Une typologie des méthodes multicritères: Proposition d'un cadre méthodologique

Une typologie des methodes multicriteres: Propositiond’un cadre methodologique

Adel Guitouni et Micheline BelangerSection Systemes d’aide a la decision (SAD), RDDC Valcartier, 2459 boul. Pie-XI Nord, Val-Belair

(Quebec) G3J 1X5, Canada. email: {adel.guitouni, micheline.belanger}@drdc-rddc.gc.ca

Jean-Marc MartelDepartement d’Operations et systemes de decision (OSD), Faculte des sciences de l’administration Universite,

Laval (Quebec) G1K 7P4, Canada. email: [email protected]

Resume — Plusieurs methodes d’aide multicritere a la decision ont vu le jour au cours des dernieresdecennies. L’examen du developpement des methodes multicriteres (MMC) montre que la majoritesont ad hoc et resultent de difficultes rencontrees lors de tentatives d’applications des methodesexistantes a des cas reels. Ces difficultes emergent de la complexite de structurer les situationsdecisionnelles reelles, de traiter des evaluations de diverses natures et de modeliser les preferencesdu (des) decideur (s). Il y a lieu de se demander si la diversite des methodes multicriteres est unreflet de la creativite et la richesse de l’activite intellectuelle en aide multicritere a la decision, ouau contraire de ses faiblesses. Est-il necessaire d’avoir autant de methodes; sont-elles vraiment sidifferentes ? Dans le cadre de cet article, nous proposons un cadre methodologique afin de distinguerentre les differentes methodes. Ce cadre methodologique repose sur une representation des situationsdecisionnelles qui permet de les categoriser en classes de problemes d’aide a la decision. Un travailminutieux d’analyse de quelques procedures d’agregation multicritere a permis de les caracteriserpour traiter certaines classes de problemes. Un ensemble de proprietes est propose afin de distinguerentre elles les PAMC d’une meme classe. Une illustration de l’application du cadre methodologiquepropose est presentee.

Mots-cles Methodes multicriteres, situations decisionnelles, proprietes des procedures d’agrega-tion multicritere.

1. INTRODUCTION

La confrontation permanente des developpements theoriques

(connaissances scientifiques produites) en aide multicritere

a la decision aux realites organisationnelles, l’importance

des investissements pour l’expertise conseil et le niveau de

developpement technologique combines a la recherche

permanente d’outils appropries, ont motive le developpement

de plusieurs methodes et procedures d’aide a la decision.

La diversite des outils elabores au cours du temps reflete a la

fois les variations philosophiques, epistemologiques et pra-

tiques aux noms desquelles ils ont ete introduits et utilises

(David, 1996).

Effectivement, une revue de la litterature en aide multicri-

tere a la decision indique l’existence d’un nombre impression-

nant de methodes (Guitouni et Martel, 1998). Ces methodes se

sont developpees un peu au rythme du developpement de la

theorie de la decision, de la theorie du choix social, de la

theorie des organisations et de l’aide a la decision. Ainsi,

depuis la fin des annees soixante, le developpement d’outils

d’aide a la decision a ete influence par differentes conceptions,

comme la conception normative, la conception prescriptive et

l’approche plutot constructiviste confortee par une voie

axiomatique.

La revue des differentes applications de l’analyse multi-

critere dans les organisations montre un succes que l’on peut

encore qualifier d’assez mitige. Cette situation n’est pas tres

differente d’ailleurs de la majorite des outils issus de la

recherche operationnelle (R.O.) meme si le developpement

du support informatique change un peu les choses. En effet,

bien que Keefer et al. (2004) ont montre que le nombre de pub-

lications academiques reliees aux applications des outils d’aide

a la decision n’ait cesse d’augmenter de 1990 a 2001, le

nombre d’applications reelles est cependant encore tres

faible. L’exhaustivite de cette etude peut etre contestee due

au fait que les publications specialises ou professionnelles

n’ont pas ete couvertes, mais il n’en demeure pas moins un

bon indicateur que le transfert de connaissances des labora-

toires universitaires a la realite organisationnelle est assezReceived September 2003, Revision November 2005, Accepted

October 2007.

INFOR, Vol. 45, No. 3, August 2007, pp. 153–174ISSN 0315-5986 j EISSN 1916-0615

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faible, du moins n’est pas au niveau de ce que nous serions en

droit d’attendre. Il est indeniable qu’il existe plusieurs cas de

figure d’applications reussies ou de transfert de connaissances

fructueux. Il est interessant de noter que la majorite des appli-

cations publiees impliquent un ou des universitaires avec even-

tuellement des gens du milieu des organisations. Est-ce que

cette observation s’explique par la complexite des methodes

multicriteres (MMC) et les exigences de leur mise en œuvre

ou par l’ignorance du potentiel de l’analyse multicritere ? La

reponse a ce type de question n’est pas sans equivoque.

Nous croyons qu’il s’agit de consequences de deux pheno-

menes. D’une part, la philosophie, les concepts et les methodes

a la base du paradigme multicritere sont absents du curriculum

de la majorite des programmes d’enseignement universitaire.

Il est vrai toutefois que le developpement de la demarche

multicritere est encore assez recent. Selon nous, peu ou pas suf-

fisamment d’efforts ont ete investis pour demontrer la richesse

et le potentiel de l’analyse multicritere. De plus, il faut noter

que l’aide multicritere a la decision est fondee sur differentes

theories et approches qui ont vu le jour dans l’adversite.

L’aide multicritere a la decision, comme l’a si bien dit

Figueira (2000), a ete developpee au carrefour de plusieurs

disciplines (economie, theories de la decision, R.O., sociologie,

gestion, intelligence artificielle, genie, etc.). De ce fait, les

echanges entre les differentes disciplines concernees par

l’aide a la decision sont assez faibles, du moins jusqu’a tres

recemment. D’autre part, certaines methodes ont des exigences

informationnelles assez considerables et peuvent paraıtre des

recettes ad hoc, ce qui n’est pas de nature a encourager leurs

utilisations. En effet, la complexite de certaines MMC, notam-

ment au niveau de la modelisation des preferences du decideur,

et l’exigence d’expertise pour les mettre en œuvre sont suscep-

tibles de refroidir les ardeurs de tout profane qui souhaiterait

utiliser ‘correctement’ ces outils dans ses activites de gestion

quotidienne. De plus, nous croyons que les hypotheses et les

premisses sur lesquelles reposent plusieurs methodes ne sont

pas necessairement realistes dans la pratique, comme, par

exemple, certaines hypotheses d’independances.

L’absence de cadre formel pour comparer les differentes

methodes entre elles rend difficile leur acceptation et surtout

leur utilisation de maniere appropriee. En fait, il n’existe pas

de methode parfaite (Scharlig, 1985) applicable a toutes les

situations decisionnelles. L’on est en droit de conclure qu’un

novice en MMC pourrait se voir critiquer s’il commence a

utiliser ces methodes sans discernement. Comme on peut s’y

attendre, tout systeme d’aide multicritere a la decision est

fonction du contexte pour lequel il a ete developpe. De plus,

ce type de systeme exige generalement des investissements et

il est alors justifiable que les utilisateurs se questionnent sur

sa rentabilite. D’apres notre experience, la majorite des

systemes informatises d’aide a la decision utilisant l’analyse

multicritere actuellement sur le marche sont assez elementaires

et sont ainsi peu susceptible de modeliser convenablement les

preferences du decideur. Toutefois, nous croyons que la

capacite limitee de ces systemes ne rend pas reellement

justice au multicritere.

Au centre Recherche et developpement pour la defense

Canada - Valcartier (RDDC Valcartier) nous developpons

un systeme d’aide a la decision pour l’evaluation de suites

d’actions dans le cadre de violation de l’espace aerien

canadien. Ce systeme utilise PAMSSEM (Guitouni et al,

1999a), une procedure d’agregation basee a la fois sur

ELECTRE III, et PROMETHEE I et II (pour l’agregation et

l’exploitation), ainsi que sur NAIADE (Munda, 1995) pour la

modelisation des evaluations floues. Le developpement de ce

systeme a demande de grands efforts tout au long du processus

d’acquisition et d’ingenierie des connaissances; ce qui corres-

pond a l’etape de structuration de la situation decisionnelle

du processus d’aide a la decision. Cette experience, bien

qu’encore inachevee, nous a montre l’importance de l’effort

a consentir pour generer les donnees necessaires a la mise en

œuvre de la methode multicritere. Plus encore, certains

parametres peuvent paraıtre depourvus de sens aux yeux d’un

utilisateur novice. Cette experience nous a fait prendre con-

science 1) qu’il y a des situations decisionnelles pour lesquelles

les MMC existantes ne conviennent pas vraiment; et 2) qu’il

existe peu de methodologies permettant de discriminer entre

les MMC. Ces constats expliquent, du moins en partie, que le

choix et l’implantation d’une MMC s’effectuent souvent de

maniere ad hoc et sont teintes de subjectivite.

En fait, l’observation de la proliferation de ces outils et du

relativement faible taux d’utilisation de ces derniers par les

decideurs/gestionnaires nous conduisent a se demander s’il

est vraiment necessaire de disposer d’autant de MMC? Est-ce

que le nombre de methodes s’explique par l’intensite de

l’activite intellectuelle et la creativite dans le domaine de

l’aide a la decision ou au contraire par l’incapacite de

repondre adequatement aux attentes des decideurs et par la dif-

ficulte d’apprehender correctement les problemes de decision?

En fait, ces methodes ne sont-elles que les manifestations

d’articulations differentes de l’activite d’aide a la decision?

Eu egard a ces preoccupations, Bouyssou et al. (1993),

auteurs du manifeste sur l’aide multicritere a la decision,

soutiennent que “Although the great diversity of MCDA pro-

cedures may be seen as strong point, it can also be a weak-

ness. . .”. Arrow et Raynaud (1986) ont fait observer que “

The accent has been on building a large collection of multicri-

terion decision-making recipes without being able to decide

which of them were the best?”. Landry (1998) rappelle qu’il

faut «. . . reconnaıtre les limites des instruments dont l’aidant

dispose: face a la multiplicite des conditions dans lesquelles

peut se manifester l’activite de prise de decision, aucun instru-

ment (outil) ne peut pretendre tout faire avec un egal bonheur

et convenir en toute circonstance . . .».

Dans le cadre de cet article, nous cherchons a apporter

quelques elements de reflexion autour de la diversite des

MMC. Nous cherchons a proposer les elements d’un cadre

methodologique qui permet a la fois de proposer une typologie

ADEL GUITOUNI ET AL.154

INFOR, Vol. 45, No. 3, August 2007, pp. 153–174 DOI 10.3138/infor.45.3.153ISSN 0315-5986 j EISSN 1916-0615 Copyright # 2008 by INFOR Journal

des MMC, et de guider la selection de la methode en fonction

du contexte decisionnel. Afin de developper notre reflexion,

nous avons juge important de presenter a la section 2 une con-

ception du processus d’aide multicritere a la decision. A la

section 3, nous prenons appui sur cette representation pour car-

acteriser les diverses situations decisionnelles. Il serait naıf de

pretendre pouvoir caracteriser toutes les situations decision-

nelles. Toutefois, nous proposons des elements structurants

qui permettent de discerner entre ces dernieres. Cette structure

est alors utilisee pour proposer, a la section 4, une typologie des

MMC. Nous completons le cadre methodologique par une

proposition, a la section 5, de quelques exigences (proprietes)

qui permettent d’analyser les differences entre les MMC. Ce

cadre methodologique est alors illustre a la section 6. Nous

concluons–en abordant les implications du cadre methodologi-

que propose et des voies de recherches futures.

2. UNE REPRESENTATION DU PROCESSUS D’AIDEMULTICRITERE A LA DECISION

Selon Landry (1998) «. . .Centrale au succes d’une demarche

d’aide a la decision dans une organisation se trouve la compre-

hension de l’ensemble du processus de prise de decision dans

lequel s’insere cette aide. . . ». Simon (1960) a propose que le

processus d’aide a la decision puisse etre decoupe selon trois

phases: i) l’« intelligence», ii) le design et iii) le choix. Min-

tzberg, Raisinghani et Theoret (1976) ont suggere que ce

meme processus soit decompose selon plusieurs phases dont

les principales sont: i) l’identification, ii) le developpement et

iii) la selection. Stamelos et Tsoukias (2003) suggerent que

le processus d’aide a la decision pourrait etre represente par

les trois etapes suivantes: i) situation du probleme, ii) formu-

lation du probleme et iii) modele d’evaluation. Par ailleurs,

une revue des applications de l’analyse multicritere montre

que le processus d’aide a la decision debute, generalement,

par une phase de structuration (voir Figure 1) (Guitouni,

1998). Cette phase commence par identifier les elements

structurants du probleme: acteurs, analyse de la situation

(quoi, qui, comment, pourquoi?), l’acquisition de connais-

sances et la construction du sens. Durant cette phase, on

tente de determiner les enjeux et les opportunites, les parties

interessees, les elements controlables, les ressources dispo-

nibles, les objectifs, les contraintes, les obligations, etc.

Il faut se rappeler que l’aide a la decision est une activite se

situant a l’interface de la science et de l’art; et qu’il n’est pas

donne a tous d’etre a la fois un bon technicien et un bon

artiste. L’aide a la decision est une science du fait que

l’homme d’etude1 doit comprendre, modeliser, decomposer,

recourir a des theories, etre rigoureux et «objectif». C’est un

art par le fait que l’intervention dans un processus d’aide

a la decision exige de l’homme d’etude des qualites

interpersonnelles, de la creativite, du tact, de l’ethique, de la

diplomatie, une bonne culture, etc. A ce sujet, Henig et

Buchanan (1996) soutiennent que « In recent years many

solution methods have been proposed to solve MCDM

problems. The approach taken has largely been a technical

one. . . All necessary components of the decision problem and

any assumptions about the nature of the decision maker’s pre-

ferences have been defined a priori and often taken for

granted. . . Clearly, assumptions about decision maker prefer-

ence have a significant influence on solution methodology. »

Enfin, Zeleny (1992) mentionne que « Human thinking is

not to be modelled by logical rules and calculations, but

through application (or even matching) of “habits of mind”

(patterns) prompted by specific contexts ».

Il ne faut pas non plus perdre de vue que la decision est la

faculte la plus importante de l’humain. Le raisonnement

humain a cet egard est tres difficile a cerner a cause des con-

siderations psychologiques, cognitives, sociales, politiques, et

economiques intervenant dans la prise de decision. Autant

d’elements qui rappellent a l’homme d’etude et au theoricien

qu’ils doivent mettre de « l’eau dans leur vin »2 et eventuelle-

ment revoir leur philosophie et leur approche sur l’aide qu’ils

entrevoient apporter. A notre avis, il est imperatif de mieux

comprendre la phase de structuration du probleme decisionnel.

La maniere d’apprehender une situation decisionnelle depend

grandement de l’etape de structuration. A cet egard, Einstein

et Infeld (1938) soutiennent que « the formulation of a

problem is often more essential than its solution, which may

be merely a matter of mathematical or experimental skill ».

Cette comprehension devrait influencer la conception d’outils

qui tiennent davantage compte de la realite de la decision.

Pour ce faire, on devrait accorder beaucoup plus de place aux

facteurs humains dans le developpement des outils d’aide a

Figure 1. Phase de structuration dans un processus d’aide multicritere a

la decision

1L’homme d’etude est utilise dans le sens de l’aidant qui intervientpour mettre en oeuvre une demarche d’aide a la decision.

2Voir a ce sujet la these de Boulaire (1992) qui aborde la questiondu difficile equilibre entre rigueur et pertinence ou encore l’article deBoulaire, Landry et Martel (1996).

UNE TYPOLOGIE DES METHODES MULTICRITERES: PROPOSITION D’UN CADRE METHODOLOGIQUE 155


la decision; ceci vaut aussi bien pour le multicritere que pour

les autres outils developpes en R.O.

Dans une perspective multicritere, l’etape de structuration

permet d’obtenir le modele classique en aide multicritere a la

decision: (A, F, E); ou A est l’ensemble des actions, F est

l’ensemble des criteres/attributs de decision et E est la

matrice de decision aussi appele le tableau de performances

ou le tableau multicritere. E est obtenu a partir de l’evaluation

de chaque action de A par rapport a chaque critere de F. Selon

nous, un critere est une reference reconnue par au moins un

acteur sur lequel deux actions potentielles quelconques ai et

ak peuvent etre comparees relativement aux seuls caracteres

representes par ce critere. Un critere est alors une fonction

monotone (croissante ou decroissante), ayant un sens d’optim-

isation, exprimee sur une echelle de mesure (ordinale, inter-

valle ou ratio) permettant de baser des jugements entre toutes

les actions de A. Selon cette definition, un critere et un

attribut de decision peuvent etre utilises sans distinction.

Cette premiere etape de structuration est generalement

suivie d’une etape de modelisation des preferences du (des)

decideur (s) (voir Figure 2) au niveau de chaque attribut/critere incluant des informations inter-criteres comme

l’importance relative de chaque attribut/critere, des seuils,

des fonctions de valeur, etc. . . Il est vrai que le choix des

elements de modelisation des preferences n’est pas indepen-

dant a la fois de l’homme d’etude et du choix de la procedure

d’agregation multicritere (PAMC) retenue. En effet, l’homme

d’etude aurait naturellement tendance a modeliser le

probleme de facon a appliquer une methode de resolution

qu’il maıtrise le mieux. C’est ainsi qu’un statisticien verrait,

par exemple, la majorite des problemes comme des problemes

statistiques. Bien que ce soit une tendance naturelle, nous

croyons qu’il est imperatif de resister a la tentation de modeli-

ser les problemes en fonction des outils que l’on voudrait bien

appliquer. A cet egard, Landry (1998) soutient que « Reconnaı-

tre les limites des instruments dont l’aidant dispose: face a la

multiplicite des conditions dans lesquelles peut se manifester

l’activite de prise de decision, aucun instrument (outil) ne

peut pretendre tout faire avec un egal bonheur et convenir

en toute circonstance. . . »

Le modele classique en aide multicritere a la decision (A, F,

E) est ainsi enrichi en introduisant l’ensemble de tous les

elements de modelisation des preferences du (des) decideur(s)

(appele element M) pour obtenir le modele (A, F, E, M); ou

M ¼ fseuils de discrimination, seuils de veto, information

inter-criteres (coefficients d’importance relative, relations

d’ordre, . . .), fonctions d’utilite/valeur, comparaisons par

paires, fonctions criteres, etc.g. Une fois valide, l’homme

d’etude met en œuvre des outils d’analyse, comme une

PAMC, analyse de sensibilite, analyse de robustesse, analyse

par scenario, analyse de risque, . . . , afin d’elaborer une ou

des recommandation(s).

Par definition, on s’accorde pour considerer qu’une methode

multicritere (MMC) comporte une PAMC; bien que dans la lit-

terature, on utilise parfois la meme denomination pour l’une et

l’autre. Roy (1985) considere qu’une PAMC correspond a la

seule phase d’agregation. Il definit une PAMC comme «une

procedure qui permet de comparer deux actions quelconques

d’un ensemble A d’actions en prenant en compte (de facon

globale) les performances de chacune d’elles selon tous les

criteres d’une famille donnee» (Roy, 2000). Cette definition,

globalement acceptee par les tenants de l’ecole du multicritere,

suppose une distinction claire entre l’agregation et l’exploita-

tion. Or cette exploitation n’est generalement pas abordee

dans le cas des procedures appartenant a l’approche du

critere unique de synthese. Une procedure d’agregation ele-

mentaire telle que la somme ponderee etablit un score global

pour chaque action prise individuellement. L’exploitation de

ce score peut permettre de construire un rangement, un tri,

un choix, etc. Nous proposons dans le cadre de cet article de

representer par PAMCþ a la fois la procedure d’agregation

et la procedure d’exploitation. Nous convenons donc qu’une

PAMCþ est une regle (algorithme) permettant d’agreger le

tableau de performances (E) et les elements de modelisation

des preferences locales (M) en un ou plusieurs systemes rela-

tionnels de preferences (s.r.p.) sur l’ensemble des actions Aet qui exploite ces s.r.p. Par contre, nous considerons qu’une

methode multicritere est une approche systematique pour 1)

aider a structurer une situation decisionnelle (A, F, E), 2)

modeliser les preferences locales du (des) decideur (s) et 3)

appliquer une PAMCþ afin de degager des preferences

globales et parvenir a une recommandation qui puisse

repondre a la problematique decisionnelle retenue. Selon

cette definition, on peut constater alors qu’une MMC repose

necessairement sur une PAMC (meme elementaire).

Il nous semble par consequent qu’un processus d’aide multi-

critere a la decision pourrait etre vue comme un processus

recursif, non lineaire, compose de cinq etapes tel que decrit

dans l’enonce 1 et la Figure 3 (Guitouni et al., 1999b).

Enonce 1: Une demarche multicritere peut etre vue comme

un processus recursif, non lineaire, compose de cinq etapes:

i) la structuration de la situation (probleme) de decision,

ii) l’articulation et la modelisation des preferences,Figure 2. Phase de modelisation des preferences locales



iii) l’agregation de ces preferences (en vue d’etablir un ou

plusieurs systemes relationnels de preferences globales),

iv) l’exploitation de cette agregation, et enfin

v) l’elaboration de la recommandation.

Selon notre convention, une PAMCþ couvre essentielle-

ment les etapes iii) et iv) de ce processus. Pour les methodes

appartenant a l’approche du critere unique de synthese,

l’etape d’exploitation est generalement implicite. Deux

PAMCþ peuvent se differencier uniquement par leur etape

d’exploitation. Comme indique precedemment, on ne fait pas

toujours la distinction entre la methode multicritere et la

PAMCþ (qu’elle comporte). Souvent on parle de la procedure

d’agregation MAUT, ELECTRE I, PROMETHEE II, AHP. . .en voulant parler de la methode multicritere (Marchant

et Bouyssou, 1999; Marchant, 2003). Cela peut s’expliquer

par le fait que la phase ii) de la modelisation des preferences

est intimement liee a (determine meme) la PAMCþ mise en

œuvre. Comme on peut le voir dans la Figure 3, la phase de

modelisation des preferences locales fait partie de la methode

multicritere, tout comme les etapes d’agregation et d’exploita-

tion (ces deux dernieres etapes composant la PAMCþ).

Toutefois, comme une methode multicritere se differencie en

grande partie par la PAMCþ sur laquelle elle prend appui, il

nous semble utile d’isoler cette derniere afin de lui porter

une attention particuliere. Aussi, nous pensons que la caracter-

isation des PAMCþ pourrait permettre de caracteriser les

MMC.

3. CARACTERISATION DES SITUATIONSDECISIONNELLES

Du point de vue de la modelisation multicritere, une situation

decisionnelle peut etre caracterisee par l’etape de structuration

(i), celle de la determination des elements de modelisation des

preferences du (des) decideur (s) (ii) et par l’etape de recom-

mandation en fonction de la problematique decisionnelle

retenue (v). Roy (1985) a fait remarque que la PAMC mise

en œuvre doit tenir compte de la problematique decisionnelle

retenue, laquelle influence la formulation de la (des) recom-

mandation(s). En fait, differentes manieres de caracteriser

une situation decisionnelle ont ete proposees dans la litterature

(Janssen, 1992; Martel, 1995; Guitouni, 1998; etc.).

Janssen (1992) caracterise une situation decisionnelle par la

disponibilite de l’information (quantite, completude, nature),

les effets attendus (dimensions temporelle et spatiale des

effets) et l’environnement de la decision (nombre et qualite

des participants, nature de la decision). Martel (1995)

propose de caracteriser les situations decisionnelles en se

basant sur les elements structurant du probleme de decision

et son environnement (problematique decisionnelle, multipli-

cite des decideurs, aspect temporel de la decision et

l’etendue des impacts de la decision). Guitouni (1998) caracte-

rise les situations decisionnelles en se basant sur des couples

(input, output) qui caracterisent ainsi l’information a l’entree

d’une PAMCþ et les resultats que cette derniere pourrait

produire; a partir desquels la (les) recommandation(s) sera

(seront) elaboree(s). Quant a eux, Guitouni et Martel (1998)

se sont bases sur les elements descriptifs suivants d’une situ-

ation decisionnelle pour faciliter le choix d’une methode multi-

critere: les parties interessees, les limitations cognitives du

decideur, la problematique de decision et le type de recomman-

dation retenue, le type et la qualite de l’information disponible

et le niveau acceptable de compensation entre les evaluations.

Ces auteurs ont ainsi permis de poser la problematique et

d’explorer des guides pratiques pour choisir une PAMC. Le

cadre methodologique propose dans cet article a ete elabore a

partir de l’exploitation de la categorisation de l’information a

l’entree d’une PAMCþ ainsi que de la problematique decision-

nelle. Ce cadre est base sur une approche analytique et une

typologie des situations decisionnelles nouvelles conduisant a

proposer une approche normative pour la caracterisation des

PAMCþ.

Guitouni et al. (1999b) ont repris la caracterisation de

Guitouni et Martel (1998) pour se donner un cadre permettant

de verifier si les PAMCþ sont vraiment differentes. Nous

avons ainsi defini des categories generiques appelees “input”,

pour caracteriser les informations d’entree, et “output”, pour

caracteriser les resultats. Precisons que, par definition, une

information d’entree (une instance) est toute combinaison des

diverses natures des donnees (contenues dans E) a un ou plu-

sieurs elements de modelisation des preferences du (des) deci-

deur(s) (contenus dans M). Nous pouvons faire un lien entre ces

informations d’entree et les « primitives » dans Marchant etFigure 3. Representation du processus d’aide multicritere a la decision



Bouyssou (1999). On peut admettre qu’un couple (Input,

Output) represente une classe de problemes decisionnels (ou

une classe de representations de situations decisionnelles). A

titre d’exemple, supposons que les differentes actions de Asont evaluees d’une facon ponctuelle par rapport a n vrai-

criteres. Le decideur est capable de specifier des coefficients

d’importance relative pour chacun de ces vrai-criteres. Ainsi,

l’information d’entree dans ce cas est composee du tableau

de performances des actions par rapport a une famille de

vrai-criteres. On peut facilement imaginer le grand nombre

des informations d’entree que l’on peut ainsi identifier. Sans

chercher a etre exhaustif, nous en avons distingue plus de

deux cents. Compte tenu de ce grand nombre, nous avons

etabli des traits generaux permettant de caracteriser ces infor-

mations d’entree en une vingtaine d’ “inputs”. En realite, par

“input” nous cherchons a etablir une representation generique

permettant de regrouper les instances des informations a

l’entree d’une PAMCþ. Si on reprend l’exemple des vrai-

criteres et des coefficients d’importance, on peut caracteriser

cette situation par « n structures de pre-ordres avec un

vecteur d’importance relative (P) »; c’est ce que nous

appelons un input (input I17). Chacune des instances d’infor-

mation d’entree peut alors etre caracterisee par un input qui

decrit le mieux, selon nous, les systemes relationnels de prefe-

rences construits suite a la modelisation des preferences. Soient

Ij, Pj, et Qj trois relations qui representent respectivement

l’indifference, la preference stricte et la preference faible

selon un critere j. Les inputs (Ik, k ¼ 1, . . . , 24) retenus sont

definis comme suit (Guitouni, 1998):

I1. n structures fPj, Ijg de pre-ordres,

I2. n structures fPj, Ijg de semi-ordres et/ou structures fPj,

Ij, Qjg de pseudo-ordres,


Ij, Qjg de pseudo-ordres plus des seuils de veto vj,

I4. n fonctions (uj) (d’utilite (valeur) partielle) exprimees

sur des echelles intervalles,

I5. n-fonctions (uj) (d’utilite (valeur) partielle) exprimees

sur des echelles ratios,

I6. n structures fPj, Ijg de pre-ordres definies sur des evalu-

ations distributionnelles,


Ij, Qjg de pseudo-ordres definies sur des evaluations

distributionnelles,


Ij, Qjg de pseudo-ordres plus des seuils de veto vj

definies sur des evaluations distributionnelles,

I9. n structures fPj, Ijg de pre-ordres et une relation de pre-

ordre complet (�) sur les attributs,


Ij, Qjg de pseudo-ordres et une relation de pre-ordre

complet (�) sur les attributs,


Ij, Qjg de pseudo-ordres plus des seuils de veto vjet une

relation de pre-ordre complet (�) sur les attributs,


sur des echelles intervalles et une relation de pre-ordre



sur des echelles ratios et une relation de pre-ordre


I14. n structures fPj, Ijg de pre-ordres definies sur de m � n

distributions plus une relation de pre-ordre complet

(�) sur les attributs,


Ij, Qjg de pseudo-ordres definies sur des evaluations dis-

tributionnelles plus une relation de pre-ordre complet

(�) sur les attributs,



definies sur des evaluations distributionnelles plus une

relation de pre-ordre complet (�) sur les attributs,

I17. n structures fPj, Ijg de pre-ordres plus un vecteur de coef-

ficients d’importance relative (P) des attributs,


Ij, Qjg de pseudo-ordres plus un vecteur de coefficients

d’importance relative (P) des attributs,


Ij, Qjg de pseudo-ordres plus des seuils de veto vj plus

un vecteur de coefficients d’importance relative (P)

des attributs,


sur des echelles intervalles plus un vecteur de coeffi-

cients d’importance relative (P) des attributs,


sur des echelles ratios plus un vecteur de coefficients

d’importance relative (P) des attributs,

I22. n structures fPj, Ijg de pre-ordres definies sur de m � n

distributions plus un vecteur de coefficients d’import-

ance relative (P) des attributs,


Ij, Qjg de pseudo-ordres definies sur des evaluations dis-

tributionnelles plus des coefficients d’importance

relative (P) des attributs,



definies sur des evaluations distributionnelles plus des

coefficients d’importance relative (P) des attributs.

Comme on peut le constater, les differents inputs permettent

de regrouper plusieurs instances d’entree differentes. Nous

reconnaissons le caractere subjectif et partiel de cette liste.

En fait, on pourrait vouloir raffiner et completer ces inputs.

De plus, l’examen de ces inputs suggere que certains d’eux

peuvent etre consideres comme des cas particuliers de



certains autres. Toutefois, rappelons que la definition de ces

instances n’est pas l’objet de cet article.

Comme indique precedemment, la situation decisionnelle

est aussi caracterisee par la problematique decisionnelle

retenue. Il est vrai que, dans certaines situations, le decideur

peut avoir une idee assez vague ou parfois ambigue sur ses

attentes concernant un processus d’aide a la decision. On

peut parler dans ces situations d’aide a la structuration ou

encore a la construction du sens (Landry, 1998). Afin de

preciser en quels termes l’homme d’etude pourrait poser le

probleme, Roy (1985) a propose quatre problematiques deci-

sionnelles de reference. Ces problematiques sont la problema-

tique de la description P.d, la problematique du choix P.a, la

problematique de tri P.b, et la problematique du rangement

P.g. Meme si certains comme Bana e Costa (1993) souleve

d’autres problematiques decisionnelles, nous nous limiterons

a celles proposees par Roy (1978). Bien que la problematique

de description (et/ou de la formulation) ne soit pas pertinente

dans le contexte de cet article, elle est tout a fait indiquee dans

le cadre de l’etape de structuration. La famille des MMC

mettant en œuvre une PAMC ELECTRE, par exemple,

comporte des procedures propres aux problematiques du

choix, du tri et du rangement. Pour des fins d’illustration,

nous avons retenu les sept outputs suivants:

O1. evaluation globale (un score global de niveau au moins

ordinal, par exemple): cette situation traduit la volonte

de construire un critere unique de synthese. Le score

ainsi obtenu devrait etre interprete avec prudence vu

qu’il est l’aboutissement d’agregation de modelisations

basees sur des criteres generalement conflictuels et

non-commensurables,

O2. un rangement total des actions en considerant un seuil

d’indifference (f�, �g: une structure de semi-ordre

total): l’introduction de seuils permet d’introduire des

nuances ou limiter certaines conclusions (de surclasse-

ment) par exemple,

O3. un rangement total des actions avec possibilite d’ex

aequo (f�, �g: une structure de preordre total):

l’objectif dans ce cas est souvent le rangement des

actions de la meilleure a la moins bonne. Dans ce cas,

toutes les actions sont comparables; il est possible de

les discriminer,

O4. un rangement partiel des actions en considerant l’incom-

parabilite (f�, �f, �, ?g: une structure de pre-ordre

partiel): cet output reprend l’idee de l’output precedent

tout en considerant qu’il est possible de ne pas pouvoir

discriminer entre certaines actions de A; on accepte

l’incomparabilite,

O5. choix de la meilleure action ou d’une classe d’equival-

ence des meilleures actions,

O6. choix d’un sous-ensemble d’actions parmi lesquelles se

trouve(nt) la (les) meilleure(s) action(s),

O7. tri ordonne: affecter les actions de A a des categories

predefinies et ordonnees.

Cette structure d’outputs pourrait etre enrichie et completee.

La construction d’une matrice avec les inputs sur les lignes et

les outputs sur les colonnes, nous a permis de caracteriser

quelque 1400 situations decisionnelles differentes; en fait

cette matrice ne comporte pas 1400 cellules puisque plusieurs

informations d’entree se retrouvent caracterisees par le meme

input (tableau 1).

Ces diverses manieres de caracteriser les situations deci-

sionnelles donnent, selon nous, un bon apercu de leur grande

diversite. Il serait donc a priori raisonnable de penser qu’une

meme PAMCþ ne puisse etre appropriee pour toutes ces situ-

ations decisionnelles. Il est alors interessant de se demander si

les PAMCþ sont vraiment si differentes et par le fait meme si

les MMC le sont? Une reponse affirmative a cette question

pourrait etre reconfortante. Par contre, si elle est infirmative

cela devrait nous interpeller. En effet, l’infirmation implique-

rait que l’activite de production de connaissances et la creati-

vite sont plutot faibles dans le champ de l’aide multicritere a

la decision. Toutefois, dans le cas de l’affirmation, on doit se

demander si les differentes MMC permettent de traiter toutes

les situations decisionnelles susceptibles d’etre rencontrees

ou de traiter differemment les memes situations decisionnelles

? Dans ce dernier cas, on pourrait se demander s’il existe un

cadre de reference pour s’assurer de la « validite » des resultats

produits par ces MMC. Sur quelle base pourrait-on justifier

l’interet de pouvoir traiter differemment la meme situation

decisionnelle? Autant de questions qu’on est en droit de

se poser.

4. CARACTERISATION DES PAMC1

L’etape d’application d’une PAMCþ basee sur les elements de

modelisation des preferences est generalement effectuee de

maniere a repondre a une problematique decisionnelle specifi-

que ou en vue d’une recommandation (prescription) particu-

liere: un output. Soient I et O deux ensembles respectivement

des inputs et des outputs. Ayant caracterise une situation deci-

sionnelle par un couple (input, output), une cellule de la

matrice, on peut definir une PAMCþ comme un algorithme

mathematique permettant de transformer un input I [ I en

output O [ O; c’est-a-dire une application de I dans O (voir

Figure 4).

L’etude d’un bon nombre (une trentaine) de PAMCþ nous a

permis de les associer aux differentes cellules de la matrice

(input, output) ainsi construite. Le resultat de cette etude est

represente par le tableau 2. Une PAMCþ se retrouve dans

une cellule de cette matrice d’une maniere naturelle ou

encore suite a l’application de relations de propagation par gen-

eralisation ou par specification des inputs d’une part, et par une

relation de deduction entre les outputs d’autre part (Guitouni,

1998; Guitouni et al., 1999b). Prenons par exemple le cas de

la procedure de Borda (1781) ou celle de Condorcet et Caritat



TABLEAU 1

Caracterisation des situations decisionnelles et identification de PAMCþ appropriees (Guitouni, 1998)

Output

Input O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

I1 Borda ELECTRE IV Borda Conjonctive

Condorcet Condorcet Disjonctive





I4 Borda MaxiMin Conjonctive

Condorcet Borda Condorcet Disjonctive... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

.

I19 Borda ELECTRE III Lexicograph. ELECTRE IS ELECTRE Tri

Condorcet ELECTRE IV Borda Conjonctive

REGIME ORESTE Condorcet Disjonctive

QUALIFEX ELECTRE II REGIME ELECTRE I

PROMETHEE II PROMETHEE I QUALIFEX

NAIADE II NAIADE I PROMETHEE II

PAMSSEM II PAMSSEM I NAIADE II

PAMSSEM II

I20 Somme Pond. MAVT MELCHIOR MaxiMin Conjonctive

MAUT SMART ELECTRE II MaxiMin flou Disjonctive

TOPSIS UTA Somme Pond. ELECTRE I

Som. Pd. Flou Borda MAUT

AHP Condorcet TOPSIS

REGIME Som. Pd. flou

QUALIFEX AHP

Somme Pond. MAVT

MAUT SMART

TOPSIS UTA

Som. Pd. flou Borda

AHP Condorcet

REGIME

QUALIFEX

I21 Somme Pond. Borda MELCHIOR MaxiMin flou Conjonctive

AHP Condorcet ELECTRE II MaxiMin Disjonctive

Som. Pd. flou REGIME Som. Pd. flou ELECTRE I

MAUT QUALIFEX AHP

TOPSIS MAVT Somme Pond.

SMART MAUT

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Som. Pd. flou Borda

AHP Condorcet

Somme Pond. REGIME

MAUT QUALIFEX

TOPSIS MAVT

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. ... ..

.

I24 PAMSSEM II PAMSSEM I NAIADE II

NAIADE II NAIADE I PAMSSEM II



(1785). Ces deux procedures sont des procedures ordinales,

c’est-a-dire qu’elles peuvent traiter un tableau de performances

E ou les evaluations sont exprimees sur des echelles ordinales.

Ce cas est represente par l’input I1. Rien n’empeche alors

l’application de l’une ou l’autre de ces deux procedures aux

cas ou les evaluations sont cardinales (echelles de niveau ratio

ou intervalle), comme represente par l’input I2, I3, I4. . . Par

consequent, on peut utiliser ces deux procedures pour les

situations d’entree caracterisees par ces derniers inputs. Par

ailleurs, prenons le cas de la procedure ELECTRE III (Roy,

1978). ELECTRE III peut etre appliquee aux cas ou on a des

pseudo-criteres et des seuils de veto vj avec l’etablissement de

coefficients d’importance relative entre ces criteres. Cette situ-

ation d’entree correspond a I19. Toutefois, on peut admettre

qu’un vrai-critere est un cas particulier d’un pseudo-critere.

Donc, la procedure ELECTRE III peut alors etre appliquee a

l’input I17. Enfin, les differentes procedures de l’approche du

critere unique de synthese aboutissent a un score global pour

chaque action de A. Rien n’empeche d’utiliser ce score pour

ranger les actions en ordre decroissant de la valeur de ce

score, pour choisir celle(s) ayant la meilleure performance,

etc. De plus, l’examen des differentes PAMCþ adressant la

meme problematique revele que celles-ci peuvent avoir des par-

ticularites aux niveaux des resultats produits.

La dimension de la matrice (input, output), presentee au

tableau 1, n’est pas fixee a priori; c’est-a-dire qu’il est

possible d’ajouter d’autres lignes et d’autres colonnes.

L’analyse de cette matrice (input, output) a permis de constater

que les PAMCþ ne se retrouvent pas necessairement toutes

dans les memes cellules. Donc, on peut conclure que les

PAMCþ sont differentes dans le sens qu’elles ont ete

concues pour traiter des situations decisionnelles differentes;

ce qui d’une certaine maniere n’est pas sans interet et semble

justifier la necessite de plusieurs MMC. Rappelons que les

PAMCþ qui se retrouvent dans la meme cellule sont conside-

rees convenables (candidates) pour traiter la situation deci-

sionnelle representee par le couple (input, output) de cette

cellule.

L’examen de la matrice (input, output) montre qu’il y a

des concentrations de PAMCþ dans certaines cellules de la

matrice (input, output), tandis que plusieurs autres cellules

sont vides ou presque. Qu’est-ce qui pourrait expliquer

l’absence de PAMCþ dans certaines cellules et leurs concen-

trations dans d’autres ? Les cellules a fortes concentrations

de PAMCþ correspondraient-elles a des situations decision-

nelles plus frequemment rencontrees et qui auraient ete

l’objet d’efforts plus intenses de la part des « developpeurs »

de MMC ? Ou est-ce que les situations decisionnelles represen-

tees par ces cellules comporteraient un degre de complexite tel

qu’aucune PAMCþ ne semblait reellement satisfaisante et a

donc conduit a en developper d’autres? Peut-on affirmer que

toutes les PAMCþ affectees a une meme cellule ne sont pas

tres differentes? Si cela etait vrai (pour une cellule donnee),

pourrait-on quand meme pretendre a la necessite de disposer

de plusieurs MMC? Pour juger de la difference entre les

PAMCþ, il faut se donner une grille de references ou d’« exi-

gences » que l’on trouverait naturel que ces PAMCþ satisfas-

sent. Dans le cas de cellules a grande concentration, les

exigences pourraient aider a discriminer les PAMCþ entre

elles, tandis que dans les cellules vides ou presque, la grille

de references pourrait etre vue comme un cadre d’aide au

developpement de PAMCþ pour les situations decisionnelles

representees par ces cellules.

5. PROPRIETES DES PAMC1

La revue de la litterature permet d’identifier un ensemble d’exi-

gences (axiomes, proprietes, etc.) qui paraissent « naturelles »

pour comparer des PAMCþ d’une meme cellule de la matrice

(Input, Output). Vincke (1992) a propose d’examiner diffe-

rentes procedures d’exploitation a la lumiere de proprietes

telle que le respect des donnees, la neutralite, l’independance

vis-a-vis des actions non pertinentes, la monotonie, la domi-

nance, ainsi que l’independance vis-a-vis les meilleures/les

mauvaises actions. Dans un autre article, Vincke (1994) a

cherche a examiner deux PAMC par rapport a la neutralite,

la monotonie, le respect des donnees, la coherence et

l’anonymat. Perez et Barba-Romero (1994, 1995) ont suggere

de considerer des proprietes telle que l’homogeneite, la neutra-

lite, l’anonymat, la fidelite, le respect de la majorite simple, et

les coherences interne et externe. Landsdowne (1996) a

propose une liste de proprietes qui comprend le respect du

principe de Condorcet, le gagnant/perdant de Condorcet,

l’independance selon la proposition d’Arrow et Raynaud

(1986). Pirlot (1997) a retenu plusieurs proprietes qui devrai-

ent, selon lui, etre utilisees dans un sens descriptif. Ces pro-

prietes incluent la neutralite, la monotonie, l’independance,

la semi-ordinalite et le respect du principe de Pareto.

Bouyssou et Vincke (1997) ont identifie des proprietes que

devraient respectees les procedures du surclassement de

synthese. Ces proprietes sont la fidelite, le respect des

donnees, l’independance vis-a-vis les actions non-pertinentes,

les meilleures et les plus mauvaises.

D’autres auteurs ont propose des exigences qui, bien que

justifiees, ne pourraient etre « objectivement » verifiees. A

titre d’exemple, Al-Shemmeri et al. (1997) ont propose de

Figure 4. Representation d’une PAMCþ



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considerer la facilite d’utilisation des methodes, l’intelligibilite

des resultats et leur stabilite. Ozernoy (1992) a suggere de

retenir entre autre la convivialite du logiciel de soutien a la

methode. Ce qui sous-entend que l’existence d’un logiciel

pour soutenir la methode est un aspect important a considerer

lorsque vient le temps de choisir une methode.

La notion de compensation est une autre propriete impor-

tante a considerer. A notre connaissance, Bouyssou (1986) et

Bouyssou et Pirlot (2004) sont parmi les auteurs a avoir

discute cette propriete qui a ete introduite formellement par

Fishburn (1976, 1978). Il est a noter que cette notion bien

qu’importante a recu peu d’attention formelle dans la litterature

multicritere. Par ailleurs, la revue de la litterature sur la theorie

du choix social revele que plusieurs auteurs ont cherche a

proposer des proprietes pertinentes au contexte des PAMCþ.

A titre d’exemple, Richelson (1978, 1981) a propose de

retenir des proprietes comme le respect des conditions de Con-

dorcet, de la monotonie, de l’independance, de la compen-

sation et de la dominance.

Il n’est pas facile de proposer des proprietes qui fassent con-

sensus et qui soient appropriees a tous les couples de la matrice

(input, output). Par consequent, nous estimons qu’au mieux

nous pouvons souhaiter un ensemble de proprietes qui ont cer-

taines justifications theoriques et pragmatiques. Ces proprietes

ne sont pas uniques, universelles et exhaustives. Nous estimons

que les proprietes a retenir devraient etre a la fois normatives et

descriptives. Des proprietes comme la neutralite, l’anonymat,

la monotonie et certaines proprietes d’independance font

l’unanimite au sein de la communaute en aide multicritere a

la decision.

D’autres exigences ont des justifications pragmatiques ou

theoriques suffisantes pour qu’on les considere dans la compa-

raison de PAMCþ. Par exemple, la fidelite, le respect des

donnees, le respect de la dominance sont des proprietes norma-

tives qui ont beaucoup de bon sens. La convivialite, la trans-

parence, l’explication et l’analyse des resultats, et le

traitement des donnees manquantes sont des proprietes qui

decoulent de plusieurs etudes en sociologie et en psychologie

de la decision, ainsi que des lecons tirees de cas d’application.

Le traitement des donnees manquantes est une propriete qui

s’impose dans les situations ou on est incapable d’obtenir cer-

taines donnees ou encore qu’il est non pertinent de chercher a

les obtenir. Dans ces circonstances, on se retrouve avec un

tableau multicritere comportant des trous. Le respect du

niveau de mesure des donnees est une propriete associee a la

theorie du mesurage. La theorie du mesurage est en fait concer-

nee par ce passage de l’information brute aux donnees; ces der-

nieres etant des representations de l’information brute.

« Malheureusement, cette theorie a ete encore assez peu

exploitee dans le domaine de l’aide a la decision. . . » (El

Ghazi et Martel, 1996; Martel et Roy 2005). La theorie du

mesurage (Krantz et al., 1971) nous enseigne qu’il faut tenir

compte entre autre des transformations admissibles des

echelles de mesure si l’on est soucieux de cla signifiance.P1

3N

ivea

ud

e

tran

spar

ence

Al-

Sh

emm

eri

etal

.(1

99

7);

Oze

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y(1

99

2)

C’e

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etc.

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P1

4T

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cert

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set

no

n-

per

tin

ente

s)

...

Au

tres

exig

ence

s

...

...



Les definitions des niveaux de mesure devraient etre conside-

rees lors de la caracterisation des procedures d’agregation mul-

ticritere afin de verifier si celles-ci sont signifiantes ou non face

aux transformations admissibles selon la theorie du mesurage.

Remarquons que nous avons essaye de tenir compte de la sig-

nifiance dans la definition des inputs et des outputs, ainsi que

lors de l’affectation des PAMCþ aux cellules de la matrice.

Toutefois, une verification systematique des traitements

propres a chaque PAMCþ devrait etre realisee afin de

s’assurer du respect implicite (verification endogene) de cette

propriete.

Sans chercher a formaliser ces differentes proprietes, nous

avons juge bon de retenir des definitions pour les proprietes

suivantes: neutralite, anonymat, fidelite, monotonie, signi-

fiance, respect de la dominance, independance, niveau de com-

pensation, niveau de convivialite, niveau de transparence,

possibilite d’analyse de sensibilite et/ou de robustesse et trai-

tement des donnees manquantes. Au tableau 2, nous proposons

une serie de definitions des proprietes (exigences) retenues afin

d’illustrer leur portee. Soit C une procedure d’agregation mul-

ticritere. Soient ai, aj et ak trois actions de l’ensemble A. Le

resultat final peut correspondre a un des outputs proposes

auparavant. En fait, le resultat final devrait etre pris dans le

sens des preferences globales (Guitouni, 1998).

Rappelons que ces differentes exigences ou proprietes ne

sont pas uniques et n’ont pas un caractere d’universalite. Il

est egalement possible de proposer des definitions pour ces pro-

prietes qui seraient differentes de celles que nous avons

donnees. De plus, le sens et la formulation de ces proprietes

devraient differer pour les phases de l’agregation et de l’exploi-

tation d’une meme PAMCþ (a deux etapes). Ce ne sont pas

necessairement les memes exigences qui seraient retenues

pour toutes les cellules de la matrice (input, output). Ainsi,

dans chaque cellule on peut retenir une serie d’exigences spe-

cifiques. A la lumiere des exigences pertinentes, on peut

chercher a examiner les PAMCþ associees a une meme

cellule pour determiner si chacune d’elle respecte ces exi-

gences. A titre d’exemple, soit une cellule (Ii, Oj) contenant

deux PAMCþ: PAMCþ1 et PAMCþ2. La comparaison de

ces deux PAMCþ peut conduire a un resultat comme celui

represente par le tableau 3, ou Pj represente la propriete concer-

nee j ( j ¼ 1, 2, 3, . . .). Dans ce cas, « Oui » represente que la

PAMCþ respecte la propriete, tandis que « Non » represente

le non-respect. Pour d’autres proprietes on peut avoir recours

a une graduation comme par exemple « T », « P » ou « N »

qui expriment respectivement totalement, partiellement et

non, ou encore « E », « M », et « F » pour eleve, moyen et

faible. Les cellules laissees vides indiquent que la verification

n’a pas ete effectuee ou encore des situations ou on « ne

sait pas ».

A la lumiere des proprietes retenues, nous avons examine

certaines PAMCþ ce qui nous a permis de verifier qu’en

general elles ne satisfont pas toutes ces proprietes d’une part,

et qu’elles ne satisfont pas les memes proprietes d’autre part.

TA

BL

EA

U3

Res

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ats

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des

pro

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cas

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cell

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(Ii,

Oj)

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P2

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P4

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P6

P7

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13

P1

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nO

ui

Ou

iT

EO

ui

No

n

PA

MCþ

2O

ui

Ou

iO

ui

No

nP

MO

ui

Ou

i



Ce resultat suggere qu’il est opportun d’avoir plusieurs

PAMCþ dans une meme cellule de la matrice (Input,

Output). En effet, disposer de plusieurs PAMCþ dans une

cellule de la matrice est souhaite pour offrir un coffre a outils

a l’homme d’etude. Ce dernier, a l’image d’un mecanicien,

doit se doter de reperes (la grille de references) pour juger de

l’utilisation de l’un ou l’autre de ces outils. De plus, nous

estimons que la diversite des PAMCþ dans une meme

cellule devrait etre vue comme un element de flexibilite dans

le processus de modelisation des preferences du (des) deci-

deur(s). Dans la section suivante, nous illustrons l’application

de la methodologie proposee.

6. ILLUSTRATION ET DISCUSSION : COUPLE (I21, O1)

Afin d’illustrer la verification des proprietes, nous avons retenu

la case (I21, O1) du tableau 1 afin d’illustrer l’approche

proposee. Cette case est formee de l’ensemble: fSomme

Ponderee, AHP� (Saaty, 1977), Somme Ponderee Floue

(Dubois et Prade, 1982), MAUT (Keeney et Raiffa, 1976),

TOPSIS (Hwang et Yoon, 1981)g. Il faut rappeler que la carac-

terisation des situations decisionnelles est le fruit de la mode-

lisation du processus d’aide a la decision. Les situations

d’entree, qui sont caracterisees par les inputs, representent

l’information a l’entree d’une PAMCþ, tandis que les

attentes par rapport au processus sont les extrants d’une

PAMCþ. Chaque PAMCþ est alors associee a un ou plusieurs

couples (I, O). Mais, comment s’assurer de realiser cette corre-

spondance correctement? Pour ce faire, nous exploitons les

descripteurs suivants (Guitouni et Martel, 1998) : articulation

des preferences, problematique decisionnelle, nature des

donnees admissibles, caracteristiques des donnees admissi-

bles, pouvoir discriminant des criteres, la logique compensa-

toire, l’information inter-criteres, hypotheses sous-jacentes,

algorithme de traitement, et la disponibilite d’un logiciel de

soutient a la PAMCþ. Nous nous sommes bases sur l’infor-

mation disponible dans la litterature afin de caracteriser les

PAMCþs etudiees.

Rappelons que notre demarche consiste, une fois que des

PAMCþ sont associees a un couple (I, O), a verifier si ces

PAMCþ possedent ou non les proprietes retenues a la

section precedente. Remarquons que toutes les procedures de

la case (I21, O1) appartiennent a l’approche du critere unique

de synthese; il n’existe aucune procedure appartenant a

l’approche du surclassement de synthese. Il est a noter que la

verification des proprietes pour les procedures du premier

type est plus facile que pour celles du deuxieme type. De

plus, toutes les procedures de la case (I21, O1) sont basees sur

un modele additif (sauf pour MAUT qui peut etre multiplicatif

ou mixte) et conduisent a une evaluation absolue (et non

relative) des actions.

Il importe de rappeler que la procedure AHP n’utilise pas

une modelisation (A, F, E). Toutefois, nous avons convenu

de ne considerer que le dernier niveau d’AHP. Ce niveau cor-

respond selon nous a l’agregation. Cette agregation est

simplement une somme des evaluations obtenues sur une

echelle « ratio », vecteur de priorite associee a chaque action,

ponderee par les importances relatives des criteres/attributs.

Pour distinguer ce que nous caracterisons de la vraie version

d’AHP, nous allons utiliser la notation AHP� pour indiquer

la phase agregation au dernier niveau de la hierarchie. De

plus, un vecteur propre d’AHP est obtenu a partir de comparai-

sons par paire. La signification des composantes de ce vecteur

et leur role ne sont pas clairs. C’est pourquoi nous conseillons

de prendre les resultats de la verification dans le cas d’AHP

avec prudence. Nous rappelons a cet egard les points suivants:

. nous caracterisons le dernier niveau de la hierarchie: c’est la

phase ou on obtient une valeur globale pour chaque action,. l’input I21 represente des evaluations sur une echelle ratio.

On ne questionne pas ici la maniere d’obtenir ces

evaluations,. nous relevons la difficulte d’interpretation des coefficients de

ponderation obtenus du vecteur propre; ces coefficients n’ont

pas necessairement la meme signification que dans le cas du

modele additif classique.

Propriete P1: Neutralite

Les differentes procedures du couple (I21, O1) sont basees sur

un modele additif et/ou un modele multiplicatif. Soit j(A)

une permutation de A. On a

si A0 ¼ jðAÞ; jA0j ¼ jAj ) 8a0i [ A0; 9ai [ A=a0i ; ai

a0i ; ai , gjða0iÞ ¼ gjðaiÞ; 8gj [ F

ð1Þ

Dans le cas d’un modele additif GWS on obtient:

GWSA=FðaiÞ ¼

Xn

j¼1

pj � gjðaiÞ ¼Xn

j¼1

pj � gjða0iÞ ¼ GWSA=F

ða0iÞ ð2Þ

L’expression (2) prouve qu’une PAMCþ basee sur un

modele additif de type somme ponderee respecte la neutralite.

C’est le cas des procedures AHP�, la somme ponderee et

MAUT additive qui verifient l’axiome de la neutralite. Dans

le cas du modele multiplicatif, on obtient:

GcA=FðaiÞ ¼

Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjðaiÞ�

¼Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjða0iÞ� ¼ GcA=F

ða0iÞ ð3Þ

Ce qui prouve encore qu’une PAMCþ basee sur un modele

multiplicatif respecte la neutralite; c’est le cas de la procedure

MAUT multiplicative. Toutes les PAMCþ de la case (I21, O1)

basees sur ces deux modeles d’agregation verifient la propriete

de neutralite. Seule la procedure TOPSIS utilise un modele

base sur la notion de distance (Hwang et Yoon, 1981). Par

ailleurs, la somme ponderee floue consiste a representer les

poids des criteres et les evaluations des actions par des

nombres flous. L’evaluation globale d’une action est donnee



par “l’utilite floue”. Il est facile de demontrer que TOPSIS et la

somme ponderee floue respecte l’axiome de neutralite.

Propriete P2: Anonymat

De la meme maniere que precedemment, on cherche a verifier

si les procedures de la case (I21, O1) respectent l’exigence de

l’anonymat. Nous chercherons a les verifier en premier lieu

pour les modeles additif et multiplicatif. Soit j(F) une permu-

tation de F. On a

siF0 ¼ jðFÞ; jF0j ¼ jFj ) 8g0j [ F0; 9gj [ F=g0jðaiÞ

¼ gjðaiÞ; 8i ð4Þ

Dans le cas d’un modele additif on obtient,

GWSA=FðaiÞ ¼

Xn

j�1

pj � gjðaiÞ ¼Xn

j¼1

pj � g0jðaiÞ

¼ GWSA=F0ðaiÞ ½5�

Une PAMCþ basee sur un modele additif de type somme

ponderee verifie l’anonymat. C’est le cas des procedures

AHP�, somme ponderee et MAUT additive. Dans le cas du

modele multiplicatif, on obtient:

GcA=FðaiÞ ¼

Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjðajÞ�

¼Yn

j¼1

½1þ K � pj � g0jðajÞ� ¼ GCA=F0

ðaiÞ ð6Þ

Une PAMCþ basee sur un modele multiplicatif respecte

l’anonymat. Il est aussi facile de demontrer que TOPSIS et la

somme ponderee floue verifient cette propriete.

Propriete P3: Fidelite

Toutes les procedures du couple (I21, O1) verifient la propriete

de la fidelite. La demonstration est presentee dans l’annexe A.

Propriete P4: Monotonie


de la monotonie. La demonstration est presentee dans

l’annexe B.

Propriete P5: Respect des donnees

Rappelons que cette propriete est divisee en deux aspects:

respect des inputs et respect de la signifiance. Le fait

d’associer une PAMCþ a un niveau d’input tient compte de

la signifiance. De plus, l’input I21 est de niveau ratio. Toutes

les procedures dans le case (I21, O1) mettent en oeuvre des

transformations autorisees par la theorie du mesurage pour ce

niveau de mesure. Donc, on peut conclure que ces PAMCþ

respectent la signifiance.

Le respect de l’input represente l’exigence pour une pro-

cedure de ne pas negliger la richesse de l’information. Or,

cette condition est verifiee dans le cas I21. Donc, les

PAMCþ dans les cases (I21, O1) et (I21, O3) respectent les

inputs.

Propriete P6: Respect de la dominance


de la dominance. La demontration est presentee dans

l’annexe C.

Proprietes P7, P8 et P9: Independances

Le premier principe d’independance P7 concerne l’exigence

que les conclusions relatives entre deux actions, ne devraient

pas dependre des autres actions de l’ensemble A. A notre

avis, c’est l’exigence la plus elevee d’independance. Rappelons

que, selon les modeles additif et multiplicatif, l’evaluation

globale d’une action ai est une fonction uniquement des evalu-

ations eij sur chacun des criteres et de l’importance relative pj

de chaque critere. Par consequent, la comparaison des perfor-

mances globales entre deux actions ai et ak est representee

par la comparaison, respectivement, entre GWSA/F(ai) et GWSA/

F(ak) entre GMA/F

(ai) et GMA/F(ak). Ce score global d’une

action ne depend que des performances de cette derniere

par rapport aux differents criteres/attributs. Donc, de toute

evidence les procedures basees sur un modele additif ou

multiplicatif verifient l’independance.

Par consequent, les procedures de la case (I21, O1) basees sur

un modele additif ou un modele multiplicatif verifient les

proprietes d’independance P7, P8 et P9. La demonstration de

la verification est triviale. Par ailleurs, la verification des

differents axiomes d’independance dans le cas de TOPSIS est

presentee dans l’annexe D. Dans le cas de la somme

ponderee floue, le calcul des bornes de l’intervalle de l’utilite

floue Ui ne depend que des valeurs des extremites des inter-

valles representant les evaluations floues. Donc, le calcul de

cette utilite est independante des autres actions. D’autant plus

que le calcul des extremites Uiminet Uimax

est basee sur un

modele additif.

Propriete P10: Niveau de compensation

Malgre l’existence de quelques travaux formels en analyse de

la compensation, comme ceux de Fishburn (1976), Bouyssou

et Vansnick (1986), nous avons choisi d’etablir, qualitative-

ment, le niveau de compensation de chacune des procedures.

Ce choix est largement justifie par les divergences dans la lit-

terature autour de la question. De plus, la signification meme

de la compensation ne fait pas l’unanimite. Dans le cas des pro-

cedures du couple (I21, O1), nous nous basons sur des resultats

proposes dans la litterature (par exemple Vincke

(1989), Guitouni et Martel (1998), Roy et Bouyssou

(1993), Tecle (1988). . .). Ces procedures sont basees sur un

modele additif ou encore sur un modele multiplicatif. Rappe-

lons que ces deux modeles consistent a construire un systeme

relationnel de preference de type fP, Ig, de sorte qu’entre

deux actions il ne peut exister qu’une preference stricte de



l’une par rapport a l’autre ou une indifference entre les deux.

Les poids associes aux criteres representent une sorte de taux

de substitution.

En general, on considere ces deux modeles comme etant

compensatoires. Toutefois, rappelons que l’on ne traite pas

directement les evaluations. A part la somme ponderee, les

autres procedures construisent des fonctions (d’utilite, floues,

ou encore une mesure de distance). Puis, on cherche a

agreger des valeurs de ces fonctions et non pas les evaluations

initiales (donnees). Pour cela, nous considerons que les pro-

cedures MAUT, Somme ponderee floue, AHP et TOPSIS

sont partiellement compensatoires au niveau des evaluations.

Toutefois, nous sommes entrain de caracteriser ces procedures

en fonction de l’input I21. A ce niveau, ces procedures sont

totalement compensatoires au niveau des inputs. La somme

ponderee est totalement compensatoire aux deux niveaux.

Propriete P11: Niveau de convivialite

Nous avons un certain malaise avec cette propriete. En fait,

cette propriete concerne ce que nous avons convenu

d’appeler une methode multicritere (MMC), et son outil de

support (logiciel). Toutefois, rappelons que nous avons dit

qu’une PAMCþ est generalement associee a une MMC.

Donc, on peut trouver des arguments pour retenir cette

propriete.

La procedure AHP est generalement jugee conviviale. C’est

ce qui explique qu’elle est probablement l’une des methodes

les plus utilisees. La procedure MAUT est plus difficile a qua-

lifier. Pour certains, elle serait conviviale, surtout pour les per-

sonnes qui utilisent l’utilite ou des modeles econometriques

dans leurs raisonnements. Par contre, elle peut paraıtre difficile

a mettre en oeuvre a cause de ses exigences informationnelles.

Nous croyons que ce dernier argument est plus fort. Par conse-

quent, nous considerons que la procedure MAUT represente un

niveau de convivialite faible. C’est la une question de

jugement. Par ailleurs, les procedures somme ponderee et

TOPSIS nous paraissent assez conviviales parce qu’elles sont

“naturelles” et utilisent directement les donnees. Toutefois,

l’obtention des coefficients pj peut representer un defi de

taille. En effet, ces coefficients representent des taux de substi-

tution. Par consequent, nous considerons que ces deux pro-

cedures ont un niveau de convivialite moyen. La somme

ponderee floue se trouve dans la meme situation que la pro-

cedure MAUT: comment determiner les fonctions d’apparte-

nance floue? De plus, le role des operateurs flous n’est

souvent pas facile a expliquer.

Propriete P12: Niveau de transparence

Cette propriete reflete l’exigence d’eviter l’effet boıte noire.

Nous estimons que toutes les procedures de la case (I21, O1)

sont transparentes. La raison est que toutes ces procedures

reposent sur des modeles naturels ou encore facilement expli-

cables a l’exception peut etre de la somme ponderee floue.

Propriete P13: Possibilite d’analyse de sensibilite(et/ou de robustesse)

A l’exception peut etre d’AHP et de la somme ponderee floue,

il est facile de faire des analyses de sensibilite. Par ailleurs, si

l’on se limite au dernier niveau d’AHP, il est egalement facile

de faire ce type d’analyse. Toutefois, la prise en compte des

autres niveaux de la hierarchie peut rendre la tache plus diffi-

cile. La procedure TOPSIS se prete relativement bien a cette

analyse. Dans le cas de la somme ponderee floue, il est

possible de verifier l’impact de la variation de certains para-

metres (tels que les niveaux de coupe).

L’analyse de robustesse est un concept relativement recent.

Nous considerons qu’il faut tout d’abord developper des

demarches operationnelles pour cette analyse. Puis, il serait

possible d’evaluer les possibilites d’implanter cette analyse

pour certaines procedures. Donc, seule la possibilite

d’analyse de sensibilite est prise en compte ici.

Propriete P14: Traitement des donnees manquantes

Les procedures de la case (I21, O1) ne prevoient pas le traite-

ment de donnees manquantes. Il nous semble qu’il est difficile

de trouver une demarche pour implanter un traitement special

aux donnees manquantes. Ceci s’explique par le fait que ces

procedures aboutissent a une evaluation globale.

Resultats de la verification

La verification des proprietes dans le cas des PAMCþ asso-

ciees au couple (I21, O1) conduit aux resultats exprimes par

le theoreme 1. Dans ce cas, le symbole O dans une case veut

dire la procedure correspondante verifie la propriete en

question; le symbole N c’est la non verification de la propriete.

Les symboles T, P et Nc sont utilises dans le cas de la propriete

(P10) pour designer respectivement compensation totale, com-

pensation partielle et non compensation. E, M et F designent

respectivement eleve, moyen et faible pour la propriete (P11).

Theoreme 1:

Une procedure satisfait une propriete si et seulement s’il existe

un oui “O” dans la cellule correspondante du tableau de verifi-

cation des proprietes suivant:

Le resultat de la verification des proprietes pour les pro-

cedures associees au couple (I21, O1) est fait en tenant

compte du niveau des donnees d’evaluations et des elements

de modelisation des preferences locales representes par

l’input I21. A titre d’exemple, les coefficients d’importance

doivent representer des taux de substitution. Or, on sait a

quel point il est difficile d’obtenir de tels coefficients. L’obten-

tion de fonctions d’utilite partielle de niveau ratio n’est pas non

plus une tache facile. Par consequent, il faut mettre les resultats

de cette verification en rapport avec les exigences information-

nelles correspondantes a l’input I21. D’une certaine facon, nous

avons cherche a caracteriser le role essentiel des differentes

PAMCþ qui est celui de l’agregation et eventuellement de

l’exploitation.



La presentation d’un tableau (comme le tableau 4) pour

chaque couple (I, O) est l’aboutissement de la demarche que

nous preconisons pour aider au choix de la procedure la plus

appropriee. Il importe de souligner qu’il est legitime de

s’attendre a des theoremes d’impossibilite a la lumiere du

theoreme d’impossibilite d’Arrow (Arrow 1951). Ainsi, nous

croyons apporter un element de reponse a la question de

savoir comment choisir la PAMC qui convient le mieux a

une situation decisionnelle. Il est possible de construire, pour

les cases ou il y a plusieurs PAMCþ, des arbres typologiques

simples et de faible arborescence.

7. CONCLUSION

L’un des objectifs de cet article est de remettre en question cer-

taines croyances ou pratiques concernant les processus d’aide

multicritere a la decision. Puisque qu’une methode multicritere

(MMC) se differencie en grande partie par la PAMCþ sur

laquelle elle prend appui, nous avons utilise la caracterisation

des PAMCþ pour caracteriser les MMC. Pour ce faire, nous

avons caracterise l’information a l’entree d’une PAMCþ et

les resultats que cette derniere pourrait produire et a partir

desquels la (les) recommandation(s) sera(ont) elaboree(s). Ce

travail de caracterisation nous a permis d’observer que les

PAMCþ sont suffisamment differentes pour ne pas toutes se re-

trouver dans les memes cellules de la matrice (Input, Output).

Ceci n’est pas surprenant en soit vu la grande diversite des

situations decisionnelles. Donc, disposer de plusieurs

PAMCþ est, selon nous, souhaitable. De plus, le fait

qu’aucune PAMCþ ne se retrouve dans toutes les cellules de

la matrice semble confirmer qu’il n’y a pas de MMC qui soit

universelle.

La presence de cellules vides ou presque vides semble

indiquer qu’il y a meme place pour d’autres MMC. Certains

et certaines peuvent penser que le mieux pour l’homme

d’etude serait de maıtriser une « bonne » MMC et l’appliquer

partout. Cette attitude, meme si elle peut paraıtre normale,

conduit necessairement l’homme d’etude a modeliser la situ-

ation decisionnelle selon les exigences de sa PAMCþ. Le

modele ainsi obtenu risque de ne pas constituer la meilleure

representation possible de la situation decisionnelle. Nous sou-

tenons que l’homme d’etude «. . . doit resister a la tentation de

reduire le contexte de prise de decision auquel il est confronte

en peau de chagrin, pour presenter ensuite l’outil qu’il maıtrise

bien comme lui etant “miraculeusement” adapte.» (Landry,

1998). L’homme d’etude devrait considerer les PAMCþ

comme des algorithmes mathematiques et chercher a exploiter,

de maniere coherente, les complementarites entre elles. Le pro-

ducteur d’outils d’aide a la decision a le devoir d’indiquer

clairement les limites de validite et les conditions d’application

des outils qu’il propose.

Afin de comparer les PAMCþ d’une meme cellule de la

matrice (I, O), nous avons identifie un ensemble d’exigences

(axiomes, proprietes, etc.) qui paraissent « naturelles ». Cet

exercice nous a permis de verifier que les PAMCþ ne satisfont

TA

BL

EA

U4

Ver

ifica

tio

nd

esp

rop

riet

esd

ans

leca

s(I

21,

O1)

Pro

pri

etes

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P1

0P

11

P1

2P

13

P1

4

AH

P�

OO

OO

OO

OO

OT

EO

NN

So

mm

ep

on

der

eefl

ou

eO

ON

NO

NO

OO

TF

NN

N

So

mm

ep

on

der

eeO

OO

OO

OO

OO

TM

ON

N

MA

UT

OO

OO

OO

OO

OT

FO

NN

TO

PS

ISO

OO

OO

OO

OO

PM

ON

N



pas toutes ces exigences d’une part, et qu’elles ne satisfont pas

les memes exigences d’autre part. Ce resultat justifie la

presence de plusieurs PAMCþ dans une meme cellule de la

matrice (Input, Output). La diversite des PAMCþ dans une

meme cellule devrait etre vue comme un element de flexibilite

dans le processus de modelisation des preferences du decideur.

Cependant, un travail rigoureux et systematique serait neces-

saire pour etablir leurs forces, leurs faiblesses et leurs limites

d’application afin de verifier la necessite de chacune d’elles

dans une meme cellule.

La typologie proposee conduit a reconnaıtre la diversite des

outils d’aide a la decision multicritere d’une part, et les limi-

tations de ces derniers d’autre part. On peut montrer qu’il

existe aussi plusieurs situations decisionnelles pour lesquels

aucun des outils connus ne semble approprie. Il serait interes-

sant d’analyser les raisons et developper de nouvelles

methodes si cela s’avere necessaire. Il est aussi interessant de

verifier les proprietes pour les procedures dans les differents

couples de la matrice (I, O); enoncer s’il y a lieu des theoremes

d’impossibilite. Les definitions des « inputs » et des « outputs »

proposees devraient faire l’objet d’une revision rigoureuse et la

matrice (I, O) pourrait etre completee. Nous estimons que la

methodologie d’analyse proposee pourrait facilement

depasser le cadre de l’aide multicritere a la decision pour etre

appliquer a d’autres methodes de la R.O.

Pour terminer, nous tenons a mentionner qu’une meilleure

comprehension de la phase de structuration/modelisation

dans le processus d’aide a la decision devrait influencer la con-

ception d’outils qui tiennent davantage compte de la realite de

la decision. La caracterisation des situations decisionnelles

proposee dans ce travail est, selon nous, un pas dans cette direc-

tion. Il faudrait egalement accorder encore plus de place aux

facteurs humains dans le developpement des outils d’aide a

la decision.

ANNEXE A: VERIFICATION DE LA FIDELITE(PROPRIETE P3)

Nous illustrons la verification de la version forte de la fidelite

pour les procedures basees sur le modele additif et multiplica-

tif, pour TOPSIS, ainsi que pour la somme ponderee floue.

Dans le cas du modele additif, on a:

Soit ðai akÞ [ A2; gjðaiÞ . gjðakÞ 8gj [ F: ð7Þ

Or GWSA=FðaiÞ ¼

Xn

j¼1

pj � gjðaiÞ;

et GWSA=FðakÞ ¼

Xn

j¼1

pj � gjðakÞ

) GWSA=FðaiÞ . GWSA=F

ðakÞ; ð8Þ

et

Soit ðai akÞ [ A2; gjðaiÞ ¼ gjðakÞ 8gj [ F; ð9Þ

Or GWSA=FðaiÞ ¼

Xn

j¼1

pj � gjðaiÞ; et GWSA=FðakÞ ¼

Xn

j¼1

pj � gjðakÞ

) GWSA=FðaiÞ ¼ GWSA=F

ðakÞ: ð10Þ

Dans le cas d’un modele multiplicatif on obtient:

Soit ðai akÞ [ A2; gjðaiÞ . gjðakÞ 8gj [ F:

Or GMA=FðaiÞ ¼

Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjðajÞ�;

et GMA=F¼Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjðakÞ�

) GMA=FðaiÞ . GMA=F

ðakÞ; ð11Þ

et

Soit ðai; akÞ [ A2; =gjðaiÞ ¼ gjðakÞ 8gj [ F: ð12Þ

Or GMA=FðaiÞ ¼

Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjðajÞ�;

et GMA=FðakÞ ¼

Yn

j¼1

½1þ K � pj � gjðakÞ�

) GMA=FðaiÞ ¼ GMA=F

ðakÞ: ð13Þ

Par ailleurs, la verification de la version forte de la propriete

de fidelite dans le cas de TOPSIS est donnee comme suit:

Si gjðaiÞ ¼ gjðakÞ 8gj [ F ) D�i ¼ D�k ; et Di� ¼ Dk� :

Di�

D�i þ Di�¼

Dk�

D�k þ Dk�, GTOPSISA=F0

ðaiÞ ¼ GTOPSISA=F0ðakÞ

ð14Þ

Si gjðaiÞ. gjðakÞ 8gj [ F) D�i , D�k et Di� . Dk� ð15Þ

) Di� �D�k , Dk� �D

�i ;puisque D�i ;D

�k ;Di�et Dk� � 0 ð16Þ

)Di� �D

�k �Dk� �D

�i

ðD�i þDi� Þ þ ðD�k þDk� Þ

. 0 ð17Þ

)Di� �D

�k �Dk� �D

�i þDi� �Dk� �Di� �Dk�


. 0 ð18Þ

)Di� � ðD

�k þDk� Þ �Dk� � ðD

�i þDi� Þ


. 0 ð19Þ



alors

Di�

D�i þDi�.

Dk�

D�k þDk�) GTOPSISA=F

ðaiÞ. GTOPSISA=FðakÞ ð20Þ

Dans le cas de la somme ponderee floue, rappelons que les

evaluations eij sont des nombres flous. eija represente un

nombre flou auquel a ete applique un niveau de coupe a. Ce

niveau de coupe est le meme pour toutes les evaluations. Si

les intervalles representant les nombres flous sont disjoints,

alors l’expression (22) peut etre verifiee. Notons que les

operateurs . et � sont dans ce cas des relations de comparai-

son de nombres flous.

~eija ¼ ½e�ij ; e�ij�; 8i; j ð21Þ

si ~eij . ~ekj ) ~eija . ~ekja

si ~eij . ~ekj ) ~eija . ~ekja

�ð22Þ

Le traitement pour calculer Uiminet Uimax

est basee sur

un modele additif utilisant les bornes des intervalles de

eija. Donc, la procedure de la somme ponderee floue

est fidele. Toutefois, si les intervalles ne sont pas disjoints,

l’utilisation d’un niveau de coupe peut conduire a une

situation comme celle representee par la figure (A.1). Cet

exemple illustre comment le niveau de coupe peut transformer

deux nombres flous definis sur deux intervalles differents

[x1; x2] et [y1; y2] en deux nombres flous exprimes sur un

meme intervalle [xa; ya]. Dans ce cas, la somme ponderee

floue ne respecte pas l’axiome de fidelite. Donc, nous

pouvons considerer qu’en general la somme ponderee floue

n’est pas fidele.

ANNEXE B: VERIFICATION DE LA MONOTONIE(PROPRIETE P4)

Ici on se limite aux procedures de la case (I21, O1). Les

expressions (23) a (28) presentent la verification de la

monotonie 1 dans le cas des modeles additifs.

Soit ðaj; akÞ [ A2i

et soit 1jðaiÞ [ une amelioration non nulle

de aj sur le critere=attribut gj: ð23Þ

Si GWSA=FðaiÞ ¼ GWSA=F

ðakÞ ð24Þ

GWSA=Fðai 1jðaiÞÞ ¼

Xl=j

pl � glðaiÞ þ ½pj � gjðaiÞ

þ pj � 1jðaiÞ� ð25Þ

GWSA=Fðai 1jðaiÞÞ ¼

Xn

l¼1

pl � glðaiÞ þ pj � 1jðaiÞ ð26Þ

) GWSA=Fðai 1jðaiÞÞGWSA=F

ðaiÞ ) GWSA=Fðai 1jðaiÞÞ

. GWSA=FðakÞ: ð27Þ

Si GWSA=FðaiÞ . GWSA=F

ðakÞ

) GWSA=Fðai 1jðaiÞÞ . GWSA=F

ðaiÞ

) GWSA=Fðai 1jðaiÞÞ . GWSA=F

ðakÞ: ð28Þ

Donc le modele additif respecte la version forte de la mono-

tonie 1. Dans le cas d’un modele multiplicatif on obtient les

expressions (29) a (33).

Si GMA=FðaiÞ ¼ GMA=F

ðakÞ ð29Þ

GMA=Fðai 1jðaiÞÞ ¼

Yl=j

½1þ K � pl � glðaiÞ�

!

� � ½1þ K � pj � gjðaiÞ þ K � pj � 1jðaiÞ� ð30Þ

Figure A.1. Exemple de non respect de la fidelite dans le cas de nombres flous



GMA=Fðai 1jðaiÞÞ ¼

Yn

j¼1

½1þK �pj � gjðaiÞ�

þYl=j

½1þ K �pl � glðaiÞ�

" #� ½K �pj � 1jðaiÞ�

ð31Þ

) GMA=Fðai 1jðaiÞÞ. GMA=F

ðaiÞ

) GMA=Fðai 1jðaiÞÞ

. GMA=FðakÞ: ð32Þ

Si GMA=FðaiÞ. GMA=F

ðakÞ


ðaiÞ


ðakÞ: ð33Þ

Par ailleurs, la verification de la version forte de la propriete

de monotonie dans le cas de TOPSIS est donnee par les


Si GTOPSISA=F0ðaiÞ ¼ GTOPSISA=F0

ðakÞ )Di�

D�i þ Di�

¼Dk�

D�k þ Dk�: ð34Þ

Or

D�i ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiXn

j¼1½ðe00ij � e�j Þ�

2q

;Di� ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiXn

j¼1½ðe00ij � ej � Þ�

2q

ð35Þ

L’expression (36) montre qu’une amelioration sur un critere

conduit a une amelioration de la performance normalisee.

xoij ¼

gjðaiÞ þ 1jðaiÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiPmh¼1½gjðahÞ�

2þ 1jðaiÞ

2q ) x00ij ¼ pj � x

oij

) x00ij . e00ij puisque xoij . e0ij ð36Þ

Donc on peut conclure que

X�i ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiXn

j¼1½ðx00ij � x�j Þ�

2q

) X�i D�i ;

et Xi� ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiXn

j¼1½ðx00ij � e j� Þ�

2q

) Xi� . Di� ð37Þ

ou xj� represente la possibilite que l’ideal a change a cause de

l’amelioration de la performance de ai par rapport au critere gj.

Xi�

X�i þ Xi��

Dk�

D�k þ Dk�) GTOPSISA=F

ððai 1jðaiÞÞ

� GTOPSISA=FðakÞ ð38Þ

Les inegalites de l’expression (38) deviennent des inegalites

strictes si l’amelioration 1j(aj) . 0. La demonstration du

resultat de l’expression est immediate.

Si GTOPSISA=F0ðaiÞ . GTOPSISA=F0

ðakÞ

) GTOPSISA=Fðai 1jðaiÞÞ . GTOPSISA=F

ðakÞ ð39Þ

Donc, la procedure TOPSIS respecte l’axiome de monoto-

nie. Par contre la procedure de la somme ponderee floue ne

respecte pas cette exigence a cause du niveau de coupe et

des operateurs flous.

ANNEXE C: VERIFICATION DU RESPECT DE LADOMINANCE (PROPRIETE P6 )

Pour verifier le respect de la dominance par les PAMC de la

case (I21, O1), nous supposons que nous avons la condition

(40); les PAMC de la case (I21, O1) ne prevoient pas l’utili-

sation de seuils.

Soit ðai; akÞ [ A2=gjðaiÞ � gjðakÞ; 8gi[ F

et 9gl [ F=glðaiÞ . glðakÞ: ð40Þ

La verification de la propriete de respect de la dominance

dans le cas du modele additif est donnee par les expressions

(41) a (43).

GWSA=FðaiÞ ¼

Xj=l

pj � gjðaiÞ þ pl � glðaiÞ

GWSA=FðakÞ ¼

Xj=l

pj � gjðakÞ þ pl � glðakÞ ð41Þ

Xj=l

pj � gjðaiÞ �X

j=lpj � gjðakÞ; etpl � glðaiÞ

. pl � glðakÞ ð42Þ

)X

j=lpj � gjðaiÞþpl � glðaiÞ.

Xj=l

pj � gjðakÞþpl � glðakÞ

)GWSA=FðaiÞ. GWSA=F

ðakÞ:

ð43Þ

La verification de la propriete de respect de la dominance

dans le cas du modele multiplicatif est donnee par les


GMA=FðaiÞ ¼

Qnj=l

½1þ K � pj � gjðaiÞ� � ½1þ K � pl � glðaiÞ�

GMA=FðaiÞ ¼

Qnj=l


þK � pl � glðaiÞ �Qnj=l


8>>>>>>><>>>>>>>:

ð44Þ



Yn

j=l

½1þ K � pj � gjðaiÞ� �Yj=l

½1þ K � pj

� gjðakÞ�; et K � pl � glðaiÞ

. K � pl � glðakÞ ð45Þ

) K � pl � glðaiÞ �Yj=l


. K � pl � glðakÞ �Yn

j=l

�½1þ K � pj � gjðakÞ�

) GMA=FðaiÞ . GMA=F

ðakÞ: ð46Þ

Par ailleurs, les expressions (47) a (56) presentent la verifi-

cation de cette propriete dans le cas de TOPSIS.

gjðaiÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiPmh¼1½gjðahÞ�

2q �

gjðakÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiPmh¼1½gjðahÞ�

2q 8j = l;

glðaiÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiPmh¼1½gjðahÞ�

2q .

glðakÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiPmh¼1½gjðahÞ�

2q ð47Þ

) e00ij � e00kj8j = l; e00il . e00kl

) 0 ½ðe00ij � e�j Þ�2 ½ðe00kj � e�j Þ�

2; et 0 ½ðe00il � e�l Þ�2

, ½ðe00kl � e�l Þ�2

ð48Þ

) ½ðe00il � e�l Þ�2þXn

j=l

½ðe00ij � e�j Þ�2

, ½ðe00kl � e�l Þ�2þXn

j=l

½ðe00kj � e�j Þ�2

ð49Þ

) D�i , D�k : ð50Þ

(50) implique que

0 ½ðe00kj � e j� Þ�2 ½ðe00ij � e j� Þ�

2; et 0 ½ðe00il � e j� Þ�2

. ½ðe00kl � e j� Þ�2

ð51Þ

) ½ðe00il � e j� Þ�2þXn

j=l

½ðe00ij � e j� Þ�2

. ½ðe00kl � e j� Þ�2þXn

j=l

½ðe00kj � e j� Þ�2

ð52Þ

) Di� . Dk� : ð53Þ

(50) et (53) impliquent que

)Di�

D�i.

Dk�

D�k) Di� � D

�k . Dk� � D

�i

) ½Di� � D�k þ Di� � Dk� � . ½Dk� � D

�i þ Di� � Dk� � ð54Þ

)½Di� � D

�k þ Di� � Dk� �

ðDi� þ D�i Þ � ðDk� þ D�k Þ.½Dk� � D

�i þ Di� � Dk� �

ðDi� þ D�i Þ � ðDk� þ D�k Þ

)Di�

Di� þ D�i.

Dk�

Dk� þ D�kð55Þ

) GTOPSISA=FðaiÞ . GTOPSISA=F

ðakÞ: ð56Þ

La somme ponderee floue ne respecte pas l’axiome de dom-

inance a cause des memes raisons evoquees auparavant.

ANNEXE D: VERIFICATION DES INDEPENDANCES(PROPRIETES P7, P8 ET P9)

La verification des differents axiomes d’independance dans le

cas de TOPSIS est un peu plus laborieuse. La fonction

GTOPSISA/F(ai) est croissante en fonction de Di� et decroissante

Di�. Cette fonction est continue.

Soit

GTOPSISA=FðaiÞ . GTOPSISA=F

ðakÞ )Di�

Di� þ D�i

.Dk�

Dk� þ D�k: ð57Þ

Supposons que

GTOPSISfai;ak g=FðaiÞ GTOPSISfai;ak g=F

ðakÞ )di�

di� þ d�i

dk�

dk� þ d�k; ð58Þ

ou di� et di� sont les equivalents respectivement de Di� et Di

�

obtenus par GTOPSISfai ;ak g=F. Soit al [ A, et al � fai, akg. Soient

di�0 et di

�0 les distances calculees par GTOPSISfai ;alg=F.

L’introduction de l’action al peut contribuer a l’ameliora-

tion de l’ideal et/ou a la deterioration de l’anti-ideal. Soient

J ¼ f j/ej� ¼ elj

00g et L ¼ f j/ej� ¼ elj00g; J et L peuvent etre

vides. Donc, on peut ecrire que

d�0i ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiX

j[Jðe00ij � e00ljÞ

2þX

j�Jðe00ij � e�j Þ

2q

ð59Þ

d0i� ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiX

j[Lðe00ij � e00ljÞ

2þX

j�Lðe00ij � e�j

qÞ2

ð60Þ

)d�0k d�0id0k� � d0i�

)d0k�

d�0i�

d0i�

d�0k)

d0k�

d0k� þ d�0k�

d0i�

d0i� þ d�0i

�ð61Þ



Par recursivite, en ajoutant a chaque fois une action, on

obtient le resultat de l’expression (61), ce qui contredit (58).

Ce resultat est absurde. Le cas de l’egalite est evident. Donc,

TOPSIS respecte le premier principe d’independance.

Puisque l’exigence la plus forte d’independance est respectee,

alors on peut conclure que TOPSIS respecte les autres

exigences d’independance. La demonstration de ce resultat

est facile a etablir.

Dk�

Dk� þ D�k.

Di�

Di� þ D�i: ð62Þ

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Une typologie des méthodes multicritères: Proposition d'un cadre méthodologique