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MILLIE PLAMONDON
ÉTUDE DE L'INFLUENCE DE L'ENDOMMAGEMENT SUR LA FIABILITÉ D'UN
PONT EXISTANT EN BÉTON ARMÉ
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en génie civil
pour l'obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)
DÉPARTEMENT DE GÉNIE CIVIL FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LA V AL QUÉBEC
2008
© Millie Plamondon, 2008
RÉSUMÉ
L'objectif de ce mémoire consiste à étudier l'influence de la localisation de
l'endommagement et de son étendue sur la fiabilité d'un pont existant en béton armé. À
. cette fin, le programme LRT (Laval Rell~ability Toolbox) est développé dans le but
d 'évaluer la fiabilité de structures en considérant le système, c'est-à-dire l'interaction entre
les éléments structuraux. La fiabilité du pont à l'étude est évaluée en considérant .la flexion
et l'effort tranchant des poutres, à partir de fonctions d'états limites définies selon le Code
canadien sur le calcul des ponts routiers, CAN/CSA -S6-00. Les facteurs faisant varier les
indices de fiabilité des éléments structuraux et du pont, lorsque les poutres sont
endommagées par la corrosion des armatures, sont examinés en simulant des scénarios
d'endommagement diminuant à différents degrés la résistance à la flexion et/ou à l'effort
tranchant d'un ou plusieurs . segments de poutres. En plus de démontrer l'importance de
considérer le comportement du système lors de l'évaluation de structures redondantes, les
résultats démontrent que pour le pont étudié, ce n'est pas tant l'intensité de
l'endommagement qui influence sa fiabilité, mais surtout le mode de défaillance dominant,
les sections critiques et le nombre de poutres endommagées. Ces conclusions auraient
toutefois pu être différentes dans le cas d'un pont pour lequel l'écart entre les indices de
fiabilité des poutres associés à la flexion et à l'effort tranchant serait moins grand. Enfin, la
configuration du système et la corrélation définie entre les composantes sont aussi d'une
grande importance dans le calcul de l'indice de fiabilité de la structure, car ils influencent
grandement l'indice de fiabilité obtenu.
ABSTRACT
In this study, the influence of the localization and degree of damage on the reliability of an
existing reinforced concrete bridge is examined. The LRT program (Laval Reliability
Toolbox) is developed to compute the reliability index of structures considering the system
behaviour, i.e. the interaction between structural elements. The "reliability of the bridge is
evaluated considering beam flexure and shear with limit state functions based on the
Canadian Highway Bridge Design Code, CAN/CSA-S6-00. The factors influencing the
reliability indexes of the bridge and its structural elements, when the beams are damaged by
corrosion of its reinforcement, are studied. This is do ne by simulating various degradation
scenarios which reduce the flexure and/or shear resistance of one or various beam
segments. The results do not only demonstrate the importance of considering the system
behaviour in the evaluation of redondant structures but also that in the case of the bridge
under study, it is not necessarily the inten~ity of the degradation which influences most its
reliability but especialy the dominant failure mode, the critical sections and the number of
damaged beams. These conclusions could differ in the case of a bridge for which the
difference between its beams' reliability indexes for flexure and shear would be smaller. In
addition, the system configuration and the correlation defined between system components
are of great importance in COrriputing the structure's reliability, because they influence
significantly the reliability index obtained.
AVANT-PROPOS
Je tiens spécialement à remercier Mme Josée Bastien, ma directrice de recherche, pour son
support, ses conseils . et la confiance qu'elle m'accordée lors de la réalisation de cette
recherche. Je tiens aussi à remercier M. Alireza Alvandi pour le temps qu'il m'a accordé et
pour m'avoir guidée tout au long de mes travaux de recherche ainsi que M. Marc Jolin pour
ses judicieux conseils. _
Je voudrais également remercier M. Marc Savard de la Direction des structures du
Ministère des Transports du Québec qui, par son expérience et ses commentaires, m'a
permis d'enrichir le contenu de ce mémoire.
Je tiens aussi à remercier Simon, ma sœur Laurie, mes parents ainsi que mes amis pour le
support moral et les encouragements qu'ils m'ont apportés durant toute la durée de ma
maîtrise.
Enfin, j'aimerais souligner que puisqu'il s'est écoulé un certain temps entre les travaux de
recherche et la publication de ce mémoire, celui -ci réfère au Code canadien sur le calcul
des ponts routiers, CAN/CSA-S6-00, plutôt qu'au code S6-06 qui est entré en vigueur
quelques temps après la réalisation des calculs.
, TABLE DES MATIERES
" " RESUME ......................................................................................................... II
ABSTRA CT· .................................................................................................... 111
AVANT -PROPOS .....••.................................................................................. IV
. , TABLE DES MA TIERES .............................................................................. V
LISTE DES TABLEAUX ...................................... ~ ...................................... IX
LISTE DES FIGURES ................................................................................... X
CHAPITRE 1 ............................................ ~ ...................................................... 1
INTRODUCTION ................................................................................................................ 1
1.1. PROBLÉMATIQUE ............................................................................................................................. 1 1.2. REVUE DE LA LITTÉRA TURE ........................................................................................................ 4 1.2.1. ÉTUDES PORTANT SUR LA FIABILITÉ D'UNE POUTRE VS. UNE STRUCTURE DE .PONT .... 4 1.2.2. ÉTUDES PORTANT SUR LA FIABILITÉ DE POUTRES DE PONTS EN BÉTON ARMÉ .. .. ... .. .... . 5 1.2.3. ÉTUDES PORTANT SUR LA FIABILITÉ DE PONTS EN BÉTON ARMÉ AVEC
ENDOMMAGEMENT DANS LE TEMPS ....... ................... ............................................. .... .......... .. .. ... 7 1.2.4. ÉTUDES PORTANT SUR L 'EFFET DE L'ENDOMMAGEMENT ET DE LA RÉFECTION SUR LA
FIABILITÉ DE PONTS DANS LE TEMPS ..... .... ...................... ............. ... ... ... ................................ ..... . 9 1.3. OBJECTIFS ......................................................................................................................................... 11 1.4. STRUCTURE DU MÉMOffiE ........................................................................................................... 12
CHAPITRE 2 ................................................................................................... 13
THÉORIE DE LA FIABILITÉ STRUCTURALE .......................................................... 13
2.1. INTRODUCTION ................................................................................................................................ 13 2.2. FIABILITÉ D'UNE COMPOSANTE ................................................................................................ 13 2.2.1. PROBABILITÉ DE DÉFAILLANCE ..... ......... ................... .. .... .. ... ............... ....... ...... ........ ... .... ...... .... .. 14 2.2.2. INDICE DE FIABILITÉ ET ÉQUATION D'ÉTAT LIMITE ............................ .... .... .... .. .. .. .............. .. 16 2.2.3. FIRST ORDER RELIABILITY METHOD (FORM) .. ......... ..... ..... ....................... ......... ... ........ .. ......... 19 2.2.4. VARIABLES ALÉATOIRES NON CORRÉLÉES AYANT UNE DISTRIBUTION NORMALE ..... 22 2.2.5. EXEMPLE DE CALCUL AVEC FORM ... ...... ................ ...... ... .. .... ........... .. ...... .. .......... ... .... ... .. ........... 24
VI
2.2.6. VARIABLES ALÉATOIRES NON CORRÉLÉES N'AYANT PAS UNE DISTRIBUTION NORMALE ............................................................................................................................................ 28
2.2.7. 'CORRÉLATION ENTRE LES VARIABLES ALÉATOIRES .............................................. .. ............. 30 2.2.8. VARIABLES ALÉATOIRES CORRÉLÉES AYANT UNE DISTRIBUTION NORMALE .............. 32 2.2.9. VARIABLES ALÉATOIRES CORRÉLÉES N' AYANT PAS UNE DISTRIBUTION NORMALE .. 33 2.3. FIABILITÉ D'UN SySTÈME ............................................................................................................ 35 2.3.1. CORRÉLATION ENTRE LES FONCTIONS D'ÉTATS LIMITES .................................................... 35 2.3.2. SYSTÈME EN SÉRIE ................................. .......................................................................................... 36 2.3.3. SYSTÈME PARALLÈLE ....... : .............................................................................................. ........... .... 39 2.3.4. SYSTÈME MIXTE ............................................ ...... ..... ......................................................................... 40 2.3.5. CORRÉLATION ENTRE LES SOUS-SySTÈMES ............................................................... ... ........... 42 2.4. GLOSSAIRE ........................................................................................................................................ 43
CHAPITRE 3 ................................................................................................. 45
FORMULATION DES FONCTIONS D'ÉTATS LIMITES ULTIMES POUR UNE , , POUTRE DE PONT EN BETON ARME ........................•............................................... 45
3.1. INTRODUCTION ............................................................................................................................... 45 3.2. ÉQUATIONS DE RÉSISTANCE SELON LE CODE CSAICAN-S6-00 ........................................ 46 3.2.1. RÉSISTANCE EN FLEXION D'UNE POUTRE EN BÉTON ARMÉ ................................................ 47 3.2.2. RÉSISTANCE À L'EFFORT TRANCHANT D'UNE POUTRE EN BÉTON ARMÉ ........................ 49 3.3. SOLLICITATIONS ............................................................................................................................. 51 3.3.1. CHOIX DU LOGICIEL INFORMATIQUE ET DU MODÈLE NUMÉRIQUE ................................... 51 3.3.2. SOLLICITATIONS DUES AUX CHARGES PERMANENTES ......................................................... 51 3.3.3. SOLLICITATIONS DUES AUX CHARGES TRANSITOIRES ......................................................... 52 3.4. FONCTIONS D'ÉTATS LIMITES ULTIMES ................................................................................ 53 3.4.1. FLEXION ............................................................................................................................. .. ............... 53 3.4.2. EFFORT TRANCHANT ....................................................................................................................... 54 3.5. VARIABLES DE BASE ...................................................................................................................... 56 3.5.1. DISTRIBUTIONS ET PARAMÈTRES STATISTIQUES DES VARIABLES .................................... 56 3.5.2. CORRÉLATION ENTRE LES VARIABLES ALÉATOIRES ............................................................. 57
CHAPITRE 4 ..............................................•.................................................. 59
PROGRAMME LRT (LAVAL RELIABILITY TOOLBOX) ....................................... 59
4.1. PRÉSENTATION DU PROGRAMME ............................................................................................. 59 4.2. ORGANISATION ET FONCTIONS DU PROGRAMME LRT ................ ~ .................................... 60 4.3. VALIDATION DU PROGRAMME LRT .....................•................................................................... 63 4.4. LIMITES DU PROGRAMME LRT .................................................................................................. 65
CHAPITRE 5 ................................................................................................. 68
ÉTUDE DE CAS ................................................................................................................. 68
5.1. INTRODUCTION ...................................................................................................... ; ........................ 68 5.2. PRÉSENTATION DU PONT ÉTUDIÉ ............................................................................................. 69 5.3. MODÈL'E DE GRILLAGE ................................•................................................................................ 70 5.3.1. GÉOMÉTRIE ET PROPRIÉTÉS DES MEMBRURES ........................................................................ 70 5.3.2. CHARGES MORTES ............................................................ ................................................................ 73 5.3.3. SURCHARGE ROUTIÈRE ................ .................... .......... ................................................... .... .............. 74
VII
5.4. CARACTÉRISTIQUES DES SYSTÈMES CONSIDÉRÉS ............................................................ 76 5.4.1. CONFIGURATION DES SySTÈMES .......................... ....................................................... ...... .......... 76 5.4.2. CORRÉLATION ENTRE LES COMPOSANTES DES SySTÈMES ............................... .. .... .. .......... . 78 5.5. SCÉNARIOS D'ENDOMMAGEMENT ÉTUDIÉS ......................................................................... 79 5.5.1. ENDOMMAGEMENT APPLIQUÉ AUX SEGMENTS DE POUTRES .......................... ... .............. .. 79 5.5.2. LOCALISATION DE L'ENDOMMAGEMENT SUR LES POUTRES .................................... .......... 82
CHAPITRE 6 ................................................................................................. 86
RÉSULTATS ET DISCUSSION ....................................................................................... 86
6.1. INTRODUCTION ............................................................................................................................... 86 6.2. FIABILITÉ DU PONT NON ENDOMMAGÉ .................................................................................. 86 6.2.1 . SEGMENTS DE POUTRES ............ .. .... .. ............................................... .. ...................................... ..... .. 86 6.2.2. POUTRES ............... .............. ................................................................................. ................... .. ..... ... ... 88 6.2.3. PONT .............. .. ........................... ...................... ........................................................... .......... .... .... ....... 89 6.3. FIABILITÉ DU PONT ENDOMMAGÉ ........................................................................................... 91 6.3.1. INFLUENCE DU MODE DE DÉFAILLANCE DOMINANT ............ ................................................. 96 6.3.2. INFLUENCE DES SEGMENTS CRITIQUES .................................................................... .. ......... .. .... 96 6.3.3. INFLUENCE DU NOMBRE DE POUTRES ENDOMMAGÉES ...................................................... .. 98 6.3.4. INFLUENCE DE LA CONFIGURATION DU SYSTÈME CHOISI. ............. ..................................... 99 6.4. COMPARAISON AVEC L'INDICE DE FIABILITÉ CIBLE CSAICAN-S6-00 ........................ 102 6.5. SENSIBILITÉ DES VARIABLES ................................................................................................... 103
CHAPITRE 7 ................................................................................................. 108
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES DE RECHERCHE ........................................ 108
7.1. CONCLUSIONS ................................................................................................................................ 108 7.2. PERSPECTIVES DE RECHERCHE .............................................................................................. 109
BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................... 111
ANNEXE A ................................................................................................... 115
CHOIX DE LA DISTRIBUTION ET DES PARAMÈTRES STATISTIQUES DES VARIABLES-RÉFÉRENCES ............................................................................................................. ~ ................................ 115
ANNEXE B ................................................................................................... 119 .
MATRICE DE CORRÉLATION ENTRE LES VARIABLES ................................................................ 119
ANNEXE C ................................................................................................... 121
FONCTIONS DU PROGRAMME LRT .................................................................................................... 121
ANNEXE D .................................................................................................... 126
VIII
CONFIGURA TION DU GRILLAGE ...................................................•.................................................... 126
ANNEXE E ................................................................................................... 128
SCÉNARIOS DES CHARGES MOBILES ................................................................................................. 128
ANNEXE F ..................................................................................•................ 136
INDICES DE FIABILITÉ DES SEGMENTS DE POUTRES POUR LES SCÉNARIOS D'ENDOMMAGEMENT ÉTUDIÉS .......................................................................................................... 136
ANNEXE G ........................................................................ ~ ..........•.............. 159
SCÉNARIOS 10, Il ET 12 : ENDOMMAGEMENT D'UN SEGMENT NON CRITIQUE D'UNE POUTRE DIMINUANT SA RÉSISTANCE À L'EFFORT TRANCHANT ........................................... 159
ANNEXE H •............................................................................. ~ ................... 162.
COSINUS DIRECTEURS ASSOCIÉS AUX VARIABLES DES FONCTION D'ÉTATS LIMITES-CAS SANS ENDOMMAGEMENT ............................................................................................................ 162
ANNEXE 1.... .................................. .............................................................. 166
COSINUS DIRECTEURS ASSOCIÉS AUX VARIABLES DES FONCTION D'ÉTATS LIMITES-CAS D'ENDOMMAGEMENT 7 _3M2V _ABCDE .................................................................................... 166
ANNEXE ................................................................................................... 170
SENSIBILITÉ DES VARIABLES EN RESPECT À LA MOYENNE ET À L'ÉCART-TYPE ........... 170
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1 : Indices de fiabilité et probabilités de défaillance correspondantes ....... .... ~ ..... 16 Tableau 2.2 : Principaux résultats obtenus à chaque itération de l'exemple de calcul. ........ 28
Tableau 3.1 : Description des variables des fonctions d'états limites .................................. 46 Tableau 3.2 : Distribution et paramètres statistiques des variables des fonctions d'états
limites .............................................................................................................. 57
Tableau 4.1 : Comparaison des indices de fiabilité obtenus avec RELSYS [Estes, 1997] et LRT associés aux modes de défaillance des éléments structùraux ................. 64
Tableau 4.2 : Comparaison des indices de fiabilité du pont obtenus avec RELSYS [Estes, 1997] et LRT, pour différents types de systèmes et coefficients de corrélation entre les résistances des poutres (PRi,Rj) ou entre les poutres (PPi,Pj) ............... 65
Tableau 5.1 : Propriétés des membrures représentant les poutres ........................................ 72 Tableau 5.2 : Propriétés des membrures représentant les diaphragmes ............................... 72 Tableau 5.3 : Propriétés des membrures représentant la rigidité transversale de la dalle .... 72 Tableau 5.4 : Caractéristiques des cas d'endommagement simulé sur les segments de
poutres .............................................................................................................. 80 Tableau 5.5 : Temps en années avant d'atteindre les degrés d'endommagement étudiés,
suite à l'initiation de la corrosion .................................................................... 82 Tableau 5.6 : Description des scénarios d'endommagement. ............................................... 83
Tableau 6.1 : Indices de fiabilité des poutres non endommagées ......................................... 88 Tableau 6.2 : Indices de fiabilité du pont non endommagé .................................................. 90 Tableau 6.3 : Indices de fiabilité pour les scénarios 1 et 2 ................................................... 92 Tableau 6.4 : Indices de fiabilité pour les scénarios 3,4 et 5 ............................................... 93 Tableau 6.5 : Indices de fiabilité pour les scénarios 6 et 7 ................................................... 94 Tableau 6.6 : Indices de fiabilité pour les scénarios 8 et 9 ................................................... 95
r-----~-- ... ------
!
LISTE DES FIGURES
Figure 1.1 : Indice de fiabilité du pont comme système vs indice de fiabilité de ses poutres pour une corrélation nulle (p = 0) et parfaite (p = 1) entre les résistances des poutres ................................................................................................................ 5
Figure 1.2 : Indice de fiabilité (Beta) évalué aux sections critiques de la poutre étudiée ...... 6 Figure 1.3 : Facteurs de distribution de la charge vive des poutres suite à la défaillance en
flexion d'une poutre du pont ....................................................................... : ..... 8 Figure 1.4 : Probabilité de défaillance du pont dans le temps, associée à la stratégie de
réfection optimale pour le système 1 (système en série) ................................. 10 Figure 1.5 : Probabilité de défaillance du pont dans le temps associée à la stratégie de
réfection optimale pour le système IV (système mixte) .................................. 10
Figure 2.1 : Fonctions de densité des variables de résistance R et sollicitation S ................ 14 Figure 2.2 : Fonction de densité conjointe fRs (r, s), domaines de sécurité et de défaillance .
.................. ~ ...................................................................................................... 15 Figure 2.3 : Fonction de densité de probabilité de la marge de sécurité Z ........................... 17 Figure 2.4 : Équation d'état limite linéarisée gL(X) et point de fonctionnement X* ............ 19 Figure 2.5 : Équation d'état limite et indice de fiabilité dans l'espace normal standard ...... 21 Figure 2.6 : Représentation schématique d'un système en série à trois composantes .......... 36 Figure 2.7 : Représentation schématique d'un système en parallèle à trois composantes .... 39 Figure 2.8 : Représentation graphique d'un système mixte ................................................... 40 Figure 2.9 : Réduction d'un système mixte en une composante .......................................... 41
Figure 3.1 : Schéma des déformations et distribution de la contrainte et des forces à l'ultime pour une section de poutre en béton armé en forme de T. · .............................. 47
Figure 4.1 : Composition du programme LRT.· .................................................................... 60 Figure 4.2 : Ext?mple de système mixte à trois niveaux ....................................................... 62 Figure 4.3 : Pont étudié par Estes (1997) .............................................................................. 63
Figure 5.1 : Pont étudié ......................................................................................................... 68 Figure 5.2 : Profil longitudinal du pont à l'étude ................................................................. 69 Figure 5.3 : Coupe transversale du tablier au bout (moitié de gauche) et au centre (moitié de
droite) de la travée centrale du pont étudié ..................................................... 69 Figure 5.4 : a) Géométrie de la travée centrale du pont à l'étude et b) idéalisation de sa
structure par un modèle de grillage ................................................................. 70 Figure 5.5 : Exemple de diagramme des moments causés par les charges mortes pour les
cinq poutres du pont, obtenus avec le modèle de grillage .............................. 74 Figure 5.6 : Vue en plan du pont étudié et position des axes centraux longitudinaux de la
structure (CL du pont) et des voies carrossables (CL voie nord) .................... 75
XI
Figure 5.7 : Sous-système représentant une poutre, composé des fonctions d'états limites des 9 segments ................................................................................................ 77
Figure 5.8 : Système 1 - Système en série représentant le pont. .......................................... 77 Figure 5.9 : Système 2 - Système en série-parallèle, selon lequel la défaillance de deux
poutres adjacentes entraîne la défaillance du pont. ......................................... 78 . Figure 5.10 : Système 3 - Système en série-parall~le, selon lequel la défaillance de l'une
des poutres de rive ou de deux poutres du centre adjacentes entraîne la défaillance du ponl ............................................................................... ........... 78
Figure 5.11 : Localisation de l'endommagement (du béton: gris, des armatures: noir) sur les sections diminuant la résistance a) en flexion b) et à l'effort tranchant. ... 80
Figure 5.12 : Localisation de l'endommagement sur les poutres, scénarios 1 à 5 ................ 84 Figure 5.13 : Localisation de l'endommagement sur les poutres, scénarios 6 à 9 ................ 85
(
Figure 6.1 : Indices de fiabilité des segments de poutre non endommagés, pour la flexion et effort tranchant ................................................................................................ 87
Figure 6.2 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - gl(X), segment 1, poutre A ...................................................................................... 106
Figure 6.3 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - gl(X), segment 7b, poutre A .................................................................................... 1 06
Figure 6.4 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - g2(X), segment 1, poutre A ...................................................................................... 107
Figure 6.5 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - g2(X), segment 7b, poutre A .................................................................................... 107
CHAPITRE 1
INTRODUCTION
1.1. PROBLÉMATIQUE
Le problème actuel de dégradation des infrastructures routières en béton armé au Canada et
dans plusieurs pays est considérable. Cet endommagement, résultant principalement de la
corrosion des armatures, réduit la capacité portante de ces structures et est souvent
accompagnée d'une augmentation des charges d'utilisation et débits de circulation, ce qui
engendre une diminution de la fiabilité de ces ouvrages [MTQ, 2005]. La tenue de
programmes d'inspection et d'évaluation des ponts est primordiale puisqu'ils permettent de
minimiser les risques associés à la défaillance de ces structures.
Dans certains cas, les méthodes d'évaluation structurale suggérées par différentes normes
se révèlent trop conservatrices, car elles suggèrent une analyse individuelle des éléments
structuraux [Nowak, 2004]. En procédant ainsi, la capacité portante de la structure pourrait
être sous-évaluée puisque le comportement du système, c'est-à-dire l'interaction entre les
éléments du pont, est considéré de façon indirecte et très sommaire [Hendawi et Frangopol,
1994] . Avec un nombre élevé de structures vieillissantes, il est important que les résultats
issus des évaluations permettent de prioriser adéquatement les interventions à effectuer sur
les réseaux routiers. Des méthodes d'évaluation plus précises doivent donc être
développées · pour optimiser la réparation ou le remplacement de ces infrastructures, pour
les maintenir sécuritaires et en état de service, en raison des inconvénients et de
l'importance des investissements que ces actions impliquent.
2
Au Canada, l'évaluation des ponts se fait d'après le chapitre 14 du Code canadien sur le
calcul des ponts routiers, CAN/CSA-S6-00 [CSA, 2000a]1. Lors de l'évaluation structurale,
pour chaque mode de défaillance des éléments structuraux évalués, un indice de fiabilité ~
cible est établi selon trois critères définis à l'article 14.11. Ces critères correspondent à des
facteurs influençant le risque de perte de vies humaines résultant de la défaillance de
l'élément structural. Chacun des critères est alors divisé en trois catégories correspondant à
un niveau de risque élevé (1), moyen (2) ou faible (3). Lorsque le risque de perte de vies est
faible, une plus grande probabilité de défaillance est acceptée, ce qui mènera à un indice de
fiabilité cible plus faible. La relation entre la probabilité de défaillance et l'indice de
fiabilité est présentée au chapitre 2.
Le premier de ces critères concerne le comportement du système, selon que la défaillance
de l'élément à l'étude entraîne l'effondrement complet (SI) ou partiel (S2) de la structure
ou seulement une rupture locale (S3). Le second est lié au comportement de l'élément, à
savoir si sa défaillance est fragile ou ductile, c'est -à-dire si la défaillance de l'élément
entraîne une perte brusque de sa résistance (El), s'il conserve un' certain niveau de
résistance (E2) ou bien si sa défaillance est pr'ogressive (E3). Enfin, les catégories du
troisième critère correspondent à trois niveaux d'inspection (INSP1, INSP2 et INSP3).
Selon la combinaison de ces différents critères, l'indice de fiabilité ~ cible d'un élément
structural, pour un mode de défaillance en particulier, peut prendre des valeurs entre 2,50 et
4,00 qui correspondent à des probabilités de défaillance (Pf) de 6,2 x 10-3 et 3,2 x 10-5
respectivement. Notons qu'une structure neuve a un indice de fiabilité ~ de 3,75 (Pf = 8,8 x
10-5) [CSA, 2000b].
L'indice de fiabilité cible permet de déterminer les coefficients de pondération pour
majorer les charges dans le calcul du facteur de capacité de surcharge (F) correspondant au
mode de défaillance de l'élément à l'étude. Plus l'indice de fiabilité .~ cible est élevé, plus
la majoration des charges est élevée, car la défaillance de l'élément entraîne de plus graves
1 L'évaluation des ponts au Canada s'effectue actuellement selon le chapitre 14 du Code Canadien sur le calcul des ponts routiers CAN/CS~ -S6-06. Ce mémoire fait référence à la norme CAN/C5A -56-00 puisque les calculs ont étés réalisés avant l 'entrée en vigueur de la norme 2006.
3
conséquences ou son niveau d'inspection comporte des incertitudes. Finalement, le facteur
de capacité de surcharge attribué au pont correspond au facteur le plus faible parmi tous
ceux des éléments structuraux évalués. Un facteur F égal ou supérieur à 1,0 indique que le
pont est apte à supporter la charge actuelle autorisée. Par contre, lorsque le facteur de
.capacité de sur~harge du pont est inférieur à 1,0, le pont est jugé hors norme. TI faut alors
soit limiter la charge des véhicules y circulant ou bien procéder à des réparations,
renforcement, remplacement d'éléments ou à la reconstruction du pont.
Dans cette méthode proposée par le Code CAN/CSA-S6-00 [CSA, 2000a], le système est
pris en compte par le seul fait de diminuer l'indice de fiabilité B cible des éléments
structuraux contribuant à la redondance de la structure, car la redistribution des efforts
procure un niveau de sécurité plus élevé [CSA, 2000b]. Cette considération est peu précise,
car elle dépend uniquement de l'une des trois catégories (S 1; S2 ou S3) à laquelle l 'élément
correspond. D'autre part, en sélectionnant le facteur de capacité de surcharge de l'élément
le plus faible comme facteur F du pont, on néglige à cette étape la relation qu'ont les divers
éléments structuraux sur le comportement d'ensemble de la structure. Même si un élément
est plus critique, il est probable que sa défaillance n'entraîne pas celle de la structure, c'est
à-dire que la structure continue de supporter les charges suite à la défaillance de l'un ou
même quelques-uns de ses éléments. [Enright et Frangopol, 1999; Hendawi et Frangopol,
1994]. TI peut donc être avantageux de considérer plu~ précisément le système lors de
l'évaluation structurale d'un pont pour ne pas sous-estimer sa fiabilité et mieux connaître
son comportement réel face à une défaillance.
Depuis quelques années, plusieurs études portant sur l'évaluation structurale de ponts sont
basées sur la théorie de la fiabilité, tel qu'il sera vu à la sous-section suivante. En plus de
permettre d'évaluer la fiabilité du système et ainsi obtenir l'indice de fiabilité B du pont,
cette méthode probabiliste tient compte des incertitudes associées aux variables décrivant la
-résistance de la structure et les sollicitations [Val et al., 1998]. Enfin, l'indice de fiabilité
d'un pont peut servir d'indicateur pour maintenir un certain niveau de fiabilité au cours de
sa durée de vie et prioriser les interventions à effectuer sur un réseau routier [Estes et
Frangopol, 1999; Val et al., 1998].
4
1.2. REVUE DE LA LITTÉRATURE
Cette section présente un résumé des principales études effectuées dans le domaine de la
fiabilité appliquée à l'évaluation structurale de ponts ou de leurs éléments structuraux
(poutres, dalles, etc.).
1.2.1. ÉTUDES PORTANT SUR LA FIABILITÉ D'UNE POUTRE VS. UNE
STRUCTURE DE PONT
Les études de Nowak (2004), Tabsh et Nowak(1991) et Nowak et Zhou (1990) démontrent
l'influence de la prise en compte du système sur l'indice de fiabilité de structures
redondantes. L'étude de la fiabilité porte sur la capacité portante en flexion de ponts
typiques à poutres en acier, mixtes, en béton armé et en béton précontraint évaluée selon un
état limite de service. La capacité portante des poutres et d'un pont est considérée comme
étant égale à la charge de camion(s) causant la flèche maximale acceptable. Les indices de
fiabilité B des poutres obtenus sont inférieurs aux indices B du pont et ce, pour différents
espacements entre les poutres et portées. La Figure 1.1 démontre ce résultat pour un pont
d'une portée de 18 m et des poutres espacées de 2.5 m. Cette figure illustre aussi l'effet de
la corrélation entre les composantes (poutres) du système '(pont) sur sa fiabilité, montrant
qu'elle tend à diminuer la fiabilité de ces structures redondantes lorsqu'elle est élevée (p = 1). La not,ion de corrélation sera explicitée au chapitre 2. .
9 ~----------------------~
8
x ~ 7 .s >-:= 6 :n .~ Qj 5 ct:
E ~ 4 ln >
(J)
Q) 3 Cl -0
~ 2
1
p= o
p = 1
p = Coefficient of Correlation
o 1 23 456 7
Girder Reliab il ity Index
Figure 1.1 : Indice de fiabilité du pont comme système vs indice de fiabilité de ses poutres pour une corrélation nulle (p = 0) et parfaite (p = 1) entre les résistances des poutres. (Tiré de Nowak (2004))
5
1.2.2. ÉTUDES PORTANT SUR LA FIABILITÉ DE POUTRES DE PONTS EN
BÉTON ARMÉ
Higgins et al. (2005) ont analysé la fiabilité le long d'une poutre de pont à quatre poutres en
béton armé, de trois travées continues, à partir de courbes d'interaction moment-effort
tranchant. Les indices de fiabilité ~ sont évalués à diverses sections critiques, soient aux
changements d'espacement des étriers, aux extrémités des barres d'armature de flexion, aux
changements de géométrie de l'âme et au droit de fissures diagonales identifiées lors
d'inspections. L'indice de fiabilité de la poutre est considéré comme étant égal à l'indice le
plus faible parmi ceux évalués aux diverses sections dites critiques. La Figure 1.2 illustre
les indices de fiabilité le long de la poufre, évalués pour différentes configurations de
véhicules utilisés lors de l'évaluation des ponts à poutres en béton armé au Département
des Transports de l'Oregon (ODOT).
6
5
3
2
0~==================L-~----L---~--~----~---L--~~--~---L--__ L-~ o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Location along bridge from left support (ft)
Figure 1.2 : Indice de fiabilité (Beta) évalué aux sections critiques de la poutre étudiée. (Tiré de Higgins et al. (2005))
60 65 70 75
D'autres chercheurs ont intégré la dégradation des ponts en béton armé causée par la
corrosion des armatures à l'étude de la fiabilité des poutres dans le temps. Silva (2004) a
développé une démarche probabiliste pour estimer l'évolution de la perte de capacité
portante de poutres en flexion simple d'une famille de ponts en béton armé. Les indices de
fiabilité de la section où l'effort de flexion produit par les charges d'exploitation est
maximal sont calculés au cours de l'évolution des divers stades de l'endommagement. Ces
stades correspondent à la formation de la fissuration, la croissance de l'ouverture des
fissures ~t l'éclatement du béton. Sarveswaran et al. (2000) présentent une méthodologie
pour analyser la fiabilité structurale de poutres en béton armé endommagées par la
corrosion des armatures due à la pénétration d'ions chlore. Un modèle d'endommagement
en fonction du temps pour la réduction de l'aire des barres et leur perte d'adhérence au
béton y est intégré. L'analyse de la fiabilité de la section critique, soit la section présentant
le plus faible ratio de capacité (CR = Résistance/Sollicitations), est réalisée pour la flexion,
l'effort tranchant et une combinaison de ces efforts. Ce dernier état limite est évalué à partir
7
de l'adhérence des barres d'armatures au béton, car il dépend de son efficacité à résister aux
efforts de flexion et cisaillement combinés.
Ces trois études sont limitées à la fiabilité de· poutres de ponts en béton armé. Higgins et al.
(2005) et Silva (2004) ont considéré l'indice de fiabilité minimal d'une poutre obtenu
comme étant l'indice de fiabilité du pont, donc sans considérer le comportement de la
structure comme un système. Les études présentées à la sous-section suivante portent sur la
fiabilité de ponts en béton armé évaluée en prenant en considération le système structural.
1.2.3. ÉTUDES PORTANT SUR LA FIABILITÉ DE PONTS EN BÉTON ARMÉ AVEC
ENDOMMAGEMENT DANS LE TEMPS
Akgül et Frangopol (2005a et 2005b) ont présenté une méthodologie générale pour
l'analyse de la performance de ponts existants en béton armé au cours de leur durée de vie.
La fiabilité du système est évaluée en considérant la flexion et l'effort tranchant des poutres
et la flexion de la dalle. Cela est effectué à partir de fonctions d'états liinites correspondant
à ces trois modes de défaillance et d'un modèle d'endommagement de ces éléments
structuraux par la corrosion des armatures d'acier. Dans cette étude, on suppose une
corrosion causée uniquement par la pénétration des ions chlore dans le béton et que ces ions
prov.iennent des éclaboussures contenant des sels de déverglaçage occasionnées par le trafic
circulant sous le pont. Les auteurs émettent les hypothèses que la pénétration des ions
chlore est uniforme sur toutes les . surfaces des poutres et de la dalle exposées à ces
éclaboussures et que la corrosion autour du périmètre des armatures est uniforme sur toute
la longueur des barres. Les indices de fiabilité P associés aux modes de défaillance, aux
éléments structuraux et à la structure sont évalués ainsi que leur variation dans le temps.
Cette variation dans le temps ne représente cependant pas une évolution réelle puisque les
hypothèses émises par les auteurs sur l'endommagement sont fausses . .
Une étude plus approfondie de l'endommagement a été effectuée par Enright et Frangopol
(2000) sur 21 ponts existants en béton armé ou précontraint en s'attardant entres autres sur
les sources de l'endommagement et sa localisation. Des fonctions de pert~ de résistance des
8
poutres en flexion et à l'effort tranchant sont développées, perte causée par la diminution de
section des armatures due à la corrosion. Enright et Frangopol (1998a, 1998b) Y intègrent
des analyses probabilistes du temps d'initiation et de la propagation de la corrosion, ainsi
qu'une analyse relative aux charges morte et vive. Cètte méthodologie est appliquée par
Enright et Frangopol (1999) à l'étude d'un pont à cinq poutres en béton armé existant, où la
fiabilité des poutres dans le temps est évaluée, ainsi que celle du pont pour quatre types de
systèmes et différentes corrélations entre les résistances initiales des poutres (voir la section
2.3 pour la définition des types de systèmes). En outre, l'effet de la redistribution des
charges sur la fiabilité suite à la défaillance d'une ou plusieurs poutres est examinée, en
assumant que toutes les poutres se dégradent au même taux. La Figure 1.3 illustre la
redistribution de la charge vive suite à la défaillance en flexion d'une poutre, montrée par la
variation des facteurs de distribution des charges des autres poutres que cela occasionne.
Ces facteurs représentent la fraction de la charge vive supportée par les poutres pour une
seule voie de circulation chargée. Cette variation signifie donc que lorsqu'une ou plusieurs
poutres sont défaillantes, les charges peuvent être redistribuées aux autres poutres du pont
(dans le système). Cependant, celles-ci étant alors plus chargées, leur probabilité de
défaillance devient plus grande, ce qui démontre que la fiabilité des poutres et du pont
dépend grandement de la redistribution des charges suite à la défaillance de poutres.
1.2 ,..----r--- -.-------r----r----r-----, CI: o .... u ~ 1.0 z o t= .
NO GIRDER HAS FAILED GIRDER A HAS FAILED
, GIRDER 8 HAS FAILED GIRDER CHAS FAILED GIRDER 0 HAS FAILED GIRDER E HAS FAILED
FAILURE OF ANY SINGLE GIRDER
LOAD CASE 2 (L2)
LIVE LOAD, MOMENT
~ 0.8 ~======================~-------~ cr: .... Cf)
ë5 0.6 I-------_____ - _...H ij----------I
cr: W Cl cr: a 0.4 ~-.... z w ~ ~ 0.2
w > :::::ï 0.0 L-_ ___ --='---__
A B c D E BRIDGE GIRDER
Figure 1.3 : Facteurs de distribution de la charge vive des poutres suite à la défaillance en flexion d'une poutre du pont. (Tiré de Enright et. Frangopol (1999))
9
1.2.4. ÉTUDES PORTANT SUR L'EFFET DE L'ENDOMMAGEMENT ET DE LA
RÉFECTION SUR LA FIABILITÉ DE PONTS DANS LE TEMPS
Certains chercheurs intègrent l'aspect réfection à l'étude de la fiabilité dans le temps des
ponts endommagés. Estes et Frangopol (1999) ont développé une méthodologie dans le but
d'optimiser les stratégies de réfection des ponts autoroutiers, selon un indice de fiabilité ~
cible du système. Cette approche est illustrée par l'étude d'un pont existant à neuf poutres
d'acier. Les indices de fiabilité des éléments structuraux non endommagés du pont sont
d'abord calculés à partir de fonctions d'états limites, pour divers modes de défaillance.
Ensuite, la fiabilité de la structure est évaluée pour différents types de systèmes et
corrélations entre les résistances des poutres. Enfin, l'indice de fiabilité du pont est calculé
dans le temps avec remplacement partiel ou complet d'éléments de la superstructure, en
intégrant des modèles de charge vive et de corrosion des poutres, du tablier et des chevêtres
en fonction du temps. Au niveau des poutres, deux taux de corrosion sont utilisés, l'un pour
les poutres extérieures et l'autre pour les poutres intérieures. De plus, deux différents
modèles d'endommagement des sections sont considérés, l'un pour l'endommagement au
centre des poutres et l'autre aux appuis.
Le modèle proposé par Yang et al. (2004) pour l'évaluation de la probabilité de défaillance
des ponts existants dans le temps, avec ou sans remplacement d'éléments, est basé sur des
fonctions de durée de vie. Cett~ démarche est appliquée à l'étude de la superstructure d'un
pont existant à neuf poutres d'acier, en utilisant une fonction de durée de vie pour les
poutres et une autre pour la dalle de béton. Les probabilités de défaillance du pont sont
évaluées et comparées pour quatre types de systèmes aux composantes corrélées et/ou non
corrélées. La probabilité de défaillance du pont est aussi évaluée dans le temps, avec le
remplacement d'une ou plusieurs poutres et/ou de la dalle. Enfin, des stratégies de réfection
optimales sont définies, selon une probabilité de défaillance maximale acceptable au cours
de la durée de vie de la structure. Les Figures 1.4 et 1.5 montrent les probabilités de
défaillance du pont dans le temps pour deux types systèmes, l'un en série et l'autre mixte
(voir la section 2.3), associées à leurs stratégies de réfection optimales. Ces résultats
10
démontrent l'effet du type de système choisi sur les coûts optimums de maintenance d'une
structure au cours de sa durée de vie.
10 20 30 40 50 60 70 80
T e (years)
Figure 1.4 : Probabilité de défaillance du pont dans le temps, associée à la stratégie de réfection optimale pour le système l (système en série) . (Tiré de Yang et al. (2004))
0..'- 10 1
~ 10."'" oC , ca .
"2 10.5
0.. i , ~ 1006
i Replace Oeck ~ en 10..'7
Replace Supers ructure
Time :(years)
Figure 1.5 : Probabilité de défaillance du pont dans le temps associée à la stratégie de réfection optimale pour le système IV (système mixte) . (Tiré de Yang et al . (2004))
Il
1.3. OBJECTIF
Dans certaines des études présentées à la sous-section précédente, le comportement du
système n'a pas été considéré dans l'évaluation de la fiabilité structurale, quoique qu'il ait
été démontré par d'autres l'influence de cette considération sur l'indice de fiabilité d'une
structure. D'autre part, dans les études portant sur la fiabilité de poutres et de ponts avec
détérioration dans le temps, l'endommagement considéré est relativement uniforme, ce qui
n'est cependant pas le cas en réalité. De plus, à l'exception de l'étude de Higgins et al.
(2005), .où la fiabilité. d'une poutre est évaluée en diverses sections critiques, la résistance
des poutres analysées est constante sur toute leur longueur. La fiabilité est alors évaluée
uniquement au centre des poutres et près des appuis, soient où les efforts de flexion et de
cisaillement sont maximaux. La fiabilité ne dépendant pas uniquement des sollicitations
mais aussi de la résistance d'une structure, ces études négligent les cas où la résistance
d'une poutre est variable sur sa longueur soit en raison de sa géométrie ou bien d'un
endommagement local par exemple. Dans ces cas, les sections critiques des poutres ne sont
pas nécessairement là où les efforts sont les plus élevés, mais plutôt aux sections où l'écart
entre la résistance et la sollicitation est faible.
Suite à l'examen de ces études portant sur la fiabilité structurale, il en ressort trois
principaux aspects qui se doivent d'être intégrés dans une même recherche. Premièrement,
tenir compte du comportement de la structure comme un système dans l'évaluation de sa
fiabilité. Deuxièmenent, évaluer la fiabilité des éléments structuraux en diverses sections.
Troisièmement, considérer un endommagement non uniforme sur la structure plus
représentatif de la réalité.
L'objectif principal de ce mémoire consiste donc à étudier .l'influence de la localisation de
l'endommagement et de son étendue sur la fiabilité d'un pont existant en béton armé. À
cette fin, un outil informatique permettant d'évaluer la fiabilité de structures, en considérant
le système, est d'abord développé. Ensuite, des scénarios d'.endommagement diminuant la
résistance à la flexion et/ou à l'effort tranchant d'un ou plusieurs segments de poutres sont
définis, dans lesquels divers degrés d'endommagement sont considérés. Ceux-ci peuvent
correspondre à des stades d'endommagement de la structure dans le temps. Enfin, la
12
variation de l'indice de fiabilité des segments de poutres, des poutres et du pont causée par
l'endommagement est analysée, afin de déterminer les facteurs les plus influents sur la
fiabilité de la structure.
1.4. STRUCTURE DU MÉMOIRE
Cette étude étant basée sur la théorie de la fiabilité structurale, un résumé de celle-ci est
exposé au chapitre suivant, où les thèmes de la fiabilité d'une composante et d'un système
sont particulièrement abordés. Au chapitre 3, les fonctions d'états limites utilisées dans
l'étude de la fiabilité de poutres de pont en béton armé sont développées, tant pour la
flexion que pour l'effort tranchant, conformément au Code CAN/CSA-S6-00 [CSA, 2000a;
CSA, 2000b]. De plus, les différentes caractéristiques des variables contenues dans ces
fonctions sont présentées. Le programme LRT (Laval Reliability Toolbox) développé pour
l'évaluation de la fiabilité de structures est ensuite décrit au chapitre 4.
Au chapitre 5, la théorie de la fiabilité est appliquée à une étude de cas. Le pont existant
étudié et le modèle numérique conçu pour l'analyse des efforts y sont d'abord présentés,
suivi d'une description des différents systèmes utilisés dans l'étude de fiabilité de la
structure et des divers scénarios d'endommagement étudiés. Le chapitre 6 présente les
résultats obtenus, soit la fiabilité de la structure non endommagée et endommagée,
accompagnés d'une discussion. Ce chapitre est complété par une comparaison entre les
indices de fiabilité obtenus et l'indice de fiabilité B cible du Code CAN/CSA-S6-00 [CSA,
2000a] , puis par une étude. de sensibilité des variables. Pour terminer, les principales
conclusions sont énoncées au chapitre 7, suivies des perspectives de recherche.
CHAPITRE 2
THÉORIE DE LA FIABILITÉ STRUCTURALE
2.1. INTRODUCTION
Ce chapitre traite brièvement des éléments de la théorie de la fiabilité ayant servi à
l'élaboration de ce mémoire. Les notions relatives à la fiabilité d'une composante et d 'un
système sont présentées, ainsi que les méthodes de calcul sélectionnées pour les évaluer.
Un glossaire est inclus à la fin de ce chapitre pour faciliter la compréhension de la matière
présentée.
2.'2. FIABILITÉ D'UNE COMPOSANTE
Tout d'abord, il est important de préciser l'emploi du terme « composante », qui signifie ici
un élément d'un système ou d'un sous-système et non pas un élément structural. ·Plus
précisément, le terme « composante» peut référer à un mode de défaillance d'un élément
d'une structure. Également, la définition de composante peut avoir un sens plus large, qui
sera explicité à la section 2.3, lorsque sera abordée la notion de système.
14
2.2.1. PROBABILITÉ DE DÉFAILLANCE
Le fondement de la fiabilité structurale consiste en l'étude d'un élément d'une structure
décrit par une résistance R, représentée par une fonction de densité de probabilité fR(r) ,
soumis à une sollicitation S, également représentée par une fonction de densité de
probabilité fs(s) [Melchers, 1999]. Ces fonctions de densité, pour un élément quelconque,
sont illustrées à la Figure 2.1.
fa(r), fg(s)
s
4---~~--------~~--~----------~~~--~ X
Figure 2.1 : Fonctions de densité des variables de résistance R et sollicitation S.
La sécurité de cet élément structural est assurée lorsque sa résistance est supérieure à la
sollicitation,_ soit lorsque R>S. Ainsi, la probabilité de défaillance de cette pièce est
[Melchers, 1999] :
Pf = P(R ~ S)
= P(R - S ~ 0)
= p(Z ~ 0)
Dans l'équation (2.3), le paramètre Z est la marge de sécurité de la pièce:
Z=R-S
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
15
La marge de sécurité définit le domaine de sécurité et domaine de défaillance, soient les
zones décrites par R-S>O et R-S<O respectivement. La limite entre ces deux domaines, soit
lorsque la valeur de la résistance est égale à celle des sollicitations, est déterminée par Z = R - S = 0, nommée équation d'état limite. Cela est illustré à la Figure 2.2 avec la fonction
de densité conjointe fRs (r, s) des variables R et S.
o
s
Z<O Domaine de
défaillance D
Z> 0 Domaine de sécurité
z=o
Figure 2.2 : Fonction de densité conjointe fRs (r, s), domaines de sécurité et de défaillance. (Adapté de Melchers (1999))
De plus, d'après cette figure, la probabilité de défaillance peut s'exprimer par l'équation
suivante, où D représente le domaine de défaillance [Melchers, 1999] :
Pf = P(R - S ~ 0) = J J f RS (r, s) dr ds (2.5)
D
16
Enfin, la sécurité de l'élément structural est définie par une résistance supérieure à la
sollicitation. La probabilité de survie, dénotée P s, est donc le complément de la probabilité
de défaillance [Ghosn et Frangopol, 1999] :
Ps = P(R - S > 0) = 1- Pf (2.6)
2.2.2. INDICE DE FIABILITÉ ET ÉQUATION D'ÉTAT LIMITE
Généralement, la sécurité d'un ouvrage est quantifiée par un indice de fiabilité p, car la
probabilité de défaillance prend souvent de très petites valeurs, ce qui est plus difficile à
manipuler et à interpréter. Contrairement à la probabilité de défaillance, pour laquelle plus
la valeur est élevée plus la sécurité de la structure étudiée est faible, une plus grande valeur
de l'indice de fiabilité p signifie une plus grande sécurité. La relation entre ces deux
mesures s'exprime par [Melchers, 1999] :
(2.7)
où <1>( ) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire normale centrée réduite, c'est
à-dire une variable ayant une distribution normale de moyenne égale à zéro et d'écart-type
égal à l'unité. Le Tableau 2.1 présente des exemples de valeurs de l'indice de fiabilité et la
valeur de la probabilité de défaillance correspondante.
Tableau 2.1 : Indices de fiabilité et probabilités de" défaillance correspondantes.
p 0,00 1,28 " 2,33 3,72 4,75 5,61 6,36
Pf 0,50 10-1 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10
En particulier, lorsque la variable aléatoire de résistance R d'un élément structural et la
variable S représentant la sollicitation ne sont pas corrélées et sont distribuées selon une loi
normale, la probabilité de défaillance et l'indice de fiabilité de cette pièce peuvent être
évalués directement. Dans ce cas, la marge de sécurité Z est aussi une variable aléatoire
normale. La probabilité de défaillance et l'indice de fiabilité ~ sont alors obtenus à partir de
17
'la moyenne fJ,z et de 1 ' écart-type az de la variable Z, tel que décrit par la relation suivante
[Melchers, 1999] :
(2.8)
D'après la F~gure 2.3, la valeur de B équivaut au nombre d'écarts-types séparant la
moyenne J..Lz et la limite entre les domaines de sécurité et 'de défaillance, soit Z = o .
.... ----Défaillance Sécurité ------. ..
------------~~----P-------~------------~------~z
Jlz Figure 2.3 : Fonction de densité de probabilité de la marge de sécurité Z.
(Adapté de Faber (2005))
En outre, pour les moyennes IlR et Ils et les écarts-types (JR et (Js des variables aléatoires R
. et S suivant la loi normale, la moyenne et l'écart-type de la marge de sécurité Z = R - S
sont [Melchers, 1999] :
J..Lz = J..LR - J..Ls
(Jz = ~(J~ + (J~
(2.9)
(2.10)
Donc, à partir de ces équations, la probabilité de défaillance de la pièce peut être calculée 'à
partir des moyennes et écarts-types des variables R et S [Melchers, 1999] :
(2.11)
18
Cependant, ce cas est plutôt théorique car généralement, lorsque la probabilité de
défaillance d'un élément de structure est évaluée, un ou plusieurs modes de défaillance
doivent être considérés. Ces modes de défaillance, tels la flexion ou l'effort tranchant par
exemple, sont caractérisés par plusieurs variables et paramètres décrivant la résistance de la
pièce, de même que les sollicitations auxquelles elle est soumise. De plus, ces variables
aléatoires ne suivent pas nécessairement une loi normale et sont parfois corrélées entre
elles. Ces deux aspects sont · importants à considérer lors de l'évaluation de l ' indice de
fiabilité.
Généralement, lorsque la résistance et les sollicitations associées à un mode de défaillance
quelconque sont caractérisées par n variables aléatoires Xi, la marge de sécurité. (équation
(2.4)) est plutôt décrite par une fonction d'état limite g(X), où le vecteur X={X1, X2, ••• ,
Xn} T [Mel chers , 1999]. Dans ce cas, l'équation d'état limite Z = R - S = 0, également
nommée surface de défaillance, devient:
g(X) = résistance - sollicitations = 0 (2.12)
où la résistance et les sollicitations sont décrites par les variables aléatoires Xi.
Ainsi, en relation avec l' équation ~2.5), la probabilité de défaillance devient
donc [Melchers, 1999] :
Pf = p(g(X) ~O)= J ... Jfx (x) qx (2.13)
g (X) ~O
où g(X)S;O est équivalent au domaine de défaillance D et fx (x) est la fonction de densité de
probabilité conjointe des variables aléatoires du vecteur X à n dimensions.
Toutefois, l'intégrale de l'équation (2.13) est en général difficilement évaluée directement
et des méthodes d'approximation doivent être utilisées pour évaluer la probabilité de
/
19
défaillance P f. Dans le cadre de cette recherche, la méthode d'approximation de premier
ordre FORM sera utilisée. Cette méthode, décrite · à la sous-section suivante, permet
d'évaluer l'indice de fiabilité P à partir duquel la probabilité de défaillance Pf est tirée.
2.2.3. FIRST ORDER RELIABILITY METHOD (FORM)
U ne des méthodes d'évaluation de l'indice de fiabilité P couramment utilisée est la
l'approche au premier ordre FORM (First Order Reliability Method). Son appellation vient
du fait que l'équation d'état limite g(X)=O est approximée par une série de Taylor de
premier ordre autour du point le plus près de la I)loyenne des vari~bles aléatoires, nommé
point de fonctionnement [Ghosn et Frangopol, 1999]. La fonction g(X)=O est alors
exprimée par une équation d'état limite linéarisée gL(X). La Figure 2.4 illustre le point de
fonctionnement X* et l'équation d'état limite linéarisée dans l'espace de base, pour une
fonction à deux variables aléatoires (X={XI , X2 } T).
X 12 2
LO
8
6
4
2
P---~;~---.~~-P----~----~----~--~ Xl 4 6 8 10 12
Figure 2.4 : Équation d'état limite linéarisée gL(X) etpoint de fonctionnement X*. (Adapté de Faber (2005))
Toutefois, lorsque la fonction d'état limite g(X) est fortement non linéaire, il peut être
préférable d'utiliser la méthode d'approximation au deuxième ordre SORM (Second Order
Reliability Method). Dans ce mémoire, seule la méthode FORM est utilisée, car il s'avère
20
que ce soit dans des situations plutôt extrêmes que la linéarisation de la fonction d 'état
limite mène à des résultats fortement imprécis [Melchers, 1999]. De plus, cette méthode a
été largement utilisée dans diverses études portant sur la fiabilité structurale [Estes et
Frangopol, 1999; Sarveswaran et al., 2000; Silva, 2004; Akgül et Frangopol, 2005b] .
. L'approche probabiliste FORM demande que, dans un premIer temps, les variables
aléatoires Xi soient transformées en variables normales centrées réduites Ui, où f.!ui = a et
O"Ui = 1. Lorsque les variables süivent une loi normale et ne sont pas corrélées, cette
transformation s'exprime de la façon suivante [Melchers, 1999] :
x · - IIX' U . = 1 l"'" 1 1
0" Xi (2.14)
Toutefois, lorsque la distribution des variables ne suit pas une loi normale et/ou qu'il existe
one corrélation entre certaines des variables, des transformations intermédiaires sont
nécessaires. Celles-ci permettent de les transformer de l'espace de base X à l'espace réduit
U, aussi nommé espace normal standard, et de les décorréler. Ces transformations sont
décrites aux sous-sections 2.2.6, 2.2.8 et 2.2.9.
Suite à la transformation des variables aléatoires de base, la yaleur de l'indice de fiabilité ~
correspond graphiquement à la plus courte distance entre l'origine du système d'axes et
l'équation d'état limite g(U)=O, soit de l'origine au point de fonctionnement U* dans
l'espace réduit des variables normales non corrélées [Faber, 2005]. Ce concept est illustré à
la Figure 2.5 pour le cas d'une fonction d'état limite à deux variables aléatoires.
U 12 2
10
8
6
r-~~~+--+--~~--~~--~----~----•. Ul 8 10 12
Figure 2.5 : Équation d'état limite et indice de fiabilité dans l'espace normal standard. (Adapté de Faber (2005))
21
Le vecteur Cl de la Figure 2.5 est un vecteur passant par le point de fonctionnement U* dans
une direction normale à la surface de défaillance et dirigé vers le domaine de défaillance.
Les vecteurs <Xi qui composent le vecteur P dans la direction des axes Xi, soient ici al et a2,
sont les cosinus directeurs associés aux variables aléatoires Xl et X2• Puisque les cosinus
directeurs contribuent à la direction du vecteur Cl et donc de p, ils sont pour chacune des
variables une mesure de leur importance par rapport à l'indice de fiabilit~. Leur valeur se
situe entre -1 et 1, une valeur de zéro signifiant aucune influence et 1 ou -1 une très forte
influence.
Avec la méthode FORM, l'indice de fiabilité est évalué à partir de l'équation suivante [Ang
et Tang, 1984] :
-fu~(~J ~= j~1 aU j
( J2
n ag L -* i=l aU i
(2.15)
22
où les Ui* sont les valeurs des variables aléatoires au point de fonctionnement dans l'espace
réduit et ag/aui* sont les dérivées partielles de la fonction d'état limite g(U) par rapport à
chaque variable Ui, évaluées aux points Ui*.
Puisque le point de fonctionnement U* est inconnu, les valeurs des Ui* doivent d ' abord être
supposées et la valeur de l'indice de fiabilité ~ est obtenu par itérations. Généralement, on
pose comme première valeur la moyenne des variables, ce qui permet de converger assez
rapidement. On considère que l'algorithme a convergé lorsque g(X) ~ 0, soit lorsque la
valeur de g(X) obtenue est égale ou inférieure à une très petite valeur notée ici h. Dans le
cadre de cette recherche, h = 1 x 1 0-5.
En bref, FORM est une méthode itérative consistant à trouver le point de fonctionnement et
les cosinus directeurs ai, ce qui permet d'obtenir la plus courte distance de l'origine au
point de fonctionnement dans l'espace réduit, soit la valeur de l'indice de fiabilité ~. Les
principales étapes de cette méthode sont expliquées dans les sous-sections suivantes (basé
sur Ang et Tang, 1984).
2.2.4. VARIABLES ALÉATOIRES NON CORRÉLÉES AYANT UNE DISTRIBUTION
NORMALE
Pour une fonction g(X) à n variables aléatoires normales non corrélées X= {X 1, X2, ... , Xn} T
dans l'espace de base X, lorsque ces variables Xi sont transformées dans l'espace normal
standard U, les variables U={Ul, D 2, ... , Un} T de moyenne ° sont obtenues. Dans ce cas, on
pose à la première itération Ui*=O comme valeurs des variables au point de
fonctionnement. Les variables Ui * sont ensuite transformées dans l'espace de base X. Les
variables Xi possédant une distribution normale, la transformation consiste à isoler Xi dans
l'équation (2.14). Ainsi, l'équation suivante définit Xi*:
X * = IIX' + Œx' U * i t'" 1 1 i (2.16)
23
Ensuite, la fonction d'état limite g(X*) est évaluée pour ces valeurs de Xi * et on procède
pour chaque itération comme suit:
1) Les gradients ag/axi de la fonction g(X) sont évalués aux points Xi *, ce qui permet de
calculer les' gradients ag/aui aux points Ui* dans l'espace réduit :
ag dg dX i* dg -----.---0- --dU: - dX. * dU. * - Xi dX:
1 1 1 1
(2.17)
2) Les cosinus directeurs Œi sont ensuite calculés à l'aide de l'équation suivante:
dg - --
dU: 1 a j = --;::========-
n [ dg ]2 L - * j=l dU j
(2.18)
3) L'indice de fiabilité B pour cette itération peut alors être évalué:
B ~ ~B + Bjtér.préc. (2.19)
où g(X*)
~B = ---;::=:========
±(~)2 i=l dU j
(2.20)
et
~itérpréc. = ± (U~ . ai) (2.21) i=l
24
4) Les nouvelles valeurs Ui * peuvent maintenant être calculées, en utilisant la relation
suivante entre les cosinus directeurs et l'indice de fiabilité:
(2.22)
5) Les nouveaux Xi * sont alors obtenus en transformant les variables Ui * dans l'espace de
base X à l'aide de l'équation (2.16).
6) La fonction d'état limite g(X*) est évaluée pour les dernières valeurs Xi* calculées.
7) Enfin, si Ig(X*)1 < h, on a convergence de l'algorithme. Sinon, on retourne à l'étape 1.
2.2.5 . . EXEMPLE DE CALCUL AVEC FORM
Dans cette sous-section, un exemple de calcul est présenté pour évaluer l'indice de fiabilité
associé à une fonction d'état limite avec FORM. Cette fonction contient trois variables
àléatoires (Xl, X2 et X3) non corrélées et leurs distributions suivent une loi normale. Ce
calcul suit les étapes présentées à la sous-section précédente et les résultats obtenus sont
validés avec un exemple présenté par Ang et Tang (1984).
La fonction d'état limite pour laquelle l'indice de fiabilit~ doit être évalué est la suivante:
Les moyennes (f.!xi) et écarts-types (ŒXi) des variables aléatoires sont:
f.!XI = 40, ŒXI = 5,0
f.!x2 = 50; 'Œx2 = 2,5
f.!x3 = 1000, ŒX3 = 200
25
Pour la première itération, on pose UI *=0, U2*=0 et U3*=0 comme valeurs des variables au
point de fonctionnement dans l'espace normal standard U, soit la valeur de leurs moyennes
dans cet espace qui est zéro par définition. On les transforme. ensuite dans l'espace de base
X avec l'équation (2.16) :
X ~ =J.!XI +<JXIU ~ =40+5,0·0=40
X ; =J.!X2 + <JX2U ; =50+2,5·'0=50
X ; =Jlx3 +<JX3 U; =1000+200·0=1000
La fonction d'état limite g(X*) est alors évaluée pour ce's valeurs de Xi* :
g(X*)=XI *·X2 *-X3*=40·50-1000=1000
On suit ensuite les étapes 1 à 7, jusqu'à ce que l'on converge vers la valeur de ~, soit
lorsque Ig(X*)1 < h = lxl0-5.
1) Les gradients ag/axi de la fonction g(X) sont évalués aux points Xi * :
~=X* =50 ax* 2
1
~=X* =40 ax; 1
~=-1 ax*
3
Les gradients ag/aUi peuvent maintenant être calculés avec l ' équation (2.17) aux points
Ui* dans l'espace réduit :
~=~. ax/ =<J ~=50.50=250 :\U * -:\ * :\ * Xl :\X * ' o 1 . oX1 oU 1 0 1
26
~=~. ax2* =0" ~=25.40=100 dU* -:\X * -:'\U * X2 dX* ' 2 0 2 0 2 2
dg dg ax3* dg -=--'--=0' -=200·(-1)=-200 au* ax * -:\U * X3 ax*
3 3 0 3 3
2) Les cosinus directeurs <Xi sont ensuite calculés à l'aide de l'équation (2.18) :
dg dg - - - -
a 1 = dU; =
[ J n dg L - * j=l dU j
dU; = -250 =-0745
l
dg, J2 +l dg, J2 +(~J2 . ~2502 +1002
+(-200) 2 ' dU ~ dU ~ dU*
1 2 3
dg - -
dU; = -100 = -0 298 f[ag. ]2 J2502
+1002
+(-200)2 '
j=l au j
ag - -
dU; = - (-200) = 0 596 f[ ag. ]2 J2502
+1002
+(-200)2 . '
j=l au j .
3) L'indice de fiabilité B pour cette itération peut alors être évalué avec les équations (2.19)
à (2.21) :
L1B = g(X*) = 1000 = 2,981
f( ag. J2 J2502
+1002 +(~200)2
1=1 l aU j
Pitérpréc. = f (u~ . aJ= (O· (-0,745)) +(0· (-0,298)) +(0·0,596) = 0 j=l
~ = L\~ + ~itér.préc. = 2,981 + 0 = 2,981
27
4) Les nouvelles valeurs Ui* peuvent maintenant être calculées, en utilisant l'équation
(2.22) :
U; = p. al = 2,981· (-0.745) = -2,222
U; = p. a 2 = 2,981 . (-0,298) = -0,889
U; = p. a 3 = 2,981· 0,596 = 1,778
5) Les nouveaux Xi * sont alors obtenus en transformant les variables Vi * dans l'espace de
base X à l'aide de l'équation (2.16) :
X; = J.lXl + crXI U; = 40 + 5,0· (-2,221) = 28,89
X; = J.lX2 + crX2 U; = 50+ 2,5· (-0,888) = 47,78
X; = J.lx3 + cr X3 U; = 1000 + 200 ·1,777 = 1355,56
6) La fonction d'état limite g(X*) peut alors être évaluée:
g(X*).= X;X; -X; = 28,89·47,78 -1355,40 = 24,96
7) On vérifie maintenant si Ig(X*)1 < h= 1 x 10-5 :
g(X*) = 24,69 > 1x10-5
On retourne donc ·à l'étape 1.
Après cinq itérations, on obtient Ig(X*)1 < IxIO-5, l'algorithme a donc convergé vers la
valeur de l'indice de fiabilité p. Les résultats obtenus à chacune des itérations sont
présentés au Tableau 2.2.
28
Tableau 2.2 : Principaux résultats obtenus à chaque itération de l'exemple de calcul.
Itération Variable Xi* ag/ax i* <Xi NouveauXi* Résultats
Xl 40 50 -0,745 28,89 ~ = 2,981
1 X2 50 40 -0,298 47,78 Ig(X*)1 = 24,69 >lx10-5
X3 1000 -1 0,596 1355,56 continuer
Xl 28,88 47,78 -0,747 28,58 ~ = 3,059
2 X2 47,78 28,88 -0,226 48,27 Ig(X*)1 = 3,05 > 1x10-5
X3 1355,40 -1 0,625 1382,55 continuer
Xl 28,58 48,27 -0,751. 28,55 ~ = 3,049
3 X2 48,27 28,58 -0,222 48,31 Ig(X*)1 = 0,019 > 1x10-5
X3 1382,55 -1 0,622 1379,36 continuer
Xl 28,55 48,31 -0,751 28,55 ~ = 3,049
4 X2 48,31 28,55 -0,222 48,31 Ig(X*)1 = 9,21x10-5> 1x10-5
X3 1379,36 -1 0,622 1379,23 continuer
Xl 28,55 48,31 -0,751 28,55 ~ = 3,049
5 X2 48,31 28",55 -0,222 48,31 Ig(X*)1 = 7,71x10-7 <1x10-5
X3 1379,23 -1 0,622 1379,22 O.K.
L'indice de fiabilité ~ associé à la fonction d'état limite g(X) de cet exemple est donc 3,05,
valeur aussi obtenue par Ang et Tang (1984).
2.2.6. VARIABLES ALÉATOIRES NON CORRÉLÉES N'AYANT PAS UNE
DISTRIBUTION NORMALE
Lorsque la distribution des variables aléatoires ne suit pas une loi normale et qu'aucune de
ces variables ne sont corrélées, la procédure pour calculer l'indice de fiabilité est similaire à
celle décrite à la sous-section 2.2.4. La différence réside dans la transformation des
variables Ui * en variables Xi * dans l'espace de base, ainsi que dans le calcul du gradient
Dans le cas général, les variables aléatoires normales standard Ui peuvent être obtenues par
la transformation marginale des variables Xi [Madsen et al., 1986] :
29
(2.23)
OÙ <!>-1( ) est l'inverse de "la fonction de répartition d'une variable normale centrée réduite et
.FXi(XD est la fonction de répartit~on marginale d'une variable aléatoire Xi. Donc, pour
transformer une variable de l'espace normal standard V à l'espace de base X, il suffit
d'effectuer la transformation inverse de l'équation (2.23), à partir de la fonction de
répartition marginale correspondant à sa distribution de probabilité, et d'isoler Xi [Madsen
et al., 1986] :
(2.24)
Par exemple, pour une variable aléatoire dont la distribution suit une loi exponentielle, sa
fonction de répartition marginale est:
En combinant les équations (2.23) et (2.25) et en isolant X, on obtient:
<1>( V) = 1 - e - Àx
e - Àx = 1- <I>(V) = <1>( -V)
X = -ln(<I>(- V)) À
(2.25)
(2.26)
D'autre part, lorsque · les variables aléatoires dans l'espace de base ne -suivent pas une loi
normale, on doit approximer leur écart-type à partir de celui correspondant à une
distribution normale équivalente [Ang et Tang, 1984] :
30
(2.27)
où <p() est la fonction de densité de probabilité d'unè variable normale centrée réduite.
L'équation (2.17) devient alors [Mad sen et al., 1986] :
(2.28)
au: . ax: au: ax: 1 1 1 1
Ainsi, lorsque des variables aléatoires Xi non corrélées de la fonction d'état limite g(X) ne
suivent pas la loi normale, l'algorithme de la 'sous-section 2.2.4 demeure valide, mais
l'équation (2.16) est remplacée par l'équation (2.23), dans laquelle on isole X, et l'équation
(2.28) remplace (2.17). Cependant, lorsqu'il Y a corrélation entre les variables, une
transformation s'ajoute à la procédure. Cette particularité est présentée dans les sous
sections qui suivent.
2.2.7. CORRÉLATION ENTRE LES VARIABLES ALÉATOIRES
Dans bien des cas, il existe une corrélation entre certaines variables aléatoires
statistiquement dépendantes contenues dans la fonction d'état limite g(X). Cette corrélation
doit être prise en compte lors de l'étude de la fiabilité car elle influence l'indice -de fiabilité
associé à cet état limite.
D'abord, la corrélation se définit comme une relation linéaire entre deux variables
aléatoires Xi et Xj et s'exprime par un coefficient de corrélation pij, dont la valeur se situe
entre -1 et 1 [Ang et Tang, 1984]. Un coefficient de 0 signifie qu'il n'y a aucune corrélation
entre les deux variables tandis qu'un coefficient de -1 ou 1 indique une corrélation parfaite
entre deux variables. Une parfaite corrélation signifie qu'une variation de la valeur de l'une
des variables entraînera une variation de l'autre et ce, dans le même sens pour un
coefficient de corrélation positif ou dans le sens inverse pour un coefficient négatif. En
31
outre, des valeurs intermédiaires du coefficient de corrélation signifient une corrélation
partielle entre deux variables dépendantes.
En fait, le coefficient de corrélation . est une mesure standardisée de la covarIance
Cov(Xi,Xj) entre deux variables Xi et Xj [Ang et Tang, 2007] :
(2.29)
où
(2.30)
et où E( ) désigne l'espérance mathématique.
D'autre part, les coefficients de corrélation Pij entre les n variables X={XI, X2, ... , Xn}T de
la fonction d'état limite g(X) s'expriment sous forme d'une matrice de corrélation px [Ang
et Tang, 1984] :
1 PI2 P13 PIn l P21 1 P23 P2n
Px = (2.31)
PnI Pn2 Pn3 1 ~
La matrice de corrélation est toujours symétrique (pij=pjD et sa diagonale est composée de
1, car la corrélation d'une variable par rapport à elle-même est nécessairement de 1 (pii=I).
Enfin, cette matrice px sera nécessaire pour effectuer la transformation des variables de
base Xi dans l'espace normal standard de variables non corrélées U. De plus, cette notion 1
de corrélation reviendra dans la section 2.3 sur la fiabilité des systèmes, car la corrélation
entre les composantes des systèmes devra également être considérée.
32
2.2.8. VARIABLES ALÉATOIRES CORRÉLÉES AYANT UNE DISTRIBUTION
NORMALE
. Lorsque qu'il y a corrélation entre certaines variables aléatoires Xi, on doit d' abord les
transformer dans l'espace normal standard de variable~ corrélées et ensuite effectuer une
deuxième transformation afin de les rendre non corrélées [Faber, 2005]. La séquence de
transformations du vecteur de variables X={X1, X2, ••• , Xn} T est la suivante: .
X~Y~U (2.32)
Dans l'algorithme décrit à la section 2.2.4, les variables Ui dans l'espace normal standard
sont transformées en variables Xi dans l'espace de base. La transformation du vecteur de
variables normales standard non corrélées U en vecteur de variables normales standard
corrélées y "est effectuée avec la matrice de transformation T [Faber, 2005] :
Y=TU (2.33)
Il existe différentes façons d'obtenir la matrice T. Dans cette recherche, elle sera calculée
par factorisation de Cholesky de la matrice de corrélation px [Faber, 2005]. Cette matrice
de transformation est une matrice triangulaire inférieure, telle que Tij=O,pour j>i.
C'est ainsi que préalablement à la transformation des variables Uj* (équation (2.16)) dans
l'algorithme présenté à la section 2.2.4, ces variables doivent être transformées à l'aide de
l'équation (2.33). Par la suite, les variables Yi* obtenues sont transformées en variables Xi*
dans l'espace de base avec l'équation (2.16) dans laquelle on remplace Ui * par Yi *.
Toutefois, lorsque la distribution des variables aléatoires de base ne suit pas la loi normale,
une transformation préalable à la factorisation de Cholesky de la matrice px . doit être
effectuée.
33
2.2.9. VARIABLES ALÉATOIRES CORRÉLÉES N'AYANT PAS UNE
DISTRIBUTION NORMALE
Lorsque certaines variables aléatoires de base sont corrélées et ne suivent pas une loi de
distribution normale, une autre transformation doit être introduite, laquelle tient compte du
type de distribution de probabilité des variables en plus de la corrélation. La transformée de
Rosenblatt peut être utilisée, mais elle requiert que la fonction de densité conjointe fx(X)
puisse être entièrement décrite, c ' est-à-dire que la fonction de répartition conjointe Fx(X)
ainsi que ses fonctions de répartition conditionnelles Fi(XdX1, X2, ... ,Xn) soient connues, ce
qui est rarement le cas en pratique [Melchers, 1999]. Pour contourner cette difficulté, on
utilise plutôt la transformée de N ataf lorsque les distributions de probabilité marginales des
variables de base sont connues [Der Kiureghian et Liu, 1986].
Afin d'expliciter les étapes à suivre" considérons d'abord la fonction de densité conjointe
de deux variables Xi et Xj dans l'espace de base, en assumant que les variables Yi et Yj sont
normales conjointes [Der Kiureghian et Liu, 1986] :
fx · (X. )fx· (X.) f (X X) - Ih (Y Y ) . 1 1 J J
XiXj i' j - '1'2 i' j' PO,ij q,(Yi )q,(Y
j)
(2.34)
où <P2(Yi, Yj,PO,ij) est la fonction de densité de probabilité binormale de moyennes zéro,
d'écarts-types égal à 1 et de corréiation entre les variables PO,ij. Des formules semi
empiriques ont été développées pour déterminer le coefficient de corrélation fictive PO,ij, à
partir du coefficient de corrélation Pij des variables dans l'espace de base et du type de
distribution. Ce coefficient de corrélation fictive PO,ij est obtenu à partir du ratio suivant
[Der Kiureghian et Liu, 1986] :
F = PO,ij
Pij (2.35)
De plus, l'équation (2.34) peut être généralisée pour décrire la distribution de l'ensemble
des variables composant la fonction d'état limite g(X) [Der Kiureghian et Liu, 1986] :
34
(2.36) ~
où <\>n(Y, po) est la fonction de densité de probabilité multinormale à n dimensions de
moyennes zéro et d'écarts-types égal à 1 et où les coefficients de corrélation entre les
variables sont contenus dans la matrice de corrélation fictive po. Toutefois, pour que ce
modèle de distribution soit valide, les fonctions de répartition marginales FXi(Xi) doivent
être continues et uniquement croissantes et la matrice de corrélation fictive po doit être
définie positive [Der Kiureghian et Liu, 1986].
Enfin, la transformation des variables corrélées normales centrées réduites Yi vers l'espace
de variables non corrélées Ui est [Der Kiureghian et Liu, 1986] :
(2.37)
où la matrice de transformation T 0 est obtenue par factorisation de Cholesky de la matrice
de corrélation fictive po [Der Kiureghian et Liu, 1986] .
Ainsi, pour le cas où les variables aléatoires de base sont corrélées et ne suivent pas une loi
de distribution normale, la transformation du vecteur de variables U = {UI, U2, ..• , Un}T de
l'équation (2.33) s'effectue à l'aide de matrice de transformation To. Cette équation devient
donc:
(2.38)
Enfin, les variables Yj obtenues sont ensuite transformées en variables Xj dans l'espace de
base avec l'équation (2.23), dans laquelle on isole X, tel qu'expliqué à la sous-section 2.2.6
pour le cas de variables non corrélées ne suivant pas une loi normale. De même, le gradient
ag/aUi est calculé à partir de l'équation (2.28). Les autres étapes du calcul de l'indice de
fiabilité sont les même que celles de l'algorithme présenté à la sous-section 2.2.4.
35
2.3. FIABILITÉ D'UN SYSTÈME
Généralement, lorsque la fiabilité d'une structure est évaluée; plus d'un élément structural
peut être considéré et, pour chacun d'eux, plus d'un mode de défaillance peut être pris en
compte. Par exemple, l'indice de fiabilité d'un tablier de pont peut être évalué en
considérant les modes de défaillance suivants: la flexion de la dalle, la flexion de chacune
des poutres et l'effort tranchant de ces dernières.
Tel qu 'expliqué à la section précédente, un indice de fiabilité est d'abord calculé pour
chaque fonction d'état limite décrivant un mode de défaillance (composante). Pour évaluer
la fiabilité de la structure, ces composantes sont organisées en système, soit un système en
série, en parallèle ou encore un système mixte, ce dernier étant un système composé de
plusieurs sous-systèmes en série et en parallèle. La configuration du système est déterminée
par l'évaluateur, en fonction du comportement de la structure lorsqu'un ou plusieurs de ses
éléments sont défaillants. Enfin, l'indice de fiabilité de la structure, pour les modes de
défaillance considérés, correspond à l'indice de fiabilité du système. De plus, la corrélation
entre les composantes, doit aussi être prise en compte dans les calculs, car elle influence
considérablement la valeur de l'indice de fiabilité du système. Enfin, le terme
« composante» référait jusqu'ici uniquement à un mode de défaillance, mais il a un sens
plus large lorsqu'il est question de systèmes. Essentiellement, les composantes sont les
éléments qui composent le système. La nature de ces composantes sera précisée plus loin.
2.3.1. CORRÉLATION ENTRE LES FONCTIONS D'ÉTATS LIMITES
Les fonctions d'états limites décrivant les modes de défaillance d'une structure sont
souvent corrélées, car elles sont décrites à partir de variables Xi communes. Cette
corrélation peut être calculée à partir des cosinus directeur's <Xi associés à chacune des
variables aléatoires des fonctions d'états limites, obtenus lors de l'évaluation de l'indice de
fiabilité des modes de défaillance avec FORM. Ainsi, le coefficient de corrélation Pga,gb
entre deux fonctions d'état limite ga(X) et gb(X) est [Ang et Tang, 1984] :
36
_ COV(ga,gb) _ ~ Pga,gb - - L..J UakU bk
cr ga cr gb k=l (2.39)
La connaissance des coefficients de corrélation entre les fonctions d'états limites associées
aux modes de défaillance est essentielle pour évaluer la fiabilité d'un système. Toutefois,
lorsque ces coefficients sont inconnus et ne peuvent être calculés, on calcule généralement
un indice de fiabilité du système en · considérant une corrélation nulle et un second indice
pour une corrélation parfaite. Ces deux résultats forment alors un intervalle dans lequel la
valeur de l'indice de fiabilité du système se situe. Également, lorsque le système est mixte,
la corrélation entre les sous-systèmes doit aussi être considérée. Ce sujet sera discuté à la
sous-section 2.3.4.
2.3.2. SYSTÈME EN SÉRIE
Un système en série, tel qu'illustré à la Figure 2.6, est représenté par une chaîne de
composantes et la défaillance, d'une seule de ces composantes entraîne la défaillance du
système.
Figure 2.6 : Représentation schématique d'un système en série à trois composantes.
Dans le cas général, la probabilité de défaillance d'un système formé de z composantes en
série est obtenue de l'union des événements Fa [Melchers, 1999] :
(2.40)
où Fa représente la défaillance d'une composante. En d'autres termes, la probabilité de
défaillance d'un système en série à trois composantes est la probabilité de rencontrer la
37
défaillance de la composante 1 ou 2 ou 3 (FlOU F2 ou F3). En -particulier, la défaillance
d'un système en série, dont les composantes représentent des modes de défaillance,
survient lorsque l'une ou l'autre des fonctions d'états limites ga(X) est inférieure à O. Dans
ce cas, la défaillance d'une composante Fa correspond à ga(X) < o.
La probabilité de défaillance d'un système en série peut être calculée selon diverses
approches. Deux d'entre elles sont présentées ici, soient le calcul des bornes simples et les
bornes de Ditlevsen. TOl,lt d'abord, lorsque la corrélation entre les composantes du système
en série est inconnue, la probabilité de défaillance pour une corrélation parfaite entre les
composantes fournit la borne inférieure de l'intervalle dans lequel la probabilité de
défaillance du système se situe [Melchers, 1999] :
z
Pf inf = max [P{Fa )] , a=1
(2.41)
De plus, la borne supérieure de l'intervalle est obtenue en considérant une corrélation nulle
entre les composantes du système en série [Melchers, 1999] :
z
Pf ,sup = 1-II[l- P{Fa)] (2.42)
a=1
Donc, la probabilité de défaillance d'un système en série se situe dans l'intervalle:
(2.43)
Cependant, cette approximation de l'indice de fiabilité d'un système en série n'est pas très
précise, car l'intervalle limité par ces deux bornes est souvent très grand. Par conséquent,
lorsque la corrélation entre les composantes est connue, il est préférable de calculer les
bornes de Ditlevsen, lesquelles sont beaucoup plus rapprochées [Melchers, 1999].
Les bornes développées par Ditlevsen tiennent compte des probabilités de défaillance
individuelles des composantes P(Fa), ainsi que de la probabilité de défaillance conjointe de
38
chacune des paires de composantes p(FanFb). Aussi, pour obtenir des bornes les plus
rapprochées possibles, les z probabilités de défaillance des composantes doivent être
classées en ordre décroissant, tel que P(FI) est la probabilité de défaillance la plus élevée et
P(Fz) la plus faible [Melchers, 1999]. La borne inférieure se calcule alors comme suit
[Melchers, 1999] :
z ~ [ a-l l ~ Pf ,inf ~ P(Fl ) + L maxl~ P(Fi ) - L P(Fa n Fb)1 '01
a=2 Il b=l J (2.44)
et la borne supérieure est [Melchers, 1999] :
z z
Pf ,sup = L P(Fa) - L max[P(Fb n Fa)] a=l a=2 b<a
(2.45)
Les bornes de Ditlevsen étant très rapprochées, la probabilité de défaillance d'un système
en série peut alors être considérée comme étant la moyenne des bornes [Estes, 1997].
De plus, la probabilité conjointe de deux composantes p(FanFb), contenue dans les
équations (2.44) et (2.45) est approximée en intégrant la fonction de densité de probabilité
binormale <P2(XI,X2,Pab) dans laquelle les variables Xl et X2 représentent des indices de
fiabilité B [Madsen et al. 1986; Estes, 1997] :
(2.46)
où Ba et Bb sont les indices de fiabilité des composantes a et b et pab est le coefficient de
corrélation entre ces deux composantes. Cette intégrale doit toutefois être résolue
numériquement.
39
2.3.3. SYSTÈME PARALLÈLE
Contrairement au système en série, pour lequel la défaillance d'une seule composante
entraîne la défaillance du système, la défaillance d'un système en parallèle, tel qu'illustré à
la Figure 2.7, est occasionnée par la défaillance de toutes ses composantes. Selon cette
définition, la probabilité de défaillance d'un système à z composantes en parallèle
correspond à l'intersection de ces événements [Melchers, 1999] :
(2.47)
où Fa correspond à ga(X)<O dans un système où les composantes réfèrent à des modes de
défaillance.
Figure 2.7 : Représentation schématique d'un système en parallèle à trois composantes.
Tout comme dans le cas d'un système en s,érie, lorsque la corrélation entre les composantes
du système est inconnue, le calcul des bornes simples offre une approximation de
l'intervalle dans lequel la valeur de l'indice de fiabilité du système se situe. La borne
inférieure de l' intervallè est déterminée en considérant une corrélation nulle entre les
composantes du système en parallèle et la borne supérieure correspond à une corrélation
parfaite [Crémona, 2005] :
(2.48)
Cependant, cet intervalle est souvent trop grand pour offrir une estimation précise de
l'indice de fiabilité d'un système en parallèle.
40
Lorsque la corrélation entre les composantes' du système est connue, sa probabilité de
défaillance est plutôt approchée par la fonction de répartition multinormale <P( -~,p), où ~
est le vecteur des indices de fiabilité des composantes et p est la matrice de corrélation
correspondante [Crémona, 2005]. Pour le cas particulier d'un système à seulement deux
composantes en · parallèle, cette fonction est en fait la fonction de répartition de la loi
binormale. Sa valeur est donc obtenue en intégrant la fonction de densité de probabilité
binormale de l'équation (2.46). Dans le cas général, la probabilité de défaillance d'un
système à z composantes en parallèle est obteriue en intégrant la fonction de densité de
probabilité multinormale <Pz(x, p) à z dimensions [Estes, 1997] :
(2.49)
où {x} est le vecteur des z variables {XI,X2, ... ,xz } décrivant des indices de fiabilité P et p
est la matrice de corrélation des z composantes du système. Cette intégrale doit elle aussi
être résolue numériquement.
2.3.4. SYSTÈME MIXTE
En pratique, pour représenter le ~om.p0rtement d'une structure, les composantes sont
souvent agencées en une combinaison de systèmes en série et en parallèle, tel qu'illustré à
la Figure 2.8. Pour un tel système, les concepts vus aux sections 2.3.2 et 2.3.3 s'appliquent
pour décrire la défaillance des sous-systèmes ainsi que du système global.
Figure 2.8 : Représentation graphique d'un système mixte.
41
Pour évaluer la fiabilité d'un système mixte, il faut procéder par réduction du système en
une composante, tel qu'illustré à la Figure 2.9 [Estes, 1997]. D'abord, on calcule les indices
de fiabilité associés aux modes de défaillance. Ensuite, on évalue la probabilité de
défaillance des sous-systèmes les plus simples, avec les équations (2.44) à (2.46) pour les
systèmes en série et l'équation (2.49) pour les systèmes en parallèle. Ils constituent alors de
nouvelles composantes du système, nommées composantes équivalentes, telles les
composantes 7, 8 et 9 du système de la Figure 2.9. On procède ainsi jusqu'à ce qu'il ne
reste qu 'une seule composante. L'indice de fiabilité de cette dernière composante
équivalente, telle la composante Il du ~ystème de la Figure 2.9, est l'indice de fiabilité du
système global (la structure).
1 9 :!. : --1 H ~ H 5 9
'l. 10
11~ 1 :la 5 9 F-
11
Figure 2.9 : Réduction d 'un système mixte en une composante.
En outre, pour évaluer la fiabilité d'un système mixte avec les équations (2.44) à (2.46) et
(2.49), les coefficients de corrélation entre les composantes équivalentes doivent être
connus. Cela correspond en fait à la corrélation entre des sous-systèmes. La méthode pour
déterminer ces coefficients est discutée à la sous-section suivante.
42
2.3.5. CORRÉLATION ENTRE LES SOUS-SYSTÈMES
Tel que vu à la sous-section 2.3.1, les coefficients de corrélation entre les fonctions d'états
limites composant un système sont calculés à partir des cosinus directeurs associés à
chacun des modes de défaillance que ces fonctions décri vent. En ce qui concerne les
coefficients de corrélation entre les composantes équivalentes d'un système mixte, ils
peuvent être obtenus à partir de cosinus directeurs équivalents, provenant de l'analyse des
sous-systèmes [Estes, 1997]. Cependant, avec cette méthode, lorsque la fiabilité de la
structure est évaluée en considérant des éléments structuraux de même type, les coefficients
de corrélation entre ces éléments auront une valeur de 1. Ceci se produit parce que les
variables aléatoires des fonctions d'états limites décrivant leurs modes de défaillance sont
les mêmes. Ce résultat ne semble pas représenter exactement la réalité car par exemple, il
se peut que l'acier des armatures des poutres de béton d'un tablier de pont ne provienne pas
du même lot. Bref, il est certain qu'il existe une corrélation mais partielle entre les sous
systèmes représentant des éléments structuraux de même type, c'est-à-dire composés des
mêmes fonctions d'états limites, et donc entre les composantes équivalentes qu'ils
.formeront. Il semble toutefois que cette corrélation ne peut être quantifiée exactement.
Donc, dans le cadre de cette étude, l'indice de fiabilité d'un système sera calculé pour
diverses valeurs de coefficients de corrélation entre les éléments structuraux, c'est-à-dire
entre les sous-systèmes compqsés des fonctions d'états limites associées à un élément
structural, et autres sous-systèmes. Seulement les coefficients de corrélation équivalents
entre les modes de défaillance d'un même élément structural seront calculés avec les
cosinus directeurs, obtenus lors du calcul des indices de fiabilité avec FORM. Cependant,
lorsque les modes de ~éfaillance d'éléments structuraux sont décrits par des fonctions
d'états limites différentes, mais contenant des variables communes, il peut s'avérer utile
d'évaluer la corrélation entre ces fonctions d'états limites avec leurs cosinus directeurs. Cet
aspect est discuté à la section 4.4.
43
2.4. GLOSSAIRE
D'après Montgomery et Runger (2006).
Distribution de probabilité conjointe: La distribution de probabilité pour deux ou plusieurs
variables aléatoires dans une expérience aléatoire.
Distributions de probabilité marginales: La distribution de probabilité d'une variable
aléatoire obtenue de la distribution de probabilité conjointe de deux ou plusieurs variables.
Distribution de probabilité conditionnelle: La distribution d'une variable aléatoire telle que
l'expérience aléatoire produit un résultat dans un autre événement, lequel spécifie des
valeurs pour une ou plusieurs autres variables aléatoires.
Fonction de densité de probabilité: Une· fonction utilisée pour calculer les probabilités et
pour spécifier la distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue.
Fonction de densité de probabilité conjointe: Une fonction utilisée pour calculer les
probabilités pour deux ou plusieurs variables aléatoires continues.
Fonction de densité de probabilité marginale: La fonction de densité de probabilité d'une
variable aléatoire continue obtenue de la distribution de probabilité conjointe pour deux ou
plusieurs variables aléatoires.
Fonction de densité de probabilité conditionnelle: Fonction de densité de probabilité de la
distribution de probabilité conditionnelle d'une variable aléatoire continue.
Fonction de répartition: Pour une variable aléatoire X, la fonction de X définie par P(X~x)
utilisée pour spécifier la distribution de probabilité.
44
Fonction de répartition conjointe: Pour deux ou plusieurs variables aléatoires Xl, X2, ... ,
Xn, la fonction définie par P[XI~X}, X2~X2, ... , Xn~xn] utilisée pour spécifier la distribution
de probabilité conjointe.
Fonction de répartition marginale: La fonction de répartition d'une variable aléatoire
obtenue de la fonction de répartition conjointe pour deux ou plusieurs variables.
Fonction de répartition conditionnelle: La fonction de répartition utilisée pour spécifier la
distribution de probabilité conditionnelle d'une variable aléatoire.
CHAPITRE 3
FORMULATION DES FONCTIONS D'ÉTATS LIMITES ULTIMES
POUR UNE POUTRE DE PONT EN BÉTON ARMÉ
3.1. INTRODUCTION
Lors de l'évaluation structurale d'une structure, différents éléments structuraux peuvent
être étudiés et divers modes de défaillance peuvent être considérés pour chacun d'eux. Dans
ce mémoire, l'étude de la fiabilité structurale de ponts en béton armé est basée sur le \
comportement des poutres en flexion et en cisaillement à l'ultime.
Les fonctions d'états limites ultimes pour ces deux modes de défaillance sont développées
d'après les équations de résistance et les types de charges proposés par le Code canadien
sur le calcul des ponts routiers, CSA/CAN-S6-00 [CSA, 2000a]. Cependant, les coefficients
de pondération sont omis, puisqu'une approche probabiliste tient compte de la variabilité
des paramètres.
Pour plus de concision et de clarté, la description des variables contenues dans ces
fonctions d'états limites est présentée au Tableau 3.1.
46
Tableau 3.1 : Description des variables des fonctions d'états li~tes.
Variables Unités Description
Xl fy (MPa) Limite élastique des barres d'armatures
X2 f c (MPa) Résistance à la compression du béton
X3 As (mm2) Aire totale des barres d'armatures de flexion (en traction)
X4 Ais (mm2/mm) Aire des étriers/espacement des étriers, perpendiculaire à l'axe d'une membrure
Xs ds (mm) Profondeur du centre de gravité des armatures de la poutre à partir de la fibre extrême comprimée
X6 beff (mm) Largeur effective de la dalle de béton
X7 bw , bv · (mm) Largeur l'âme
X8 hf (mm) Hauteur de la dalle de béton
X9 Yrnf Incertitude du modèle de flexion dans le béton
XlO Yrnv Incertitude du modèle d'effort tranchant dans le béton
Xll MDI (kN/m) Moment dû au poids propre de la poutre et des diaphragmes (D 1), sans la portion de dalle effective
X12 MD2 (kN/m) Moment dû au poids propre de la dalle de tablier et des éléments non structuraux - chasse-roues, trottoirs et glissières (D2)
X13 MD3 (kN/m) Moment dû au poids propre du revêtement d'asphalte (D3)
Xl4 VDI (kN) Effort tranchant dû au poids propre des poutres et des diaphragmes (Dl), sans la portion de dalle effecti ve
XIS VD2 (kN) . Effort tranchant dû au poids propre de" la dalle de tablier et des éléments non structuraux - chasse-roues, trottoirs et glissières (D2)
Xl6 VD3 (kN) Effort tranchant dû au poids propre du revêtement d'asphalte (D3)
Xl7 ML (kN/m) . Moment maximal dû à la charge vive (charges transitoires), sans l'impact
Xl8 VL (kN) Effort tranchant maximal dû à la charge vive (charges transitoires), sans l'impact
Xl9 ç Facteur d'incertitude pour distribution transversale de la charge vive, avec une analyse par grillage
X20 lM Composante dynamique de la surcharge, exprimée en pourcentage de l'effet statique nominal de la surcharge, à la section étudiée pour la flexion
X21 Iv Composante dynamique de la surcharge, exprimée en pourcentage de l'effet statique nominal de la surcharge, à la section étudiée pour l'effort tranchant
3.2. ÉQUATIONS DE RÉSISTANCE SELON LE CODE CSA/CAN-S6-00
Les équations de résistance à la flexion et à l'effort tranchant sont présentées au chapitre 8
du Code CSAICAN-S6-00 [CSA, 2000a] et du Commentaryon CSA/CAN-S6-00 Canadian
Highway Bridge Design Code, S6.1-00 [CSA, 2000b]. La partie des fonctions d'états
limites concernant la résistance est basée sur ces formules.
47
3.2.1. RÉSISTANCE EN FLEXION D'UNE POUTRE EN BÉTON ARMÉ
Pour l'analyse de la flexion d'une poutre de béton armé à l'ultime, le Code CSA/CAN-S6-
00 [CSA, 2000a] s'appuie sur diverses hypothèses décrites à l'article 8.8.3. Celles-ci
comprennent entres autres la variation des déformations qui est assumée linéaire sur la
hauteur d'une section (sauf dans le cas de poutres profondes) et l'utilisation d'un bloc de
contrainte équivalent pour décrire la répartition de la contrainte de compression dans le
béton (Figure 3.1).
I~ b
.~
. 4 · --'-------+ .• .. .• . •
~I
.~ .. ~ .~. ~f 4 · . . ï
section transversale
c
----A.N.
déformations
bloc de contrainte équivalent en conlpreSSlon
'-----1111111 ... T s = 4>s fy As
bloc de contrainte et forces
Figure 3.1 : Schéma des déformations et distribution de la contrainte et des forces à l'ultime ·pour une section de poutre en béton armé en forme de T. (Adapté de CSA (2000b))
Lorsqu'une poutre en béton armé de section droite en forme de 1 ou de T est soumise à des
efforts de flexion, l'axe neutre peut se situer dans la dalle ou bien dans l'âme. La Figure 3.1
illustre le cas d'une section en T à l'ultime pour laquelle l'axe neutre (A.N.) se situe dans
l'âme. Dans ce cas, la profondeur (a) du bloc de contrainte équivalent de compression est
supérieure à l'épaisseur de la dalle (hf). Dans le cas où l'axe neutre se situe qans la dalle, la
profondeur du bloc de contrainte équival~nt est inférieure à l'épaisseur de la dalle (a =5 hf).
Ces deux situations mènent à l'établissement de deux équations distinctes de résistance à la
48
flexion, tel qu'indiqué à l'article C8.8.4.1 [CSA, 2000b], désignées ici RM,1 et RM ,2. En
conséquence, il y aura deux fonctions d'états limites pour ce mode de défaillance.
D'autre part, dans cette étude, la contribution des ~arres d ' armature de compression A s' est
négligée. En effet, dans la plupart des conceptions, cette armature influe"nce généralement
peu la résistance en flexion. À titre d'exemple, dans le cas du pont étudié, négliger la
contribution de l'armature de compression fait varier la résistance nominale en flexion de la
poutre de moins de 0,5%.
La partie de la fonction d'état limite correspondant à la résistance en flexion, lorsque l ' axe
neutre est dans la dalle (a ~ hf), est la suivante:
Af J s y .10-6
2(0.85 - 0.0015f'c )f cbeff (3.1)
Lorsque l'axe neutre se situe dans l'âme (a > hf), cette équation devient:
. (3.2)
Dans les équations (3.1) et (3.2), les variables a et al (que l'on retrouve dans les équations
de l'article C8.8.4.1) ont été éliminées et explicitement décrites en fonction des variables
f' c, As, fy, etc. La variable al correspond au rapport de la contrainte moyenne dans le
diagramme de compression et est illustrée à la Figure 3.1. D'autre part, la variable Ymf, qui
est introduite dans les formules (3.1) et (3.2), est un facteur d'incertitude du modèle de
flexion pour une section de béton [Estes, 1997].
49
3.2.2. RÉSISTANCE À L'EFFORT TRANCHANT D'UNE POUTRE EN BÉTON
ARMÉ
Le calcul de la résistance à l'effort tranchant, basé ici · sur le modèle de calcul sectionnel,
provient de la résistance générée par les contraintes de traction dans le béton V c et par la
résistance procurée par l'armature de cisaillement Vs [CSA, 2000b]. Pour le calcul de Vc, la
méthode simplifiée décrite à l'article 8.9.3.4.2 [CS A, 2000a] est utilisée. li existe deux
équations différentes, l'une dans le cas d'une section qui possède au moins l'aire minimale
d'armature transversale exigée à l'article 8.9.2.3 [CSA, 2000a] et l'autre dans le cas où
cette aire minimale d'armature n'est pas présente. Également, tout comme pour la flexion,
ces équations vont différer selon que l'axe neutre se situe dans la dalle ou dans l'âme de la
poutre, car le paramètre "a" est calculé différemment dans l'un ou l'autre de ces cas. Donc,
quatre fonctions d'états limites doivent être construites pour couvrir ces quatre cas. Les
parties décrivant la résistance à l'effort tranchant pour chacune de ces fonctions seront
nommées ici Rv,}, RV,2 , RV,3 et Rv,4. En outre, ces équations reposent sur les hypothèses
additionnelles que la section de béton est de densité normale et que l'armature transversale
est perpendiculaire à 'l' axe longitudinal de la membrure. Il en résulte une résistance à la
fissuration f' cr=0,4f' cO,5 et une valeur de Vs calculée selon l'article 8.9.3.8a [CSA, 2000a].
D'abord, lorsque la section possède au moins l'aire minimale d'armature transversale
exigée; soit lorsque Avfy ~ 0,06f' c o,5bvs, et que l'axe neutre se situe dans la dalle, la partie de
la fonction d'état limite correspondant à la résistance à l'effort tranchant est:
[fA l~ ] R = d - y s 0 184 f' b + f A / S
V,l 'Yrnv s 2(0 85-00015f' )f' b Il' ~ v y v , , c c eff J
(3.3)
Lorsque l'axe neutre se situe dans l'âme, cette équation prend la forme suivante:
[ ( "fyAs
R - d -V,2 -Yrnv s 2(085-00015f' )f' b , , c c w
x [0,184~ bv + fAv / s]
(3.4)
50
Dans le cas d'une section possédant moins de l'aire minimale d'armature transversale
exigée, soit si Avfy < 0,06f' c o,5bvs, et en respectant la condition 600/(1 OOO+dv) ~ 0,23,
l'équation suivante sera utilisée lorsque l'axe neutre se situe dans la dalle:
[ fyAs l
R - Y d -----~----I V,3 - rnv s 2(085-00015f' )f' b Il
, , c c eff J
(3.5)
l
x
Finalement, lorsque l'axe neutre est dans l'âme, cette équation devient:
[ ( f yAs
R - d-v,4 - Y rnv . s 2(085 - 0 0015f' )f" b , , c c w
(3.6)
l
x
Certaines des variables des équations (3.3) à (3.6) n'apparaissent pas tel quel (a, al et dv).
Elles ont plutôt été exprimées en fonction des variables avec lesquelles elles sont
normalement calculées [CSA, 2000a]. De plus, un facteur 'Yrnv a été introduit dans ces
équations pour tenir compte de l'incertitude du modèle de c~saillement pour une section de
béton [Estes, 1997]. Notons que dans la formulation de ces équations, la hauteur effective
de cisaillement dv est considérée comme étant supérieure ou égale à 0,9ds. S'il s' avérait que
dv<ds, il faudrait l'exprimer dans les équations (3.3) à (3.6) par 0,9ds, tel que spécifié par
l'article 8.9.2.5 [CSA, 2000a].
51
3.3. SOLLICITATIONS
3.3.1. CHOIX DU LOGICIEL INFORMATIQUE ET DU. MODÈLE NUMÉRIQUE
Dans les fonctions d'états limites, la partie correspondant aux sollicitations est introduite
sous forme . de variables décrivant les efforts internes qu'elles produisent. La valeur
nominale de ces variables est évaluée avec une méthode d'analyse raffinée à l ' aide d'un
modèle numérique. La méthode de l'analogie du grillage est la méthode qui a été
sélectionnée pour évaluer ces efforts, parce qu'elle représente bien le comportement
structural de la superstructure ainsi que la distribution des charges entre les membrures et
ce, pour plusieurs types de ponts dont ceux de la présente étude [1 aeger et Bakht, 1982;
CS A, 2000a]. En outre, l'analyse des efforts internes effectuée dans cette étude suppose un
comportement élastique linéaire des matériaux.
Le logiciel informatique sélectionné pour effectuer cette analyse est le logiciel
VisualDesign version 5.9. Un avantage important de l'utilisation de ce logiciel est qu'il
inclut des modèles de charges mobiles prédéfinis, conformes à plusieurs normes, dont le
Code CSA/CAN-S6-00 [CSA, 2000a].
3.3.2. SOLLICITATIONS DUES AUX CHARGES PERMANENTES
Pour 1.' évaluation de la capacité portante de ponts existants, les charges dues au poids
propre sont divIsées en trois catégories, soient Dl, D2 et D3, décrites à la clause 14.7.2 du
Code CSA/CAN-S6-00 [CSA, 2000a]. C'est pourquoi pour chaque mode de défaillance, les
sollicitations dues au poids propre de la structure sont décrites pas trois variables
correspondant aux efforts internes produits par ces trois catégories de charges.
Ainsi, les parties des fonctions d'états limites décrivant les sollicitations dues aux charges
permanentes sont les suivantes, pour la flexion (SM,D) et l'effort tranchant (SV,D) :
SM,D = MDI + M D2 + M D3 (3.7)
52
(3.8)
3.3.3. SOLLICITATIONS DUES AUX CHARGES TRANSITOIRES
Les charges vives considérées dans cette étude sont les charges transitoires dues à la
circulation normale, incluant les trains routiers, conformément à la section 14.8.1 du Code
CSAICAN-S6-00 [CSA, 2000a]. Tel que prescrit par cette norf!1e, le modèle de surcharge
utilisé pour l'évaluation est le camion CL-625, avec levée d'essieux, et la surcharge de voie
correspondante. Le logiciel VisualDesign calcule les enveloppes des moments fléchissants
et de l'effort tranchant dues aux charges transitoires. Alors, pour chaque mode de
défaillance, la valeur maximale des efforts internes causés par cette surcharge à une section
donnée constitue la valeur nominale de la variable ML ou V L.
De plus, un coefficient de majoration dynamique ( 1 ) est appliqué à la charge de camion
lors de l'analyse de la surcharge routière. La valeur de ce coefficient, qui dépend . de la
charge appliquée, est spécifiée à l'article 3.8.4.5 du Code CSAICAN-S6-00 [CSA, 2000a].
Cependant, puisque le coefficient de majoration dynamique est une variable qui n'a pas les
mêmes paramètres statistiques que la surcharge routière, il ne sera pas inclus dans l'analyse
mais plutôt inséré directement dans les fonctions d'états limites. Lorsque les sollicitations
maximales seront dues à la surcharge de voie, ce coefficient aura une valeur nulle
conformément à l'article 3.8.4.5.1.
Il est à noter que le facteur de modification des charges, déterminé à partir du tableau
14.8.4.2 du Code CSAICAN-S6-00 [CS A, 2000a] en fonction du nombre de. voies chargées,
est appliqué à la surcharge routière lors de l'analyse. Cela signifie que sa valeur est
considérée déterministe quoiqu'en réalité, son intensité dépende de plusieurs variables.
Toutefois, ce facteur n'est pas appliqué ici au coefficient de majoration dynamique, lequel \ .
doit être réduit en fonction du nombre de voies chargées, puisque celui-ci est exclu de
l'analyse. La valeur de ce coefficient est plutôt réduite dans ce cas par son biais, lequel a
une valeur de 0,6 pour une voie chargée et 0,4 pour 2 voies chargées (voir la section 3.5).
53
Aussi, pour tenir compte de l'incertitude sur la distribution transversale de la charge vive
dans l'analyse par grillage, un facteur ç est intégré aux fonctions.
Les équations (3.9) et (3.10) correspondent à la partie des fonctions d'états limites associée
aux sollicitations dues aux charges transitoires (SM,L et SV,L) pour la flexion et l'effort
. tranchant respectivement:
(3.9)
(3.10)
3.4. FONCTIONS D'ÉTATS LIMITES ULTIMES
Les équations développées aux sections .3.2 et 3.3 permettent de formuler les fonctions
d'états limites ultimes pour les deux modes de défaillance considérés dans ce mémoire,
soient la rupture en flexion et en cisaillement d'une poutre en béton armé. Les paramètres
statistiques des variables contenues dans ces équations sont présentés au Tableau 3.2.
3.4.1. FLEXION
Tel que mentionné précédemment, deux fonctions d'état limite pour la flexion (gl(X)) ont
été formulées. Le choix de l'une ou l'autre de ces fonctions dépend de la position de l'axe
neutre dans la section:
- Axe neutre situé dans la dalle (a ~ hf) :
(3.11)
54
-Axe neutre situé dans l'âme (a > hi) :
gl(X)=R M -SM
J [Af(d _ Asfy +hf(beff-b w)] -fmf S y S 2(0.85-0.0015f'c)fcbw
2bw
(3.12)
- (0.85 - O.0015f'c )f'c h f (beff - bw)
x(.!:L _ A.t y , + hf (beff - bw))~ .1O-6~ 2 2(0.85 - 0.0015f c)f cbw 2b w U U
-{MDI +MD2 +M'D3 +Ç·ML(IM +1)}
3.4.2. EFFORT TRANCHANT
Pour l'effort tranchant, il faut choisir entre quatre fonctions d'états limites g2(X) car en plus
de la position de l'axe neutre, il y a la quantité d'armature transversale présente dans la
section que l'on doit considérer:
- Axe neutre situé dans la dalle (a ~ hi) :
> Section possédant au moins l'aire minimale d'armature trans,:,ersale exigée (Avfy ~
0,06f' c O,5bvs) :
g2 (X) = Rv - Sv (3.13)
=~y [d - fyAs Ilr0184 ~b +f A /sl~ Il mv s 2(0,85 _ 0,0015f'c Wc beff
}, VIc V y V ~
-{VDI+VD2+VD3+Ç·VL(Iv+l)}
55
> Section possédant moins que l'aire minimale d'armature transversale exigée (Avfy <
0,06f' co,5bvs) et 600/(1000+dv) ~ 0,23 :
g2(X)=R v -Sv
~ [ . f yA s l =1~'Ymv d s - 2(085-00015f' )f ' b Il Il "c c eff J
(3.14)
III 240Jr:b v
x fA +fyA v /s~ 1000 + ds _ Y S ,, · 1
2(0,85 - 0,0015f c )f c beff J~
-{VD1 + VD2 + VD3 +ç. VL(Iv +1)}
- Axe neutre situé dans l'âme (a < hf) :
> Section possédant au moins l 'aire minimale d'armature transversale exigée (Avfy ~
0,06f' c o,5bvs) :
> Section possédant moins que l'aire minimale d'armature transversale exigée (Avfy <
0,06f' co,5bvs) et 600/(1000+dv) ~ 0,23 :
(3.16)
56
3.5. VARIABLES DE BASE
Lorsque que les fonctions d'états limites sont formulées et, par conséquent, que l'ensemble
des ·variables sont connues, il reste à déterminer à laquelle des deux catégories de variables
elles correspondent: aléatoires ou déterministes. La distribution et les paramètres
statistiques des variables qui seront considérées aléatoires doivent ensuite être identifiés.
Pour chacune des variables, ce choix a été fait à partir des distributions et paramètres
statistiques rencontrés le plus fréquemment dans la littérature. Ces références figurent à
l 'Annexe A.
3.5.1. DISTRIBUTIONS ET PARAMÈTRES STATISTIQUES DES VARIABLES
Dans la littérature, la major~té des variables Contenues dans les fonctions d'états limites
définies à la section 3.4 sont généralement considérées aléatoires. De plus, il est rare qu'une
même variable soit considérée déterministe dans plus d'une référence, à l'exception de la
largeur effective de la dalle. Ainsi, toutes les variables de ce mémoire sont considérées
aléatoires, sauf la largeur effective de la dalle beff qui est considérée déterministe. En outre,
les distributions retenues ici sont celles suivant les lois normale et lognormale.
En général, les variables aléatoires sont décrites dans la littérature par un biais (8) et un
coefficient de variation (CV). La moyenne 0.1) et l' écart-type (cr) peuvent être calculés à
partir de la valeur nominale d'une variable et de ces deux paramètres, avec les relations
suivantes:
J.! = valeur nominale x 8 (3.17)
cr=J.!xCV (3.18)
La valeur nominale des variables est, par exemple, la valeur spécifiée de la résistance à la
compression du béton, les dimensions des éléments provenant des plans ou la valeur des
57
efforts obtenus suite à l'analyse du modèle numérique. Les caractéristiques des variables
sont présentées au Tableau 3.2.
Tableau 3.2 : Distribution et paramètres statistiques des variables des fonctions d'états limites.
Variables Unités Distribution a CV J.l a
Xl fy (MPa) lognormale 1,125 0,12
X2 fc (MPa) normale 0,92 0,18
X3 As (mffi2) lognormale 1,0 0,04
X4 Avis (mm2/mm) normale 1,0 0,04
Xs ds (mm) normale V nom - 4,76 12,7
X6 _ beff (mm) déterministe - - - -
X7 hw,bv (mm) normale Vnom + 2,38 4,76
X8 hf (mm) normale 1,0 11,9
X9 'Ymf normale 1,01 0,046
XIO 'Ymv normale 1,075 0,10
Xll MOI (kN/m) normale 1,03 0,08
X12 M02 (kN/m) normale 1,05 0,10
X13 M03 (kN/m) normale 0,25 V nom
Xl4 VOl (kN) normale 1,03 0,08
XIS V02 (kN) normale 1,05 0,10
Xl6 V03 (kN) normale 0,25 V nom
Xl7 ML (kN/m) normale *1,35/1,389 *0,035/0,0417
Xl8 VL (kN) normale *1,35/1,389 *0,035/0,0417
Xl9 ç lognormale 0,98 0,07
X20 lM normale **0,60/0,40 0,80
X21 Iv normale **0,60/0,40 0,80 * Les valeurs 1,35 et 0.035 sont des valeurs générales du biais et du coefficient de variation provenant
d'études effectuées dans plusieurs provinces du Canada. Les valeurs 1,389 et 0,0417 correspondent à 1 voie chargée pour une portée de 10 à 30 m et proviennent
d'une étude effectuée au Québec.
** 0,60 est la valeur moyenne pour 1 voie chargée et 0,40 correspond à 2 voies chargées.
3.5.2. CORRÉLATION ENTRE LES VARIABLES ALÉATOIRES
Tel que mentionné à la section 2.2, la corrélation entre les variables aléatoires doit être
prise-en compte lors du calcul de l'indice de fiabilité associé à un mode de défaillance.
Dans cette étude, les seules variables présentant une corrélation sont ds et hf •
--- ---- -----------------------------------------------~
58
Évidemment, lorsque et la hauteur de la dalle varie, la profondeur du centre de gravité des
armatures de la poutre, à partir de la fibre extrême comprimée, variera également. Le
coefficient de corrélation fixé entre ces variables est alors PS,8= 1,0. Ce résultat a été
confirmé par le calcul du coefficien~ de corrélation entre les données de deux échantillons
de lOs valeurs de hf et ds. Pour ce faire, un premier échantillon pour hf a été créé par une
simulation de Monte-Carlo, à partir des paramètres statistiques de cette variable du Tableau
3.2 et pour une valeur nominale de 190,5 mm (7Y2 po. = épaisseur spécifiée sur les plans).
Ensuite, lOs valeurs de ds ont été calculées à partir des données de cet échantillon. Enfin, le
coefficient de corrélation entre ces deux variables a été évalué. Cette procédure a été
effectuée avec le logiciel MATLAB.
La corrélation entre les variables As et ds a aussi été vérifiée, car lorsqu'il y a plus d'un rang .
de barres d'armature, l'aire des barres entre dans le calcul de la position de leur centre de
gravité. Cependant, il s'avère que ces variables ne sont pas corrélées (P3,S=0), ce qui
indique qu'aucune relation linéaire n'existe entre elles. Une procédure du même type que
celle effectuée pour l'évaluation du coefficient de corrélation entre hf et ds a confirmé ce
résultat.
La matrice de corrélation entre les variables des fonctions d'états limites est présentée à
l'Annexe B.
"CHAPITRE4
PROGRAMME LRT (LA VAL RELIABILITY TOOLBOX)
4.1. PRÉSENTATION DU PROGRAMME
Le programme LRT (Laval Reliability Toolbox) est un programme d'évaluation de la
fiabilité d'un système structural qui a été développé sur MATLAB 7.0 dans le cadre de cette
recherche. Ce programme permet de calculer l'indice de fiabilité d'une structure dont les
fonctions d'états limites associés aux modes de défaillance étudiés composent un système
en série, en parallèle ou mixte. Cet indice peut être évalué pour différents coefficients de
corrélation entre les éléments structuraux et sous-systèmes. De plus, sont obtenus du même
coup les valeurs des variables au point de fonctionnement, les cosinus directeurs associés à
chaque variable aléatoire et les coefficients de corrélation entre les fonctions d'états limites
décrivant les modes de défaillance.
La méthode de calcul utilisée dans le programme LRT pour évaluer les indices de fiabilité
associés aux modes de défaillance est FORM. Les cinq fonctions du programme permettant
le calcul de ces indices de fiabilité sont basées sur des fonctions contenues dans la boîte à
outils NewFiabTbx [LCPC, 2006]. Toute la portion du programme LRT permettant le
calcul des indices de fiabilité des sous-systèmes et du système a été entièrement
programmée dans le cadre de cette étude et comprend onze fonctions. De plus, les fonctions
d'états limites associées à la flexion et à l'effort tranchant pour des poutres de pont en béton
armé, conformément au Code CSAICAN-S6-00 [CSA, 2000a], ont été incorporées au
programme (équations (3.11) à (3.16)). Il est également possible d'ajouter toute autre
60
fonction nécessaire à l'étude de la fiabilité d'une structure, pour différents modes de
défaillance.
4.2. ORGANISATION ET FONCTIONS DU PROGRAMME LRT
L'arbre du programme LRT est organisé selon trois thèmes: les paramètres d'entrée, la
fiabilité des composantes et la fiabilité du système. Les paramètres d 'entrée et les
principales étapes de calcul sont illustrés à la Figure 4.1.
Variables de base
Transformation des variables
dans l'espace U
Fonctions d'états limites
Fiabilité des Décorrélation composantes , des variables ~ (FORM)
Configuration du système les éléments Paramètres
Corrélation entre }
structuraux d'entrée
Fiabilité des composantes
Corrélation entre les fonctions
d'états limites
"_ Fiabilité des' t-----... _~
Figure 4.1 : Composition du programme LRT.
éléments structuraux
1 ...
Fiabilité de la structure
Fiabilité du système
Tel qu'indiqué à la figure . précédente, les paramètres d'entrée suivants doivent être
spécifiés par l'utilisateur:
- les fonctions d'états limites associées aux modes de défaillance;
61
- la description des variables contenues dans ces fonctions d'états limites (appellation,
distribution de probabilité, paramètres statistiques, matrice de corrélation) ;
- la configuration des systèmes;
- les coefficients de corrélation entre les éléments structuraux et autres sous-systèmes.
Tel que mentionné précédemment, les fonctions d'états limites pour la flexion et l'effort
tranchant pour une poutre en béton armé ont déjà été introduites dans l'arbre du programme
LRT. TI en est de même pour les variables, dont les caractéristiques correspondent aux
données du Tableau 3.2, sauf pour la valeur nominale qui doit être spécifiée.
Ensuite, le calcul de l'indice de fiabilité d'un"e structure effectué par le programme
comprend quatre parties. Un exemple de système pouvant représenter une structure étudiéè
est illustré à la Figure 4.2 (voir les sections 4.4 et 5.4 pour une description plus détaillée des
sous-systèmes et systèmes considérés par le programme). Les quatre parti~s ~u calcul de la
fiabilité du système, correspondant à sa décomposition en composantes équivalentes, sont
les suivantes :
1) ·Calcul des indices de fiabilité associés aux modes de défaillance.
2) Calcul des indices de fiabilité des éléments structuraux (sous-systèmes en série
composés des fonctions d'états limites associés aux modes de défaillance d'un élément
- niveau 3).
3) Calcul des indices de fiabilité des sous-systèmes en parallèle (sous-systèmes dont les
composantes équivalentes représentent généralement des éléments structuraux
individuels, soit les composantes obtenues de la réduction des sous-systèmes en série
décrits ici au point 2 - niveau 2).
4) Calcul de l'indice de fiabilité de la structure (système en série, dont les composantes
équivalentes correspondent aux sous-systèmes parallèles et/ou aux modes de défaillance
d'éléments structuraux - niveau 1).
62
2
~-----------------v----~ --------
Figure 4.2 : Exemple de système mixte à trois niveaux.
Donc, lors de l'évaluation de la fiabilité d'une structure avec le programme LRT, les
indices de fiabilité associés aux modes de défaillance sont d'abord calculés avec FORM,
selon l ' algorithme décrit à la section 2.2. Par la suite, la probabilité de défaillance
correspondant à ces indices de fiabilité est évaluée et les coefficients de corrélation entre les
. composantes (fonctions d'états limites) des sous-systèmes en série sont calculés à partir des
cosinus directeurs. Cela permet ensuite d'évaluer la · probabilité de défaillance des sous
systèmes en série (éléments structuraux), en effectuant la moyenne les bornes de Ditlevsen.
Puis, avec les indices de fiabilité équivalents correspondant à ces probabilités de défaillance
et les coefficients de corrélation définis par l'usager, les probabilités de défaillance des
sous-systèmes en parallèle sont calculées, par l'approximation de l'intégrale de la fonction
de répartition multinormale. Finalement, en évaluant la moyenne des bornes de Ditlevsen,
la probabilité de défaillance de la série de composantes équivalentes (sous-systèmes
parallèles et/ou modes de défaillance) est calculée avec les probabilités de défaillance de
ces composantes et les coefficients de corrélation définis par l'usager. L'indice de fiabilité
correspondant à cette probabilité de défaillance correspond à l'indice de fiabilité du
système ( structure).
L'Annexe C, présente la liste des fonctions, leur description et leur séquence dans le
programme LRT.
63
4.3. VALIDATION DU PROGRAMME LRT
L'évaluation de la fiabilité d'un système effectuée avec le programme LRT a été validée à
partir de résultats de l'étude d'Estes (1997), dans laquelle la fiabilité de systèmes est
évaluée avec le programme RELSYS écrit par l'auteur (FORTRAN 77). Dans cette étude,
la structure étudiée est un pont à neuf poutres en acier du Colorado, illustré à la Figure 4.3.
Les éléments structuraux et leurs modes de défaillance considérés dans l'évaluation de la
fiabilité du pont sont présentés au Tableau 4.1 ~ Ce tableau présente aussi les indices de
fiabilité associés aux neuf fonctions d'états limites décrivant ces modes de défaillance,
calculés avec les programmes RELSYS et LRT. On constate que les 'indices de fiabilité
calculés avec LRT sont les mêmes que ceux obtenus avec RELSYS.
6'
j 2"
Figure 4.3 : Pont étudié par Estes (1997).
64
Tableau 4.1 : Comparaison des indices de fiabilité obtenus avec RELSYS [Estes, 1997] et LRT associés aux modes de défaillance des éléments structuraux.
Mode de défaillance Équation d'état Indice de fia bilité P
limite RELSYS LRT
Tablier de béton, flexion g(l) 5,51 5,51 Poutre intérieure, effort tranchant g(2) 6,22 6,22
Poutre intérieure, flexion g(3) 2,44 2,44
Poutre extérieure, flexion g(4) 4,02 4,02
Poutre extérieure, effort tranchant g(5) 7,13 7,13
Poutre intérieure-extérieure, flexion g(6) 2,79 2,78 Poutre intérieure-extérieure, effort tranchant g(7) 6,43 6,43 Chapiteau pilier, effort tranchant g(8) 3,83 3,83
Seme lIe', fie xio n g(lS) 2,60 2,60
Pour l'évaluation de la fiabilité de la structure, trois types de systèmes mixtes ont été
considérés, lesquels varient selon le nombre de poutres devant être défaillantes (en flexion
ou en cisaillement) pour entraîner la défaillance du pont. On suppose pour chacun des
systèmes que la défaillance de l'un ou l'autre des autres éléments structuraux' (tablier,
chapiteaux, semelles) entraîne la défaillance de la structure. De plus, l'évaluation de la
fiabilité de ces trois systèmes avec RELSYS a été effectuée en considérant trois coefficients .
de corrélation entre les résistances des poutres (PRi,Rj = 0, 0,5 et 1) [Estes, 1997]. D'autre
part, avec le programme LRT, cette corrélation est plutôt considérée comme étant entre les
poutres (PPi,Pj = 0, 0,5 et 1), c'est-à-dire entre les sous-systèmes formés des fonctions
d'états limites (flexion et effort tranchant) pour une même poutre (voir la section 5.4).
Le Tableau 4.2 présente la définition des trois types de systèmes considérés et les indices
de fiabilité du pont obtenus avec les programmes RELSYS [Estes, 1997] et LRT pour les
différents coefficients de corrélation.
65
Tableau 4.2 : Comparaison des indices de fiabilité du pont obtenus avec RELSYS [Estes, 1997] et LRT, pour différents types de systèmes et coefficients de corrélation entre les résistances des poutres
(PRi,Rj) ou entre les poutres (PPi,Pj).
Type de système (selon définition de la PRi,Rj ou Indice de fiabilité Il défaillance du pont) PPi,Pj RELSYS LRT
Défaillance de n'importe quelle poutre ~u du tablier 0,0 1,97 1,89 0,5 2,06 1,94
ou du chapiteau du pilier ou de la semelle 1,0 2,23 2,26
Défaillance de deux poutres adjacentes ou du 0,0 2,50 2,58 0,5 2,41 2,47
tablier ou du chapiteau du pilier ou de la semelle 1,0 2,26 2,26
Défaillance de trois poutres adjacentes ou du 0,0 2,54 2,59 0,5 2,49 2,55
tablier ou du chapiteau du pilier ou de la semelle 1,0 2,31 2,26
On constate au Tableau 4.2 une légère différence entre les indices de fiabilité des systèmes
calculés avec les deux programmes, allant jusqu'à un peu plus d'un dixième seulement.
Cette différence peut être attribuable à la façon dont la corrélation est prise en compte dans
les calculs. Toutefois, la différence entre ces résultats est jugée négligeable et on considère
donc que l'évaluation de la fiabilité de systèmes le programme LRT mène à des résultats
acceptables.
4.4. ' LIMITES DU PROGRAMME LRT
Quoique le programme LRT soit conçu pour permettre d'évaluer la fiabilité de différents
types' de structures, il existe certaines limitations liées à la distribution et la corrélation des
variables aléatoires ainsi qu'au type de système défini.
D'abord, les variables des fonctions d'états limites peuvent être considérées déterministes,
normales ou lognormales uniquement. Quoique les variables aléatoires suivent souvent la
loi normale ou lognormale, il pourrait être possible de considérer d'autres types de
distribution de probabilités.
66
De plus, pour pouvoir décorréler les variables aléatoires, la matrice de corrélation des
variables doit être définie positive, sans quoi la décomposition de Cholesky est impossible
[Higham, 2002]'. TI est aussi possible dans certains cas que la matrice p soit définie positive,
mais qu'elle ne le soit plus suite à la transformée de Nataf, laquelle est effectuée avant la
décomposition de Cholesky.
D'autre part, pour un système en parallèle ayant plus de trois composantes, l'approximation
de l'intégrale de la fonction de densité de probabilité multinormale est peu précise, surtout
lorsque la corrélation entre les composantes est faible ou que leurs indices de fiabilité sont
élevés. Cela affectera donc l'indice de fiabilité obtenu pour la structure. TI est donc
préférable de limiter le nombre de composantes des systèmes parallèles à trois ou moins.
En outre, une structure peut être représentée par un système mixte à trois niveaux
maximum, tel qu'illustré à la Figure 4.2. Cela signifie que le système principal est un
système en série composé de sous-systèmes parallèles, eux-mêmes composés de sous
systèmes en série (niveaux 1, 2 et 3 respectivement). Lorsque nécessaire, les niveaux 2 et 3
peuvent être formés d'une seule composante plutôt que de constituer un sous-système.
Enfin, les coefficients de corrélation entre les composantes des sous-systèmes en série du
niveau 3 sont calculés avec leurs cosinus directeurs, tandis que tous les autres coefficients
de corrélation entre les sous-systèmes sont fixés par l'usager. Le programme LRT est donc
conçu pour que lorsque plus d'un mode de défaillance pour un même élément de la
structure est considéré dans l'étude de sa fiabilité, cet élément soit représenté par un sous
système en série du nIveau 3, plutôt que par des composantes de la série du niveau 1. Ceci
permet que les coefficients de corrélation entre les fonctions d' ét~ts limites des modes de
défaillance d'un même élément soient évalués à partir des cosinus directeurs. Néanmoins, il
n'y pas nécessairement de problème lorsque les composantes des sous-systèmes en série du
niveau 3 représentent des modes de défaillance d'éléments structuraux différents, même
que cela peut être un avantage. En effet, lorsque deux éléments structuraux ne sont pas du
même type, comme par exemple une poutre de pont en béton et une pile, si les fonctions
d'états limites de leurs modes de défaillance ont des variables communes et que la valeur
67
des cosinus directeurs associés à une ou plusieurs de ces variables est grande, le coefficient
de corrélation entre ces éléments ne sera pas nul. La valeur de ce dernier, calculée à partir
des cosinus directeurs, sera donc plus précise que si elle avait été déterminée selon le
jugement de l'usager. Cependant, tel que discuté à .la sous-section 2.3.5, ceci est un
désavantage lorsque ce sont deux éléments structuraux aux mêmes fonctions d'états limites.
Par ailleurs, il arrive souvent que la configuration du système est telle que les fonctions
d'états limites des modes de défaillance de différents éléments structuraux ne font pas
partie d'un même sous-système en série. Dans ce cas, le coefficient de corrélation entre ces
deux éléments doit être fixé par l'usager. Lorsque leurs fonctions d'états limites
contiennent des variables communes, il est préférable de calculer ce coefficient de
corrélation préalablement avec les cosinus directeurs, à l'aide de l'équation (2.39), et
d'utiliser cette valeur dans l'évaluation avec LRT. Pour ce faire, il suffit d'effectuer une
première évaluation de la fiabilité de la structure avec le programme (avec des coefficients
de corrélation arbitraires entre les sous-systèmes), puis d'utiliser les cosinus directeurs
obtenus pour calculer les coefficients de corrélation entre les fonctions d'états limites des
modes de défaillance des différents éléments structuraux. Ensuite, l'évaluation de la
fiabilité avec LRT est effectuée une deuxième fois en remplaçant les coefficients de
corrélation arbitraires par ceux calculés.
CHAPITRES
ÉTUDE DE CAS
5.1. INTRODUCTION
Ce chapitre est dédié à l'étude de la fiabilité structurale de la travée centrale d'un pont
existant en béton armé. Le pont est d'abord présenté, suivi d'une description de l'analyse
des efforts internes effectuée à l'aide d'un modèle numérique de grillage. Ensuite, les
. divers systèmes . et coefficients de corrélation entre les composantes sélectionnés pour
l'étude de sa fiabilité sont présentés. Finalement, divers scénarios d'endommagement des
poutres sont présentés. Ceux -ci représentent des états de dégradation plus ou moins
importants des poutres soumises au phénomène de corrosion des armatures.
Figure 5.1 : Pont étudié.
69
5.2. PRÉSENTATION DU PONT ÉTUDIÉ
Le pont choisi est un pont typique situé au Québec sur l'autoroute 20, construit en 1964. TI
possède deux voies de circulation et est constitué de trois portées simples de cinq poutres
(18,3 m, 24,4 m et 18,3 m), tel qu'illustré aux Figures 5.1 et 5.2. Cette étude porte sur la
travée centrale du pont, plus précisément sur les poutres du tablier, dont la coupe
transversale est présentée à la Figure 5.3. Les modes de défaillance considérés sont la
flexion et , l'effort tranchant, à l'ultime, et les fonctions d'états limites utilisées
correspondent à celles développées au chapitre 3. TI est à noter que dans ce mémoire, le
terme « pont» sera généralement utilisé pour désigner la travée centrale étudiée.
~-=.mt.-i Q-=1eOLVs. '-u:n.. -J.. ~
~-:i.~::S:ID .'.t. .
, ~,,"i:.A'\l)r:"1ITt.~ E.""'. _É\.: 2..7',60
. \.- '.
(D , ,:~®
·,~!m'U[TillfZlIilUiP . - ' çYQj~-'t:;NPR\D) : : :-,:" ._~_.~ "
Figure 5.2 : Profil longitudinal du pont à l'étude.
'+---'--~:--, IJ-Y_ PO-. "'-~----j-+.c.:......---t--:--1o ... -. _ •• _,, __ ., •. _-+~,-:-__ =~- ,~: _ _ ___ ~-:~',_ ; ~ t "- rO ~ · ,. _ 0 . .... "-..,.. !
J\!I q ,Inll\-.
: .couPi. TR~I>!>yuit!ALi [)UïÀe.L;_~ ~ !/p.' , , .. ... -
Figure 5.3 ' : Coupe transversale du tablier au bout (moitié de gauche) et au centre (moitié de droite) de la , travée centrale du pont étudié,
70
5.3. MODÈLE DE GRILLAGE
5.3.1. GÉOMÉTRIE ET PROPRIÉTÉS DES MEMBRURES
Le tablier de la travée centrale du pont étudié est idéalisé par un grillage, modélisé avec le
logiciel VisuaIDesign, . dont les membrures longitudinales coïncident avec la position des
poutres. Ces membrures possèdent la rigidité des poutres et de la largeur effective de la
dalle, laquelle correspond dans ce cas-ci à ' la largeur tributaire. Les membrur~s
transversales représentent les diaphragmes et la rigidité transversale de la dalle. Aucune
membrure de rive n'a été ajoutée pour représenter les chasse-roues et les garde-corps, car
une analyse de ce pont avec un modèle possédant ces membrures a démontré qu'elles
influencent très peu le comportement de la structure. Cette simplification du modèle
implique que la largeur du grillage est inférieure à celle du pont, soit 10,7 m plutôt que 13,1
m, tel qu'illustré à la Figure 5.4. Cependant, puisque la charge morte des chasse-roues, des
garde-corps et de la portion de dalle correspondante est redistribuée en réalité sur les
poutres de rive, cette charge est appliquée sur membrures de rive du modèle.
13106
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 . 1 1 1
1 1 1 1 1
~ - -1- - -1- - -1- - -i 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
r- - -1- - -1- - -1- - -1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
r --1- - -1- - -1- - -i 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
[mm]
(a)
10668
ABC D E
(b)
Figure 5.4 : a) Géométrie de la travée centrale du pont à l'étude et b) idéalisation de sa structure par un modèle de grillage.
71
Les poutres du pont ont la même géométrie et le même renforcement, soit une âme à
section variable, entre les diaphragmes des extrémités et les premiers situés en travée, et un
nombre de barres d'armatures longitudinal'es et un espacement des étriers qui augmentent
graduellement vers le centre de la portée. Neuf types de sections ont été créés en fonction
de la largeur de l'âme, du nombre de barres d'armature longitudinales et de l'espacement
des étriers. Certaines de leurs propriétés varient légèrement si les membrures représentent
une poutre de rive ou intérieure, car la largeur effective de la dalle des poutres de rive est
inférieure à celle des poutres intérieures. Les cinq membrures longitudinales du grillage
indiquées à la Figure 5.4 (A, B, C, D et E) sont alors subdivisées en dix-huit segments, tel
qu'illustré à l'Annexe D, dont les propriétés correspondent à l'un des neuf types de
sections. En fait, les segments 7a, 7b et 7c ont les mêmes propriétés au niveau du modèle
numérique, mais ils se distinguent par l'espacement des étriers, lequel n'influence pas la.
rigidité de la section mais plutôt sa résistance. en cisaillement.
Les cinq diaphragmes sont représentés par trois types de section, dont les propriétés
dépendent de leur géométrie et de la largeur de dalle qui est incluse. Les bandes de dalle
excédentaires sont modélisées par quatre différents types de membrures transversales,
définis selon la largeur de dalle qu'ils représentent.
Les propriétés des membrures du grillage sont présentées aux Tableaux 5.1 à 5.3. Elles ont
été calculées conformément à la clause 5.8.2.1 et à l'appendice A5.2 du Code CSA/CAN
S6-00 [CSA, 2000a]. Pour ce qui est des conditions limites, les membrures longitudinales
sont modélisées sur appuis simples. À l'exception des nœuds aux appuis, tous les autres
nœuds aux extrémités des ' segments des membrures longitudinales et transversales sont
rigides pour représenter la continuité le long des éléments structuraux entre eux.
Enfin, pour répartir transversalement les charges aux membrures représentant les poutres,
des planchers unidirectionnels sont intégrés au modèle. Ces planchers sont des éléments
rectangulaires, n'ayant aucun poids ni aucune rigidité, encadrés par les membrures du
grillage.
--------~-----------------------------------------
72
Tableau 5.1 : Propriétés des membrures représentant les poutres.
PROPRIÉTÉS Numéro de section
l 2 3 4 5 6 7a,b,c
Poutres de rive (A et E)
Hauteur de la section (mm) 1486 1486 1486 1486 1486 1486 1486 Largeur effective (mm) 2477 2477 2477 2477 2477 2477 2477
Largeur de l'âme (mm) 635 364 313 292 267 254 254
Largeur de l'aile inférieure (mm) 635 635 635 635 635 635 635
Aire de la section (mm2) 943547 623545 563545 538547 508547 493547 493547
Inertie selon l'axe fort, Ix (x106 mm4) 479271 438324 451405 461538 483061 481 302 499079
Inertie selon l'axe fort, Iy (x106 mm4) 3503 3503 3503 3503 3503 3503 3503
Inertie de torsion (x106 mm4) 299703 266742 270085 · 272849 278665 277156 282625
Poutres du centre (B, C, D)
Hauteur de la section (riun) 1486 1486 1486 1486 1486 1486 1486
Largeur effectiye (mm) 2667 2667 2667 2667 . 2667 2667 2667
Largeur de l'âme (mm) 635 364 313 292 267 254 254
Largeur de l'aile inférieure (mm) 635 635 635 635 635 635 635
Aire de la section (mm2) 943547 623545 563545 538547 508547 493547 493547
Inertie selon l'axe fort, Ix (x106 mm4) 492587 451130 464916 475587 498265 496483 515173.
Inertie selon l'axe fort, Iy (x106 mm4) 3503 3503 3503 3503 3503 3503 3503
Inertie de torsion (x106 mm4) 308578 277231 281414 284673 291347 289975 295879
Tableau 5.2 : Propriétés des membrures représentant les diaphragmes.
PROPRIÉTÉS Type de diaphragme
extrémité intermédiaire centre
Hauteur de la section (mm) 318 318 318
Largeur de l'âme (mm) 254 254 254
Largeur de la dalle (mm) 762 1867 2438
Aire totale de la section (mm2) 251612 655644 764515
Inertie selon l'axe fort, Ix (x106 mm4) 9452 127032 137754
Inertie selon l'axe fort, Iy (x106 mm4) 1504 1572 1572
Inertie de torsion (x106 mm4) 6794 87704 100067
Tableau 5.3 : Propriétés des membrures représentant la rigidité tr.ansversale de la dalle.
PROPRIÉTÉS Numéro de section
dl d2 d3 d4 Hauteur de la dalle (mm) 190,5 190,5 190,5 190,5
Largeur de la dalle (mm) 2096 2426 1689 2134
Aire (mm2) 399193 462096 321774 406451
Inertie selon l'axe fort, Ix (x106 mm4) 1370 1577 1094 1393
Inertie selon l'axe fort, Iy (x106 mm4) 1572 1572 1572 1572
Inertie de torsion (x106 mm4) 2679 3084 2139 2723
73
5.3.2. CHARGES MORTES
Comme il a été mentionné à la sous-section 3.3.2, les charges mortes sont divisées en trois
catégories, Dl, D2 et D3, conformément à l'article 14.7.2 du Code CSA/CAN-S6-00 [CSA,
2000a].
Pour la structure étudiée, la charge morte Dl comprend le poids propre des poutres et des
diaphragmes, excluant la dalle. Cette charge est calculée automatiquement par
VisualDesign, à partir de l'aire des sections et une masse volumique de 24 kN/m3 pour du
béton armé.
La charge morte D2 inclut le poids propre de la dalle, des chasse-roues et des glissières.
Pour la dalle, une charge uniforme de 4,572 kPa est appliquée sur les planchers du modèle,
correspondant à son épaisseur de 190,5 mm et une masse volumique de 24 kN/m3• De plus,
le poids propre des bandes de dalle en porte-à-faux, de 1,2192 m de large, est ajouté au
modèle comme une charge linéaire de 5,574 kN/m appliquée sur les poutres de rive. Les
chasse-roues ont une section de béton de 762x292 ·mm2 et la charge linéaire correspondante
de 5,340 kN/m est également appliquée aux poutres de rive. Enfin, le poids propre des
glissières considéré est celui de celles qui sont présentement sur le pont, soit des glissières
en acier à lisses rondes, dont la charge linéaire de 0,75 kN/m [MTQ, 2005] est appliquée
sur les poutres de rives.
La charge morte D3 correspond au poids propre du revêtement bitumineux, dont l'épaisseur
nominale est considérée égale à 90 .mm. Pour une masse volumique de 23,5 kN/m3, la
charge uniforme appliquée sur les planchers est de 2,12 kPa. Aussi, une ·charge linéaire de
0,969 kN/m est appliquée sur les poutres de rive, pour prendre en considération le poids de
la bande de 0,457 m de revêtement sur les portions de dalle en porte-à-faux.
Suite à l'analyse statique, on obtient les efforts internes des dix-huit segments de chaque
membrure (Figure 5.5). Dans l'évaluation de la fiabilité structurale du pont, ce sont les
valeurs maximales des efforts à chaque segment qui sont incluses comme valeurs
nominales des variables relatives aux sollicitations dues aux charges mortes.
74
Figure 5.5 : Exemple de diagramme des moments causés par les charges mortes pour les cinq poutres du pont, obtenus avec le modèle de grillage.
5.3.3. SURCHARGE ROUTIÈRE
Tel que mentionné à la sous-section 3.3.3, l'analyse des charges mobiles est faite à partir du
camion CL-625 et de la surcharge de voie correspondante [CSA, 2000a]. En plus des
différentes charges, l'espacement des essieux, la position des roues et les gabarits des
camions sont aussi conformes à cette norme, ainsi que les caractéristiques de la charge
uniformément répartie correspondant à la surcharge dé voie.
Pour l'évaluation, le nombre de voies chargées considéré est le nombre de voies
correspondant à l'usage courant du pont [clause 14.8.4.1, CSA, 2000a]. Deux voies de
calcul d'une largeur de 3 m sont donc considérées et leur position sur le modèle numérique
correspond à leur position réelle, dont l'axe central est décalé de 914 mm par rapport à
l'axe central longitudinal du pont (Figure 5.6). Les ' positions de~ charges sur le pont est
définie selon la distance entre le centre de gravité d'un camion et l'axe central longitudinal,
qui correspond àla membrure représentant la poutre du centre. L'analyse est effectuée pour
une et deux voies chargées en considérant toutes les positions possibles des charges
mobiles, tout en respectant les distances minimales entre le centre des roues et les limites
75
des voies ou les chasse-roues prescrites par le Code CSA/CAN-S6-00 [CSA, 2000a]. Les
caractéristiques des scénarios des charges mobiles sont présentées à l'Annexe E.
.... ......... t
. _ .. " . ,. " . 1 1
-----,+-1 ~ ---J--.}~--
1 1
.1
1
1 -1
Figure 5.6 : Vue en plan du pont étudié et position des axes centraux longitudinaux de la structure (<Ldu pont) . et des voies carrossables (<Lvoie nord). .
Enfin, l'analyse des charges mobiles fournit l'enveloppe des efforts internes de toutes les
membrures et donc la valeur des efforts maximaux pour chacun de leurs segments. Puisque
le coefficient de majoration dynamique ( 1 ) est inclus dans le calcul de ces efforts, il est
important de diviser les valeurs maximales obtenues par (1+ 1) pour obtenir les valeurs
nominales des variables correspondant aux sollicitations dues aux charges vives, ML et V L.
La valeur du .coefficient de majoration dynamique à utiliser dans ce calcul dépend du
mobile qui cause l'effort maximal (article 3.8.4.5, [CS A, 2000a]). De plus, c"est cette
valeur du coefficient qui sera considérée comme valeur nominale de la variable lM ou Iv
dans l'étude de la fiabilité structurale du pont. Rappelons que lorsque les efforts maximaux
sont causés par le chargement de voie, aucun coefficient de majoration dynamique n'est
appliqué (1=0).
76
5.4. . CARACTÉRISTIQUES DES SYSTÈMES CONSIDÉRÉS
Lors de l'évaluation de la fiabilité structurale de la travée centrale du pont étudié, trois
types de systèmes sont considérés, pour fins de comparaison. De plus, l~ fiabilité de chacun
de ces systèmes est évaluée pour différents coefficients de corrélations entre les poutres et
autres composantes équivalentes, puisque la corrélation exacte entre ces composantes est
inconnue. Les résultats correspondant aux types de systèmes et aux coefficients de
corrélation jugés les plus réalistes fournissent un intervalle encadrant les valeurs les plus
vraisemblables de l'indice de fiabilité du pont.
5.4.1. CONFIGURATION DES SYSTÈMES
Puisque la résistance à la flexion et à l'effort tranchant diffère entre les segments d'une
mêJ;l1e poutre, ainsi que les efforts internes maximaux dans chacun d'eux, les segments de
chaque poutre doivent être considérés comme des composantes du système représentant la
structure. Puisque la défaillance d'une poutre du pont a lieu si l'un de ses segments est
défaillant, en flexion ou en cisaillement, ces deux modes de défaillance de tous les
segments forment un système en série. Toutefois, seulement la moitié de chaque poutre est
incluse dans ce système en raison de la symétrie selon l'axe transversal de la travée centrale
(Figure 5.4). En effet, il est inutile de considérer des composantes identiques en série, car .
puisqu'elles ont la même fonction d'état limite incluant des variables aléatoires aux mêmes
paramètres, leurs indices de fiabilité sont égaux. En conséquence, leur corrélation est
parfaite et l'indice de fiabilité du système composé de ces composantes en série est égal à
celui des composantes individuelles. Donc, dans chaque système représentant la structure,
les poutres sont représentées par des sous-systèmes en série de 18 composantes. Ces
composantes correspondent aux fonctions d'états limites associées à la flexion (équation
(3.11)) et à l'effort tranchant (équation (3.13)) pour chacun des neuf segments. Seules ses
deux fonctions d'états limites sont considérées ici, étant donné que l'axe neutre de la
section de chacun des segments se situe dans la dalle et que la quantité minimale
d'armature transversale est toujours présente. Le sous-système représentant une poutre
quelconque du pont est illustré à la Figure 5.7, où les lettres M et V précédant le numéro de
77
segment indiquent le mode de défaillance décrit par la fonction d'état limite (M : flexion et
V : effort tranchant).
Figure 5.7 : Sous-système représentant une poutre, composé des fonctions d'états liIilltes des 9 segments.
Par la suite, en ce qui concerne les systèmes représentant la structure, trois différentes
configurations sont considérées, selon trois conditions de défaillance de la structure. La
première condition est celle pour laquelle la défaillance d'une seule poutre engendre la '
défaillance de la structure. Le type de système représentant ce comportement est un
système en série. Dans ce cas, les cinq poutres (A, B, C, D, E) sont disposées en série, ce
qui signifie que le système en entier est une série de 5x 18 composantes. Ce système est
illustré à la Figure 5.8, où les sous-systèmes de la Figure 5.7 pour chaque poutre sont
représentés par une seule composante pour simplifier l'illustration.
Figvre 5.8 : Système 1 - Système en série représentant le pont.
Le deuxième système correspond à l'hypothèse selon laquelle la défaillance de deux
poutres adjacentes est nécessaire pour qu'il y ait défaillance du pont. Cela suppose que
lorsqu'une poutre est défaillante, il y . a une redistribution des charges vers les poutres
. adjacentes et la structure est toujours apte à supporter les diverses charges. Toutefois,
lorsque les charges additionnelles transmises aux poutres adjacentes font en sorte que la
charge totale à supporter excède la résistance de l'une d'elles, il y a défaillance de ce,tte
poutre et conséquemment défaillance de la structure. Cette condition de défaillance est
représentée par un système en série, composé de sous-systèmes à deux composantes en
parallèle, lesquelles correspondent à deux poutres adjacentes. Ce système est illustré à la
Figure 5.9, où les composantes A, B, C, D et E représentent les sous-systèmes à 18 .
composantes en série correspondant aux cinq poutres.
, 78
Figure 5.9 : Système 2 - Système en série-parallèle, selon lequel la défaillance de deux poutres adjacentes entraîne la défaillance du pont.
Finalement, le troisième système est illustré à la Figure 5.10, où les composantes A· à E sont
les systèmes en série représentant chaque poutre. Sa configuration indique que pour que la
structure soit défaillante, il doit y avoir soit la défaillance de l'une ou l'autre des poutres de
rive, la poutre A ou E, ou bien la défaillance de deux . poutres intérieures adjacentes, soient
les poutres B et C ou C et D. En représentant le pont par ce système, on suppose que la
défaillance d'une poutre de rive est plus critique que celle d'une poutre intérieure car dans
ce cas, il y aura une redistribution des charges sur une seule poutre adjacente.
Figure 5.10 : Système 3 - Système en série-parallèle, selon lequel la défaillance de l'une des poutres de rive ou de deux poutres du centre adjacentes entraîne la défaillance du pont.
5.4.2. CORRÉLATION ENTRE LES COMPOSANTES DES SYSTÈMES
Précédemment, il a été mentionné qu'avec le programme LRT, les coefficients de
corrélation entre les composantes des sous-systèmes en série du troisième niveau sont
calculés avec les cosinus directeurs, obtenus lors du calcul de l'indice de fiabilité d'une
composante avec FORM. Quant aux coefficients entre les autres composantes ou autres
sous-systèmes, ils sont déterminés par l'usager.
C'est pourquoi, pour chacune des poutres, les coefficients de corrélation entre les 18
composantes des sous-systèmes en série, correspondant aux modes de défaillance des
segments de poutre, sont calculés avec les cosinus directeurs. Par la suite, des coefficients
de corrélation entre les comp9santes équivalentes correspondant aux poutres doivent être
79
déterminés, en plus des coefficients entre les sous-systèmes parallèles du système 2 (Figure
5.9), ainsi qu'entre la poutre A, la poutre E et les deux sous-systèmes en parallèle du
système 3 (Figure 5.10). Dans cette étude, la corrélation est considérée comme étant la
même entre toutes les composantes équivalentes d'un système. Cette hypothèse est basée
sur le fait qu'étant donné que les cinq poutres sont similaires, la corrélation entre la poutre
B et la poutre C par exemple est probablement semblable à celle entre la poutre C et la
poutre D. C'est pourquoi la corrélation entre les sous-systèmes composés de ces paires de
poutres en parallèle est aussi probablement la même. Donc, quatre coefficients de
corrélation entre les composantes équivalentes sont considérés lors de l'évaluation de la
fiabilité avec chacun des systèmes, soient p=O,O, p=O,5, p=O,8 et p=l,O.
5.5. SCÉNARIOS D'ENDOMMAGEMENT ÉTUDIÉS
L'influence de l'endommagement sur la fiabilité du pont et de ses éléments structuraux est
examinée à partir de différents scénarios d'endommagement. Dans le cadre de cette étude,
l'endommagement considéré affecte uniquement les poutres du pont. Pour tous les
scénarios étudiés, on suppose que la dalle est apte à redistribuer les charges adéquatement
sur toute la surface du tablier. Les variations dans la distribution des charges dépend donc
uniquement de la perte de rigidité des poutres lorsque endommagées.
5.5.1. ENDOMMAGEMENT APPLIQUÉ AUX SEGMENTS DE POUTRES
L'endommagement simulé sur les poutres du pont diminue so~t la résistance à la flexion, à
l'effort tranchant ou les deux. Cet endommagement se traduit par une réduction de la
section des barres d'armatures longitudinales et des étriers (zones en noir sur la Figure
5.11) et de la section de béton (zones en gris sur la Figure 5.11) le long d'un ou plusieurs
segments de poutres. Pour chaque mode de défaillance, l'endommagement est appliqué
selon trois degrés d'importance, soit lM, 2M et 3M pour la flexion et 1 V, 2V et 3V pour
l'effort tranchant, lesquels pourraient correspondre à différents états de dégradation des
poutres dans le temps. La description de l'endommagement des segments de poutres est '
présentée au Tableau 5.4.
80
(b) LR ~ 1nJ ri5U~ v 5. 11 . T .1' • le r ~ \ uu t~ton : gris, des armatures: noir) sur les sections
diminuant r s t, ce a) en flexion b) et à l 'effort tranchant.
Tableau 5.4 : Caractéri le ~e ( s cas d'endommagement simulé sur les segments de poutres.
Endommageme :: ~~ c, .. t: Aucun
Flexion Effort tranchant endom.
Pourcentage de dimi 111 0 t
la section trans~ e t r s 0% 5% 10% 20% 0% 0% 0% '---
longitudinales /W .. ~ ><'--' ~
r~ ; I~ ><"" ~
la section trans 0% 0% 0% 0% 5% 20% 35%
la section transversale de l'âme 0% 0% 0% 0% 2% 5% 8%
la section transversale de l'aile 0% 2% 5% 8% 0% 2% 5%
inférieure
Degré d'endommagement 0 lM 2M 3M IV 2V 3V
Pourcentage de perte de résistance 0% 2,7 à 5,4 à 10,9 à 3,8 à 14,0 à 24,1 à 3,3% 6,7% 13,3% 4,1% %15,5 · 26,9%
Temps moyen (années) avant d'atteindre cette diminution de
0 12 24 50 4 18 33 section des armatures, suite à l'initiation de la corrosion
En plus du pourcentage de diminution de la section de béton et des armatures, le Tableau
5.4 présente le pourcentage de la perte de résistance des segments de poutres correspondant
81
. aux degrés d'endommagement, ainsi qu'une estimation du temps moyen pour atteindre les
différents degrés de perte de section des armatures, suite à l'initiation de la corrosion.
Le calcul du temps de perte de section des armatures a été effectué selon Akgül et
Frangopol (2005b) et Enright et Frangopol (1998a). Le modèle de corrosion des armatures
[Thoft-Çhristensen, 1998b] adopté par ces auteurs est basé sur deux hypothèses
simplificatrices, selon lesquelles la corrosion est assumée comme se produisant à un taux
constant et réduisant la section des barres d'armature de façon uniforme sur leur périmètre.
TI est à noter que ce modèle de corrosion néglige entres autres l'influence de la température
sur le taux de corrosion [Akgül et Frangopol, 2005b].
Selon le modèle, la corrosion des armatures d'acier s'exprime par une équation décrivant la
diminution du diamètre d'une barre en fonction du temps:
(5.1)
où D(t) est le diamètre de la barre au temps t, Do est son diamètre initial et rcorr est le taux
de corrosion, de moyenne 0,0762 mm/an et d'écart-type 0,0229 mm/an. Avec l'équation
(5.1), l'aire initiale moyenne de la barre ainsi que le taux moyen de corrosion, on peut
ensuite évaluer le nombre d'années moyen pour atteindre un pourcentage de perte de
section P, suite à l'initiation de la corrosion:
2(~ Aomoy-~(1- P)Aomoy ) t = --'---------=----
moy 0,0762Jn
(5.2)
où la valeur moyenne de l'aire d'une barre AOmoy est égale à l'aire nominale (Tableau 3.2).
Le Tableau 5.5 présente le temps, suite à l'initiation de la corrosion, pour d'atteindre la
diminution de section des armatures correspondant aux cas d'endommagement étudiés,
ainsi que les valeurs calculées pour un taux moyen de corrosion de 0,0762 mm/an moins
82
l'écart-type et plus l'écart-type de 0,0229 mm/an. L'aire moyenne des barres longitudinales
du pont à l'étude est de 1006 mm2 et celle des étriers de 129 mm2•
Tableau 5.5 : Temps en années avant d'atteindre les degrés d 'endommagement étudiés, suite à l'initiation de la corrosion.
Pourcentage de diminution de section
Barres longitudinales Étriers
lM 2M 3M IV 2V 3V
5% 10% 20% 5% 20% 35%
Taux de corrosion
f.l- cr = 0,0533 mm/an 17,0 34,5 70,9 6,1 25,4 46,6
Jl = 0,0762 mm/an Il,9 24,1 49,6 4,3 17,8 32,6
f.l + cr = 0,0991 mm/an 9,1 18,5 38,1 3,3 13,7 25,1
5.5.2. LOCALISATION DE L'ENDOMMAGEMENT SUR LES POUTRES
Au niveau du tablier, neuf scénarios d'endommagement sont étudiés dans le but d'illustrer
les facteurs faisant varier . les indices de fiabilité des poutres et du pont. Ces scénarios,
décrits au Tableau 5.6 et illustrés aux Figures 5.12 et 5.13, diffèrent selon l'emplacement
des segments de poutres endommagés et le mode de défaillance considéré. De plus, tel
qu'indiqué au Tableau 5.6, divers cas d'endommagement sont possibles pour un même
scénario selon le degré de l'endommagement. Leur appellation renseigne sur le numéro du
ou des segments endommagés, le degré d'endommagement ainsi que -les poutres
endommagées.
Les scénarios 2 et 7 sont deux exemples d'endommagement courants des ponts en béton
armé causé par la corrosion des armatures [Enright et Frangopol, 2000]. En effet,
l'endommagement du scénario 2 est situé sur les poutres près des appuis et pourrait · être
causé par l'eau contenant des sels de déverglaçage s'infiltrant au travers des joints du
tablier. Quant à l'endommagement du scénario 7, qui est situé au centre de toutes les
poutres, il pourrait être causé par des éclaboussures contenant des sels de déverglaçage
occasionnées par lé trafic circulant sous la travée. D'autre part, plusieurs scénarios
consistent en un endommagement local, situé sur le segment critique d'une poutre lié à un
mode de défaillance quelconque (scénarios 1 et 3 à 5) ou sur plusieurs poutres (scénario 6).
83
Enfin, les scénarios 8 et 9 consistent en un endommagement généralisé d'une poutre de rive
ou d'une poutre intérieure respectivement. TI est à noter que l~rsque l'endommagement
n'est pas symétrique selon l'axe central transversal, le système utilisé pour évaluer la
fiabilité d'une poutre contient les 18 segments plutôt qu'uniquement une demie portée. Ce
système est donc compos~ du système de la Figure 5.7 disposé deux fois en série.
Tableau 5.6 : Description des scénarios d'endommagement.
Scénarios Cas Modes de
Segments Poutres Particularités défaillance
4C_1M Segment critique,
1 4C_2M Flexion 4 C 4C 3M
flexion
12_1V_ABCDE Aux deux appuis,
2 12_2V _ABCDE Effort tranchant 1 et 2 Toutes 12_3V _ABCDE
sur 3 m
6A_1V Segment critique,
3 6A_2V Effort tranchant 6 A 6A_3V
effort tranchant
6B_1V Segment critique,
4 6B_2V Effort tranchant 6 B 6B 3V
effort tranchant
6C_1V Segment critique,
5 6C_2V Effort tranchant 6 C 6C_3V
éffort tranchant
7b_1 V _ABCDE 6 7b_2V _ABCDE Effort tranchant 7b Toutes
7b 3V ABCDE
7 7 _2M1 V _ABCDE . Flexion et effort
7a,7b et 7c Toutes Il m central
7 _3M2V _ABCDE tranchant (symétrie)
8 A_1M1V Flexion et effort
Tous A La poutre entière A_3M3V tranchant
9 B_1M1V Flexion et effort
Tous B La poutre entière B_3M3V tranchant
ABC 0 E
"
f -(
J I~ f
t ,
\
. , y. 1
1 ;T f ~
1
Scénario 1
~ B C 0 E
: \
: I~
... '
t i'---*---4~-j!-----)'
Scénario 3
-,
/1 \ 2
, 3
4 5 6
\7a
\7b 1
7e
A a C 0 E
, l
* 1
• 'i(
1
'l'
r f
l-
t J Ir----'--------'
Scénario 4
~ B C 0
Scénario 2
Scénario 5
Figure 5.12 : Localisation de l'endommagement sur les poutres, scénarios 1 à 5.
E
E
,,'1
/ 2
3 ' 4 : 5 16 \7a
\7b
'7e
-,
-,
/1 :2 3 4 5 6
7a
\7b
'te ..
'-
84
~ B C 0 E " ,
1
1
! 1 ! , ~
1 \ 1-\ 1
'" 1
l
Scénario 6
~ B C D E
,
Scénario 8
-,
/1 \
/2 1 3 1
, 4 5 6
\7a 1
\7b
te
'-
A B, C D E 1 1\ r ; , !
\ 1
Scénario 9
~ B C 0 E " r
,
t
.'
1"
1
Scénario 7
, , 1 \
1 \
1 \
/1 ,
;' 2
[ 3 4 5 6
\7a
\7b
'te
r
Figure 5.13 : Localisation de l'endommagement sur les poutres, scénarios 6 à 9.
1 \
1 \ 1 \
/1 '.. , ,
/ 2 [ 3
4 5
, 6 \7a
\7b
7e \ 1
\ 1 , 1
85
CHAPITRE 6
RÉSULTATS ET DISCUSSION
6.1. INTRODUCTION
Le but de ce chapitre est tout d'abord de présenter les indices de fiabilité des segments de
poutres, des poutres et du pont à l'étude non endommagé, pour ensuite les comparer aux
indices résultant des évaluations de la fiabilité du pont endommagé, pour chacun des
scénarios d'endommagement présentés au chapitre précédent. À partir de ces résultats, les
divers facteurs influençant la fiabilité de la structure sont examinés. De plus, les indices de
fiabilité du pont endommagé obtenus sont comparés à l'indice de fiabilité cible qui serait
suggéré lors d'une évaluation de ce pont selon le Code CSA/CAN-S6-00 [CSA, 2000a].
Pour terminer, une étude de sensibilité des variables permet de définir les variables les plus
influentes dans l'évaluation de la fiabilité du pont, pour les modes de défaillance étudiés.
6.2. FIABILITÉ DU PONT NON ENDOMMAGÉ
6.2.1. SEGMENTS DE POUTRES
Les indices de fiabilité des segments des poutres A à E associés aux fonctions d'états
limites, pour la flexion M et l'effort tranchant V évalués séparément, sont présentés à la
Figure 6.1. Pour simplifier les résultats, les indices de fiabilité des · segments d'une demie
travée seulement sont présentés.
87
Tout d'abord, on remarque sur ce graphique que les indices de fiabilité des segments
varient, puisque leur résistance et les efforts dus aux différentes charges ne sont pas
constants le long des poutres. On identifie alors des segments critiques pour chaque mode
de défaillance, soit le segment 4 pour la flexion et le segment 6 pour l'effort tranchant,
lesquels ont l'indice de fiabilité le plus faible. On constate également que la section critique
n'est pas toujours au centre de la poutre pour la flexion, comme semblent le considérer
plusieurs études antérieures. Enfin, ce graphique montre que pour chacune des poutres du
pont à l'étude, les indices de fiabilité associés à l'effort tranchant sont toujours beaucoup
plus faibles que pour la flexion. Cet écart pourrait . être attribuable aux méthodes de
conception en vigueur dans les années 1960. En effet, le pont à l'étude a été conçu selon les
équations de l'époque considérant les contraintes admissibles, tandis que les équations
utilisées ici pour évaluer sa fiabilité sont basées sur les contraintes à l'ultime.
en. 'Q,)
== .... ..c ~ = ~
"0 ~ ~ ;a
10,00
9,50
9,00
8,50
8,00
7,50
7,00
6,50
~ 6,00
5,50
5,00
4,50
--
• Flexion • .... ==~== • 1--8-- • 1
• • • •
=-:--= tt . Poutres A et E ---M _ B - V Poutres B et D -Â--M _ -6 - V Poutre C
• • 1
==~== ==i== - - 8 - - __ e - .,... - - 8 - - __ I=J - - __ ~ __
==~==== == Effort tranchant
==~== --B-....;:=~==
--B--==§== ==§==
4, 00 +---~----r-------,----~----'r-------r----r-----r-------1
2 3 4 5 6 7a 7b 7e
Segment de poutre
Figure 6.1 : Indices de fiabilité des segments de poutre non endommagés, pour la flexion et effort tranchant.
88
6.2.2. POUTRES
Les indices de fiabilité des poutres sont présentés au Tableau 6.1. Les résultats présentés en
gras correspondent à la fiabilité des poutres évaluée avec le système de la Figure 5.7. Les
indices de fiabilité des poutres pour la flexion et l'effort tranchant évalués séparément sont
aussi présentés, dans le but d'examiner l'influence de ces modes de défaillance sur la
fiabilité des poutres. Les systèmes utilisés pour calculer ces indices sont des systèmes en
série similaires au système de la Figure 5.7, mais composés des fonctions d'états limites
correspondant à la flexion uniquement ou à l ' effort tranchant uniquement.
Tableau 6.1 : Indices de fiabilité des poutres non endommagées.
Indice de fiabilité 8
Poutre Flexion Effort
tranchant Poutre A 4,63 6,58 4,63
Poutre B 4,82 6,74 4,82
Poutre C 4,58 6,67 4,58
Poutre D 4,82 6,75 4,82
Poutre E 4,63 6,56 4,63
Au Tableau 6.1, on constate d'abord que les indices de fiabilité associés aux modes de
défaillance (M, V) correspondent à l'indice de fiabilité de leurs segments critiques
respectifs (Figure 6.1). Quant aux indices de fiabilité des cinq poutres, ceux-ci
correspondent aux indices de fiabilité associée à l'effort tranchant et par le fait même à
l'indice de fiabilité du segment critique pour ce mode de défaillance, soit le segment 6.
Pour le pont étudié, l'effort tranchant est le mode de défaillance dominant, car il contrôle à
lui seul la fiabilité des poutres.
Cette situation est attribuable au fait qu'un système en série est utilisé pour évaluer la
fiabilité d'une poutre. En effet, lorsque toutes les composantes d'un système en série sont
parfaitement corrélées (Pi,j = 1), l'indice de fiabilité est égal à l'indice de la composante
pour laquelle il est le plus faible (équation (2.41)). Dans le cas de l'évaluation de la fiabilité
des poutres du pont étudié, où les fonctions d'états limites évaluées pour chacun des
segments composent le système en série (Figure 5.7), les coefficients de corrélation entre
89
les fonctions d'états limites des segments non endommagés se situent dans les intervalles
suivants:
- Flexion et flexion: [0,995 ; 1,000]
- Effort tranchant et effort tranchant: [0,908 ; 1,000]
- Flexion et effort tranchant: [0,209 ; 0,342]
Ces coefficients ont été calculés à partir des cosinus directeurs <Xi associés à chacune des
variables aléatoires des fonctions d'états limites des segments, obtenus lors de l'évaluation
de l'indice de fiabilité des modes de défaillance avec FORM (section 2.3.1). Quoique
certains de ces coefficients de corrélation soient inférieurs à 1, c'est tout de même l' indice
de fiabilité le plus faible qui contrôle, car l'écart entre celui-ci et les autres indices de
fiabilité est grand. Ainsi, l'indice de fiabilité des poutres est ici généralement égal (au
dixième près) à l'indice de fiabilité du segment le plus critique. Dans ce cas, l' évaluation
de la fiabilité du pont pourrait être faite en considérant uniquement le mode de défaillance
dominant, soit l'effort tranchant, ou encore avec seulement le segment critique de chacune
des poutres associé à ce mode de défaillance, ce qui affecterait très peu la précision des
résultats. Cependant, tel qu'il sera vu à la section 6.3, il arrive que le segment critique et le
mode de défaillance dominant ne soient plus les mêmes lorsque la structure est
endommagée. C'est pourquoi tous les modes de défaillance et tous les segments seront
considérés ici dans l'évaluation de la fiabilité.
6.2.3. PONT
Les indices de fiabilité du pont sont présentés au Tableau 6.2, pour les calculs effectuées
avec les trois systèmes illustrés aux Figures 5.8 à 5.10 et pour quatre différents coefficients
de corrélation entre les poutres et les sous-systèmes composés de celles-ci.
90
Tableau 6.2 : Indices de fiabilité du pont non endommagé.
1 ndice de fiabilité ~
Système 1 Système 2 Système 3
0,0 4,33 6,78 4,48
0,5 4,33 5,46 4,48
0,8 4,36 4,92 4,49
1,0 4,58 4,82 4,63
D ' après ces résultats, on constate d' abord que le système 1 est le plus conservateur, car la
fiabilité du pont est inférieure ou égale à celle ~e la poutre à l'indice de fiabilité le plus
faible CP = 4,58), lequel correspond au segment critique de la poutre C. Ce système en série
ne tient pas compte de la redondance présente dans ce type de pont à cinq poutres. Le calcul
effectué avec le système 1 correspond plutôt à une approche du même type que celle
proposée par le Code CSA/CAN-S6-00 [CSA, 2000a] où la fiabilité du pont est basée sur la
composante la plus faible. Les indices de fiabilité obtenus avec le système 2 montrent que
lorsque la redondance structurale est prise en compte par la configuration du système, la
fiabilité du pont est supérieure à celle du segment critique le plus faible, quelle que soit la
corrélation considérée entre les poutres et les sous-systèmes. D'autre part, les résultats
obtenus avec le système 3 se situent entre ceux correspondant aux systèmes 1 et 2. Quoique
la redondance soit prise en compte avec le système 3, il est plus conservateur que le
système 2 car on accorde plus d'importance à la défaillance des poutres de rive en les
disposant en série.
De plus, on rem~rque que lorsque la corrélation augmente, les indices de fiabilité du
système 1 croissent, ce qui est caractéristique des systèmes en série. Dans le cas d'un
système parallèle, il est normal que la fiabilité diminue avec une augmentation de la
corrélation · entre ses composantes, ce que l'on observe aux systèmes 2 et 3, où certaines
poutres sont en parallèle dans le système. Cependant, cette situation ne sera pas toujours
observée dans les résultats obtenus avec le système 3, présentés à la section 6.3, puisque les
poutres de rive sont en série dans ce système.
91
TI est clair qu'une corrélation positive existe entre les poutres du pont, laquelle est associée
à leur résistance et à leurs sollicitations, mais cette corrélation est difficile à évaluer. Elle
n'est probablement pas parfaite, car quoique la résistance des poutres est sensiblement la
même, principalement lorsqu 'elles ne sont pas endommagées, les sollic,itations auxquelles
elles sont soumises diffèrent. TI est donc probable que l'indice de fiabilité du pont se situe
dans l'intervalle délimité par les indices présentés en gras dans le Tableau 6.2. Ceux -ci
correspondent à une corrélation de niveau intermédiaire entre les poutres (p = 0,5 et 0,8),
corrélation jugée plus réaliste.
6.3. FIABILITÉ DU PONT ENDOMMAGÉ
Dans cette section, les indices de fiabilité relatifs aux neuf scénarios d'endommagement
décrits à la section 5.5 sont présentés aux Tableaux 6.3 à 6.6, lesquels incluent aussi les
indices de fiabilité des poutres et du pont non endommagés. Dans ces tableaux, l ' indice de
fiabilité de chaque poutre est d'abord présenté en gras, suivi des indices associés aux modes
de défaillance évalués séparément. Au niveau du système, les résultats présentés en gras
correspondent aux indices de fiabilité obtenus pour les coefficients de corrélation entre les
poutres et. sous-systèmes jugés les plus réalistes (p = 0,5 et 0,8), tel qu'expliqué
précédemment. D'autre part, pour les raisons mentionnées à la section 6.2.2, l'indice de
fiabilité des poutres associé à un mode de défaillance a généralement une valeur égale ou
très rapprochée de celle du segment à l'indice le plus faible pour ce même mode de
défaillance. Pour simplifier les Tableaux 6.3 à 6.6 et éviter la redondance, les indices de
fiabilité des segments de poutres associés à la flexion et à l'effort tranchant sont présentés à
l'Annexe F.
Enfin, à partir de ces résultats, les facteurs influençant la fiabilité de la structure sont
examinés dans les sous-sections qui suivent. Outre l'intensité de l'endommagement, ces
facteurs sont le mode de défaillance dominant, les sections critiques, le nombre de poutres
endommagées et la configuration du système choisie.
92
Les tableaux qui suivent présentent les indices de fiabilité des poutres et du pont pour les
scénarios 1 à 9.
Tableau 6.3 : Indices de fiabilité pour les scénarios 1 et 2.
Indices de fiabilité ~
Aucun Scénario 1 Scénario 2 endom.
Cas 0 4C_IM 4C_2M 4C_3M 12_1V_ 12_2V - 12_3V_ ABCDE ABCDE ABCDE
Poutre A 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,07
Flexion 6,58 6,58 6,58 6,58 6,59 6,59 6,59
Effort tranchant 4,63 , 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,07
Poutre B 4,82 4,82 4,82 4,83 4,82 4,80 4,20
Flexion 6,74 6,74 6,74 6,73 6,75 6,75 6,75
Effort tranchant 4,82 4,82 4,82 4,83 4,82 4,80 4,20
Poutre C 4,58 4,57 4,57 4,55 4,58 4,56 3,86
Flexion 6,67 6,45 6,21 5,71 6,68 6,68 6,68
Effort tranchant 4,58 4,57 4,57 4,55 4,58 4,56 3,86
Poutre D 4,82 4,82 4,82 4,83 4,82 4,80 4,20
Flexion 6,75 6,74 6,74 6,74 6,75 6,75 6,76
Effort tranchant 4,82 4,82 4,82 4,83 4,82 4,80 4,20
Poutre E 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,06
Flexion 6,56 6,56 6,56 6,55 6,56 6,56 6,57
Effort tranchant 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,06
Système 1
p i,j =O 4,33 4,33 4,33 4,32 4,33 4,32 3,65
P i,j =0,5 4,33 4,33 4,33 4,33 4,33 4,32 3,65
P i,j '=0,8 4,36 4,36 4,36 4,36 4,36 4,36 3,71
P i,j = 1,0 4,58 4,57 4,57 4,55 4,58 4,56 3,86
Système 2
P i,j = ° 6,78 6,78 6,78 6,78 ' 6,78 6,76 5,87
P i,j = 0,5 5,46 5,46 5,46 5,46 5,46 5,45 4,71
P i,j = 0,8 4,92 4,92 4,92 4,92 4,92 4,90 4,23
P i,j = 1,0 4,82 4,82 4,82 4,83 4,82 4,80 4,20
Systè~e 3
p " O I,J 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 3,90
P i,j =0,5 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 3,90
P i,j =0,8 4,49 4,49 4,49 4,49 4,49 4,48 3,90
P i,j = 1,0 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,06
93
Tableau 6.4 : Indices de fiabilité pour les scénarios 3, 4 et 5.
Indices de fiabilité ~
Aucun Scénario 3 Scénario 4 Scénario 5
endom.
Cas ° 6A_1V 6A_2V 6A_3V 6B_1V 6B_2V 6B_3V 6C_1V 6C_2V 6C_3V
Poutre A 4,63 4,42 3,79 3,03 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Flexion 6,58 6,59 6,59 6,59 6,58 6,58 6,58 6,58 6,58 6,58
Effort tranchant 4,63 4,42 3,79 3,03 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Poutre B 4,82 4,82 4,82 4,82 4,62 4,00 3,24 4,82 4,82 4,82
Flexion 6,74 6,74 6,74 6,74 6,74 6,75 6,75 6,74 6,74 6,74
Effort tranchant 4,82 4,82 4,82 4,82 4,62 4,00 3,24 4,82 4,82 4,82
Poutre C 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,37 3,73 2,95
Flexion 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,68 6,68
Effort tranchant 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,37 3,73 2,95
Poutre D 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82
Flexion 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75
Effort tranchant 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82
Poutre E 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Flexion 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56
Effort tranchant 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Système 1
p i,j=O 4,33 4,26 3,77 3,03 4,30 3,95 3,24 4,24 3,72 2,95
P i,j = 0,5 4,33 4,26 3,78 3,03 4,30 3,95 3,24 4,24 3,72 2,95
P i,j = 0,8 4,36 4,29 3,79 3,03 4,33 3,97 3,24 4,27 3,73 2,95
P i,j = 1,0 4,58 4,42 3,79 3,03 4,58 4,00 3,24 4,37 3,73 2,95
Système 2
P i,j=O 6,78 6,74 6,44 6,02 6,69 6,31 5,85 6,69 6,31 5,86
P i,j = 0,5 5,46 5,43 5,27 5,06 5,39 5,12 4,83 5,40 5,16 4,91
P i,j =0,8 4,92 4,89 4,81 4,76 4,85 4,64 4,50 4,86 4,73 4,67
P i,j = 1,0 4,82 4,82 4,82 4,82 4,62 4,58 4,58 4,82 4,82 4,82
Système 3
p . . ° I,J 4,48 4,35 3,79 3,03 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48
P i,j = 0,5 4,48 4,35 3,79 3,03 4,48 4,48 4,46 4,48 4,48 4,46
P i,j =0,8 4,49 4,36 3,79 3,03 4,48 4,45 4,41 4,48 4,46 4,44
P i,j = 1,0 4,63 4,42 3,79 3,03 4,62 4,58 4,58 4,63 4,63 4,63
94
Tableau 6.5 : Indices de fiabilité pour les scénarios 6 et 7.
Indices de fiabilité ~
Aucun Scénario 6 Scénario 7 .
endom.
Cas ° 7b_1V - 7b_2V - 7b_3V - 7_2M1V - 7_3M2V_ ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
Poutre A 4,63 4,63 4,33 3,64 4,64 4,07
Flexion 6,58 6,59 6,59 6,59 6,31 5,92
Effort tranchant 4,63 4,63 4,33 3,64 4,64 4,07
Poutre B 4,82 4,82 4,79 4,19 4,83 4,29
Flexion 6,74 6,74 6,75 6,75 6,39 6,00
Effort tranchant 4,82 4,82 4,79 4,19 4,83 4,29
Poutre C 4,58 4,58 4,28 3,58 4,60 4,01
Flexion 6,67 6,67 6,68 6,68 6,38 5,99
Effort tranchant 4,58 4,58 4,28 3,58 4,60 4,01
Poutre D 4,82 4,82 4,79 4,19 4,83 4,29
Flexion 6,75 6,75 6,75 6,76 6,40 6,01
Effort tranchant 4,82 4,82 4,79 4,19 4,83 4,29
Poutre E 4,63 4,63 4,33 . 3,64 4,64 4,07
Flexion 6,56 6,56 6,56 6,57 6,28 5,90
Effort tranchant 4,63 4,63 4,33 3,64 4,64 4,07
Système 1
P i,j = ° 4,33 4,33 4,05 3,30 4,35 3,73
P i,j = 0,5 4,33 4,33 4,05 3,31 4,35 3,74
P i,j = 0,8 4,36 4,37 4,08 3,37 4,38 3,79
P i,j = 1,0 4,58 4,58 4,28 3,58 4,60 4,01
Système 2
P i,j = ° 6,78 6,78 6,55 5,64 6,80 6,01
P i,j =0,5 5,46 5,47 5,29 4,53 5,48 4,82
P i,j = 0,8 4,92 4,92 4,77 4,09 4,93 4,33
P i,j = 1,0 4,82 4,82 4,79 . 4,19 4,83 4,29
Système 3
P i,j =0 4,48 4,48 4,17 3,46 4,50 3,91
P i,j =0,5 4,48 4,48 4,17 3,46 4,50 3,91
P i,j = 0,8 4,49 4,49 4,18 3,48 4,50 3,92
pi,j=l,O 4,63 4,63 4,33 3,64 4,64 4,07
95
Tableau 6.6 : Indices de fiabilité pour les scénarios 8 et 9.
Indices de fiabilité P Aucun
Scénario 8 Scénario 9 endom.
Cas 0 A_1M1V A_3M3V B_1M1V B_3M3V
Poutre A 4,63 4,56 3,18 4,63 4,62
Flexion 6,58 6,41 5,86 6,56 6,50
Effort tranchant 4,63 4,56 3,18 4,63 4,62
Poutre B 4,82 4,82 4,81 4,65 3,39
Flexion 6,74 6,72 6,66 6,60 6,09
Effort tranchant 4,82 4,82 4,81 4,65 3,39
Poutre C 4,58 4,58 4,57 4,58 . 4,57
Flexion · 6,67 6,66 6,63 6,66 6,61
Effort tranchant 4,58 4,58 4,57 4,58 4,57
Poutre D 4,82 4,82 4,81 4,82 4,81
Flexion 6,75 6,74 6,73 6,74 6,71
Effort tranchant 4,82 4,82 4,81 4,82 4,81
Poutre E 4,63 4,63 4,63 4,63 4,62
Flexion 6,56 6,56 6,56 6,55 6,54
Effort tranchant 4,63 4,63 4,63 4,63 4,62
Système 1
P i,j = ° 4,33 4,31 3,18 4,30 3,39
P i,j =0,5 4,33 . 4,31 3,18 4,30 3,39
P i,j = 0,8 4,36 4,34 3,18 4,34 3,39
pi,j=l,O 4,58 4,56 3,18 4,58 3,39 .
Système 2
P i,j = ° 6,78 6,77 6,09 6,71 5,93
P i,j = 0,5 5,46 5,45 5,08 5,40 . 4,87
P i,j = 0,8 4,92 4,91 · 4,75 4,86 4,51
P i,j = 1,0 4,82 4,82 4,81 4,65 4,57
Système 3
P i,j =0 4,48 4,44 3,18 4,48 4,47
P i,j =0,5 4,48 4,44 3,18 4,48 4,46
P i,j = 0,8 4,49 4,45 3,18 4,48 4,41
Pi,j= 1,0 4,63 4,56 3,18 4,63 4,57
96
6.3.1. INFLUENCE DU MODE DE DÉFAILLANCE DOMINANT
L'influence du mode de défaillance dominant, dans ce cas-ci l'effort tranchant, est illustrée
à partir des résultats obtenus pour le scénario 1, présentés au Tableau 6.3, où
l'endommagement du segment critique en fl~xion de la poutre C diminue sa résistance en
flexion (cas 4C_1M, 4C_2M et 4C_3M). D'après ce tableau, on constate que même si
l'indice de fiabilité en flexion de la poutre endommagée diminue lorsque le degré
d'endommagement augmente (P = 6,67 à 5,71), l'indice de fiabilité de cette poutre varie
très peu (P = 4,58 à 4,55). En fait, à chaque degré d'endommagement, l'indice de fiabilité
de la poutre correspond à l'indice associé à l'effort tranchant, lequel est dans chaque cas
inférieur à l'indice correspondant à la flexion. Cette situation survient du fait qu'il existe un
écart important entre les indices de fiabilité associés à ces deux modes de défaillance.
Puisque les indices de fiabilité des poutres varient très peu, il en est de même pour les ·
indices de fiabilité obtenus pour les différents systèmes. En résumé, les indices de fiabilité
obtenus pour le scénario 1 démontrent que lorsque l'endommagement affecte un mode de
défaillance non dominant, il est possible que la fiabilité de la structure et de ses éléments ne
soit que légèrement influencée.
D'autre part, on observe au scénario 1 que les indices. de fiabilité des poutres B et D
augmentent très légèrement, passant de 4,82 à 4,83. Ceci est causé par la diminution de la
charge morte résultant de la perte de béton du segment endommagé. Étant donné que cela
entraîne une légère diminution des sollicitations et que la résistance de ces poutres est
constante, la fiabilité augmente. Toutefois, cette augmentation est négligeable puisqu'elle
correspond à une hausse de l'indice de fiabilité de 0,01.
6.3.2. INFLUENCE DES SEGMENTS CRITIQUES
Au scénario 2 (Tableau 6.3), les cinq poutres sont endommagées sur une longueur de 3 m
aux appuis ce qui diminue la résistance à l'effort tranchant des segments 1 et 2 (cas
12_1 V _ABCDE, 12_2V _ABCDE et 12_3V _ABCDE). Bien que ce scénario soit associé au
mode de défaillance dominant, on remarque une diminution considérable des indices de
97
fiabilité des poutres uniquement pour le degré d'endommagement 3V. En fait, l'indice de
fiabilité des poutres reste à peu près constant tant que l'indice d'un segment endommagé ne
soit inférieur à celui du segment critique 6. Cela se produit au degré 3V, pour lequel les
indices de fiabilité de toutes les poutres diminuent brusquement, parce que le segment 2
devient le segment à l'indice de fiabilité le plus faible. Les indices de fiabilité des poutres
correspondent alors à l'indice de ce nouveau segment critique.
La comparaison des indices de fiabilité des poutres du scénario 2 avec ceux des scénarios 3
à 5, pour -lesquels le segment critiqu~ 6 des poutres A, B ou C est endommagé aux degrés
1 V à 3V, montre que l'influence de l'endommagement d'un segment critique sur la fiabilité
des poutres est plus importante que lorsque un ou plusieurs segme~ts non critiques sont
endommagés. Les indices de fiabilité des poutres endommagées pour ces quatre scénÇtrios
sont montrés en gras dans le tableau suivant, extrait des Tableaux 6.3 et 6.4.
(Extrait des Tableaux 6.3 et 6.4)
Indices de fiabilité ~
Scénario 2 Scénario 3 Scénario 4 Scénario 5
Cas 12.:.JV_ 12_2V_ 12_3V_ 6A_l V 6A_2V 6A_3V 6B_IV 6B_2V 6B_3V ~C_l V 6C_2V 6C_3V ABCDE ABCDE ABCDE
Poutre A 4,63 4,63 4,07 4,42 3,79 3,03 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Poutre B 4,82 4,80 4,20 4,82 4,82 4,82 4,62 4,00 3,24 4,82 4,82 4,82
Poutre C 4,58 4,56 3,86 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,37 3,73 2,95
Poutre D 4,82 "4,80 4,20 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82
Poutre E 4,63 4,63 4,07 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
On constate en effet d'après ce tableau que l'indice de fiabilité des poutres diminue
beaucoup plus rapidement entre les degrés 1 V, 2V et 3V lorsque le segment critique d'une
poutre est endommagé (scénarios 3 à 5) que lorsque ce sont les segments 1 et 2 (scénario
2). Pour fins de comparaison avec les scénarios 3 à 5, la fiabilité du pont pour des scénarios
consistant en un seul segment non critique endommagé des poutres A, B ou C a été
évaluée. Il en résulte que la fiabilité des poutres endommagées diminue uniquement au
degré 3V, soit lorsque l'indice de fiabilité du segment endommagé devient le plus faible.
98
La localisation de l' endommagement sur les poutres et les indices de fiabilité obtenus pour
ces trois scénarios sont présentés à l'Annexe G.
En bref, la fiabilité des segments critiques influence grandement celle des poutres et par le
fait même la fiabilité du pont, car même si la structure présente un endommagement
relativement important touchant plusieurs poutres, la fiabilité de la structure peut ne pas en
être diminuée. Ceci est démontré par les résultats obtenus pour les cas d'endommagement
12_1 V _ABCDE et 12_2V _ABCDE du scénario 2 (Tableau 6.3), pour lesquels les indices
de fiabilité des systèmes ne diminuent pas ou très peu avec l'endommagement.
6.3.3. INFLUENCE DU NOMBRE DE POUTRES ENDOMMAGÉES
Tel qu'il a été vu à la · sous-section précédente, la fiabilité d'unè poutre diminue
considérablement lorsque le segment critique relatif au mode de défaillance dominant est
endommagé, dans le cas présent l'effort tranchant. Cependant, en comparant les résultats
des scénarios 3 à 5 (Tableau 6.4) avec ceux des scénarios 6 et 7 (Tableau 6.5), on remarque
que la situation peut être différente au niveau du système lorsque plus d'une poutre est
. endommagée. Dans ces deux scénarios, les cinq poutres sont endommagées au centre,
soient le segment 7b aux degrés 1 V, 2V et 3V au scénario 6 et les segments 7 a, 7b et 7 caux
degrés 2M combiné à 1 V puis 3M combiné à 2V au scénario 7. Quoique les indices de
fiabilité aux scénarios 6 et 7 des cinq poutres endommagées soient supérieurs à ce~x des
scénarios 3 à 5, pour lesquels le segment critique d'une seule poutre est endommagé, il
arrive que la fiabilité du pont soit inférieure. On constate cette situation en se référant entres
autres aux indices de fiabilité calculés avec le système 2 (présentés à nouveau au tableau
suivant), en comparant les scénarios 3 à 5 avec le scénario 6 (en gras), tous aux degrés
d'intensité 3V, ainsi que les scénarios 3 à 5 d'intensité 2V avec le cas 7 _3M2V _ABCDE
du scénario 7 (en italique).
99
(Extrait des Tableaux 6.4 et 6.5)
Indices de fiabilité ~
Scénario 3 Scénario 4 Scénario 5 Scénario 6 Scénario 7 ~
Cas 6A_2V 6A_3V 6B_2V 6B_3V 6C_2V 6C_3V 7b_3V_ 7_3M2V_ ABCDE ABCDE
Système 2 -P i,j=O 6,74 6,44 6,69 6,31 6,69 6,31 5,64 6,01
P i,j = 0,5 5,43 5,27 5,39 5,12 5,40 5,16 4,53 4,82
P i,j = 0,8 4,89 4,81 4,85 4,64 4,86 4,73 4,09 4,33
P i,j = 1,0 4,82 4,82 4,62 4,58 4,82 4,82 4,19 4, 29
D'après les résultats ~btenus pour ces degrés d'endommagement, on constate que lorsque la
fiabilité du pont est évaluée avec le système 2, elle est plus influencée par un
endommagement réparti sur plusieurs poutres (scénarios 6 et 7) que par un
endommagement localisé à la section critique d'une poutre quelconque (scénarios 3 à 5).
6.3.4. INFLUENCE DE LA CONFIGURATION DU SYSTÈME CHOISI
L'étude des résulta~s obtenus pour les différents systèmes démontre que la configuration du .
système choisi, laquelle reflète l'importance accordée à la défaillance des poutres, influence
fortement l'indice de fiabilité du pont.
Tout d'abord, en se référant aux résultats obtenus avec le système 2 aux scénarios 3 à 5
(Tableau 6.4), on observe que ce n'est pas nécessairement l'endommagement du segment
critique de la poutre à l'indice de fiabilité le plus faible (poutre C, cas sans
endommagement), qui engendre l'indice de fiabilité du système le plus faible. En effet,
l'indice de fiabilité le plus faible est causé par l'endommagement de la poutre B (scénario
4) et non de la poutre C (scénario 5). Ceci s'explique par le fait que pour cette configuration
de système, pour laquelle les poutres sont en parallèle deux à deux, ce sont les composantes
aux indices de fiabilité les plus élevés qui conditionnent la fiabilité du système. En effet,
dans un système parallèle, l'indice de fiabilité sera toujours égal ou supérieur à l'indice le
plus élevé de ses composantes, quels que soient les coefficients de corrélation entre celles
ci (équation (2.48)). C'est pourquoi, dans le cas sans endommagement, les indices de
100
fiabilité des sous-systèmes composés des poutres A et B en parallèle et des poutres B et C
(Figure 5.9) sont supérieurs ou égal à 4,82, soit l'indice de la poutre B. Cependant, lorsque
le segment critique de cette poutre est endommagé (scénario 4), sa fiabilité diminue et la
valeur minimale possible des indices de fiabilité des sous-systèmes A-B et B-C devient
alors inférieure à 4,82, ce qui occasionne un indice de fiabilité du système global plus
faible. Les indices de fiabilité du système 2 montrés en gras au tableau suivant, extraits du
Tableau 6.4, illustrent ce résultat.
(Extrait des Tableaux 6.4 et 6.5) "
Indices de fia hil ité J3 Aucun
Scénario 4 Scénario 8 Scénario 9 endom.
Cas 0 6B_IV 6B_2V 6B-,-3V A_l MIV A_3M3V B_IMIV B_3M3V
Système 2
p i,j =0 6,78 6,69 6,31 5,85 6 ,77 6,09 6,71 5,93
P i,j =0,5 5,46 5,39 5,12 4,83 5 ,45 5,08 5,40 4,87
P i,j = 0,8 4,92 4,85 4,64 4,50 4 ,91 4,75 4,86 4,51
P i,j = 1,0 4,82 4,62 4,58 4,58 4 ,82 4,81 4,65 4,57
Selon ce tableau, on constate le même résultat avec les scénariC?s 8 et 9 (extraits du Tableau
6.6), pour lesquels la poutre A et la poutre B respectivement sont endommagées sur toute
leur longueur. Dans ce cas, c'est également l'endommagement de la poutre B qui
occasionne la fiabilité du système 2 la plus faible (scénario 9). Ces exemples démontrent
que ce n'est pas nécessairement l'endommagement de la poutre dont l'indice de fiabilité est
le plus faible qui influence le plus la fiabilité du pont, mais bien dans ces cas-ci
l'endommagement de la poutre dont l'indice de fiabilité est le plus élevé.
En revanche, il en est tout autrement lorsque la fiabilité du pont est calculée avec le
système 3, pour lequel les deux poutres de rive sont en série (Figure 5.10). Dans ce cas, ce
sont ces dernières qui ont la plus grande influence sur l'indice de fiabilité du pont. En effet,
les indices de fiabilité du système 3 des scénarios 3 à 5, présentés à nouveau au tableau
suivant, montrent que lorsque le segment critique de la poutre de rive A est endommagé
(scénario 3), ce qui réduit l'indice de fiabilité de cette poutre, la fiabilité du système
--- --1 101
diminue. Par ailleurs, lorsqu'il Y a un endommagement du segment critique des poutres
intérieures B et C (scénarios 4 et 5), cela affecte très peu la fiabilité du système 3. Par
conséquent, il est important de s'assurer qu'un tel système est représentatif du
comportement du pont étudié avant de le préférer au système 2.
(Extrait du Tableau 6.4)
Indices de fiabilité ~
Aucun Scénario 3 Scénario 4 Scénario 5 endom.
Cas 0 6A_IV 6A_2V 6A_3V 6B_IV 6B_2V 6B_3V 6C_IV 6C_2V 6C_3V
Système 3
p .. ° I,J 4,48 4,35 3,79 3,03 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48
P i ,j = 0,5 4,48 4,35 3,79 3,03 4,48 4,48 4,46 4,48 4,48 4,46
P i ,j = 0,8 4,49 4,36 3,79 3,03 4,48 4,45 4,41 4,48 4,46 4,44
P i,j = 1,0 4,63 4,42 3,79 3,03 4,62 4,58 4,58 4,63 4,63 4,63
À cet égard, les scénarios 8 et 9 ont été étudiés dans le but de déterminer si
l'endommagement d'une poutre de rive du pont à l'étude affecte plus sa fiabilité que celui
d'une poutre intérieure, car la poutre de rive n'a qu'une seule poutre adjacente pour
redistribuer les charges qu'elle est moins apte à supporter lorsque endommagée. Si cette
hypothèse s'avérait vrai, c'est-à-dire que l'endommagement d'une poutre de rive affecte
davantage la fiabilité ~u pont, le système 3 serait plus adéquat pour décrire son
comportement, puisque les poutres de rive sont en série dans le système. Dans ces deux
scénarios, tous les segments d'une poutre sont endommagés (soient la poutre de rive A
(scénario 8) et la poutre intérieure B (scénario 9)), tant en ce qui concerne leur résistance à
la flexion et à l'effort tranchant. En comparant les di vers indices de fiabilité des poutres
obtenus pour ces deux scénarios avec ceux du pont non endommagé, présentés au Tableau
6.6, on constate que la diminution de la fiabilité des poutres A et B causée par ces scénarios
d'endommagement est similaire. De plus, l'indice de fiabilité en flexion de la poutre C
diminue au cas A_3M3V, quoique légèrement, ce qui indique que les charges se
redistribuent jusqu'à celle-ci lorsque la poutre A est endommagée. Donc, d'après les
résultats du Tableau 6.6, il semble que le système 3 ne soit pas approprié pour évaluer la
fiabilité du pont à l'étude puisque l'endommagement d'une poutre de rive affecte sa
102
fiabilité de façon similaire à l'endommagement d'une poutre intérieure. La configuration du
système 3 ne représente donc pas adéquatement le comportement de la structure.
Enfin, il est nécessaire de souligner l'importance de l'état de la dalle dans le choix du
système. À titre d'exemple, considérons le cas d'endommagement A_3M3V du Tableau
6.6, pour lequel la poutre de rive est complètement endommagée. Si la dalle était
endommagée entre les poutres A-B et/ou B-C, et plus particulièrement loin des
diaphragmes, la fiabilité de la poutre A diminuerait probablement davantage car les charges
se redistribueraient plus difficilement jusqu'à la poutre C. Dans ce cas, le système 3
pourrait peut-être s'avérer plus approprié que le système 2. De même, dans le cas d ' une
dalle endommagée considérablement sur toute la surface du tablier, le système 1 pourrait
s'avérer plus réaliste (Figure 5.8), car seuls les diaphragmes assureraient le transfert des
charges entre les poutres. La redondance structurale serait alors beaucoup moins importante
que lorsque la dalle est saine et par conséquent, la défaillance d'une poutre pourrait
entraîner la défaillance du pont.
6.4. ,COMPARAISON AVEC L'INDICE DE FIABILITÉ CIBLE CSA/CAN-S6-00
Tel qu'expliqué à la section 1.1, lors de l'évaluation de la capacité portante d'un pont selon
le Code CAN/CSA-S6-00 [CS A, 2000a], un indice de fiabilité P cible est établi pour chacun
des éléments structuraux évalués, selon les critères de comportement du système, de
comportement de l'élément et de niveau d'inspection. Dans cette section, conformément à
l'article 14.11 du Code, deux indices de fiabilité cibles pour les poutres du pont à l'étude
sont déterminés, le premier pour la flexion et le second pour l'effort tranchant. Par la suite,
les indices de fiabilité de la structure présentés aux sections précédentes sont analysés en
relation avec ces indices de fiabilité cible.
Tout d'abord, le critère de comportement du système correspond à la catégorie S2, pour les
deux modes de défaillance étudiés, car la défaillance d'une poutre n'entraînerait
probablement pas l'effondrement complet du tablier .. Ensuite, le comportement de l'élément
en flexion correspond à la catégorie E3, car les poutres étant sous-armées, elles subiraient
103
une défaillance progressive. Quant à l'effort tranchant, ce critère est classé dans la catégorie
E2 puisque les poutres possèdent au moins la quantité d'armature minimale exigée à
l'article 8.9.2.3 [CSA, 2000a]. Par conséquent, elles subiraient une défaillance soudaine
tout en conservant une certaine résistance. Enfin, on suppose un niveau d ' inspection
INSP3, lequel est recommandé pour l'évaluation des structures sous la responsabilité du
ministère des Transports [MTQ, 2005].
Compte tenu des informations précédentes, le Tableau 14.11a du Code CAN/CSA-S6-00
[CS A, 2000a] fixe les indices de fiabilité cibles suivants:
- Flexion, catégories S2-E3-INSP3 : p = 2,75
- Effort tranchant, catégories S2-E2-INSP3 : B = 3,00
En examinant les indices de fiabilité du pont à l'étude présentés aux Tableaux 6.3 à 6.6, on
constate facilement que les indices de fiabilité des poutres en flexion sont tous supérieurs à
l'indice cible de 2,75 et que ceux associés à l'effort tranchant sont tous supérieurs à l ' indice
cible de 3,00 à l'exception du scénario 5, cas 6C_3V, pour lequel la poutre C a un indice de
2,95 (Tableau 6.4). Hormis ce cas d'endommagement, la fiabilité des poutres de tous les
. scénarios considérés dans cette étude serait jugée acceptable selon le Code CAN/C5.A -S6-00
[CSA, 2000a]. Par ailleurs, quoique l'indice de fiabilité de la poutre C au cas
d'endommagement 6C_3V soit inférieur à l'indice de fiabilité cible, les indices obtenus aux
systèmes 2 et 3 sont de loin supérieurs. Cela démontre que dans certains cas, une évaluation
de la fiabilité des éléments structuraux individuels plutôt que de la fiabilité du système peut
s'avérer trop sévère. En effet, en comparant les indices de fiabilité du pont non endommagé
avec ceux obtenus au cas d'endommagement 6C~3V, on constate que la fiabilité d'une
structure possédant un élément à l'indice de fiabilité jugé . trop faible pourrait être affectée
que légèrement par celui-ci et ainsi conserver un niveau de fiabilité acceptable.
6.5. SENSIBILITÉ DES VARIABLES
Étant donné que les données statistiques utilisées dans une étude de fiabilité proviennent
d'essais, de l'expérience et parfois même d'hypothèses lorsque inexistantes, les résultats
104
obtenus sont d'autant plus précis que l'information concernant les variables est précise. En
"effet, pour certaines variables aléatoires, un léger changement de leurs paramètres
statistiques peut modifier grandement l'indice de fiabilité ~ calculé.
Tel que mentionné à la section 2.2, les cosinus directeurs Uï associés à chacune des
variables aléatoires, obtenus lors du calcul de la fiabilité d'une composante avec FORM,
sont une mesure de leur importance par rapport à l'indice de fiabilité. Ainsi, ces cosinus
directeurs permettent d'effectuer une étude de sensibilité préliminaire des variables dans le
but d'identifier lesquelles sont les plus influentes et, par le fait même, sur lesquelles il serait ·
important d'effectuer des études plus approfondies. La sensibilité de la moyenne sens).u et
de l'écart-type sensm d'une variable aléatoire Xi contenue dans une fonction d'état limite
sont respectivement [Estes, 1997] :
sensJ.Li = ai
sens. = _Aa~ (JI t-' 1
(6.1)
(6.2)
Dans ce mémoire, une analyse de sensibilité ·est effectuée pour les variables (Tableau 3.1)
contenues dans les fonctions d'états limites associées à la flexion et à l'effort tranchant,
gl(X) et g2(X) respectivement (équations (3.11) et (3.13)), pour les segments 1 et 7b de la
poutre A dans le cas du pont non endommagé. Les autres segments et poutres n'ont pas été
étudiés, car les cosinus directeurs des fonctions gl (X) ou g2(X) associés à une même ·
variable aléatoire ont des valeurs très rapprochées, en plus d'être comparables entre deux
poutres. TI a aussi été vérifié que les cosinus directeurs obtenus pour le pont non
endommagé et ceux pour un endommagement sévère de toutes les poutres (scénario 7, .cas
7 _3M2V _ABCDE) sont du même ordre de grandeur. Les cosinus directeurs obtenus avec
le programme LRT, lors du calcul des indices de fiabilité associés aux modes de défaillance
des segments des poutres A à E, pour les cas non endommagé et 7 _3M2V _ABCDE, sont
présentés à l'Annexe H et à l'Annexe 1 respectivement. TI est à noter que les cosinus
directeurs associés aux variables beff et hf sont nuls, puisque la première est considérée
déterministe dans cette étude et que la seconde est absente des équations (3.11) et (3.13).
105
Les résultats obtenus de l'analyse de sensibilité des variables des fonctions gl (X) et g2(X),
en respect à la moyenne et à l'écart-type (équations (6.1) et (6.2)), sont illustrés aux Figures
6.2 à 6.5 pour les segments 1 et 7b de la poutre A. Les valeurs numériques correspondantes
sont présentées à l'Annexe J. Concernant la fonction d'état limite gl(X) correspondant à la
flexion (équation (3.11)), les résultats montrent que les paramètres les plus sensibles sont la
moyenne et l'écart-type des variables fy, As et "(mf, autant pour le segment 1 à l ' appui que
pour le segment 7b au centre. La sensibilité des paramètres des variables liées aux efforts
(MDI, MD2, MD3, ML, ç, lM), n'est toutefois pas négligeable quoique de moindre
importance, contrairement aux variables r c et ds dont les valeursde sensibilité sont près de
zéro. Quant à la fonction d'état limite g2(X) correspondant à l'effort tranchant (équation
(3.13)), on constate aux Figures 6.4 et 6.5 que les paramètres des variables fy, f' c et "(mv sont
les plus sensibles. Toutefois, il appert que la sensibilité de certaines variables liées aux
efforts (V Dl, V D2 et V D3,) est très faible pour ce mode de défaillance, de même celle des
variables As, AvIs, ds et bv • En outre, quoique la sensibilité des variables V L, ç, Iv en respect
à la moyenne et à l'écart-type soit faible au segment 1, les valeurs obtenues pour le segment
7b semblent plus considérables.
En somme, les variables les plus sensibles des fonctions d'états limites gl (X) et g2(X)
(équations (3.11) et (3.13)), servant au calcul des indices de fiabilité associés à la flexion e~
à l'effort tranchant des segments de poutres du pont étudié, sont celles décrivant la
résistance des matériaux (fy et r c) et celles permettant de prendre en compte l'incertitude
des modèles de flexion et d'effort-tranchant dans le béton ("(rof et "(mv). Ces résultats ont
d'ailleurs été confirmés par d'autres chercheurs [Estes, 1997; Lu et al., 1994; N owak,
2004] . Non pas que seules ces variables soient importantes dans le calcul des indices de
fiabilité concernés, mais étant donné la plus grande influence qu'elles peuvent avoir sur les
valeurs des indices obtenus, il serait important d'orienter la recherche d'information sur ,les
variables aléatoires avant tout sur celles-ci.
1,0 -
0,5
0,0
-0,5
-1 ,0
-1 ,5 Q)
~ -2,0 ~
~ -2,5 ~
'Q) ~
:9 -3,0 ~
.~ -3,5 Q)
rJ:J -4,0
-4,5
-5,0
-5,5
-6,0
-6,5
fy f c As d "( mf MD I M0 2 M 03 M L
Variable aléatoire
• Moyenne
Écart-type
106
Figure 6.2 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - gl (X), segment 1, poutre A.
1,0
0,5
0,0
-0,5 Q)
~ -1 ,0 ~
"'E -1 ,5 'Q) ~ := -2,0 :oS = -2,5 QJ
rJ:J -3 ,0
-3,5
-4,0
-4,5
fy f c As ds "(mf MDI MD 2 MD3 ML
Variable aléatoire
• Moyenne
o Écart-type
Figure 6.3 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - g](X), segment 7b, poutre AI
107
fc A A vis ds bv "{mv VOl V0 2 V03 VL ç Iv 1,0
0,5
0,0 1 • • U
[] lOI -- -- -- -- ... ... -0,5
-1 ,0
-1 ,5 Q)
.=: -2,0 ~
~
~ -2,5 .... 'Q) ~
-3,0 :.= ;ë
t;I:J -3 ,5 ~ Q)
rJl -4,0
-4,5
-5,0
-5 ,5 • Moyenne
-6,0 o Écart-type
-6,5
Variable aléatoire
Figure 6.4 : Sensibilité des variables en respect à la moyenne et à l'écart-type - g2(X), segment 1, poutre A.
Q)
.=: ~
~
~ .... 'Q) ~
:.= ;ë
t;I:J
= Q)
rJl
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1 ,5
-2,0 -
-2,5
-3,0
-3,5
-4,0
-4,5
fy f c As A vis ds bv "{rnv Vo 1 V0 2 V03 VL ç Iv
Variable alé atoire
• Moyenne
D ' Écart -t Y P e
Figure 6.5 : Sensibilité des variable's en respect à la moyenne et à l'écart-type - g2(X), segment 7b, poutre A.
CHAPITRE 7
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES DE RECHERCHE
7.1. CONCLUSIONS
L'objectif principal de cette recherche consistait en une 'première approche afin d'analyser
. l'influence de l'endommagement sur la fiabilité d'un pont existant en béton armé. Le
programme LRT a d'abord été développé dans le but d'évaluer la fiabilité de structures en
considérant le comportement du système. Des fonctions d'états limites conformes au Code
CAN/CSA-S6-00 [CSA, 2000a; CSA, 2000b] décrivant les deux modes de défaillance
étudiés, la défaillance en flexion et à l'effort tranchant pour des poutres en béton armé, y
ont été intégrées pour évaluer la fiabilité de tabliers de ponts.
En plus de démontrer l'importance de considérer le comportement global de la structure
lors de l'évaluation structurale d'un ouvrage, en particulier lorsqu'il y a redondance, les
résultats présentés au chapitre 6 démontrent pour le pont étudié, ce n'est pas tant l'intensité
de l'endommagement qui influence sa fiabilité, mais surtout le mode de défaillance
dominant, les segments critiques et le nombre de poutres endommagées. De plus, le choix
du système et de la corrélation entre les composantes est aussi d'une grande importance, car
ces deux paramètres influencent grandement l'indice de fiabilité obtenu.
D'autre part, l'analyse des résultats démontre que la méthode d'évaluation présentée dans
ce mémoire, basée sur la théorie de la fiabilité, est plus précise que celle proposée par les
normes qui ne permettent pas de considérer totalement le comportement du système, tel le
Code canadien CAN/CSA-S6-00 [CSA, 2000a]. Évaluer la fiabilité du système permet
109
notamment de déterminer dans quelle mesure l'endommagement d'un élément structural
diminue la fiabilité de la structure. En effet, quoique l'endommagement d'un élément
structural diminue sa résistance, il est possible que cela n'affecte pas la fiabilité de la
structure de façon sensible lorsque celle-ci est redondante. Ceci permet donc d'allouer les
ressources de façon plus adéquate aux ouvrages dont la réfection est prioritaire. En outre,
la méthode d'évaluation présentée dans ce mémoire permet de mettre à jour facilement
l'indice de fiabilité d'une structure, à la suite d'une inspection par exemple.
Enfin, l'analyse de sensibilité des variables effectuée montre que les variables les plus
sensibles des fonctions d'états limites utilisées cette étude sont celles décrivant la résistance
du béton . et de l'acier des armatures (fy et f' c), ainsi que les variables repr~sentant
l'incertitude des modèles de flexion et d'effort tranchant dans le béton (Ymf et Ymv).
7.2. PERSPECTIVES DE RECHERCHE
Étant donné que les résultats obtenus d'une étude de fiabilité dépendent de la précision des
paramètres statistiques des variables aléatoires, il serait recommandé d'investiguer
davantage sur les variables identifiées les plus sensibles. De plus, la sensibilité des
variables correspondant aux sollicitations dues à la charge vive n'étant pas négligeable, il
pourrait être opportun d'effectuer une étude du chargement sur un pont dont la surcharge
. routière diffère de celle sélectionnée dans ce mémoire, soit le camion CL-625 et la
surcharge de voie correspondante, charge utilisée lors de l'évaluation structurale d'un pont
routier selon le Code CAN/CSA-S6-00 [CSA, 2000a].
Ce mémoire est limité aux poutres et à l'endommagement de celles-ci, mais d'autres
éléments structuraux, modes de défaillance et types d'endommagement jugés pertinents
devraient aussi être considérés dans l'évaluation de la fiabilité d'un pont. En particulier,
l'état de la dalle devrait être incluse à l'étude de la fiabilité du tablier, du moins dans
l'analyse de la distribution des charges dans la structure, car son endommagement peut
modifier le comportement du système. En outre, les résultats présentés concernent un pont
110
de géométrie spécifique, il serait ensuite intéressant d'appliquer cette démarche à l'étude de
familles de ponts en béton armé.
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-------- ---------,1 113
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1
1
1
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ANNEXE A
CHOIX DE LA DISTRIBUTION ET DES PARAMÈTRES STATISTIQUES DES
VARIABLES - RÉFÉRENCES
116
Paramètres
Variable Distribution Jl cr a CV Référence
Akgül (2002), Enright (1998), Micic
fy lognormale et al. (1995), Nowak et al. (1994), Piliszek (1993), Thoft-Christensen (1998a) Ellingwood et al. (1980), Enright
1,1 25 0,12 (1998), MacGregor et al. (1983), Nowak et al. (1994), Tabsh e t Nowak (1991) Ellingwood et al. (1980), Estes (1997), Lin (1995), Lu et. al. (1 994),
f' normale MacGregor et al. (1983), Mirza et al.
c (1979), Nowak et al. (1 994), Nowak et Szerszen (2003), Val et al. (1997), Val et al. (1998) Akgül (2002), Ellingwood et al. (1980), Enright (1998), Estes (1 997),
0,92 0,18 Lu et. al. (1994), MacGregor et al. (1983), Nowak et al. (1994), Val et al. (1998) Akgül (2002), Enright (1998), Micic
As lognormale et al. (1995), Mirza et Mac Gregor (1979b), Silva (2004) Enright (1998), JCSS (2001 ), Lu et.
1,0 al. (1994), Nowak et al. (1994), Nowak et Szerszen (2003), Piliszek (1993), Silva (2004)
0,04 Lu et. al. (1994), Mirza et Mac Gregor (1979b)
Ais normale Estes (1997), Lu et. aL (1994), Piliszek (1993) Estes (1997), Lu et. al. (1994), Mirza
- - 1,0 0,04 et MacGregor (1979b), Piliszek (1993) Lu et. al. (1994), Mirza et
rls normale MacGregor (1979b), Nowak et al. (1994), Silva (2004), Val et al. (1997), Val et al. (1998)
valeurnom 12,70mm Mirza et MacGregor (1979b) -4,76mm
Ellingwood et al. (1980), Lu et. al. bw, bv normale (1994), MacGregor et al. (1983), Val
et al. (1997)
valeurnom Ellingwood et al. (1980), MacGregor
4,76mm et al. (1983), Mirza et MacGregor +2,38mm (1979b)
berr déterministe Akgül (2002), Silva (2004)
117 .
Paramètres
Variable Distribution Il (J Ô CV Référence "
Ellingwood et al. (1 980), Lu et. al. (1994), Mac Gregor et al. (1 983),
hr normale Mirza et Mac Gregor (1 979b), Nowak et al. (1994), Thoft -Christensen (1998a) Ellingwood et al. (1980), MacGregor
I l,91mm et al. (1983), Mirza et Mac Gregor (1979b)
1,0 Lu et. al. (1994), Nowak et al. (1994), Tabsh et Nowak (1 991)
"(mf normale Lu et. al. (1994), Mac Gregor et al. (1983), Vu et Stewart (2000)
1,01 0,046 MacGregor et al. (1983), Vu et Stewart (2000) Lu et. al. (1994), MacGregor et al.
'Ymv normale (1983), Mirza et MacGregor. (1 979a), Thoft-Christensen (1998a), Vu et Stewart (2000)
1,075 0,10 Nowak et al. (1994), Nowak et Szerszen (2003)
D3 CSA (2000b), Estes (1997), Nowak
(Mo3 et normale (1994), Nowak et Zhou (1990), Silva (2004), Val et al. (1998), Vu et
V03) Stewart (2000)
1 Akgül (2002), csA (2000b), Estes valeurnom (1997), Nowak (1994), Nowak (90 mm) (2004), Tabsh et Nowak (1991), Val
et al. (1998), Vu et Stewart (2000)
Akgül (2002), Estes (1997), Nowak
0,25 (2004), Nowak et Zhou (1990), Silva (2004), Val et al. (1998), Vu et Stewart (2000)
Dl CSA (2000b), Nowak (1994), (MDI et normale Nowak et Zhou (1990), Piliszek VOl) (1993), Val et al. (1998)
CSA (2000b), Nowak (1994), 1,03 0,08 Nowak (2004), Tabsh et Nowak
(1991), Val et al. (1998)
D2 CSA (2000b), Enright (1998),
(Mo2 et normale Nowak (1994), Nowak et Zhou (1990), Piliszek (1993), Sil va (2004),
V02) Val et al. (1998)
CSA (2000b), Enright (1998), Nowak (2004), Nowak et Zhou
1,05 0,10 (1990), Tabsh et Nowak (1991 ), Nowak (1994), Silva (2004), Val et al. (1998)
118
Paramètres
Variable Distribution Il a Ô CV Référence
Estes (1997), Enright (1998), Lin
ML et VL normale (1995), Micic et al. (1 995), Piliszek (1993), Val et al. (1998), Vu et Stewart (2000)
1,35 ou 0,035 ou CSA (2000b)
1,389 0,0417
ç lognormale Akgül (2002), Nowak (2004)
0,98 0,07 CSA (2000b)
Estes (1997), Silva (2004), l M et IL normale Thoft-Christensen (1 998a), Vu et
Stewart (2000) 0,60
normale (l voie CSA (2000b) chargée)
0,40 normale (2 voies CSA (2000b)
chargées)
. normale 0,80 CSA (2000b), Tabsh et Nowak (1991)
ANNEXEB
MATRICE DE CORRÉLATION ENTRE LES VARIABLES
~---------------- ~ -------------------------------------------
120
Cette matrice de corrélation entre les 21 variables des fonctions d'états limites de cette
étude montre les uniques variables ds et hf qui sont corrélées (P5,8 = 1).
fy f c As A j s d, beff ~:' hf Ymf Ymv M DI M D2 M D3 V DI V D2 V D3 M L V L ç lM Iv
Xl X 2 X 3 X 4 X s X 6 X 7 X s X 9 X lO X ll X 12 X i3 X l4 X IS X l6 X l7 X ISXl9X20X21
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ol X l fy
o 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X2 f c
o 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X3 As
000 1 0 0 0 000 0 0 000 0 0 0 0 0
o 0 0 0 1 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
o 0 0 001 0 000 0 0 0 0 0 000 0 0
o 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0 0
o 0 0 000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
o 0 0 0 0 0 0 0 1 000 0 0 0 000 0 0
o 0 000 0 0 001 0 0 000 000 0 0
p= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0000000 000 0 1 000 0 0 0 0 0 0
000000000 0 001 0 0 0 0 0 0 0 0
00000 0 0 0 0 0 000 1 000 000
o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 · 0 0 1 0 0 0 0 0
o 0 0 0 0 0 0 0 O. 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
00000 0 0 000 0 0 0 000 1 000
o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1- 0 0
00000 0 0 000 0 0 0 0 0 000 1 0
o 0 000 0 0 000 0 0 0 0 0 0 000 1
o 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1~
X4 Ais
Xs ds
X6 beff
X7 bw,bv
Xs .hf
X9 'Yrnf
XlO 'Yrnv
Xll MDI
X12 M0 2
X13 M 0 3
X l4 V Ol
X IS V0 2
X16 V0 3
X17 M L
X1S VL
X19 ç X20 lM
X21 Iv
ANNEXEe
FONCTIONS DU PROGRAMME LRT
Contenu.m
%%% Calcul de l'indice de fiabilité d'une structure en tant que système %%%
%%% - Fonctions contenues dans le programme LRT - %%%
% Définition des paramètres d'entrée
% - variables de base
%
Une ou plusieurs fonctions, nommées par
l'utilisateur.
% * Créer une fonction pour chaque élément de la structure et chacune des
% sections critiques et ce, pour chaque cas d'endommagement (ou
% lorsqu'une variable change) .
% - exemple_variable.s.m (exemple d'une fonction)
% * ~nclut la transformée de Nataf.
% - tNataf.m : Calcul de la matrice des corrélations fictives [Ajouts
% fait à cette fonction provenant du NewFiabTbx (R.Silva
% LCPC - version 2002)]
% - Fonctions d'états limites: Équations d'après la norme canadienne
% - gl flexR.m Flexion - poutre se comportant comme une section
% rectangulaire
% - gl_flexT.m : Flexion - poutre se comportant comme une section en T
% - g2_efftr_i.m Effort tranchant - section avec la quantité minimale
% d'armature requise ou plus, se comportant comme une
% section rectangulaire
% - g2 efftr_i_T.m Effort tranchant - section avec la quantité
%
%
minimaled'armature requise ou plus, se comportant
comme une section en T
% g2_efftr_ii.m Effort tranchant - section avec moins de la quantité
% minimale requise, se comportant comme une
% section rectanguiaire
% - g2_efftr_ii_T.m Effort tranchant - section avec moins de la
%
%
quantité min~male requise, se comportant comme une
section en T
% - Système: Une ou plusieurs fonctions, nommées par l'utilisateur.
% * Créer une fonction pour chacun des systèmes à calculer, si les
% fonctions d'états limites ou variables des systèmes diffèrent.
% - exemple syst. m : (exemple d'une fonction) ,
% - Corrélation: Une ou plusieurs fonctions, nommées par l'utilisateur.
% * Créer une fonction pour chacune des configurations de système à
% calculer.
% - exemple_Rho.m (exemple d'une fonction)
122
% Calcul de l'indice de fiabilité d'une composante
% - FORM.m
% - rackwitz.m
% - rosenblatt.m
% - weibk . m
% - grad.m
%
% FORM . m
%
%
%
Fonction de calcul de l'indice de fiabilité d'une composante
avec FORM (First Order Reliability Method). Avec l'algorithme de
Rachwitz-Fiessler. [Fonction basée s u r les fonctions du
NewFiabTbx (C. Cremona - LCPC - 2002-2004)]
% rackwi t z.m : Algorithme de Rachwitz-Fiessler. Recherche du point de
% fonctionnement beta et du vecteur alpha orthogonal à l a
% surface en ce point et dirige vers la zone de défaillance.
% Les variables de base sont supposées indépendantes .
% [Fonction basée sur les fonctions basée sur les fonctions du
% NewFiabTbx (H . Sempere, C. Cremona, R. Silva - LCPC -
% 1997-2004)]
% rosenblatt.m Transformation des lois marginales des variables de base
%
%
%
% weibk.m
%
% grad.m
%
%
en variables normales centrées réduites. (H. Sempere, C.
Cremona,
S. Mohammadkhani - LCPC - 1997-2006)]
Fonction interne de la transformée de Rosenblatt marginale
inverse [Fonction provenant du NewFiabTbx - LCPC]
Calcul du gradient de la fonction au point x. [Fonction
provenant du NewFiabTbx (H. Sempere & C. Cremona - LCPC - 1997 -
2002) ]
% Calcul de l'indice de fiabilité d'un système
% Fonction d'appel
%
% - fiab structure.m
%
% fiab structure.m
%
%
%
Fonction de calcul de l'indice de fiabilité d'une
structure en tant que système. La corrélation entre
le~ poutres ou autres éléments structuraux est
déterminée par l'utilisateur. (Seulement la
123
%
%
%
corrélation entre les fonctions d'états limites d'une
même poutre est calculée à partir des cosinus
directeurs (alpha).)
% Fiabilité d'une composante (équation d'état limite g)
%
% - fiab_g.m
% - FORM.m - [rackwitz.m[rosenblatt.m,grad.m]]
%
%
%
%
Probabilité de défaillance et indice de fiabilité des
équations d'états limites des éléments de la structure (avec
FORM) .
% Fiabi lité des éléments de la structure (série)
%
% - rho_g_elemstr . m
% - fiab elemstr.m
% - b ditlevsen.m
% tri.m
% - bvnl.m
% - b ditlevsen.m - [tri.m,bvnl.m]
%
% rho_g_elemstr.m Construction de la matrice de corrélation entre les
% fonctions d'états limites des éléments de · la structure.
% fiab elemstr.m Probabilité de défaillance et indice de fiabilité des
%
%
éléments de la structure. (sous-systèmes en série -
moyenne des deux bornes de Ditlevsen)
% b ditlevsen.m Probabilité de défaillance d'un système en série,
considérée ici comme étant la moyenne des bornes de
Ditlevsen inférieures et supérieures puisqu'elles sont
très rapprochées. (d'après la thèse ~e Estes (1997) -
voir p.124 et 125 pour équations)
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
tri.m
bvnl.m
Tri par ordre croissant du vecteur des indices. [Fonction
provenant du NewFiabTbx (LCPC)]
Calcul de la fonction de répartition de la loi binormale.
Prob(X1<x1,X2<x2); X1,X2 = N(O;l)
[Fonction interne de la fonction tvnl . m, provènant du site
http://www.math.wsu.edu/faculty/genz/software/matlab/tvnl.m
(Alan Genz, Department of Mathematics, Washington State
University) - dernières modifications 07/1998]
Calcul des alpha équivalents des systèmes en série
(éléments structuraux) .
~.~. 1
124
%
% Fiabilité des sous-systèmes (parallèles)
%
% - struct ss.m
% - rho_ss_par.m
% - fiab ss.m
% - bvnl.m
% - tvnl.m
% - multin.m
% - b ditlevsen.m - [tri.m~bvnl.m]
%
% struct ss.m Création de la structure ss définissant les sous-
% systèmes (utilisée seulement avec la fonction
% fiab_structure) .
% rho_ss_par.m Construction de la matrice de corrélation entre les
% composantes de chaque sous-système
% fiab ss.m Probabilité de défaillance et indice de fiabilité des
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
tvnl.m
multin.m
sous-systèmes. (sous-systèmes en parallèle - en résolvant
l'intégrale de la distribution conjointe standardisée à
n-dimensions)
Calcul de la fonction de répartition de la loi trinormale.
Prob(Xl<xl,X2<x2,X3<x3); Xl,X2,X3 = N(O,l)
[Fonction provenant du site http://www.math.wsu.edu/faculty/genz
/software/matlab/tvnl.m (Alan Genz, Department of Mathematics,
Washington State University) - dernières modifications 07/1998]
Calcul de la fonction de répartition de la loi multinormale
(approximation peu précise - attention!).
* Pour z > 3 seulement *
Prob(Xl<xl~ ... ,Xz<xz), Xl, ... ,Xz N(O,l)
% Fiabilité de la structure (série)
%
% - b ditlevsen.m - [tri.m,bvnl.rn]
%
% fiab_sys_final.m : Probabilité de défaillance et de indice de fiabilité du
%
%
système. (système en série - moyenne des deux bornes de
Ditlevsen)
125
ANNEXED
CONFIGURATION DU GRILLAGE
127
Cette figure montre la géométrie du modèle çle grillage représentant le pont étudié ainsi que
la numérotation des membrures décrites aux Tableaux 5.1 à 5.3.
1 5240
1 2954
1 3716
1 2192
09652 04064
1 1430
1,8288
24384
A B c D E - diaphragme
1 d~extrémité
2 d1
3
4 d2
5 diaphragme
6 intermédiaire
7a d3
7b
d4
7c diaphragme
du centre
Je 2,667 J 2 667 + 2 667 J 2 667 ;}
... L -/
63754
7 k
5 8166
le sym.
....
[m]
ANNEXEE
SCÉNARIOS DES CHARGES MOBILES
129
La
est
nomenclature des mobiles utilisés comme charge vive dans l'analyse des efforts internes
montrée au tableau ci-dessous. Il est à noter que dans leur numéro, «x 1c » correspond
voie chargée et «x2c» à 2 · voies chargées. Aux pages suivantes, la position des
biles et le facteur de modification des charges correspondant sont présentés pour tous les
narios de charges mobiles considérés dans l'analyse.
une
mo
scé
No menclature des mobiles
Numéro 02 5_4xlc .. . 02 5_4x2c .. . 03
03 03 03 03 03 04 04
O_lxlc ...
0_lx2c •.. 0_5xlc .. . 0_5x2c .. . 0_2xlc .. . 0_2x2c .. . 0_3xlc .. . 0_3x2c .. .
Mobilè
[3D]-CLl-625-25
[3D]-CL123-625-30a
[3D]-CiJ -625-30b
[3D]-CL12-625-30c
[3D]-CL12-625-40
1 Numéros des essieux a li ués
0.25 1,2,3,4,5 / 1,2,3,4 / 2,3,4,5 /2,3,4 / 3,4,5
0.30 1,2,3/ 1,2/2,3
0.30 4,5
0.30 3,4 .
0.40 4
Mobiles constituant chacun des scénarios CiviiDesign VisuatDeslgn
1 025_ 4x1c+H;S 1.00 1.5760 2 3 025_4 1c+117 1. 00 1.1610 4 5 025_4x1c+267 1.00 2.6610 6 7 025_4 1c+357 1.00 3.5610 8 9 025 _ 4x1 c+443 1.00 4.4340
10 11 025_ 4· 10-142 1.00 -1.4240 12 13 025_ 4x1 c-117 1.00 -1. 7670 14 15 025_ 4x1 c-267 1.00 -2.0010 16 17 025_ 4x1 c-357 1. 00 -3.œl0 18 1Q 025~4x1 c-443 1.00 -4.4340 20 21 025_4x2c+117 0.00 -1.4240 22 025_4x2c+117 0.00 1.1610 23 24 025_ 4x2c+267 0.00 -1.4240 25 025_ 4x2c+267 0.00 2.6610 26 27 025_ 4x2c+357 0.00 -1.0000 28 025_ 4x2c+357 0.00 3.5610 20 30 025_4x2c+443 0.00 -1.4240 31 025_4x2c+443 0.00 4.4340 32 33 025 4x2c-142 0.00 -1.4240 34 025_ 4x20-·142 0.00 1.5760
35 36 025_ 4x2c-117 0.00 -1. 7670 37 025 4x20-117 0.00 1.5760 38 30 025_ 4x2c-267 0.00 -2.0010 40 025_ 4x2c-267 0.00 1.5760 41 42 025_ 4x2c-357 0.00 -3.5670
43 025 _ 4x2c-357 0.00 1.5760
44
Scénario : Tous
130
Université lavai
Mobiles constituant chacun des scénarios CiviiDesign VisualDesign
Fa
45 0.25_ 4x2c-443 0.00 -4.4340 46 025_ 4x2c-443 0.00 1.5760 47 48 0~_1 x1 c+ 1 58 1. 00 1.5760 4Q 50 O~_1 1c+177 1. 00 1.76.10 51 52 œD_1x1c+267 1. 00 2.6670 53 54 0~_1 x1 c+357 1. 00 3.5610
55 .56 03D_1x1c+443 1. 00 4.4340 57 58 03D_11 c-142 1. 00 -1. 4240 SQ 60 0~_1 x1 e-177 1.00 -1. 7610 61 62 03D _ 1 x1 e-267 1. 00 -2.€l510 63' 64 030 _ 1 x1 e-357 1. 00 -3.5610
65 66 030_1x1 c-443 1. 00 -4. 4340 67 68 03D_1x2c+1 17 0.00 -1. 4240 6Q 03Q_1x2c+1 77 0.00 1.1610 70 71 O~ _1 x2c+267 0.00 -1.4240
72 03D_1x2c+267 0.00 2.6670
73 74 03D_1x2c+357 0.00 -1.4240
75 030_1x2c+357 0.00 3.5610
76 77 030_1x2c+443 0.00 -1. 4240 78 021.)_1 x2c+443 0.00 4.4340 7Q 80 03D_1x2e-142 0.00 -1. 4240
81 03(1 1x2e-142 0.00 1.5760
82 83 03D_1x2 117 0.00 -1. 7610
84 0&1_1x2c-117 0.00 1.5760
85 86 030 1 x2e-267 0.00 -2. 0010
87 03D 1 x2e-267 0.00 1.5760
88
Sc:éna 10 : Tous
131
Université Lava
Mobiles cons1ituant chacun des scénarios CIvil Design Vi suai Des ig n
F
Bg 030_1 )(2 , ~57 0.00 -3 . ~10
QO 03O_1x2 357 0.00 1.5760 91 Q2 030_1 x2e-443 0.00 -4. 4340 Q3 030_1· 2c-443 0.00 1.5760 Q4 Q5 030_2x1c+1 58 1. 00 1.5760 Q6 g7 030_2x1c+1 77 1. 00 1.1670 Q8 gg 03(l_2x1c+267 1. 00 2.6670 100 101 03O_2x1c+357 1. 00 3.5610 102 103 03(l_2x1c+443 1. 00 4.4340 104 105 03(l_2x1 c-142 1. 00 ( -1.4240 106 107 03(l_2x1 c-117 l oo -1. 7610 108 10g 03IJ_2x1 -267 1. 00 -2.0070 110 111 030_2x1 e-357 "1. 00 -3.e310 112 113 03O_2x1 c-443 1.00 -4.4340 114 115 03(l_2x2c+177 0.00 -1.4240 116 030_2x2c+1 77 0.00 1.1670 117 118 03()_2x2c+267 0.00 -1. 4240 110 030_2x2c+267 0.00 2.6610 120 121 030_2x2c+357 0.00 -1.4240 122 030_2x2c+357 0.00 3.5610 123 124 030 _2x2c+443 ' 0.00 -1. 4240 125 030 _2x2c+443 0.00 4.4340 126 127 030_2x2c-142 0.00 -1. 4240 128 030_2x2c-142 0.00 1.5760 120 130 030 2x2c-117 0.00 -1. 7610 131 03() 2x2c-117 0.00 1.5760
132
Scénari 0 : Tou 5
132
Un ive· l'té Laval
Mobiles constituant chacun des scénarios CivnDes gn VisualDesign
133 030 _2x2c-267 0.00 -2.0070 134 O?O _2x2c-267 0.00 1.5760 135 136 0&1_2x2e-357 0.00 -3.9310 137 O?O_2x2~57 0.00 1.5760 138 139 030_2x2c-443 0.00 -4.4340 140 O?O _2x2 -443 · 0.00 1.5760 141 142 030_5x1c+1 58 1.00 1.5760 143 144 030_5x1c+1 77 '1. 00 1.7ôlO
145 146 03O_5x1c+267 '1. 00 2.6670 147 14B 03O_5x1c+357 1.00 3.5670 149 150 O&l _ 5x1 c+443 1.00 4.4340 151 152 03O_5x1 c-142 1. 00 -1.4240 153 154 O".J.) _ 5x1 c-117 1. 00 -1. 7610 155 156 0?IJ_5x1 c-267 1. 00 -2.0070 157 158 03D_5x1 c-357 1.00 -3.5610 159 160 0&1_5x1c-443 1. 00 -4. 4340 161 162 03O_5x2c+1 17 0.00 -1.4240 163 03D_5x2c+1 77 0.00 1.7610 164 165 030_5x2c+287 0.00 -1.4240 166 030_ 5x2c+267 0.00 2.6610 167 16B 030_5x2c+357 0.00 -1. 4240
169 Q3I.l_5x2c+357 0.00 3.5610
110 111 030_ 5x2c+443 0.00 -1.4240 112 030 _5x2c+443 0.00 4.4340 113 114 030_5x2e-142 0.00 -1.4240 115 03l.l _ 5x2c-142 0.00 1.5760
116
Sc:éna °io : Tous
133
Université Lav,al
Mobiles constituant chacun des scénarios Civil De sign Vi suai Des ig n
177 03D_5x2e-177 0.00 -1. 7610 178 030_5x2e-117 0.00 1.5760 17Q 180 030_ 5x2e-267 0.00 -2.0010 181 03D _ 5x2e-267 0.00 1.5760 182 183 03IJ _ 5x2e-357 0.00 -3.5610 184 03IJ _ 5x2e-357 0.00 1.5760 185 186 030_5x2 -443 0.00 -4. 4340 187 030_ 5x2c-443 0.00 1.5760 188 18Q 040_3x1c+1 5B 1. 00 1.5760 190 191 04O_3x1c+1 77 1. 00 1.7010 192 1Q3 04O_3x1c+287 1.00 2.6670 194 195 040_3x1c+357 1. 00 3.5670 196 197 040_ 3x1 c+443 1. 00 4.4340 198 19Q 04O_3x1 e-142 1. 00 -1.4240 200 201 04O_3x1 e-177 1. 00 -1. 7610 202 203 040_3)(1 e-267 1. 00 -2.0070 204 205 04O_3x1 e-357 1. 00 -3.9370 206 207 040_ 3x1 c-443 1. 00 -4.4340 208 20Q 04O_3x2c+1 17 0.00 -1.4240 210 04O_1x2c+1 17 0.00 1.1610 211 212 040_ 3x2c+267 0.00 -1.4240 213 04O_3x2c+267 0.00 2.6670
214 215 04O_3x2c+357 0.00 -t4240 216 040_3x2c+357 0.00 3.5610
217 218 040_ 3x2c+443 0.00 -1.4240 21Q 040_3x2c+443 0.00 4.4340
220
Scenari 0 : Tou s
134
Université Lav,al
Mobiles constituant chacun des scénarios CiviiDesign VisuarOesign
221 040_ 3x2c-142 0.00 -1.4240
222 040_ 3x2e-<142 0.00 1.5760
223 224 040_3 ·2c-117 0.00 -1. 7610 225 04O_3x2 -117 0.00 1.5760 226 227 040_ 3x2c-267 0.00 -2.ES70 226 040_ 3x2c--287 0.00 1.5760 229 230 040_ 3x2c-357 0.00 -3.5670 231 040_ 3x2c-357 0.00 1.5760
232 233 040_ 3x2c-443 0.00 -4.4340
234 040_ 3x2c-443 0.00 1.5760
Scénario : Tous
135
Université Laval
ANNEXEF
INDICES DE FIABILITÉ DES SEGMENTS DE POUTRES POUR LES SCÉNARIOS
D'ENDOMMAGEMENT ÉTUDIÉS
137
Les tableaux suivants présentent les indices de fiabilité des segments de poutres, associés à
chacun des modes de défaillance, obtenus pour le pont non endommagé ainsi que pour
chacun des degrés d'endommagement des neuf scénarios étudiés.
Cas sans endommagement - Flexion
Poutre Indices de fiabilité f, des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9.,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 . 6,76 E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Cas sans endommagement - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité Ii des seKments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,53 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,53
138
Scénario 1, cas 4C_IM - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,94 6,72 B 10,16 7,88 . 7,39 7,08 . 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,81 7,57 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,40 7,28 6,91 6,45 7,48 7,23 7,49 6 ~96 6,74 D 9,82 7,58 7,08 6,75 7,41 7,19 7,50 6,98 6,76 E 9,63 7,38 6,88 6,56 7,28 7,07 7,34 6,82 6,65
Scénario 1, cas 4C_IM.- Effort tranchant '
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,69 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,17 5,19 5,64 4,57 4,76 5,05 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,59 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment Il plutôt que le segment 4 qui est
endommagé.
139
Scénario 1, cas 4C_2M - Flexion
Poutre Indices de fiabilité (3 des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,94 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,'65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,30 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,81 7,57 7,08 6,75 7,43 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,40 7,29 6,92 6,21 7,49 7,24 7,50 6,96 6,74 D 9,81 7 ,57 7,08 6,75 7,41 7,18 7,50 6,97 6,76
E 9,63 7,38 6,88 6,56 7,28 7,07 7,34 6,82 6,65
Scénario 1, cas 4C_2M - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,24 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a
A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,71 5,37 5,31 5,69 4,82 5,03 5,59 5,14 C 6,86 . 5,45 5,17 5,21 5,65 4,57 4,75 5,04 5,23 D 7,05 5,71 5,37 5,32 5,69 4,82 5,03 5,59 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie cen~ral
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment Il plutôt que le segment 4 qui est
endommagé.
140 .
Scénario 1, cas 4C_3M - Flexion
Poutre Indices de fiabilité Il des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,94 '6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7;73 7,09 6,86 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80
E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,64 7,40 6,90 6,58 7,30 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,80 7,56 7,07 6,74 7,43 7,20 7,50 6,97 6,76 C 9,42 7,31 6,94 5,71 7,51 7,25 7,51 6,97 6,75 D 9,81 7,57 7,07 6,74 7,40 . 7,18 7,50 6,97 6,76
E 9,62 7,38 6,88 6,55 7,28 7,07 7,34 6,82 6,65
Scénario 1, cas 4C_3M - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité Il des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,34 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4~91 5,09 5,35 5,24 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,34 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,27 5,24 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,04 5,71 5,36 5,31 5,69 4,83 5,03 5,59 5,15 C 6,86 5,46 5,19 5,24 5,66 4,55 4,74 5,03 5,22
D 7,05 5,71 5,36 5,31 5,69 4,83 5,03 5,60 5,15
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment Il plutôt ql:le le segment 4 qui est
endommagé.
141
j Scénario 2, cas 12_1 V _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité' des segments
1 , 2 3 4 ' 5 6 7a 7b 7c A 9,65 7,41 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,09 6,76 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,28 6,90 6,68 7,47 7,22 7,49 6,96 6,74 D '9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76
E 9,63 7,39 6,89 6,56 7,28 7,07 7,35 6,83 6,65
Scénario 2, cas 12_1 V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité b des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 6,85 5,43 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,53
B 6,92 5,53 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,71 5,24 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24
D 6,92 5,54 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,84 5,42 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,53
Scénario 2, cas 12_2V _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité Il des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c
A 9,66 7,41 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,67
B 9,83 7,59 7,09 6,76 7,45 7,22 7,51 6,98 6,76
C 9,40 7,28 6,91 6,68 7,47 7,23 7,49 6,96 6,75
D 9,83 7,59 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76
E 9,64 7,39 6,89 ' 6,56 7,28 7,07 7,35 6,83 6,65
Scénario 2, cas 12_2V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c
A 6,43 4,83 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,53
B 6,51 4,94 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
C 6,28 4,63 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24
D 6,52 4,94 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,42 4,82 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,53
142
Scénario 2, cas 12_3V _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,67 7,42 6,92 6,59 7,31 7,10 7,38 6,86 6,68 B 9,84 7,60 7,10 6,76 7,45 7,22 7,51 6,98 6,76 C 9,41 7,29 6,92 6,69 7,48 7,23 7,50 6,96 6,75 D 9,84 7,60 7,10 6,77 7,42 7,20 7,51 6,98 6,77
E 9,65 7,40 6,90 6,57 7,29 7,08 7,35 6,83 6,65
Scénario 2, cas 12_3V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 5,90 4,07 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,53 B 5,99 4,20 5,37 5,32 5,70 4 ,82 5,02 5,58 5,14
C 5,73 3,86 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24 D 5,99 4,20 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 5,89 4,06 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,53
143
Scénario 3, cas 6A_l V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c
A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,65 7,40 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76 E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 3, cas 6A_l V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A ·7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,92 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 ·C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5·,86 5,01 5,20 5,51 . 5,32 E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,42 4,81 5,09 5,55 B 7,05 . 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
144
Scénario 3, cas 6A_2V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des se·gments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 . 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 . 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,65 7,41 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76 E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 3, cas 6A_2V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité' des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,92 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32 E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 3,79 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné. que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
1
1-
145
Scénario 3, cas 6A_3V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,73 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80
E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,65 7,41 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76
E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 3, cas 6A_3V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,13 5,83 5,50 5,42 5,84 4,92 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 " 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 3,03 4,81 " 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70- 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
146
Scénario 4, cas 6B_IV - Flexion
Poutre Indices de fiabilité (3 des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 . 6,80
E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
'14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76
C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76
E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 4, cas 6B_IV - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité f des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 . 5,32
C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 , 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,62 5,02 5,58 5,14
C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24
D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dusà la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c 'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
147
Scénario 4, cas 6B_2V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité J3 des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 . 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 Sc Sb Sa A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,09 6,76 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76 E ' 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 4, cas 6B_2V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité b des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,51 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c Sb Sa A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,00 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 5,06 5,24 D ' 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
148
Scénario 4, cas 6B_3V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité J3 des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80
E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7;37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,09 6,76 7,45 7,22 7,51 6,98 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,46 7,22 7,49 6,96 6,74 fi 9,82 7,58 7,09 6,76 7,41 7,19 7,51 6,98 6,76
.E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 4, cas 6B_3V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité p des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,51 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 .5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a
A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 . 5,37 5,32 5,70 3,24 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 . 5,06 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
149
Scénario S, cas 6C_IV - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 .7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 Sc Sb Sa A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,47 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76 E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario S, cas 6C_IV - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité b des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 . 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32 E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 Sc Sb Sa A 6,98 5,62 5,28 . 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 -5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,37 4,77 5,06 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que lès efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c' est l~ segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
150
Scénario 5, cas 6C_2V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité Ji des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D 10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80
E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,28 6,90 6,68 7,47 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,41 7,19 7,51 6,98 6,76
E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 5, cas 6C_2V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité Ji des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 3,73 4,77 5,05 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70· 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 . 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étant donné que les efforts dus à la .charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c' est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
151
Scénario 5, cas 6C_3V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité Il des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,97 7,71 7,23 6,94 7,68 7,43 7,60 6,95 6,72 B 10,16 7,88 7,39 7,08 7,79 7,52 7,72 7,07 6,82 C 9,78 7,62 7,25 7,03 7,82 7,56 7,73 7,09 6,85 D .10,16 7,88 7,39 7,08 7,77 7,51 7,72 7,07 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9;64 7,40 6,91 6,58 7,31 7,09 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,28 6,91 6,68 7,47 7,23 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,41 7,19 7,50 6,98 6,76 E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,83 6,65
Scénario 5, cas 6C_3V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité Ji des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,1 2 5,83 5,50 5,42 5,84 4,91 5,09 5,35 5,53 B 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,35 5,82 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,86 5,01 5,20 5,51 5,32
E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 . 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 5,09 5,55 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 2,95 4,77 5,05 5,24
P 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
Note: Étànt donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, c'est le segment 9 plutôt que le segment 6 qui est
endommagé.
152
Scénario 6, cas 7b_lV _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité J3 des segments
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,65 7,40 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,67 B 9,82 7,58 7,08 6,75 7,44 7,21 7,50 6,97 6,76 C 9,39 7,27 6,90 6,67 7,47 7,22 7,49 6,96 6,74 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,76 E 9,63 7,38 6,89 6,5(j 7,28 7,07 7,35 6,83 6,65
Scénario 6, cas 7b_l V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité J des segments
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,81 4,90 5,53 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,40 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 . 4,77 4,87 5,24 . D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,41 5,14 E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 4,90 5,53
Scénario 6, cas 7b_2V _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,65 7,41 6,91 6,59 7,31 7,10 7,37 6,85 6,68 B 9,82 7,58 7,09 6,76 7,44 7,22 7,51 6,98 6,76 C 9,39 7,28 6,91 6,68 7,47 7,23 7,49 6,96 6,75 D 9,82 7,58 7,09 6,76 7,42 7,19 7,51 6,98 6,77
E 9,63 7,39 6,89 6,56 7,28 7,07 7,35 6,83 6,65
Scénario 6, cas 7b_2V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,63 4,82 4,33 5,53 B 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 4,86 5,14 C 6,85 5,44 5,16 5,18 5,64 4,58 4,77 4,28 5,24 D 7,05 5,72 5,38 5,32 5,70 4,82 5,02 4,86 5,14
E 6,97 5,61 5,27 5,23 5,64 4,63 4,82 4,33 5,53
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, ce sont les segments 8b plutôt que les segments 7b qui sont
endommagés.
153
Scénario 6, cas 7b_3V _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité f des segments
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a
A 9,65 7,41 . 6,91 6,59 7,32 7,10 7,38 6,86 6,68 B 9,82 7,58 7,09 6,76 7,45 7,22 7,51 6,98 6,77 C 9,39 7,28 6,91 6,68 7,47 7,23 7,50 6,97 6,75 D 9,82 7,59 7,09 6,76 7,42 7,20 7,51 6,99 6,77
E 9,63 7,39 6,89 6,57 7,29 7,08 7,35 6,84 6,66
Scénario 6, cas 7b_3V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,98 5,62 5,28 5,25 5,67 4,63 4,82 3,64 5,54
B 7,05 · 5,72 5,38 5,32 5,70 4,82 5,02 4,19 5,15 C 6,85 5,44 5,16 5,19 5,64 4,59 4,77 3,58 5,25
D 7,05 5,72 5,38 5,33 5,71 4,82 5,02 4,19 5,15
E 6,97 5,61 5,27 5,24 5,65 4,63 4,82 3,64 5,54
Note: Étant donné que les efforts dus à la charge routière sont plus élevés du côté de l'axe de symétrie central
transversal correspondant aux segments 8a à 14, ce sont les segmènts 8b plutôt que les segments 7b qui sont
endommagés.
154
Scénario 7, cas 7 _2Ml V _ABCDE - Flexion ·
Poutre Indices de fiabilité ~) des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,67 7,43 6,93 6,61 7,34 7,13 7,01 6,49 6,3 1 B 9,84 7,60 7,11 6,78 7,47 7,24 7,14 6,61 6,39 C 9,41 7,30 6,93 6,70 7,50 7,25 7,12 6,59 . 6,38 D 9,84 7,60 7,11 6,79 7,45 7,22 7,14 6,61 6,40
E 9,65 7,41 6,91 6,59 7,31 7,10 6,98 6,46 6,28
Effort tranchant - Scénario 7, cas 7 _2Ml V _ABCDE - Effort tranchant
. Poutre Indices de fiabilité Ji des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 6,99 5,63 5,29 5,27 5,68 4,65 4,65 4 ,94 5,39
B 7,06 5,73 5,39 5,34 5,72 4,84 4,86 5,44 4;99 C 6,86 5,45 5,18 5,20 5,66 4,60 4,60 4,90 5,09 D 7,06 5,73 5,39 5,34 5,72 4,84 4,86 5,44 4,99
E 6,98 5,62 5,28 5,25 5,66 4,65 4,65 4,94 5,39
Scénario 7, cas 7 _3M2V _ABCDE - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,68 7,45 6,96 6,64 7,37 7,16 6,61 6,10 .5,92
B 9,86 7,62 7,13 6,81 7,50 7,27 6,75 6,22 6,00 C 9,43 7,32 6,95 6,73 7,53 7,28 6,73 6,20 5,99 D 9,86 7,62 7,14 6,81 7,47 7,25 6,75 6,22 6,01
E 9,67 7,43 6,94 6,61 7,34 7,13 6,59 6,07 5,90
Scénario 7, cas 7 _3M2V _ABCDE - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité Il des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c
A 7,00 5,65 5,31 5,29 5,70 4,67 4,07 4,40 4,92
B 7,07 5,75 5,41 5,36 5,74 4,86 4,29 4,93 4,51
C 6,87 5,47 5,19 5,22 5,68 4,62 4,01 4,36 4,60
D 7,07 5,75 5,41 5,36 5,74 4,86 4,29 4,93 4,51
E 6,99 5,64 5,30 5,27 5,69 4,67 4,07 4,40 4,92
155 • •
Scénario 8, cas A_IMI V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,96 7,42 7,02 6,77 7,52 7,28 7,48 6,82 6,60 B 10,14 7,86 7,37 7,06 7,77 7,50 7,70 7,05 6,80 C 9,77 7,61 7,24 7,02 7,81 7,54 7,72 7,08 6,84 D 10,15 7,87 7,39 7,08 7,76 7,50 7,71 7,06 6,80 E 9,95 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,92 6,70
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,63 7,12 6,70 6,41 7,15 6,94 7,24 6,72 6,54 B 9,80 7,56 7,06 6,73 7,42 7,19 7,48 6,95 6,74 C 9,38 7,27 6,89 6,66 7,45 7,21 7,48 6,95 6,73 D 9,82 7,58 7,08 6,75 7,41 7,18 7,50 6,97 6,75 E 9,63 7,38 6,89 6,56 7,28 7,07 7,34 6,82 6,6S
Scénario 8 cas A_IMI V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité Ji des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,03 5,78 5,45 5,37 5,80 4,85 5,03 5,29 5,46 B 7,19 5,92 5,57 5,46 5,84 5,01 5,20 5,80 5,32 C 7,02 5,69 5,40 5,34 5,81 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,20 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,50 5,32 E 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,88 5,57 5,23 5,20 5,62 4,56 4,75 5,03 5,48 B 7,04 5,71 5,36 5,31 5,68 4,82 5,02 5,58 5,14 C 6,85 5,43 5,15 5,17 5,63 4,58 4,77 5,05 5,24 D 7,05 5,72 5,37 5,32 5,70 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
156
Scénario 8, cas A_3M3V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité P des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,93 6,45 6,34 6,22 7,02 6,78 7,07 6,41 6,19 B 10,09 7,81 7,31 7,00 7,70 7,44 7,64 6,99 6,74 C 9,75 7,59 7,21 6,99 7,78 7,51 7,69 7,05 6,81 D 10,14 7,86 7,37 7,06 7,75 7,49 7,70 7,05 6,78 E 9,95 7,69 7,21 6,91 7,65 7,40 7,57 6,91 6,69
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,59 6,14 6,01 5,86 6,65 6,44 6,84 6,3 1 6,14 B 9,76 7,51 7,01 6,67 7,35 7,12 7,42 6,90 6,68 C 9,36 7,24 6,87 6,63 7,42 7,18 7,44 6,91 6,70 D 9,81 7,56 7,07 6,74 7,40 7,17 7,48 6,95 6,74
E 9,63 7,38 6,88 . 6,56 7,28 7,06 7,34 6,82 6,64
Scénario 8 cas A_3M3V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité P des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 6,24 4,54 4,17 4,13 4,61 3,51 3,70 4,08 4,35 B 7,17 5,89 5,53 5,42 5,80 5,00 5,19 5,78 5,32 C 7,01 5,68 5,38 5,32 5,79 4,90 5,08 5,34 5,23 D 7,19 5,92 5,57 5,46 5,84 5,00 5,19 5,80 5,32
E 7,11 5,81 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,35 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,05 4,27 3,91 3,93 4,40 3,18 3,38 3,78 4,37 B 7,02 5,68 5,32 5,26 5,64 4,81 5,01 5,56 5,14 C 6,84 5,42 5,14 5,15 5,61 4,57 4,76 5,04 5,24 D 7,04 5,71 5,36 5,3 1 5,69 4,81 5,01 5,57 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
157
Scénario 9, cas B_IMIV - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,96 7,69 7,21 6,92 7,65 7,41 7,58 6,93 6,70 B 10,16 7,60 7,19 7,16 7,65 7,38 7,60 6,95 6,70 C 9,77 7,61 7,24 7,02 7,81 7,54 7,72 7,08 6,84 D 10,15 7,87 7,38 7,07 7,76 7,50 7,71 7,06 6,79 E 9,95 7,69 7,21 6,91 7,65 7,40 7,57 6,92 6,69
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,63 7,39 6,89 6,56 7,29 7,07 7,35 6,83 6,65 B 9,81 7,30 6,89 6,60 7,30 7,07 7,39 6,85 6,64 C 9,38 7,26 6,89 6,66 7,45 7,21 7,47 6,94 6,73 D 9,81 7,57 7,08 6,75 7,41 7,18 7,50 6,97 6,75 E 9,62 7,38 6,88 6,55 7,28 7,06 7,34 6,82 6,64
Scénario 9 cas B_IMIV - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,12 5,82 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,34 5,53 B 7,11 5,80 5,45 5,52 5,74 4,84 5,03 5,35 5,1 7 C 7,02 5,69 5,40 5,34 5,81 4,91 5,09 5,35 5,23 D 7,19 5,93 5,58 5,47 5,85 5,01 5,20 5,80 5,32
E 7,11 5,81 5,48 5,40 5,82 4,91 5,09 5,34 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55 B 6,96 5,58 5,23 5,19 5,57 4,65 4,85 5,44 4,98 C 6,84 5,43 5,15 5,17 5,63 4,58 4,77 5,05 5,24 D 7,05 5,71 5,37 5,32 5,69 4,82 5,02 5,58 5,14
E 6,97 5,61 5,26 5,23 5,64 4,63 4,81 5,09 5,55
158
Scénario 9, cas B_3M3V - Flexion
Poutre Indices de fiabilité ~ des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 9,91 7,64 7,15 6,86 7,59 7,35 7,52 6,87 6,64 B 10,16 6,66 6,55 7,42 7,19 6,92 7,23 6,57 6,33 C 9,74 7,57 7,19 6,97 7,76 7,50 7,67 7,04 6,80 D 10,13 7,85 7,36 7,04 7,73 7,47 7,68 7,03 6,76 E 9,94 7,68 7,19 6,90 7,63 7,39 7,56 6,90 6,67
14 13 12 Il 10 9 8c 8b 8a A 9,58 7,33 6,83 6,50 7,22 7,01 7,29 6,77 6,59 B 9,81 6,36 6,24 6,09 6,85 6,61 7,01 6,48 6,26 C 9,35 7,22 6,.85 6,61 7,40 7,1 6 7,43 6,90 6,69 D 9,79 7,55 7,05 6,72 7,38 7,1 5 7,47 6,94 6,72 E 9,61 7,37 6,87 . 6,54 7,26 7,05 7,32 6,80 6,62
Scénario 9 cas B_3M3V - Effort tranchant
Poutre Indices de fiabilité J des segments
1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c A 7,09 5,79 5,44 5,36 5,78 ' 4,90 5,07 5,32 5,52 B 6,36 4,69 4,31 5,68 4,68 . 3,59 3,81 4,24 4, 12 C 7,00 5,66 5,37 5,31 5,77 4,90 5,08 5,34 5,23 D 7,18 5,92 5,56 5,45 5,83 5,00 5,19 5,79 5,32
E 7,11 5,81 5,47 5,39 5,80 4,91 5,08 5,34 5,53
14 13 12 Il 10 9 8c ( 8b 8a A 6,95 5,58 5,23 5,19 5,60 4,62 4,80 5,07 5,55 B 6,17 4,42 4,06 4,05 4,49 3,39 3,62 4,35 3,91 C 6,83 5,41 5,12 5,14 5,59 4,57 4,76 5,04 5,25 D 7,04 5,70 5,35 5,30 5,67 4,81 5,01 5,57 5,14
E 6,97 5,60 5,25 5,22 5,63 4,62 4,81 5,08 5,55
ANNEXEG
SCÉNARIOS 10, 11 ET 12 : EN~OMMAGEMENT D'UN SEGMENT NON CRITIQUE
D'UNE POUTRE DIMINUANT SA RÉSISTANCE À L'EFFORT TRANCHANT
160
Le tableau et les figures ci-dessous décrivent les scénarios d'endommagement 10, Il et 12,
pour lesquels l'endommagement d'un segment non critique d'une poutre affecte sa
résistance à l'effort tranchant. Les indices de fiabilité obtenus sont présentés à la page
suivante.
Description des scénarios d'endommagement
Scénarios Cas Modes de
Segments Poutres Particularités défaillance
5A_IV Segment non critique,
10 5A~2V Effort tranchant 5 A 5A 3V
effort tranchant
5B_IV Segment non critique,
Il 5B_2V Effort tranchant 5 B 5 B.,-J V
effort tranchant
5C_IV Segment non critique,
12 5C_2V Effort tranchant 5 C 5C_3V
effort tranchant
Localisation de l'endommagement sur les poutres
ABC D E A Q c D E A B C D E r \ J or----; ---:
1 \
f
, '/1 l i: : 1
! 2 1
! 3 4
'f T :t y
1,1 x
x
y
:r , , 5 , ,
..------' 6 J
1
\ 7a 1
~ \7b :i
t i
t 'le 1
1 1 1: , ~
1
1
).
Scénario 10 Scénario 11 Scénario 12
161
Indices de fiabilité J3 Aucun
Scénario 10 Scénario Il Scénario 12 endom.
Cas 0 SA_IV 5A_2V 5A_3V SB_IV 5B_2V 5B_3V SC_IV 5C_2V 5C_3V
Poutre A 4,63 4,63 4,62 4,15 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Flexion 6,58 6,59 6,59 6,60 6,58 6,58 6,58 6,58 6,58 6,58
Effort tranchant 4,63 4,63 4,62 4,15 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Poutre B 4,82 4,82 4,82 4,82 '4,82 4,80 4,21 4,82 4,82 4,82
Flexion 6,74 6,74 6,74 6,74 6,74 6,75 6,75 6,74 6,74 6,74
Effort tranchant 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,80 4,21 4,82 4,82 4,82
Poutre C 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,59 4,58 4,57 4,13
Flexion 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,67 6,68 6,68 6,69
Effort tranchant 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,58 4,59 4,58 4,57 4,13
Poutre D 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82
Flexion 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,75 6,74
Effort tranchant 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82
Poutre E 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Flexion 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56 6,56
Effort tranchant 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63 4,63
Système 1
P i,j = ° 4,33 4,33 4,33 '4,09 4,33 4,33 4,11 4,33 4,33 4,07
P i,j = 0,5 4,33 4,33 4,33 4,09 4,33 4,33 4,11 4,33 4,33 4,08
P i,j = 0,8 4,36 4,36 4,36 4,11 4,36 4,36 4,14 4,36 4,36 4,10
P i,j= 1,0 4,58 4,58 4,58 4,15 4,58 4,58 4,21 4,58 4,57 4,13
Système 2
P i,j = ° 6,78 6,78 6,78 6,64 6,78 6,77 6,45 6,78 6,78 6,55
P i,j = 0,5 5,46 5,46 5,46 5,37 5,46 5,46 5,22 5,46 5,46 5,31
P i,j = 0,8 4,92 4,92 4,92 4,86 4,92 4,91 4,71 4,92 4,92 4,81
p i,j=l ,O 4,82 4,82 4,82 4,82 4,82 4,80 4,59 4,82 4,82 4,82
Système 3
P i,j = ° 4,48 4,48 4,48 4,13 4,48 4,48 4,49 4,48 4,48 4,48
P i,j =0,5 4,48 4,48 4,48 4,13 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48 4,48
P i,j = 0,8 4,49 4,49 4,48 4,14 4,49 4,49 4,47 4,49 4,49 4,47
P i,j = 1,0 4,63 4,63 4,62 4,15 4,63 4,63 4,59 4,63 4,63 4,63
ANNEXEH
COSINUS DIRECTEURS ASSOCIÉS AUX VARIABLES DES FONCTION D'ÉTATS
LIMITES - CAS SANS ENDOMMAGEMENT
163
Cosinus directeurs associés aux variables des fonctions d'états limites gl(X) (équation (3.11)) et g2(X) (équation (3.13)).
Poutre A (et E)
fy f'e As Ais ds beff bw (bv) hr Yrnr Yrnv Ml 0,80 0,01 0,27 ° 006 ° ° ° 0,37 ° VI 0,24 0,15 0,00 0,08 0,03 ° 0,01 ° ° 0,94 M2 0,81 0,02 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,36 ° -V2 0,35 0,18 -0,01 0,13 0,04 ° . 0,02 ° ° 0,87 M3 0,81 0,02 0-,-27 ° 0,06 ° ° ° 0,36 ° V3 0,36 0,20 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,86 M4 0,81 0,03 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,36 ° V4 0,35 0,23 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,85 MS 0,81 0,03 0,27 ° 0,06 ° ° ° 036 ° VS 0,33 0,22 -0,01 0,12 0,04 ° 0,02 ° ° 0,87
M6 0,81 0,03 0,27 ° 0,06 ° ° ° 036 ° V6 0,36 0,27 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,79 -M7a 0,81 0,04 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,37 ° -V7a 0,34 0,29 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,80 M7b 0,81 0,04 0,27 ° 006 ° ° ° 0,36 ° V7b 0,31 0,32 -0,01 0,12 0,04 ° 0,03 ° ° 0,80 M7c 0,81 0,04 0,27 ° 006 ° ° ° 0,36 ° 1-
V7c 0,26 0,41 -0,02 0,11 0,04 ° 0,03 ° ° 0,77
MDI M D2 M D3 VDI VD2 VD3 ML VL ç lM Iv Ml -0,11 -014 -010 ° ° ° -0,10 ° -022 -020 ° VI ° ° ° -0,06 -0,08 -0,06 ° -0,05 -0,10 ° -0,10 M2 -0,12 -0,16 -0,11 ° ° ° -0,10 ° -0,21 -0,19 ° V2 ° ° ° -0,08 -O,lQ -0,08 ° -0,07 -0,14 ° -0,14
I- i-
M3 -0,12 -0,16 -0,12 ° ° O · -0,10 ° -0,20 -0,19 ° V3 ° ° ° -0,08 -0,11 -0,08 ° -0,07 -0,15 ° -0,15 M4 ,_ -0,13 -0 16 -012 ° ° ° -0,10 ° -0,20 -0,19 ° 1- -V4 ° ° ° -0,08 -0,10 · -0,08 ° -0,08 -0,15 ° -0,15 MS -0,13 -0,16 -0,13 ° ° ° -0,10 ° -020 -0 19 ° V5 ° ° 0 -0,08 -0,09 -0,08 ° -0,07 -0,15 ° -0 15 -.!..-.
M6 -Q~.13 -0,16 -0,13 ° ° ° -0,09 ° -0,19 -0,18 ° V6 ° ° 1- ° -0,06 -0,10 -0,06 ° -0,12 -0,21 ° -0,27
M7a -0,13 -0,16 -0,13 ° ° ° -0,09 ° -0,19 -0,18 ° V7a ° ° ° -0,06 -0,09 -0,06 ° -0,12 -0,21 ° -0,27 M7b -0,13 -0,17 -0,13 ° ° ° -0,09 ° -0,19 -018 ° V7b ° ° ° -0,06 -0,08 -0,06 ° -0,12 -0,21 ° -0,27 - ,-M7c -0,14 -0,17 -0,14 ° ° ° -0,09 ° -0,18 -0,18 ° V7c ° ° . 0 -0,04 -0,05 -0,04 ° -0,13 -0,23 ° -0,29
164
Cosinus directeurs associés aux variables des fonctions d'états limites gl(X) (équation (3.11)) et g2(X) (équation (3.13)).
Poutre B (et D)
fy rc As Avis ds beff bw (bv) hf "fmf "frnv
Ml 0,80 0,01 027 0 006 0 0 0 0,38 0 VI 0,23 0,14 0,00 0,08 0,03 ° 0,01 ° ° 0,94 M2 0,81 0,01 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 V2 0,35 0,17 0,00 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,88 M3 0,81 0,02 0,27 0 0,06 0 0 0 036 0 V3 0,36
1-0,20 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,86
M4 0,81 002 027 '0 006 0 0 0 0,36 0 V4 0,35 0,22 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,86 -
IML _ 0,81 0.103 0,27 0 006 0 0 0 0,36 0 -VS 0,33 0,21 -0,01 0,12 0,04 ° 0,02 ° ° .Q&L M6 0,81 0,03 0,27 0 ,0,06 0 0 0 0,36 0 V6 0,35 0,26 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,80 M7a 0,81 0,04 0,27 0 0,06 0 0 ° 0,37 0 V7a 0,34 0,27 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,81 M7b 0,81 0,04 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 V7b 0,29 0~30 -0,01 0,11 0,04 ° 0,03 ° ° 0,85 M7c 0,81 0,04 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 -V7c 0,27 0,37 -0,01 0,11 0,04 ° 0,04 ° ° 0,76
MDI M 02 M03 VOl V02 V03 ML VL ç lM Iv Ml -0,12 -0,14 -0,12 0 0 0 -0,10 0 -0,21 -0,19 0 VI ° ° ° -0,06 -0,07 -0,06 ° -0,05 -0,09 ° -0,09 M2 -0,13 -0,15 -0,13 0 0 0 -0,10 0 -0,20 -0,19 0 V2 ° ° ° -0,08 -0,10 l-
-0,08 ° -0,07 -0,13 ° -0,13 M3 -0,13 -0,16 -0,13 0 0 0 -0,09 0 -0,19 -0,18 0 -V3 ° ° ° -0,09 -0,11 -0,09 ° -0,07 -0,14 ° -0,14 M4 -0,14 -0,16 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,18 -0,18 0 V4 ° ° ° -0,09 -0,11 -0,09 ° -0,07 -0,14 ° -0,14 MS -014 -0,16 -0,13 0 0 0 -0,09 0 -0,18 -0,17 0 VS ° ° 0 ' -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 -0,13 ° '-0,13 M6 -0,14 -0,17 -0,14 0 , 0 0 -009 0 -0,18 -0,17 0 V6 ° ° ° -0,06 -0,08 -0,08 ° -0,1 2 -0,20 ° -0,27 M7a -0,14 -0,17 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,18 -0,17 0 -V7a ° ° ° -0,06 -0,08 -0,07 ° -0,12 -0,20 ° -0,26 M7b -0,14 -0,17 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,17 -0,17 0 V7b ° ° ° -0,06 -0,08 -0,07 ° -0,09 -0,18 ° -0,1 8 M7c -0,14 -0,17 -0,14 0 0
1-0 -0,08 0 -0,17 -0,16 0
V7c ° ° ° -0,04 -0,05 -0,04 ° -0,14 -0,24 ° -0,34
165
Cosinus directeurs associés aux variables des fonctions d'états limites gl(X) (équation (3.11)) et g2(X) (équation (3.13)).
Poutre C
fy rc As Avis ds heff hw (hv) hf Ymf Yrnv Ml 0,80 0,01 0,27 0 0,06 0 0 0 0,37 0 VI 0,25 0,15 0,00 0,09 0,03 ° 0,01 ° ° 0,93 M2 0,81 0,02 027 0 006 0 0 0 0,36 0 V2 0,37 0,1 8 0,00 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,86 M3 081 002 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 V3 0,37 0,20 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,85 M4 0,81 0,02 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 V4 0,35 0,23 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,85 MS 0,81 0,03 0,27 0 0,06 0 0 0 036 0 VS 0,33 0,21 -0,01 0,12 0,04 ° 0,02 ° ° 0,87 M6 0,81 003 027 0 006 0 0 0 036 0 V6 0,36 0,27 -0,01 0,14 , 0,04 ° 0,03 ° ° 0,81 M7a 0,81 004 027 0 006 0 0 0 0,37 0 V7a 0,35 0,28 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,81 M7b 081 0,04 0,27 0 0,06 0 0 0 036 0 V7b 0,32 0,31 -0,01 0,12 0,04 ° 0,03 ° ° 0,82 M7c 0,81 0,04 0,27 0 006 0 0 0 0,36 0 V·7c 0,27 0,39 -0,02 0,11 0,04 ° 0,04 ° ° 0,79
MOI M 02 M03 VOl V 02 V 03 ML V L ç lM Iv Ml -0,11 -0,13 -0 Il 0 0 0 -0,11 0 -023 -021 0 VI ° ° ° -0,06 -0,07 -0,06 0 -0,05 -0,11 ° -0,11 M2 -0,12 -014 -0 13 0 0 0 -0,10 0 -0,21 -0,20 0 V2 ° ° ° ~0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 -0,15 ° -0,15 M3 -0,13 -0,15 -0 13 0 0 0 -0,10 0 -0,20 -0,19 0 V3 ° ° ° -0,09 -0,10 -0,09 ° -0,08 -0,15 ° -0,15 M4 -0,13 -0,16 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,19 -0,18 0 V4 ° ° ° -0,09 -0,11 -0,09 ° -0,07 -0,1 5 ° -0,15 MS -0 14 -0,16 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,18 -0,17 0 VS ° ° ° -0,08 -0,10 . -0,08 . ° -0,07 -0,14 ° -0,14 M6 -0,14 -0,16 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,18 -0,17 0 V6 ° ° ° -0,06 -0,08 -0,08 ° -0,11 -0,21 ° -0,21 M7a -0,14 -0,16 -0,14 0 0 0 -009 0 -0,18 -0,17 0 V7a ° ° ° -0,06 -0,08 -0,07 ° -0,1 0 -0,21 ° -0,21 M7b -0,14 -0,17 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -0,18 -0,17 0 V7b ° ° ° -0,06 -0,07 -0,07 ° -0,10 -0,21 ° -0,20 M7c -0,14 -0,17 -0,14 0 0 0 -0,08 0 -0,17 -0,16 0 V7c ° ° ° -0,04 -0,05 -0,04 ° -0,12 -0,24 ° -0,26
ANNEXE 1
COSINUS DIRECTEURS ASSOCIÉS AUX VARIABLES DES FONCTION D'ÉTATS
LIMITES - CAS D'ENDOMMAGEMENT 7 _3M2V _ABCDE
167
Cosinus directeurs associés aux variables des fonctions d'états limites gl (X) (équation (3.11)) et" g2(X) (équation (3.13)).
Poutre A (et E)
fy rc As Avis ds beff bw (bv) hf 'Ymf 'Yrnv
Ml 0,80 0,01 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,37 ° VI 0,24 0,15 0,00 0,08 0,03 ° 0,01 ° ° 0,94 M2 0,81 0,02 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,36 ° V2 0,35 0,17 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,87 M3 Q,-81 0,02 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,36 0 -V3 0,36 0,20 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,86 ,-M4 0,81 0,03 0,27 ° 0,06 0 0 ° 0,36 0 V4 0,35. 0,23 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,86 MS 081 0,03 0,27 ° 0,06 ° 0 ° 0,36 0 VS 0,33 0,22 -0,01 0,12 0,04 ° 0,02 ° ° 0.,87_ M6 0,81 003 0,27 0 0,06 ° 0 0 0,36 0 V6 0,35 0,27 -0,01 0,13 . 0,04 ° 0,03 ° ° 0,79 M7a 0,81 0,04 0,27 0 0,06 ° ° 0 036 ° 1-
V7a 0,35 0,31 -0,01 0,13 0,05 ° 0,04 ° ° 0,77 M7b 0,81 0,04 0,27 0 0,06 ° ° ° 0,36 0 V7b 0,31 0,35 -0,01 0,12. 0,05 ° 0,04 ° ° 0,77 M7c 0,81 0,04 0,27 0 0,06 0 O · ° 0,36 0 V7c 0,26 0,42 -0,02 0,10 0,04 ° 0,04 ° ° 0,75
MDl M D2 M D3 VDl VD2 VD3 ML VL ç lM Iv Ml -0,11 -0,14 -0,10 0 ° ° -0,10 ° -0,22 -0,20 ° VI ° ° ° -0,06 -0,08 -0,06 ° -0,05 -0,10 ° -0,10 M2 -0,12 -0,16 -0,12 ° ° 0 -0,10 0 -0,21 -0,20 ° V2 ° ° ° -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 -0,14 ° -0,14 M3 -0,12 -0,16 -0,12 ° ° ° -0,10 ° -0,20 -019 0 V3 ° ° ° -0,08 -0,11 -0,08 ° -0,07 -0,15 ° -0,15 M4 -0,12 -0,16 -0,13 ° ° ° -0,10 ° -0,20 -0,19 ° V4 ° ° ° -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,08 -0,15 ° -0,15 MS -0,13 -0,16 -0,13 ° 0 ° -0,10 ° -0,20 -0,19 ° VS ° ° ° -0,07 -0,09 -0,08 ° -0,07 -0,15 ° -0,15 M6 -0,13 -0,16 -0,13 ° 0 0 -0,10 ° -0,19 -0,18 ° V6 ° ° ° -0,06 -0,10 -0,06 ° -0,12 -0,21 ° -0,27
M7a -013 -0,17 -0,13 0 0 ° -0,09 ° -0,19 . -0,18 ° V7a ° ° ° -0,06 -0,10 -0,07 ° -0,13 -0,22 ° -0,29 1- -M7b -0,13 -0,17 -0,13 0 0 ° -0,09 ° -0,19 -0 18 0 V7b ° ° ° -0,06 -0,09 -0,06 ° -0,13 -0,22 ° ~-M7c -0,13 -0,17 -0,14 0 0 ° -0,09 ° -0,18 -0,18 0 -V7c ° ° ° -0,04 -0,05 -0,05 ° -0,14 -0,24 ° -0,31
168
Cosinus directeurs associés aux variables des fonctions d'états limites gl (X) (équa tion (3.11)) et g2(X) (équation (3.13)).
Poutre B (et D)
fy rc As Avis ds befT bw (bv) hf 'Yrnf 'Yrnv
Ml 080 0,01 0,27 0 0,06 0 0 0 0,38 0 VI 0,23 0,14 0,00 0,08 0,03 0 0,01 ° ° 0,94 M2 0,81 0,01 0,27 0 0,06 0 0 0 036 0 V2 0,35 0,17 0,00 0,12 0,04 ° 0,02 ° ° 0,88 1-M3 0,81 0,02 0,27 0 006 0 0 0 0,36 0 V3 0,36 0,20 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,86 M4 081 002 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 V4 0,35 0,22 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,86 MS 081 003 027 0 0,06 0 0 0 0,36 0 VS 0,33 0,21 -0,01 0,12 0,04 ° 0,02 ° ° 0,88
M6 0,81 0,03 0,27 0 006 0 0 0 036 0 V6 0,35 0,26 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,80 M7a 081 003 027 0 006 0 0 0 0,36 0 V7a 0,35 0,30 -0,01 0,13 0,05 ° 0,04 ° ° 0,78 M7b 0,81 0,04 0,27 0 0,06 0 0 0 0,36 0 V7b 0,30 0,34 -0,01 0,12 0,04 ° 0,04 ° ° 0,82 M7c 0,81 0,04 0,27 0 0,06 O. 0 0 0,36 0 V7c 0,27 0,39 -0,01 0,11 0,04 ° 0,05 ° ° 0,73
MOI M 02 M03 VOl V 02 V 03 ML V L ç lM Iv Ml -0,12 -0,14 -0,12 0 0 0 -0 10 0 -021 -0,19 0 VI ° ° ° -0,06 -0,07 -0,06 ° -0,05 -0,09 ° -0 ,09 -
,~ 2 -0,13 -0,15 -0,13 0 0 0 -0,10 0 -0,20 -0,19 . 0 V2 ° ° ° -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 -0,13 ° -0 ,13 M3 -0,13 -0,16 -0,13 0 0 0 -0,09 0 -0,19 -0,18 0 V3 ° ° ° -0,08 -0,11 -0,09 ° -0,07 -0,14 ° -0 ,14
1~ 4 -0,13 -0,16 -0,14 0 0 0 -009 0 -0,18 -018 0 V4 ° ° ° -0,08 -0,11 -0,09 ° -0,07 -0,14 ° -0 ,14 MS -0,13 -0,17 -0,14 0 0 0 -0,09 0 -018 -0 17 0 VS ° ° ° -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 -0,13 ° -0 ,13 M6 -0,13 -0,17 -0,14 0 0 0 -009 0 -018 -017 0 -V6 ° ° ° -0,06 -0,08 -0,08 ° -0,12 -0,20 ° -0 ,27 M7a -0,13 -0,17 -0,14 0 0 O ' -0,09 0 -0,18 -0,17 0 V7a ° ° ° -0,06 -0,09 -0,08 ° -0,13 -0,22 0 -0 ,29 M7b -0,14 -0,17 -0,14 0 0 0 -0,09 O. -0,18 -0,17 0
1-
V7b ° ° ° -0,06 -0,09 -0,08 ° -0,10 -0,20 ° -0 ,1 9 M7c -014 -018 -015 0 0 0 -0,08 0 -0,17 -0,16 0 V7c ° d ° -0,04 -0,05 -0,04 ° -0,15 -0,25 ° -0 ,37
169
Cosinus directeurs associés aux variables des fonctions d'états limites gt(X) (équation (3.11)) et g2(X) (équation (3.13)).
Poutre C
fy rc As Ais ds beff bw (bv) bf Yrnf Yrnv
Ml 0,80 0,01 0,27 ° 0,06 ° ° ° 037 ° VI 0,25 0,15 0,00 0,09 0,03 ° 0,01 ° ° 0,93 M2 0,81 0,02 0,27 ° 0,06 ° ° ° 036 .0 V2 0,36 0,18 0,00 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,86 M3 0,81 0,02 027 ° 006 ° ° ° 0,36 ° V3 0,37 0,20 -0,01 0,13 0,04 ° 0,02 ° ° 0,85 M4 0,81 0,02 0,27 ° .0,06 ° ° ° 0,36 ° V4 0,35 0,23 -0,01 0,13 0,04 ° 0,03 ° ° 0,85 MS 081 0,03 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,37 ° VS 0 ,33 0 ,21 -0,01 0 ,12 0 ,04 ° 0,02 ° ° 0,87
M6 081 0,03 027 ° 0,06 ° ° ° 0,36 ° V6 0,36 0,27 -0,01 0,14 0,04 ° 0,03 ° ° 0,81 M7a ,J1.1 0,03 0,27 ° . 0,06 ° ° ° 0,36 ° V7a 0,36 0,31 -0,01 0,14 0,05 ° 0,04 ° ° 0,79 M7b 0,81 0,04 0,27 ° 006 ° ° ° 0,36 ° V7b 0,32 0,34 -0,01 0,12 0,05 ° 0,04 ° ° 0,79 M7c 0,81 004 0,27 ° 0,06 ° ° ° 0,36 ° V7c 0,27 0,41 -0,01 0,11 0,04 ° 0,05 ° ° 0,76
MDI M D2 M03 VOl V02 VD3 ML VL ç lM Iv Ml -0,11 -0,13 -0,11 ° ° ° -0,11 ° -0,23 . -0,21 ° VI ° ° ° -0,06 -0,07 -0,06 ° -0,05 -0,11 ° -0,11 M2 -0,12 -0,14 -0,13 ° ° ° -0,10 ° -0,21 . -0,20 ° V2 ° ° ° -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 . -0,15 ° -0,1 5 -M3 -0,13 -0,15 -0 13 ° ° ° -0,10 ° -0,20 -0,19 ° V3 ° ° ° -0,08 -0,10 -0,09 ° -0,08 -0,15 ° -0,15 M4 -0,13 -0,16 -0,14 ° ° ° -0,09 ° -0,19 -0,18 ° V4 ° ° ° -0,08 -0,11 -0,09 ° -0,07 -0,15 ° -O,l L MS -0,13 -0,16 -0,14 ° ° ° -0,09 ° -0,18 -0,17 ° -VS ° ° ° -0,08 -0,10 -0,08 ° -0,07 -0,14 ° -0,14 M6 -0,13 -0,17 -0,14 ° ° ° -0,09 ° -0,18 -0,17 ° V6 ° ° ° . -0,06 -0,08 -0,08 ° -:-o,11 -0,22 ° -0,21 M7a -0,13 -0,-17 -0,14 ° ° ° -0,09 ° -0,18 -0,17 ° V7a ° ° ° -0,06 -0,09 -0,08 ° -0,11 -0,23 .0 -0,22 M7b -0,14 -0,17 -0 14 ° ° ° -0,09 ° -0,18 -0,17 ° V7b ° ° ° -0,06 -0,08 -0,07 ° -0,11 -0,23 ° -0,22
M7c -0,14 -0,18 -0,15 ° ° ° -0,08 ° -0,17 -0,17 ° V7c ° ° ° -0,04 -0,06 -0,04 ° -0,12 -0,25 ° -0,28
ANNEXEJ
SENSIBILITÉ DES VARIABLES EN RESPECT À LA MOYENNE ET À L'ÉCART
TYPE
171
Les tableaux suivant présentent les valeurs de sensibilité relative obtenues pour chacune d
variables contenues dans les fonctions d'états limites gl(X) et g2(X) (équation (3.11)
es
et
équation (3.13)).
gl(X), segment 1, poutre A
fy rc As ds 'Ymf MDI M 02 M03 ML ç 1 M
sens~ 0,80 0,01 0,27 0,06 0,37 -0,11 -0,14 -0,10 -0,10 -0,22 -0 ,20
sens(Ji -6,22 0,00 -0,70 -0,03 -1 ,35 -0,12 -0,20 -0,10 -0,10 -0,45 -0 ,37
gl(X), segment 7b, poutre A
fy rc As ds 'Ymf MOI M D2 M03 ML ç 1 M
sens~ 0,81 0,04 0,27 0,06 0,36 -0,13 -0,17 -0,13 -0,09 -0,19 -0 ,18
sens(Ji -4,46 -0,01 -0,50 -0,02 -0,90 -0,12 -0,1 9 -0~12 -0,06 -0,24 -0 ,22
g2(X), segment 1, poutre A
fy rc As Avis ds bv 'Ymv VOl V D2 V 03 V L Iv sens~ 0,24 0,1 5 0,00 . 0,08 0,03 0,01 0,94 -0,06 -0,08 -0,06 -0,05 -0,1 0 -0 ,10
sens(Ji -0,39 -0,1 5 0,00 -0,05 -0,01 0,00 -6,14 -0,02 -0,04 -0,02 -0,02 -0,07 -0 ,07
g2(X), segment 7b, poutre A
fy rc As Avis ds bv 'Ymv VOl V 02 V 03 V L Iv sens~ 0,31 0,32 -0,01 0,12 0,04 0,03 0,80 -0,06 -0,08 -0,06 -0,12 -0,21 -0 ,27
sens(Ji -0,49 -0,52 0,00 -0,07 -0,01 -0,01 -3,26 -0,02 -0,03 -0,02 -0,07 -0,22 -0 ,37
