C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 249–254, 2001Analyse numérique/Numerical Analysis

Un opérateur de régularisation pour les éléments finistétraèdriques de Nédélec

Mohamed AMARA a, Muriel DULOUÉ b

a LMA Pau, CNRS-ERS2055, Université de Pau et des Pays de l’Adour, Pau, Franceb MAB, Université Bordeaux-1, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Courriel : mohamed.amara@univ-pau.fr; duloue@math.u-bordeaux.fr

(Reçu le 22 février 2001, accepté le 2 mai 2001)

Résumé. On présente un opérateur local d’interpolation et de régularisation adapté aux éléments finistétraèdriques de Nédélec. Cet opérateur exige une régularité nettement moindre que cellenécessaire pour d’autres opérateurs plus classiques. Pour sa construction, on fait appel à unebase duale associée à la base classique et on manipule des macro-éléments issus des arêtesdu maillage. On donne, dans cette Note, ses propriétés ainsi que les estimations localeset globales qui lui sont associées. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

A regularization operator for the Nédélec tetraedric finite elements

Abstract. We present a regularization operator for the Nédélec tetraedric finite elements. Thisoperator requires only a minimal regularity when the classical operators need very more.Its construction relies on some macro-elements associated to the edges of the consideredtriangulation and uses dual functions of the classical basis. We present the main propertiesof this operator and give its local and global approximation estimates. 2001 Académiedes sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

Let Ω be a bounded polyhedral open subset ofR3. Solving a system of partial differential equations

in Ω as the Maxwell’s or Navier–Stokes equations leads to search solution in a space less regular thanclassically (asH1(Ω). These solutions are, for example, inL2(Ω), divergence free and their rotational arein L2(Ω) but they are not a priori inH1(Ω). Such problem implies to use particular finite elements asthe Nédélec one. This finite element insures that the discrete functions belong toL2(Ω) as their rotationalbut they are not divergence free. The lowest degree Nédélec finite element is defined by an integral ofthe tangential component of the basis functions along the edges. The interpolation operator associated tothis finite element needs anH1(Ω) regularity of the functions or at leastW1,1(Ω). This is not verified bythe solutions. So, we construct a local regularization operator which needs only anL1(Ω) regularity. Thisoperator is extended to a global interpolation operator and we give the related local and global estimates.

Note présentée par Olivier PIRONNEAU .

S0764-4442(01)02002-X/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 249

M. Amara, M. Duloué

In the sequel, we denote byNA andNFI the number of edges and internal faces of the triangulationTh

of Ω made of tetrahedraK with diameterhK andh= maxK∈ThhK . We use the notion of macro-element:

the tetrahedra that share the edgeAi, i ∈ 1, . . . ,NA, define the macro-element∆i. We also consider theother geometrical figureΩi which is the union of all the∆j such thatAj ∈ ∂∆i andAj /∈ Γ. In fact, ourregularization operatorΛh is defined from(L1(Ω))3 with values in the spaceYh =

ηh ∈ H(curl,Ω);

for all K ∈ Th, ηh|K ∈ R1(K)

with H(curl,Ω) =η ∈ L2(Ω)3; curlη ∈ L2(Ω)3

andR1(K) =

η ∈

P1(K)3; ∀X ∈K, η(X) = α+ β ∧X, α, β ∈ R3.

We prove than that, for allvh ∈ Yh, Λh(vh) = vh. LetAi be an internal edge andF the faces of∆i, weestablish also the following local estimates:

PROPOSITION 1. –Letv belonging to(Hs(Ωi))3 with s ∈ ]1/2,1], then, ifh∆i = maxK∈∆i hK :

‖v−Λhv‖0,∆i +( ∑

F⊂∂∆i

hF ‖v−Λhv‖20,F

)1/2

C hs∆i

|v|s,Ωi .

Moreover, ifv belongs to(Hs(Ωi))3 ∩H(curl,Ωi) with s ∈ ]1/2,1], we obtain:

∥∥curl(v−Λhv)∥∥

0,∆iC

‖curlv‖0,Ωi + hs−1

∆i|v|s,Ωi

.

Finally, we deduce from this result, the global estimate:

THEOREM 2. – If v belongs toH(curl,Ω)∩ (Hs(Ω))3, s ∈ ]1/2,1], it comes:

‖v−Λhv‖0,Ω +( ∑

K∈Th

h2K

∥∥curl(v−Λhv)∥∥2

0,K

)1/2

+( ∑

F⊂∂Th

hF ‖v−Λhv‖20,F

)1/2

Ch‖curlv‖0,Ω + hs|v|s,Ω

.

1. Introduction et cadre fonctionnel

SoitΩ un ouvert borné polyédrique deR3 recouvert par une triangulationTh composée de tétraèdresKde diamètrehK avech = maxK∈Th

hK . On noteNT, NA, NAI, NF et NFI respectivement le nombrede tétraèdres, d’arêtes, d’arêtes internes, de faces et de faces internes de la triangulation. On se donne unefamille (Th)h>0 régulière de tels recouvrements.

L’approximation de systèmes d’équations aux dérivées partielles dansΩ (par exemple, les équations deMaxwell ou de Navier–Stokes) conduit à chercher une solution discrète représentée par des éléments finisde Nédélec [6]. Ces éléments finis permettent de conserver le rotationnel des fonctions dansL2(Ω). Lesfonctions de base de l’élément fini de plus bas degré sont données par l’intégrale de la trace tangentiellede ces fonctions le long des arêtes. La définition d’un opérateur d’interpolation associé à cet élémentfini nécessite une régularitéH1(Ω) ou au moinsW1,1(Ω). Cette régularité est rarement vérifiée dansles problèmes classiquement traités. On s’intéresse à introduire un opérateur tel que ceux présentés endimension2 dans [2] et [3]. Cet opérateur de régularisation, adapté aux éléments finis tétraédriques, exigeune faible régularité (de typeL1(Ω)). Sa construction nécessite la prise en compte des macro-élémentsassociés aux arêtes du maillage et la considération d’une base duale à l’instar de [7]. Les propriétés de cetopérateur permettent de caractériser complètement les estimations locales et globales qui lui sont associées.

Si D est un domaine borné deR3 à frontière lipschitzienne,L2(D) désigne l’espace des fonctions decarré intégrable surD relativement à la mesure de Lebesgue. On utilise aussi la définition classique (1.2)

250

Opérateur de régularisation pour les éléments finis de Nédélec

donnée dans [5] des espaces de Sobolev fractionnaires. En notantrot l’opérateur rotationnel, on définitl’espaceH(rot,D) =

η ∈ (L2(D))3, rotη ∈ (L2(D))3

.

2. Macro-élément de référence

On utilise l’élément fini de Nédélec de plus bas degré décrit dans [6] et on est amené à considérer unefigure géométrique bien particulière : le macro-élément. Les résultats donnés ici peuvent être étendus auxéléments finis d’ordre supérieur.

Le macro-élément∆ est constitué de l’ensemble desL tétraèdres identiques (de même volumeV ) quipartagent l’arêteA1 d’extrémités les points(0,0,0) et (0,0,1) dansR3. Le macro-élément est caractérisépar l’arêteA1 et le nombreL. LesL tétraèdres sont notés(Kj)1jL. Le macro-élément est constitué dena

arêtes avecna = 3L+1. Pour ∈ 1, . . . ,L, on définit l’ensembleE = 1,3−1,3,3+1,3+2,3+3modulo[na − 1].

Le tétraèdreK est construit à partir des six arêtesAk, k ∈E , A3 +1 étant l’arête deK opposée àA1.La figure suivante représente le cas oùL= 4 :

On affecte aussi à chaque arêteAm, m ∈ 1, . . . , na, le tétraèdreKγm où γm est égal à1, p, L− 1 ouL respectivement lorsquem ∈ 1, . . . ,6, 3p+ 1, 3p+ 2, 3p+ 2 avec2 p L− 2, na − 3, na − 2,na − 1 ouna. On introduit l’espace :

Hh(∆) =θ ∈H

(rot, ∆

); ∀ K ⊂ ∆, θ|K ∈1(K)

avec

1(K) =η ∈ P1(K)3; ∀ X ∈ K, η(X) = α+ β ∧ X, α, β ∈ R

3.

La dimension deHh(∆) est égale àna et on note(ϕn)1nna

lesna fonctions de base deHh(∆) associées

aux arêtes de∆.La famille duale(Ψn)

1nnadeHh(∆) vérifieΨn =

∑6k=1 an,kϕnk

dans le tétraèdreKγn et Ψn = 0ailleurs.

Les fonctionsϕnkcorrespondent aux fonctions de base liées aux arêtes deKγn . Les réelsan,k sont

calculés explicitement en exprimant la relation∫

Kγnϕnk

· Ψn dx = V δnnk, où δnnk

désigne le symbole

de Kronecker.On introduit l’opérateur linéaireΠ défini de(L1(∆))3 dansHh(∆) par

∀v ∈(L1(∆)

)3, Π(v) =

na∑m=1

(∫Kγm

v · Ψm dx)

ϕm.

Figure 1. – Macro-élément de référence.

Figure 1. – Reference macro-element.

251

M. Amara, M. Duloué

PROPOSITION 2.1. –Pour toutv ∈1(∆), Π(v) = v.

PROPOSITION 2.2. –Le projecteurΠ est continu de(L2(∆))3 dansHh(∆) pour la normeH(rot, ∆).

3. Élément fini dans un macro-élément courant

Pour toute arêteAi, i ∈ 1, . . . ,NA, on considère lesL(i) tétraèdres de la triangulation qui ont encommun cette arête (siAi est interne,L(i) 3). Ce macro-élément∆i est constitué dena(i) arêtesavecna(i) = 3L(i) + 1 si Ai est une arête interne etna(i) = 3L(i) + 3 sinon. Relativement à∆i, ondéfinit aussih∆i = supK⊂∆i

hK . Puisque(Th)h>0 est régulière, selon [2] et [3], il existe une constanteLindépendante deh telle que∆i soit constitué d’au plusL tétraèdresK vérifiant de plush∆i C hK , oùC > 0 est indépendante deh. Parallèlement, tout tétraèdreK deTh appartient à, au plus,6 macro-éléments.Les tétraèdres constituant∆i sont notés(Ki

j)1jL(i) et ont pour numérotation globaleKβij. Ensuite,

on associe à∆i le macro-élément de référence∆ du paragraphe précédent constitué deL(i) tétraèdres.Clairement, on dispose de moins deL macro-éléments de référence.

Dans toute la suite,C etC′ désignent deux constantes strictement positives indépendantes deh. Il existeune application bijective continueFi affine sur chaque tétraèdreKj de∆ avecj ∈ 1, . . . ,L(i), i.e. pourtout X ∈ Kj Fi(X) = BKi

jX + bKi

jet Ki

j = Fi(Kj). On a ainsi∆i = Fi(∆) et chaque matriceBKij

vérifie∥∥BKi

j

∥∥ C h∆i ,∥∥B−1

Kij

∥∥ C h−1∆i

etC′h3∆i

∣∣detBKi

j

∣∣ C h3∆i

.

Pour schématiser, lorsqueL= 4 :On introduit l’espaceHh(∆i) =

θ ∈H(rot,∆i); pour toutK ⊂ ∆i, θ|K ∈ 1(K)

et on opte pour

la transformation vectorielle (5.26) de [5] : siv est un vecteur défini surK , on lui associe le vecteurv =

(B−1

Kβi

)Tv F−1

i défini surKβi. Elle donne les propriétés suivantes.

PROPOSITION 3.1. –On av ∈ H(∆i) si et seulement siv ∈ H(∆).

La propriété suivante, donné en (5.30) dans [5], traduit la conservation du rotationnel d’un élémentv parcette transformation :

PROPOSITION 3.2. –On arotv Fi = 1detBK

βi

BKβi

rot v dansK .

On définit la base duale(Ψin)1nna(i) relative au macro-élément∆i en posant, dans chaque tétraèdre

Kβiγn

, Ψin = mes Kγn

mesKβi

γn

BKβi

γn

Ψn F−1i . On obtient alors ([4], proposition 5.2.5) :

PROPOSITION 3.3. –On a∫∆i

Ψin ·ϕj dx= δnj et‖Ψi

n‖0,∆i C

h1/2∆i

∥∥Ψn

∥∥0,∆

.

On définit l’ensembleSi = j; Aj ∈ ∂∆i et Aj /∈ Γ et le sous-domaine associéΩi =⋃

j∈SiΩj . On

introduit les deux opérateursΠi et Λi définis respectivement de(L1(∆i))3 dansHh(∆i) et de(L1(Ωi))3

Figure 2. – BijectionFi entre∆ et∆i.

Figure 2. – BijectionFi between∆ and∆i.

252

Opérateur de régularisation pour les éléments finis de Nédélec

dansHh(∆i) par :

Πi(v) =na(i)∑m=1

(∫K

βiγm

v ·Ψiγm

dx)

ϕγim

et Λi(v) =na(i)∑m=1

(∫A

γim

Πγim

(v)(s) · tAγi

mds

)ϕγi

m.

Tout d’abord, on démontre :

PROPOSITION 3.4. –Pour tout, Πi(v) =(B−1

Kβi

)T Π(v) F−1i dansKβi

.

Parallèlement, sik ∈ 1, . . . , na(i) etAγik

est une arête de∆i de vecteur unitaire tangenttAγi

k

, on a∫A

γik

Πi(v) · tAγi

k

ds=∫

Kβi

γk

v ·Ψiγk

dx et :

PROPOSITION 3.5. –Pour toutv ∈1(∆i), Πi(v) = v dans∆i.

On déduit alors les trois résultats suivants :

PROPOSITION 3.6. –Pour toutv ∈1(Ωi), Λi(v) = v dans∆i.

COROLLAIRE 3.7. –On noteK(Aγi

m

)le tétraèdre affecté à l’arêteAγi

mdans le macro-élément∆γi

m

et ΨK(Aγi

m) la fonction duale associée àAγi

mdans ce tétraèdre. Siv ∈ (L2(Ωi))3, on a alors dans∆i,

Λi(v) =∑na(i)

m=1

( ∫K(A

γim

)ΨK(A

γim

) · vdx)ϕγi

m.

L’opérateurΛi vérifie également les trois estimations suivantes :

THÉORÈME 3.8. –Soitv ∈ (L2(Ωi))3, on a:

∥∥Λi(v)∥∥

0,∆i+ h∆i

∥∥rotΛi(v)∥∥

0,∆i+ h

1/2∆i

( ∑F⊂∂∆i

‖Λi(v)‖20,F

)1/2

C ‖v‖0,Ωi .

On obtient alors les estimations locales suivantes :

THÉORÈME 3.9. –Siv ∈ (Hs(Ωi))3, s ∈ ]1/2,1], alors :

∥∥v−Λi(v)∥∥

0,∆i+

( ∑F⊂∂∆i

hF

∥∥v−Λi(v)∥∥2

0,F

)1/2

C hs∆i

|v|s,Ωi .

Lorsque de plus,v ∈H(rot,Ωi) ∩ (Hs(Ωi))3, s ∈ ]1/2,1], il vient :

∥∥rot(v −Λi(v))∥∥

0,∆iC

‖rotv‖0,Ωi + hs−1

∆i|v|s,Ωi

.

4. L’opérateur global d’interpolation

SoitΛh l’opérateur régularisant suivant :

∣∣∣∣∣∣∣∣Λh : (L2(Ω))3 −→ Yh =

ηh ∈H(rot,Ω), ∀K ∈ Th, ηh|K ∈ 1(K)

,

v −→NA∑J=1

(∫AJ

ΠJ (v)(s) · tAJ ds)

ϕJ ,

253

M. Amara, M. Duloué

où tAJ désigne le vecteur unitaire tangent à l’arêteAJ . On rappelle qu’on associe àAJ le macro-élément∆J , le tétraèdreKJ de∆J et la fonction dualeΨJ dansKJ . De plus, siv restreint àKJ est1, on a alors∫

AJΠ∆J (v)(s) · tAJ ds=

∫AJ

v(s) · tAJ ds. Il s’ensuit :

PROPOSITION 4.1. –Pour toutvh ∈ Yh, Λh(vh) = vh.

PROPOSITION 4.2. –Pour toutv ∈ (L2(Ωi))3, (Λhv)|∆i= Λi

(v|∆i

).

Ces diverses propriétés permettent d’obtenir les estimations locales suivantes :

THÉORÈME 4.3. – Siv ∈ (Hs(Ωi))3, s ∈ ]1/2,1] alors on a:

‖v−Λhv‖0,∆i +( ∑

F⊂∂∆i

hF‖v−Λhv‖20,F

)1/2

C hs∆i

|v|s,Ωi .

Si de plus,v ∈H(rot,Ωi)∩ (Hs(Ωi))3, s ∈ ]1/2,1], il vient :∥∥rot(v−Λhv)∥∥

0,∆iC

‖rotv‖0,Ωi + hs−1

∆i|v|s,Ωi

.

On déduit de ces estimations locales, l’estimation globale suivante :

THÉORÈME 4.4. – Siv ∈ (Hs(Ω))3 ∩H(rot,Ω), s ∈ ]1/2,1], alors on a:

‖v−Λhv‖0,Ω +( ∑

FacesF

hF‖v−Λhv‖20,F

)1/2

+( ∑

K∈Th

h2K

∥∥rot(v−Λhv)∥∥2

0,K

)1/2

Ch‖rotv‖0,Ω + hs|v|s,Ω

.

Dans cette même optique, en tenant compte des conditions aux limites, on introduit de même, l’opérateurrégularisantΛ0

h suivant :

∣∣∣∣∣∣∣∣Λ0

h :(L2(Ω)

)3 −→ Y 0h =

ηh ∈ Yh, ηh ∧ n = 0 surΓ

,

v −→∑

JAJ interne

(∫AJ

ΠJ(v)(s) · tAJ ds)ϕJ ,

où n désigne un vecteur unitaire normal àΓ dirigé vers l’extérieur deΩ. Relativement à cet opérateur, onétablit des estimations locales et globales similaires à celles données dans les théorèmes 4.3 et 4.4.

Références bibliographiques

[1] Amrouche C., Bernardi C., Girault V., Dauge M., Vector potentials in three-dimensional nonsmooth domains,Math. Methods Appl. Sci. 9 (1998) 823–864.

[2] Bernardi C., Girault V., A local regularization operator for triangular and quadrilateral finite elements, SIAM J.Numer. Anal. 35 (5) (1998) 1893–1916.

[3] Clément Ph., Approximation by finite element functions using local regularization, RAIRO R. 2 (1975) 77–84.[4] Duloué M., Analyse numérique des problèmes d’écoulement de fluides, Thèse de doctorat, Université Pau, 2000.[5] Girault V., Raviart P.-A., Finite Elements Methods for Navier–Stokes Equations, Theory and Algorithms, Springer-

Verlag, 1986.[6] Nédélec J.-C., Éléments finis mixtes incompressibles pour l’équation de Stokes dansR

3, Numer. Math. 39 (1982)97–112.

[7] Scott L.R., Zhang S., Finite element interpolation of nonsmooth functions satisfying boundary conditions, Math.Comput. 54 (190) (1990) 483–493.

254