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SESSION 1 - 7 JANVIER 2014

1 sur 4

UNIVERSITÉ DE PARIS I - PANTHÉON-SORBONNE

U.F.R. 02

LICENCE - PREMIÈRE ANNÉE

2013-2014

PARTIEL DE COMPTABILITÉ D’ENTREPRISE

DURÉE DE L'ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L'ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU

JOURNAL.UN TEMPS INDICATIF VOUS EST PROPOSÉ POUR CHAQUE DOSSIER À TRAITER.

Attention : Pour toutes les questions nécessitant un calcul de TVA, vous prendrez un taux de de 20 %.

Dossier n°1 (30 minutes)Le 01/01/2014 M. PIGANIOL crée son entreprise et ouvre son magasin de parapluies « Le parapluie du berger ».

Il apporte 60 000 €, déposés comme capital sur le compte en banque de l’entreprise, et il obtient un emprunt à cette même banque de 20 000 €.

Avec ces capitaux, il acquiert un local pour 60 000 € et des agencements pour aménager son magasin pour 5 000 €. Il achète par ailleurs un stock de 200 parapluies de fabrication artisanale pour 16 000 € à un fabricant de la région. Il obtient de celui-ci la possibilité de régler dans 60 jours.

Par ailleurs il retire 200 € du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.

Vous ferez abstraction de la TVA dans cet exercice.

Question 1 : Établir le bilan d’ouverture de l’entreprise « Le parapluie du berger » en respectant au mieux le modèle de bilan du PCG

Au cours du mois de janvier, l’entreprise « Le parapluie du berger » réalise les opérations suivantes :

1. Vente au comptant de 40 parapluies pour 4 000 € en espèces.2. Paiement par chèque de l’assurance du local pour un montant de 800 €.3. Commande au fournisseur de 100 parapluies supplémentaires pour 8 300 euros. La

facture sera réglée dans 30 jours.4. Vente de 70 parapluies pour 7 350 €. Le règlement s’est effectué pour moitié en

3DJH��


2 sur 4

espèces et pour moitié par chèque.5. Paiement par chèque d’une campagne de publicité dans la presse régionale pour

500 €.

Question 2 : Enregistrer au journal les différentes opérations ayant eu lieu au cours du mois de janvier après la création de l’entreprise.Question 3 : Le stock de parapluies est constitué d’un unique modèle. Évaluer le stock final de parapluies selon la méthode du coût moyen pondéré calculé en fin de période.Question 4 : En déduire le coût d’achat des marchandises vendues et la marge commerciale.Question 5 : Passer les écritures de régularisation concernant les stocks.Question 6 : Établir le bilan à la fin janvier.

Dossier n°2 (30 minutes)La société GEWURTZ implantée en Alsace a pour activité la vente de vins d’Alsace à des clients français et étrangers. Elle n’assemble pas ses propres vins mais sélectionne les meilleures bouteilles auprès de producteurs locaux.Les opérations réalisées par l’entreprise au cours du mois de décembre 2013 ont été les suivantes :02/12/2013 : Vente de 150 bouteilles de RIESLING au client NICOLAS pour un prix de vente unitaire de 10 € HT. Une remise de 2% est accordée. La facture est à régler à 90 jours. Une lettre de change est envoyée au client pour acceptation.03/12/2013 : Achat au viticulteur FRITZ de 80 bouteilles de GEWURTZ vendanges tardives à 20 € HT la bouteille. Cet achat est réglé moitié au comptant par chèque, moitié à 60 jours.10/12/2013 : Achat pour 20 000 € HT d’un véhicule utilitaire pour procéder au transport des bouteilles achetées chez les différents viticulteurs. Un acompte de 5 000 € avait été versé au moment de la commande. Le solde restant dû est réglé comptant par chèque.12/12/2013 : Le client NICOLAS retourne la lettre de change acceptée.13/12/2013 : Le commercial se fait rembourser en espèces par le comptable une note de frais de restaurant de 120 € TTC.13/12/2013 : Remise à l’escompte de l’effet de commerce sur le client NICOLAS.15/12/2013 : Avis de la banque relatif au paiement de l’effet remis à l’escompte : les services sont facturés 24 euros TTC et les intérêts s’élèvent à 40 euros.20/12/2013 : Reçu une facture d’avoir concernant l’achat du 3 décembre. Un rabais de 100 euros HT est accordé par FRITZ.26/12/2013 : Le service du personnel établit la paye de décembre :La somme des salaires bruts s’élève à 90 000 €.

29/12/2013 : Mise en paiement des salaires. Les cotisations sociales seront réglées courant janvier.

Charges socialesSécurité socialePôle emploiCaisses de retraiteTotal

Part salariale13 7752 1603 450

19 385

Part patronale27 5003 8855 040

36 425

3DJH��

&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH


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Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de décembre au Journal de l’entreprise GEWURTZ.

Dossier n°3 (30 minutes)

L’entreprise de décolletage GEFO qui clôture son exercice comptable le 31 décembre de chaque année fait l’acquisition le 5 avril 2013 d’une rectifieuse pour rénover son parc de machines-outils. L’investissement s’élève à 270 000 € HT. et sera réglé dans 30 jours. La machine est mise en service le 16 mai 2013.

Question 1 : Enregistrer l’acquisition de cette machine.

Le choix est fait d’amortir ce matériel suivant la technique du dégressif fiscal sur 6 ans avec un coefficient de 2.

Question 2 : Présenter le plan d’amortissement de cette machine.

Question 3 : Enregistrez les écritures d’inventaire et l’extrait du bilan au 31 décembre 2014 concernant cet actif.

L’entreprise envisage une cession de ce matériel en juillet 2016 pour 80 000 € HT.

Question 4 : Enregistrez les écritures liées à la cession de cet actif en 2016. Calculez le résultat sur la cession.

Dossier n°4 (20 minutes)La situation des clients douteux de l'entreprise VERON se présente comme suit au 31/12/2013 avant inventaire:

L’inventaire des créances au 31/12/2013 permet d’obtenir les informations suivantes:BROCHET: Il devrait nous régler 20 % de la créance restant due.PERCHE : On espère pouvoir récupérer 90 % de la créance restant due.CARPE : Il est en liquidation judiciaire. Le liquidateur nous informe que la créance est définitivement irrécouvrable.Un salarié licencié a entamé une procédure devant le conseil des prud’hommes pour licenciement abusif. L’entreprise VERON estime qu’elle devra sans doute verser 120 000 € pour indemniser le salarié.Un emprunt bancaire de 100 000 € a été accordé à l'entreprise le 1er décembre 2013 aux conditions suivantes:

- taux 6%-remboursement trimestriel par amortissements constants sur 2 ans-première échéance 1er mars 2014

La prime d’assurance versée le 1er octobre 2013 pour 2 400 € couvre les locaux de l’entreprise jusqu’au 30 septembre 2014.Question : Enregistrez les régularisations nécessaires au 31 décembre 2013.

Noms

BROCHETPERCHECARPE

Montant initialdes créances

7 20012 0008 400

27 600

Dépréciationau bilan

3 5002 5003 0009 000

Règlementseffectués en 2013

aucun3 000aucun3 000

3DJH��


4 sur 4

Dossier n°5 (10 minutes)La société « GAGNEPETIT » clôture ses comptes le 31 décembre de chaque année. Elle vous communique un extrait simplifié de la balance après inventaire au 31 décembre. Toutefois, elle vous informe que les écritures d’inventaire concernant les stocks n’ont pas encore été prises en compte. Des informations complémentaires concernant ces derniers vous sont communiquées.

Établir un tableau des soldes intermédiaires de gestion au 31 décembre 2013 en vous arrêtant à l’excédent brut d’exploitation (EBE). Vous détaillerez vos calculs en reprenant dans votre tableau chaque ligne de la balance utilisée.

Extrait simplifié de la balance après inventaire au 31/12/2013

Bonus : Compléter le tableau des soldes intermédiaires de gestion.

StocksMatières premièresProduits finis

1/01/1370 00090 000

31/12/1372 500

110 000

Achats de matières premièresCharges de sécurité sociale et de prévoyanceAchats non stockés de matières et fournituresRémunérations du personnelIntérêts des emprunts et des dettesDotations - Charges d'exploitationImpôts, taxes et versements assimilésImpôt sur les bénéficesPertes sur créances irrécouvrablesPrimes d’assuranceEntretien et réparationsProduction vendueProduits de cession d’éléments d’actifValeur comptable d’éléments d’actif cédésPertes de changeRedevances pour concessions, brevets, licences...LocationsServices bancairesSubventions d’exploitationReprises - Produits d’exploitationCharges constatées d’avanceProduits constatés d’avance

Soldes débiteurs

55 00010 0001 200

18 0002 500

10 00015 0003 500

750900

1 200

7 500

20 000500

3 000

Soldes créditeurs

130 00010 000

5 000800

12 0002 000

2 500

3DJH��


Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1

Corrigé du partiel du 7 janvier 2014

1 sur 7

Le barème est volontairement sur 23 points afin de tenir compte de la longueur du sujet. Les deux premiers dossiers ont volontairement un poids assez élevé afin qu’un étudiant qui maîtrise les bases mais qui est lent (problèmes de calcul) atteigne la moyenne sans difficulté.Concernant la notation des écritures comptables au journal qui sont à 0,5 Pt, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte. En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.Évidemment, lorsque les questions ne sont pas indépendantes, les erreurs éventuelles ne doivent être sanctionnées qu’une seule fois.

Dossier n°1 8 pointsQuestion 1 : 1 point

Justification du montant des avoirs en banque :

Question 2 : 2,5 points ( 1/2 point par opération)

ACTIFLocalAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF

BILAN60 000

5 00016 00014 800

20096 000

CapitalEmpruntFournisseurs B&S

TOTAL PASSIF

PASSIF60 00020 00016 000

96 000

Apport en capitalEmpruntAcquisition localAgencementsVirement en caisseSolde

60 00020 000

-60 000-5 000

-20014 800

537

65

64

457

1

Caisse

2Primes d’assurance

3

Achats de marchandises

4BanqueCaisse

5

Ventes de marchandises

Banque

Fournisseurs de B&S


4 000

800

8 300

3 6753 675

4 000

800

8 300

7 350

3DJH��



2 sur 7

Question 3 1 pointLe coût moyen pondéré calculé en fin de période est de :

Les sorties de stock ont été de 40 et 70 unités. Il reste donc en stock 300 - 110 = 190 unités valorisées à 81 € l’unité soit un stock final valorisé à 15 390 €.

Question 4 1 pointLe coût d’achat des marchandises vendues (CAMV) s’élève donc à :

- 110 × 81 = 8 910 (les sorties valorisées au CMP) ou- achats + SI - SF = 8 300 + 16 000 - 15 390 = 8910 0,5 point

La marge commerciale :CA - CAMV = (4 000 + 7 350) - 8 910 = 2 440 0,5 pointQuestion 5

Question 6 1,5 points

Justification rapide du résultat : CAMV - Prime d’assurance et Frais de banque = 2 440 - 800 - 500 = 1 140.

65

Frais de publicitéBanque

500500

EntréesSIEntrée de la périodeCMP

Quantités200100300

Coût unitaire808381

Montant16 0008 300

24 300

63

36

31/01

Δ stocks marchandises

31/01

Stocks de marchandises

Stocks de marchandises

Δ stocks marchandises

16 000

15 390

16 000

15 390

ACTIFLocalAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF

BILAN60 000

5 00015 39017 175

7 875105 440

CapitalRésultatEmpruntFournisseurs B&S

TOTAL PASSIF

PASSIF60 000

1 14020 00024 300

105 440

3DJH��




3 sur 7

Dossier n°2 5,5 points

Question : Passez les écritures comptables du mois de décembre 1/2 point par opération

474

6445

2425

44

645

54

56645

464

642434343

2/12

Clients

3/12Achats de marchandisesTVA déductible/ABS

10/12

Matériel de transportTVA déductible/immo

12/12Clients, EAR

13/12

Frais de missionTVA déductible/ABS

13/12Effets à l’escompte

15/12BanqueIntérêtsServices bancairesTVA déductible/ABS

20/12Fournisseurs B & S

26/12Salaires

26/12

Ventes de marchandisesTVA collectée/ventes

Fournisseurs B & SBanque

avances/cdes d’immoBanque

Clients

Caisse

Clients, EAR

Effets à l’escompte

RRR obtenusTVA déductible/ABS

Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire

1 764

1 600320

20 0004 000

1 764

10020

1 764

1 7004020

4

120

90 000

1 470294

960960

5 00019 000

1 764

120

1 764

1 764

10020

70 61513 775

2 1603 450

3DJH��



4 sur 7

Dossier n°3Q1 : acquisition de la machine 0,5 point

Q2 : Plan d’amortissement 2 points0,5 point pour le calcul du taux0,5 point pour la première dotation (prorata)0,5 point pour l’application du taux dégressif à la VCN début d’exercice0,5 point pour le passage à un amortissement constant

Dotation 2013 : 270 000 x 1/6 x 2 x 9/12 = 67 500Q3: écritures d’inventaire et extrait du bilan 1 point0,5 point pour l’écriture d’inventaire0,5 point pour l’extrait du bilan

6434343

425

Cotisations sociales

29/12Pers., rémunérations dues

URSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire

Banque

36 425

70 615

27 5003 8855 040

70 615

244

05/04Matériel industrielTVA déductible/immo

Fournisseur d’immo

270 00054 000

324 000

BASE D'AMORTISSEMENT (coût d'acquisition) :DATE D'ACQUISITION :

DUREE D'AMORTISSEMENT EN ANNEES :CALCUL DU TAUX DEGRESSIF :

ANNEES201320142015201620172018

VCN début270 000202 500135 00090 00060 00030 000

DOTATION67 50067 50045 00030 00030 00030 000

CUMUL67 500

135 000180 000210 000240 000270 000

270 00005/04/13

61/6 x 2 =1/3%

VCN fin202 500135 00090 00060 00030 000

0

62

31/12DADP - charges d’exploitation

Amortissement du matériel67 500

67 500

3DJH��




5 sur 7

Extrait du bilan au 31 décembre 2014

Q4 : Cession de la machine 2 pointsDotation 2016 jusqu’à la cession en juillet : 90 000 × 1/12 × 6/12 = 15 000

VCN = Valeur d’acquisition - ∑ amortissements cumulés = 270 000 - (67 500 + 67 500 +

45 000 + 15 000) = 75 000Résultat/cession = Prix de cession - VCN = 80 000 - 75 000 = 5 000 (plus-value).0,5 point


Actif

Immobilisations corporelles:Installations techniques, matériel et outillage industriels

Total immobilisations

Exercice 2014

Brut

270 000

X

Amortissements et

provisions

135 000

X

Net

135 000

X

Exercice 2013Net

202 500

X

0,5 point

4775

4

juillet 2016Créances/cession d’immo

PCEATVA collectée/ventes

96 00080 00016 000

0,5 point

62

0,5 point

67522

31/12DADP - charges d’exploitation

31/12VCEACAmortissement du matériel

Amortissement du matériel

Matériel industriel

15 000

75 000195 000

15 000

270 000

NominalRèglement en 2013Net TTCHTProvision nécessaireProvision existante

Dotation ou reprise

BROCHET7 200

/7 2006 0004 8003 500

+ 1 3000,25 point

PERCHE12 000

3 0009 0007 500

7502 500

- 1 7500,25 point

CARPE8 400

/8 4007 000

/3 000

- 3 0000,25 point

3DJH��



6 sur 7

0,25 point

6

4

0,25 point

4

7

0,25 point

644

0,25 point

4

7

0,25 point

6871

0,25 point

61

0,25 point

46

31/12

DADP - charges d’exploitation

31/12Dépréciation des comptes de clients

31/12

Pertes sur créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes


31/12

DADP - charges exceptionnelles

31/12Intérêts

31/12Charges constatées d’avance

2 400/12 × 9/12

Dépréciation des comptes de clients

RADP - Produits d’exploitation

Clients douteux

RADP - produits d’exploitation

Provisions pour litiges

Intérêts courus/emprunts

Primes d’assurance

1 300

1 750

7 0001 400

3 000

120 000

500

1 800

1 300

1 750

8 400

3 000

120 000

500

1 800

3DJH��




7 sur 7

Dossier n° 5 1,5 points

Production vendueProduction stockée (SF-SI)Production de l’exercice 0,5 pointAchats de MPΔ stocks MP (SI-SF)Achats non stockés matières & fournituresPrimes d’assuranceEntretiens et réparationsLocationsServices bancairesConsommations en provenance de tiersValeur ajoutée 0,5 point+ Subventions d’exploitation- Impôts, taxes et versements assimilés- Rémunérations du personnel- Charges de sécu et de prévoyanceExcédent brut d’exploitation 0,5 point

130 00020 000

150 00055 000-2 5001 200

9001 200

20 000500

76 30073 70012 00015 00018 00010 00042 700

3DJH��

SESSION 2 - 17 JUIN 2014

1 sur 3


U.F.R. 02


2013-2014


DURÉE DE L’ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L’ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU


Dossier no 1 (55 minutes)Le 01/01/2013, M. POPEYE et M. TARZAN s’associent pour créer

l’entreprise LOWNESS dont l’activité consiste à gérer une salle de fitness low cost.Chacun fait un apport de 60 000 euros et la banque leur accorde un prêt de

40 000 euros. Ils signent dès le 1er janvier un contrat de location pour la salle. Le loyer s’élève à 3 500 € par mois prélevés automatiquement sur le compte bancaire de l’entreprise à chaque début de mois. Ils font l’acquisition de matériels de musculation et de fitness pour un montant global de 90 000 €. Ces matériels sont payés moitié au comptant et moitié à crédit 60 jours fin de mois. Leur valeur unitaire est relativement élevée et dépasse les 1 000 €. Afin de se faire connaître, ils lancent une campagne d’affichage dans le quartier. Le coût de cette campagne s’élève à 1 000 € et doit être réglé pour le 15 janvier. Un prof de gym est recruté. Il percevra une rémunération brute de 2 000 € par mois. Les cotisations sociales pour l’employeur seront de 800 € par mois. L’entreprise souscrit un contrat d’abonnement pour l’électricité pour lequel un dépôt de garantie de 800 € est exigé. Cette somme est immédiatement réglée par chèque. Par ailleurs, les propriétaires retirent 2 000 euros du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.

Le 10 janvier, l’entreprise ouvre officiellement ses portes et est prête à recevoir ses premiers clients.

Il sera fait abstraction de la TVA dans cet exercice.

Q1 : Établir le bilan au 10 janvier juste avant l’ouverture et selon le modèle du PCG.

Au cours du mois de janvier, l’entreprise LOWNESS réalise les opérations suivantes :

a) Paiement par chèque des sommes dues au titre de la campagne publicitaire.

3DJH��



2 sur 3

b) L’entreprise a réalisé 400 entrées sur le mois de janvier à 15 € l’unité. Un tiers des recettes a fait l’objet d’un règlement en espèces, le reste a été réglé par chèque ou carte bancaire

c) Le salaire net, soit 1 600 € est versé par virement bancaire au prof de gym salarié. Les cotisations sociales seront versées trimestriellement.

d) Remboursement d’une première mensualité de l’emprunt pour 1 000 euros auxquels s’ajoutent 120 euros d’intérêts.

e) L’entreprise a voulu s’essayer à la commercialisation de compléments alimentaires pour ces usagers de la salle de sport. Elle en a acheté pour 2 000 € réglé par chèque. Cette activité a connu un succès foudroyant. Tout a été liquidé à l’exception d’un lot de boissons énergisantes dont le prix d’achat s’était élevé à 150 €. Les recettes liées à cette activité se sont élevées à 2 500 € et ont été perçues en espèces.

Q2 : Enregistrer les opérations précédentes au journal en pratiquant la méthode de l’inventaire intermittent.Q3 : Établir le grand livre des comptes.Q4 : Établir le bilan (modèle PCG) de l’entreprise LOWNESS à la fin du mois de janvier. Compte tenu de la courte durée de la période d’analyse et en l’absence d’information, on ne tiendra pas compte de la dépréciation éventuelle du matériel.

Dossier no 2 (20 minutes)

Au mois de juin 2013, l’entreprise MUSCLOR spécialisée dans la commercialisation d’articles de sport réalise les opérations suivantes :01/06/2013 : Achat de raquettes de tennis au fournisseur BOBOLA pour 1 000 euros HT. L’achat est réglé à 30 jours. L’entreprise obtient un rabais de 20 %. La facture est accompagnée d’une lettre de change envoyée par le fournisseur pour acceptation.04/06/2013 : Retour à BOBOLA de la lettre de change acceptée.08/06/2013 : Achat d’une machine à corder d’occasion au prix de 1 800 euros HT. Cet achat est réglé pour 1/3 au comptant par chèque, 2/3 à crédit.11/06/2013 : Vente de raquettes pour 800 euros HT. La moitié est réglée au comptant par chèque, l’autre moitié à crédit. 15/06/2013 : Recordage d’une raquette pour un client à l’aide de la machine à corder nouvellement acquise. La prestation facturée 50 euros HT est réglée comptant par chèque par le client19/06/2013 : Paiement par chèque d’une facture de réparation de la machine à corder pour 600 euros HT.31/06/2013 : Règlement par prélèvement bancaire du fournisseur BOBOLA pour l’opération du 01/06.

Attention : Pour simplifier les calculs, vous prendrez un taux de TVA de 20 %.

Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de mai au Journal de l’entreprise DUBOS.

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3 sur 3


La Société Générale de Décolletage est une entreprise industrielle de fabrication d’outillages spécialisés pour l’industrie automobile. L’entreprise vous demande de traiter le dossier suivant :

Le 5 mai 2013, l’entreprise achète une nouvelle machine-outil pour faire face à l’augmentation des commandes.Prix de la machine : 120 000 € HT, taux de TVA à 20 %.Conditions de paiement : la moitié comptant par chèque le solde à 60 jours fin de mois.Le matériel est amorti sur cinq ans en dégressif (coefficient à utiliser : 2).

Travail à faire :

Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’acquisition de ce matériel.Présenter le tableau d’amortissement de la machine.Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’écriture d’inventaire au 31/12/2013 la concernant.Présenter l’extrait de bilan au 31/12/2015 concernant cette machine (modèle de bilan du PCG).


La société FISHANDCHIP est une entreprise de production d’articles de pêche domiciliée à Caen. Ses exercices comptables coïncident avec l’année civile. Les activités de l’entreprise sont soumises à la TVA au taux normal de 20 %. Le chef comptable, Monsieur PICSOU, vous confie le dossier des créances douteuses.

Tableau des créances douteuses

Travail à faire :

Enregistrer au journal de l’entreprise les écritures de régularisation nécessaires client par client en justifiant chacun des montants utilisés.

Noms

ARDENT PÊCHE

EASYFLY

FIELDANDFISH

Créances taxes comprises au 31/12/2012

3 120

1 680

1 800

Provision au 31/12/2012

750

400

500

Règlement en 2013

0

720

240

Situation au 31/12/2013

On pense récupérer 40% de la créance restant dueCréance définitivement irrécouvrableOn pense perdre 20% de la créance restant due

3DJH��



Corrigé du partiel du 17 juin 2014

1 sur 5

Le barème est volontairement sur 23 points afin de tenir compte de la longueur du sujet. Les deux premiers dossiers ont volontairement un poids assez élevé afin qu’un étudiant qui maîtrise les bases mais qui est lent (problèmes de calcul) atteigne la moyenne sans difficulté.Concernant la notation des écritures comptables au journal qui sont à 0,5 Pt, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte. En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.Évidemment, lorsque les questions ne sont pas indépendantes, les erreurs éventuelles ne doivent être sanctionnées qu’une seule fois.

Dossier n°1 9,5 pointsQ1 : 3 points


Q2 : 3 points

ACTIFMatérielDépôt de garantieBanqueCaisse

TOTAL ACTIF

BILAN90 000

800108 700

2 000

201 500

CapitalRésultatEmpruntFournisseur d’immoFournisseur de B&STOTAL PASSIF

PASSIF120 000

-4 50040 00045 000

1 000201 500

Apport en capitalEmpruntAcquisition matérielLoyerDépôt de garantieCaisseSolde

120 00040 000

-45 000-3 500

-800-2 000

108 700

45

557

64

(a) 0,5

Fournisseurs B&S

(b) 0,5CaisseBanque

(c) 0,25

Salaires bruts

Banque

Prestations de services

Organismes sociaux

1 000

2 0004 000

2 000

1 000

6 000

400

3DJH��



2 sur 5

Q3 2 points

5

44

615

65

57

36

(c) suite 0,25Charges sociales

(d) 0,5Charges d’intérêtsEmprunts

(e) 0,25Achats de marchandises

0,25Caisse

0,5Stocks de marchandises

Banque

Organismes sociaux

Banque

Banque


Variations de stocks march

800

1201 000

2 000

2 500

150

1 600

800

1 120

2 000

2 500

150

2. Matériel90 000 SD=90 000

2. Dépôts versés800 SD=800

5. Banque108 700

4 0001 0001 6001 1202 000SD=106 980

3. Stocks de marchandises150 SD=150

5. Caisse2 0002 0002 500

SD=6 5001. Capital

SC=120 000 120 000

1. Résultat4 5002 000

800120

2 000

6 0002 500150SD=770

1. Emprunts1 000

SC=39 00040 000

4. Fourn. d’immoSC=45 000 45 000

4. Fourn B&S1 000 1 000

4. Organismes sociauxSC=1 200 400

800

3DJH��




3 sur 5

Q4 2 points


Q5 : Passez les écritures comptables du mois de décembre 1/2 point par opération

ACTIFMatérielDépôts versésStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF

BILAN90 000

800150

106 9806 500

204 430

CapitalRésultatEmpruntFournisseurs d’immoOrganismes sociauxTOTAL PASSIF

PASSIF120 000

-77039 00045 000

1 200204 430

644

44

2445

5474

574

645

4

01/06Achats de marchandisesTVA déductible/ABS

04/06

Fournisseurs B&S

08/06MatérielTVA déductible/immo

11/06

BanqueClients

15/06Banque

19/06Entretien, réparationsTVA déductible/ABS

30/06Fournisseurs B & S - EAP

Fournisseurs B & S

Fournisseurs B&S, EAP

Fournisseurs d’immoBanque

Ventes de marchandisesTVA collectée

Prestations de serviceTVA collectée


800160

960

1 800360

480480

60

600120

960

960

960

1 440720

800160

5010

1 764

3DJH��



4 sur 5

Dossier n°3 4 pointsQ6 : acquisition de la machine 0,5 point

Q7 : Plan d’amortissement 2 points0,5 point pour le calcul du taux0,5 point pour la première dotation (prorata)0,5 point pour l’application du taux dégressif à la VCN début d’exercice0,5 point pour le passage à un amortissement constant

Dotation 2013 : 120 000 x 1/5 x 2 x 8/12 = 32 000Q8: écritures d’inventaire 0,5 point

Q9: Extrait du bilan au 31/12/2015 1 point

5 Banque 960

2454


BanqueFournisseurs d’immo

120 00024 000

72 00072 000



ANNEES20132014201520162017

VCN début120 00088 00052 80031 68015 840

DOTATION32 00035 20021 12015 84015 840

CUMUL32 00067 20088 320

104 160120 000

120 00005/05/13

51/5 x 2 =40%

VCN fin88 00052 80031 68015 840

0

62

31/12/13DADP - charges d’exploitation

Amortissement du matériel32 000

32 000

Actif



Exercice 2015

Brut

120 000

X

Amortissements et

provisions

88 320

X

Net

31 680

X

Exercice 2014

Net

52 800

X

3DJH��




5 sur 5


NominalRèglement de l’exNet TTCHTProvision nécessaireProvision existante

Dotation ou reprise

ARDENT

3 120/

3 1202 6001 560

750+810

0,75 point

EASYFLY

1 680720960800

/400

- 4000,75 point

FIELD AND FISH

1 800240

1 5601 300

260500

- 2400,75 point

0,25 point

6

4

0,25 point

4

7

0,25 point

644

0,25 point

4

7

31/12

DADP - charges d’exploitation


31/12

Pertes sur créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes


Dépréciation des comptes de clients

RADP - Produits d’exploitation

Clients douteux

RADP - produits d’exploitation

810

400

800160

240

810

400

960

240

3DJH��

SESSION 1 - 21 DÉCEMBRE 2012

1 sur 4


U.F.R. 02


2012-2013


DURÉE DE L'ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L'ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU


Dossier n°1 (30 minutes)Le 01/10/2012 M. DESTANNES crée son entreprise et ouvre son magasin de coutellerie « Le couteau d’Aurillac ».

Il apporte 40 000 euros, déposés comme capital sur le compte en banque de l’entreprise, et il obtient un emprunt à cette même banque de 10 000 euros.

Avec ces capitaux, il acquiert un fonds commercial pour 10 000 euros et des agencements pour aménager son magasin pour 10 000 euros également. Ces agencements sont payés moitié au comptant moitié à crédit 60 jours fin de mois. Il achète par ailleurs un stock de 800 couteaux dont il a conçu le design pour 24 000 euros à un fabricant de Thiers.

Par ailleurs il retire 200 euros du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.

Vous ferez abstraction de la TVA dans cet exercice.

Question 1 : Établir le bilan d’ouverture de l’entreprise « Le couteau d’Aurillac » en respectant au mieux le modèle de bilan du PCG

1. Au cours du mois d’octobre, l’entreprise « Le couteau d’Aurillac » réalise les opérations suivantes :

2. Vente au comptant de 30 couteaux pour 1 500 euros en espèces.3. Paiement par chèque du premier loyer pour le local où est installé le magasin de 1 200

euros.4. Commande au fournisseur de Thiers de 200 couteaux supplémentaires pour 7 000

euros. La facture sera réglée dans 30 jours.5. Vente de 50 couteaux pour 2 500 euros. Le règlement s’effectue pour moitié en

espèces et pour moitié par chèque.6. Paiement de la première mensualité d’intérêt sur l’emprunt comprenant 50 euros

3DJH��



2 sur 4

d’intérêts et 1 000 euros de remboursement de capital.7. Paiement par chèque d’une campagne de publicité dans la presse régionale pour

500 euros.

Question 2 : Enregistrer les différentes opérations au journal selon la méthode de l’inventaire intermittent.Question 3 : Le stock de couteaux est constitué d’un unique modèle. Évaluer le stock de couteaux selon la méthode FIFO.Question 4 : Calculer la marge commerciale (ventes de marchandises - coût d’achat des marchandises vendues).

Dossier n°2 (30 minutes)Au mois de décembre 2012, l’entreprise JACKET spécialisée dans la fabrication de costumes prêts-à-porter réalise les opérations suivantes :01/12/2012 : Achat de tissus pour 4 000 euros HT. L’achat est réglé à 60 jours. L’entreprise obtient un rabais de 5 %.03/12/2012 : Achat d’une machine à coudre pour ses ateliers au prix de 8 000 euros HT. Cet achat est réglé moitié au comptant par chèque, moitié à crédit.10/12/2012 : Vente de costumes pour 5 000 euros HT. La moitié est réglée au comptant par chèque, la moitié à 90 jours fin de mois. Une lettre de change d’un montant correspondant à la partie non réglée comptant de la vente est envoyée au client pour acceptation12/12/2012 : Le client retourne la lettre de change acceptée.13/12/2012 : Remise à l’escompte de l’effet de commerce précédent.15/12/2012 : Avis de la banque relatif au paiement de l’effet remis à l’escompte : les services sont facturés 15 euros HT et les intérêts s’élèvent à 75 euros.20/12/2012 : Reçu une facture d’avoir concernant l’achat du 1er décembre. Un rabais supplémentaire de 100 euros HT est accordé par le fournisseur.26/12/2012 : Comptabilisation de la paie du mois de décembre. Les salaires nets à verser s’élèvent à 18 000 euros et les cotisations sociales salariales sont d’un montant global de 3 500 euros dont 2 000 pour les cotisations de la Sécurité Sociale, 750 pour l’assurance chômage et 750 pour les caisses de retraite complémentaire.26/12/2012 : Comptabilisation des cotisations sociales patronales d’un montant global de 10 000 euros dont 4 500 pour les cotisations de sécurité sociale, 2 500 pour Pôle Emploi, 3 000 pour les caisses de retraite complémentaire.30/12/2012 : Mise en paiement des salaires et cotisations sociales


Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de décembre au Journal de l’entreprise JACKET.

3DJH��


3 sur 4

Dossier n°3 (30 minutes)Monsieur CHARBOUT a passé commande, auprès de la société DECOUPFER, d'un automate de découpe.

Facture d'achat de l'automateDECOUPFER12 avenue FERRY 69009 LYON

Lyon, le 25 avril 2012SA au capital de 1 000 000 €RC Lyon A 5234 560 004 Facture n° 118 C

Doit

Entreprise CHARBOUTZI Val Guiers73330 Belmont-Tramonet

Conditions de règlementsolde : 50 % sous huit jours, 50 % par lettre de change jointe à échéance du 31 juillet 2012

Informations complémentairesExercice comptable : il est clos le 31 décembre.Immobilisations : les installations techniques sont amorties suivant la technique du dégressif fiscal sur 5 ans avec un coefficient de 2 mais c'est l'amortissement linéaire qui exprime le mieux la dépréciation économique. L’automate est mis en service le 16 mai 2012.

Travail à fairea. Enregistrer la facture de DECOUPFER.b. Présenter le tableau d'amortissement de l'automate.c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/2012, concernant les dotations aux

amortissements des installations techniques. Vous ferez appel à la technique de l'amortissement dérogatoire proposée par le PCG.

d. Présenter l’extrait du bilan au 31/12/2013 concernant cette immobilisation.

Dossier n°4 (5 minutes)L'entreprise MEGATOC acquiert en avril 2012 des installations techniques d'une durée de vie de 15 ans amortissables en dégressif. Le coefficient d'amortissement dégressif applicable pour des biens de cette durée de vie est de 2,25. Les règles de l'amortissement dégressif stipulent que « lorsque l'annuité dégressive devient inférieure au quotient de la valeur comptable nette par le nombre d'années restant à courir, l'entreprise peut pratiquer une dotation égale à ce quotient ».

RefAUZE4

DésignationAutomate découpeRemise

Quantité1

Total HTTVA 20 %Net à payer

PU Net110 000

Montant HT110 00010 000

100 00020 000

120 000

3DJH��



4 sur 4

En quelle année, ce passage à un amortissement constant aura-t-il lieu pour les installations techniques de notre entreprise MEGATOC ? Justifiez votre réponse.

Dossier n°5 (10 minutes)La situation des clients douteux de l'entreprise LUYCE se présente comme suit au 31-12-2012. avant inventaire:

L’inventaire des créances au 31-12-2012 permet d’obtenir les informations suivantes:DUPAS: Il devrait nous régler 75 % de la créance restant due.CADON: On espère pouvoir récupérer 10 % de la créance restant due.La situation du client DUPAS nécessite la reprise de la provision existante. Pour quel montant ? Justifier la réponse.La situation du client CADON nécessite la constitution d’une provision complémentaire. Pour quel montant ? Justifier la réponse.

Dossier n°6 (10 minutes)La société « COSMOS » clôture ses comptes le 31 décembre de chaque année. Elle vous communique un extrait simplifié de la balance après inventaire au 31 décembre. Toutefois, suite à un problème informatique, les écritures d’inventaire concernant les stocks n’ont pu être prises en compte. Des informations complémentaires concernant ces derniers vous sont communiquées.

Établir le compte de résultat au 31 décembre 2012 selon le modèle du PCG.

Extrait simplifié de la balance après inventaire au 31/12/12

Bonus

L'entreprise TORX exporte en Suisse. Elle possède des créances en francs suisses comptabilisées pour 15 k€. Lors de la clôture, le franc suisse s'échange contre 0,65 € alors qu'il s'échangeait contre 0,60 € lors de l'enregistrement de la créance. Le comptable doit-il enregistrer une provision pour risques (provision pour perte de change) ?

Noms

DUPASCADON

Montant initialdes créances

18 0003 600

21 600

Provisionsau bilan

12 0001 000

13 000

Règlementseffectués en 2012

10 8001 800

12 600

StocksMatières premièresProduits finis

1/01/1270 00090 000

31/12/1272 500

110 000

Achats de matières premièresCharges de personnelCharges exceptionnellesCharges financièresDADP d'exploitationImpôts et taxesImpôt sur les bénéficesProduction vendueProduits exceptionnelsProduits financiersServices extérieurs et autres services extérieursCharges constatées d’avanceProduits constatés d’avance

Soldes débiteurs50 00015 00015 000

2 50010 00015 000

3 500

20 0003 000

Soldes créditeurs

130 00010 000

5 000

2 500

3DJH��

Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1

1 sur 6

Le barème est volontairement sur 22 points afin de tenir compte de la longueur du sujet même si j’ai vu des copies ayant tout traité (malheureusement de façon imparfaite pour la dernière question).Concernant la notation des écritures comptables au journal qui sont toutes à 0,5 Pt, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte. Sanctionner toutefois une fois (-0,25 Pt) la confusion achats de marchandises-achats de matières premières ou ventes de produits finis.En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.

Dossier n°1 : 5,5 pointsQuestion 1 : 1,5 point (dont 0,5 pour une présentation respectant l’ordre du bilan

PCG)


Question 2 : 3 points ( 1/2 point par opération)

ACTIFFonds commercialAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF

BILAN10 00010 00024 00010 800

20055 000

CapitalEmpruntFournisseurs d’immo

TOTAL PASSIF

PASSIF40 00010 000

5 000

55 000

Apport en capitalEmpruntAcquisition fonds de commerceAgencementsStocks de marchandisesCaisseSolde

40 00010 000

-10 000-5 000

-24 000-200

10 800

537

65

64

5

1

Caisse

2Locations

3


4

Banque


Banque

Fournisseurs de B&S

1 500

1 200

7 000

1 250

1500

1 200

7 000

3DJH��



2 sur 6

Question 3 : 0,5 point

Le stock final est évalué à 21 600 + 7 000 = 28 600

Question 4 : 0,5 point

Dossier n°2 : 5 points (1/2 point par opération)

57

661165

65

Caisse

5

Charges d’intérêtsEmprunts

6Frais de publicité


Banque

Banque

1 250

501 000

500

2 500

1050

500

Date Numéro de lot

Stock Initial

Sortie 1

Entrée

Sortie 2

Entrées

quantité

200

prix

35

Montant

7 000

Sorties

quantité

30

50

prix

30

30

Montant

900

1 500

Stocksquantité

800

770

770

200

720200

prix

30

30

30

35

3035

Montant

24 000

23 100

23 100

7 000

21 6007 000

Ventes de marchandisesAchats de marchandisesΔ stocks marchandises (SI - SF)CAMVMarge commerciale

4 0007 000

-4 6002 4001 600

644

2454

4574

1/12

Achats de MPTVA déductible/ABS


10/12

ClientsBanque

Fournisseurs B&S


Ventes de PFTVA collectée/ventes

3 800760

8 0001 600

3 0003 000

4 560

4 8004 800

5 0001 000

3DJH��


3 sur 6

Dossier n°3 : 6 points

a. Enregistrer la facture de DECOUPFER (0,5 point)

44

54

56645

4

6

642434343

6434343

424343435

12/12Clients, EAR

13/12


15/12BanqueIntérêtsServices bancairesTVA déductible/ABS

20/12Fournisseurs B&S

26/12Salaires

26/12Cotisations sociales

30/12Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire

Clients

Clients, EAR


RRR obtenusTVA déductible/ABS



Banque

3 000

3 000

2 9077515

3

120

21 500

10 000

18 0006 5003 2503 750

3 000

3 000

3 000

10020

18 0002 000

750750

4 5002 5003 000

31 500

21544562

404405

Inst. TechniquesEtat, TVA déductible

LC N°

25/04/12

Fournisseurs d'immoF d’immo Effets à payer

100 00020 000

60 00060 000

3DJH��



4 sur 6

b. Présenter le tableau d'amortissement de l'automate. (2,5 points: 0,75 pour le prorata année 1, 0,75 pour le passage au linéaire, 1 pour le mode de calcul correct sur une base décroissante)

c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/N, concernant les dotations aux amortissements des installations techniques. Vous ferez appel à la technique de l'amortissement dérogatoire proposée par le PCG.

Il n'était pas demandé d'établir ces deux derniers tableaux. Il suffisait de justifier le calcul de l'amortissement dérogatoire pour l'année N. (1,5 points dont 0,5 point pour la justification des calculs)



ANNEES20122013201420152016

VCN début100 00070 00042 00025 20012 600

ANNUITES30 00028 00016 80012 60012 600

CUMUL30 00058 00074 80087 400

100 000

100 00025/04/12

540%

VCN fin70 00042 00025 20012 600

0

Valeur d'origine

Date de mise en service

Date début exercice comptable

Nombre de jours de la date de mise en service à la date de fin d'exercice comptableannées201220132014201520162017

100000,00

16/05/12

01/01/12

Base amort100 000,00100 000,00100 000,00100 000,00100 000,00100 000,00

Annuité12 500,0020 000,0020 000,0020 000,0020 000,007 500,00

DuréeTaux

d'amortissement

Cumul12 500,0032 500,0052 500,0072 500,0092 500,00100 000,00

5

20,00%

225VNC fin

87 500,0067 500,0047 500,0027 500,007 500,00

0,00

Amortissement dérogatoire

Années

201220132014201520162017

Dotation linéaire

12 50020 00020 00020 00020 0007 500

Dotation dégressive

30 00028 00016 80012 60012 600

Amortissement dérogatoire

17 5008 000

-3 200-7 400-7 400

3DJH��


5 sur 6

d. Extrait du bilan au 31/12/2013 1,5 point dont 1 point sur 2013, 0,5 point sur 1012


Dossier n°4 1 pointTaux d’amortissement dégressif = 1/15 × 2,25 = 15 %à comparer au taux du linéaire calculé sur le nombre d’années restant à courir:

• début 2020, 7 ans soit 1/7 = 14 % < 15 %, on reste en dégressif• début 2021, 6 ans soit 1/6 = 16,66 % > 15 %, on passe en linéaire sur 6 ans.

Dossier n°5 2 points (1 point par client)

681

2815

0,5 pointDADP – Charges d'exploitation

31/12/N Amortissement installations tech

12 500,00

12 500,00

687145

0,5 pointDADP- Charges exceptionnelles

31/12/N Amortissements dérogatoires

17 500,00

17 500,00

Actif



Exercice 2013

Brut

100 000

X

Amortissements et

provisions

32 500

X

Net

67 500

X

Exercice 2012Net

87 500

X

Passif

Capitaux propresProvisions réglementées

Exercice 2013

25 500

X

Exercice 2012

17 500

X

NominalRèglement en 2012Net TTCHTProvision nécessaireProvision existanteDotation ou reprise

DUPAS18 00010 800

7 2006 0001 500

12 000-10 500

CADON3 6001 8001 8001 5001 3501 000+350

3DJH��



6 sur 6


• Calcul correct des variations de stocks : 1 point• Respect de l’ordre de présentation du modèle PCG avec notamment la distinction

exploitation, financier et exceptionnel : 1 point• Calcul et présentation du solde de l’exercice : 0,5 point• Charges et/ou Produits constatés d’avance : -0,5 point

Bonus 1 point

À la clôture, la valeur des créances a augmenté passant de 15 000 € à 16 250 € (15 000/0,6 × 0,65). On est donc dans une situation de gain de change latent. Pas de provision pour perte de change).

ChargesAchats MPΔStocks MP (SI-SF)Services extérieursImpôts & taxesCharges de personnelDADP exploitationCharges financièresCharges exceptionnellesImpôt/bénéficesBénéfice de l’exerciceTotal

Compte de résultat50 000-2 50020 00015 00015 00010 000

2 50015 000

3 50036 500

165 000

Production vendueProduction stockée (SF-SI)Produits financiersProduits exceptionnels

Total

Produits130 000

20 0005 000

10 000

145 000

3DJH��


1 sur 3


U.F.R. 02


2012-2013


DURÉE DE L’ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L’ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU


Dossier no 1 (45 minutes)Le 01/10/2012, M. LACOURT et M. GILOT créent l’entreprise MOBISHOP,

magasin qui commercialise du mobilier de bureau de la marque CEDUSOLID.Chacun fait un apport de 60 000 euros et la banque leur accorde un prêt de

40 000 euros. Avec ça ils acquièrent un local pour 45 000 euros, des agencements pour aménager leur magasin pour 12 000 euros, un stock constitué de 40 armoires de la gamme « Prestige » pour 55 000 euros et 20 armoires de la gamme « Ministre » pour 14 000 euros. Le local est payé moitié au comptant et moitié à crédit 60 jours fin de mois.

Par ailleurs ils retirent 2 000 euros du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.

Il sera fait abstraction de la TVA dans cet exercice.

Q1 : Établir le bilan initial selon le modèle du PCG (après création de l’entreprise et avant toute opération d’exploitation).

Au cours des trois mois suivants, l’entreprise MOBISHOP réalise les opérations suivantes :

a) Paiement du la première redevance pour l’utilisation de la marque CEDUSOLID de 1 000 euros.

b) Vente de 15 armoires de la gamme « Prestige » à une entreprise cliente pour 22 500 euros. La facture sera réglée dans 30 jours.

c) Achat de 50 armoires de la gamme « Ministre » au fournisseur CEDUSOLID pour un montant total de 36 000 euros. La facture sera réglée d’ici 30 jours.

d) Remboursement d’une première mensualité de l’emprunt pour 1 000 euros auxquels s’ajoutent 120 euros d’intérêts.

3DJH��



1 sur 6

Concernant la notation des écritures comptables au journal, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte.En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.

Dossier n°1 : 7 pointsQuestion 1 : 1 point



ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF

BILAN45 00012 00069 00054 500

2 000182 500


TOTAL PASSIF

PASSIF120 000

40 00022 500

182 500

Apport en capital (2 x 60 000)EmpruntAcquisition local (45 000/2)AgencementsStocks de marchandisesCaisseSolde

120 00040 000

-22 500-12 000-69 000

-2 00054 500

655

47

64

1665

57

1

Redevances

2Clients

3


4EmpruntsIntérêts

5

Banque

Banque


Fournisseurs de B&S

Banque


1 000

22 500

36 000

1 000120

10 000

1 000

22 500

36 000

1 120

10 000

3DJH��


2 sur 6

Question 3 : 1,5 points

Armoires «Prestige» 0,25 points

Le stock final est évalué à 34 375.Armoires «Ministre» 0,75 points

Le stock final est évalué à 43 000.

Stock initial : 55 000 + 14 000 = 69 000Stock final : 34 375 + 43 000 = 77 375

Question 4 : 2 points

(*) 54 500 - 1 000 - 1 120 + 10 000)

Date Numéro de lot

Stock Initial

Sortie 1

Entréesquantité prix Montant

Sortiesquantité

15

prix

1 375

Montant

20 625

Stocksquantité

40

25

prix

1 375

1375

Montant

55 000

34 375

Date Numéro de lot

Stock Initial

Entrée

Sortie

Entréesquantité

50

prix

720

Montant

36 000

Sortiesquantité

10

prix

700

Montant

7 000

Stocksquantité

20

20

50

1050

prix

700

700

720

700720

Montant

14 000

14 000

36 000

7 00036 000

6033

37

1 0,25 pointvariation stocks

2 0,25 pointStocks marchandises

Stocks marchandises

variations de stocks

69 000

77 375

69 000

77 375

ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesClientsBanque (*)CaisseTOTAL ACTIF

BILAN 1 point45 00012 00077 37522 50062 380

2 000221 255

CapitalRésultatEmpruntFournisseurs d’immoFournisseurs B & S

TOTAL PASSIF

PASSIF120 000

3 75539 00022 50036 000

221 255

3DJH��



3 sur 6


644

44

2454

4574

574

644

165

6

1/05

Achats de marchandisesTVA déductible/ABS


3/05Matériel & outillageTVA déductible/immo

10/05

ClientsBanque

12/05Banque

13/05

Achts fourn non stockéesTVA déductible/ABS

15/05EmpruntIntérêts

26/05

Salaires

Fournisseurs B&S

Fournisseurs B & S - EAP



Prestations de serviceTVA collectée/ventes

Banque

Banque

900180

1 080

3 000600

1 2001 200

180

800160

2 200300

2 730

1 080

1 080

1 2002 400

2 000400

15030

960

2 500

CHARGESAchats de marchandisesVariation stocksCharges de gestion couranteCharges financièresBénéficeTOTAL CHARGES

Compte de résultat 1 point36 000-8 3751 000

1203 755

32 500


TOTAL PRODUITS

PRODUITS32 500

32 500

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4 sur 6

Dossier n°3 : 4,5 points

a. Enregistrer l’acquisition du matériel (0,5 point)

b. Présenter le tableau d'amortissement de la machine. (2 points: 0,5 pour le prorata année 1, 0,5 pour le passage au linéaire, 1 pour le mode de calcul correct sur une base décroissante)

Taux dégressif : 1/6 x 2 = 1/3Dotation 2013 : 9 000 x 1/3 x 9/12 = 2 250Dotation 2014 : 6 750 x 1/3 = 2 250

c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/2013.

21544562

404512

Matériel industrielEtat, TVA déductible/immo

15/04/13

Fournisseurs d'immoBanque

9 0001 800

5 4005 400

42434343

6434343

424343435

26/05





Banque

945

2 1001 130

265180

2 100430120

80

700145

80

3 675

Tx linéaire

1/61/5=20%1/4=25%

1/3=33,33%1/2=50%

Année

201320142015201620172018

Base d’amortissement

9 0006 7504 5003 0002 0001 000

Dotation

2 2502 2501 5001 0001 0001 000

Amortissement cumulé2 2504 5006 0007 0008 0009 000

VCFE

6 7504 5003 0002 0001 000

0

3DJH��



5 sur 6



Dossier n°4 3,5 points (0,5 par écriture + 0,5 par justification)

* 15 000 x 0,8

HOMME MODERNE

Actif



Exercice 2014

Brut

9 000

X

Amortissements et

provisions

4 500

X

Net

4 500

X

Exercice 2013Net

6 750

X

0,5 points/clientNominalRèglement en 2012Net TTCHTProvision nécessaireProvision existanteDotation ou reprise

HOMME MODERNE

18 000

18 00015 000

12 000*7 500

+4 500

ACTIMOD

16 8007 2009 6008 000

/4 000

-4 000

BEL HOMME

7 2001 2006 0005 0001 5002 000-500

681

491


31/12/12 Dépréciation des créances clients

4 500

4 500

681

2815


31/12/13 Amortissement du matériel

2 250

2 250

3DJH��


6 sur 6

ACTIMOD

BEL HOMME

491

781

0,5 pointDépréciation des créances clients

31/12/12 RADP - Produits d’exploitation

500

500

6544457

416

0,5 pointPertes/créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes

31/12/12

Clients douteux

8 0001 600

9 600

491

781



4 000

4 000

3DJH��



2 sur 3

e) Vente de 10 armoires de la gamme « Ministre » à l’entreprise AYRAULT pour un total de 10 000 euros. La facture est payée par carte bancaire.

Q2 : Enregistrer les opérations précédentes au journal en pratiquant la méthode de l’inventaire intermittent.Q3 : Évaluer les stocks d’armoires selon la méthode FIFO et passer les écritures de régularisation nécessaires concernant ces stocks du fait de la pratique de l’inventaire intermittent.Q4 : Établir le bilan et le compte de résultat (modèle PCG) de l’entreprise MOBISHOP à la fin du mois de décembre.


Au mois de mai 2013, l’entreprise DUBOS spécialisée dans la commercialisation d’articles de pêche réalise les opérations suivantes :01/05/2013 : Achat de moulinets au fournisseur HARDY pour 1 000 euros HT. L’achat est réglé à 90 jours. L’entreprise obtient un rabais de 10 %. La facture est accompagnée d’une lettre de change envoyée par le fournisseur pour acceptation.02/05/2013 : Retour à HARDY de la lettre de change acceptée.03/05/2013 : Achat d’un tour à vernir les cannes pour ses ateliers au prix de 3 000 euros HT. Cet achat est réglé pour 1/3 au comptant par chèque, 2/3 à crédit.10/05/2013 : Vente de cannes à mouche pour 2 000 euros HT. La moitié est réglée au comptant par chèque, la moitié à 30 jours fin de mois. 12/05/2013 : Revernissage d’une canne pour un client à l’aide du tour nouvellement acquis. La prestation facturée 150 euros HT est réglée comptant par chèque par le client13/05/2013 : Paiement d’une facture d’électricité par chèque pour 800 euros HT.15/05/2013 : Avis de prélèvement de la banque relatif au paiement d’une annuité d’emprunt de 2 500 euros (capital remboursé : 2 200 euros, intérêts : 300 euros).26/05/2013 : Comptabilisation de la paie du mois de mai du vendeur employé en magasin. Le salaire net à verser s’élève à 2 100 euros et les cotisations sociales salariales sont d’un montant global de 630 euros dont 430 pour les cotisations de la Sécurité Sociale, 120 pour l’assurance chômage et 80 pour les caisses de retraite complémentaire.26/05/2013 : Comptabilisation des cotisations sociales patronales d’un montant global de 945 euros dont 700 pour les cotisations de sécurité sociale, 145 pour Pôle Emploi, 100 pour les caisses de retraite complémentaire.30/05/2013 : Mise en paiement des salaires et cotisations sociales


Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de mai au Journal de l’entreprise DUBOS.


La société REPROGRAPH est une imprimerie spécialisée dans l’édition publicitaire (fabrication de catalogues et de prospectus). L’entreprise vous demande de traiter le

3DJH��


3 sur 3

dossier suivant :

Le 15 avril 2013, l’entreprise achète une nouvelle machine offset pour faire face à l’augmentation des commandes.Prix de la machine : 9 000 € HT, taux de TVA à 20 %.Conditions de paiement : la moitié comptant par chèque le solde à 60 jours fin de mois.Le matériel est amorti sur six ans en dégressif (coefficient à utiliser : 2).

Travail à faire :

Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’acquisition de ce matériel.Présenter le tableau d’amortissement de la machine.Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’écriture d’inventaire au 31/12/2013 la concernant.Présenter l’extrait de bilan au 31/12/2014 concernant cette machine (modèle de bilan du PCG).


La société SHOPPANTA est une entreprise industrielle domiciliée à Saint-Denis. Elle a pour activité la fabrication de pantalons en toile « jean ». L’exercice comptable coïncide avec l’année civile. Les activités de l’entreprise sont soumises à la TVA au taux normal de 20 %. Le chef comptable, Monsieur LEVIS, vous confie le dossier des créances douteuses.

Tableau des créances douteuses

Travail à faire :

Enregistrer au journal de l’entreprise les écritures de régularisation nécessaires client par client en justifiant chacun des montants utilisés.

Noms

L'HOMME MODERNE

ACTIMODBEL HOMME

Créances taxes comprises au 31/12/2011

18 00016 800

7 200

Provision au 31/12/2011

7 5004000

2000

Règlement en 2012

07 200

1 200

Situation au 31/12/2012

On pense récupérer 20% de la créance restant dueCompte à solderOn pense perdre 30% de la créance restant due

3DJH��



1 sur 6

Concernant la notation des écritures comptables au journal, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte.En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.

Dossier n°1 : 7 pointsQuestion 1 : 1 point



ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF

BILAN45 00012 00069 00054 500

2 000182 500


TOTAL PASSIF

PASSIF120 000

40 00022 500

182 500

Apport en capital (2 x 60 000)EmpruntAcquisition local (45 000/2)AgencementsStocks de marchandisesCaisseSolde

120 00040 000

-22 500-12 000-69 000

-2 00054 500

655

47

64

1665

57

1

Redevances

2Clients

3


4EmpruntsIntérêts

5

Banque

Banque


Fournisseurs de B&S

Banque


1 000

22 500

36 000

1 000120

10 000

1 000

22 500

36 000

1 120

10 000

3DJH��


2 sur 6

Question 3 : 1,5 points

Armoires «Prestige» 0,25 points

Le stock final est évalué à 34 375.Armoires «Ministre» 0,75 points

Le stock final est évalué à 43 000.

Stock initial : 55 000 + 14 000 = 69 000Stock final : 34 375 + 43 000 = 77 375

Question 4 : 2 points

(*) 54 500 - 1 000 - 1 120 + 10 000)

Date Numéro de lot

Stock Initial

Sortie 1

Entréesquantité prix Montant

Sortiesquantité

15

prix

1 375

Montant

20 625

Stocksquantité

40

25

prix

1 375

1375

Montant

55 000

34 375

Date Numéro de lot

Stock Initial

Entrée

Sortie

Entréesquantité

50

prix

720

Montant

36 000

Sortiesquantité

10

prix

700

Montant

7 000

Stocksquantité

20

20

50

1050

prix

700

700

720

700720

Montant

14 000

14 000

36 000

7 00036 000

6033

37

1 0,25 pointvariation stocks

2 0,25 pointStocks marchandises

Stocks marchandises

variations de stocks

69 000

77 375

69 000

77 375

ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesClientsBanque (*)CaisseTOTAL ACTIF

BILAN 1 point45 00012 00077 37522 50062 380

2 000221 255

CapitalRésultatEmpruntFournisseurs d’immoFournisseurs B & S

TOTAL PASSIF

PASSIF120 000

3 75539 00022 50036 000

221 255

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3 sur 6


644

44

2454

4574

574

644

165

6

1/05

Achats de marchandisesTVA déductible/ABS


3/05Matériel & outillageTVA déductible/immo

10/05

ClientsBanque

12/05Banque

13/05

Achts fourn non stockéesTVA déductible/ABS

15/05EmpruntIntérêts

26/05

Salaires

Fournisseurs B&S

Fournisseurs B & S - EAP



Prestations de serviceTVA collectée/ventes

Banque

Banque

900180

1 080

3 000600

1 2001 200

180

800160

2 200300

2 730

1 080

1 080

1 2002 400

2 000400

15030

960

2 500

CHARGESAchats de marchandisesVariation stocksCharges de gestion couranteCharges financièresBénéficeTOTAL CHARGES

Compte de résultat 1 point36 000-8 3751 000

1203 755

32 500


TOTAL PRODUITS

PRODUITS32 500

32 500

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4 sur 6

Dossier n°3 : 4,5 points

a. Enregistrer l’acquisition du matériel (0,5 point)

b. Présenter le tableau d'amortissement de la machine. (2 points: 0,5 pour le prorata année 1, 0,5 pour le passage au linéaire, 1 pour le mode de calcul correct sur une base décroissante)

Taux dégressif : 1/6 x 2 = 1/3Dotation 2013 : 9 000 x 1/3 x 9/12 = 2 250Dotation 2014 : 6 750 x 1/3 = 2 250

c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/2013.

21544562

404512

Matériel industrielEtat, TVA déductible/immo

15/04/13

Fournisseurs d'immoBanque

9 0001 800

5 4005 400

42434343

6434343

424343435

26/05





Banque

945

2 1001 130

265180

2 100430120

80

700145

80

3 675

Tx linéaire

1/61/5=20%1/4=25%

1/3=33,33%1/2=50%

Année

201320142015201620172018

Base d’amortissement

9 0006 7504 5003 0002 0001 000

Dotation

2 2502 2501 5001 0001 0001 000

Amortissement cumulé2 2504 5006 0007 0008 0009 000

VCFE

6 7504 5003 0002 0001 000

0

3DJH��



5 sur 6



Dossier n°4 3,5 points (0,5 par écriture + 0,5 par justification)

* 15 000 x 0,8

HOMME MODERNE

Actif



Exercice 2014

Brut

9 000

X

Amortissements et

provisions

4 500

X

Net

4 500

X

Exercice 2013Net

6 750

X

0,5 points/clientNominalRèglement en 2012Net TTCHTProvision nécessaireProvision existanteDotation ou reprise

HOMME MODERNE

18 000

18 00015 000

12 000*7 500

+4 500

ACTIMOD

16 8007 2009 6008 000

/4 000

-4 000

BEL HOMME

7 2001 2006 0005 0001 5002 000-500

681

491


31/12/12 Dépréciation des créances clients

4 500

4 500

681

2815


31/12/13 Amortissement du matériel

2 250

2 250

3DJH��


6 sur 6

ACTIMOD

BEL HOMME

491

781



500

500

6544457

416

0,5 pointPertes/créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes

31/12/12

Clients douteux

8 0001 600

9 600

491

781



4 000

4 000

3DJH��


Université Paris 1-UFR d’économie

L1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015

Cours de Jean-François Caulier et François Gardes

Partiel - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 8 janvier 2015

Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.

Question I (4 points)

Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :

a) (1 point) Énoncer, illustrer graphiquement et expliquer sans le démontrer le théorème des va-leurs intermédiaires.

b) (1 point) Énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes.

c) (1 point) Compléter la définition suivante, avec (un

)n

une suite numérique et ` 2 R :

limn!+•

u

n

= `,8e > 0, . . .

d) (1 point) Choisir une, et seulement une des deux propositions suivantes et la démontrer :(a)

p2 /2Q.

(b) Ân

k=0�

n

k

�= 2n.

e) (1 point) Calculer la limite dex

3 �8x

3 �4x

lorsque x ! 2.

f) (1 point) Calculer la limite dee

2x �1ln(5x+2)

lorsque x !+•.

Question II (5 points)

Soit la suite (un

)n

définie par u

n+1 =u

n

3+1 et u0 = 0.

1) (1 point) Montrer par récurrence que la suite (un

)n

est toujours positive (8n : u

n

� 0).2) (1 point) Cette suite est-elle majorée ? Minorée ? Monotone (préciser alors le sens) ?3) (1 point) Pourquoi peut-on affirmer que cette suite est convergente ? Quelle est sa limite ?4) (1 point) On construit une nouvelle suite (w

n

)n

définie par w

n

= u

n

� u

n�1 pour tout n � 1.Exprimer w

n

en fonction de w

n�1. À quelle famille de suites appartient (wn

)n

?5) (1 point) En remarquant que u

n

�u0 = Ân

k=1 w

k

, donner la formule qui permet de calculer u

n

enfonction de w1.

Question III (6 points)

Soit f la fonction d’une variable définie par f (x) =3+2x

2

x

.

1) (1 point) Quel est son domaine de définition ? Est-elle éventuellement paire ou impaire ?2) (1,5 points) Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction et donner leur équation.

3DJH��

3) (1 point) Quels sont les points candidats à un extremum ?4) (1 point) Quels sont les intervalles de concavité/convexité de f ? Déterminer la nature des points

candidats.5) (1,5 points) Construire le tableau de variation et esquissez la représentation graphique de f (x).

Question IV (5 points)

Répondez uniquement à la question A ou bien à la question B, au choix :

Question A

Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = 25x� x

2 � xy�2y

2 +30y�28.1) (1 point) Déterminer le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).3) (2 points) Optimiser la fonction f (x,y) sous la contrainte 2x+ 2y = 6 par la méthode du La-

grangien (uniquement les conditions du premier ordre).

Question B

On considère une fonction de production dépendant de la quantité de capital K et de la quantitéde travail L (avec K et L les facteurs de production) utilisées pour produire des bicyclettes enquantité Q :

Q(K,L) = K

0,3L

0,5.

1) (1 point) Déterminer si cette fonction est homogène et le cas échéant, déterminer son degréd’homogénéité.

2) (2 points) Calculer les dérivées partielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport à K etdérivée partielle par rapport à L). Interpréter économiquement ces dérivées partielles du pre-mier ordre. Calculer ensuite les dérivées partielles croisées du second ordre

⇣∂ 2

Q

∂K∂L

= Q

00KL

et∂ 2

Q

∂L∂K

= Q

00LK

⌘. Que peut-on observer ? Est-ce un résultat général ?

3) (2 points) Si le prix du facteur K est de 6, le prix du facteur L est de 2 et le budget est de384, maximiser la fonction de production Q(K,L) sous la contrainte de budget (qui s’écrit6K +2L = 384) par la méthode du Lagrangien (uniquement les conditions du premier ordre).

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

Université Paris 1-UFR d’économieL1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015Cours de Jean-François Caulier et François Gardes

Partiel - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 8 janvier 2015Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.

Corrigé

Question I (4 points)Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :

a) (1 point) Énoncer, illustrer graphiquement et expliquer sans le démontrer le théorème desvaleurs intermédiaires.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé) TVI : Si f une fonction continue sur un intervalle[a,b], alors pour tout d 2 [ f (a), f (b)], il existe un c 2 [a,b] tel que f (c) = d.(0,25pt pour au moins une explication correcte) Le théorème annonce que l’image d’un segment[a,b] par une fonction continue sur l’intervalle fermé [a,b], f ([a,b]), est un segment (intervallefermé) [ f (a), f (b)]. Ainsi, tout point d de l’ensemble image [(a), f (b)] dispose d’un antécédentc 2 [a,b] par f . + Graphique (0,25pt).

b) (1 point) Énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé) THM suites adjacentes : Soit (un) et (vn) deuxsuites telles que :

(a) la suite (un) est croissante ;(b) la suite (vn) est décroissante ;(c) la suite (vn �un)n converge vers 0,

alors (un) et (vn) sont adjacentes et convergent vers la même limite.(0,5pt si la démonstration est complète, 0,25 si incomplète mais que l’idée de majorer et mi-norer les suites est présente) Démonstration : Soit (un) une suite croissante et (vn) une suitedécroissante telles que limn!+•(vn �un) = 0. Dans ces conditions, la suite (�un) est décrois-sante et la suite (vn �un)n, somme de deux suites décroissantes, est décroissante. Puisque cettesuite converge vers 0, pour tout n, on a : vn �un � 0 , vn � un.Or, u0 un et vn v0, c’est-à-dire : u0 un vn v0. Ceci signifie que la suite (vn) estdécroissante et minorée par u0, donc convergente. Soit `v sa limite. La suite (un) est croissanteet majorée par v0, donc convergente. Soit ù sa limite.Finalement,

limn!+•

(vn �un) = 0 = `v � ù,

donc `v = ù, les deux suites admettent la même limite.c) (1 point) Compléter la définition suivante, avec (un)n une suite numérique et ` 2 R :

limn!+•

un = `,8e > 0, . . .

3DJH��

(0,5pt si seule la distance en terme de valeur absolue est correctement spécifiée)

limn!+•

un = `,8e > 0,9h 2 N : 8n 2 N,n � h ) |un � `|< e.

d) (1 point) Choisir une, et seulement une des deux propositions suivantes et la démontrer :(a)

p2 /2Q.

(0,5pt pour l’idée de le prouver par l’absurde et un début de raisonnement) Soit la pro-position P : "

p2 n’est pas un nombre rationnel". Supposons au contraire que

p2 est un

nombre rationnel. Doncp

2 =pq

avec p et q deux entiers et q 6= 0. Choisissons p et q pre-

miers entre eux, c’est-à-dire qu’on ne peut plus simplifier la fraction. Dans ce cas, p et qne peuvent être tous deux pairs, sans quoi on pourrait simplifier par 2 la fraction. On peutdonc réécrire la proposition P comme "

p2 =

pq

, avec au moins un des deux entiers p ou q

non pair". Dès lorsp

2 =pq,

⇣p2⌘2

=p2

q2 , 2 =p2

q2 , 2 ·q2 = p2 ce qui signifie que

p2 est pair. Or nous savons que si p2 est pair, alors p est pair et peut s’exprimer commep = 2 · k, avec k un entier. Ceci implique p2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2(2 · k2). Comme on a2 ·q2 = p2, en remplaçant, on obtient 2 ·q2 = 2(2 · k2). En simplifiant à gauche comme àdroite par 2, on a q2 = 2 ·k2, donc q2 est pair, qui implique q pair également. Ceci contreditl’hypothèse selon laquelle p et q ne peuvent tous les deux être pairs. Une contradiction.Donc

p2 ne peut pas être rationnel.

(b) Ânk=0

�nk

�= 2n.

Puisque 2= 1+1, on a 2n =(1+1)n. L’expansion binomiale de (1+1)n s’écrit Ânk=0

�nk

�1k1n�k =

Ânk=0

�nk

�.

Autre façon : puisque�n

k

�représente l’ensemble des sous-ensembles de k éléments qu’il

est possible de construire à partir d’un ensemble de cardinalité n, alors la somme des�nk

�représente tous les sous-ensembles que l’on peut construire à partir d’un ensemble de

cardinalité n. Or on peut construire 2n sous-ensembles.

e) (1 point) Calculer la limite dex3 �8x3 �4x

lorsque x ! 2.

On a limx!2

x3 �8x3 �4x

= limx!2

(x�2)(x2 +2x+4)x(x�2)(x+2)

= limx!2

x2 +2x+4x(x+2)

=128

=32

.

Ou bien par l’Hôpital : limx!2

x3 �8x3 �4x

= limx!2

3x2

3x2 �4=

128

=32

.

f) (1 point) Calculer la limite dee2x �1

ln(5x+2)lorsque x !+•.

Pat le théorème des croissances comparées, à l’infini, l’exponentielle l’emporte que le loga-rithme, donc la limite est +•.


Soit la suite (un)n définie par un+1 =un

3+1 et u0 = 0.

1) (1 point) Montrer par récurrence que la suite (un)n est toujours positive (8n : un � 0).(0,5pt si la conclusion n’est pas écrite ! Il y a 3 étapes, initialisation, hérédité et conclusion.)

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

Initialisation : u0 � 0, u1 = 1 � 0. Hérédité : si un � 0, alorsun

3� 0 et

un

3+1 � 0 c’est-à-dire

un+1 � 0. Conclusion : un � 0 pour tout n 2 N.2) (1 point) Cette suite est-elle majorée ? Minorée ? Monotone (préciser alors le sens) ?

(0,25pt) Par le point précédent, la suite est minorée par 0.(0,25pt) Ensuite, elle est majorée par 2 par exemple. En effet, (initialisation) u0 et u1 sont < 2.

(Hérédité) Si un < 2, alorsun

3+1 <

23+1 =

53< 2. Conclusion, un < 2 pour tout n 2 N.

(0,5pt) Monotonie : un+1 � un =un

3+ 1� un�1

3� 1 =

un �un�1

3. Donc un+1 � un a le même

signe que un �un�1. La suite est donc monotone. De plus, par récurrence, un+1 �un a le mêmesigne que u1 �u0 = 1 > 0. Donc la suite est croissante.

3) (1 point) Pourquoi peut-on affirmer que cette suite est convergente ? Quelle est sa limite ?(0,5pt) Par le théorème fondamentale sur les limites, toute suite bornée et monotone est conver-gente. Ici, la suite est croissante et majorée.(0,5pt) Sa limite ` sera le point fixe de la fonction définissant la récurrence, à savoir : ` =`

3+1 , 2

3`= 1 , `=

32

.4) (1 point) On construit une nouvelle suite (wn)n définie par wn = un �un�1 pour tout n � 1.

Exprimer wn en fonction de wn�1. À quelle famille de suites appartient (wn)n ?On a wn = un � un�1 =

un�1

3+ 1� un�2

3� 1 =

un�1 �un�2

3=

wn�1

3. Puisque chaque terme

s’obtient à partir du terme de rang précédent par la multiplication d’une constante (la raison)13

,

la suite (wn) est une suite géométrique, de raison13

(0,5pt si seule la conclusion selon laquellec’est une suite géométrique de raison 1/3 est donnée, 0 sinon).

5) (1 point) En remarquant que un �u0 = Ânk=1 wk, donner la formule qui permet de calculer

un en fonction de w1.En additionnant les égalités

u1 �u0 = w1

u2 �u1 = w2

u3 �u2 = w3...

un �un�1 = wn

on a bien un �u0 = Ânk=1 wk. Donc : un = w1 ⇥

✓1� raisonn

1� raison

◆= 1⇥

0

BB@

✓1� 1

3

◆n

1� 13

1

CCA car w1 =

u1 �u0 = 1. (0,5pt si la bonne formule est annoncée mais mal utilisée)


Soit f la fonction d’une variable définie par f (x) =3+2x2

x.

3DJH��

1) (1 point) Quel est son domaine de définition ? Est-elle éventuellement paire ou impaire ?(0,5pt) La fonction f est définie si et seulement si son dénominateur est non-nul. Donc D f =R⇤ =]�•,0[[]0,+•[.

(0,5pt) De plus, f (�x) =3+2(�x)2

�x=�3+2x2

x=� f (x). La fonction f est impaire et admet

l’origine (0,0) comme centre de symétrie. On peut alors restreindre son étude sur R+ et obtenirl’étude sur R� par symétrie. Je développe néanmoins tous les résultats pour des facilités decorrection.

2) (1,5 points) Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction et donner leur équation.(0,5pt par asymptote, à savoir, il faut spécifier également l’absence d’asymptote horizontale,qui est la raison pour laquelle on recherche la présence d’asymptote oblique.)

(a) Asymptote verticale : limx!0+

f (x) =+• et limx!0�

f (x) =�•. La présence d’une seule de ces

conditions suffit à caractériser la présence d’une asymptote verticale A.V.⌘ x = 0.(b) Asymptote horizontale : lim

x!+•f (x) = +• et lim

x!�•f (x) =�•. Il n’y a donc pas d’asymp-

tote horizontale. On recherche alors la présence d’asymptote oblique :

(c) Asymptote oblique : limx!+•

f (x)x

= 2. Ensuite : limx!+•

f (x)� 2x = 0. En +•, présenced’une asymptote oblique A.O. ⌘ y = 2x. On peut répéter les mêmes opérations vers �•et on trouve le même résultat. Donc présence d’une asymptote oblique en �• d’équationA.O.⌘ y = 2x.

3) (1 point) Quels sont les points candidats à un extremum ?(0,5pt si le calcul de la dérivée première est correct mais erreur de calcul pour les candidats)

f (x) =3x+

2x2

xf 0(x) =� 3

x2 +2 f 00(x) =6x3 .

Conditions nécessaires à un extremum :

f 0(x) = 0 ,� 3x2 +2 = 0 , 2 =

3x2 , x =

r32

ou �r

32

on trouve donc deux candidats à un extremum.4) (1 point) Quels sont les intervalles de concavité/convexité de f ? Déterminer la nature des

points candidats.(0,5pt si le calcul de la dérivée seconde est correct, mais pas les intervalles. De même, onn’accordera que 0,5pt si les conclusions concernant minimum local ou maximum local sonterronées, ou que l’étudiant n’a pas spécifié local)Pour connaître les intervalles de concavité et convexité, on regarde le signe de la dérivée se-

conde. Puisque f 00(x) =6x3 , f 00(x)> 0 pour x > 0 et f 00(x)< 0 pour x < 0. La fonction f (x) est

concave sur ]�•,0[ et convexe sur ]0,+•[.

Dans ces conditions, en x = �r

32

, la fonction est concave et ce candidat : x = �r

32

est un

maximum local. En x =

r32

, la fonction est convexe et ce candidat est un minimum local.

5) (1,5 points) Construire le tableau de variation et esquissez la représentation graphique def (x). (0,5pt pour le tableau de variation, 1 pt pour le graphique dessiné approximativement.)

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

x �• �q

32 0

q32 +•

f 0(x) + � � +

f (x)�•

max local

�•

+•

min local

+•

�5.0 5.0

�10.0

�5.0

5.0

0

fgQuestion IV (5 points)Répondez uniquement à la question A ou bien à la question B, au choix :

Question A

Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = 25x� x2 � xy�2y2 +30y�28.1) (1 point) Déterminer le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).

(0,5pt pour les dérivées correctement calculées, 0,5pt pour le candidat) Conditions nécessaires :⇢

f 01(x,y) = 25�2x� y = 0f 02(x,y) =�x�4y+30 = 0 ,

⇢25�2x = y

�x�4(25�2x)+30 = 0 ,⇢

25�2x = y7x = 70

le seul candidat à un extremum est le point (x,y) = (10,5).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).

(1pt pour les 3 ou 4 dérivées secondes, on sanctionne -0,25pt par dérivée mal calculée, on met

3DJH��

0 si elles sont toutes fausses.)

f 0011(x,y) =�2f 0022(x,y) =�4f 0012(x,y) =�1.

(1pt pour la condition suivante, on sanctionne -0,5pt si mal calculée) Donc f 0011(x,y) · f 0022(x,y) =8 > 1 = (�1)2 = ( f 0012(x,y))

2. Les conditions du second ordre indiquent la présence d’un extre-mum. Puisque f 0011(x,y)< 0, le point (10,5) est un maximum local.

3) (2 points) Optimiser la fonction f (x,y) sous la contrainte 2x+ 2y = 6 par la méthode duLagrangien (uniquement les conditions du premier ordre).On construit la fonction lagrangien (1pt pour cette fonction) :

L (x,y,l ) = 25x� x2 � xy�2y2 +30y�28�l (6�2x�2y).

Les conditions du premier ordre sont (0,5pt pour ces conditions) :8<

:

L 01(x,y,l ) = 25�2x� y+2l = 0

L 02(x,y,l ) =�x�4y+30+2l = 0

L 03(x,y,l ) = 6�2x�2y = 0

,⇢

�5� x+3y = 06�2x�2y = 0

en retranchant la seconde équation de la première. On obtient alors x = 3y�5 par la première

équation, insérée dans la seconde : 6�2(3y�5)�2y= 0, y= 2, donc x= 1 et l =�212

.(0,5ptsi les valeurs de x et y sont correctement calculées, ne pas compter le lambda.)

Question B

On considère une fonction de production dépendant de la quantité de capital K et dela quantité de travail L (avec K et L les facteurs de production) utilisées pour produire desbicyclettes en quantité Q :

Q(K,L) = K0,3L0,5.

1) (1 point) Déterminer si cette fonction est homogène et le cas échéant, déterminer son degréd’homogénéité.(0,5pt si le mode de calcul est donné mais mal utilisé)

Q(lK,lL) = (lK)0,3(lL)0,5 = l 0,3K0,3l 0,5L0,5 = l 0,3+0,5K0,3L0,5 = l 0,8Q(K,L).

La fonction de production est homogène de degré 0,8.2) (2 points) Calculer les dérivées partielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport

à K et dérivée partielle par rapport à L). Interpréter économiquement ces dérivées par-tielles du premier ordre. Calculer ensuite les dérivées partielles croisées du second ordre✓

∂ 2Q∂K∂L

= Q00KL et

∂ 2Q∂L∂K

= Q00LK

◆. Que peut-on observer ? Est-ce un résultat général ?

(0,5pt, on sanctionne -0,25pt par dérivée mal calculée)Dérivées partielles du premier ordre :

Q01(K,L) = 0,3K�0,7L0,5

Q02(K,L) = 0,5K0,3L�0,5

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

(0,5pt pour l’interprétation, même si elles ne sont juste que nommées et non expliquées)il s’agit respectivement des productivités marginales du facteur capital et du facteur travail.L’augmentation d’une unité (ou infinitésimale) de ces facteurs accroît le niveau de productionde ces productivités marginales.(0,5pt)Dérivées partielles croisées du second ordre :

Q012(K,L) = (0,3)(0,5)K�0,7L�0,5 = 0,15K�0,7L�0,5

Q021(K,L) = (0,5)(0,3)K�0,7L�0,5 = 0,15K�0,7L�0,5

(0,5pt, ne pas sanctionner si le nom de Schwarz n’est pas nommé)Ces deux dérivées partielles du second ordre croisées ont la même valeur. Selon le théorème deSchwarz, c’est toujours le cas si les dérivées partielles du second ordre sont continues.

3) (2 points) Si le prix du facteur K est de 6, le prix du facteur L est de 2 et le budget est de384, maximiser la fonction de production Q(K,L) sous la contrainte de budget (qui s’écrit6K + 2L = 384) par la méthode du Lagrangien (uniquement les conditions du premierordre).(1pt pour le lagrangien et les conditions du premier ordre)

L (K,L,l ) = K0,3L0,5 +l (384�6K �2L)

Conditions du premier ordre :

L 01(K,L,l ) = 0,3K�0,7L0,5 �6l = 0

L 02(K,L,l ) = 0,5K0,3L�0,5 �2l = 0

L 03(K,L,l ) = 384�6K �2L = 0

(1pt, uniquement 0,5pt si la méthode de résolution du système est cohérente mais abouti à unefaute de calcul) En divisant la première équation par la seconde, on obtient

0,3K�0,7L0,5

0,5K0,3L�0,5 =6l2l

, 0,6K�1L = 3 , LK

=3

0,6, L = 5K.

Par la dernière équation (de la contrainte), on obtient 384�6K �2(5K) = 0. La solution de cesystème est l’unique candidat à un extremum sous contrainte : K = 24 et L = 120.

3DJH��

Université Paris 1-UFR d’économie

L1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015

Cours de Jean-François Caulier et François Gardes

Partiel de rattrapage - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 18 juin 2015

Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.

Question I (6 points)

Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :

a) (1,5 points) Énoncez, illustrez graphiquement et expliquez sans le démontrer le théorème desaccroissements finis.

b) (1,5 points) Énoncez et démontrez la proposition sur l’étude de la monotonie d’une suite selonla valeur de u

n+1u

n

pour une suite (un

) positive.

c) (1,5 points) Pour une fonction numérique d’une seule variable, donnez la définition de convexitéde cette fonction.

d) (1,5 points) Démontrez par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout n 2 N⇤ :

P(n) :n�1

Âk=0

2k = 2n �1.

e) (1,5 points) Calculez la limite dex

3 �27x

2 + x�12lorsque x ! 3.

f) (1,5 points) Donnez la définition de l’élasticité d’une fonction f (x) par rapport à x. Calculezl’élasticité de f (x) = x

2 pour x = 3.


Soit la suite (un

) définie par u

n+1 =2u

n

+4u

n

+5et u0 = 2.

1) (1 point) Montrez par récurrence que cette suite est positive : 8n 2 N,un

� 0.2) (1 point) Montrez que cette suite est monotone. Est-elle croissante ou décroissante ?3) (1 point) Cette suite est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?4) (1 point) Supposons maintenant que u0 =

12 . En quoi votre réponse au point 1) est-elle modifiée ?

5) (1 point) Montrez que pour l’une ou l’autre valeur de u0, la suite (un

) est majorée par 50(raisonnement par récurrence).

6) (1 point) Si u0 =12 , la suite (u

n

) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?


Soit f (x) une fonction réelle dont la dérivée première est f

0(x) = (x�2)(x+5)2.

1) (0,5 point) Quels sont les points candidats à l’extremum ?

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

2) (1,5 points) Construisez le tableau de variations de f (x). En déduire la nature des points candi-dats.

3) (1 point) Calculez f

00(x). En utilisant cette dérivée seconde, retrouvez la caractérisation despoints candidats effectuée en 2).

Question IV (5 points)

Répondez uniquement à une seule des deux questions A ou B, au choix :

Question A

Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = x

2 + y

2 � xy.1) (1 point) Déterminez le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).3) (2 points) Optimisez la fonction f (x,y) sous la contrainte y� 3x = 14 par la méthode du La-

grangien (uniquement les conditions du premier ordre).

Question B

On considère une fonction d’utilité directe dépendant des quantités x1 de bien 1 et x2 de bien 2 :

U(x1,x2) = 50 x

a1 x

b2

avec a > 0 et b > 0 deux réels.1) (1 point) Donnez la condition sur a et b pour que U(x1,x2) soit homogène de degré 1.2) (1 point) On considère désormais le cas où a = 0,3 et b = 0,6. Calculez les dérivées par-

tielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport à x1 et dérivée partielle par rapport à x2).Interprétez économiquement ces dérivées partielles du premier ordre.

3) (2 points) Soit p1 et p2 les prix des biens 1 et 2 respectivement, tels que p1 = 10 et p2 = 2. Lacontrainte budgétaire pour un budget de 1000 s’écrit 10x1 +2x2 = 1000. Ecrivez le Lagrangienet déduisez-en les conditions nécessaires du premier ordre d’optimisation d’utilité (avec a =0,3 et b = 0,6) sous la contrainte budgétaire.

4) (1 point) Trouvez les optima de consommation x

⇤1 et x

⇤2.

3DJH��

Université Paris 1-UFR d’économieL1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015Cours de Jean-François Caulier et François Gardes

Partiel de rattrapage - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 18 juin 2015Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.

Corrigé

Question I (6 points)Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :

a) (1,5 points) Énoncez, illustrez graphiquement et expliquez sans le démontrer le théorèmedes accroissements finis.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé) TAF : Soit a et b deux réels tels que a < b. Si f

une fonction continue sur un intervalle [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe un c 2]a,b[ telque f

0(c) = f (b)� f (a)b�a

.(0,5pt pour une explication correcte) La théorème prédit, sous les conditions énoncées pour lafonction f , qu’il existe un point c dans l’intervalle ouvert ]a,b[ où la tangente au graphe de f ala même pente que la sécante joignant les points (a, f (a)) et (b, f (b)). + Graphique (0,5pt).

b) (1,5 points) Énoncez et démontrez la proposition sur l’étude de la monotonie d’une suiteselon la valeur de u

n+1u

n

pour une suite (un

) positive.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé. On acceptera également la variante selon laquellela suite est monotone à partir d’un certain rang p 2 N). Soit (u

n

) une suite positive : 8n 2 N :u

n

� 0. Alors :(a) si 8n 2 N, on a u

n+1u

n

� 1, la suite (un

) est croissante ;

(b) si 8n 2 N, on a 0 u

n+1u

n

1, la suite (un

) est décroissante.(1pt si la démonstration est complète, 0,5 si incomplète.)Démonstration : Soit (u

n

) une suite positive telle que(a) pour tout n 2 N on observe u

n+1u

n

� 1 , u

n+1 �u

n

� 0 et la suite est donc croissante.

(b) pour tout n 2N on observe 0 u

n+1u

n

1 , u

n+1�u

n

0 et la suite est donc décroissante.c) (1,5 points) Pour une fonction numérique d’une seule variable, donnez la définition de

convexité de cette fonction.Soit f une fonction définie sur un ouvert W ✓ R et deux points a et b de W tels que a < b. Lafonction f est dite convexe sur [a,b] si pour tout x1 et x2 de [a,b] :

f (ax1 +(1�a)x2) a f (x1)+(1�a) f (x2)

avec a 2]0,1[ ou de manière équivalente

f

✓x1 + x2

2

◆ f (x1)+ f (x2)

2.

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

d) (1,5 points) Démontrez par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout n 2 N :

P(n) :n�1

Âk=0

2k = 2n �1.

Démonstration :

(0,5pt par étape, la démonstration requérant trois étapes.)(a) (Initialisation) On vérifie la proposition P(n) pour un rang faible, par exemple pour n = 1 :

1�1=0

Âk=0

2k = 20 = 1 ?= 21 �1 = 1

et la proposition est initialisée.(b) (Hérédité). On pose l’hypothèse de récurrence suivante : supposons que la proposition soit

vraie jusqu’au rang K 2 N avec K > 1 :

P(K) :K�1

Âk=0

2k = 2K �1

est vraie. On vérifie que cette propriété est héréditaire, à savoir si P(K) vraie impliqueP(K +1) vraie également :

P(K +1) :K+1�1

Âk=0

2k

?= 2K+1 �1

,K�1

Âk=0

2k +2K

?= 2K+1 �1

, 2K �1+2K

?= 2K+1 �1

, 2K(1+1)�1 ?= 2K+1 �1

, 2K+1 �1 = 2K+1 �1.

La proposition est donc héréditaire.(c) (Conclusion) Pour tout n 2 N : P(n) : Ân�1

k=0 2k = 2n �1.

e) (1,5 points) Calculez la limite dex

3 �27x

2 + x�12lorsque x ! 3.

On a

limx!3

x

3 �27x

2 + x�12=

00

une indétermination. Deux manières de lever l’indétermination. Puisque numérateur et déno-minateur admettent 3 comme racine, on peut les factoriser par (x�3) :

limx!3

x

3 �27x

2 + x�12= lim

x!3

(x�3)(x2 +3x+9)(x�3)(x+4)

= limx!3

x

2 +3x+9x+4

=277.

3DJH��

Seconde méthode. L’indétermination correspond à l’une des deux conditions permettant l’ap-plication de la règle de l’Hospital :

limx!3

x

3 �27x

2 + x�12= lim

x!3

3x

2

2x+1=

277.

f) (1,5 points) Donnez la définition de l’élasticité d’une fonction f (x) par rapport à x. Calcu-lez l’élasticité de f (x) = x

2 pour x = 3.

(1pt pour la définition) L’élasticité e f

x

par rapport à x d’une fonction (dérivable) f se calcule pare f

x

= x

f

0(x)f (x) = x

d ln f (x)dx

= x ln0 f (x).(0,5pt pour ce résultat) Si f (x) = x

2, l’élasticité de la fonction x

2 au point x = 3 vaut

ex

2

x=3 = 32 ·332 = 2.

Il s’agit d’une fonction à élasticité constante. Quelle que soit la valeur prise par x, l’élasticitévaut toujours 2.


Soit la suite (un

) définie par u

n+1 =2u

n

+4u

n

+5et u0 = 2.

1) (1 point) Montrez par récurrence que cette suite est positive : 8n 2 N,un

� 0.a) (Initialisation) On calcule les premiers termes de la suite : u0 = 2 � 0 ; u1 =

87 � 0 tous deux

positifs.b) (Hérédité) Supposons que u

k

� 0 pour k 2N⇤ \{1} et vérifions si cela implique u

k+1 � 0. Siu

k

� 0, alors 2u

k

� 0 et 2u

k

+4 � 4 > 0. De même u

k

+5 � 5 > 0. Donc u

k+1 =2u

k

+4u

k

+5 � 0.c) (Conclusion) La suite est donc positive : 8n 2 N,u

n

� 0.2) (1 point) Montrez que cette suite est monotone. Est-elle croissante ou décroissante ? On

étudie le signe de u

n+1 �u

n

:

u

n+1 �u

n

=(2u

n

+4)(un+1 +5)� (2u

n�1 +4)(un

+5)(u

n

+5)(un�1 +5)

.

Le dénominateur (un

+5)(un�1 +5) est un produit de facteurs positifs, la signe de l’expression

dépend donc du signe du numérateur. On développe ce dernier :

2u

n

u

n�1 +10u

n

+4u

n�1 +20� (2u

n

u

n�1 +10u

n�1 +4u

n

+20) = 6(un

�u

n�1).

Le signe de u

n+1 �u

n

est le même que celui de u

n

�u

n�1, et donc par récurrence, est le mêmeque celui de u1 � u0 =

87 � 2 < 0. La différence des termes successifs étant de signe constant,

la suite est monotone. Le signe de la différence u1�u0 permet de déterminer que cette suite estdécroissante.

3) (1 point) Cette suite est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?La suite est minorée par 0, étant toujours positive, comme montré au point 1). La suite estdécroissante, montré au point 2). Par le théorème fondamental sur les suites, on peut affirmer

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

que la suite (un

) est convergente. La suite étant définie de manière récurrente, sa limite est unpoint fixe de la fonction f (x) = 2x+4

x+5 :

x =2x+4x+5

, x

2 +5x = 2x+4

, x

2 +3x�4 = 0, (x�1)(x+4) = 0.

Cette équation dispose de deux racines réelles distinctes : x1 = 1 et x2 =�4. De ces deux pointsfixes, un seul est positif et est donc qualifié comme limite de la suite (u

n

) : limn!+•

u

n

= 1.

4) (1 point) Supposons maintenant que u0 = 12 . En quoi votre réponse au point 1) est-elle

modifiée ?Le développement du point 2) reste applicable. La suite est donc toujours monotone et le signede u

n

�u

n�1 est celui de u1 �u0 =1011 �

12 = 9

22 > 0. La suite est désormais croissante.5) (1 point) Montrez que pour l’une ou l’autre valeur de u0, la suite (u

n

) est majorée par 50(raisonnement par récurrence).a) (Initialisation) Quelle que soit l’hypothèse retenue, on a u0 < 50.b) (Hérédité) Supposons que u

k

< 50. Est-ce que cela implique u

k+1 =2u

k

+4u

k

+5 < 50 ? Pour majo-rer une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont positifs, on majore le numérateur,et on minore le dénominateur. Si u

k

< 50, alors 2u

k

+4 < 104. Puisque la suite est positive,u

k

� 0 et u

k

+5 � 5 ou encore 1u

k

+5 15 . Dès lors u

k+1 =2u

k

+4u

k

+5 1045 < 50.

c) (Conclusion) La suite est majorée par 50. Pour tout n 2 N : u

n

< 50.6) (1 point) Si u0 =

12 , la suite (u

n

) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?Avec cette condition initiale, la suite est croissante et majorée (par 50). Selon le théorèmefondamental sur les suites, elle est convergente. Sa limite est le point fixe de la même fonctionqu’au point 3), soit lim

n!+•u

n

= 1.

Question III (3 points)Soit f (x) une fonction réelle dont la dérivée première est f

0(x) = (x�2)(x+5)2.

1) (0,5 point) Quels sont les points candidats à l’extremum ?Les points candidats à l’extremum annulent la dérivée première. f

0(x) se présente sous la formed’un produit de facteurs. Pour qu’elle soit nulle, il suffit qu’un des facteurs le soit. Il y a donc 2points candidats, x =�5 et x = 2.

2) (1,5 points) Construisez le tableau de variations de f (x). En déduire la nature des pointscandidats.

x �• �5 2 +•

f

0(x) � 0 � 0 +

f (x)

3DJH��

Le signe de f

0(x) dépend du signe de (x�2) étant donné que (x+5)2 est toujours positif. f

0(x)atteint un minimum relatif en x = 2. Le point x =�5 n’est pas un extremum.

3) (1 point) Calculez f

00(x). En utilisant cette dérivée seconde, retrouvez la caractérisationdes points candidats effectuée en 2).

f

00(x) = (x�2)0(x+5)2 +(x�2)⇥(x+5)2⇤0

= (x+5)2 +(x�2)2(x+5)= (x+5)[(x+5)+2x�4]= (x+5)(3x+1).

On sait que si en un point candidat la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum ; sielle est négative, il s’agit d’un maximum.

f

00(�5) = 0f

00(2) = 49 > 0.

La fonction atteint bien un minimum relatif en x = 2. Le point x = �5 est potentiellement unpoint d’inflexion.(Bonus de 0,5pt pour le développement suivant :)Pour le savoir, on peut y étudier le signe de la dérivée troisième ou établir si la dérivée secondeprésente un changement de signe en ce point. Soit e > 0 un réel "petit". Alors f (�5� e) > 0et f (�5+ e)< 0. La fonction présente un point d’inflexion à l’abscisse x =�5. Par la dérivéetroisième : f

(3)(x) = 3x+1+3(5+ x) et f

(3)(�5) = �14 6= 0. La première dérivée non nulleest d’ordre impair, ce qui confirme x =�5 comme point d’inflexion pour f .

Question IV (5 points)Répondez uniquement à une seule des deux questions A ou B, au choix :

Question A

Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = x

2 + y

2 � xy.1) (1 point) Déterminez le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).

(0,5pt pour les dérivées correctement calculées, 0,5pt pour le candidat)

Conditions nécessaires :⇢

f

01(x,y) = 2x� y = 0

f

02(x,y) = 2y� x = 0 ,

⇢2x = y

2(2x)� x = 0 ,⇢

x = 0y = 0

le seul candidat à un extremum est le point (x,y) = (0,0).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

(1pt pour les 3 ou 4 dérivées secondes, on sanctionne -0,25pt par dérivée mal calculée, 0 si ellessont toutes fausses.)

f

0011(x,y) = 2

f

0022(x,y) = 2

f

0012(x,y) =�1.

(1pt pour la condition suivante, on sanctionne -0,5pt si mal calculée) Donc f

0011(x,y) · f

0022(x,y) =

4 > 1 = (�1)2 = ( f

0012(x,y))

2. Les conditions du second ordre indiquent la présence d’un extre-mum. Puisque f

0011(x,y)> 0, le point (0,0) est un minimum local.

3) (2 points) Optimisez la fonction f (x,y) sous la contrainte y� 3x = 14 par la méthode duLagrangien (uniquement les conditions du premier ordre).On construit la fonction lagrangien (1pt pour cette fonction) :

L (x,y,l ) = x

2 + y

2 � xy+l (14� y+3x).

Les conditions du premier ordre sont (0,5pt pour ces conditions) :8<

:

L 01(x,y,l ) = 2x� y+3l = 0

L 02(x,y,l ) = 2y� x�l = 0

L 03(x,y,l ) = 14� y+3x = 0

De L 02 = 0 on obtient l = 2y� x. En substituant cette valeur de l dans L 0

1, on obtient :

2x� y+3(2y� x) = 0, 2x� y+6y�3x = 0

, x = 5y

En utilisant alors L 03 = 0 :

14� y+3(5y) = 0, 14� y+15y = 0

, 14 =�14y

, y =�1

Donc x =�5 et l = 3. (0,5pt si les valeurs de x et y sont correctement calculées, ne pas compterle lambda.)

Question B

On considère une fonction d’utilité directe dépendant des quantités x1 de bien 1 et x2 de bien 2 :

U(x1,x2) = 50 x

a1 x

b2

avec a > 0 et b > 0 deux réels.

3DJH��

1) (1 point) Donnez la condition sur a et b pour que U(x1,x2) soit homogène de degré 1.(0,5pt uniquement si la définition d’homogénéité est correctement spécifiée)Si la fonction U(x1,x2) est homogène de degré 1, on a U(lx1,lx2) = l 1

U(x1,x2) avec l > 0 :

U(lx1,lx2) = 50(lx1)a(lx2)

b = l a+b 50x

a1 x

b2 = l a+b

U(x1,x2).

La fonction d’utilité est homogène de degré 1 si et seulement si a +b = 1.2) (1 point) On considère désormais le cas où a = 0,3 et b = 0,6. Calculez les dérivées par-

tielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport à x1 et dérivée partielle par rapportà x2). Interprétez économiquement ces dérivées partielles du premier ordre.

U

01(x1,x2) = 50 ·0,3x

�0,71 x

0,62 = 15

x

0,62

x

0,71

U

02(x1,x2) = 50 ·0,6x

0,31 x

�0,42 = 30

x

0,31

x

0,42

.

Pour i = 1,2, U

0i

(x1,x2) représente l’utilité marginale du bien i. C’est-à-dire l’accroissement del’utilité totale due à une augmentation infinitésimale de la consommation du bien i.

3) (2 points) Soit p1 et p2 les prix des biens 1 et 2 respectivement, tels que p1 = 10 et p2 =2. La contrainte budgétaire pour un budget de 1000 s’écrit 10x1 + 2x2 = 1000. Ecrivezle Lagrangien et déduisez-en les conditions nécessaires du premier ordre d’optimisationd’utilité (avec a = 0,3 et b = 0,6) sous la contrainte budgétaire.On écrit le lagrangien (1pt pour cette fonction) :

L (x1,x2,l ) = 50x

0,31 x

0,62 +l (1000�10x1 �2x2) .

Les conditions du premier ordre sont (1pt pour ces conditions) :8>>>><

>>>>:

L 01(x,y,l ) = 15

x

0,62

x

0,71

�10l = 0

L 02(x,y,l ) = 30 x

0,31

x

0,42

�2l = 0

L 03(x,y,l ) = 1000� x1 �2x2 = 0

4) (1 point) Trouvez les optima de consommation x

⇤1 et x

⇤2.

Des conditions nécessaires du point précédent, on trouve par L 02 = 0 : l = 15x

0,31

x

0,42

. Par substi-

tution dans L 01 = 0 :

15x

0,62

x

0,71

�150x

0,31

x

0,42

= 0

,15x

0,62 x

0,42 �150x

0,31 x

0,71

x

0,71 x

0,42

= 0

,15x2 �150x1 = 0,x2 = 10x1.

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

Par L 03 = 0, on trouve 1000�x2�2x2 = 0 , x2 =

10003 et donc x1 =

x210 =

1003 . La fonction d’utilité

est optimisée sous la contrainte de budget lorsque les quantités de biens 1 et 2 consommées sontx

⇤1 =

1003 et x

⇤2 =

10003 .

3DJH��

Mathematiques 1 - Universite Paris 1 2013-2014

1ere Licence UFR

´

Economie

Divisions 1 et 2 - Cours de Claude Bressand et Jean-Francois Caulier

Examen Partiel 6 janvier 2014 Duree : 2 heuresVous admettrez les resultats non demontres

Exercice 1 (5 points)

Soit la suite u

n+1 =3u

n

+42u

n

+5 avec u0 =14

1. (1 point) Montrez par recurrence que u

n

> 0.On definit la proposition P (n) suivante : P (n) : “u

n

> 0 pour tout n 2 N”.Premiere etape : verifier si P (n) est vraie pour un n faible. Par exemple, en n = 0,P (0) s’ecrit u0 > 0, ce qui est vrai puisque u0 =

14 . En n = 1, P (1) s’ecrit “u1 > 0”.

Vrai egalement, puisque u1 =3/4+41/2+5 = 19

22 > 0.

Deuxieme etape, on suppose P (n) verifiee pour un n 2 N et on regarde si celaimplique P (n + 1) verifiee egalement. On ecrit, pour n 2 N donne, est-ce queu

n

> 0 implique u

n+1 > 0 ? L’hypothese de recurrence consiste ici a poser un

> 0pour un n donne. On verifie alors l’heredite. Or si u

n

> 0, alors 3un

+ 4 > 0 dememe que 2u

n

+ 5 > 0 par addition et multiplication de valeurs toutes positives.Et donc 3u

n

+42u

n

+5 > 0 par division de valeurs positives.

Troisieme et derniere etape, on peut conclure que P (n) : “un

> 0” est vraie pourtout n 2 N.

2. (1 point) Cette suite est-elle monotone ? Pour cela, on etudie le signe de ladi↵erence u

n+1 � u

n

, la suite etant definie de maniere recurrente, on developpeles deux termes :

u

n+1 � u

n

=3u

n

+ 4

2un

+ 5� 3u

n�1 + 4

2un�1 + 5

=(3u

n

+ 4)(2un�1 + 5)� (3u

n�1 + 4)(2un

+ 5)

(2un

+ 5)(2un�1 + 5)

=6u

n

u

n�1 + 15un

+ 8un+1 + 20� 6u

n

u

n�1 � 15un�1 � 8u

n

� 20

(2un

+ 5)(2un�1 + 5)

=7(u

n

� u

n�1)

(2un

+ 5)(2un�1 + 5)

Le denominateur etant positif, la di↵erence u

n+1 � u

n

sera de meme signe queu

n

�u

n�1, qui, par recurrence, sera de meme signe que u1�u0 =1922 �

14 = 27

44 > 0.La suite est donc monotone croissante.

3. (2 points) La suite est-elle minoree? Si oui, donnez un minorant. Est-elle majoree?Si oui, donnez un majorant.

La suite etant de signe constant positive (voir question 1), elle sera minoree partout A 2 R�. Un minorant est A = 0. Etant croissante (question precedente), ellesera egalement minoree par son premier terme u0 = 1/4.

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

Est-elle majoree? Supposons que u

n

< B, B 2 R+. Est-ce que cela impliqueu

n+1 < B? On a 3un

+4 < 3B+4 puisque un

< B. On a majore le numerateur deu

n+1. Et en meme temps, 2un

+5 > 5 puisque un

> 0, on a minore le denominateurde u

n+1. Donc, par ces deux conditions, on obtient que un+1 <

3B+45 . Et 3B+4

5 < B

lorsque B > 2. En conclusion, si un

< 2, alors un+1 < 2 et donc u

n

< 2 pour toutn 2 N. 2 est un majorant de la suite.

On peut aussi montrer par la meme methode de majoration que u

n

est inferieurea un nombre quelconque su�samment grand, par exemple 100.

4. (1 point) Pourquoi cette suite admet-elle une limite ? Quelle est cette limite a?

En vertu du theoreme fondamental sur les suites, toute suite monotone borneeadmet une limite. La suite etant definie de maniere recurrente, la limite reponda la condition du point fixe : a = 3a+4

2a+5 , 2a2 + 2a � 4 = 0. Cette equation dusecond degre a deux racines : a = �2 ou a = 1. Seule la seconde possibilite estretenue etant donne que la suite est positive.


Soit la fonction g(x) = (2�x)2

x

1. (1 point) Quel est le domaine de definition de g(x)? Quels sont les points candidatsa l’extremum ?

Domaine de definition de g(x) est R \ {0}, le denominateur ne pouvant s’annuler.Les candidats a un extremum sont les points annulant la derivee premiere de g.On a

g(x) =(2� x)2

x

=4� 4x+ x

2

x

=4

x

� 4 + x

g

0(x) =�4

x

2+ 1 =

x

2 � 4

x

2=

(x� 2)(x+ 2)

x

2

Sans passer par le developpement initial :

g

0(x) =2(2� x)(�1)x� (2� x)2

x

2=

�4x+ 2x2 � 4 + 4x� x

2

x

2=

�4

x

2+ 1

cette derivee s’annule en x = 2 ou x = �2. Les deux candidats a un extremumsont donc {�2, 2}.

2. (1 point) Quels sont les intervalles de concavite, de convexite de g(x) ? Quelle estla nature des points candidats ?

Les intervalles de concavite et de convexite de g(x) sont donnes par le signe de laderivee seconde de g :

g

00(x) = 8x�3 =8

x

3

qui est positive lorsque x > 0, alors g est convexe, et negative lorsque x < 0,et g est concave. Donc au point candidat x = �2, g est concave, il s’agit d’unmaximum local, et en x = 2, g est convexe, il s’agit d’un minimum local.

3. (1 point) Construisez le tableau de variations de g(x) et confirmez le resultat de 2)

2

3DJH��

x �1 �2 0 2 +1

f

0(x) + 0 � � 0 +

f(x)�1

�8

�1

+1

0

+1

Le tableau de variations confirme un maximum local en -2 et un minimum localen 2.

4. (1 point) Etudiez les branches infinies (asymptotes) de g(x).

Le graphe de la fonction g admet deux asymptotes verticales (confondues)d’equation x = 0 puisque lim

x!0�g(x) = �1 et lim

x!0+g(x) = +1.

Il n’y a par contre pas d’asymptote horizontale puisque limx!±1

g(x) = ±1

Pour etudier la presence d’une eventuelle asymptote oblique, formons le rapportg(x)x

= 4x

2 � 4x

+ 1. On observe que les deux limites en plus et moins l’infini de

ce rapport correspondent : limx!±1

g(x)x

= 1. Le coe�cient directeur (pente) de la

direction asymptotique est donc 1. Pour trouver l’intercept de l’asymptote obliqueon etudie lim

x!±1g(x) � (1 ⇥ x) = lim

x!±14x

� 4 = �4, a la fois en plus et moins

l’infini. Il y a donc deux asymptotes obliques confondues d’equation y = x� 4.

5. (1 point) Tracez la representation graphique de g(x).

�20 �10 10 20

�20

�10

10

20

0


Soit la fonction a 2 variables f(x, y) = xy

x

2+y

2

3

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

1. (0,5 point) Quel est son domaine de definition?

Le denominateur doit etre di↵erent de 0, donc x

2 + y

2 6= 0, ce qui n’arrive qu’aupoint (0, 0). Donc ici le domaine est R2 prive de (0, 0).

2. (1 point) f(x, y) est-elle homogene, et de quel degre?

Une fonction homogene de degre k verifie la relation f(�x,�y) = �

k

f(x, y) avec� > 0. Ici :

f(�x,�y) =�x�y

(�x)2 + (�y)2=

�

2xy

�

2(x2 + y

2)= �

0f(x, y)

La fonction est donc homogene de degre 0.

3. (1 point) Calculez les derivees partielles premieres par rapport a x : f 0x

(x, y) et parrapport a y :f 0

y

(x, y):

f

0x

(x, y) =y(x2 + y

2)� xy(2x)

(x2 + y

2)2=

y

(x2 + y

2)2⇥y

2 � x

2⇤

f

0y

(x, y) =x(x2 + y

2)� xy(2y)

(x2 + y

2)2=

x

(x2 + y

2)2⇥x

2 � y

2⇤

4. (1 point) Calculez xf

0x

(x, y) + yf

0y

(x, y).

xf

0x

(x, y) + yf

0y

(x, y) =xy

(x2 + y

2)2⇥y

2 � x

2⇤+

xy

(x2 + y

2)2⇥x

2 � y

2⇤

=xy

(x2 + y

2)2⇥y

2 � x

2⇤� xy

(x2 + y

2)2⇥y

2 � x

2⇤= 0

Enoncez la relation d’Euler. Une fonction homogene de degre k verifie xf

0x

(x, y) +yf

0y

(x, y) = kf(x, y)

Pourquoi pouvait-on s’attendre a la valeur de la quantite precedente?

La fonction etant homogene de degre 0, d’apres la relation d’Euler on obtientxf

0x

(x, y) + yf

0y

(x, y) = 0, ce qui est bien le resultat obtenu ci-dessus.

5. (0,5 point) Montrez que (2, 1) appartient a la courbe de niveau d’equation f(x, y) = 25 .

f(2, 1) =2⇥ 1

22 + 12=

2

5.

6. (1 point) A quelle condition la relation f(x, g(x)) = 25 definit-elle g(x) avec g(2) = 1

comme fonction implicite de x au voisinage du point (2, 1)? Cette condition est-ellesatisfaite?

D’apres le theoreme des fonctions implicites, la courbe de niveau f(x, y) = 25 definit

une fonction y = g(x) au voisinage de x = 2 si et seulement si f 0y

(2, 1) 6= 0. Or ici

f

0y

(x, y) = x

(x2+y

2)2

⇥x

2 � y

2⇤donc en (2, 1) : f 0

y

(2, 1) = 2(22+12)2

⇥22 � 12

⇤= 6

25 6= 0

4

3DJH��

7. (1 point) Calculez g

0(x) puis g

0(2). Ecrivez l’equation de la tangente a g(x) pourx = 2.

Selon le theoreme des fonctions implicites, on a

g

0(x) = �f

0x

(x, y)

f

0y

(x, y)= �

y

(x2+y

2)2

⇥y

2 � x

2⇤

x

(x2+y

2)2 [x2 � y

2]=

y

(x2+y

2)2

⇥x

2 � y

2⇤

x

(x2+y

2)2 [x2 � y

2]=

y

x

D’ou g

0(2) = 12 . L’equation de la tangente a g(x) au point (2, 1) est donc y � 1 = 1

2(x� 2).


1. (3 points) Calculez 2 des 4 integrales suivantes : (on accordera les points si la

primitive est juste, sans tenir compte du calcul numerique)

(a)R 21

dxp4x�1

sera de formep4x� 1, si on derive

p4x� 1 on obtient 4

2p4x�1

=

2⇥ 1p4x�1

. DoncR 21

dxp4x�1

=⇥12

p4x� 1

⇤21= 1

2

�p7�

p3�.

(b)R 21 (x

2 � 3x) lnxdx, il s’agit d’un produit de fonctions, on applique doncl’integration par partie en derivant le log et en integrant le polynome :

u

0 = x

2 � 3x u =x

3

3� 3

2x

2

v = lnx v

0 =1

x

Z 2

1(x2 � 3x) lnxdx =

✓x

3

3� 3

2x

2

◆lnx

�2

1

�Z 2

1

✓x

3

3� 3

2x

2

◆1

x

=

✓x

3

3� 3

2x

2

◆lnx� x

3

9+

3

4x

2

�2

1

=

✓8

3� 6

◆ln 2� 8

9+ 3 +

1

9� 3

4

=53

36� 10

3ln 2

(c)R 10

⇣cos 3x+ x

px+ 2

x+1

⌘dx =

⇥13 sin 3x+ 2

5x5/2 + 2 ln (x+ 1)

⇤10= sin 3

3 + 25 +

2 ln 2(d)

R 30 (2x + 5)e3x�4

dx. Procedons par integration par parties en derivant lepolynome et en integrant l’exponentielle :

u

0 = e

3x�4u =

1

3e

3x�4

v = 2x+ 5 v

0 = 2

R 30 (2x+5)e3x�4

dx =⇥(2x+ 5)13e

3x�4⇤30�R 30 21

3e3x�4

dx =he

3x�4

3

�2x+ 13

3

�i30=

31e9�139e4

5

3DJH��

0DWKpPDWLTXHV

2. (1 point) Enoncez et demontrez le theoreme de ROLLE

(a) (0,5 point) Enonce : Soit une fonction f(x) definie et continue sur [a, b],derivable sur ]a, b[, telle que f(a) = f(b). Alors il existe un point c appar-tenant a ]a, b[ tel que f

0(c) = 0.(b) (0,5 point) Demonstration : f(x) etant continue sur [a, b], elle y admet un

maximum M et un minimum m.Si M = m, c’est-a-dire si la fonction est constante, sa derivee est nulle partoutsur ]a, b[. La propriete est verifiee mais ce cas est peu interessant. Si M 6= m,f(x) ne peut atteindre a la fois son maximum et son minimum aux bornes del’intervalle [a, b] (puisque f(a) = f(b) et queM 6= m). Supposons par exemplequ’au moins M est atteint en un point c interieur a [a, b]. Considerons le

rapport f(x)�f(c)x�c

. Puisque M est atteint en c, f(x)� f(c) 0.

Si x < c, f(x)�f(c)x�c

� 0 . Puisque f(x) est derivable sur ]a, b[, elle l’est en

particulier en c. Donc f(x)�f(c)x�c

tend vers f 0(c) qui est donc � 0.

Si x > c, f(x)�f(c)x�c

0 . Puisque f(x) est derivable sur ]a, b[, elle l’est en

particulier en c. Donc f(x)�f(c)x�c

tend vers f 0(c) qui est 0 . f

0(c) ayant unevaleur unique selon que x tend vers c par la droite et par la gauche, il enresulte que f

0(c) est a la fois positive et negative, donc nulle.(c) Autre demonstration : utilisant le theoreme de l’existence d’extrema. Si une

fonction est continue et derivable sur un intervalle [a, b], alors elle y admet unmaximum et un minimum globaux sur cet intervalle. Soit f(x1) le minimumet f(x2) le maximum de f sur cet intervalle :

f(x1) f(x) f(x2), 8x 2 [a, b].

Si f(x1) = f(x2) alors la fonction est constante et f 0(c) = 0 pour tout c 2]a, b[.Si par contre f(x1) 6= f(x2), alors par le theoreme des extrema il existe unc 2]a, b[ tel que c = x1 et/ou c = x2 dans ]a, b[ tel que f

0(c) = 0.

6

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Année 2014-15 L1 Economie

Statistiques & Informatique Cours de François Fontaine, Jérôme Glachant et Patricia Vornetti Examen du vendredi 9 janvier 2015, 8h-10h

NB : Ne seront pris en compte que les résultats pour lesquels la démarche est explicitée, c'est-à-dire pour lesquels vous donnez la formule utilisée (ou la définition de la notion utilisée) et vous détaillez les calculs. Répondre précisément et avec soin à chacune des questions vous permet donc d'améliorer votre total de points. Les résultats seront fournis avec une décimale. Exercice 1 (8 points) Le tableau 1 propose une série de prix et de quantités pour 2 biens et 3 années. Certaines quantités sont manquantes. On dispose cependant d'informations sur leur variation. On sait ainsi que - la quantité consommée de bien A a augmenté de 20% entre l'année 1 et l'année 2 et elle a diminué de moitié entre l'année 2 et l'année 3 ; - la quantité consommée de bien B a augmenté de 10% entre l'année 1 et l'année 2 et elle a doublé entre l'année 2 et l'année 3.

1. (1,5 point) Retrouvez les quantités manquantes du tableau 1. Indiquez les formules Excel correspondantes à entrer dans les cellules C5, D5, C6 et D6.

2. (1,5 point) Calculez les indices de valeur de la consommation des ménages base 100 l'année 1. Quelle formule Excel recopiable à droite permet d'obtenir ces indices ? Détaillez votre réponse.

3. (1 point) Peut-on déduire des indices précédents l'indice de valeur de la consommation des ménages de l'année 3 base 100 l'année 2 ? Si oui, quelle propriété des indices le permet ? Si non, pourquoi ? Dans les deux cas, calculez cet indice.

4. (1 point) On constate que la valeur de la consommation a augmenté entre l'année 1 et l'année 3 alors que, sur la même période, le prix de chaque bien a diminué. Comment l'expliquer ? Comment appelle-t-on l'effet en question ?

5. (1,5 point) Donnez les deux formules de l'indice de Laspeyres des quantités de l'année 3 base 100 l'année 1. Calculez-le en appliquant la formule de votre choix. Expliquez en quoi le calcul de cet indice permet de compléter la réponse à la question précédente.

6. (1,5 point) En utilisant l’indice de Laspeyres que vous venez de calculer, proposez une décomposition de l'évolution de la consommation en valeur entre l'année 1 et l'année 3 qui distingue évolution en prix et évolution en volume. Par quoi l'évolution en prix est-elle alors mesurée ? Exprimez en pourcentage la décomposition que vous avez obtenue, c'est-à-dire par une formulation du type "l'augmentation/diminution de la consommation en valeur de X% entre 1 et 3 est le résultat d'une augmentation/diminution de Y% des prix conjuguée à une augmentation/diminution de Z% des quantités".

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6WDWLVWLTXH�HW�,QIRUPDWLTXH

Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Examen du 9 janvier 2015

2

Exercice 2 (7 points) Le tableau 2 décrit la répartition de l’indice de masse corporelle (IMC) dans la population adulte française en 2012. Cet indice se calcule en divisant le poids (en kg) d'un individu par le carré de sa taille (en m) : IMC = Poids / Taille2

1. (1 point) A quel type de variable a-t-on affaire ? Explicitez votre réponse.

2. (1 point) Représentez l'histogramme de cette distribution. Quelle(s) caractéristique(s) de la série ce graphique permet-il de visualiser ?

3. (1 point) Comment procéderiez-vous pour calculer les fréquences cumulées sous Excel en vous servant le plus possible de la poignée de recopie ? Vous indiquerez évidemment la ou les formules Excel utilisées.

4. (2 points) Calculez la médiane (par une interpolation linéaire) et la moyenne (en utilisant le centre de chaque classe) de cette distribution en précisant l'unité dans laquelle s'exprime chacune de ces caractéristiques et en expliquant à quoi elles correspondent.

5. (2 points) Déterminez l'écart-type et le coefficient de variation en précisant l'unité dans laquelle chacun est mesuré. Sur quoi renseignent ces indicateurs ? Dans quel cas est-il préférable d'utiliser l'un plutôt que l'autre ?

Exercice 3 (5 points) Le tableau 3 décrit l'évolution trimestrielle du cours de l'action FJP sur 2013 et 2014.

1. (1 point) La variable considérée est-elle une variable de stock ou une variable de flux ? Explicitez votre réponse.

2. (1 point) Donnez la formule Excel permettant d'obtenir le taux de variation trimestriel moyen du cours de l'action FJP en 2013.

3. (1 point) On cherche maintenant à analyser les composantes de cette série chronologique. Quelles composantes distingue-t-on généralement ?

4. (1 point) Calculez la 1ère et la dernière des moyennes mobiles d'ordre 3. Que mesurent-elles ? Plus généralement, à quoi sert le calcul de moyennes mobiles ? Citez une autre méthode qui pourrait être employée.

5. (1 point) Qu'est-ce qu'une série CVS ? Détaillez votre réponse.

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Tableau1–Quantitésetprixdesbiensconsommésparlesménages Année 1 Année 2 Année 3 Prix bien A 5 6 4 Prix bien B 8 8 6 Quantité bien A 10 12 6 Quantité bien B 10 11 22 - La quantité consommée de bien A a augmenté de 20% entre l'année 1 et l'année 2 et a diminué de moitié entre l'année 2 et l'année 3 - La quantité consommée de bien B a augmenté de 10% entre l'année 1 et l'année 2 et a doublé entre l'année 2 et l'année 3 1. Calcul des valeurs manquantes (en rouge dans le tableau) et formules Excel Bien A : la quantité consommée augmente de 20% entre 1 et 2 ; elle passe donc de 10 à 1,2x10 = 12. Elle diminue ensuite de moitié l'année 3 et passe ainsi à 12/2 = 6. Bien B : la quantité consommée augmente de 10% entre 1 et 2 ; elle passe donc de 10 à 1,1x10 = 11. Elle double ensuite l'année 3 et passe ainsi à 2x11 = 22. En C5, =1,2*B5. En D5, =C5/2. En C6, =1,1*B6. En D6, =2*C6. 2. Indices de valeur base 100 l'année 1 et formule Excel IVAn/1 = 100 x valeur de la consommation en n / valeur de la consommation en 1 IVA1/1 = 100 IVA2/1 = 100 x (6x12 + 8x11)/(5x10 + 8x10) = 123,1. Idem pour IVA3/1. Année 1 Année 2 Année 3 IVA base 100 en 1 100 123,1 120,0 Formule Excel : =100*SOMMEPROD(B3:B4;B5:B6)/SOMMEPROD($B3:$B4;$B5:$B6) ou =100*(B3*B5+B4*B6)/($B3*$B5+$B4*$B6) Cette formule donne IVA1/1. Recopiée une cellule vers la droite, elle devient =100*SOMMEPROD(C3:C4;C5:C6)/SOMMEPROD($B3:$B4;$B5:$B6), ce qui donne IVA2/1. Recopiée une nouvelle fois à droite, elle donne IVA3/1. 3. Peut-on déduire IVA3/2 ? Cet indice peut se déduire des précédents en utilisant la propriété de transitivité (ou transférabilité) des indices élémentaires. I3/2xI2/1=I3/1x100 => I3/2 = 100xI3/1/I2/1 On retrouve la formule du changement de base : Im/n = 100*Im/v/In/v avec v l'ancienne base et n la nouvelle base Ici, IVA3/2 = 100x120/123,1 = 4. Augmentation de la consommation en valeur entre 1 et 3, alors que le prix de chaque bien a baissé. Explication ? De l'année 1 à l'année 3, les prix des deux biens ont baissé tout comme la quantité consommée de bien A. Mais la quantité consommée de bien B a fortement augmenté, suffisamment pour faire progresser la valeur de la consommation d'ensemble. L'effet volume l'emporte sur l'effet prix. Il y a ainsi, dans l'évolution de la consommation en valeur, la combinaison de deux effets : un effet quantité (ou effet volume) - qu'on peut isoler en raisonnant à prix donnés - et un effet prix - qu'on peut identifier en raisonnant à quantités données. Ce dernier effet correspond à un effet de structure dans la mesure où la structure des prix constitue le système de pondération utilisé pour pouvoir sommer les quantités.

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5. Laspeyres des quantités en 3 base 100 en 1 Formule 1 : L3/1(q) = 100x(pA1qA3 + pB1qB3)/(pA1qA1 + pB1qB1)

L3/1(q) = 100x(5x6 + 8x22) / (5x10 + 8x10) = 158,5 Formule 2 : L3/1(q) = CBA1x I3/1(qA) + CBB1xI3/1(qB) avec CBin : coefficient budgétaire du bien i en n

et I3/1(qi) : indice élémentaire de quantité du bien i en 3 base 100 en 1 CBA1 = part du bien A dans la dépense de consommation en 1 = 5x10/(5x10 + 8x10) CBB1 = part du bien B = 8x10/(5x10 + 8x10) I3/1(qA) = 100x6/10 I3/1(qB) = 100x22/10

CBA1 CBB1 I3/1(qA) I3/1(qB) L3/1(q) 0,385 0,615 60,0 220,0 158,5 = 0,385x60 + 0,615x220

Cet indice mesure la variation des quantités entre 1 et 3 en fixant les prix à leur niveau en 1. Il permet ainsi d'isoler l'effet des seules quantités et fournit une mesure de l'effet volume. 6. Décomposition de la variation en valeur entre 1 et 3

On sait que l'indice de valeur peut s'écrire comme le produit d'un indice de Laspeyres des quantités et d'un Paasche des prix, ou l'inverse (Laspeyres des prix et Pasche des quantités). IVA3/1 = 100x(pA3qA3 + pB3qB3)/(pA1qA1 + pB1qB1) = 100 x (pA1qA3 + pB1qB3)/(pA1qA1 + pB1qB1) x (pA3qA3 + pB3qB3)/(pA1qA3 + pB1qB3) = L3/1(q) x P3/1(p) / 100

P3/1(p) = 100x(pA3qA3 + pB3qB3)/(pA1qA3 + pB1qB3) = 100x(4x6 + 6x22) / (5x6 + 8x22) = 75,7

On a alors : 100x120 = 158,5 x 75,7

Autrement dit, l'augmentation de 20% de la consommation en valeur résulte d'une augmentation de 58,5% des quantités consommées conjuguée à une diminution de 24,3% des prix.

Tableau2–Répartitiondel'IMCdelapopulationadultefrançaiseen2012

[10,5, 18,5[ [18,5, 25[ [25, 30[ [30, 50[ Fréquence 3,5% 49,2% 32,3% 15,0% 1. Type de variable

Il s'agit d'une variable quantitative (correspond à une caractéristique qui peut être mesurée) continue (elle peut prendre toutes les valeurs sur son intervalle de variation). 2. Histogramme

Les classes étant d'amplitudes différentes, il faut rectifier les fréquences pour tracer l'histogramme. On calcule les densités de fréquence (fréquence de la classe divisée par son amplitude).

Amplitude de cl 8 6,5 5 20 Densité de fréquence 0,4% 7,6% 6,5% 0,8% L'histogramme permet de visualiser le mode de la distribution et donne une idée de sa dispersion.

3. Fréquences cumulées sous Excel On entre un 0 dans la cellule B11. En C11, on entre =B11+C10. Puis on recopie cette formule vers la droite jusqu'en F11.

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4. Médiane, moyenne

Médiane et moyenne sont des caractéristiques de tendance centrale. Elles renseignent sur l'ordre de grandeur de la variable en évaluant ce dernier à partir des valeurs qui sont "au milieu", "au centre" de la distribution. Elles s'expriment dans l'unité de la variable (ici kg/m2).

Médiane La médiane se trouve "au milieu" de la distribution au sens où elle est telle qu'il y a autant

d'observations qui lui sont inférieures que d'observations ayant une valeur supérieure. Elle corespond donc à la valeur pour laquelle la fréquence cumulée est égale à 50%.

Ici, elle appartient à la classe [18,5, 25[. En supposant une répartition uniforme à l'intérieur de cette classe, on trouve Me = 18,5 + 6,5x(50-3,5)/49,2 = 24,6 kg/m2

En 2012, il y avait ainsi en France autant d'adultes ayant un IMC inférieur à 24,6 que d'adultes ayant un IMC supérieur. Moyenne

Pour calculer la moyenne, on prend les centres de classe comme valeurs représentatives de chaque classe. On en fait la moyenne, en pondérant par les fréquences.

Centre de classe 14,5 21,75 27,5 40 Moyenne = 0,035x14,5 + 0,492x21,75 + 0,323x27,5 + 0,15x40 = 26,1 kg/m2

5. Ecart-type et CV L'écart-type est la racine carrée de la variance, cette dernière étant égale à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Pour la calculer, on peut utiliser sa formule développée : moyenne des carrés - carré de la moyenne. V(x) = 0,035x(14,5 - 26,1)2 + 0,492x(21,75 - 26,1)2 + 0,323x(27,5 - 26,1)2 + 0,15x(40 - 26,1)2 = 0,035x14,52 + 0,492x21,752 + 0,323x27,52 + 0,15x402 - 26,12 Variance = Le coefficient de variation est égal à l'écart-type rapporté à la moyenne. CV = 6,6/26,1 = L'écart-type est un indicateur de dispersion absolue qui s'exprime dans l'unité de la variable (ici en kg/m2), le CV un inidcateur de dispersion relative, qui est donc un nombre sans dimension. Il est préférable d'utiliser le CV pour comparer des distributions dont les ordres de grandeurs sont différents ou qui s'expriment dans des unités différentes. Tableau3–Coursdel’actionFJPsurles8dernierstrimestres

2013 2014

T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4

Cours 100 105 100 95 90 110 90 120 1. Variable de stock ou de flux ? C'est une variable de stock, mesurée à un moment donné. La somme sur une année des valeurs trimestrielles ne correspond à rien.

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2. Formule Excel du taux de variation trimestriel moyen en 2013 Les données permettent de calculer la variation entre T1 2013 (cellule B15) et T4 2013 (cellule E15). La variation totale (correspondant au multiplicateur E15/B15) résulte de trois variations trimestrielles successives. Il faut donc prendre la racine cubique du multiplicateur global : =(E15/B15)^(1/3)-1 puis format % 3. Composantes du mouvement brut Les composantes principales sont la tendance, la composante saisonnière et la composante résiduelle. La composante cyclique peut également être distinguée. 4. Moyennes mobiles d'ordre 3 La 1ère moyenne mobile d'ordre 3 que l'on peut calculer est celle que l'on associera au T2 2013, la dernière au T3 2014. mmT2 2013 = (100+105+100)/3 = mmT3 2014 = (110+90+120)/3 = Ces moyennes mobiles fournissent la valeur de la tendance à chacune de ces dates. Plus généralement, le calcul de moyennes mobiles est une méthode de détermination de la tendance d'une série chronologique. Autres méthodes : ajustement paramétrique (linéaire, exponentiel, etc) par les moindres carrés ; méthodes empiriques telles que le procédé des points médians. 5. Série CVS SérieCVS:sériecorrigéedesvariationssaisonnières.On“corrige”lesvaleursobservéesdelavariabledemanièreàéliminerl'influence de la composante saisonnière.

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Statistiques & Informatique - L1 Economie - 2014-15 Cours de François Fontaine, Jérôme Glachant et Patricia Vornetti Session 2 - Examen du mardi 23 juin 2015, 11h-13h

NB : Ne seront pris en compte que les résultats pour lesquels la démarche est explicitée, c'est-à-dire pour lesquels vous donnez la formule utilisée (ou la définition de la notion utilisée) et vous détaillez les calculs. Répondre précisément et avec soin à chacune des questions vous permet donc d'améliorer votre total de points. Les résultats seront fournis avec une décimale. Exercice 1 (6 points) Soit le tableau suivant des quantités et des prix de 3 biens X, Y, Z sur 3 ans (certaines données sont masquées) :

1. (1 point) Donnez une formule Excel à inscrire en B6 pour calculer le coefficient budgétaire du bien X l’année 0.

2. (1 point) Comment cette formule est-elle transformée si on la recopie en B7 ? Comment faut-il alors modifier la formule entrée en B6 pour qu’elle soit recopiable en B7 et B8 (c’est-à-dire qu’elle fournisse le résultat attendu) ?

3. (2 points) Quels indicateurs calculent les formules a) =100*SOMMEPROD(B3:B5;G3:G5)/(B3*C3+B4*C4+B5*C5) ? b) =100*((D6*F3/D3)+(D7*F4/D4)+(D8*F5/D5)) ?

4. (1 point) Calculez le Laspeyres des prix L2/1(p).

5. (1 point) Calculez LC2/0(p), l’indice chaîne de Laspeyres des prix.

Exercice 2 (8 points) Soit le tableau ci-dessous d’une population de salariés selon le salaire mensuel moyen en milliers d’euros.

L1/0(p) 101,0

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Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Examen du 23 juin 2015

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1. (1 point) Quelle formule Excel destinée à être recopiée à droite doit-on inscrire dans la cellule B5 pour obtenir les fréquences fi ?

2. (2 points) Représentez graphiquement la distribution (histogramme) et la distribution cumulée (courbe des fréquences cumulées). Vous présenterez préalablement tous les calculs nécessaires.

3. (2 points) Calculez le salaire moyen et le salaire médian.

4. (1 point) Quelle est la fraction de la population qui gagne moins de 60% du salaire médian ?

5. (2 points) Comment pourrait-on procéder pour calculer le coefficient de Gini de la distribution considérée ? Indiquez les calculs qui devraient être faits et à quoi ils serviraient (NB : il n'est pas demandé de faire ces calculs). Sur quoi renseigne le coefficient de Gini ?

Exercice 3 (6 points) Le tableau suivant fournit le taux de variation trimestriel du PIB en France pour 2014 et 2015. Les cinq premières valeurs sont des valeurs effectives, les suivantes (i.e. taux pour les trimestres 2 à 4 de 2015) sont des prévisions.

Le taux de variation est mesuré en %. rt/t-1 est le coefficient multiplicateur permettant de passer du niveau de PIB en t-1 au niveau du PIB en t.

1. (1 point) Calculez le taux de variation trimestriel moyen du PIB pour 2014 et 2015 (prévision).

2. (1 point) Donnez la formule Excel à inscrire dans la cellule C5, et destinée à être recopiée à droite, pour obtenir les indices du PIB pour les différents trimestres, base 100 au 4ème trimestre 2013 (notés It/T4-2013, dernière ligne du tableau).

3. (1 point) Calculez les valeurs manquantes des indices It/T4-2013.

4. (1,5 point) Calculez le taux annuel moyen de croissance du PIB prévu entre 2014 et 2015. Justifiez le mode de calcul utilisé.

5. (1,5 point) Suggérez deux méthodes de prévision susceptibles d'être utilisées pour prévoir le niveau du PIB aux T2, T3 et T4 2015.

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Statistiques & Informatique - L1 Economie - 2014-15

Cours de François Fontaine, Jérôme Glachant et Patricia Vornetti

Session 2 – CORRIGÉ DE L'EXAMEN de juin 2015 Exercice 1 (6 points) Soit le tableau suivant des quantités et des prix de 3 biens X, Y, Z sur 3 ans (certaines données sont masquées) :

1. (1 point) Donnez une formule Excel à inscrire en B6 pour calculer le coefficient budgétaire du bien X l’année 0. =B3*C3/SOMMEPROD(B3:B5;C3:C5)

2. (1 point) Comment cette formule est-elle transformée si on la recopie en B7 ? Comment faut-il alors modifier la formule entrée en B6 pour qu’elle soit recopiable en B7 et B8 (c’est-à-dire qu’elle fournisse le résultat attendu) ?

Recopiée en B7, la formule devient =B4*C4/SOMMEPROD(B4:B6;C4:C6). Pour qu'elle soit recopiable en B7 et B8

pour donner les coefficients budgétaires des biens Y et Z en 0, il faut bloquer le dénominateur. On entrera donc en

B6 = B3*C3/SOMMEPROD(B$3:B$5;C$3:C$5).

3. (2 points) Quels indicateurs calculent les formules a) =100*SOMMEPROD(B3:B5;G3:G5)/(B3*C3+B4*C4+B5*C5) ? Cette formule fait le rapport (x 100) entre les prix en 0 multipliés par les quantités en 2 et les prix en 0 multipliés

par les quantités en 0. Elle calcule donc le Laspeyres des quantités en 2 base 100 en 0, L2/0(q).

b) =100*((D6*F3/D3)+(D7*F4/D4)+(D8*F5/D5)) ? Cette formule multiplie le coefficient budgétaire de chaque bien en 1 (colonne Di, pour i= 6 à 8) par l'indice de prix

de ce bien en 2 base 100 en 1 (100*Fi/Di, pour i = 3 à 5). Elle calcule donc le Laspeyres des prix en 2 base 100 en 1,

L2/1(p).

4. (1 point) Calculez le Laspeyres des prix L2/1(p). On utilise la formule donnée en 3b. Pour faire le calcul, il nous manque le coefficient budgétaire du bien Z en 1. Ce

dernier se déduit des données du tableau, sachant que la somme des coefficients budgétaires est égale à 1. On a

alors L2/1(p) = 100x(0,21x80/60 + 0,36x42/36 + 0,43x50/70) = 100,7.

5. (1 point) Calculez LC2/0(p), l’indice chaîne de Laspeyres des prix. LC2/0(p) = L2/1(p) x L1/0(p) / 100 = 100,7x101,0/100 = 101,7

NB : La valeur de L1/0(p) est donnée dans le tableau.

L1/0(p) 101,0

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Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Corrigé de l'examen de juin 2015

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Exercice 2 (8 points) Soit le tableau ci-dessous d’une population de salariés selon le salaire mensuel moyen en milliers d’euros.

1. (1 point) Quelle formule Excel destinée à être recopiée à droite doit-on inscrire dans la cellule B5 pour obtenir les fréquences fi ?

=B3/$F3 puis format %

2. (2 points) Représentez graphiquement la distribution (histogramme) et la distribution cumulée (courbe des fréquences cumulées). Vous présenterez préalablement tous les calculs nécessaires. Pour représenter l'histogramme, étant donné que les classes n'ont

pas toutes la même amplitude (voir ligne 6 du tableau ci-dessous), il

faut rectifier les effectifs (ou les fréquences) ; on associera à chaque

classe sa densité d'effectif (ou sa densité de fréquence) : ni/ai (ou fi/ai)

avec ai : largeur de la classe i. On a calculé ici les densités d'effectif -

voir ligne 7 du tableau.

Pour représenter la distribution cumulée, on associe à chaque

extrémité supérieure de classe l'effectif (ou la fréquence) cumulé(e)

jusqu'à cette extrémité – voir lignes 8 et 9 du tableau.

On a représenté ici les effectifs cumulés. Le graphique est

évidemment le même avec les fréquences cumulées.

3. (2 points) Calculez le salaire moyen et le salaire médian. Salaire moyen = σݔ =Τ 331/120 = 2,7 K€

Le salaire médian est la valeur du salaire qui partage l'ensemble des salariés en deux sous-ensembles de même

effectif. Il correspond à un effectif de 60 (ou une fréquence cumulée de 50%) et appartient donc à la 2ème classe. En

supposant une distribution uniforme des salariés à l'intérieur de cette classe, on trouve :

ܯ = 2,3 + 0,7(60 െ 50)/30 = 2,5 K€.

4. (1 point) Quelle est la fraction de la population qui gagne moins de 60% du salaire médian ? 60% du salaire médian = 0,6x2,5 = 1,5 K€. Cette valeur appartient à la 1ère classe. Sous l'hypothèse de distribution

uniforme des salariés à l'intérieur de la classe, il y a 50x(1,5 – 1,2)/1,1 = 13,6 salariés qui gagnent moins de 1,5 K€, soit

13,6/120 = 11,3 % des salariés.

5. (2 points) Comment pourrait-on procéder pour calculer le coefficient de Gini de la distribution considérée ? Indiquez les calculs qui devraient être faits et à quoi ils serviraient (NB : il n'est pas demandé de faire ces calculs). Sur quoi renseigne le coefficient de Gini ? On trace la courbe de Lorenz qui, à chaque fréquence cumulée, associe la fréquence cumulée de la masse salariale

correspondante. Le coefficient de Gini se détermine à partir de la surface située entre la 1ère diagonale et cette

courbe. Il renseigne sur la concentration de la distribution. Plus il est élevé, plus la distribution est concentrée.

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Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Corrigé de l'examen de juin 2015

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Exercice 3 (6 points) Le tableau suivant fournit le taux de variation trimestriel du PIB en France pour 2014 et 2015. Les cinq premières valeurs sont des valeurs effectives, les suivantes (i.e. taux pour les trimestres 2 à 4 de 2015) sont des prévisions.

Le taux de variation est mesuré en %. rt/t-1 est le coefficient multiplicateur permettant de passer du niveau de PIB en t-1 au niveau du PIB en t. 1. (1 point) Calculez le taux de variation trimestriel moyen du PIB pour 2014 et 2015 (prévision). On commence par calculer les coefficients multiplicateurs : rt/t-1 =1 + vt/vt-1 (ligne 4 du tableau). Pour chaque année, le

taux de variation trimestriel moyen s'obtient en prenant la racine 4ème

du produit des multiplicateurs -1.

Pour 2014, on obtient ݒ௧ప ଶଵସതതതതതതതതതതതത = ξ0,9981ݔ1,002ݔ0,999ݔర െ 1 = െ0,03%.

Pour 2015, ݒ௧ప ଶଵହതതതതതതതതതതതത = ξ1,0061,004ݔ1,003ݔ1,003ݔర െ 1 = 0,4%

2. (1 point) Donnez la formule Excel à inscrire dans la cellule C5, et destinée à être recopiée à droite, pour obtenir les indices du PIB pour les différents trimestres, base 100 au 4ème trimestre 2013 (notés It/T4-2013, dernière ligne du tableau). = B5*C4

3. (1 point) Calculez les valeurs manquantes des indices It/T4-2013. Voir ligne 5 du tableau.

4. (1,5 point) Calculez le taux annuel moyen de croissance du PIB prévu entre 2014 et 2015. Justifiez le mode de calcul utilisé. Le PIB est une variable de flux. Le calcul approprié dans ce cas est un calcul en moyenne annuelle. Le taux annuel

moyen de croissance du PIB s'obtient alors en rapportant le PIB trimestriel moyen de 2015 à celui de 2014. On utilise

les valeurs trimestrielles de l'indice calculées à la question précédente.

ଵହ/ଵସതതതതതതതതݒ = (100,5 + 100,8 + 101,1 + 101,5)/(99,8 + 99,7 + 99,9 + 99,9) െ 1 = 1,2%

5. (1,5 point) Suggérez deux méthodes de prévision susceptibles d'être utilisées pour prévoir le niveau du PIB aux T2, T3 et T4 2015. En disposant des données de PIB sur les années antérieures, on peut utiliser la méthode des moyennes mobiles ou

procéder à un ajustement paramétrique de tendance pour établir ces prévisions.

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