UFR : Sciences et Technologies Département : Physique ECUE

UFR : Sciences et Technologies

Département : Physique

ECUE: Atomique et nucléaire

14/06/2019

Chap.1: Systèmes atomiques à un seul électron

MASTER1: Physique des Matériaux

Présenté par: Dr. Serigne THIAO

Université Assane Seck de Ziguinchor

BP : 523 Ziguinchor

1

I. Introduction

Le monde qui nous entoure va de l’infiniment petit (10-15m) à l’infiniment grand (1026).

La physique s’est intéressée à l’étude de ces deux mondes ‘ microscopique et

macroscopique’ et des lois qui les régissent : constituants de la matière, mouvement de

particules, mouvement d’objets terrestres ou célestes, nature de la lumière …

14/06/2019Chap.1: Systèmes atomiques à un seul électron

2

I. Introduction

La physique classique par le biais des ‘lois de Newton’ (1687) et des ‘lois de Maxwell’(1864), a

montré une grande efficacité dans l’interprétation du mouvement des particules, et dans la

compréhension du comportement ondulatoire et en particulier celui de la lumière.

Cependant jusqu’au début du XIX siècle, les chimistes et les physiciens avaient observé des

phénomènes dont l’interprétation reste difficile si non impossible par la physique classique. Nous

citons comme exemple l’émission de la lumière par un corps chauffé (soleil, filament de

tungstène d’une ampoule, fer …) qui ne peut s’expliquer en attribuant à la lumière seulement une

nature ondulatoire. En 1900, Max Planck fait l’hypothèse que la lumière pouvait être émise par

petits paquets d’énergie appelés quanta portés par des ‘photons’.


3

II. Modèle classique

Nous pouvons déduire une relation entre la vitesse et la position r de l’électron par

rapport au noyau en écrivant la relation fondamentale de la dynamique (RFD):

𝐹𝑒𝑥𝑡= me 𝛾 (1)


4

r

Proton

(+e, mp)

électron (-e,me)

v


L’électron et le noyau s’attirent et la seule force extérieur coulombienne est centrifuge et portée

par -ur, l’accélération a uniquement une composante normale à la trajectoire et comme le

mouvement est circulaire uniforme on a :

𝛾 = −v2

rur (2)

Ce qui conduit à :

r =e2

4πε0 mev2 (3)

Nous pouvons conclure que toutes les valeurs de r sont permises si toutes les vitesses le sont

aussi.


5


Nous pouvons également calculer l’énergie totale qui est une somme d’énergie cinétique

T et potentielle V :

E = T + V =1

2mev

2 −e2

4πε0r= −

e2

8πε0r(4)

Le potentiel zéro est pris pour un électron rejeté à l’infini. L’énergie totale est négative,

elle indique que le système (noyau + électron) est lié. Cette énergie peut également

prendre toutes les valeurs s’il n’y a aucune limité imposée à r.


6


Le spectre observé pour l’atome d’hydrogène est un spectre discret qui ne peut pas

s’expliquer par la physique classique et le modèle de Bohr va tenter d’apporter une

explication.


7

III. Modèle de Bohr

Afin d’interpréter le spectre de l’atome le plus simple H, Bohr a basé son modèle sur le

modèle planétaire précédemment décrit qu’il a combiné avec la théorie de Planck.

Il a rajouté deux hypothèses supplémentaires communément connues sous les noms de :

‘premier et deuxième postulats de Bohr’, nous les décrirons dans ce qui suit.


8


1/ 1er postulat de Bohr

Le premier postulat stipule que l’électron ne peut pas se trouver à n’importe quelle distance du

noyau. Les seules positions possibles sont telles que le moment cinétique L soit un multiple

entier de ħ :

L = mev r = n ħ (5)

me est la masse de l’électron, v est sa vitesse sur l’orbite circulaire, r sa position par rapport au

noyau fixe supposé au centre du cercle, ħ =ℎ

2𝜋, h est la constante de Planck et n est un entier

strictement positif appelé nombre quantique principal.


9



Conséquences du premier postulat de Bohr:

Quantification de la position

On montre facilement, en combinant ce postulat avec la relation fondamentale de la

dynamique que :

rn = n2ε0 h2

π me e2= n2 a0 (6)

Pour n =1, r1 = a0 est appelé rayon de la première orbite de Bohr et vaut 0.529 Ǻ.


10



Le fait nouveau rajouté par cette première hypothèse est une quantification des positions

de l’électron sur la trajectoire circulaire. Ces positions quantifiées sont les seules

trajectoires permises au mouvement de l’électron, elles sont alors appelées orbites’

permises’ ou ‘stationnaires’.

Le modèle de Bohr est également appelé modèle des couches :


11

n 1 2 3 4 …

Symbole couche K L M N …



Quantification de l’énergie

L’énergie totale de l’atome d’hydrogène devient alors quantifiée :

En = −e2

8πε0 rn= −

mee4

8ε02h2n2

= −E0

n2(7)

Pour n =1 on a E1 =-E0 = -13.6 eV c’est la plus basse énergie de l’hydrogène appelée énergie de

l’état fondamental.

Nous remarquons que l’énergie est toujours négatives donc nous avons affaire à des états liés,

qu’elle varie inversement proportionnelle à n2 et que les écarts entre les niveaux d’énergies vont

en se resserrent de plus en plus avec l’augmentation de n.


12


2/ 2ème postulat de Bohr

L’électron se trouvant sur une orbite stationnaire ne peut rayonner de l’énergie, il émet ou

absorbe du rayonnement uniquement en passant d’une orbite stationnaire n à une autre n’.

ΔE = En′ − En = h𝜈 =hc

λ= E0

1

n′2−

1

n2 (8)

Ce qui implique :

1

λ= σ = −

E0

hc= −RH

1

n′2 −1

n2 (9)

Avec n fréquence du rayonnement émis ou absorbé, l sa longueur d’onde, s son nombre d’onde et

RH est la constante de Rydberg de l’hydrogène.


13



Nous rappelons ici que l’absorption est relative au passage de l’électron d’une orbite

stationnaire n à une orbite stationnaire n’ de plus grande énergie. Ce passage ne peut se

faire qu’en présence d’une perturbation externe (exemple exposition à un rayonnement

ℎ𝜈). Si au contraire l’électron se trouve dans un état excité n’, cet état instable ne dure

pas longtemps et l’électron retourne rapidement vers un état n de plus basse énergie en

émettant un rayonnement ℎ𝜈, d’où le nom d’émission.


14



Le spectre de couleur d’un atome peut s’obtenir par absorption ou par émission d’un

rayonnement ℎ𝜈 comme indiqué sur la figure ci-dessous :

L’absorption est un gain d’énergie et l’émission est une perte d’énergie par l’atome.


15

n’ n’

n n

hnhn

Absorption Émission


3/ Spectre de l’atome d’hydrogène

Le spectre de l’hydrogène est formé de plusieurs raies (couleurs) appartenant à

différentes régions spectrales allant de l’ultraviolet à l’infrarouge.

*Chaque raie observée correspond à ce qu’on appelle une transition électronique.

*Chaque transition électronique correspond au passage de l’électron d’une orbite

stationnaire à une autre orbite stationnaire soit par absorption de rayonnement ou par

émission de rayonnement.


16



La raie, de chaque série, correspondant à la plus grande longueur d’onde (ou le plus petit

écart énergétique) est appelée par le nom de la série correspondante indexé par la lettre

grecque a (exemple Lyman a (transition entre n=1et n=2) et on avance ainsi dans

l’alphabet grecque au fur et à mesure que la longueur d’onde décroit (ou l’écart

énergétique croit).


17



18

n =1, E1=-E0

n =2, E2=-E0/4

n =3, E3=-E0/9

n =4, E4=-E0/16

n =∞ , E = 0

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Spectral_lines_of_the_hydrogen_atom.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Spectral_lines_of_the_hydrogen_atom.svg



Nous pouvons facilement déterminer le domaine spectral de chaque série, en calculant les deux longueurs

d’ondes limites émises ou absorbées. La plus courte longueur d’onde 𝜆𝓁1 de chaque série (en absorption

par exemple) correspond au plus grand écart énergétique, elle est attribuée au passage de l’électron de

l’orbite stationnaire n à l’orbite stationnaire n’=∞. La plus petite transition énergétique (passage de

l’électron de n à n+1) est attribuée à la plus grande longueur d’onde 𝜆𝓁2. Ces deux longueurs d’onde

limites sont calculées à partir de la relation (9) :

𝜆𝓁1 =n2

RH(10)

𝜆𝓁2 =n2(n+1)2

(2n+1)RH(12)


19



Les frontières ou limites des séries de Lyman, Balmer et Paschen sont représentées sur le schéma ci-

dessous. Nous remarquons que la série de Lyman est située dans l’ultraviolet, la série de Balmer est dans le

visible alors que la série de Paschen se trouve dans l’infrarouge.


20


4/ Potentiel d’ionisation de l’hydrogène

C’est l’énergie nécessaire à séparer l’électron du noyau donc à l’amener au niveau n = ∞ qui a une énergie

E∞ = 0 (cette énergie a été prise comme référence dans l’énergie potentielle, elle correspond à l’électron

libre). Ce potentiel correspond donc à l’atome ionisé (séparé de son électron). Il est toujours positif car il

correspond à l’énergie reçue par le système (noyau + électron). Cette ionisation est représentée par la

réaction suivante :

H→ H+ + e-

H+ est l’ion positif de l’hydrogène et e- est l’électron libre.

L’ionisation de l’hydrogène qui permet de faire passer l’électron de l’état fondamental n = 1 à l’état ionisé

n = ∞ correspond à une énergie de +13.6 eV.


21

faye


5/ Limites du modèle de Bohr

Le modèle de Bohr permet d’interpréter correctement le spectre de l’atome d’hydrogène et celui d’autres

systèmes à un électron telles que les hydrogénoïdes, mais dès que le nombre d’électron dépasse 1, il

échoue dans l’explication des spectres expérimentaux. La défaillance du modèle de Bohr réside dans le fait

qu’il confine les électrons dans des orbites bien définies comme le modèle planétaire, mais l’électron ayant

un caractère ondulatoire ne pourra jamais être décrit correctement que par le biais de ses fonctions d’ondes

qui par la suite expliqueront sa structure géométrique.


22

faye

IV. Modèle quantique de Schrödinger

Le modèle quantique traite l’électron en tant qu’onde, il stipule que celui-ci n’est pas localisé à un endroit

précis autour du noyau, mais distribué au sein d’une orbitale dite ‘orbitale atomique’ avec une probabilité

de présence égale au carré de la norme de la fonction d’onde électronique.

Cette fonction d’onde électronique est liée à ce qu’on appelle un état quantique. Sa distribution autour du

noyau est dynamique mais au sein d’une orbitale atomique donnée, l’électron a aussi bien une quantité de

mouvement et un moment cinétique orbital ce qui représente son aspect corpusculaire.


23


L’équation de Schrödinger (1926) s’écrit :

𝐻𝜑 = 𝑬 𝜑 (13)

*Avec H opérateur énergie totale ou hamiltonien du système. Pour l’hydrogène c’est la somme des deux

opérateurs énergie cinétique T et énergie potentielle V(r) :

T =P2

2 me= −

ħ2

2me𝛻2 (14)

V(r) =−e2

4πε0r(15)


24

faye


Rappelons qu’un opérateur va agir sur une fonction d’onde, ainsi l’opérateur impulsion agit par

dérivation de la fonction d’onde et se transforme en 𝑝 =ħ

𝑖𝛻 alors que l’opérateur position agit par

multiplication sur la fonction d’onde.

*𝜑 est la fonction d’onde électronique qui décrit l’état quantique du système à un électron et E est la valeur

propre issue de l’action de H sur 𝜑 , c’est l’énergie de l’électron associée à l’état quantique décrit par 𝜑 .


25

faye


L’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène s’écrit alors :

(−ħ2

2me∆ −

e2

4πε0r)𝜑 = E 𝜑 (16)

Où 𝛻2 = ∆ opérateur Laplacien.

Dans le système de coordonnées sphériques, le Laplacien s’écrit :

∆ =1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 𝜕

𝜕𝑟) +

1

𝑟2

1

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃(𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃) +

1

𝑟2

1

𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜕2

𝜕𝜑2 (17)

L’expression du carré du moment cinétique orbital dans ce système de coordonnées est :

𝐿2 = −ħ2 1

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃(𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃) +

1

𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜕2

𝜕𝜑2 (18)


26


En introduisant l’expression (18) dans l’hamiltonien de l’équation (16), on arrive à :

H = H r +L2

2mer2 (19)

avec

𝐻 𝑟 = −ħ2

2𝑚𝑒

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 𝜕

𝜕𝑟) + 𝑉(𝑟) (20)


27


1/ Démarche pour la résolution de l’équation de Schrödinger pour H

Nous avons vu que le carré du moment cinétique orbital est fonction uniquement de 𝜃 et 𝜑 donc il

commute avec H(r) (nous avons des variables indépendantes et par conséquent L2 est une constante du

mouvement), ce qui permet d’introduire un premier nombre quantique 𝒍.

Pour avoir un second nombre quantique, il faut se rappeler que L2 commute également avec l’une de ses

composantes Lz (Lz

= −𝑖ħ𝜕

𝜕𝜑), qui est également constante du mouvement et commute par la suite avec

H(r). Ainsi on introduit un deuxième nombre quantique 𝒎𝒍.


28



Les fonctions propres communes à L2 et Lz sont les harmoniques sphériques et dépendent uniquement des

variables d’espace 𝜃 et 𝜑 :

L2 𝑌𝑙𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑) >= ħ𝟐 𝒍 𝒍 + 𝟏 𝑌𝑙

𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑) > et Lz 𝑌𝑙𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑) > = 𝒎𝒍ħ 𝑌𝑙

𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑 > (21)

Nous pouvons alors proposer comme fonction d’onde électronique 𝜑(𝑟, 𝜃, 𝜑), une fonction qui est le

produit d’une fonction radiale et des harmoniques sphériques :

𝜑(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑅 𝑟 𝑌𝑙𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑) (22)


29

faye



En tenant compter de l’action de L2 sur les harmoniques sphériques (21), l’équation de Schrödinger devient

alors :

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 𝜕

𝜕𝑟) −

𝑙(𝑙+1)

𝑟2 +2𝑚𝑒

ħ2

𝑒2

4𝜋𝜀0

1

𝑟+

2𝑚𝑒

ħ2 𝐸 R r = 0 (23)

En se plaçant dans le système d’unités atomiques : (unité atomique de longeur a0 = 0.529Ǻ = 1Bohr, et

unité atomique d’énergie 2E0= 27.2 eV ), l’équation (23) se met sous la forme suivante :

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 𝜕

𝜕𝑟) −

𝑙(𝑙+1)

𝑟2 +1

𝑟+ 𝐸 R r = 0 (24)

Qui s’écrit également :

𝜕2

𝜕𝑟2 +2

𝑟

𝜕

𝜕𝑟−

𝑙(𝑙+1)

𝑟2 +1

𝑟+ 𝐸 R r = 0 (25)


30



Nous remarquons que dans cette équation il y a une dépendance paramétrique de 𝑙, nous pouvons à

première vue dire que la fonction radiale R (r) dépendra de 𝑙 et nous montrons cette dépendance en

écrivant R𝑙 (𝑟). Mais la dépendance de cette équation en r exige l’introduction d’un 3ème nombre quantique

que nous appellerons n.

Nous pouvons encore de simplifier cette équation différentielle en posant 𝑢𝑛𝑙 𝑟 = 𝑟 R𝑛𝑙 𝑟 , ce qui

permet d’éliminer le terme de dérivation du premier ordre :

𝜕2

𝜕𝑟2 −𝑙(𝑙+1)

𝑟2 +1

𝑟+ 𝐸 unl r = 0 (26)


31

IV. Modèle quantique de Schrödinger 1/ Démarche pour la résolution de l’équation de Schrödinger pour H

La résolution de l’équation (26) est complexe, elle nécessite beaucoup de développements mathématiques, elle doit se

faire en respectant les conditions physiques, ce qui veut dire que toutes les solutions quelque soit la valeur de r restent

finies, en effet le carré de la fonction d’onde électronique 𝜑 donne la probabilité de présence de l’électron dans une région

de l’espace autour du noyau et cette probabilité est limitée entre 0 et 1.

L’équation (26) ressemble à une autre équation différentielle résolue par les mathématiciens, qui donne comme solution

pour les états liés (E < 0) et en tenant compte des conditions aux limites, les énergies électroniques sous la forme :

En = −E0

n2 (27)


32

IV. Modèle quantique de Schrödinger 1/ Démarche pour la résolution de l’équation de Schrödinger pour H

La fonction d’onde décrivant ce système à un électron est de la forme :

𝜑𝑛 𝑙 𝑚𝑙(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑅𝑛,𝑙 𝑟 𝑌𝑙

𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑) (28)

Où les 𝑅𝑛,𝑙 𝑟 s’expriment en fonction des polynômes de Laguerre.

Cette fonction d’onde à un électron est appelée orbitale électronique, elle est alors représentée par 3 nombres quantiques n, 𝑙 et 𝑚𝑙 qui définissent les états

quantiques relatifs à l’électron.

Ainsi, la fonction d’onde totale électronique se met sous la forme suivante:

𝜓𝑛 𝑙 𝑚𝑙 𝑚𝑠= 𝑅𝑛,𝑙 𝑟 𝑌𝑙

𝑚𝑙 𝜃, 𝜑 𝜒(𝑠, 𝑚𝑠) (29)

Avec 𝜒(𝑠, 𝑚𝑠) est la fonction d’onde de spin.


33

faye

faye

faye



Le produit de la fonction d’onde d’espace ou orbitale 𝜑(𝑟, 𝜃, 𝜑) avec celle de spin 𝜒(𝑠, 𝑚𝑠) est alors appelé spin-

orbitale.

Le nouvel apport de la mécanique quantique et toute l’information nouvelle existe dans la fonction d’onde.

La spin-orbitale gère plusieurs nombres quantiques qui introduisent la notion de dégénérescence. Une même énergie

(dépendance de n uniquement) est reproduite par plusieurs états quantiques ou états électroniques. Ce qui expliquera par

la suite de nouveaux faits expérimentaux comme par exemple l’effet Zeeman.


34

faye


2/ Détermination de l’état d’un système à 1 électron

Ainsi, tout état électronique est défini par 4 nombres quantiques n, 𝒍, 𝒎𝒍 et 𝒎𝒔 (s n’est

pas pris en compte car ce nombre est fixe et vaut toujours s =1/2 pour un électron)

*n et appelé nombre quantique principal. Il définit la quantification de l’énergie dans la

théorie de Bohr et la théorie quantique. Il prend toutes les valeurs entières à partir de 1.

Une couche électronique est entièrement définie par la donnée de n : n=1 (couche K),

n=2 (couche L),…


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faye



*𝒍 est appelé nombre quantique azimutal ou orbital. Il est interprété en tant que moment cinétique dû à la rotation de l’électron

autour du noyau. Il est lié à la quantification en module du moment cinétique. Il détermine la forme spatiale de l’orbitale. Ce

nombre prend toutes les valeurs entières entre 0 et n-1.

𝑜 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1

L’orbitale 𝑙 = 0 est appelée s, 𝑙 = 1 est notée p ,…, et à partir de l’appellation f c’est l’ordre alphabétique.

Une sous couche est entièrement définie par la donnée de n et l : sous couche 1s, la sous couche 2s, la sous couche 2p, ….


36

𝑙 0 1 2 3 4 5 …

notation s p d f g h …

faye

faye



*𝒎𝒍 est le nombre quantique magnétique orbital. Il est lié à la quantification du moment

cinétique dans une direction. Il définit l’orientation spatiale de l’orbitale et prends (2𝑙 + 1)

valeurs :

−𝑙 ≤ 𝑚𝑙 ≤ +𝑙

Pour 𝑙 = 0 on a une seule valeur de 𝑚𝑙 donc toutes les orbitales s sont représentées par une

seule case quantique

𝑚𝑙 = 0


37

faye

faye

faye



Pour 𝑙 = 1 on a 3 valeurs de 𝑚𝑙 relatives à 3 orientations spatiales de l’orbitale p une selon

x appelée px, l’autre selon z appelée pz et la troisième selon y appelée py. Donc à chaque

orbitale p correspondent 3 cases quantiques :

𝑚𝑙 = -1, 0, +1

Une orbitale électronique (communément appelée ‘orbitale atomique’) est définie par la

donnée de n,𝒍 et 𝒎𝒍.


38

faye



*𝒎𝒔 est le nombre quantique magnétique de spin. C’est la projection de s sur l’axe des z.

−𝑠 ≤ 𝑚𝑠 ≤ +𝑠

Dans le cas d’1 seul électron s = 1/2 donc il existe uniquement deux valeurs possibles de

𝑚𝑠 soit +1/2 ou -1/2.

Un état électronique est complètement défini par la donnée de n,𝒍 et 𝒎𝒍 et 𝒎𝒔.


39

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faye

faye


3/ Forme des orbitales atomiques et densité de probabilité

Quand on parle de la forme de l’orbitale atomique, nous entendons la forme de la fonction

d’onde qui est construite à partir d’une partie radiale et d’une partie angulaire. La partie

radiale illustre un positionnement de l’électron par rapport au noyau et est intéressante

plutôt quand on souhaite dessiner la probabilité de présence de l’électron dans l’élément de

volume sphérique dv qui entoure le noyau | 𝜑 |2 ou la densité de probabilité dP = | 𝜑 |2dv .

La forme de l’orbitale est plutôt donnée par la forme de sa partie angulaire c’est à dire par

les 𝑌𝑙𝑚𝑙 (𝜃, 𝜑).


40

faye



*forme des orbitales ns : Pour toutes les orbitales ns, la partie angulaire 𝑌00 est une constante donc la fonction

𝜑 𝑟 = 𝑅𝑛0 𝑟 𝑌00 est uniquement fonction de r, ces fonctions ont la symétrie sphérique, elles sont donc

représentées par une sphère.


41



*forme des orbitales np : pour les orbitales p, le 𝑙 = 1 donne 3 orientations différentes dans l’espace pour ces

orbitales, ces orbitales ont un axe de symétrie donc de symétrie cylindrique.


42


4/ Dégénérescence

Pour une fonction d’onde qui dépend de 4 nombres quantiques, l’énergie ne change que par la variation d’un seul de ces nombres

quantiques ‘n’, on dit qu’il existe plusieurs états quantiques de l’électron représentés tous par une seule valeur énergétique ce qu’on

appelle communément dégénérescence. La dégénérescence relative à une orbitale atomique est indiquée dans le tableau ci-dessous :


43

n 𝑙 𝑚𝑙 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 nombre dégénérescence

1 0 0 1s 1 1

2 0

1

0

-1,0,1

2s

2p

1

3

4

3 0

1

2

0

-1,0,1

-2,-1,0,1,2

3s

3p

3d

1

3

5

9

4 0

1

2

3

0

-1,0,1

-2,-1,0,1,2

-3,-2,-1,0,1,2,3

4s

4p

4d

4f

1

3

5

7

16

n 0,1,2,…,n-1 … …

2 𝑙 + 1

𝑙𝑖=0

𝑛−1

(2𝑙𝑖 + 1)



Afin de définir la dégénérescence totale, il faut tenir compte de tous les nombres quantiques donc rajouter la

dégénérescence introduite par l’effet du spin, comme pour un électron 𝑚𝑠 prend deux valeurs possibles donc le résultat

trouvé doit être multiplié par deux (deux possibilités : électron spin haut noté ↑ ou électron spin bas noté ↓ ).

Ainsi la dégénérescence totale est :

2

𝑙𝑖=0

𝑛−1

(2𝑙𝑖 + 1) = 2n2 (30)


44

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faye

faye



Ainsi le niveau n=1 est deux fois dégénéré, il est représenté par 2 spin-orbitales : 𝜓100+

1

2

et 𝜓100−

1

2

. L’électron peut être

représenté de façon équivalente par l’une ou l’autre de ces fonctions d’onde et aura dans ce cas l’énergie –E0.

Le niveau n =2 est 8 fois dégénéré, il est représenté par 8 spin-orbitales ou états électroniques : 𝜓200+

1

2

, 𝜓200−

1

2

, 𝜓210+

1

2

,

𝜓210−

1

2

, 𝜓211+

1

2

, 𝜓211−

1

2

, 𝜓21−1+

1

2

et 𝜓21−1−

1

2

.

L’électron peut occuper n’importe la quelle de ses spin-orbitales et avoir toujours l’énergie −E04 .


45



Contrairement à la théorie de Bohr où on ne représente un niveau d’énergie que par la donnée de n, en mécanique

quantique la dégénérescence doit se voir sur le diagramme énergétique même si les différentes fonctions attribuées

correspondent à la même valeur énergétique. Le diagramme ci-dessous illustre cette représentation quantique. Nous

indiquons juste que les seules transitions possibles ou permises sont telles queΔl = ± 1.

L’électron par exemple peut passer d’une orbitale s à p ou de p à s, de p à d ou de d à p mais ne peut jamais faire une

transition électronique entre s et s ou s et d. Sans rentrer dans les détails des calculs ici, mais cette règle de sélection

provient du fait que l’opérateur dipolaire électrique s’annule partout ailleurs sauf pour les transitions entre les états

électroniques qui correspondant à Δl = ± 1.


46


6/ Application aux hydrogénoïdes

Les hydrogénoïdes sont les systèmes formés par 1 seul électron, il s’agit d’ions à un électron dont le noyau porte la charge

+Ze. On donne l’exemple de He+, Li2+,…

Le mouvement à un électron est décrit pour l’hydrogène, il reste valable pour les hydrogénoïdes où il suffit juste de

remplacer le potentiel V(r) =−e2

4πε0rpar :

V(r) =−Ze2

4πε0r

L’énergie totale électronique pour les hydrogénoïdes devient alors :

En = −Z2E0

n2


47

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6/ Application aux hydrogénoïdes

Le système électron –noyau des hydrogénoïdes est plus lié que celui de l’hydrogène car le seul électron est

attiré par une charge positive beaucoup plus grande que celle de H.

Par conséquent à courte distance du noyau, on s’attend à ce que :

-les rayons soient plus proches du noyau comparés à ceux de l’hydrogène

-les énergies soient plus basses comparées à celles de l’hydrogène

-la distance à laquelle la densité de probabilité de présence est maximale soit beaucoup plus proche du noyau

que celle de l’hydrogène.


48

faye


7/ Validité du modèle quantique

Le modèle quantique permet d’interpréter non seulement le spectre des atomes à un électron mais également celui des

atomes à plusieurs électrons et des molécules moyennant certaines approximations. Ce modèle est le seul à pouvoir

expliquer les levées de dégénérescence des niveaux d’énergie d’un atome dues à une perturbation telle que le couplage

spin-orbite ou l’effet d’un champ magnétique extérieur telle que l’effet Zeeman ou l’effet Paschen Back ou celle d’un

champ électrique extérieur telle que l’effet Shtark, nous décrirons quelques uns de ces effets dans le chapitre suivant.


49

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Merci de votre attention

14/06/2019 Chap.1: Systèmes atomiques à un seul électron 50

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