Trouver la méridiennepar 3 points d'ombre

Voyage rétrospectif de 2000 ans explorant différentes méthodes géométriques pour trouver la méridienne par 3 points d’ombre.Le principe consiste à relever les 3 points d'ombre pendant une même journée, à l'aide d’un faux style ou d’un gnomon, sur une surface plane horizontale : * les heures des relevés ne sont pas connues, * la latitude est inconnue, * la déclinaison du Soleil est inconnue, * la variation de la déclinaison du Soleil et la réfraction atmosphérique sont négligées.Par extension le problème revient à rechercher la sous-stylaire quand le plan horizontal devient un plan d’orientation quelconque.

Yvon Massé

Méthode de A. Gunellapubliée dans

The Compendium V11 N4Décembre 2004

AB

C

P

S

(H)

Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

AB

C

P

S

(H)

Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

AB

C

aP

S

c

b

(H)

En prenant sur ces segments 3 distances égales Sa = Sb = Sc, ...

AB

C

aP

S

c

b

(H)

...a,b et c sont sur la surface d’une sphère centrée sur S. En une journée, l’ensemble des points d’intersection de la sphère avec les directions opposées au Soleil donne un cercle parallèle à l’équateur. a, b et c sont donc situés sur ce cercle ...

AB

C

aP

S

c

b

(H)

(E)

(I)

...et par extension dans un plan (E) parallèle à l’équateur. L’intersection de ce plan avec l’horizon (H) donne la droite (I) orientée Est-Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

AB

C

aP

S

c

b

(H)

(E)

(I)

Enlevons le cercle.

AB

C

aP

S

c

b

(H)

(E)

(I)X

Dans le plan (E), prolongeons a et b, on obtient X sur (I).

AB

C

aP

S

c

b

(H)

(E)

(I)X

Intéressons-nous au plan qui passe par S, a et b. Ce plan coupe le plan (E) suivant la droite abX et le plan (H) suivant la droite AB. Comme X appartient à la fois à ces 3 plans, X est donc dans le prolongement de A et B.Autre approche : on peut considérer A et B comme la projection de a et b du centre S sur le plan (H) (projection centrale). X appartient au plan (H), donc sa projection de S sur (H) donne X lui même. La projection centrale (ou perspective) conserve les alignements, donc la projection de la droite abX donne la droite AB qui passe aussi par X.

AB

C

aP

S

c

ba'

b'

(H)

(E)

(I)X

Projetons a et b orthogonalement sur (H), on obtient a’ et b’ (notons que X est sa propre projection orthogonale).

AB

C

aP

S

c

ba'

b'

(H)

(E)

(I)X

Le plan qui passe par a, b, a’ et b’ coupe le plan (E) suivant la droite abX et le plan (H) suivant la droite a’b’. Comme X appartient aux 3 plans à la fois, X est donc dans le prolongement de a’et b’.Autre approche : la projection orthogonale conserve les alignements. Le prolongement de a’b’ passe donc par X.

AB

C

aP

S

c

ba'

b'c'

(H)

(E)

(I)YX

Même principe, en prolongeant c et b on obtient Y sur (I). Y est dans le prolongement de C et B ainsi que de c’ et b’, ce dernier point étant la projection orthogonale de c sur (H).

AB

C

aP

S

c

ba'

b'c'

(H)

(I)YX

Retirons les droites ab et cb ainsi que le plan (E) qui ne sont plus utiles.

AB

C

P

S

c

b

b'c'

(H)

(I)YX

aa'

Rabattons le triangle SAP, ...

AB

C

P

S

c

b'c'

(H)

(I)YX

ba

a'

...SBP ...

AB

C

a

P

S

cb b'

c'

(H)

(I)YX

a'

...et SCP.

A

B

a

bb'

Y

a'

C

P

c

c'

X (I)

Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) s’obtient en reliant les points X et Y, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Le graphique d’Alessandro Gunella dans son article ou il donne cette méthode enhommage à Gérard Desargues (1593-1662), un des fondateurs de la géométrie projective.

Desargues a donné son nom à un théorème qui dit que si 2 triangles ont des sommets sur des droites concourantes (dans notre cas ABC et a’b’c’, les droites concourent en F) alors les intersections des cotés correspondants sont alignées (les triangles sont dit homologiques).

La droite XY peut donc être obtenue indifféremment par l'intersection de 2 couples de droites parmi les couples (a'b', AB), (b'c', BC) et (c'a', CA). La limitation de ce choix apporte des simplifications.

Méthode de Muzio Oddiprésentée dans son traité en italien

De Gli Horologi Solari1614

S

P

CA

B

(H)

Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

S

P

CA

B

(H)

Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

S

P

CA

B

ac

(H)

En prenant sur ces segments 3 distances égales au segment le plus court (répondant à la plus petite ombre) Sa = SB = Sc.

S

P

CA

B

ac

(H)

Comme précédemment a, B et c sont situés sur un cercle ...

S

P

CA

B

ac

(E)

(I)

(H)

...qui se trouve dans un plan (E) parallèle à l’équateur. L’intersection de ce plan avec l’horizon (H) donne la droite (I) orientée Est-Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

S

P

CA

B

ac

(E)

(I)

(H)

Enlevons le cercle.

S

P

CA

B

ac

(E)

(H)

X(I)

Dans le plan (E), prolongeons a et c, on obtient X sur (I).

S

P

CA

B

ac

a' c'

(E)

(H)

X(I)

Comme précédemment, on peut remarquer que X est dans le prolongement de A et C mais cette propriété ne sera pas exploitée ici. Projetons a et c orthogonalement sur (H), on obtient a’ et c’ (notons que X est sa propre projection orthogonale).

S

P

CA

B

ac

a' c'

(E)

(H)

X(I)

Comme précédemment, X est dans le prolongement de a’et c’.

S

P

CA

B

ac

a' c'

(H)

X(I)

Rabattons le triangle aXa’ sur l’horizon et retirons le plan (E) qui n’est plus utile.

A

a a'(I)

S

P

CB

cc'

(H)

X

Rabattons le triangle SAP, ...

A

a'(I)

S

P

CB

cc'

(H)

Xa

...SBP ...

A

a'(I)

S

P

CB

cc'

(H)

Xa

...et SCP.

A

B

aa'

P

C

cc' X(I)

Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) s’obtient en reliant les points X et B, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Gravure telle qu’on la trouve dans le traité de Oddi.

Gravure plus connue que l’on trouve dans les “Récréations Mathématiques et Physiques” de 1778.

Méthode de Hygin le Gromatique Géomètre Romainvers 100 après J.C.

Exploitation de l’alignement de A, C et X.

S

P

CA

B

ac

a' c'

(E)

(H)

X(I)

Revenons à la figure juste avant le rabattement.

S

P

CA

B

ac

a' c'

(E)

(H)

X(I)

D’après ce que nous avons vu précédemment X est dans le prolongement de A et C.

S

P

CA

B

ac

a' c'

(H)

X(I)

Retirons le plan (E) qui n’est plus utile.

A

a a'(I)

S

P

CB

cc'

(H)

X

Rabattons le triangle SAP, ...

A

a'(I)

S

P

CB

cc'

(H)

Xa

...SBP...

A

a'(I)

S

P

CB

cc'

(H)

Xa

...et SCP.

A

B

aa'

P

C

cc' X(I)

Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) s’obtient en reliant les points X et B, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Méthode de Diodorus d'AlexandrieMathématicien

Fin du 1er siècle avant J.C.Rapportée par Neugebauer dans:

A History of AncientMathematical Astronomy

Méthode de Diodorus d’Alexandrie (Diodore) fin du 1er siècle avant JC, rapportée par Otto Neugebauer dans son livre de référence :A History of Ancient Mathematical Astronomy, 1975.

AB

P

C

(H)

S

Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

AB

P

C

(H)

S

Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

AB

P

c

C

(H)

S

b

En prenant sur ces segments 3 distances égales SA = Sb = Sc au segment de longueur moyenne (répondant à l’ombre de moyenne longueur), b est sous le plan (H).

AB

P

c

C

(H)

S

b

Comme précédemment A, b et c sont situés sur un cercle ...

AB

P

c

C

(I)

(H)

(E)

S

b

...qui se trouve dans un plan (E) parallèle à l’équateur. L’intersection de ce plan avec l’horizon (H) donne la droite (I) orientée Est-Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

AB

P

c

C

(I)

(H)

(E)

S

b

Enlevons le cercle.

AB

P

c

X

C

(I)

(H)

(E)

S

b

Dans le plan (E), traçons le segment bc, on obtient X sur (I).

AB

P

c

X

C

(I)

(H)

(E)

S

b

Comme précédemment, on peut remarquer que X est sur le segment BC.

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

(E)

S

b

Projetons b et c orthogonalement sur (H), on obtient b’ et c’ (notons que X est sa propre projection orthogonale).

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

(E)

S

b

Comme précédemment, X est sur le segment b’c’.

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

S

b

Retirons le segment bc et le plan (E) qui ne sont plus utiles.

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

S

b

Rabattons le triangle SAP, ...

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

S

b

...SBP ...

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

S

b

...et SCP.

A

B

P

c

C

(I)

b

X

c'

b'

Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) s’obtient en reliant les points X et A, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.L’intérêt de cette méthode est sa compacité et la simplicité de son tracé, elle est toutefois présentée un peu différemment dans l’ouvrage de Neugebauer.

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

S

b

Revenons à la figure juste avant les rabattements.

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

S

b

A

S

P

Sur une figure annexe, reproduisons les triangles SAP, ...

AB

b'

P

cc'X

C

(I)

(H)

SA

S

b

b'P B

...SBP ...

AB

b'

P

c'X

C

(I)

(H)

SA

S

b

Cb'

P B c'

c

...et SCP de manière à obtenir toutes les distances de la figure (par exemple Pb’ ou c’c) à l’aide d’un arc de cercle de centre S et de rayon SA.

A

B

P

S

c' C

(I)

b'

X

P B

b'

c'

CA

b

c

Comme précédemment, en s’intéressant uniquement aux tracés du plan (H) ...

...on retrouve la figure proposée par Neugebauer.

AB

b'

P

c'X

C

(I)

S

Pour ceux qui préfèrent les calculs, on obtient les distances Pb’ et Pc’ par les formules ci-dessus.

cosγSAPc'

cosβSAPb'

)PCPSArctg(γ

)PBPSArctg(β

PAPSSA 22

Méthode de De VaulezardPubliée en 1644

Dans son taité donnant la démonstration du cadran analemmatique

De Vaulezard était un contemporain de G. Desargues.

P

S

C(H)

A B

Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

P

S

C(H)

A B

Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

P

S

C(H)

A B

A'

On duplique le triangle SAP en le translatant de façon que A vienne en P.

B'

P

S

C(H)

A B

C' A'

De même pour les triangles SBP et SCP. Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments PA’, PB’ et PC’.

B'

P

S a

C(H)

A B

C'

c

A'

En prenant sur ces segments 3 distances égales Sa = SB’ = Sc au segment du milieu ...

B'

P

S a

C(H)

A B

C'

c

A'

...a, B’ et c sont à la surface d’une sphère centrée sur P. En une journée, l’ensemble des points d’intersection de la sphère avec les directions du Soleil donne un cercle parallèle à l’équateur. a, B’ et c sont donc situés sur ce cercle ...

B'

P

S a

C

(I)

(H)

(E)

A B

C'

c

A'

...et par extension dans un plan (E) parallèle à l’équateur. L’intersection de ce plan avec l’horizon (H) donne la droite (I) orientée Est-Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

B'

P

S a

C

(I)

(H)

(E)

A B

C'

c

A'

Retirons le cercle ...

B'

P

S a

C

(I)

(H)

(E)

A B

C'

c

A'

...et les segment SA, SB et SC dont nous n’avons plus besoin.

B'

P

Y

S a

C

(I)

(H)

(E)

X

A B

C'

c

A'

Dans le plan (E), prolongeons B’ et c puis B’ et a, on obtient respectivement X et Y sur (I).

B'

a'

P

Y

S a

C

(I)

(H)

(E)

b'

X

A B

C'

c'

c

A'

Projetons a et c orthogonalement sur (H), on obtient a’ et c’ (notons que X et Y sont leur propre projection orthogonale).

B'

a'

P

Y

S ac

c'

C

(I)

(H)

(E)

b'

X

A B

C' A'

Comme précédemment, on remarque que X est dans le prolongement de b’ et c’ et que Y est dans celui de b’ et a’.

B'

a'

P

Y

S ac

C

(I)

(H)

(E)

b'

X

A B

C'

c'

c

B' A'

Rabattons les triangles B’Xb’ ...

A'

B'

a'

P

Y

Sa

C

(I)

(H)

b'

X

A B

C'

c

c'

ac B'

B'

...et B’Yb’.

Y(I)

(H)

b'

X

C' A'

c aa'

P

S

A BC

c'

ac

B'

P

B' B'

b'Sur une figure annexe, reproduisons les triangles B’Pb’, ...

Y(I)

(H)

b'

X

C'

c aa'

P

S

A BC

c'

c

A'B'

P

a

B' B'

b' a'...A’Pa’ ...

a'

P

Y

Sa

C

(I)

(H)

b'

X

A B

c

A'B'

b'P

a

c'

C'

c

c'

B' B'

a'

...et C’Pc’ de manière à obtenir toutes les distances de la figure (par exemple Pa’ ou c’c) à l’aide d’un arc de cercle de centre P et de rayon PB’.

AB

a'

P

Yc'

C

(I)

b'

X

ac

A'B'

P

aC'

c

B'B'b' c'a'

Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) s’obtient en reliant les points X et Y, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Gravure telle qu’on la trouve dans le traité de De Vaulezard.La méthode permettait ensuite de tracer entièrement le cadran en n’utilisant que l’aplomb du point S comme donnée complémentaire.

Autres méthodesdonnant le centre du cadran.

Une autre technique consiste à trouver l'axe polaire. Il se trouve à l'intersection des plans médiateurs des segments ab et bc. Pedro Nunez proposa cette approche au milieu du XVIe siècle.L'intersection de l'axe polaire avec le plan de l'horizon donne le centre du cadran C, la droite CP est la méridienne. Dans le cas d'un plan quelconque la droite CP est la sous-stylaire.

aP

S

c

b

Méthode de De La HireProfesseur royal en mathématique

publiée dans sa Gnomonique1698

Gravure illustrant sa méthode. Le pied du faux style est en P, les 3 points d’ombre sont A, B et D, enfin les traces des plans médiateurs sont les droites GH et gh qui se coupent en C. La sous-stylaire est la droite qui passe par C et P.

En plus des erreurs du graveur, par exemple la distance EZ devrait être égale à EF,les 3 points d’ombre donnent une déclinaison du Soleil d’environ 45° !!!N’oublions pas que la géométrie est l’art de raisonner juste sur des figures fausses...

Méthode de Mahistredécrite dans un opuscule

L'art de tracer les Cadrans Solairesà l'usage des instituteurs

Seconde édition 1864

Gravure illustrant sa méthode.Le pied est en P et les 3 points d’ombre en A, B et C. Le centre du cadran est en O.

La méthode est développée dans l’article cité au début de cette présentation, article d’Alessandro Gunella que je remercie vivement ici pour l’aide efficace qu’il m’a apportée et les textes qu’il m’a généreusement fait parvenir.

ABC

aP

N

c

b

S

Soit A le premier point d'ombre, B le second et C le dernier.

Si

Alors

Ou encore

Une formulation simple donne aussi le vecteur indiquant la direction du pôle nord.

ScSaSaSbSbScSN

)SbSc()SbSa(SN

ScSbSa

Bibliographie :

Y. MASSE : Bedos de Celles’ Figure. The Compendium. Vol. 12 No. 2. Juin 2005.

A. GUNELLA : How to find the parameters of a dial on a plane surface, knowing only three shadow points of the vertex of the gnomon on the wall. The Compendium. Vol. 11 No. 4. Décembre 2004.

Y. MASSE : Comment tracer un cadran incliné et déclinant à l'aide de trois observations d'ombres inégales. Le Gnomoniste. Vol. 10 No. 3. Septembre 2003.

D. SAVOIE : Les naufragés gnomonistes. Gnomonique moderne. Société Astronomique de France. 1997.

F. SAWYER : A three-point sundial construction. Sciatheric notes - I. North American Sundial Society Press. 1998.

O. NEUGEBAUER : A History of Ancient Mathematical Astronomy. Berlin 1975.

A. MAHISTRE : L’art de tracer les Cadrans Solaires à l’Usage des Instituteurs. Paris 1864 (2 ième édition).

R.G. de la PRISE : Méthode nouvelle et générale pour tracer facilement des cadrans solaires sur toutes surfaces planes. Bayeux 1780.

J. OZANAM/ J. E. MONTUCLA : Comment on peut trouver la méridienne par trois observations d'ombres inégales. Récréations mathématiques et physiques. Paris 1778.

P. de la HIRE : Trois points d'ombre étant donnés sans connaître la hauteur du Pôle ni la déclinaison du Soleil : trouver le centre du Cadran. La Gnomonique. Paris 1698.

W. LEYBOURN : Dialling, Plain, Concave, Convex, Projective, Reflective, Refractive. London 1682.

J. COLLIN : Geometrical Dialling. London 1659.

DE VAULEZARD : Traité de l’origine, démonstration, construction et usage du cadran analemmatique. Paris 1644.

M. ODDI : De gli Horologi Solari nelle Superficie Piane. Milan 1614.