TS Chap 10 : Cours sur les Probabilités et Statistiques

7/22/2019 TS Chap 10 : Cours sur les Probabilits et Statistiques

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CHAPITRE 3

PROBABILITS ET STATISTIQUES

92

Rappels sur les probabilits etconditionnement

1.

Rappels sur lquiprobabilit

Le rsultat dune exprience alatoire est une issue ou une ventualit.Lensemble de ces issues estE .

Un vnement est une partie deE

.

Les vnementA

etB

sont disjoints ou incompatibles si

Les vnements A

et B

sont contraires si et Onnote

Lunivers E

est probabilis si chaque vnement lmentaire {

x

}

onassocie un nombre par une application p qui satisfait

et

Consquences :

si la probabilit deAnote est telle que .

doncSi alorsSi et

Univers quiprobable : ensembleEdont tous les vnements lmentai-res ont la mme probabilit.Si lensembleEcontient Nlments, alors :

Si et siAcontient nventualits, alors :

2.Probabilits conditionnelles

Soit une exprience alatoire et deux vnementsAetBde lunivers pro-

babilis par cette exprience.Si la probabilit conditionnelle de A sachant que B est ralis

scrit ou et est telle que

1

A B .=

A B

A B

E.=

B A .=

pi 0;1[ ]

p E( ) 1= pi 1.=

A E, p A( ) p A( ) Pixi A

=

p A( ) 1 p A( )= p ( ) 0.=A B ,= p A B( ) p AouB( ) p A( ) p B( ).+= =A E B E, p A B( ) p A( ) p B( ) p A B( ).+=

p1 p2 pN 1N---- .= = = =

A E

p A( ) nN----

nombre de cas favorables la ralisation deAnombre de cas possibles

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.= =

p B( ) 0,

pB A( ) p A/B( ) pB A( )p A B( )

p B( )------------------------ .=


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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

Remarque :comme alors

3. Formule des probabilits totales

est une partition deEsi :

Si est une partition deEet si est non nul pour tout i,alors :

exemple dapplicationOn tire une carte dun jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilit que la carte soitun carreau sachant que cest une carte rouge qui a t tire.

corrig commentSoitAlvnement tirer une carte rouge :

SoitBlvnement tirer un carreau .

car do

Donc soit

Sachant que la carte tire est rouge, il y a une chance sur deux que ce soitun carreau.

A B B A,=p A B( ) pB A( ) p B( ) pA B( ) p A( )= = p A( ) 0 etp B( ) 0 ( ) .

pB A( ) 1 p A( ).=

B1 B2 Bi Bn, , , , ,{ }

i , 1 i n,Bi

i

, j , i j, Bi Bj =

B

1

B

2

B

i

B

n

E

.

=

B1

Bn, ,{ }

p Bi( )

p A( ) pB1 A( ) p B1( ) pB2 A( ) p B2( ) pBn A( ) p Bn( )+ ++=

p A( ) p A B1( ) p A B2( ) p A Bn( ) .+ + +=

p A( ) 12---.=

A B B= B A P A B( ) P B( ) 832------ 14

--- .= = =

PA B( )P A B( )

P A( )------------------------

14---

12---

---12---= = = PA B( )

12--- .=


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CHAPITRE 3 PROBABILITS ET STATISTIQUES

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Indpendance et modlisation

1.Indpendance de deux vnementsDeux vnementsAetBsont indpendants si, et seulement si,

Consquence : et

2.Modlisation

Dfinitions : Une loi de probabilit, ou distribution de probabilit, est unefonctionPqui tout vnementAassocie un nombre sa probabilit

appartenant lintervalle [0 ; 1].Modliser une exprience alatoire cest lui associer une loi de probabilit.

3.Liens entre statistiques et probabilits

Une frquence calcule partir de donnes exprimentales est empiri-que, mais la probabilit dun vnement est un nombre thorique.Les distributions de frquences issues de la rptition dexpriences identi-ques ou indpendantes fluctuent, alors que la loi de probabilit est un inva-

riant associ lexprience. Si on choisit nlments indpendamment les uns des autres selon uneloi de probabilit P, alors la distribution des frquences est voisine de Ppour ngrand. Si des expriences sont rptes de faons identiques et indpendantes etsipest la probabilit associe un vnement A, alors la probabilit dobte-nir nfois lvnementAest gale pn. On appelle variable alatoireXlapplication dun ensembleEmuni dune

loiPet valeurs dans

.La variable alatoireXprend les valeurs xi avec les probabilitspidfinies par

Distribution de frquences sur Loi de probabilit sur

frquence deA,

.

probabilit deA,

.

2

p A B( ) p A( ) p B( ).=pA B( ) p B( )= pB A( ) p A( ) .=

p A( ),

i ( ),pi P X xi=( ).=

E x1 xn, ,{ }= E x1 xn, ,{ }=

f1 fn, ,( )

fi 0, fi

1=

A E,

f A( ) fixi A=

p1 pn, ,( )

pi 0, pi

1=

A E,

P A( ) pixi A=


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exemple dapplicationOn lance 4 fois de suite un d quilibr.

1. Quelle est la probabilit dobtenir le 5 chaque lancer ?

2. Quelle est la probabilit dobtenir au moins une fois le 5 avec 4 lancers ?

corrig comment1. SoitAlvnement obtenir le 5 1 lancer.

SoitBlvnement obtenir le 5 chaque lancer.On rpte 4 fois lexprience alatoire de faons identiques et indpendammentles unes des autres.

Donc do

2. Soit Clvnement obtenir au moins une fois le 5 aprs 4 lancers.

Le plus simple est de calculer la probabilit de lvnement qui consiste obtenir

zro fois le nombre 5aprs 4lancers.

do

soit soit

Cas numrique :

Moyenne empirique : .

Variance empirique :

cart type empirique :

Cas numrique :

Esprance dune loiP: .

Variance dune loiP:

cart type dune loiP:

x fi xi=

S2 fi xi x( )2.=

s fi xi x( )2 .=

pi xi=

2 pi xi ( )2.=

pi xi ( )2 .=

p A( ) 16--- .=

p B( ) 16---

16---

16---

16--- 1

6---

4

= = p B( ) 11296---------------=

C

p C( ) 56---

4

= p C( ) 1 P C( ),=

p C( ) 1 56---

4

= p C( ) 6711296---------------=


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CHAPITRE 3

PROBABILITS ET STATISTIQUES

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Combinatoire et lois discrtes

1.

Combinatoire

On appelle factorielle n

le nombre qui scrit n

! et qui est gal :pour avec et

Toute partie deE

est une combinaison deE

.

Le nombre de combinaison dep

lments parmi n

est not et est gal

o

Cas particuliers; et

Proprits

; relation de Pascal :

Formule du binme de Newton

Pour tout n

de

, pour tout nombre a

et b

:

Remarque :

Si alors ceci traduit le

nombre de parties dun ensemble ayant n lments.

2.

Lois discrtes

Loi de BernoulliUne preuve de Bernoulli a seulement deux issues contraires A et de pro-babilits respectivesp etLe schma de Bernoulli est la rptition n

fois et de faons identiques et

indpendantes dune preuve de Bernoulli.La probabilit dobtenir k

ralisations deA

sur n

preuves est donne par la

loi de Bernoulli : avec

Remarque :

3

n n 1( ) 3 2 1 n 2, 0! 1= 1! 1.=

n

p

n!p! n p( )!------------------------ 0 p n.

n

0 1=

n

1 n=

n

n 1.=

n

p n

n p

=n

p n 1

p n 1

p 1 .+=

a b+( )nn

p an bn p .

p 0=

n

=

a b 1,= = 2nn

0 n

1 n

n

+ + +=

Aq 1 p.=

k pk pkn

k pk qn k

.=

pkqn k

p 0=

n

1.=


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Loi binomialeSoitXla variable alatoire prenant pour valeurs le nombre kde ralisationsde A dans un schma de Bernoulli.

La variableXsuit une loi binomiale de paramtres elle a pour loi deprobabilit

Dans ce cas et

exemple dapplicationDmontrer les formules :

o

corrig comment

Le dnominateur commun est

car et

do ;

do

n p,( ),P X k=( )

n

k pkqn k .=

np= npq.=

n

p n 1

p 1 n 1

p

+=

n

p n

n p

= 0 p n.

A n 1p 1

n 1p

+ n 1( )!p 1( )! n 1 p 1+( )-------------------------------------------------------- n 1( )!

p! n 1 p( )!----------------------------------+= =

An 1( )!

p 1( )! n p( )!---------------------------------------

n 1( )!p! n p 1( )!----------------------------------+

n 1( )!pp 1( )!p n p( )!------------------------------------------

n 1( )! n p( )p! n p 1( )! n p( )----------------------------------------------------.+= =

p! n p( )!p 1( )!p p!= n p 1( )! n p( ) n p( )!=

An 1( )! p n p+( )

p! n p( )!-----------------------------------------------

n!p! n p( )!-------------------------

n

p

= = =

n

n p n!

n p( )! n n p+( )!-------------------------------------------------

n!n p( )!p!

-------------------------n

p ,= = =

n

n p n

p

=


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CHAPITRE 3 PROBABILITS ET STATISTIQUES

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Lois continues1. Dfinitions

On appelle densit de probabilit fsur un intervalle I une fonction satis-faisant aux conditions suivantes : fest continue sur I, fest positive sur I et

tant donne une densit de probabilit, la loi de probabilit correspondantecontinue associe tout intervalle lintgrale de la densit sur cet intervalle. SoitXune variable alatoire dfinie dans un intervalle I et valeurs danset fune densit de probabilit.La variableXest une variable alatoire de densit fsi quels que soient aet

bde I on a

Les vnements sont des runions finis dintervalles.Remarques : avec ;

En pratique la donne de fsuffit pour tudier les proprits deX, en parti-culier fjoue le rle de loi pourX.

Lesprance deXest donne par et la variance deXesttelle que

2. Lois continues densit Lois uniformes sur [a; b]On appelle loi uniforme sur un intervalle [a; b], la loi continue de proba-

bilit dont la densit fest telle que pour tout xde [a; b].

Pour cette loi, la probabilit dun intervalle [c; d] inclus dans [a; b] est

gale telle que

Cas particulier: la loi uniforme uniforme sur [0 ; 1]a une densit ftelle quepour tout xde [0 ; 1],Dans ce cas la probabilit dun intervalle connu dans [0 ; 1]est la longueurde cet intervalle. Lois exponentielles (lois de dure de vie sans vieillissement)On appelle loi exponentielle de paramtre une loi de densit ftelle que

Pour cette loi,

4

f x( ) dxI 1.=

P a X b ( ) f x( ) dx.a

b

=

P X a=( ) 0= a P X b( ) 1 P X b( ) .=

E X( ) t f t( ) dta

b

=V X( ) E X2( ) E X( )[ ]2.=

f x( ) 1b a------------=

P c X d ( ) P c X d ( ) dxb a------------

c

d

d cb a------------ .= =

f x( ) 1.=

0( ) ,f t( ) e t .=

P a X b ( ) e t dt,a

b

=


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donc

3. Adquation une loi quirpartie

Il sagit de comparer les frquences obtenues pour une exprience alatoiresur un chantillon, avec un modle dquiprobabilit.Pour cela on considre la distance dentre la distribution des frquences

avec les probabilits thoriques si onrpte lpreuve nfois.

Le nombre d2doit tre petit pour quil y ait compatibilit entre les don-nes empiriques et celles thoriques.Plus le nombre de tirages est grand, plus la distribution des frquences estadquate avec la loi de probabilit et plus d2sera faible.

Si alors il y a adquation une loi quirpartie.

e

xemple dapplicationSoit la fonction fdfinie sur par :

Reprsenter graphiquement fet montrer que fdtermine une loi de probabilit

P, puis calculer

corrig commentLa fonction fest dfinie, positive et continue sur.Sur

et car fest paire donc,

fdtermine donc une loi de probabilitPet :

P a X b ( ) e t[ ]ab e a e b .= =

f1 fi fn, , , ,( ) p1 pi pn, , , ,( )

d2 f1 p1( )2 fi pi( )2 fn pn( )2.+ + + +=

d22n--- ,

f x( ) 0 si x 1=

f x

( )

x

1 si 1 x 0 +=

f x

( )

x

1 si 0 x 1 +=

f x

( )

0 si x 1.=

P 1 ; 1

2

---

.

1

101

] ;1[ ]1;+[, f x( ) 0=

f x( ) dx1

1

2 f x( ) dx01

=

f x( ) dx

1

1

2 x

2

2--------- x+

0

12 1

2--- 1+

1.= = =

P 1;12---

x 1+( ) dx1

12

--- x2

2----- x+

1

12

---

18---

12---

12--- 1

18--- .= = = =

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