In Florentin Smarandache: “Généralisations et Généralités”. Fès (Maroc): Édition Nouvelle, 1984.

FLORENTIN SMARANDACHE Une généralisation de l’inegalité

de Hölder

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t'

UlΠGENERALISATION DE L'INEGALITE DE HOLDER

On gén6rûlise l'inégalité de Halder grâce à~. raisop~ement par­récurrence. Comme cas particuliers, on obtient une généralisation de l'inégalit8 de Cauchy-Buniakovski-8chwsrtz, et des applications intéressâJltes.

Théorème ~ Si a~k)€ IR + J.

kE (1,2, ••• ,m}

avec m)/ 2.

Preuve: Pour m = 2 on obtient justement l'inégalité de n6lder, qui est vraie. On suppose l ' inégalité vraie pour les vé',leurs in­férieures strictement li un certain m. Alors _ ~

n m n m-2

L -1-' T a~k) = L ((--, 1 Q~k)). (2.~!-:l-1) .a~m))) ~ i=l k=l J. i=l k=l J. J. J. "

/ (r-2

, (t- (a~k) )Pk ) ~k). (>n (a~m-l) .2,~rn)) P); ~ k=l i=l J. \ i=l J. J.

,

où et tl) l , t

2') 1. Il en résulte e

l

( (m-l))P (Jm))P/ (~ (_ (m_I))3)t~ j)t1

a. '-J' ~ L d. • J. J. . l J.

1.=

l l l avec +- = -pt l pt 2 P

l'Jotons ptl Il et

m-l l l

pt2

= P • Donc + ••• + - = l, et on a m Pl Pm

Il.) l pour J

l~j,< m ~ il en résulte l'in8galit& du th~orème.

R S · l " . ( t' 'l~ , emarsue g 1. on pose P j= :Tl pour ,\ J "m e Sl on 8 eVG 2-

SéUce m cette inog2.1ité, on obtient une génér~lisation de lité de Cauchy-Buniakovski-Schwartz :

12, 3)uis-

(~ (k) '\ m /

é\ ) ~

!"Ji

T""l 1 i k=l

r C

Applios.tion Soient les réels ,ositifs 0.1 '

Ilontrer Clue

+ [:.2b 20 2) 6 ~ 8 /" 6 /"

6) (8.1

b1

01

(J (bO 2.1

-+- G2

) l

+ b2

Solution

8, ? 2

b1

, b 29 °1' °2·

6 (°1

6) + °2

utilisons le th00rème '<>4'1té:deur. ?OSO:1S Pl =2 9 lJ2

=3 5 P3=6? il en. déooule Clue ~

al b1 cl + 3,2b 20 2 ~ (:1~ ~ 8,~)% (bi + b~)I (c~ + o~)i ~ ou enoore

6 223 3 326 6 (3,l b l0l + a2b202) ..{(C'>l + ~2) (b1 +b2) (°1 + °2) J

3 3 ~ /" 6 et sachant Clue (b1 + b2)~ ~ 2(b~ + b 2 )

2 23 6 6 /42 24 et Clue (8.1 + o.) :: cCl + <:"2 + 3\'..l a 2 + a 1 2'2),("

puis<lue

( a 2 _ 2) 2( 2 2)./ 0 ) 2 1:';1 al + 3.2 ~ ,

1 il en rGsulte l'exeroice ,roposG.