C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 405–410, 2000Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics

Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coqueanalogue à celui de W.T. KoiterPhilippe G. CIARLET

Laboratoire d’analyse numérique, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, FranceCourriel : pgc@ann.jussieu.fr

(Reçu le 17 juillet 2000, accepté le 20 juillet 2000)

Résumé. Le but de cette Note est de proposer un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coques,analogue à celui proposé par W.T. Koiter en 1966, mais où le tenseur exact de changementde courbure est remplacé par un tenseur modifié, dont la forme est suggérée par des travauxrécents de V. Lods et B. Miara, puis de A. Roquefort. Un intérêt de ce tenseur, du point devue de la simulation numérique, est que ses composantes sont simplement des polynômesde degré6 3 par rapport aux composantes covariantes du champ de déplacement inconnuet à leurs dérivées partielles.

On montre par ailleurs, dans un travail commun avec A. Roquefort, que ce modèle bi-dimensionnel peut être justifié pour tous les types de géométrie de la surface moyenne et deconditions aux limites. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SAS

A two-dimensional nonlinear shell model of Koiter’s type

Abstract. The purpose of this Note is to propose a two-dimensional nonlinear shell modelanalogous to a model proposed by W.T. Koiter in 1966, but where the exact change ofcurvature tensor is replaced by a modified tensor, the form of which is suggested by recentworks of V. Lods and B. Miara and of A. Roquefort. An interest of this tensor, from thecomputational viewpoint, is that its components are simply polynomials of degree6 3 withrespect to the covariant components of the unknown displacement field and to their partialderivatives.

It is shown elsewhere, in a joint work with A. Roquefort, that this two-dimensional modelcan be justified for all kinds of geometries of the middle surface and of boundary conditions. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

The notations undefined here are defined in the French version (seealso [1]). Consider anonlinearlyelastic shellwith middle surfaceS = θ(ω), whereω ⊂ R2, andthickness2ε, subjected to ahomogeneousboundary condition of placealong a portion of its lateral face havingθ(γ0) as its middle curve, whereγ0 ⊂ ∂ω and lengthγ0 > 0. The shell is subjected toapplied body forcesin its interior and toapplied

Note présentée par Jacques-Louis LIONS.

S0764-4442(00)01672-4/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 405

P.G. Ciarlet

surface forceson its “upper” and “lower” faces, whose resultant has contravariant componentspi,ε ∈ L2(ω).Finally, it is assumed that the shell is made of aSt Venant–Kirchhoff material, with Lamé constantsλ > 0andµ> 0. Let

aαβστ :=4λµ

λ+ 2µaαβaστ + 2µ

(aασaβτ + aατaβσ

)denote the contravariant components of theelasticity tensor of the shell(see[1] for details).

Given an arbitrary displacement fieldηiai of S, let

Gαβ(η) :=1

2

(aαβ(η)− aαβ

)and Rαβ(η) := bαβ(η)− bαβ

denote the covariant components of the associatedchange of metric, andchange of curvature, tensors. Thefunctionsbαβ(η) arenot defined when the vectorsaα(η) := ∂α(θ+ ηia

i) are linearly dependent, becausethey contain a vanishing denominator

√a(η), wherea(η) := det(aαβ(η)).

Making ad hoc a prioriassumptions, of a geometrical and mechanical nature, Koiter [5] reached theconclusion that the unknown displacement fieldζεi a

i of the middle surfaceS is such that the fieldζε = (ζεi )should be aminimizerof theenergyjεK defined by:

jεK(η) :=ε

2

∫ω

aαβστGστ (η)Gαβ(η)√ady+

ε3

6

∫ω

aαβστRστ (η)Rαβ(η)√ady−

∫ω

pi,εηi√ady.

But the functionsbαβ(η), and thus the functionsRαβ(η), arenot defined whena(η) = 0. The objectiveof this Note is to propose one way to circumvent this difficulty.

A close scrutiny of the formal asymptotic analysis leading to the “flexural” shell equations (seeLods andMiara [7]) shows that the functions that naturally appear in this analysis arenot the functionsRαβ(η), butinstead the functions (given here in a much simpler form, due to Roquefort [9], than that originally foundin [8]):

R]αβ(η) :=1√a∂αβ

(θ+ ηia

i)·a1(η) ∧ a2(η)

− bαβ,

which no longer possess a possibly vanishing denominator.It is thus proposed here to consider the followingtwo-dimensional nonlinear shell model of Koiter’s type

(already hinted at in [1], Section 11.1): the unknownζε = (ζεi ) should be aminimizerof the energyjε

defined by

jε(η) =ε

2

∫ω

aαβστGστ (η)Gαβ(η)√ady +

ε3

6

∫ω

aαβστR]στ (η)R]αβ(η)√ady−

∫ω

pi,εηi√ady.

This energy is nowunambiguously definedover avector spaceof smooth enough vector fieldsη= (ηi)(for instance,η ∈W2,p(ω) for somep > 2) satisfying ad hoc boundary conditions (for instance, those of“strong clamping”, viz.,η= ∂νη= 0 onγ0; see[1], Section 10.5).

It is shown elsewhere (see[3]) how this model can bejustifiedby a formal asymptotic analysis (with thethickness as the “small” parameter), which shows that its solution adequately captures whichever “limit”behavior of a three-dimensional nonlinearly shell is appropriate in a given situation, i.e., either that of a“flexural” one or that of a “membrane” one.

Since, in addition, the stored energy function found in this model remains of a “reasonable”computational complexity (it consists of polynomials of degree6 6 with respect to the unknowns), itis hoped that this model can be successfully used innumerical simulationsof nonlinearly elastic shells,notably those that are expected to undergo “large” displacements.

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Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque

1. Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque proposé par W.T. Koiter

Les indices et exposants grecs (saufε, etν dans∂ν ) prennent leurs valeurs dans l’ensemble1,2 et lesindices et exposants latins dans l’ensemble1,2,3. La convention de la sommation par rapport aux indiceset exposants répétés est systématiquement utilisée. Le produit scalaire euclidien et le produit vectoriel dea, b ∈R3 sont notésa · b et a∧ b et la norme euclidienne dea ∈R3 est notée|a|.

Soitω un ouvert borné connexe deR2, de frontièreγ lipschitzienne, l’ensembleω étant situé localementd’un même côté par rapport àγ. Soit y = (yα) un point courant deω et soit∂α := ∂/∂yα. On se donneune application injectiveθ ∈ C2(ω;R3) telle que les deux vecteursaα(y) := ∂αθ(y) soient linéairementindépendants en tout pointy ∈ ω. Ces deux vecteurs définissent donc le plan tangent à lasurfaceS := θ(ω)

au pointθ(y) et le vecteura3(y) := a1(y)∧a2(y)|a1(y)∧a2(y)| est unitaire et normal àS en θ(y). Les vecteursai(y)

forment labase covarianteenθ(y) et les trois vecteursai(y) définis par les relationsai(y) · aj(y) = δijformentla base contravarianteenθ(y).

Les composantes covariantesaαβ et contravariantesaαβ du tenseur métrique deS, les symboles deChristoffelΓσαβ , et les composantes covariantesbαβ et mixtesbβα du tenseur de courbure deS sont définispar

aαβ := aα · aβ , aαβ := aα · aβ , Γσαβ := aσ · ∂βaα,

bαβ := a3 · ∂βaα, bβα := aβσbσα.

L’élément d’aire le long deS est√ady, où a := det(aαβ) ; on notera que

√a = |a1 ∧ a2|. Pour plus de

détails sur ces notions,voir par exemple [1], Chap. 2.On considère unecoque élastique, de surface moyenneS = θ(ω) et d’épaisseur2ε > 0, dont la

configuration de référenceest donc l’ensembleΘ(ω× [−ε, ε]), où

Θ(y, xε3

):= θ(y) + xε3a3(y) pour tout(y, xε3) ∈ ω× [−ε, ε].

Soit Ωε := ω×] − ε, ε[, soit xε = (xεi ) un point courant deΩε, et soit∂εi := ∂/∂xεi . Alors, pourε > 0

suffisamment petit, l’applicationΘ : Ωε→ R3 est injective et les trois vecteursgεi (x

ε) := ∂εiΘ(xε) sontlinéairement indépendants en tout pointxε ∈Ω

ε(voir [1], Th. 3.1-1). Les vecteursgεi (x

ε) forment la basecovarianteenΘ(xε).

Soitγ0 une partie deγ de longueur strictement positive. On suppose la coque assujettie à uneconditionaux limites de placementsur la partieΘ(γ0 × [−ε, ε]) de sa face latérale ; cela signifie que le champ dedéplacements s’annule surΘ(γ0 × [−ε, ε]).

La coque est soumise à desforces de volumeen son intérieurΘ(Ωε) et à desforces de surfacesurses faces « supérieure » et « inférieure »Θ(Γε+) etΘ(Γε−), oùΓε± := ω×±ε. Ces forces appliquées sontdonnées par leurs composantes contravariantes (i.e., sur les vecteursgεi de la base covariante)f i,ε ∈ L2(Ωε)ethi,ε ∈ L2(Γε+ ∪ Γε−). On définit alors les fonctionspi,ε ∈ L2(ω) en posant

pi,ε :=

∫ ε

−εf i,ε dxε3 + hi,ε+ + hi,ε− , oùhi,ε± := hi,ε(·,±ε).

Enfin, on suppose que le matériau élastique constituant la coque esthomogèneet isotropeet que laconfiguration de référence est unétat naturel, de sorte que le matériau est caractérisé par ses deuxconstantesde Laméλ > 0 etµ > 0. Les fonctions

aαβστ :=4λµ

λ+ 2µaαβaστ + 2µ

(aασaβτ + aατaβσ

)sont les composantes contravariantes dutenseur bi-dimensionnel d’élasticité de la coque(la formeparticulière des fonctionsaαβστ est justifiée par l’analyse asymptotique ;voir [1]).

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P.G. Ciarlet

Dans le modèle non linéaire proposé par Koiter [5], l’inconnue est le champ de vecteursζε = (ζεi ) : ω→R3, où les fonctionsζεi : ω→R sont les composantes covariantes du champ de déplacements des points dela surface moyenneS = θ(ω) de la coque ; autrement dit, le déplacement du pointθ(y) ∈ S est le vecteurζεi (y)ai(y), pour touty ∈ ω.

Étant donné un champ de vecteursη = (ηi) : ω → R3 de composantesηi : ω → R suffisammentrégulières, soitaαβ(η) := aα(η) ·aβ(η), oùaα(η) := ∂α(θ+ηia

i), les composantes covariantes du tenseurmétrique de la surface « déformée »(θ+ ηia

i)(ω) associée. Les fonctions

Gαβ(η) :=1

2

(aαβ(η)− aαβ

)désignent alors les composantes covariantes dutenseur de changement de métriqueassocié au champ dedéplacementsηiai deS. Si les deux vecteursaα(η) sont linéairement indépendants en tout point deω, lesfonctions

bαβ(η) :=1√a(η)

∂αβ(θ+ ηia

i)·a1(η)∧ a2(η)

,

où a(η) := det(aαβ(η)), sont définies sans ambiguïté ; elles désignent les composantes covariantes detenseur de courbure de la surface « déformée »(θ+ ηia

i)(ω) associée. Les fonctions

Rαβ(η) := bαβ(η)− bαβ

désignent alors les composantes covariantes dutenseur de changement de courbureassocié au champ dedéplacementsηiai deS. On notera que

√a(η) = |a1(η)∧ a2(η)|.

Fondant son approche sur diverses hypothèses a priori, de nature aussi bien géométrique que mécanique,W.T. Koiter conclut que le champ inconnuζε = (ζεi ) devrait être unminimiseurde l’énergiejεK définie par(voir Koiter [5], équations (4.2), (8.1) et (8.3)) :

jεK(η) :=ε

2

∫ω

aαβστGστ (η)Gαβ(η)√ady+

ε3

6

∫ω

aαβστRστ (η)Rαβ(η)√ady−

∫ω

pi,εηi√ady.

Cependant,les fonctionsbαβ(η), et donc les fonctionsRαβ(η), n’étant pas définies aux points deω oùles deux vecteursaα(η) sont linéairement indépendants, le problème de la recherche d’un minimum del’énergiejεK n’est pas bien posé.

L’objectif de cette Note est de proposer une façon d’éviter cette difficulté.

2. Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coques analogue à celui de Koiter

Pour commencer, on observe quel’énergie de déformation du modèle non linéaire de Koiter(c’est-à-direla partie de l’expression dejεK(η) qui ne fait pas intervenir les forces appliquées) n’est autre que lasommede l’énergie de déformation d’une coque non linéairement élastique « membranaire »(la partie dejεK(η)ayantε/2 en facteur) et del’énergie de déformation d’une coque non linéairement élastique « en flexion »(la partie dejεK(η) ayantε3/6 en facteur), telles qu’elles ont été récemment identifiées et justifiées parMiara [8] et Lods & Miara [7] au moyen d’une analyse asymptotique formelle du champ de déplacementstri-dimensionnels, l’épaisseur2ε de la coque étant considérée comme le « petit » paramètre.

On rappelle à cet égard qu’une coque non linéairement élastique est soit « membranaire », soit « enflexion », selon qu’une certaine variété dedéplacements « inextensionnels »ηiai (i.e., qui vérifientaαβ(η)−aαβ = 0 dansω) de la surface moyenne est soit réduite à0, soit contient des éléments non nuls (dans cedernier cas, l’espace tangent en chacun des points de la variété doit aussi contenir des éléments non nuls) ;pour plus de détails sur la classification des coques non linéairement élastiques et les difficultés qu’elleprésente, on se reportera à [1], Sections 9.1 et 10.2.

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Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque

Remarque1. – Uneautre énergie de déformation « membranaire » pour une coque non linéairementélastique a été identifiée et justifiée par Le Dret & Raoult [6]. À cette fin, ils ont établi au moyen de laΓ-convergence laconvergence faible, dans un espaceW1,p(Ω) ad hoc, d’une suite extraite de la suite desminimiseurs de l’énergie tri-dimensionnelle (une fois celle-ci convenablement « mise à l’échelle ») vers unminimiseur d’une « énergie limite » lorsque l’épaisseur tend vers zéro.

La « densité d’énergie de Le Dret–Raoult »apparaissant dans cette énergie limite est à nouveau celled’une coque « membranaire ». en ce sens qu’elle est encore fonction du seultenseur de changement demétriquede la surface moyenne. Cependant, sauf pour des champs de déplacement particuliers (voirGenevey [4]), elle ne coïncide pas avec la densité d’énergie obtenue par analyse asymptotique formelle.

La raison derrière cette différence est probablement que les deux approches conduisent effectivementà des modèles de coques « membranaires », mais formées de matériaux essentiellement « différents »(« rigides » dans le premier cas, « souples » dans le second). Mais cette affirmation reste à démontrer(pour plus de détails sur la comparaison entre ces deux modèles de coques non linéairement élastiques« membranaires »,voir [1], Section 9.5).

Une analyse « fine » de l’analyse asymptotique formelle conduisant au modèle « en flexion » montrequ’en fait, ce ne sont pas les composantes covariantesRαβ(η) du tenseur « exact » de changement decourbure qui apparaissent naturellement, maisd’autres fonctions, notéesE1

α‖β(η) par Lods & Miara([7], Lemma 3). Ces fonctions présentent un avantage considérable sur les fonctionsRαβ(η) : elles necontiennent plus de dénominateur pouvant s’annuler, au contraire du dénominateur

√a(η) des fonctions

Rαβ(η) (qui s’annule si les vecteursaα(η) sont linéairement dépendants ;voir paragraphe 1). Par ailleurs,Roquefort [9] a établi que les expressions compliquées données par Lods & Miara [7] peuvent êtreconsidérablement simplifiées: exprimées en terme des « déformations »(θ+ ηia

i), elles s’écrivent en effet

R]αβ(η) :=1√a∂αβ

(θ+ ηia

i)·a1(η) ∧ a2(η)

− bαβ.

Remarque2. – On notera queR]αβ(η) = Rαβ(η) si le champ de déplacementsηiai associé au champη= (ηi) estinextensionnel. C’est pourquoi l’énergie de déformation d’une coque « en flexion » s’exprimeeffectivement au moyen des fonctionsRαβ(η), puisque l’énergie d’une telle coque est à minimiser surune variété de déplacements inextensionnels. Pour la même raison, la difficulté signalée plus haut disparaît(puisquea(η) = a pour de tels déplacements) et le problème de minimisation associé à une coque « enflexion » est bien posé (on peut en effet établir l’existence d’au moins un minimiseur ;cf.Ciarlet & Coutand[2]).

Sur la base des observations précédentes, on propose de considérer lemodèle bi-dimensionnel nonlinéaire de coquesuivant (en fait, déjà très brièvement suggéré dans [1], Section 11.1) : le champ inconnuζε = (ζεi ) devrait être un minimiseur, ou plus généralement, un point stationnaire, de l’énergiejε définiepar

jε(η) =ε

2

∫ω

aαβστGστ (η)Gαβ(η)√ady +

ε3

6

∫ω

aαβστR]στ (η)R]αβ(η)√ady−

∫ω

pi,εηi√ady

sur unespace vectorielde champs de vecteursη= (ηi) suffisamment réguliers (par exemple,η ∈W2,p(ω)pour p > 2) satisfaisant des conditions aux limites appropriées (par exemple, les conditions aux limites« d’encastrement fort »η = ∂νη = 0 sur γ0, où ∂ν désigne la dérivée normale extérieure le long deγ ;voir [1], Section 10.5).

Un premier intérêtde ce modèle est donc que, au contraire des fonctionsRαβ(η), les fonctionsR]αβ(η)sont maintenant définies pour tous les champsη d’un espace vectoriel. Un deuxième intérêt, annoncé dansune autre Note (voir Ciarlet & Roquefort [3]), est le suivant :

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P.G. Ciarlet

Selon deux catégories distinctes d’hypothèses portant sur une variété associée de déplacementsinextensionnels, qui sont en fait lesmêmesque celles conduisant, à partir de l’élasticitétri-dimensionnelle,à la distinction entre coques « membranaires » ou « en flexion », le premier terme du développementasymptotique formel de la solution de ce modèle (l’épaisseur étant à nouveau considérée comme le « petit »paramètre) coïncide avec la solution des modèles bi-dimensionnels d’une coque « membranaire » ou d’unecoque « en flexion ». Ces conclusions étant donc identiques à celles obtenues par Miara [8] et Lods & Miara[7] à partir de l’élasticité tri-dimensionnelle, le modèle présenté ici est doncjustifié, au moins d’un point devue « formel ».

Remarque3. – Il est intéressant de constater que lesmêmesfonctionsR]αβ(η) sont également mention-nées par Koiter [5], équation (4.11), qui les appelle composantes covariantes d’un « tenseur de changementde courbure modifié ». Cependant, W.T. Koiter reste assez laconique sur la raison d’être de ces fonctionsauxquelles il est visiblement parvenu par des voies complètement différentes de celles suivies ici.

Remarque4. – Les diverses considérations développées plus haut suggèrent d’appeler les fonctionsR]αβ(η) les composantes covariantes du «tenseur modifié de changement de courbure de Koiter–Lods–Miara–Roquefort ».

3. Conclusions

D’une part, la solution du modèle proposé a lebon comportement pour des « petites » épaisseurs, c’est-à-dire qu’elle se comporte comme la solution du modèle d’une coque «membranaire» ou comme celle dumodèle d’une coque «en flexion».

D’autre part, la densité d’énergie reste d’une complexité numérique « raisonnable », dans la mesure oùelle consiste en despolynômes de degré6 6 en les inconnues, qui sont ici les composantes covariantes duchamp de déplacements et leurs dérivées partielles.

Pour ces raisons, ce modèle pourrait être utile à lasimulation numérique de coques non linéairementélastiques, en particulier celles qui sont supposées subir de « grands déplacements ».

Références bibliographiques

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W.T. Koiter, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 331 (2000) 411–416.[4] Genevey K., Remarks on nonlinear membrane shell problems, Math. Mech. Solids 2 (1997) 215–237.[5] Koiter W.T., On the nonlinear theory of thin elastic shells, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch B 69 (1966) 1–54.[6] Le Dret H., Raoult A., The membrane shell model in nonlinear elasticity: a variational asymptotic derivation,

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