UMR G-Eau

Modélisation analytique des transferts bi- et tridirectionnels

eau-soluté

Application à l’irrigation à la raie et à la

micro irrigation

David Crevoisier

Soutenance de thèse Lundi 12 décembre 2005

Objectifs

• Objectifs du travail– Mise en œuvre d’une modélisation intégrée à

l’échelle de la saison

– Impact des pratiques d’irrigation et de fertilisation sur les risques agro-environnementaux.

• Application à deux techniques d’irrigation– L’irrigation à la raie.

– La micro-irrigation.

Techniques à caractère bi- ou tridirectionnel :Géométrie des transferts.Technique de fertilisation.

Plan

• Problématique• Sélection des outils• Création du modèle

– Principes généraux

– Résolution des équations de transferts

– Recomposition de la solution

– Accroissement du domaine de validité

• Résultats• Perspectives

Problématique Campagnes expérimentales

• Nemeth, 1999– Devenir de l’azote sous irrigation gravitaire.

– Forte hétérogénéité de la distribution du fertilisant sur la parcelle.

• Triki, 2002– Etude locale.

– Impact du tirant d’eau sur l’homogénéisation de la répartition du fertilisant.

• Popova, 1997– Champ expérimental en Bulgarie équipé d’un

lysimètre.

– Etude des lixiviats afin de mesurer les risques environnementaux de deux pratiques culturales.

Importance des transferts bidirectionnels à l’échelle de la saison.

Problématique Limites des outils existants

• Modèle capacitif (Stics) mal adapté– Représentation 1D des phénomènes à l’échelle de

la saison.

– Dynamique des transferts inappropriée au contexte de l’étude.

• Limites de l’utilisation de la modélisation numérique (Hydrus-2D)– Représentation 2D des phénomènes à l’échelle

événementielle.

– Influence de la plante et du climat sur l’état du sol non prise en compte directement.

– Conditions de convergence numérique.

– Calage de nombreux paramètres.

Description des

phénomènes

Caractère opérationnel

Sélection des outils Modélisation retenue

• Construction d’une modélisation intégrée– Hydrus-2D + modules manquants.

– Modèle à base mécaniste + domaine de validité étendu + réduction des contraintes d’Hydrus-2D.

Exigence opérationnelle

• Rôle de chaque modélisation– Modèle de culture existant : en appui au

nouveau modèle (fonction puits racinaire, puits et source nitrate).

– Hydrus-2D : modèle de référence à l’échelle événementielle (à valider).

Sélection des outils Validation d’Hydrus-2D

• Nemeth, 1999– validation effectuée par Mailhol

et al. (2001)

• Triki, 2002– Transferts hydriques : simulation

satisfaisante.

– Transferts de nitrate : bonne restitution qualitative.

• Popova, 1997– Même remarque que pour

l’expérience précédente.

Profil d'azote sous le billonfort tirant d'eau

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Concentration (mgN/kg sol)

Pro

fon

deu

r (c

m)

Simulation Hydrus

Prélévements sur site

Profil d'azote sous le billonfaible tirant d'eau

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Concentration (mgN/kg sol)

Pro

fon

deu

r (c

m)

Simulation Hydrus

Prélévements sur site

+ Littérature (Abassi et al., 2004; Gärdenäs et al. 2004,…)

– Validation d’Hydrus-2D

– Compréhension des conclusions expérimentales.

Création du modèle Principes généraux

• Idée– Résolution analytique à bases mécanistes.

– Domaine de validité plus étendu.

• Principe– Décomposition du problème initial en problèmes plus simples.

– Résolution des problèmes simples.

– Recomposition d’une approximation de la solution du problème initial.

• Outils mathématiques mis en jeu– Utilisation de la fonction de Green.

– Principe de superposition.

– Représentation algorithmique des expressions symboliques par des arbres binaires.

Création du modèle Principes généraux

Apport d’eau dans la raie

Conditions atmosphériques

Condition initiale

Problème initialDécomposition gaussienne des

conditions initiales et discrétisation de la surface

Décomposition du problème initial complexe et problèmes

élémentaires

Rotation du domaine des problèmes élémentaires

permettant leur résolution

hS

hRSR

h

eKhK

eh

dhhKh

)(

)()(

)()(

tt

zMzxz

zxMxx

~cossin~sincos~

- La transformation de

Kirchhoff

- L’hypothèse du sol linéaire

- Le modèle de Gardner

zzxt ,

zxzxt

~~~,~~ cossin

Simplification de l’équation de Richards

- Le changement de variables

relatif à la rotation du

domaine

• Equation de Richards : zhhKt

)(.

• En utilisant :

• L’équation à résoudre devient :

sK

t

T

z

Z

x

X

2~

2~~

- Les variables

adimensionnées

XXZXT cossin2, T

- Le changement de

fonction )cossin( TZXe

Création du modèle

• Résolution analytique de l’équation– Dans le cas des problèmes élémentaires.– Linéarisation de l’équation.

Transformation des conditions initiales et aux limites.

Utilisation de la fonction de GreenCréation du modèle

• Méthode de résolution– Utilisation de la fonction de Green (permet la résolution analytique d’EDP

dans des cas de conditions aux limites complexes).

• Principes de la méthode– Multiplication de l’EDP initiale par la fonction de Green.

– Intégration en espace et en temps.

– Application du théorème de Green.

• Propriétés de la fonction de Green– Solution de l’EDP initiale.

– Réponse à une condition initiale sous forme d’une impulsion infinie au point (XS,ZS,TS).

SSZ

T

ZZ

SST

dTdXGG

dZdXG

SSS

S

00

00

Solution analytique de

l’EDP

Représentation des expressionsCréation du modèle

• Choix d’une représentation des expressions adaptée à l’étude– Complexité des expressions analytiques

– Apparition de fonctions de la forme de Gaussiennes dans les expressions.

– Besoin d’une représentation adaptative pour intégrer ultérieurement d’autres modules.

Arbre binaire.Famille de fonctions adaptées au problème .

),(2),( XXQss

seXXP,XX G

Arbre binaire Programmation récursive.

Intégration temporelle numérique

Création du modèle Résolution des problèmes élémentaires

• 4 types de problèmes élémentaires :- Condition initiale sous forme de Gaussienne et

conditions de charge aux limites nulles (problème GDN).

- Condition initiale sous forme de Gaussienne et conditions de flux aux limites nulles (problème GCN).

- Condition initiale nulle et condition de charge aux limites constantes (problème NDV).

- Condition initiale nulle et condition de flux aux limites constantes (problème NCV).

Reconstruction de la solution du problème général.

Condition aux limites

Condition initiale

Création du modèle Recomposition de la solution

Solutions élémentairesSuperposition des solutions

élémentaires

Création du modèle Recomposition de la solution

• Recomposition des conditions aux limites par superposition des problèmes élémentaires de type NDV et NCV.

– Cas de deux segments du même type de condition à la limite.– Cas d’un segment portant une condition de flux nul.– Cas des conditions de flux nul latéral.

+Flux nul Charge imposée

Création du modèle Recomposition de la solution

• Recomposition des conditions initiales par superposition pondérée des problèmes élémentaires de type GDN et GCN.

– Influence de deux segments sur une Gaussienne.– Solution continue.

+

– Cas M : 1 > 2

– Cas M’ : 1 = 2

– Cas M’’ : 1 =1 et 2 = 0

=11+22

Création du modèle Critiques de la modélisation

• Situations traitées– Géométrie du domaine irrégulière.– Conditions initiales et aux limites relativement complexes.– Durée de l’événement quelconque.– Applicable aux transferts hydriques et aux transferts de

solutés.

• Limite de cette approche– Hypothèses du sol linéaire.– Tenseur de dispersion trop simplifié et flux considéré comme

monodirectionnel.

Domaine de validité trop limité.

Création du modèle Accroissement du domaine de validité

zmoymoyt KD

KD zt

)(.Définition des paramètres moyens du modèle du

sol linéaire

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,05 0,15 0,25 0,35

humidité [cm3.cm-3]

D(theta) van Genuchten [cm2.h-1]

dK/dth(theta) van Genuchten [cm]

D(theta) moyen [cm2.h-1]

dK/dth(theta) moyen [cm]

Atténuation des contraintes de l’hypothèse du sol linéaire

– N jeux de paramètres moyens.– N résolutions. – Recomposition de la solution à partir

des N solutions.

Conservation de la masse

Création du modèle Accroissement du domaine de validité

Atténuation des approximations dans l’équation de convection-diffusion

– Transformation Lagrangienne du maillage.

• 1ère résolution de l’équation linéarisée.• Transformation du maillage en fonction

de V-Vmoy.• Interpolation entre maillage transformé

et maillage initial.– Approximation du tenseur de dispersion

comme fonction constante par morceaux.

NhNhhNt cqcqDc

),(.

N

moy

hNmoyhNt c

qcDc

.

Transformation du maillage.

Condition CFL

Vmax ΔT <ΔX

Vmoy

Itération

Résultats du modèle Cas testés

• Sol de type limoneux, Δθ=0,3 cm3.cm-3.• Profondeur 1 m.• Nombre cellule Hydrus Nb points de visualisation modèle.

Résultats du modèle Cas testés

• Irrigation à la raie de 3h – condition initiale homogène.• Redistribution de 2 jours – condition initiale fin de l’irrigation.• Transfert de solutés sous irrigation – condition initiale hétérogène.

Condition initiale

humidité

Condition initiale nitrate

Résultats du modèle Phase d’irrigation

Modèle développé Hydrus-2D

Ecart quadratique : 3,17%

Temps CPU : 25%

Evolution de la teneur en eau

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3

Temps (h)

Infil

trat

ion

cum

ulée

(mm

)

Hydrus-2D Modèle développé

Résultats du modèle Phase de redistribution

Ecart quadratique : 3,61%

Temps CPU : 85%

Modèle développé Hydrus-2D

Evolution de la teneur en eau

00,250,5

0,751

1,251,5

1,752

2,252,5

2,753

-10 2 14 26 38 50

Temps (h)

Dra

inag

e cu

mul

ée (m

m)

Hydrus-2D Modèle développé

Résultats du modèle Transfert de solutés

Cumuls des erreurs du calcul de flux et calcul

des transferts de solutés.

Ecart quadratique : 4,12%

Temps CPU : 63%

Modèle développé Hydrus-2D

Evolution de la concentration en nitrate

Résultats du modèle Paramètres à définir

Modèle développé Hydrus-2D

Paramètres hydriques Modèle linéaire :

cD,cC

Modèle van Genuchten :

, n, m, Ks

Paramètres transferts de solutés

Equation linéarisée :

Dmoy

Equation de transferts :

D0, DT, DL

Conditions initiales N Gaussiennes (μ,σ,A) Valeur en chaque cellule

Conditions aux limites Variables en espace et en temps

Variables en espace

Conclusions

• Apport du modèle développé sur les modélisations existantes

– Traitement de situations plus complexes que les modélisations analytiques existantes.

– Réduction des contraintes par rapport à une modélisation numérique.

– Modèle adaptatif.

• Retour sur les objectifs initiaux– Principes généraux du modèle établis.

– Simulation à l’échelle événementielle.

– Passage de l’échelle événementielle à l’échelle de la saison facilité.

Perspectives Amélioration du caractère opérationnel

• Capacité du modèle à traiter des conditions aux limites variables en espace et en temps

– Variation du débit d’un goutteur, avancement de l’eau dans une raie d’irrigation.

– Traitement de l’évaporation du sol.

– Traitement des précipitations.

• Impact de la plante sur l’état du sol– Traitement de l’extraction racinaire possible avec le modèle dans

certaines conditions.

– Effort de modélisation à faire dans le cas de stress hydrique ou stress azoté.

• Description d’une saison culturale complète– Calage des paramètres du modèle.

– Passage d’une phase d’irrigation à une phase de redistribution.

– Amélioration de l’efficacité des méthodes numériques.

Je vous remercie de votre attention

Sélection des outils Modélisation par analogie

• Juxtaposition de plusieurs empilements de réservoirs.

• Définition de transferts latéraux entre les piles de réservoirs.

• Frein à l’application de cette méthode Difficulté à représenter la dynamique du sol dans le contexte.

– Dépendance des transferts latéraux selon la nature du sol et l’humidité initiale du sol.

– Même apport d’eau + Durée d’apport différente Même stockage d’eau + Même profil de flux.

Campagnes expérimentales Micro-irrigation

• Tests de 5 stratégies de fertigation en micro-irrigation sur 3 types de sol.

• Objectifs : optimiser la disponibilité du fertilisant pour la plante tout en limitant les risques de lessivage.

Cycle répété à intervalle régulier sur une durée de

28 jours.

Même dose totale apportée.

Campagnes expérimentales Micro-irrigation

• Système racinaire concentré à 50 cm fertilisant perdu au delà.

• Utilité de la modélisation comparaison qualitative de l’impact des stratégies.

Résultats obtenus par simulation numérique après un cycle de fertigation.

Représentation des expressionsCréation du modèle

• Avantage de ce type de représentation et de la programmation récursive– Représentation d’un grand nombre de fonctions (polynôme, fonction d’erreur).

– Stockage informatique dynamique.

– Simplification des définitions d’opérations sur une expression générale.

• Exemple de programmation récursive sur l’évaluation d’une expression– Opération à effectuer sur un arbre en fonction de ses deux fils.

– Opération à effectuer sur une feuille.

GA(Xs,X) +GB(Xs,X)

GBGA

GA GB

GA

GA(Xs,X) GB(Xs,X)

GA GBGB

G(Xs,X) =

Calcul en cours

Calcul général

G(Xs,X) =G1(Xs,X)+

G1(Xs,X)G2(Xs,X)G3(Xs,X)G4(Xs,X)G5(Xs,X)

G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+

G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+G3(Xs,X))

G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+G3(Xs,X)) ((G4(Xs,X)+

G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+G3(Xs,X)) ((G4(Xs,X)+G5(Xs,X)))