

On vient de voir le stockage et ce qui est transmis.

0

( ) cos( ) sin( )N

n nf x a nt b nt

La restitution se fait par :

Restitution

Diffraction et transformée de Fourier

72

Notation « complexe »:

cos sini te t i t

Une bonne image est celle d’un vecteur (une flèche) tournant à vitesse constante.

73

Diffractions

74

Calcul de l’amplitude en M(u)

( ) ( )iuxA u e f x dx

C’est la généralisation des séries de Fourier appelée : Transformation de Fourier

75

Cas simple : celui d’une fente éclairée uniformément

fonction créneau

sa transformée de Fourier

( ) ( )iuxA u e f x dx

2 iuxe dx

1

1

1 iuxeiu

1 iu iue eiu

sinu

u

76

De multiples applications

Stockage et traitement des sons

Stockage, traitement, et restitution des sons

79

212

00

2

1

0

1 1 2 2( ) ( )

2 2

2mais ( ) et si désigne

1on obtient pour q=0...N-1.

iqnNiqt N

qn

i

Nn

Nqn

q n

nc f t e dt f e

N N

nf a e

N

c aN

Transformation de Fourier rapide

80

Heureusement en 1963 quelqu’un invente un procédé pour gagner du temps pour calculer ces coefficients.

Au lieu d’être de l’ordre de N2 le nombre d’opérations à faire devient de l’ordre de N log(N).

OUF!!! Cela change tout.

avec N = 1000 ; il y aurait 1 000 000 d'opérations

le nombre d'opération devient 1000 x 3 c-à-d 3000

81

Stockage, traitement, et restitution des images

82

83

84

Cristallographie: structure des cristaux

85

86

87

D’autres applications

en économie: variations saisonnières

en biologie: analyse des séquences d’ADN.

en sismographie: recherche de l’épicentre

en imagerie médicale: tomographie, résonance magnétique

et plein d’autres choses auxquelles je n’ai rien compris

88

Troisième point de vue

L'apport culturel d'Euclide

89

Quelques dates pour la Grèce

1er J0 776 ; Homère (Iliade et Odyssée)

Thalès de Milet (624 – 548)

Pythagore de Samos (570 ? – 500 ?)

Platon (428 – 348) ;

Eudoxe (408 – 355) ; théorie des proportions ; méthode d'exhaustion

Aristote (382 – 322) ; création du lycée

Euclide d'Alexandrie (325 – 265) ; les éléments

Archimède de Syracuse (287 – 212) ; mesure du cercle ; aires et volumes de la sphère ; aire sous la parabole ; polyèdres ; trisection de l’angle ; problème d’aire et de tangente

Apollonius de Perga (262 – 190) ; coniques

90

Thalès de Milet (624 – 548)

On lui attribue l’énoncé de cinq théorèmes qui fondent la géométrie élémentaire :

– Tout diamètre partage en deux parties égales un cercle.– Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux.– Les angles entre deux lignes droites sécantes sont égaux.– Deux triangles sont égaux s’ils ont deux angles et un côté

égaux.– D’un point d’un cercle, on voit un diamètre sous un angle

droit.Encyclopædia Universalis

91

Thalès et la pyramide

Thalès avait été invité par le roi Amasis, averti de ses grandes connaissances. Il se montra à la hauteur de sa réputation : le roi déclarait ne pas connaître la hauteur des fantastiques pyramides déjà presque bimillénaires. Thalès eut de la chance : à midi il planta sa canne dans le sable verticalement et dit au roi : "l'ombre de ma canne est exactement égale à sa hauteur ; il doit en être de même pour votre pyramide : faites mesurer son ombre vous aurez sa hauteur !"

Pyramide

92

Pythagore et les Pythagoriciens

Astronome, philosophe, musicologue, cet illustre savant nous est connu par ses disciples les Pythagoriciens.

Pythagore de Samos 580 ? - 500 ?

Pythagore et les Pythagoriciens par Jean-François MatteiQue sais-je n°2732, P.U.F., Paris - 1993

Personnage mythique pour ces derniers (il serait le fils d'Apollon), il créa son école à Crotone, laquelle devint rapidement une secte aux règles de vie très sévères.

Devenant alors dérangeant, persona non grata, il mourra assassiné.

93

Les Pythagoriciens

Tous les phénomènes naturels, constate Pythagore, sont mesurables : les figures, les mouvements des astres et aussi les sons.

Ainsi, on peut établir un rapport constant entre la longueur des cordes d'une lyre et les accords fondamentaux de la musique (1/2 pour l'octave, 3/2 pour la quinte etc.). L'harmonie des nombres gouverne la nature. De fait tout devient un problème d'harmonie.

La santé elle-même est harmonie entre les parties du corps et entre le corps et le cosmos, la justice sociale est une harmonie entre les hommes où chacun est récompensé selon ses mérites (au plan politique, Pythagore préconise le gouvernement des savants).

94

Les Pythagoriciens

Selon l'historien Diogène Laërce, Hippase de Métaponte qui mit fin à la croyance en la réduction possible de tous nombres à un entier ou à un rapport de deux entiers, fut jeté en mer.

Mais il fallut attendre 2000 ans pour avoir une définition des irrationnels.

Aristote attribue aux Pythagoriciens la première démonstration de l'irrationalité de 2

95

Les Pythagoriciens

Si m2 est pair, alors m est pair et m2 est un multiple de 4.

Donc m2 est un multiple de 4, mais ainsi, n2 est pairdonc n est pair !

Soit un triangle rectangle isocèle de côté n et d'hypoténuse m.

Cela résulte du fait que si m est impair, alors m2 est impair.

D'après le théorème de Pythagore : n2 + n2 = m2 c à d m2 = 2 n2

Supposons m et n entier et premiers entre eux. m

n

nm

n

nm

n

nm

n

n

ce qui est contraire à l'hypothèse que m et n sont premiers entre eux.

96

Platon 428 - 348

Philosophe, ami et disciple de Socrate, Aristoclès, dit Platôn (le large) fut d'abord poète, dramaturge et politicien.

Il créa près d'Athènes, dans les jardins d'Akadêmos, l'Académie, une école de la philosophie et des sciences, au fronton de laquelle il fit inscrire : Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre !

97

Platon 428 - 348

Platon rejette les instruments de mesure et de construction à l'exception de la règle et du compas, car ils engendrent beauté et symétrie des formes.

La pensée de Platon s'apparente au rationalisme cartésien.

98

Duplication du carré

Étant donné un carré, construire un carré d'aire double. Voici comment, selon Platon, Socrate l'aurait proposé à un esclave (dialogue "Le Ménon") afin de démontrer que la science est en chacun de nous : le carré donné est ABCD de côté 1.

D

A

C

B

G F

E

D

A

C

B

D

A

C

B

G F

E

Le carré AEFG est de côté 2;

En vérité l'esclave se trompa et pensa qu'il suffisait de doubler le côté du carré donné (ce qui quadruple l'aire initiale). Cette erreur est mise à profit pour faire apparaître le carré DBHJ en remarquant que la diagonale d'un carré partage celui-ci en deux triangles rectangles isocèles d'aire moitié.

le quadrilatère DBHJ, construit sur les milieux de côtés de ce carré, réalise la duplication du carré ABCD.

99

Aristote 384-322

Philosophe, élève et disciple de Platon, il peut être considéré comme le premier logicien. Outre la notion de syllogisme, on lui doit le sens actuel du vocabulaire lié au raisonnement déductif : hypothèse, axiome, postulat, déduction, induction.

Située au Lukeion, colline des loups, établissement d'entraînement des athlètes, l'école d'Aristote a donné le mot lycée. Les Allemands ont préféré conserver gymnasium pour désigner les établissements d'enseignement secondaire.

Il fonde à Athènes, dans l'enceinte du "Gymnase", son école, dite "péripatéticienne", car Aristote enseignait tout en marchant (du grec péripatein = promener).

100

L'École d'Alexandrie

Fondée en 331 avant notre ère par Alexandre le Grand, la ville d'Alexandrie devint rapidement sous la protection des Ptolémées, le centre intellectuel du monde antique.

Euclide, Archimède et Apollonius.

Les mathématiques y furent particulièrement travaillées et la célèbre École mathématicienne d'Alexandrie connut, entre autres, trois représentants exceptionnels :

Les travaux de cette école débouchèrent sur une œuvre qui pendant plus de 20 siècles servit de base à toute étude géométrique: les Éléments. Cette œuvre est composée de 15 livres dont 13 sont dus à Euclide (300 avant notre ère).

101

Euclide (325 – 265)

On ne possède pas d'informations précises sur la vie d'Euclide. Il semble qu'il étudia à Athènes à École des successeurs de Platon et qu'il s'établit à Alexandrie sur l'invitation de Ptolémée II, roi d'Égypte.

S'appuyant sur les données de Thalès, Pythagore, Hippocrate de Khios, Eudoxe, Euclide réalise avec ses Éléments un premier exposé systématique des mathématiques et en particulier une première synthèse de la géométrie.

Il a le souci de fonder la géométrie : les Éléments débutent par une série d'énoncés de base, à partir desquels sont déduites toutes les autres propositions. Une telle démarche procède essentiellement des préoccupations et de l'œuvre logique d'Aristote.

Euclide avec un compas dans l'Ecole d'Athènes de 'Stanze di Raffaello' au Museus Vaticans

102

Les Éléments d'Euclide

Le texte des Éléments d'Euclide n'existe pas et ces derniers ne nous sont connus que de façon apocryphe.

L'édition, aujourd'hui de référence, est celle dite de Heiberg en grec et en latin et établie à partir de 1882 à Leipzig par Heiberg et Menge en tenant compte du seul manuscrit préthéonien existant et découvert par Peyrard au Vatican. La traduction anglaise de Heath en est tirée de même que la version récente donnée en français par Bernard Vitrac.

La 1ère impression des treize livres constituant les Eléments d'Euclide date de 1482. C'est l'ouvrage le plus étudié et commenté après la Bible.

103

Euclide (325 – 265)

• I à IV construction des figures géométriques planes ;

Les éléments (13 livres) :

• V proportions (reprise d'Eudoxe) ;

• VI figures semblables ;

• VII à IX théorie des nombres dans un contexte géométrique ; existence d'une infinité de nombres premiers ; construction de nombres parfaits ;

• X incommensurabilité, irrationnels constructibles ;

• XI – XIII aires et aux volumes des configurations usuelles du plan et de l'espace (reprise des travaux d'Eudoxe et Théétete, avec l'étude des polyèdres réguliers) (Il faudra attendre Archimède pour connaître le volume de la

sphère et l'aire de sa surface) .

104

Les Éléments

Livre I

http://visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?N=veress1-1171139432227&B=1&E=PDF&O=NUMM-68013

Dans le livre I, on trouve :

- vingt-trois définitions- cinq postulats- neuf axiomes- quarante-huit propositions

105

Les Éléments

Postulat ; axiome ; proposition

Le postulat est de nature plus philosophique que mathématique.Le postulat doit être admis, consenti avant toute poursuite du dialogue ou de la lecture : c'est une hypothèse de travail.

Un axiome est un postulat, mais il est de nature plus évidente. Quiconque doit, s'il en comprend l'énoncé, l'admettre sans discuter : c'est un truisme. Citons par exemple, en notation moderne, deux axiomes arithmétiques des Éléments d'Euclide :

si a = b alors a + c = b + c (pour tout nombre c) si a > b, alors a + c > b + c.

106

Les Éléments : Livre I

DEMANDES ou POSTULATS.

1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque. 2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie. 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle. 4. Tous les angles droits sont égaux entre eux. 5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

107

Les Éléments : Livre I

NOTIONS COMMUNES ou AXIOMES.

1. Les grandeurs égales à une même grandeur, sont égales entre elles. 2. Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux. (si a = b alors a + c = b + c (pour tout nombre c)) 3. Si de grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux. 4. Si à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront inégaux. (si a > b, alors a + c > b + c)5. Si de grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux. 6. Les grandeurs, qui sont doubles d'une même grandeur, sont égales entre elles. 7. Les grandeurs, qui sont les moitiés d'une même grandeur, sont égales entre elles. 8. Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles, sont égales entre elles. 9. Le tout est plus grand que la partie.

108

Livre I

Proposition 1 : Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.

Exposition : Soit AB une ligne droite donnée et finie. Détermination : Il s'agit de construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral. Construction : À partir du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence BCD ; puis, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence ACE. Du point C, où les circonférences sont mutuellement concourantes, conduisons aux points A et B les droites CA et CB.

Démonstration En effet, comme le point A est le centre du cercle CDB, la droite AC est égale à la droite AB ; de plus, comme le point B est le centre du cercle CAE, la droite BC est égale à la droite BA. Or, on a démontré que la droite CA est égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA et CB est égale à la droite AB. Étant donné que des grandeurs qui sont égales à une même grandeur sont égales entre elles, la droite CA est égale à la droite CB. Donc les trois droites CA, AB et BC sont égales entre elles.

Conclusion : Ainsi, le triangle ABC est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

A B

C

D

109

Livre I : proposition 43

Rectangles d'Euclide

Parallélogrammes

110

Proposition XXXV du Livre I

Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, sont égaux entre eux.

B C

A E D F

B C

A ED F

B C

A E D F

Cabri

111

Démonstration de Pythagore par Euclide

Thérèse Eveilleau

112

Pythagore

Autre démonstration

Pour changerla forme des rectangles

Pour deplacerle rectangle vert

Pour déplacerle rectangle bleu

113

Pythagore

Quatre triangles

http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/pythagor/textes/pyth_4_triangles.html

114

Livre II

Le livre II comporte :

- deux définitions - quatorze propositions (12 théorèmes et 2 problèmes)

115

Proposition 2 du Livre VI

Démonstration du théorème de Thalès par Euclide

Aire(EBC) = Aire (FBC)

A

BC

EF

A

BC

EF

Aire(CAE) = Aire (BAF)

A

BC

EF

h

Aire(CAE) AE

Aire(CBA) AB

A

BC

EF

h'

Aire(BAF) AF

Aire(BAC) AC

AE AF

AB AC

Fig.1

A

BC

EF

A

BC

EF

?AE AF

AB AC

116

Quadrature du rectangle

Construire un carré ayant même aire qu'un rectangle donné

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

117

Quadrature du triangle

Construire un carré de même aire qu'un triangle donné

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

9,70 cm²9,70 cm²

A

B C

9,70 cm²9,70 cm²

118

Quadrature du rectangle

Construire un carré ayant même aire qu'un rectangle donné

Thérèse Eveilleau

Quadrature du triangleConstruire un carré ayant même aire qu'un triangle donné

Thérèse Eveilleau

119

Théorème du papillon

Enoncé

animation

120

Archimède de Syracuse (287 – 212)

• traité sur la mesure des cercles ; compris entre 3 1/7 et 3 10/71 n’avait pas encore le statut de nombre mais de rapport entre le cercle et le diamètre.

• dans la Méthode, il expose une méthode de calcul d’aire : en décomposant en segments de droite puis transformant ces segments, il reconstitue une autre aire plus facile à calculer ;

• il établit de nombreuses formules relatives aux aires ;

• utilisation de miroirs paraboliques ; roue dentée ; vis ;

• trisection de l’angle par la spirale.

• élève d’Euclide, mathématicien, ingénieur, physicien, ami d'Ératosthène

Archimède

autre

121

Surface et Volume de la sphère par Archimède

Surface

Volume

122

Les mathématiques depuis les Grecs

Notre modèle d'exposition des mathématiques en fait, est né en Grèce…

Ce type d'exposition, les mathématiciens le savent tous, ne correspond pas à la façon dont les propriétés ont été découvertes, mais une reconstruction a posteriori pour prouver la justesse de ces propositions.

Nous venons de voir qu'à la suite des réflexions des philosophes comme Platon et Aristote, les mathématiciens ont introduit en mathématiques la présentation déductive, où, à partir de quelques propositions de base admises comme prémisses, toute proposition doit faire l'objet d'une démonstration.

123

La mathématique

Dès la deuxième moitié du 19e siècle, de nombreux mathématiciens se sont intéressés au fondement des mathématiques.

Dedekind puis Cantor (La théorie des ensembles, 1874) fondèrent la théorie des ensembles, langage qui se voulait simple, concis et universel, permettant de formaliser et d'exprimer la pensée mathématique.

Hilbert réussit une reconstruction rigoureuse de la géométrie euclidienne avec cinq groupes de quatre axiomes (dont quinze sont équivalents à ceux d'Euclide).

Un groupe de mathématiciens, constitué en 1935 sous le nom de Nicolas Bourbaki a rédigé un immense traité d'une quarantaine de volumes Les Éléments de mathématique donnant une reconstruction de tout l'édifice mathématique selon la pensée formaliste promue par Hilbert.

124

Evolution actuelle

Actuellement, le mouvement des mathématiques fait apparaître une multitude de sources et de retombées, en même temps qu'un travail considérable au sein des mathématiques constituées.

Les mathématiques s'enrichissent de problèmes, de méthodes et de concepts venant des autres sciences et pratiques, créent de nouveaux concepts et de nouvelles théories, et fournissent matière à des applications parfois inattendues.

Il est bon de ne plus raisonner seulement en termes de "mathématique", "mathématiques pures et mathématiques appliquées" mais de considérer l'ensemble des "sciences mathématiques" dans la variété de leurs acteurs et de leurs utilisateurs.

Commission de Réflexion sur l'Enseignement des Mathématiques présidée par J.P. Kahane

125

Sites consultés

http://www.canal-u.fr/canalu/index.phphttp://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/Facsimil.htmhttp://www.ilemaths.net/encyclopedie/Euclide.htmlhttp://mathematiques.ac-bordeaux.fr/peda/bibliographie/bibliographie.htm#clg_lychttp://perso.orange.fr/therese.eveilleau/http://www.chronomath.com (site de Serge Mehl)http://www4.ac-lille.fr/~math/classes/serieL/hist_numer.ppthttp://histoiredechiffres.free.frhttp://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDD=45http://www.math93.com/http://www.cliolamuse.com/spip.php?rubrique42http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2074http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/calcul%20sexagesimal/calcul%20sexagesimal.htmhttp://tboivin.free.fr/mpi/histoire/histoire.htm

126

Bibliographie

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Documents

Trois points de vue sur l'histoire des mathématiques - une lente évolution de l'écriture des nombres - l'aspect outil avec Fourier - l'apport culturel