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This article was downloaded by: [York University Libraries]On: 12 August 2014, At: 16:06Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office:Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Communications in Partial DifferentialEquationsPublication details, including instructions for authors and subscriptioninformation:http://www.tandfonline.com/loi/lpde20
Un theoreme d'unicite pour des inequationsvariationnelles paraboliques degenereesMonique Madaune-Tort aa Départernent de Mathérnatiques et d'Inforrnatique , Université de PAU ,64000Published online: 08 May 2007.
To cite this article: Monique Madaune-Tort (1982) Un theoreme d'unicite pour des inequations variationnellesparaboliques degenerees, Communications in Partial Differential Equations, 7:4, 433-468
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/03605308208820229
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COMM. IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 7(4), 433-468 (1982)
UN THEOREME D'UNICITE POUR DES INEQUATIONS
VARIATIONNELLES PARABOLIQUES DEGENEREES
Monique MADAUNE-TORT UniversitE de PAU
Facult6 des Sciences Exactes et Naturelles DEparternent de MathErnatiques et dfInforrnatique Avenue Philippon - 64000 PAU.
Dans cet article, on Etudie des propriEt6s d'unicit6
pour un problsrne aux limites unilatsral de type parabolique d6gE-
n6r6 relatif 2 l'equation non linEaire :
a a u'+ g(u)- -2 $(u) = 0 dans a'(R),p.p. tcl0,Ti ax
et B la donnEe initiale :
02 R = 10,li , T > 0 , $ est une fonction croissante de classe
C ' telle que $(0) = 0 , g est une fonction lipschitzienne
nono tone. m
On a par exemple dans le cas de la diffusion d'un gaz $(u) = u , m r I , u Etant la densit6 du gaz. Dans le cas du dgplacernent
de deux liquides non rniscibles (eau et huile) dans un barreau
poreux, $ v6rifie : ~'(0) = $'(I) = 0 , Q'(x) > 0 sur jO,l[ ;
u est alors la saturation en huile.
L'6tude de l'unicit6 pour des problhes relatifs 2
1'Equation u'-A$(u) = f a Et6 traitEe par plusieurs auteurs.
Divers rEsultats ont 6tE obtenus gEnEralement par regularisation
ou par des m6thodes variationnelles ou par la th6orie des semi-
C o p y r ~ g h t 0 1982 by Marcel Dekker. Inc.
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groupes non 1inEaires (voir par exemple L161,1171,~lj,i2~,C51,
~bA,[91), y compris pour des fonctions 4 seulement continues
~ 5 1 . Pour des problemes relatifs 2 116quation (0.1) avec terme
de transport on trouve des r6sultats dans le cas du problgme de
Cauchy sur W ou P+ (voir par exemple i81,ilOj,[18j) .
Pour les problgmes aux limites des propriEt6s d'uni-
cite ont dLjl 6tE obtenues dans le cas de conditions a w bords de
type Dirichlet u(0, t) = u(l ,t) = 0 pour une donn6e initiale u 1 dans Ho(R) et des fonctions g et $ telles que g soit de
classe c1 et gl(0) = 0 ou $'(O) 0 [I41 ainsi que pour des
fonctions g et $ telles que go$-lsoit lipschitzienne C73.
Cependant des conditions aux bords de type Dirichlet sont &idem-
aent souvent ma1 adaptdes P la rEalit6 physique ; ainsi dans C41
pour modeliser le deplacement de deux fluides non niscibles
G.Chavent pose les conditions :
.u (0, t) = 0 , t E 10,Ti:
a u(l,t)'O, 4(u(l,t))-Cg(u(l,t))-g(
u(l,t) 1 mcuci,t))-cg(u(l ,w-g(
qui traduisent le phEnomSne suivant :
on injecte de l'eau au bord x = 0 d'un barreau impriSgn6 d'huile
d'oG la, condition (0.3) et la condition (0.4) signifie que l'eau
ne peut pas sortir du bord x = 1 tant que la saturation en eau
n'est pas maximale.
On Etablit dans cet article des propri6t6s d'unicitd pour le pro-
blsme (0. I), (0.2), (0.3), (0.4) en distinguant les 3 cas g6nSraux :
gf(0)=O, $'(0)#0, $'(0)=0. Un rdsultat d'unicitg a dEji EtP ob-
tenu par G. Gagneux L 7 1 lorsque go$-i est lipschitzienne.
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V est le sous espace de H ' ( R ) form6 des fonctions v telles
que v(0) = 0 ; il est muni de la norme :
Zn identifiant L2(S2) ii son dual et en notant V' le dual de V,
on a la situation classique : V Q L2 (i2)~V' , chaque injection Etant continue, ii image dense.
(,) dEsigne 2 la fois le produit scalaire dans L2(S2) et la dua-
lit6 V , V' . K = {VEV ; v(l) 01 est un c8ne convexe fermd
de V de somnet 0 . Enfin u' d6signe la d6riv6e en t au
sens des distributions vectorielles sur COYTI . On suppose sur les donndes u , g et $ les conditions :
u 6 V , O<U < I et u Zl dans un voisinage de x=l I 0
I d'ordqe 8 c 10,11 sur [0,@(1)] .
HI
ryob'lsme PO" :
On considsre la formulation var
au problgme (0.1),(0.2),(0.3),(0.4) :
g est lipschitzienne, croissante sur CO,ll u
$(u)= J f (r)dr OO f 20 est continue sur [O,11 , nulle en 0
des points isol6s de [O,lI et @-I est hgld6rienne
iationnelle associge
On note A
1
1 p.p. sur Q , u'EL~(o,T;v')
llop&rateur de V dans V' d6fini par :
1 a av VueV , VVEV A(u).vS [g(u)-g(I)-~$(u)l~d~ Jo
(0.6)
et on dcrira pour simplifier lf&criture A(u,v)au lieu de A(u).v.
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On a le th6orSme d'existence d6montr6 dans C71 lors-
que f v6rif ie f (O)=f (l)=O , f (T)>O sur 10, lC et encore vala-.
ble dans le cas 6tudi6 ici 1151 .
Th6orSme 0.1 : sous llhypoth&se H1 , le problSme n admet au
moins une solution u telle que : -
uec(~*)nc~ro,~~;~2(n)) , oausl sur Q ,
m a'(U) E L2(a,~;L2(a)), Y CL , O < a < T $(u)EL (~,T;H'(Q)),
au si 2 0 sur G , t -+ u(l,t) est d6croissante sur [O,T! ax
aim cue) ag cue) si -- - 20 dans H-I (a), t+u(x, t) est d6crois-
ax2 ax sante sur [O,T1 , Vxen .
a2$(uo) ag(uo) alors si - ax 20 sur h u - - - ax 2 0 dans H-'(R), on a:
ax
On trouve 6galement dans [71 un r6sultat d1unicit6
lorsque f v6rifie f(O)=f(l) = 0 , f(r)>.O sur 10,lC et
encore valable dans le cas 6tudi6 ici.
a~ Th6orSme 0.2 .: sous l1hypoth5se
HI et la condition : 2 ax
2 0
a2$(uo) ag(uo) sur R ou - - - < 0 dans H-I (a), lorsque go$-'
ax2 ax
est lipschitzienne le problSme IT admet une solution unique.
ie but de cet article est de fournir des propriEt6s d1unicit6 - 1 sans supposer go$ lipschitziennb. On aboutit au rgsultat sui-
vant :
'ih6orGme 0.3 : on suppose llhypothSse HI , g de classe C 1
et llhypoth&se H2 : u ~ E w ~ ' ~ (R) , $(uO) ew2' (Q) , alors :
(i) si f(0)fo ou g'(O)=O , le problsme IT admet une solu-
tion unique U~C(~)~C(CO,TI ; L'(R)).
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(ii) si f (O)=O (et g' (O)#O) , sous la condition :
a2q(u0) ag(uo) - - - 5 0 dans H-'(R) , le problPme n admet ax2 ax
une solution unique
UEC(Q*) n C(CO,TI;L~ (R)) telle que : YT , ~E]O,TI , O<Wt<T ,
VVEL~(T,~;H'(R)) telle que V'EL~(T,~;L~(R)) et v(1 ,s) 2 0 , p.p.S€lT,t[ e
La d6monstration des r6sultats dnonc6s dans le th6o-
reme 0.3 est assez longue et s'appuie d'une part sur les proprig-
tds de la solution u du problPme n mise en dvidence au th6orPme
0.1 et d'autre part sur les proprigtds d'une fonction auxiliaire
solution d'un problsme aux limites lin6aire pour lequel le
choix des conditions aux limites d6pend du cas envisag6 f(O)#O
ou gl(0)=O ou f(O)=O. L'idde d'utiliser un problsme lin6aire
auxiliaire, introduite pour 6tudier l'unicit6 dans des problgmes
de Cauchy non lin6aires (par exemple dans i91,ClOI) se r6vSle
6galement intgressante ici pour l'6tude de problPmes sur un
ouvert born&.
L'article se d6compose de la fason suivante : dans
une premisre partie on Stablit des propri6tEs sur les solutions
du problPme n , dans une seconde partie on Gtudie les problgmes
aux limites lindaires auxiliaires et dans la troisigme partie on
d6montre le thcorgrne 0.3.
I - QUELQUES PROPRIETES DES SOLUTIONS DU PROBLEME n
1 . 1 . Etude d'une solution particuli5re de i~ :
On a rappel6 dans l'introduction l'existence d'une
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solution u au problSme TT telle que UEC(?*)
Cette solution a EtE obtenue dans C71 '1 partir de
l'Etude du problhe rEgularis6 non d6gEnErE T T ~ dEfini pour
tout 6 > 0 par :
Pour ce problPme n6 on a le thEorPme d'existence et d'unicit6
(voir [Is]).
ThEorPme 1.1 : sous llhypothPse HI, pour tout 6 > 0 , le pro- blPme T~ admet une solution unique u6 telle que :
auo a2@(uo) m u o ) si - 20 sur f2 ou - - - ax ax 2 0 dans H-'(Q) , alms
ax2
I1 est dEmontr6 dans C71 que lorsque 6 + 0+ , il existe une sous-famille de la famille ( u ~ ) ~ > ~ encore notEe (u6) satis-
faisant en particulier au
ThEorSme 1.2 :
u6 converge vers u dans L2 (Q) et C(Ca,TI; L2 (a)) ,YQ, O<a<T,
@6(u6) converge vers $(u) dans L2(Q), L2(0,T;v) faible et
Lrn(a,T;v) faible Etoile , Va , O<a<T , 03 u est une solution du problSme TT ayant les propriEtEs
6noncEes au theorhe 0.1.
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On sait de plus d7apr6s c151 que sous les hypothPses H et Hz, I la limite u de (u6) est dans c([o,TI;L~(Q)). Pour justifier le
rgsultat dtexistence du th6orPme 0.3, il nous reste 2 prouver
que cette fonction u vErifie ltinEgalit6 (0.7) lorsque f (O)=O.
Pour cela on remarque que u6 v6rifie :
ThEorPme 1.3 : sous l7hypothGse HI et sous la condition :
a2m(uo) ag(uo) u cw2"(C?) et -------- S O dans H-'(Q), si f(O)=O,
ax2 ax
la solution u limite de (u6) vErifie l'inEgalit6 (0.7)
+Jvc~~(r,t;~' (Q)) telle que vtcL2(~,t;L2(C?)) et v(1 ,s)>O,
p.p.SCIT,tC . D6monstration :
Soient T et t dans 10,TI tels que O<T<~<T . On note
Alors, dEmontrer 1' in6galitE (0.7) pour tout v6L2 (T, t ;H' (C?))
telle que v7~L2(~,t;L2(Q)) et v(l,s)rO , p.p.srIr,tC revient 3
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440 MADAUNE- TORT
d6montrer que B(u,$(u) ,v)<O pour tout VCL' (T, t;~' (62)) telle
que V'EL~(T,~;L~(R)) et $(u(l,s))+v(l,s))>O , p.p. scl~,t[ . Soit donc une telle fonction v . Come ug v6rifie 116galit6 (I. 1) dans L2(~),p.p.tel~,t~ , il vient :
On peut intggrer par parties dans 11Egalit6 pr6c6dente par rap-
port aux variables s et x , il vient :
B ( u ~ , ~ J ~ (u&) ,v) = (O,S)V(O,S)~S + R6 (1.5)
I1 est facile de voir que lfhypothSse $(u(l,s))+v(l,s) 2 0 , p.p.s€lr,tC
et la condition (1.4) entralne 11in6galit6 R < 0 dfoG 6 -
dais les propri6t6s de convergence de u6 vers u donn6es au
th6orSme 1.2 permettent df6tablir que :
lim B(u ,$ (u ),v) = B(u,$(u),v), par cons6quent pour prouver
S*+ 6 6 6
que B(u,+(u),v)<O il nous reste B 6tudier le terme
1: (O,s)v(O,s)ds . On va d6montrer que ce terme a une limite nulle quand 6 tend vers O+ . Pour cela, consid6rons la famille de fonctions P a , o < W , d6fini.e par :
X
P~(X) = ailleurs
Alors, W3~10,lC ,
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a2$6 (u6) ag(u6) Or =G+-
ax dans L'(R), p.p.s~I~,tC ;
ax2
par consgquent, il vient : VBejO, I[ ,
t t 6 1 - \ [u~(L)v(~)-u~(T)v(T)~ PBdx + 8(0) j v(0, s)ds-jTL P(U&)V dxds
R T
1
" C av + jT $a(~a(B,~))~ d ~ d ~ - - +&(u&) dxds a
"J,
On dEduit des proprigtss de convergence BnoncEes au th6orBme 1.2
que : YBEIO,IC ,
Come pB -t 0, p.p. sur R , on obtient par le thEorPme de con- vergence dominEe :
t arn (U ) (~,s)v(O,s)ds = lim $(u(O,s))v(B,s)ds. ( 1 - 7 ) lim
&W+ 7 a*+ a2$(uo) ag(uo)
blais lfhypothPse sur u : - - - s 0 d a m H-' (n), ax2
ax entraine que : t + u(t,x) est dEcroissante sur CO,TI, VxeR
(thEorPme 0.1) ; par cons6quent :
d'oh :
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442 MADAUNE-TORT
Comme de plus u ew2" (R)nV , on a :
donc :
r6sulte alors de (1 . 7 ) que :
Ainsi en faisant tendre 6 vers 0, , on d6duit de 11in6galit6 (1.6) que :
VVEL~(T,~;H'(R)) tel que V'EL~(T,~;L~(~~)), Ip(u(I,s))+v(i,s)>O
p.p.sclr,tr.
B(u,$(u),v) 0
ce qui entrahe la validit6 de 11in6galitE (0.7) pour tout v dans
L~(T,~;H'(R)) tel que v'EL~(T,~;L~(R)) et v(l ,s)>o p.p.s~l~,tL.
Le thEor6me 1.3 est d6montrE .
1.2. Kemarques sur les propri6t6s des solutions du problPme n :
1.2.1. Soit u une solution quelconque du problPme T . On sait d'aprPs C71 que T(u)=su~{~c~o,T~;u(I ,s)>0 , fsel0, ti 1 existe et que T(u) > 0 ,' lorsque UEC(T) . Comme u v6rifi.e 11inCgalit6 (0.5) soit :
on en deduit que :
(ul,v)-A(u,v)=O, VVCV, p.p.telO,T[ tel que u(l,t)>O . (1.6)
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En effet il suffit de considgrer dans (0.5) des fonctions VEV
Egales 5 @(u) + w oCi weV et vgrifie /w(l,t)l<$(u(l,t)).
On obtient alors lf6galite (1.8) avec v = w. Lorsque u(l,t)>O
lV6galitE reste Evidement vraie pour tout VEV . La d6finition de T(u) entralne donc en particulier que l'gga-
lit6 (1.8) est satisfaite pour tout vcV , pour presque tout t~lO,T(u)[ .
1.2.2. Soit maintenant une solution u du problhe n telle que:
alors u satisfait 5 :
VV~L'(T,~;H' (R)) tel que V'EL~(T,~;L*(R)).
En particulier lV6galitE (1.9) est vraie pour l'intervalle
jO,T(u)[.
Pour d6montrer (1.9) on procsde de faqon analogue au point 1.2.1,
en considgrant d'abord des intervalles ]~,t[ tels que u(l,s)>O
sur [~,t] et des fonctions v dans (0.7) telles que v=@(u)tw
On obtient donc lV6galitE (1.9) pour ces fonctions w d'oCi il
decoule aisement que lV6galitE (1.9) reste vraie pour toute
fonction :
vcL2(r,t;~'(R)) telle que v1~L2('t,t;L2(~)).
Pour des intervalles IT, t[ tels que u(l ,s)>O sur IT, tC, on a
aussi l16galit6 (1.9) pour toute fonction v<L2('t,t;L2(R)) avec
v'EL~(T,~;L~(R)) par passage B la limite puisque
~~c([o,TI;L~(Q)) ,$(U)EL~(O,T;H~ (Q)).
1.2.3. On termine ce sous-paragraphe 1.2 en indiquant une pro-
priEt6 satisfaite par le r6el T(u) pour toute solution uec(Q*).
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444 MADAUNE- TORT
TheorSme 1 . 4 : sous l'hypothsse HI , pour toute solution u
du Problgme T telle que UCC(?*) , le r6el T(u) est tel que :
0 .( T(u) s uo (x) dx
Pour d6montrer la majoration de T(u) , on considsre la famille de fonctions p g definies ci-dessus avec B dans 10, I [ . Cornme I - pBcV on peut prendre v = I-p dans lt6galit6 (1.8) a p.p.selO,T(u)[ . On a :
Soit maintenant a E ]O,T(u)C . I1 vient en int6grant lt6galit6
On obtient, en faisant tendre 6 vers 0+, come g(u)~~(T) :
Alors, puisque toute solution u du probl2me n est dans
Cs(CO,TI ; L ~ ( R ) ) on obtient en fiisant tendre a vers O+
la majoration de T(u).
1.3. Introduction B 1'Etude de ltunicit6
On a indiqu6 dans l'introduction que la demonstration
u u tneoreme.d.3 s'appuie sur les proprietes d'une fonction
auxiliaire I) solution d'un probl2me lin6aire. Dans cette sous-
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PARABOLIQUES DEGENEREES 445
section 1.3 on va expliquer comment appara7t ce problhe lin6aire
On ne donne pas de d6monstration ici mais simplement une 6bauche
d'un calcul (repris en d6tail et justifi6 dans la partie 3) per-
mettant de mettre en 6vidence le type dt6quation lin6aire 2 con-
sidgrer . Soient deux solutions ul et u2 du problsme TI . I1 r6sulte de (1.8) que u -u2 v6rifie en particulier :
1
06 t = min (T(ul),(T(u ) ) . 2
On en d6duit que pour toute fonction ~EL'(o, t;~' (R)~v) telle que a 5 <'CL~(O,~;L~(Q)) et <(t) = o , ( 1 , s ) = o
Les coefficients b et c ont les propriEt6s suivantes :
et en introduisant les coefficients b et c d6finis sur Q par:
g ( u l h (u2)
c ~ O sur Q , b'O sur Q
b = si u1 # u2 , gq(ul) si u, = u2 U1-u2
rn(u1)-rn(u2)
puisque I$ et g sont croissantes.
(I. 10)
Enf in,
si g'(0) = 0 , = 0
c = si u1 # u2 , f(u1) si u U -u 1 2 1 = u2
On obtient
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puisque b lXz0 = g' (0) come u = u = 0 , I/x=O 2lx.o
si f(0) Z o , VTEIO,TC , ElxTr1o, I C tel que
puisque ul,u2rC(C0,11xCr,tl) et ul = u ~ / ~ = ~ = 0 .
On voit 1 partir de (1. 1 1 ) que les equations lineaires qui nous
interessent sont du type :
('+b - a' + c - - a'5 - G avec une donnee en t : '(x, t)=O,Vx& , ax ax
soit en faisant le changement de variable s -+ t-s . a -d 2 = F avec une donnee initiale $(x,O)=O, VxrQ.
ax ax2
On voit aussi 1 partir de (1.14) et (1.15) que les hypoth6ses
satisfaites par les coefficients b et c et par consgquent
par les coefficients a et d sont differentes suivant que
g' (O)=O ou f (0)fO . Les conditions au bord imposees 1 5 donc
2 $ seront egalement differentes suivant le cas consid6r6 :
g' (O)=O ou f (0)fO ou f (O)=O . En effet lorsque par exemple f(O)=O, si ul et u2 sont deux solutions verifiant l'inega-
lit6 (0.7) on obtient alors 1 partir de (1.9) l'Egalit6 (1.11)
sans imposer 1 5 d'stre nulle au bord x = 0.
Enfin vu le manque de regularit6 des coefficients b et c et
le fait que c puisse s'annuler, on ne peut esp6rer obtenir des a2' fonctions 5 satisfaisant 1 lt6galit6 c'+b 3 + c - = G ax ax
ayant la regularit6 demandee pour obtenir (1.11). Crest pourquoi,
on etudie dans la section 2 suivante une famille de problPmes
relatifs 1 l'equation :
a > 0 etaht fixe, avec des coefficients a et d regularisgs. Dow
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PARABOLIQUES DEGENEREES 44 7
2 - ETUDE D'UN PROBLEME LINEAIRE On associe au probleme n une famille de problsmes
1inEaires relatifs 5 une mCme equation : t etant fixe, O<t<T ;
a > 0 etant fix6 :
a$ a - ( a ) = F dans 9' ((n), p.p.silO,t[ ax a x2
et 1 la donnEe initiale
$(x,o) = o , X E ~
Les conditions aux bords pour Ztre bien adaptEes 5 chacun des cas
envisages par la suite pour 116tude de llunicitE, seront soit de
type Neumann :
soit des conditions m^elees :
On appellera (N) (resp. (MI) ; (M2)) le problsme defini sur Qt
par (2.1), (2.2), (2.3) (resp.(2.1),(2.2),(2.4) ; (2.1),(2.2),
(2.5)).
On va d'abord Etudier un rcsultat d'existence pour
les probl&mes (N), (MI) et (M2) lorsque les coefficients sont
rbguliers : a et ~EC-(Q~) , d2O sur Qt . C'est l'objet du th6orGme 2.3. Ensuite, au lemme 2.4 on Etablit des estimations
sur les solutions des problSmes linEaires etudies au theorsme 2.3
afin d'obtenir par passage 1 la limite un rEsultat d'existence
dans le cas : deC(Qt), d'O . Enfin, l'6cude des problsmes "rEgu- larisEs" (N), (MI), (M2) 6tant faite en vue de leurs utilisa-
tions au cours de la demonstration du theor6me 0.3, on precisera
pour chacune des estimations leur dgpendance ou independance par
rapport au r6el a , au coefficient d et au coefficient a .
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448 MADAUNE-TORT
Avant d'aborder l'gtude de ces problgmes lingaires on rappelle
quelques lemmes techniques.
Soient les fonctions sg et sgn dEfinies sur R par
Leme 2.1. Soit X le sous-espace des fonctions w de H2(R)
1 si x>O
0 si x=O sg (x)= . Q
- 1 si x<O
aw aw aw aw telles que w(O)= - (I)=O (resp.-(O)=W(~)=O,~(O)=
ax ax % ( I )=O) 9
alors pour toute fonction VCL' (0, t;x)nH1 ( Q ~ ) , on a :
1 si X > Q
I - x si 1x1 -<n II - 1 si x<-rl
(La dEmonstration, faite dans [I21 pour la premisre Egalitg et
dans [ I 3 1 pour la seconde lorsque X=B~(Q)~H~(R), s'Etend aux
I la primitive de la fonction sgQ qui s'annule en 0 . n
3 cas consid6rEs ici. Elle utilise une rggularisation).
Leme 2.2 (voir [13]) : pour toute fonction VEH'(Q) , on a :
On revient maintenant aux problsmes (N), (MI) et (M2). On a le
resultat d'existence :
Th6orGme 2.3 Soient FEL' (Q~), a et decrn(qt) avec d r 0
sur Qt , alors le problsme (N) (resp. (MI) ; (M2)) admet une
solution unique :
D6monstration :
Dans le cas de conditions aux bords de type Neumann (2.3) le
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rEsultat du th6orPme 2.3 est classique (voir par exemple C l l j , tome 2, p.6).
Dans le cas de conditions aux bords mZl6es, le rEsultat n'est
gEnEralement pas 6nonc6 et on le prouve ici par une mcthode de
Galerkine. En effet supposons que l'on ait par exemple les con-
ditions (2.4) et soit le sous-espace fern6 de H' (R) .
soit (w.1 une base de V et soit pour tout mdu' , 1
Ce probleme admet une solution unique $ pour la- m yuelle les gjm sont dans C' (LO, t:) . On d6montre de fagon
classique que + est dans un born6 de L~(o,~;v)~$(Q~) ind6- m pendant de m , d'oti l'on d6duit par passage 1 la limite l'exis
m tence dfune fonction +EL (o,t;v)n~'(Q~) satisfaisant 1 (2.1)
et (2.2). I1 r6sulte alors de (2.1) d'une part que
j,c~~(0,t;H~(R)) et dfautre part, grPce S la formule de Green
que + satisfait aux conditions (2.4).
Le rEsultat d'existence du th6orPrne 2.3 est 6tabli pour le pro-
blPme (MI) ; il se d6montre de fagon analogue pour le problPme
(M2). L1unicit6 de la solution est classique.
L'objet du leme 2.4 suivant est d'obtenir des esti-
nations sur + , en particulier des majorations ind6pendantes de d et a . Pour cela on est amen6 B faire des hypothsses particu- liPres sur les coefficients a et d ; le choix de ces hypothG-
ses est guid6 par les propriEt6s connues (1.14) et (1.15) des
coefficients b et c dEfinis en (1.10).
Dans le cas des conditions aux bords mSl6es (2.4) (resp. (2.5))
on £era lfhypothPse :
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MADAUNE- TORT I
H~ : 3p>O, 3xoe10,1C tels que d(x,s)>u sur 10,xo~xlO,tC
m Lermne 2.4 : Soient aecW(Qt), d<C (Q,) tel que OsdM sur Qt,a>O.
On suppose : F<L~(O,~;H'(~)) avec de plus dans le cas du problene
(MI) (resp. (M2)) : F(O,s)=O et l'hypothese Hz ou H4 (resp.
F(l,s)=O et l'hypothsse H3 ou H5) ; alors la solution + du
probleme (N) (resp. (MI) ; (M2)) satisfait 1 :
oC c1 est une constante positive indgpendante de a et d
(mais dgpend de M).
D6monstration :
1) On multiplie les deux membres de 1'BgalitG (2.1) par
- a ~L'(Q~) et on integre de 0 1 s . Une transformation du ax2
second membre 1 l'aide de la formule de Green entra'ine, puisque
dans les 3 cas envisagEs, F ?!k- est nu1 aux bords x=O et x=l : ax2
+ j (d+a) (B) 'dxdr = 2 2 dxdr Q, ax2 Q~~~ ax (2.6)
a) le premier terme de (2.6) s1i5crit gr2ce au leme 2.1 :
b ) l'application de la formule de Green au deuxisme terme
de (2.6) donne ltEgalitE :
I1 est alors facile de voir que dans le cas du problsme (N)
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(resp. (MI) sous l'hypothsse H2 ; (M2) sous l'hypothsse H 3 ) , on a 11in6galitC :
I1 reste B Ctudier (2.8) dans le cas du problsme (Ml)(respq (M2))
sous l'hypothsse H4 (resp.H5) : 3p>0 , 3 xo~lO,l[ tels que
d p sur 10,xoC xl0,tC (resp.lxo, l C IO,tC) . Considsrons d'abord le cas du problzme (MI). Soit la fonction
px dsfinie par : 0
X p (x) = 1 - - sur [0,xo3 , px (x) = 0 sur [xo,ll . X X
0
On a , grzce B la formule de Green :
d'o3 l'on d6duit par 11in6galit6 de Cauchy-Schwarz :
ofi la constante kl>O , est indspendante de d et a mais dC-
pend de p , xo et a . I1 resvlte alors de (2.8), puisque 2 (I ,r)=O et d 2 p sur
jO,xoi: x 10, t[ , 1' inCgalitC :
- / a 2 dxdr 1
Q s ax2
(2.10)
Jans le cas du problsme (M2), on obtiendrait encore 1'inEgalitC
(2.10) en transformant, cette fois, l'intggrale au bord x=l de
(2.6), 1 l'aide de la fonction x w px (I-x). 0
GrZce aux propri6t6s (2.7), (2.9) et (2.10) on d6duit ais6ment de
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(2.6) que, dans tous les cas envisagbs :
a$ 2 a2$ 2 aF 2 ! ) d + (d+a) (--) dxdi 5 ; ! (x) dxdi 2
Qs ax Qs
a+ 2 + k2 d x d ~ (2.11)
Q s
oii k2 ' 0 , est indgpendante de d et a . 2) On multiplie maintenant les deux membres de (2.1) par +.
I1 vient par intdgration de 0 5 s :
d'oii par l7in6galitE de Cauchy Schartz :
oii k j > 0 , est indgpendante de d et a (mais d6pend de M).
I1 rdsulte de (2.11) et de (2.12) lTinbgalit6 :
1 2 a2+ 1 2 211q(s) / / + 1 (d+a) (-) dxdi 1 - F 1 1
H' (0) Q, ax L~(O,~;H~(O))
d'oii l'on ddduit par le lemme de Gronwall et grzce 2 116galit6
(2.1) les estimations a priori du lemme 2.4.
Le th6orSme suivant donne un r6sultat d'existence
pour les problGmes (N) , (M,) et (M2) lorsque deC(Qt), le coeff i-
cient a 6tant toujours supposd rggulier : aecrn(Q ) . L'dnoncd t
du th6orGme 2.5 donne aussi des majorations satisfaites par la
solution $ , inddpendantes de a ou de a car on sera amen6
dans la partie 3 2 faire tendre a vers 0, et a vers un
coefficient moins rdgulier.
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Th6orGme 2 . 5 : S o i e n t a s c m ( Q t ) , dec(Qt)nLm(Qt) , d2O s u r Qt
e t s o i t a > 0 . On suppose : I FEL' ( 0 , t ; ~ l (Q)) avec d e p l u s dans
l e c a s du problsme (MI) ( r e s p . (M2)) : F ( 0 , s ) = 0 e t l ' h y p o t h s s e
H ou H4 ( r e s p . F ( l , s ) = 0 e t l ' h y p o t h 6 s e H3 ou H ) . A l o r s l e pro- 2 5
blsme (N) ( r e s p . (MI) ; (M2)) admet une s o l u t i o n u n i q u e :
3 e p l u s $ e s t dans u n born6 d e Lm(O, t ; H 1 ( a ) ) nH1 (Qt) ind6pen-
d a n t de a ,
e s t dans un born6 d e L~ (Qt) i n d 6 p e n i a n t d e a . &- ax2
- e s t d a n s un born6 de Lm(O, t ; L 1 (Q) ) independan t d e a
e t a ( e t Ggalement d e p e t x dans l e c a s du problsme (M ) 1
( r e s p . (M2)) sous l ' h y p o t h s s e H4 ( r e s p . H5 ) . aF Cnf in - r 0 s u r Q t e n t r a i n e 2 2 0 s u r Qt . ax
1 ) L ' e x i s t e n c e d ' u n e s o l u t i o n $ au problsme (N) ( r e s p .
(MI) ; (M2)) s e d 6 d u i t du lemme 2 . 4 e n cons idGran t une s u i t e
( d n ) ~ m ( ~ t ) convergean t v e r s d dans C(Qt) . En e f f e t c e t t e a
s u i t e p e u t Z t r e c h o i s i e d e s o r t e que : d +a 2 - s u r n 2 Qt , d s M s u r Q oti M = 2 l I d l / , e t dans l e c a s 02 l ' o n sup-
L (Qt) pose s u r d l ' h y p o t h s s e H4 ( resp.H5)
On d 6 s i g n e p a r (Nn) ( r e s p . (M ) ; (M ) ) l e problcme d 6 f i n i I , n 2 ,n
d e f a c o n ana logue au problsme (N) ( r e s p . (M,) ; (M2)) m a i s 013 l 'Gga-
l i t 6 ( 2 . 1 ) e s t remplac6e p a r :
F d a n s a '(C2) , p .p . s630 , tC . $ ' + a 2 - (dn+a) 2 =
A l o r s , d ' a p r g s l e lemme 2 .4 , pour chaque ndN , l e problsme (N,)
( r e s p . (M , , n) ; (M2,n)) admet une s o l u t i o n un ique
$, cLm(O, t ;H1 (fi))nH1 (Qt)nL2 (0 , t ; ~ ~ (0)).
De p l u s :
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MADAUNE- TORT
oG C, est indspendante de n et a . Par consgquent on peut extraire de la suite (+n) une sous-suite
encore not6e ( $ 1 telle que :
Gn converge vers + dans Lrn(0,t;~'(Q)) faible Broile et
H' (Qt) faible,
a2qn converge vers dans I,'(Q~) faible, et par suite :
ax2 a2qn
fin - converge vers 49 dana I)'(Qt) puisque dn+d dans C(Qt). ax2 ax
Alors $ vgrifie :
On a donc prouv6 l'existence d'une solution au problPme (N)(resp.
(MI) ; (M2)) satisfaisant aux propri6rg.s de rEgularit6 ainsi
qu'aux estimations a priori hilbertiennes 6nonc6es au th6orPme
2.5.
2) L'unicit6 de la solution est une cons6quence irmn6diate de
(2.13)
3) Estimation de dans Lrn(0,t;~'(~)) : ax a 3 On multiplie (2.1) par - -(sg ( ))EL' (Q~) ; il vient aprss int6- ax ri ax
gration de 0 2 s :
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Le p remie r terme d e (2 .14) s 1 6 c r i t g r z c e au lemme 2.1 :
Le second terme d e (2 .14) t end v e r s 0 quand rl -+ 0+ , e n e f f e t :
q u i t end v e r s 0 p a r l e lemme 2.2 e t l e th6orSme d e convergence
dominze p u i s q u e EL^ (0, t ;n2 (R) ) . Le t r o i s i s m e terme du p remie r membre d e (2.14) e s t d e s i g n e p o s i t i f
ou n u l , e n e f f e t :
24 E n f i n l e second membre d e (2.14) d e v i e n t , p u i s q u e F s g ( ) e s t nu1 Q ax
aux b o r d s
On d 6 d u i t a l o r s d e ( 2 . 1 4 ) en f a i s a n t t e n d r e I7 v e r s 0, :
donc e s t dans u n born6 d e ~ ~ ( 0 , t ;L1 (R)) indzpendan t d e d , a e t a . (Ce born6 e s t a u s s i indzpendan t d e p e t x dans l e
c a s 06 l ' o n suppose s u r d l f h y p o t h S s e h4 ( r e sp .H5) ) .
4) Monotonic . On n o t e sg+ ( resp . sg+) l a f o n c t i o n d g f i n i e p a r :
rl Dow
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a + % On multiplie (2.1) par - sg ( )EL~(Q~) . On obtient c o m e au II ax point 3) :
+ 3 aF d'oii l'on dEduit, comme sg (ax) U , que lorsque - < 0 sur Q ax - t'
(g)+ = 0 sur Q~ soit - i: L 0 sur Q . Autrement dit si F est t
dgcroissante en x sur Qt , $ est dgcroissante en x sur Qt
ou si F est croissante en x sur Qt , $ est croissante
en x sur Qt . Le th6orSme 2.5 est d6montr6
Remarque 2.6 : Sous les hypothsses du th6orSme 2.5 il est Gvi-
dent que pour tout F dans ~'(0, t;H1(R)), croissante telle que
F(O,s)=O, la solution $ du problsme ( M , ) v6rifie : I$ > 0 sur - Qt . On va voir que cette propri6t6 reste vraie pour la solu-
tion I$ du problgrne (N) en faisant des hypothsses supplgmen-
taires sur F et les coefficients a , d ; par exemple FEH~"(Q~) (suivant les notations de 111, vol.2l)et F(x,O)=O,
m - acC (Qt), dcc(Gt). En effet il suffit, vula construction
m - de I+ , de vgrifier que ce r6sultat est vrai lorsque dcC (Qt).
'hypothsse FEH~" (Qt) entra?ne que +EH*' (Qt)
; alors il rgsulte de (2. l), de (2.3) et de la
)=0 que :
Or dans ce cas 1
Lll,vol.2 p.401
condition F(0,s
p.p.srl0, tC
- puisque ax ( s ( et r i f e %(. ,s)?o sur Q, ~(o,s)=o
ax
On a donc : q(0,s) 2 0 p.p.sel0,tC et c o m e x * $(x,s) est -
croissante sur R , $ 2 0 sur Qt .
3 - DEMONSTRATION DU THEOREME D'UNICITE 0.3 On considgre deux solutions u l et u2 du problBme n , appartenant 3 c(T)~c(co,TI;L' ( a ) ) satisfaisant 1 lvin6galit6 (0.7) lorsque f (O)=O (pour l'exis tence voir 5. I ) . Les trois cas 1 considsrer : g' (O)=O, f(O)#O, f (O)=O sont de natures
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PARABOLIQUES DEGENEREES 457
diffsrentes ; cependant, afin de raccourcir la d6monstration,on
traite simultansment ces 3 cas. Si on ne s1int6resse qu15 un seul
des 3 cas citbs, 6videmment certains points peuvent ztre all6g6s.
La dgmonstration se scinde en deux parties :
une premisre partie oG l'on d6montre que u1 = u2 sur Q t
pour tout t 5 min (T(ul), T(u2)) < + m (th6orPme 1.4)
une deuxiPme partie 03 l'on dgmontre l'6galitG de T(u ) et 1 T(u ) , puis celle de ul et u2 sur R x [T ,TI. 03 T = T(ul) =
2 P P T(u2). T est suppos6 ici suffisamment grand pour que : T < T .
P
3.1. ul = u2 sur Q oG t = min(T(u ),T(u ) ) : t 1 2
Soit t , le minimum de T(ul) et T(u2), et soit 7
tel que 0 < T < t . u1 et u2 vgrifient ( 1 . 8 ) , VvcV , p.p.sclO,t[ . On a donc :
I av av (ul-u;,v)- I I ~g(u~)-g(u~)~ dx + trnc~,)-mc~,l 5; dx=o ,
0 (3.1)
Soit alors €,EL'(T,~;H' (0)) telle que ~'EL'(T,~;L~ (R)) ,<(x,t)=O
puisque uI-u2e~' (T, t;L2(R)), u;-u;EL'(T,~;v') , CEL'(T,~;V)
<'EL~(T,~;L'(R)), il dscoule de (3.1) que :
Dans le cas 03 f(0) = 0 , comme ul et u2 vsrifient (0.7) , on sait d'aprgs la remarque 1.2.2. que ul et u2 vsrifient (1.9)
pour toute fonction VEL~(T,~;H'(R)) telle que v'EL'(T,~;L'(R))
On obtient ais6ment dans ce cas 11 que u,-u2 v6rifie 116galit6
('3.2) sans imposer 1 5 la condition c(O,s) = 0 . La formule de Green permet de dsduire de 116galit6 (3.2) que
u -u2 vgrifie 111galit6 : 1
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a c v~cL~(T,~;H~(R)) telle que S'EL~(T,~;L~(R)),~(.,~)=~, -(i,s)=O ax et de plus c(0,s) = 0 lorsque f(0) # 0.
En introduisant les coefficients b et c d6finis sur Q par
(].lo), on a finalement le rgsultat suivant dans les 3 cas :
a c V~EL'(-C,~;H~(Q)) telle que c1~L2(+r,t;L2(~2)) ,c(.,t)=~,- ( I ,s)=0 ax et <(O,s) = 0 , cette dernisre condition Stant inutile si f(O)=O-
Afin de pouvoir utiliser les rEsultats du paragraphe 2 , on pose:
a(x,s) =-b(x,t-s) , d(x,s) = c(x,t-s) pour (x,s)<Qt . I1 rEsulte de (1.12), (1.13), (1.14).et (1.15) que les coeffi-
cients a et d ont les propriEtEs suivantes :
a,di~~(~~)n~([~, 1 lx[O, t[) (3.4)
d 2 0 sur Qt (3.5)
si g'(0) = 0 , a(0,s) = 0 sur C0,tl (3 6 )
1 si f (0) # 0 , 3 ~ ~ 6 1 0 , I[ tel que d& f (0) sur J0,x [ xlO, t-T[ 2 T (3.7)
On considsre, ce qui est possible, une suite (ap)pWcC (Qt)
telle que
a -+ a dans L2(0,t;c(E)) P (3.8)
et satisfaisant, lorsque g ' (0) = 0 , 2 la condition
a (0,s) = O 9 + J P ~ N , s , C0,tl . P (3.9)
Enfin en reprenant les notations du paragraphe 2 , on appelle (N) (resp.(M ) ) le problsme d6fini par llgquation :
I
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PARABOLIQUES DEGENEREES
la condition initiale (2.2) et les conditions aux bords de type
[Geumann (2.3) (resp. les conditions aux bords m216es (2.4)) . Alors comme api~m(~t) et d v6rifie (3.4), (3.5) pour tout
YEL~(O,~;H;(Q)), il existe une fonction (unique) :
$p,ai~' (o,t-r;~~(R)) telle que $ ' i~'(0, t-T;L' (R)) P ,a
solution
du problsme (N), lorsque f (0) = 0 (en fait +p,a es t d6f inie
sur LO, tl dans ce cas) ,
du problsrne (MI) lorsque f (0) # 0 ou g'(0) = 0 , puisque dans le premier cas le coefficient d v6rifie (3.7) donc l'hypothgse
M4 du paragraphe 2 , et dans le second cas le coefficient a P
v6rifie (3.9) donc l'hypothgse H2 (dans ce second cas +PLY
est
d6finie sur LO, tl) . La d6f inition de
+,,a permet de considgrer dans (3.3), 5=5
P9a 03 la fonction cp,a est d6finie sur R x ]~,t[ (T > 0 si
f(0) # 0 ; T = O si f(0) = O ou g'(0) =0) par :
a c a2c ) (c;,;b a ax + c A ) d x d s =-(u1 (T)-u~(T) ,E~,~(T))
ax2 (3.12)
On a d'autre part, comme $p,a v6rifie (3.10), l16galit6
- G 03 b (x, s)=-a (x, t-s) , ax2 P P (3.13)
G(x,s) =-F(x, t-s)
On va montrer maintenant 1 partir de (3.14) que (ul-u2)Gdxds=0. J,
Pour cela on va faire tendre successivement a vers , T vers
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460 MADAUNE-TORT
O+ l o r s q u e f (0 ) # 0 , p u i s p v e r s + dans (3 .14) ; d l 0 3
1 1 u t i l i t 6 d e s e s t i m a t i o n s a p r i o r i 6 t a b l i e s au th6orSme 2 . 5 .
Ces e s t i m a t i o n s s a t i s f a i t e s pa r $p,a e n t r a y n e n t que <P ,a
v 6 r i f i e :
, e s t dans un born6 d e L t ( ) independan t
d e ci
a 2 c cb ,,; & 2 s o n t dans un born6 de L' ( r , t ;L2 (fi) )
ax i ( 3 . 1 5 ) ind6pendant d e a
ac e s t dans un born6 d e Lrn(.r, t ; L 1 (B)) ind6pendant
3x d e a , p e t T
enti tier p 6 t a n t f i x 6 e t T 6 t a n t 6galement f i x 6 , on f a i t
t e n d r e a v e r s O+ . I1 r 6 s u l t e d e (3 .15) q u e , l o r s q u e a + 0+ , une s o u s - s u i t e de l a
s u i t e ( cp ,a ) e s t t e l l e que :
Sp,a + C p dans LW(r , t ; ~ ' (fi)) f a i b l e L t o i l e , < ( T ) + c p ( ~ ) P9a
dans L2(Q) f a i b l e ,
ci a 2 e p ' a + 0 dans L 2 ( ~ , t ; L 2 ( f i ) ) . a x 2
E n f i n c o m e cp ,a converge v e r s C p dans L ~ ( T , t ; ~ ' (Q)) f a i b l e
a E 6 t o i l e e t que A e s t dans un born6 d e L ~ ( T , t ; L 1 (0,)) ind6-
ax pendant d e a , p e t T , on a :
a c e s t dans un born6 d e Lrn(;,t;L' (R)) ind6pendant d e p e t T ax
(3 .1 6 )
Lorsque f (0) = 0 ou g 1 (0) = 0 , on p e u t p r e n d r e d a n s (3.14) r=O;
a l o r s , e n f a i s a n t t e n d r e a v e r s O+ , on o b t i e n t :
Lorsque f ( 0 ) # 0 , T > 0 6 t a n t f i x & , on o b t i e n t e n f a i s a n t
t e n d r e a v e r s O+ dans (3 .14) :
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3 r (3 .16) e n t r a i n e , cormne 5 ( 0 , s ) = 0 que S p ( ~ ) e s t born6 P
dans L ~ ( R ) ind6pendamment de p e t T ; on a donc 1 1 i n 6 g a l i t 6 :
03 k l e t k2 s o n t deux c o n s t a n t e s p o s i t i v e s indgpendan tes
p e t T . En f a i s a n t ma in tenan t t e n d r e ? v e r s 0, , il v i e n t c o m e
e t u 2 s o n t dans C(C0,TI ; L 2 ( ~ ) ) , 1 1 i n 6 g a l i t 6 :
i n 6 g a l i t 6 e n c o r e v r a i e l o r s q u e f (0) = 0 ou g l ( 0 ) = 0 g r s c e 2
(3 .17) e t (3 .16) . Alors e n p a s s a n t 5 l a l i m i t e s u r p , on o b t i e n t , grBce 2 ( 3 . 8 ) :
(u,-u2)G dxds = 0 e t c e c i pour t o u t GEL' ( 0 , ~ ; H ; ( R ) ) . 1, L
On a donc u =u2 s u r Q t , c e q u i t e rmine c e t t e p remigre p a r t i e I d e l a d6mons t ra t ion .
3 . 2 . T ( u l ) = T(u2) . S o i t T c e t t e v a l e u r commune, a l o r s u =u P 1 2
s u r Q x ITD,TC :
S o i t t = min(T(u ) , T ( u ) ) . On a vu que u l = u2 1 2
s u r Q t ; on a a l o r s e n u t i l i s a n t l e s p r o p r i B t 6 s de c o n t i n u i t 6
de u 1 e t u2 :
u l ( l , t ) = u 2 ( l , t ) e t donc pu i sque l ' u n e d e s deux q u a n t i t s s
e s t n u l l e
u l ( 1 , t ) = u 2 ( l , t ) = 0 d'oG
t = T(u ) = T(u2) . 1
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462 MADAUNE-TORT
Soit T cette valeur commune. On sait d'aprGs le th6orGme 1.4 P
que T(ul) < + donc T < + . Si T > T il nous reste P P
donc 2 d6montrer 116galit6 de u1 et u2 sur R x IT ,Ti . P
Pour cela, on verra plus loin que ul et u2 coincident necessai-
rement au bord x = I sur :T TI ; alors 116galit6 ul = u2 P'
sur R x ITp,TC r6sultera du lentme suivant :
Lemme 3.2 : Supposons qu'il existe 2 instants ~,t<lo,T[ tels
que O < T < t b T et
I U,(T) = u2(T)<HO(fi)
U] (1,s) = u2(l,s) p.p. S€l?,tC 9
alors uI = u2 sur R x IT,ti .
Lorsque f(0) = 0 , ul et u2 v6rifient 11inEgalit6 (0.7) pour tout VEL~(T,~;H'(R)) tel que V'EL~(T,~;L~(R)), v(I ,s) > 0 . Lette in6galitE devient une 6galit6 si on impose B v de satis-
faire B ~(1,s) = 0 . Par consgquent on obtient :
DEmonstration :
Lorsque f(0) # 0 ou g'(0) = 0 116galitE de ul et u2 sur
R x j~,tL resulte directementde El41 puisque u, et u2
sont solutions dans C(i0,lI x i~,t>) du problsme :
a u ' + 5 g(u) - E a) = 0 dans 9 ' (0,) , p.p.srlr,rC
= (u1(t)-u2(t), v(t)) ,
VVCL~(T,~;H'(Q)) telle que V'EL~(T,~;L~(Q)), v(l ,s) = 0 -
'
On en d6duit que :
ax2 U(X,T) = u (x,~), X E Q avec ul (X,T)EH;(Q), O<U, (x,T)sI 1
v~EL~(T,~;H~(R)) telle que ('EL~(T,~;L~(R)),~(~ ,s)=o,((. ,t)=O
u(O,s)=O , ~ ( 1 ,s)=ul (1 ,S) , p.p.S€j~, t[ .
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PARABOLIQUES DEGENEREES 463
ou les coefficients b et c sont toujours d6finis par (1.10).
On pose encore a(x,s) = - b(x,t-s) , d(x,s) = c(x,t-s) ; alors
d'aprss (1.12) et (1.13), les coefficients a et d v6rifient :
- - a,d~c(Q~-~) ; d > 0 et a < 0 sur
Qt-T
m - On consid6re une suite (ap) c C (Qt-?) telle que :
a + a dans ~'(0, t-~;c(E)) P -
et a 5 0 sur P Qt-T
Alors, comme le coefficient a satisfait B l'hypothsse P H3 *
le th6orSme 2.5 entrafne, pour tout FEL'(O, t-T;H' (a)), pour tout p 6N et pour tout a > 0 , l'existence d'une fonction
+,,a solution du problsme (M2) 06 (M2) est d6f ini par (3.10) , (2.2) et (2.5).
On peut alors prendre dans (3.18) 5 = 5 oG 5P ,a
est P,Q '
d6fini sur R X ~ T , t: par <P ,a (x,s) = $ (x,t-s). <p,a vgrifie
P,a alors (3.13) ; on en dEduit lf6galit6 :
25 (bp-b) (ui-u2) dxds
Les estimations a priori satisfaites par $p,a done 5 per- P s ~
mettent d'obtenir par les mzmes arguments qu'en 3.1, en faisant
d'abord tendre a vers O+ , puis en utilisant (3.19) p vers +-:
i: I, (ul-u2)Gdxds = 0 , ceci ffck~~(~,t;~;(R)) ,
donc u , = u2 sur W ]?,tC ce qui prouve le lemme 3.2.
On va maintenant demontrer que ul(l,s) = u2(l,s) pour s 2 T P '
en faisant un raisonnement par l'absurde. On suppose donc que
u,(l,s) #- ~ ~ ( 1 , s ) sur CT ,TI et on d6signe par : P
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T = sup
Alors on a : uI (T) = u~(T) sur R (lemme 3.2). (3.20)
Comme ul ( 1 ,s) 2 u2(l,s) sur iT ,TI , on a T < T . On dgsigne P
par t = sup{sci?,TI ; ul (1,~) # u2(l,p), Vpclr,sr3 ; alors
- Puisque u et u2 sont continues sur R x [Tp,TJ , ul-u2
1 s igne constant sur I?, t[ ; supposons par exemple que
u (1,s) - ~ ~ ( 1 , s ) < 0 sur IT,^[ . I
On a alors n6cessairement u2 ( I , s) > 0 sur IT, t[ . Lorsque f (0) # 0 ou g' (0) = 0 , on utilise que p.p.s~lr
u v6rifie 11in6galit6 (0.5) , d'oG : 1
Par cons6quent u -u2 v6rifie lfin6galit6 : 1
Alors de la m h e facon que l1on a obtenu (3.3) dans la partie
3.1. on a , en utilisant (3.20) et les coefficients b et c
d6f inis en (I .lo) :
V<rL2(~,t;H2(R)) telle que S'EL~(T,~;L~(R)), <(.,t) = 0 ,
Lorsque f(0) = 0 , on utilise que sur 3T,t[ ul v&rifie 11in6-
galit6 (0.7) et u2 v6rifie 116galit6 (I .9) pour toure fonction
V<L~(T,~;H'(R))' telle que v'eL2(~,t;L2(fi)) et ~(1,s) r 0 . I1 est alors facile de voir, grke 2 la formule de Green que
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PARABOLIQUES DEGENEREES 465
(u,-u2) vGrifie 11inGgalit6 (3.21) sans imposer B 5 la condi-
tion ((0,s) = 0 . On pose encore : a(x,s) = -b(x, t-s) ,d(x,s)= c(x, t-s); (x,s)~q~-~.
Les coefficients a et d satisfont 1 :
- a,dc~(Q~-~) , d 2 0 sur Qt-T;
si gl(0) = 0 , a(0,s) = 0 sur [O,t-T[
1 si f(O)#O , 3xo~10,11 tel que d? 2 f(0) sur 10,xo~~lO,t-~[: .
m - On considPre, ce qui est possible, une suite (a p ) p a C (Qt-~)
telle que :
a + a dans c (<t-T) P
Alors, il resulte du thGorSme 2.5 que, pour tout p c N , pour tout a > 0 et pour tout FEH~"(Q - ) , croissante en x telle
t T que F(0,s) = 0 et F(x,O) = 0 il existe une fonction :
ICIP, a EL^ (0, t-T,H' (R)) telle que I,IJ' EL' (0, t-T;L' (R)) ,
P,a
solution du problhe (MI ) lorsque f (0) # 0 ou g' (0) = 0 , solu- tion du problsme (N) lorsque f(0) = 0 . On peut alors dans tous les cas considGrer 5 = (p,a dans (3.21),
EP,, Gtant definie sur 5 x Lr,tl par ( P,a .(X,S)=+~,~(X,~-S).
En effet, on sait d1aprGs la remarque 2.6 que + D .a (1,s) 2 0 . , pour s E i0,t-TI , donc que S~,~(I,S) 2 o pour s E [~,tl . On obtient, en utilisant 116galit6 (3.13) satisfaite par
<P,c+. 11inGgalit6 :
a2c + jna(ul-u2) A dxds .
ax
On en dGduit, compte tenu des majorations v6rifiGes par SP,c+. *
en passant 5 la limite d'abord en a , puis en p :
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/R(ul-u2)~dxds 5 o , ceci pour ioute fonction
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GEH~" (RXIT, t[) decroissante en x sur R telle que G (O,s)=O
p.p.s~h, t[ et G(x,t) = 0 sur R . On arrive ici 1 une contradiction, puisque :
donc par continuit6 :
ul-u2 < 0 sur un ferm6 Cx;,ll x [~:t'l avec 0 < x' < 1
On peut alors construire une fonction GEH~" (Rx~T, tL)
dgcroissante en x nulle en dehors de [x:IJ x C~:t'l stricte-
ment negative dans Ix:l] x ]~:t'[ . (ul-u2)Gdxds 5 0 et (ul-u2)G r 0 sur R x IT, tL,
R on en d6duit en particulier que ~ ~ ( 1 , s ) = u2(l,s) , ce qui est contraire 2 l'hypothese ~ ~ ( 1 , s ) 2 ~ ~ ( 1 , s ) . On a donc : ul(l,s) = u2(l,s) , Vs r T .
P
Pour affirmer maintenant l'Egalit6 de ul et up sur QxlT ,T[ , P
il suffit de remarquer, que ul et u2 satisfont aux hypothPses
du leme 3.2 sur cet ouvert.
En conclusion : u1 = u2 sur Q . au
Kemarques : 1 . Lorsque u vgrifie 2 ax
2 0 sur R ou
aZ+(uo) W u 0 ) -- - ax
50 dans dl (a ) , on prend pour uI la ax2
solution particulisre 6tudi6e au paragraphe 1 . 1 qui v6rifie
u (1,s) = 0 sur [T ,TI ce qui permet alors de simplifier la 1 P
partie 3.2 de cette d6monstration.
2. Lorsque g est dEcroissante, le probl5me 7 admet aussi
une solution, V et K 6tant alors d6finis par :
V = {VEH' (Q) ; v(1)=03, K= {VEV ; V(O) 2 0} et u 6tant donng
tel que uo Z 1 dans un voisinage de x = 0 .
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Alors le th6orGme d'unicit6 0.3 reste valable les conditions
suppos6es sur u etant modifi6es de la fason suivante :
a 2 w o ) ag(uo) a 2 m o ) -- - 5 0 dans H-I (5'2) devient - - - 2 0
ax2 ax ax2 ax
dans H-I (Q).
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468 MADAUNE-TORT
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Rece ived June 1981
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