Université de Carthage THESE - Ecole supérieure des

Université de Carthage

THESE

Préparée à

L’Ecole Supérieure des Communications de Tunis

En vue d’obtenir le Diplôme de

Docteur En

Technologies de l’Information et de la Communication

Par

Moez Attia Ingénieur en réseaux informatiques et télécommunications de l’INSAT

Thème

Etude et modélisation des sources à photons uniques

Soutenu le 25 avril 2014 devant le jury d’examen composé de :

Président : Mme Houria Rezig Professeur à l’ENIT, Tunisie

Rapporteurs : Mr Rabah Attia Professeur à l’EPT, Tunisie

Mr Philippe Di Bin Professeur à la FSL, France

Examinateur : Mr Mourad Menif Maître de conférences à SUP’COM, Tunisie

Directeur de thèse : Mr Adel Ghazel Professeur à SUP’COM, Tunisie

Travail de recherche réalisé au laboratoire GRESCOM de Sup’Com, Tunisie

Remerciements

Je remercie toutes les personnes qui de près ou de loin ont contribué à l'aboutissement de

ce travail de thèse.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude envers mon encadrant Monsieur Rihab Chatta

maître assistant à l'Institut Supérieur des Études Technologiques en Communication de Tunis.

(Iset'Com). Je le remercie pour m'avoir transmis une partie de son savoir dans le domaine des

télécommunications optiques depuis mon stage de n d'études d'ingénieur, de mémoire de

mastère jusqu'à la thèse de doctorat. Merci aussi pour sa disponibilité ses précieux conseils et

son aide précieuse pour la réalisation de ce travail. Je lui suis particulièrement reconnaissant

de la conance dont il m'a témoigné durant toutes ces années.

Je remercie mon directeur de thèse Monsieur Adel Ghazel professeur à l'École Supérieure

des Communications de Tunis (Sup'Com) et directeur du laboratoire Grescom, pour m'y avoir

accueilli et fourni un cadre particulièrement favorable pour entreprendre et mener à bien ce

travail.

Le travail présenté dans ce manuscrit est un travail collectif. Mes remerciements vont à

ceux qui m'ont accompagné dans cette aventure scientique depuis plusieurs années Amor

Gueddana, Ines Souissi et Slim Hamzi.

Je remercie Madame Houria Rezig professeur à l'École Nationale d'Ingénieurs de Tunis

(ENIT) président du jury, pour l'intérêt qu'elle a porté pour avoir accepté de présider le jury

de cette thèse.

Je remercie également Monsieur Rabah Attia professeur à l'École Polytechniques de Tunis

(EPT) et Monsieur Philippe Di Bin professeur à la Faculté des Sciences de Limoges (FSL) les

rapporteurs de ce travail qui ont répondu favorablement pour évaluer cette thèse.

Je tiens à remercier aussi, Monsieur Mourad Menif maître de conférences à l'École Supé-

rieure des Communications de Tunis (Sup'Com), d'avoir accepter de faire partie de ce jury.

Mes sincères remerciements à Monsieur Alain Morand professeur à l'institut national de

i

polytechniques de Grenoble pour son accueil chaleureux, ses conseils judicieux et l'intérêt qu'il

a porté à mon travail.

Je voudrais adresser mes sincères remerciements à mes enseignants de l'Institut National

de Sciences Appliquées et de Technologie (INSAT) et de l'École Nationale d'Ingénieurs de

Tunis (ENIT) ainsi qu'à mes collègues de l'INSAT et de l'Institut Supérieur d'Informatique

et de Gestion de Kairouan (ISIGK), sans oublier mes amis et mes collègues du laboratoire de

recherche Grescom.

D'une manière plus personnelle je dédie cette thèse à mes parentsMohamed et Saida à qui je

dois tout et qui ont fait beaucoup de sacrices au cours de ces longues années d'études et grâce

à leur soutien et encouragements ils m'ont permis de vivre ces années d'études avec sérénité.

Je remercie mes s÷urs Manel et Wiem pour leurs encouragements pendant les moments les

plus diciles. J'exprime toute ma gratitude à ma femme Selma qui a toujours été à mes côtés,

encouragé et soutenu pendant ces années. Enn je ne peux pas nir cette section sans dédier

ce travail à ma lle Fatma qui a illuminé par sa présence mes jours.

ii

Résumé

Moez ATTIA Étude et modélisation des sources à photons uniques.

Thèse à l'École Supérieure de Communications de Tunis (SUP'Com), laboratoire Green and

smart communications (Grescom), Avril 2014.

(Sous la direction du Pr. Adel Guazel et Dr. Rihab Chatta).

Ce travail consiste à étudier une nouvelle génération des sources optiques, les sources à

photons uniques (SPS). Disposer d'une source de lumière capable de produire des photons un

par un est actuellement un enjeu important en optique quantique, motivé d'une part par la réa-

lisation des tests fondamentaux de la physique quantique et d'autre part par ses applications

potentielles au traitement quantique de l'information. Nous avons commencé par le dévelop-

pement d'une nouvelle méthode numérique qui permet de calculer les états excitoniques des

boites quantiques ainsi que les énergies des photons émis. Une boite quantique d'InAs/GaAs

a été modélisée en choisissant des paramètres géométriques optimaux qui permettront d'avoir

une émission d'un photon du mode fondamental (l'exciton) à 1550nm. Cette boite quantique

sera connée à l'intérieur d'une microcavité optique résonante dont l'objectif est d'éliminer

les autres photons émis par la boite quantique des diérents autres états excitoniques et de

ne garder que le photon à 1550nm du mode fondamental. Nous avons étudié trois diérents

types de microacvités résonantes : les microdisques, les microdisques dentés et les microcavités

à base de cristaux photoniques. Une comparaison des performances de ces trois cavités a été

faite pour obtenir une microacvité avec un mode résonant à 1550nm avec un facteur de qua-

lité élevé et un volume eectif faible, pour augmenter la probabilité d'avoir un photon unique

à1550nm. Une deuxième étude a été faite concernant les sources à photons uniques annoncés,

nous avons modélisé une architecture qui émet une paire de photons (1310 − 1550nm) . Les

paires de photons seront générées par un cristal photonique bidimensionnel que nous avons

modélisé sur un substrat de niobate de lithium dopé à l'erbium. Nous avons analysé le compor-

tement de la probabilité d'obtention d'un photon unique et de la fonction d'auto-corrélation

en fonction des diérents paramètres des composants de notre architecture.

Mots clés : Source à photons uniques (SPS), source à photons uniques déclenchée, source

à photons unique annoncés, boite quantique, microcavités, cristaux photoniques.

iii

Table des matières

1 Introduction générale 1

2 Présentation des sources à photons uniques 5

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Dualité onde-corpuscule pour un photon unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Photons et dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Les sources à photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Dénition et caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Les lasers atténués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Les sources à photons uniques déclenchées . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.4 Sources à photons annoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.5 Caractérisation des sources à photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Applications des sources à photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Le calcul quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 La cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 L'apport d'une source à photons uniques pour les applications quantiques . . . 26

2.5.1 Pour le traitement de l'information quantique . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.2 Pour la cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Étude et modélisation des boites quantiques InAs/GaAs 30

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Principe des boites quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 La quantication des niveaux d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Les avantages des boites quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3 Les caractéristiques des boites quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Calcul des états excitoniques des boites quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iv

Table des matières

3.3.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Calcul de l'état excitonique et biexcitonique . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.3 Étude de la force d'oscillateur de la boite quantique InAs/GaAs . . . . . 45

3.4 Étude du comportement dynamique de la boite quantique . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1 Évolution de l'intensité des raies excitoniques de la boite quantique en

fonction de la puissance d'émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2 Évolution des intensités en fonction du temps . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 l'émission de photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Étude et modélisation des microcavités résonantes pour une source à pho-

tons uniques à 1550 nm 54

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Microrésonateurs optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Les modes de galerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Couplage entre émetteur et microcavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.1 Emission spontanée en cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.2 Dédoublement de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.3 condition de passage du couplage faible au couplage fort . . . . . . . . . 62

4.5 Les microrésonateurs circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Étude numérique des microdisques et des microdisques dentés basé sur une

décomposition de Fourier simplié avec les matrices de toeplitz . . . . . . . . . 65

4.6.1 Développement de la méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.2 Les résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.7 Structure résonante à base de cristaux photoniques . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.1 Présentation des cavités à base de cristaux photoniques . . . . . . . . . 78

4.7.2 Modélisation d'une cavité résonante à base d'un cristal photonique sur

GaAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.8 Conditions de couplage fort pour l'association boite quantique cavité résonante 82

4.8.1 Conditions de couplage fort pour le microdisque et le microdisque dentés 82

4.8.2 Conditions de couplage fort pour le cas d'une cavité à base de cristaux

photoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.8.3 Accord spatial entre l'exciton et le mode résonant de la cavité . . . . . . 84

4.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

Table des matières

5 Étude et modélisation d'une source à photons uniques annoncés 1310-1550

nm 86

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 Étude du cristal photonique bidimensionnel sur un substrat de niobate de lithium 86

5.2.1 Le niobate de lithium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 Modélisation d'un cristal photonique actif bidimensionnel sur niobate de

lithium qui émet à 1310 et 1550 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Source à photons uniques annoncés 1310-1550 nm architecture et performances 94

5.3.1 Présentation de la source à photons uniques annoncés . . . . . . . . . . 94

5.3.2 Architecture et calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3.3 L'inuence des paramètres de la source sur ses performances . . . . . . . 100

5.3.4 Choix des paramètres de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 Conclusion et perspectives 109

Bibliographie 113

vi

Table des gures

2.1 L'eet photoélectrique sur un atome inter-réagissant avec un champ électrique . 9

2.2 Principe de fonctionnement d'un laser atténué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Schéma explicatif d'une source à photons uniques déclenchée . . . . . . . . . . . 12

2.4 (a) Structure chimique de la molécule de la carbocyanine (b) Spectres de uo-

rescence et d'absorption de cette molécule [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Les ions froids sont obtenus à partir d'un jet de ribidium freiné par un fesceau

laser ralentisseur avant d'être piégés dans une molasse optique formée par trois

paires de faisceaux contra propageant dans les trois directions de l'espace [94] . 14

2.6 Centre NV (Nitrogen-Vacancy) défaut dans la maille du cristal de diamant

les spectres d'absorption et d'émission sont bien séparés ce qui permet une

excitation au moyen d'un laser Argon [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Image microscopique d'une boite quantique et les états énergétiques de cette

boite [26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Principe d'une source à photons annoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.9 Le montage de HBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.10 Histogramme de coïncidences [81] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.11 Représentation d'un q-bit par une sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.12 Représentation des portes quantiques à deux bits (a) CPHASE, (b) CNOT, (c)

CU et (d) SWAP sous la forme de circuits quantiques . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.13 Principe d'une communication sécurisée à travers un mécanisme de cryptogra-

phie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 (a) bandes de valence et de conduction pour une hétéro jonction InAs/InP les

valeurs des gaps sont données à 300K (b) l'état d'une boite quantique excité,

présence des électrons et trous sur les bandes de conduction et les bandes de

valence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vii

Liste des gures

3.2 Évolution de la densité d'états en fonction de l'énergie dans les systèmes 3D,

2D, 1D et 0D (a) un matériau 3D et la densité d'états correspondante (b) puit

quantique (système 2D) et la densité des états correspondante (c) l quantique

(système 1D) et la densité des états correspondante (d) boite quantique (système

OD) et la densité des états correspondante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Prol microscopique d'îlots d'InAs sur GaAs [49] . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Spectre d'émission d'une boite quantique unique en fonction du nombre de pairs

électrons trous [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Modélisation des boites quantiques avec des états S et P . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 État excitonique d'une boite quantique : l'électron en noir, le trou en blanc . . 35

3.7 État biexcitonique d'une boite quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.8 Exemples d'énergies de liaison du biexciton : (a) boite quantique InAs/AlAs

[93], (b) boite InAs/GaAs [117], chaque spectre est étudié en fonction de la

polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9 Modèle d'une boite quantique pyramidale dans une matrice tridimensionnelle . 39

3.10 Forces de l'oscillateur en fonction de la durée de vie radiative . . . . . . . . . . 46

3.11 Intensité de l'exciton et du biexciton en fonction de la puissance d'excitation . . 49

3.12 Variation des intensités de l'exciton et du biexciton en fonction du temps . . . . 51

3.13 Variation de l'intensité de l'exciton pour <n=0,5>, <n=1> et <n=2> . . . . . 51

3.14 Schéma de principe de génération de photons pour une boite quantique . . . . . 53

4.1 Image microscopique d'un micropilier de 800nm [88] . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Cavité à cristaux photoniques avec un défaut ponctuel gravée sur une membrane

de GaAs de 180nm [64] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Image microscopique à balayage électronique d'un microdisque à 2000nm de

diamètre [82] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Micrographe d'une microsphère As2S3 [109] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Représentation graphique des termes d'oscillation et de relaxation en fonction

de la pulsation de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6 Comparaison entre le résonateur de Fabry-Pérot et le disque : (a) Modes de

résonance d'un Fabry-Pérot (FP) (b) réponse spectrale d'un FP (c) partie réelle

du mode p=3 (d) mode de galerie d'ordre radial l=0 (e) réponse spectrale

des modes azimutal m=13,14, 15 et l'ordre radial l=0 sont mis en valeur (f)

partie réelle du champ des modes (l=0,m=6) et (l=0,m=14) (g) mode de galerie

d'ordre radial l=1, (h) réponse spectrale des modes d'ordre azimutal m=13 et

d'ordre radial l=0, l=1 et l=2 sont mis en valeur (i) partie réelle du champ des

modes (l=0,m=13) et (l=1,m=13). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

viii

Liste des gures

4.7 Les diérentes zones du microdisque denté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.8 (a) Microdisque avec un rayon r avec un indice de réfraction n1 entouré d'air

n2 = 1 (b) Le mode de galerie (m=7) (c) Microdisque denté avec un rayon

minimum r int et un rayon maximum rext et avec un indice de refraction n1

entouré d'air n2 = 1 (d ) Le mode de gallerie (m=8) . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 Variation des longueurs d'ondes de résonances pour le cas de trois microdisques

avec r = 700 nm, r = 800 nm, r = 900 nm et r = 1000 nm . . . . . . . . . . . 73

4.10 Variation des longueurs d'ondes de résonances en fonction du rayon du microdisque 74

4.11 Variation du facteur de qualité Q en fonction du rayon du microdisque . . . . . 75

4.12 Longueur d'onde de résonance λres = 1550 nm qui correspand au mode azimu-

thal m = 7, pour un microdisque à base de GaAs avec un rayon r = 700 nm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.13 Comparaison entre la méthode FDTD et notre méthode pour des profondeurs

de dents déérentes (a) vatiation des longueurs d'ondes de résonances λres en

fonction de la profondeur des dents (b) variation des facteurs de qualité Q en

fonction de la profondeur des dents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.14 Longueur d'onde de résonance λres = 1550 nm qui correspond au mode azimu-

thal m = 6, pour un microdisque denté à base de GaAs avec un rayon rint = 740

nm et rext = 1000 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.15 Cavité résonante à base de cristaux photoniques avec un défaut de trois trous

manquants [116] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.16 Variation de la BIP en fonction de r/a pour les modes TE et TM . . . . . . . . 80

4.17 Cavité résonante sur GaAs avec défaut ponctuel et le diagramme de bandes

correspondant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.18 La densité des modes de la cavité résonante à base d'un cristal photonique GaAs 81

4.19 Calcul du dédoublement de Rabi pour un microdisque et un microgear avec

V = 6(λn

)3 en fonction de la force d'oscillation f . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.20 Calcul de dédoublement de Rabi pour une micro cavité résonante à base d'un

cristal photonique bidimensionnel avec V = 0, 4(λn

)3 en fonction de la force

d'oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1 Diagramme de bandes des modes TM pour un facteur de remplissage r/a = 0,38 90

5.2 Diagramme de bandes des modes TE pour un facteur de remplissage r/a = 0,44 91

5.3 Diagramme de bandes pour un taux de remplissage r/a=0,3 (TM modes) . . . 92

5.4 Densité de modes du cristal photonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 Principe de la source à photons uniques annoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ix

Liste des gures

5.6 Source à photon unique obtenue à partir de N sources paramétriques spontanées

(SPDC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.7 Architecture détaillée de la source à photon unique . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.8 Variation de la probabilité P1 et la fonction d'auto corrélation g(2)(0) en fonc-

tion de γ1550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.9 Variation de la probabilité P1 et la fonction d'auto-corrélation g(2)(0) en fonc-

tion de γ1550 avec γ1310 xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.10 Variation de la probabilité P1 et la fonction d'auto-corrélation g2(0) en fonction

de γ1310 avec γ1550 xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.11 Variation de la probabilité P1 et de la fonction d'auto-corrélation g2(0) en

fonction de µp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


fonction de Dc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


fonction de ∆T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

x

Liste des tableaux

2.1 Récapitulatif des caractéristiques des diérents émetteurs uniques pour une

source à photons uniques déclenchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Les dimensions des diérentes boites quantiques modélisées . . . . . . . . . . . 44

3.2 Les valeurs propres qui correspondent aux niveaux d'énergies des électrons pour

les trois structures décrites précédemment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Les valeurs propres qui correspondent aux niveaux d'énergies des trous pour les

trois structures décrites précédemment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 L'énergie du photon du mode fondamental pour les trois structures . . . . . . . 44

4.1 Récapitulation des diérents types de cavités résonantes . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Les diérentes longueurs d'ondes de résonances pour le mode de galerie (m=5)

calculé avec notre méthode et avec la méthode FDTD ainsi que les facteurs de

qualités calculés avec les deux méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Performances de source à photons uniques à la demande avec trois types de

microcavités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1 Les valeurs des diérents coecients du niobate de lithium . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Comparaison entre les modes TE et TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Comparaison entre les diérentes valeurs du taux de remplissage . . . . . . . . 91

xi

Introduction generale 1Une partie des dés majeurs pour les systèmes informatiques des télécommunications,

concerne le traitement rapide de l'information, le transfert de données rapide et l'assurance

de condentialité lors de l'échange des données entre les diérentes entités intervenantes. Si

nous classons les priorités des utilisateurs des réseaux informatiques et des réseaux de télé-

communications, la abilité vient en premier lieu, c'est à dire que le principal objectif des

télécommunications est d'avoir un transfert et un traitement de l'information sans pertes. En

deuxième priorité vient la sécurité de l'échange d'information et l'intégrité des données trans-

férées. Avec l'évolution des technologies multimédias la nature des données transférées sur les

réseaux a aussi évolué. Nous n'avons plus un simple texte de quelques kilos octets à envoyer.

Les données multimédias sont volumineuses et nécessitent des terminaux avec des capacités

de stockage et de traitement importantes ainsi que des liaisons avec des débits considérables.

Face à ce besoin nous remarquons que ces dernières années la capacité de traitement des sys-

tèmes numériques stagne, ce qui est dût à la saturation de la technologie du Silicium. Ce qui

a mené les chercheurs à trouver d'autres alternatives moyennant d'autres technologies autres

que la technologie des semi-conducteurs, pour réaliser un saut considérable et obtenir des sys-

tèmes numériques avec une capacité et une fréquence de traitement qui dépasse de loin le gap

des GHZ. Concernant le débit de transfert de l'information les télécommunications optiques

protent de la largeur de la bande passante de la bre optique qui est de l'ordre du GHZ a

permis d'avoir des réseaux haut débit de l'ordre du Gbit/s. La question de condentialité du

transfert des données basée sur les algorithmes de cryptographie classique utilisant des clés

entre l'émetteur et le récepteur présente des failles face aux eorts des pirates man÷uvrant

pour l'interception des données transférées.

Les systèmes numériques se basant sur la physique quantique peuvent être une alternative

et une solution pour améliorer la capacité du traitement. Un calculateur quantique ou ordi-

nateur repose sur la superposition et intrication d'états quantiques représentée par l'élément

de base de l'information quantique le q-bit. Le bit représente l'information élémentaire d'un

ordinateur classique, chaque bit porte soit un 1 soit un 0 représenté physiquement par une

1

Chapter 1 : Introduction générale

tension continue positive pour le 1 et une tension continue négative pour le 0. Dans le cas d'un

ordinateur quantique le q-bit est l'élément élémentaire d'information. Un q-bit peut porter

soit un 1, soit un 0, soit une superposition d'états de 0 et de 1. Physiquement le q-bit est une

superposition de phase où une phase de 0° permet de coder la valeur 1 et une phase de 90°

pour la valeur 0, et entre les deux la superposition d'états représentée par toutes les phases

entre la phase horizontale et la phase verticale. L'ordinateur quantique eectue les traitements

en manipulant ces distributions de phase nous l'appelons aussi distributions d'états. L'algo-

rithme de Shor [97], conçu pour utiliser un circuit quantique, donne la possible de résoudre

de nombreux calculs combinatoires hors de portée d'un ordinateur classique. Le principal dé

reste la réalisation physique de l'élément de base de l'ordinateur quantique : le qubit.

L'élément crucial pour la sécurité et l'intégrité des données est la condentialité de la clé

permettant de coder et de décoder les messages transmis, étant entendu que ces messages

peuvent à la limite être publiques. Tout le problème est donc d'assurer la sécurité de la clé

de chirement. Toute transmission classique d'information peut être interceptée passivement,

c'est-à-dire sans modication de la teneur du message. L'utilisation d'un canal quantique pour

le transfert de l'information diminuera les failles et le taux d'interception des données. Chaque

interception provoquera une perturbation au niveau de l'émission, ceci permettra à l'émetteur

de réagir par rapport à cette intrusion. Au début des années 1970, Stephane Wiesner propose

d'utiliser la mécanique quantique pour coder des billets de banque infalsiables [99] en utilisant

le principe d'incertitude de Heisenberg.

Le q-bit qui est l'élément de base de n'importe quelle système de calcul ou de cryptogra-

phie quantique peut être crée par des atomes, des ions piégés à basse température...Mais les

photons uniques polarisés restent les meilleurs candidats pour représenter des q-bits grâce à

leur résistance à la décohérence et leur capacité de propagation sur des grandes distances. D'où

la nécessité d'avoir des sources à photons uniques qui émettent un seul photon unique dans un

intervalle de temps bien déterminé. Une source à photons uniques est dite idéale si elle a une

probabilité P1 = 1 de fournir un photon unique dans un intervalle déni. Les performances des

applications de traitement d'information quantique et de cryptographie quantique sont liées

directement à cette probabilité c'est à dire la capacité de la source à fournir un photon unique.

Les principaux objectifs de cette thèse sont l'étude et la modélisation des deux types de sources

à photons uniques. Les sources à photons uniques déclenchées et les sources à photons uniques

annoncés.

La première étape sera consacrée à l'étude des sources à photons uniques déclenchées.

Le but de cette partie est le développement d'un modèle numérique pour étudier l'inuence

des paramètres optiques et géométriques sur la probabilité d'obtention d'un photon unique

P1. Ce genre de source est constitué d'une association entre un émetteur de photons uniques

et une microcavité optique. Plusieurs éléments peuvent jouer le rôle d'émetteur de photons

2


uniques comme les atomes articiels, les ions piégés, les centres colorés de diamants et les

boites quantiques qui restent les meilleurs candidats pour ce rôle comme nous le démontrerons

dans le chapitre 2. Nous développerons un modèle qui permettra d'étudier la boite quantique

pyramidale. L'objectif est d'obtenir une émission d'un photon unique à 1550nm. Cette boite

quantique sera associée à une microcavité optique. Nous étudierons les diérentes catégories

de microcavités résonantes et nous modéliserons trois types de cavités : un microdisque, un

microdisque denté et une microcavité à base d'un cristal photonique. Toutes ces microcavités

doivent avoir un mode résonant à 1550nm avec un facteur de qualité acceptable et un volume

eectif faible. L'objectif de cette association entre microcavités et boite quantique est de ltrer

les photons indésirables et de garder uniquement les photons à 1550nm. En dernière section

nous étudierons les conditions de couplage fort entre la boite quantique et chacune de ces

microcavités.

La seconde partie sera consacrée pour l'étude des sources à photons uniques annoncés. Une

source à photons uniques annoncés, est une source qui délivre deux photons avec deux éner-

gies diérentes et séparés spatialement, elle se base sur le fait qu'un de ces photons annonce

l'arrivée du deuxième photon et déclenche le mécanisme de détection. Nous modéliserons une

architecture d'une source à photons uniques annoncés 1310nm − 1550nm avec un cristal pho-

tonique bidimensionnel sur niobate de lithium dopé en erbium qui sera le générateur des paires

de photons (1310nm−1550nm). Nous étudierons les caractéristiques optiques et géométriques

pour obtenir un taux acceptable de création de paires de photons. En dernier lieu nous étudie-

rons l'inuence des diérentes caractéristiques des composants de notre architecture tels que

le taux de création de paires, le taux de collection des photons, le nombre des coups sombres

du détecteur, la taille de la fenêtre temporelle..., sur l'ecacité de notre source et sur la valeur

de la probabilité P1 d'obtenir un photon unique.

Ce mémoire se compose de quatre chapitres. Le premier aura pour but d'étudier les dié-

rents types et les caractéristiques des sources à photons uniques. Nous commençons par l'étude

de la dualité onde-corpuscule de la lumière et les principales caractéristiques des photons. Nous

nous attarderons ensuite sur les diérentes catégories des sources à photons uniques et l'avan-

tage de ces sources par rapport aux lasers atténués. Nous étudions les diérents candidats

potentiels qui peuvent jouer le rôle d'un émetteur de photons uniques pour une source de

photons à la demande appelée aussi source de photons déclenchée. Nous détaillons aussi le

principe des sources à photons annoncés. Finalement nous énumérons les principales applica-

tions de calcul quantique et de cryptographie quantique en mettant l'accent sur l'importance

d'utilisation d'une source à photons uniques ecace pour ces applications.

Le second chapitre sera dédié à l'étude et la modélisation des boites quantiques pyramidales.

Nous développerons une méthode numérique se basant sur le modèle de la masse eective et qui

consiste à l'écriture de l'équation de Schrödinger pour les diérentes zones de la boite quantique

3


en utilisant la méthode des diérences nies. Nous choisirons les paramètres géométriques

adéquats pour une boite quantique d'InAs hébergée dans une matrice de GaAs, pour avoir

une émission du photon du mode fondamental à 1550nm. Nous étudierons ensuite l'occupation

des boites quantiques par les multi-excitons en fonction de la puissance d'excitation de celle

ci et nous analysons le comportement dynamique de la boite quantique en fonction du temps.

Le troisième chapitre traitera les diérents types de microcavités optiques résonantes. Dans

un premier lieu, nous développerons une méthode numérique se basant sur le formalisme des

matrices de toeplitz pour simplier le développement des séries de Fourier pour l'étude et la

modélisation des microdisques et des microdisques dentés. Nous analyserons l'inuence des

paramètres géométriques de ces structures sur la variation de la longueur d'onde de résonance

λres et sur le facteur de qualité Q . En fonction de cette analyse nous concevrons un microdisque

et un microdisque denté sur GaAs avec des modes résonants à λres = 1550nm, nous essayerons

d'obtenir des facteurs de qualité Q acceptables pour des structures nanométriques. Dans un

deuxième lieu, nous étudierons les microcavités résonantes à base de cristaux photoniques et

nous modéliserons une structure résonante sur un cristal photonique bidimensionnel sur GaAs.

Enn, la dernière partie de ce chapitre sera dédiée pour l'analyse des conditions de couplage

pour avoir un couplage fort entre la boite quantique et la microcavité résonante.

Le dernier chapitre sera consacré quant à lui, aux sources à photons uniques annoncés.

Nous modéliserons un cristal photonique bidimensionnel sur niobate de lithium dopé en erbium

qui jouera le rôle de générateur de paires de photons (1310 − 1550nm). Dans ce sens, nous

choisirons les paramètres géométriques du cristal pour obtenir un taux de création de paires

de photons acceptable. Après la présentation de tous les composants de l'architecture de notre

source, nous calculerons la probabilité d'avoir un photon unique en fonction des paramètres de

ces composants. Enn, les conclusions et perspectives ouvertes par de nouvelles observations

seront exposées.

Ces travaux ont été eectués au sein de l'unité de recherche Green and Smart Communica-

tions (Grescom) à Sup'Com. La partie relative à l'étude des microdisques et des microdisques

dentés était réalisée en collaboration avec le laboratoire (IMEP) à l'institut national polytech-

niques de Grenoble.

4

Presentation des sourcesa photons uniques

2

2.1 Introduction

A travers ce chapitre, nous présentons dans une première partie l'une des principales carac-

téristiques de la lumière la dualité onde corpuscule, les aspects de quantication de la lumière

et l'obtention de photons uniques. La deuxième partie sera consacrée à la présentation des

diérentes sources de lumières à photons uniques, les caractéristiques de ces sources et les

domaines d'applications. Nous insisterons sur les sources à photons uniques déclenchées et les

sources à photons uniques annoncés qui seront l'objectif de notre étude tout au long de ce

travail, nous insisterons sur la abilité et les performances de chaque type de ces sources.

2.2 Dualité onde-corpuscule pour un photon unique

2.2.1 Historique

Depuis toujours l'homme s'est posé des questions sur la nature de la lumière en analysant

plusieurs phénomènes tels que la forme des ombres, les reets sur l'eau ou l'arc en ciels...[92,

69]. L'évolution des études sur la nature de la lumière est étroitement liée à l'évolution des

techniques utilisées en optique [85]. Depuis les miroirs ardents d'Archimède qui, d'après la

légende, ont permis de mettre en déroute la otte romaine aux portes de Syracuse [105],

jusqu'aux développements récents de l'information quantique. Dans le monde antique grec,

Euclide et les pythagoriciens avaient pensé que les rayons visuels se propagent depuis l'÷il

jusqu'à l'objet observé et non l'inverse.. Dès cette époque, la notion de rayon lumineux est

introduite, ainsi que les lois de la réexion sur un miroir. Ces conceptions sont révisées par le

savant arabe Ibn-Al-Haitham, qui conclut que la lumière et les couleurs se propagent à une très

grande vitesse et de manière rectiligne le long des rayons lumineux, de chaque point de l'objet

jusqu'à l'÷il. Celui-ci forme alors sur le cristallin une image dont les points correspondent à

5

Chapter 2 : Sources à photons uniques

ceux de l'objet. Ibn-Al-Haithem étudie en détail la réexion et la réfraction des rayons lumineux

aux interfaces à l'aide d'un modèle mécanique analogue au rebond d'une balle sur le sol. An

d'expliquer la réfraction, il évoque alors simplement un changement de vitesse de la lumière

dans les matériaux. Ces travaux novateurs s'accompagnent d'une importante évolution des

techniques d'ingénierie optique. Les artisans verriers développent ainsi des lentilles permettant

de corriger la presbytie et la myopie en utilisant des verres convexes ou concaves. L'association

de plusieurs lentilles est nalement utilisée pour réaliser les premières lunettes grandissantes

qui, utilisées par Galilée pour explorer le ciel, révolutionneront nos conceptions de monde. Au

milieu du XVIIe siècle les rayons lumineux, la propagation rectiligne, la formation des images

et réexion sont des phénomènes avec des lois bien établies. Cependant, des interrogations

fondamentales subsistent, concernant notamment l'explication des couleurs et l'analyse de la

réfraction sur un dioptre. La découverte du phénomène de diraction par Grimaldi jette un

peu plus le trouble dans les conceptions de la lumière. Le grand débat entre une modélisation

de la lumière sous forme d'onde ou de particule s'est alors s'ouvert. Il impliquera les plus

grands physiciens pendant trois siècles.

2.2.2 Photons et dualité onde-corpuscule

Depuis l'introduction du concept de dualité onde-corpuscule pour la lumière par Einstein,

une question importante s'est posée concernant une éventuelle modication des phénomènes

optiques dans un régime qui mettrait en ÷uvre un seul photon à la fois. En 1909, Taylor réalise

une expérience de diraction par une aiguille en lumière fortement atténuée. Les résultats ont

montré une correspondance parfaite avec les prédictions de la théorie ondulatoire [104]. Suite

à cette expérience Dirac a pu conclure qu'un photon interfère avec lui-même [35]. Par la

suite, ces résultats ont été conrmés par un grand nombre d'expériences réalisées en lumière

atténuées [47]. Pour des expériences d'interférence réalisées au moyen de sources de lumière

classique fortement atténuées, l'armation que le processus met eectivement en jeu un seul

photon repose en général sur l'argument énergétique que nous expliquerons : En admettant

l'existence du photon, le ux des photons envoyé dans l'interféromètre est égal à φ~ν , φ est le

ux énergétique de lumière et ~ν l'énergie d'un quanta de lumière. Ainsi, en atténuant forte-

ment la puissance de la source, on peut avoir des conditions où il y a en moyenne beaucoup

moins d'un photon à la fois dans l'interféromètre. En admettant que les photons sont statisti-

quement indépendants les uns des autres, on peut alors en déduire que la probabilité d'avoir

deux photons dans l'interféromètre est très petite comparée à la probabilité d'en avoir un seul

photon, pour nalement conclure que les eets observés sont essentiellement dus au compor-

tement d'un photon unique. Cette argumentation est valide à condition de postuler l'existence

des photons. Mais, les paradoxes issus de la dualité onde-corpuscule ne prennent tout leur sens

6


que si l'on est capable de démontrer expérimentalement que l'introduction de la nature cor-

pusculaire de la lumière est réellement nécessaire. L'étude de cette dualité pour d'autres objets

quantiques massifs tels que les électrons, les neutrons ou les atomes suit une logique sensible-

ment diérente. En eet, la nature corpusculaire de tels objets est héritée du sens commun, issu

de l'observation, et c'est par conséquent leur nature ondulatoire, intrinsèquement quantique,

qui doit être mis en évidence pour illustrer de manière frappante la dualité. Pour la lumière,

c'est au contraire la nature ondulatoire qui est héritée de la physique classique en raison de la

puissance de la théorie ondulatoire pour expliquer les phénomènes optiques comme la dirac-

tion et les interférences. Il est ainsi nécessaire de trouver un critère expérimental permettant de

mettre clairement en évidence un comportement de type corpusculaire pour la lumière. C'est

en 1888 que W. Hallwachs, un étudiant de H. Hertz, a observé qu'une plaque de zinc isolée

prend, sous l'action d'un éclairage ultra-violet, une charge positive. Inversement, une plaque

de zinc initialement chargée négativement se décharge par insolation avec un rayonnement

ultraviolet, ceci même lorsqu'elle est placée dans le vide. Suite à la découverte de l'électron

par J. Thomson en 1899. P. Lenard est le premier à suggérer au cours de la même année, que

les observations réalisées par Hertz et Hallawchs correspondent à l'émission d'électrons par

la cathode [66]. En utilisant diérentes polarisations de la cathode, il découvre en 1902 les

lois fondamentales suivantes, qui caractérisent l'eet photoélectrique [67, 68]. Premièrement,

l'énergie cinétique d'un électron émis a une valeur maximale Emaxc , qui dépend linéairement

de la fréquence optique d'excitation ν. De plus, l'émission d'électrons n'apparait qu'au delà

d'un seuil de fréquence ν seuil caractéristique du matériau. Deuxièmement, Le ux lumineux

n'aecte pas la valeur d'Emaxc , bien qu'il détermine le nombre de photo-électrons émis par la

cathode par unité de temps. Aucune de ces deux propriétés ne peut être expliquée par un

modèle d'interaction matière rayonnement utilisant les théories classiques alors en vigueur, à

savoir le modèle de Thomson pour l'électron et le modèle ondulatoire du champ électromagné-

tique découlant des équations de Maxwell. Dans son article de 1905 introduisant la notion de

quantication du champ électromagnétique [37], Einstein donne une explication à l'ensemble

des faits expérimentaux relatifs à l'eet photoélectrique, en postulant un transfert d'énergie

entre quantas de lumière et électrons. Il écrit alors la relation :

Emaxc = ~ν −W (2.1)

Où W représente le travail de sortie de l'électron à la cathode et ~ν l'énergie d'un quanta

de lumière. Le seuil en fréquence de l'eet photoélectrique s'interprète alors par :

υseuil =W~

(2.2)

En 1916, R. Millikan publie une étude très détaillée de l'émission photoélectrique [75], qui

7


établit que la constante ~ introduite dans la loi d'Einstein est bien égale à celle introduite par

Planck pour l'étude du corps noir. Le jugement de Millikan sur ses résultats, obtenus après dix

années d'eorts expérimentaux est frappant : I spent ten years of my life testing the 1905

equation of Einstein's, and contrary to all my expectations I was compelled in 1915 to assert

its unambiguous experimental verication in spite of its unreasonableness, since it seemed to

violate everything that we knew about the interference of light [76]. L'explication de l'eet

photoélectrique est ainsi traditionnellement considérée comme l'acte de naissance du photon.

Cependant, W. E. Lamb et M. O. Scully proposèrent dans les années cinquante un modèle

permettant d'expliquer l'ensemble des observations caractéristiques de l'eet photoélectrique,

sans nécessiter le recours à la quantication du champ électromagnétique [63]. Dans ce modèle

dit semi-classique , la lumière est décrite par un champ électromagnétique classique inter-

agissant avec un détecteur quantié. Considérons par exemple un détecteur constitué par un

atome, présentant un niveau d'énergie fondamental |f 〉d'énergie Ef et un niveau |k〉d'énergieEk , séparés par l'énergie d'ionisation W (gure 2.1). Cet atome interagit avec un champ élec-

tromagnétique classique de la forme E0 cos(ωt) par interaction dipolaire électrique. Le taux

de transition de l'atome Γf→kde l'état|f 〉vers un état |k〉du continuum s'obtient en utilisant la

règle d'or de Fermi :

Γf→k =πE 2

0

2~|〈f |D | k〉|2 × ρ(Ek )× δ(Ek − Ef − ~ω) (2.3)

Où D est l'opérateur dipolaire électrique et ρ(Ek ) la densité d'états d'énergie Ek . Cette

relation traduit simplement la condition de résonance entre le champ et l'atome permettant

à un électron de transiter de l'état fondamental vers un état excité|k〉lorsque Ek ≈ ~ω. Ensommant sur tous les états|k〉accessibles, il vient nalement le taux global de photo ionisation :

Γf→k =πE 2

0

2~|〈f |D | k〉|2 × ρ(Ef + ~ω) (2.4)

Cette formule contient l'ensemble des caractéristiques de l'eet photoélectrique. En eet,

l'existence d'un seuil est due au fait que la densité d'états excités est nulle si Ef < ~ω −W .

D'autre part si l'excitation se fait au delà du seuil, l'énergie cinétique de l'électron libéré Emaxc

est donnée par la relation :

Emaxc = ~ω −W (2.5)

8


Figure 2.1 L'eet photoélectrique sur un atome inter-réagissant avec un champ électrique

La probabilité de détection est bien proportionnelle à l'intensité lumineuse E 20 . Il s'avère

ainsi que l'eet photoélectrique peut être entièrement interprété sans l'aide du concept de

photon mais en introduisant la quantication dans le processus de photo détection. Il ne

constitue donc pas une preuve de l'existence de la nature corpusculaire de la lumière.

Maintenant, nous allons voir comment cette caractéristique corpusculaire qui considère que

la lumière est un ensemble de photons a été exploité pour le développement d'une nouvelle

génération de sources appelées sources à photons uniques. Ces sources vont servir de support à

des applications de cryptographie quantique et au traitement de l'information quantique. Dans

la deuxième partie de ce chapitre nous détaillons le principe des sources à photons uniques et

les diérentes catégories de ces sources émetteurs de photons uniques.

2.3 Les sources à photons uniques

2.3.1 Dénition et caractéristiques

Une source à photons uniques est une source qui émet des impulsions à un seul photon

unique. Une source à photons uniques doit avoir les caractéristiques suivantes :

Un taux de répétition élevé, par conséquent une courte durée de vie du dipôle émetteur ;

Une grande ecacité quantique, la majorité des impulsions d'excitation doivent être

transformées en photons uniques ;

Une émission de photons dans un seul mode spatial avec une polarisation dénie ;

Une largeur spectrale égale à la transformé de Fourier de la durée de l'impulsion.

9


Avant le développement des sources à photons uniques les lasers atténués étaient utilisés comme

des sources qui délivrent des photons uniques. Nous détaillons ci dessous les principes et les

caractéristiques des lasers atténués.

2.3.2 Les lasers atténués

Les premières sources qui étaient considérées comme des sources à photons uniques consis-

taient à des sources lasers pulsées en plaçant sur le chemin du rayon laser un atténuateur de

faisceau comme le montre la gure 2.2. En eet, dans chaque pulse laser, gure un certain

nombre de photons. Si nous supprimons une grande partie des photons présents on aurait alors

une source qui émettrait des photons uniques. Pour un état cohérent c'est-à-dire une impul-

sion laser avec une statistique poissonnienne, la probabilité de trouver |n > photons dans une

impulsion est décrite par l'équation 2.6 :

P(n, µ) =µn

n!e−µ (2.6)

Avec µ le nombre moyen de photons. Si nous considérons une partie du faisceau qui contient

des photons (n > 0), la probabilité qu'il contienne plus d'un seul photon est représentée par

l'équation 2.7 :

p(n > 1|n > 0, µ) =p(n > 1, µ)

p(n > 0, µ)=

1− (1 + µ)e−µ

1− e−µ' µ

2(2.7)

L'approximation de l'équation 2.7 n'est valable que si µ 1. Finalement, si nous désirons

avoir des photons uniques, il faut que p(n > 1|n > 0, µ) soit très faible ce qui revient à avoir

un nombre moyen de photons par impulsion très faible (µ 1). Donc, plus nous obtenons

des photons uniques moins ils seront émis fréquemment. Mais cette technique d'atténuation

reste limitée et non ecace pour obtenir des photons uniques avec une probabilité proche de

un. Nous présentons maintenant deux familles de sources de photons uniques d'une part les

sources à photons uniques déclenchées appelées aussi sources de photons uniques à la demande,

basées sur le contrôle de la uorescence d'un émetteur individuel, et d'autre part les sources

asynchrones de photons annoncées fondées sur l'utilisation de paires de photons émis par

uorescence paramétrique dans un cristal non-linéaire.

10


Figure 2.2 Principe de fonctionnement d'un laser atténué

2.3.3 Les sources à photons uniques déclenchées

L'idée la plus simple pour réaliser une source à photons uniques pouvant émettre des

impulsion à un seul photon, à la demande de l'utilisateur, est d'appliquer une excitation im-

pulsionnelle sur un émetteur individuel. Comme le montre la gure 2.3, pour chaque impulsion

d'excitation, un tel système passera à l'état excité, se qui conduira à l'émission d'un seul pho-

ton, de manière synchrone des tops d'horloge correspondants aux excitations impulsionnelles

[65, 70]. Plusieurs candidats sont aptes de jouer le rôle de l'émetteur unique : les molécules,

les ions uniques piégés, les centres colorés et les boites quantiques. Nous détaillons ci dessous

les diérents composants qui peuvent jouer le rôle d'un émetteur unique pour une source à

photons uniques déclenchée.

11


Figure 2.3 Schéma explicatif d'une source à photons uniques déclenchée

Les molécules à basse température

Les propriétés de uorescence d'un dipôle unique ont été étudiées et réalisées pour la pre-

mière fois à l'aide de molécules uniques placées à basse température. Nous pouvons réaliser

un émetteur individuel avec une molécule uorescente unique insérée dans un substrat so-

lide. Les propriétés d'émission de cet émetteur sont fondamentalement non classiques. Nous

pouvons résoudre spectralement les niveaux d'absorption de bord de bande en se plaçant à

des températures de quelques Kelvin, où l'élargissement spectrale est non homogène des raies

d'absorption, ceci est dû à l'interaction avec les phonons qui est limité. La première source à

photons uniques déclenchés a été réalisé par un contrôle cohérent de l'excitation d'une mo-

lécule unique uorescente par transfert adiabatique [25]. Ce travail a démontré la possibilité

d'émettre des photons uniques à la demande avec une molécule unique uorescente immergée

dans l'hélium superuide à une température de 1,6 K. La modulation périodique de l'eet

Stark quadratique induit par l'application d'un champ électrique sinusoïdal appliqué à la mo-

lécule et avec un faisceau laser résonant permettent le passage à l'état excité avec passage

adiabatique rapide. Le balayage de la résonance est réglé de façon à correspondre à une im-

pulsion π, permettant de créer l'inversion de population dans le système à deux niveaux. Il est

important de noter que pour s'aranchir de la lumière diusée par la matrice à la fréquence du

laser d'excitation, lumière qui vient masquer les photons émis sur la raie à zéro phonon, seule

l'absorption, et donc l'excitation de la molécule s'eectue de façon résonnante. Les photons

émis par la molécule et qui seront réellement détectés sont nées suite à une multiplicité de

transitions, entre le niveau de bord de bande de S1 et les niveaux vibrationnels de S 0. Alors,

ces photons ne correspondent plus à des paquets d'onde parfaitement cohérents. Ils ne rem-

plissent donc pas les conditions nécessaires pour une application aux communications et au

calcul quantique.

12


Figure 2.4 (a) Structure chimique de la molécule de la carbocyanine (b) Spectres de uo-rescence et d'absorption de cette molécule [4]

La gure 2.4 représente une molécule de carbocyanine de formule DilC18 nous remarquons

un décalage vers le rouge du spectre de uorescence par rapport au spectre de l'absorption

appelé décalage de Stokes, ce décalage permet de réaliser une excitation de la molécule à l'aide

d'un laser à 532 nm en dehors de la bande de uorescence. ainsi les photons non désirés qui

ont la longueur d'onde d'excitation seront supprimés au moyen d'un ltre spectral.

Ion unique piégé

Les ions ou les atomes uniques piégés présentent un important avantage dans le cadre de la

réalisation d'une source de photons uniques. Avec les ions piégés nous pouvons contourner

les contraintes liées à des temps d'arrivée aléatoires et aux possibles uctuations du nombre

d'atomes dans la zone d'interaction [110]. A l'aide des pièges magnétiques un ion unique peut

être ecacement conné spatialement[34]. Nombreuses études ont utilisé les ions piégés an

d'émettre des photons uniques [71, 110]. Ce type de source, émet à la demande des pulsations

à un photon, ceci permet d'envisager des applications dans le domaine des communications

quantiques [108]. Des études récentes sur le piégeage d'atomes neutres à l'aide de pièges di-

polaires ont également ouvert de nouvelles perspectives en ce qui concerne la réalisation de

source à photons uniques indiscernables. Ce genre d'expérience est devenu possible par les

progrès considérables réalisés ces dernières années pour la mise en ÷uvre de pièges dipolaires

capables de capturer quelques atomes [42] et plus récemment un seul atome grâce au phéno-

mène de blocage collisionnel [94]. Récemment, un système légèrement diérent a été mis en

place qui a permis de réaliser une source de photons uniques à la demande à partir d'atomes

uniques de césium piégés, en interaction forte avec une cavité de grande nesse [73]. La gure

2.5 explique le mécanisme qui permet de piéger un ion unique. Les ions froids sont obtenus

13


par ralentissement au moyen d'un laser d'un jet de rubidium jusqu'à pouvoir les piéger dans

une mélasse optique constituée de six faisceaux deux à deux contra-propageant dans les trois

directions de l'espace.

Figure 2.5 Les ions froids sont obtenus à partir d'un jet de ribidium freiné par un fesceaulaser ralentisseur avant d'être piégés dans une molasse optique formée par trois paires defaisceaux contra propageant dans les trois directions de l'espace [94]

Les centres colorés du diamant

Les centres colorés du diamant sont un ensemble de défauts optiquement actifs au sein de

la matrice cristalline du diamant. L'objectif des centres colorés du diamant est d'associer

les propriétés d'une molécule uorescente articielle avec une très grande photostabilité a la

possibilité d'adresser facilement ces émetteurs individuels en matrice solide. Ils peuvent donc

être utilisés pour la réalisation d'une source déclenchée de photons uniques à température

ambiante [18]. Le centre NV correspond à l'association dans deux sites adjacents dans la maille

cristalline du diamant d'un défaut atomique N d'azote en substitution, et d'une lacune notée

V, pour vacancy . La substitution d'un atome de carbone par un atome d'azote apporte un

électron excédentaire non apparié qui peut rester localisé sur ce défaut. Ce système correspond

à un centre NV chargé négativement et se comporte comme un défaut paramagnétique du

fait de la présence de l'électron non apparié. Cette propriété distingue les centres colorés

des molécules uorescentes de colorant, pour lesquelles le niveau fondamental est un niveau

singulet de spin, tous les électrons de la molécule étant appariés deux à deux. La gure 2.6

montre que dans le diamant, l'appariement d'un carbone vacant (V) et d'un atome d'azote

(N) forment un atome articiel localisé dans la maille du cristal. A température ambiante,

ils peuvent absorber et émettre sur une large bande spectrale dans le visible pour cela on les

appelle centres colorés.

14


Figure 2.6 Centre NV (Nitrogen-Vacancy) défaut dans la maille du cristal de diamant lesspectres d'absorption et d'émission sont bien séparés ce qui permet une excitation au moyend'un laser Argon [19]

Les boites quantiques (BQ)

Les boites quantiques représentent une nouvelle alternative d'émetteurs individuels. Le dé-

veloppement des nanostructures semi-conductrices a également ouvert de nouvelles possibili-

tés pouvant être utilisés pour produire des photons uniques. Les boites quantiques sont des

structures nanométriques à base de semi-conducteurs dont la taille et la forme peuvent être

contrôlées avec précision. L'étude des QD suscite depuis quelques dizaines d'années un engoue-

ment particulier dans la communauté scientique internationale, du fait de leurs propriétés

physiques originales [51]. La principale caractéristique de ces structures est le connement

électronique tridimensionnel des porteurs. Une boite quantique individuelle est ainsi caracté-

risée par une densité d'états électroniques discrète et peut être considérée comme un atome

articiel , chaque désexcitation d'une paire électron-trou conduit à l'émission d'un photon.

Ces systèmes présentent de très bonnes caractéristiques en vue de la réalisation de sources à

photons uniques. En eet, nous pouvons facilement isoler une boite quantique, photostable et

qui a une durée de vie assez courte, typiquement de l'ordre de la dizaine de milliseconde et

mémé de picoseconde. La gure 2.7 représente les diérents niveaux énergétiques discrets de

la boite quantique, après excitation les niveaux de la bande de conduction seront occupés par

des électrons et les niveaux de la bande de valence seront occupés par des trous. Cette même

gure montre bien la combinaison des deux semi-conducteurs pour la fabrication d'une boite

quantique.

15


Figure 2.7 Image microscopique d'une boite quantique et les états énergétiques de cetteboite [26]

Avant d'expliquer le principe des sources à photons uniques annoncés nous résumons dans

la gure 2.1 les caractéristiques des diérents composants que nous avons présenté qui peuvent

jouer le rôle d'émetteurs de photons uniques dans une source à photons uniques déclenchée.

Avec les molécules on peut obtenir une largeur spectrale ∆λ acceptable de l'ordre d'une dizaine

de nm et une fonction g2(0) proche de zéro (à la n de ce chapitre nous expliquerons la fonction

g(2)(0) qui est une caractéristique principale pour évaluer l'émission des photons uniques de la

source, pour une source à photons uniques parfaite cette fonction est égale à zéro). Le principal

inconvénient pour les molécules reste les problèmes de photostabilité. Pour les centres colorés

le problème de photostabilité est résolu on atteint des valeurs de g(2)(0) inférieures à 0,2 et

une largeur spectrale de quelques nm. Pour les boites quantiques on obtient des valeurs très

faibles pour la largeur spectrale et pour la fonction g(2)(0) mais le principal avantage des

boites quantiques est qu'elles peuvent être couplées avec des microcavités optiques ce qui va

améliorer la collection des photons ce qui donnera une émission monomode et une diminution

de la durée de vie des photons. Un autre atout des boites quantiques est le pompage électrique

ou optique, suivant les caractéristiques de la pompe et les paramètres géométriques de la boite

quantique on peut manipuler les longueurs d'ondes des photons uniques émis [11, 9, 8, 12].

Ces caractéristiques ont permis à la boite quantique d'être l'émetteur de photons uniques le

plus utilisé pour les sources à photons déclenchées.

16


λem (nm) 4λ (nm) g(2)(0) τv (ns) ηspu T (K) RemarquesMolécules 500-750 30 0,09 - 0,04 300 non photo-

stabilité

Centrescolorés

NV 670 120 0,07 25 0,02 300photostable

NE8 780 2 <0,2 2 - 300

Boitesquantiques

InAs 950 3.10−3 0,02 1,5 0,05 5couplage

+PompageCdSe/ZnS

500-900 15 0,003 - 0,1 300

InP 670 0,3 0,25 - - 80

Table 2.1 Récapitulatif des caractéristiques des diérents émetteurs uniques pour une sourceà photons uniques déclenchées

2.3.4 Sources à photons annoncés

Les sources à photons annoncés (en anglais heralded single photon source) sont caractérisées

par une forte corrélation entre l'émission d'un photon est un autre évènement. Le principe est

que l'émission du photon est connue à postériori grâce à l'observation de l'évènement qui lui

est corrélé. L'utilisateur de la source ne contrôle pas l'émission du photon qui se présentera

à n'importe quel moment mais nous disposons d'un indicateur qui le prévient de l'arrivée

du photon. Les paires de photons émises d'un composant actif peuvent correspondre à ce

type de source. Pour les sources à photons uniques annoncés nous cherchons pas à contrôler

l'émission d'un photon à partir d'une excitation ou un apport énergétique mais nous cherchons

un mécanisme qui émet les photons par paires. ce qui conduira que la présence d'un photon

garantira toujours la présence de l'autre. Les cristaux non linéaires peuvent être une solution

pour la génération de paires de photons. Le processus de uorescence dans un cristal non

linéaire χ(2) permet de générer, à partir d'une excitation de pompe, une paire de photons,

formée par un photon signal et un photon idler. Cette paire est émise durant un intervalle

de temps qui est typiquement de la centaine de femtosecondes [56]. L. Mandel est le premier à

montrer qu'il est possible d'utiliser l'information temporelle portée par l'un des deux photons

d'une paire paramétrique an de conditionner la préparation d'un état à un photon [55].

Après de nombreuses études ont suivi [101, 77, 107, 102, 84]. Le processus de uorescence

paramétrique étant un phénomène spontané, les paires de photons sont émises d'une manière

aléatoire et une telle source sera qualiée d'asynchrone. En revanche, les lois de conservation

de l'énergie et de l'impulsion imposent des relations bien dénies entre les vecteurs d'ondes

des photons signal et idler. En particulier, les modes spatiaux dans lesquels ces photons sont

émis sont corrélés. Le principe de fonctionnement d'une source à photon unique annoncé est

représenté sur la gure 2.8. Le photon signal , idéalement couplé à un seul mode spatial de

propagation est envoyé sur un photodétecteur. Un clic de photodétection agit alors comme un

annonceur de l'émission complémentaire du photon idler dans le mode spatial corrélé avec

17


celui du photon signal . Comme on connait à la fois l'information spatiale et temporelle

associée à ce photon unique, un tel état correspond à un état à un photon localisé [55],

annoncé par le clic de photodétection sur la voie signal . On peut réaliser un fenêtrage

temporel ecace des photons émis, limitant fortement la possibilité d'observer deux paires

pour le même signal de déclenchement [29, 10].

Figure 2.8 Principe d'une source à photons annoncés

2.3.5 Caractérisation des sources à photons uniques

Après avoir présenté les diérents principes des sources à photons uniques déclenchées et

les sources à photons uniques annoncés, nous décrivons la fonction d'auto-corrélation d'ordre

2, g(2)(τ) qui avec le paramètre P1 qui représente la probabilité d'obtenir un photon unique

sont les paramètres indicateurs de l'unicité des photons émis par la source à photons uniques.

La fonction d'auto-corrélation d'ordre 2 g(2)(τ)

Le fait que les photons uniques sont dégroupés, ils présentent alors une statistique particu-

lière que la fonction d'auto-corrélation d'ordre 2 discernera. Cette fonction mise en expérience

permet de sonder le champ à deux instants diérents pour déterminer leurs corrélations corres-

pondantes. Cette fonction à deux dénitions classiques et quantiques. La dénition classique

de la fonction d'auto-corrélation d'ordre 2 est illustrée par l'équation 2.8 [45] :

g(2)(τ) =< E ∗(t)E ∗(t + τ)E (t + τ)E (t) >

< E ∗(t)E (t) >2(2.8)

Avec E et E ∗le champ électrique scalaire classique et son conjugué. les < > dénissent la

moyenne sur la période T dénie comme :

18


< f (t) >=1

T

∫T

f (t)dt (2.9)

En utilisant des propriétés de symétrie et d'inégalités (type Cauchy-Schwartz), la fonction

g(2)(τ) a deux propriétés remarquables :

g(2)(−τ) = g(2)(τ) (2.10)

Et :

1 ≤ g(2)(τ) ≤ g(2)(0) ≤ ∞ (2.11)

Avec une description quantique la fonction d'auto-corrélation d'ordre 2 est dénie comme :

g(2)(τ) =< E−(t)E−(t + τ)E+(t + τ)E+(t) >

< E−(t)E+(t) >< E−(t + τ)E+(t + τ) >(2.12)

g(2)(0) =< E−(t)E−(t)E+(t)E+(t) >

< E−(t)E+(t) >< E−(t)E+(t) >(2.13)

Avec E− : la densité du champ électrique pour le niveau |0 > et E+ : la densité du champ

électrique pour le niveau |1 >.Les < > pour l'équation 2.12 dénissent une moyenne statistique calculée à l'aide de

l'opérateur densité. Contrairement au cas classique g(2)(τ) n'a pas de propriétés remarquables

dues à la non-commutation des opérateurs ce qui donne :

0 ≤ g(2)(0) ≤ 1 (2.14)

Si nous considérons un système à n photons l'auto-corrélation est égale à :

g(2)(0) = n−1n

< 1pour n ≥ 2

g(2)(0) = 0 < 1pour n = 0ou 1

Dans le cas général en régime impulsionnel on peut approximer le numérateur et le dénu-

mérateur de l'équation 2.13 aux expressions des équations 2.15 et 2.16.

< E−(t)E−(t)E+(t)E+(t) >∝P2+

2(2.15)

< E−(t)E+(t) >< E−(t)E+(t) >∝P1

2× P1

2(2.16)

Ce qui donnera une valeur de g(2)(0) représentée par l'équation 2.17 :

19


g(2)(0) =2P2+

P21

(2.17)

P2+ = P(n ≥ 2) est la probabilité d'avoir plus de deux photons par impulsion et P1 =

P(n = 1) est la probabilité d'avoir un photon.

Alors que si τ est égale au temps entre deux impulsions distinctes g(2)(τ) sera égale à 1.

Donc si on a une émission vraiment à photon unique, g(2)(0) sera nulle car P2+ = 0.

Expérimentalement, comme nous avons remarqué que g(2)(0) est proportionnelle à la pro-

babilité d'avoir deux photons ou plus. L'utilité de mesurer g(2)(τ) est de compter les photons

qui sont émis par la source à photons uniques et comparer leurs temps d'arrivée. Si deux pho-

tons arrivent en même temps, alors l'émission n'était pas une émission à photon unique. Une

photodiode à avalanche (APD) est utilisée. Mais le problème avec la photodiode est quelle ne

peut pas détecter d'autres photons pendant quelques dizaines de nanosecondes qu'on appelle

le temps mort.

Pour aranchir cette limite, Hanbury-Brown et Twiss (HBT) [24] ont utilisé un montage

avec deux photodiodes comme présenté dans la gure 2.9, souvent appelé montage HBT.

Les photons en entrée sont envoyés soit sur une photodiode soit sur l'autre grâce à une lame

séparatrice 50/50. Ainsi deux photons émis en même temps pourront être détectés car il y a une

probabilité de 50% qu'ils soient détectés par chacune des photodiodes. Les photodiodes vont

ensuite envoyer un signal électrique vers une carte d'acquisition qui tracera les coïncidences

temporelles des photons et ainsi caractérisera la source de photon.

La gure 2.10 illustre l'histogramme des coïncidences entre les deux sorties I 1 et I 2. On

observe plusieurs pics écartés à peu près de 400 ns, tous les grands pics correspondent à l'écart

entre deux photons de deux impulsions successives. Plus le pic est petit plus notre source est

une bonne source de photons uniques.

Figure 2.9 Le montage de HBT

20


Figure 2.10 Histogramme de coïncidences [81]

Lors des sections précédentes nous avons traité les diérents types de sources à photons

uniques et nous avons étudié la fonction d'auto-corrélation du second ordre g2(τ) qui est

un indicateur de performance de la source à photons uniques, plus la valeur de g2(τ) est

proche de zéro plus on tend vers le comportement d'une source à photons uniques idéale.

Pour la dernière section de ce chapitre nous illustrons quelques applications de traitement

d'information quantique qui sont basées sur le principe du photon unique.

2.4 Applications des sources à photons uniques

L'information quantique est un nouvel axe de recherche qui bénécie des avantages et des

possibilités oertes par la mécanique quantique pour un traitement plus ecace de l'informa-

tion. Le traitement quantique de l'information a touché deux axes principaux : le premier axe

touche à la communication quantique pour obtenir des nouveaux systèmes et algorithmes de

cryptographies plus ecaces que les systèmes de cryptographie classique [15]. Le deuxième

axe consiste à développer des systèmes informatiques quantiques pour renforcer la capacité

de traitement surtout des microprocesseurs et résoudre le problème de saturation des semi-

conducteurs [61].

2.4.1 Le calcul quantique

Dans le domaine du traitement d'information les premiers axes ouverts par la manipulation

d'objets quantiques individuels ont tout d'abord été abordés par R.Feynman. Dès 1982 il avait

vu que c'était possible de surpasser les dicultés rencontrées dans la simulation classique

des systèmes quantiques en utilisant un ordinateur dont le fonctionnement même serait

basé sur les lois de la physique quantique [39]. A partir de ce moment, l'idée de l'ordinateur

quantique était née et quelques années plus tard elle était formalisée de façon plus précise

21


et concrète par D. Deutsch. Le fonctionnement d'un ordinateur quantique est ainsi basé sur

un système quantique à deux niveaux appelés q-bits ou bits quantiques, dont l'évolution est

contrôlée par des opérations unitaires et sur lesquels les transformations sont eectuées à l'aide

de portes logiques appelées portes quantiques , par analogie avec les portes logiques binaires

de l'électronique numérique. D. Deutsch fut le premier à montrer qu'un ordinateur quantique

permettait de résoudre certains problèmes de façon plus ecace qu'un ordinateur classique [33].

Durant les années 90, deux résultats majeurs d'algorithmiques quantiques allaient illustrer les

capacités prometteuses d'un ordinateur quantique, d'abord avec la découverte de l'algorithme

de Shor [97], permettant la factorisation de nombres premiers en un temps polynomial, puis

avec celle de l'algorithme de Grover, permettant d'accélérer de façon quadratique la recherche

dans une liste non ordonnée [50]. Ces deux résultats ont fortement renforcé l'intérêt autour

de l'information quantique. La réalisation d'un ordinateur quantique devenant en quelques

sortes le nouveau enjeux de la recherche fondamentale en physique. Les dés à relever, tant

théoriques qu'expérimentaux, an de fabriquer un ordinateur quantique sont néanmoins très

importants, ce qui justie l'ampleur des eorts déployés depuis quelques années.

La théorie de l'information quantique utilise une entité quantique, par exemple un atome,

pour coder l'unité élémentaire d'information : le bit quantique, appelé plus couramment q-bit

[95]. Les valeurs 0 et 1 de la base de calcul sont alors représentées par des états quantiques |0>

et |1> de l'entité quantique. Tandis que le bit classique ne peut prendre que la valeur 0 ou 1,

les lois de la mécanique quantique autorisent le q-bit à être dans une superposition cohérente

des états de la base de calcul :

|ψ >= e iξ(cosθ

2|0 > +e iφsin

θ

2|1 >) (2.18)

La phase globale ξ est ici non essentielle, et l'état du q-bit est donc caractérisé par deux

angles : La phase relative φ et l'angle θ dénissant les poids de la superposition d'états. Le

q-bit peut alors être représenté géométriquement par une sphère, appelée sphère de Bloch, où

l'état |Ψ> du q-bit correspond à un point à la surface de la sphère, comme indiqué sur la

gure 2.11.

22


Figure 2.11 Représentation d'un q-bit par une sphère de Bloch

Il est important de noter que tous les points de la surface de la sphère de Bloch corres-

pondent à un état possible d'un q-bit, alors que les valeurs possibles d'un bit classique se

restreignent à deux valeurs qu'on peut identier aux deux pôles de la sphère. Cette dié-

rence essentielle fournit au calcul quantique une partie de sa puissance. A la n d'un calcul

quantique, l'information correspondant au résultat du calcul est obtenue en mesurant l'état

de chaque q-bit. Une mesure est un processus irréversible qui brise la superposition cohérente

d'états |Ψ> du q-bit et le projette dans l'un des états de la base de calcul |0> ou |1>. Le

résultat de la mesure correspond à l'état dans lequel le q-bit a été projeté.

Un ensemble universel de portes logiques quantiques est constitué d'un nombre minimum

de portes nécessaires pour eectuer un calcul quantique quelconque. En eet, toute autre porte

quantique peut se construire par combinaison des portes quantiques de l'ensemble universel

(gure 2.12). Dans [30, 53, 52] nous avons développé une architecture de la porte quantique

CNOT, en se basant sur des composants d'optique linéaire et sur le principe du photon unique.

23


Figure 2.12 Représentation des portes quantiques à deux bits (a) CPHASE, (b) CNOT,(c) CU et (d) SWAP sous la forme de circuits quantiques

2.4.2 La cryptographie quantique

La naissance de cryptographie quantique a eu lieu la n des années soixante avec une

étude qui a été réalisée par S. Wiesner [99]. Cet article était très peu remarqué il a été

refusé pour publication et resta longtemps non publié. S. Wisner y propose deux applications

futuristes des spécicités des systèmes quantiques : il imagine des billets de banque impossibles

à contrefaire, ainsi que le multiplexage de plusieurs messages de sorte que la lecture de l'un

d'entre eux conduit à une destruction irrémédiable des autres messages. C. Bennet et G.

Brassard appliquèrent ensuite ces idées au partage de clé secrète en collaboration avec S.

Wisner et S. Breidbart, ils détournent les bases de la cryptographie quantique en proposant

un moyen permettant de combiner les techniques de cryptographie à clé publique avec le codage

quantique, pour aboutir à la fabrication de jetons de métro infalsiables [16] correspondant à

un stockage quantique de l'information. Quelques années plus tard C. Bennet et G. Brassard

allaient véritablement ouvrir la voie à la distribution quantique des clés, en se rendant compte

qu'il n'était pas nécessaire de stocker l'information de manière quantique, mais seulement de

pouvoir la transmettre. Ils ont pour cela adapté leurs idées précédentes au cas où Alice et Bob

échangent des photons uniques, polarisés suivant deux bases non orthogonales. Le protocole

correspondant est désormais connu sous le sigle BB84 , rappelant les initiales des noms de

ses deux inventeurs ainsi que l'année où il était proposé [16]. BB84 est jusqu'à aujourd'hui

le protocole de cryptographie quantique qui a été le plus étudié tant du point de vue théorique

qu'expérimental. Jusqu'au début des années quatre vingt dix, seule une poignée de chercheurs

s'occupaient de cryptographie quantique et ce n'est véritablement que grâce à l'idée d'A. Ekert,

proposant d'utiliser la non-localité de la physique quantique à des ns cryptographiques [38],

que l'engouement pour la cryptographie quantique s'est répandu dans la communauté des

physiciens. Comme a exprimé G.Brassard lui-même [21], l'entrée dans l'âge d'or de la

cryptographie.

Le schéma global de communication présenté par la gure 2.13 se base sur le partage de clé

24


est le suivant : Alice et Bob sont reliés par deux canaux de communication, un canal classique

et un canal quantique. Le partage de la clé quantique sera assuré par le canal quantique

à travers des q-bits codés sur des photos uniques sur lesquelles Alice et Bob eectuent des

opérations d'encodages et de mesures. Dans [54] nous avons étudié les contraintes physiques

d'un canal de cryptographie quantique.

Figure 2.13 Principe d'une communication sécurisée à travers un mécanisme de cryptogra-phie quantique

Eve l'espion peut écouter librement le canal classique, mais en essayant de détecter les

données véhiculés sur le canal quantique implique des perturbations sur le canal, que Alice et

Bob peuvent détecter. A ce moment ils peuvent agir et limiter les informations qu'Eve peut

recueillir. Cette sensibilité du canal quantique s'appuie sur diérents points :

Le théorème du non clonage des états quantiques, il est impossible de dupliquer un

état d'un q-bit arbitraire. Pour obtenir une information sur l'état quantique d'un objet une

mesure doit être eectuée conduisant à une projection de l'objet quantique mesuré dans l'état

propre correspondant au résultat de la mesure obtenue. Ceci a été démontré par W. Zurek et

W. K. Wootters [114]

On peut encoder les q-bits sur aux moins deux états non orthogonaux, pour que les

données seront sensibles à l'espionnage. Ainsi, toute mesure d'un objet quantique eectuée

dans une base autre que celle des états propres aura une action sur l'objet mesuré. L'espion

qui ignore la base des états propres lors de la réalisation de ses mesures sur les objets quantiques

introduira des erreurs qui seront détectables par les interlocuteurs.

Cependant le partage quantique de l'information n'est pas susant pour aboutir à une

communication sécurisée. Cette contrainte est dût qu'une partie des bits acquis seront non si-

gnicatifs. L'information partagée sur le canal quantique peut contenir des erreurs causées par

le codage imparfait au niveau de l'émission, le bruit du canal de transmission ou aux défauts

25


des systèmes de détections à la réception. Pour remédier à ces problèmes, pour que les inter-

locuteurs puissent aboutir réellement à une clé secrète et pour diminuer le cout du partage de

clé, un ensemble de techniques dites de réconciliation et d'augmentation de condentialité sont

utilisées. Pour cela le deuxième canal de communication dit classique sera utilisé, donc on aura

recours aux techniques de cryptographie classique. L'atout de la cryptographie quantique est

par conséquent de combiner les contraintes que peut imposer un canal quantique à un Espion

avec la puissance héritée des protocoles classiques de partage des clés. Les corrélations parta-

gés à la suite de la communication quantique associées à un traitement classique permettra la

mise en accord de l'émetteur et du récepteur sur la clé secrète, sachant qu'un espion ne peut

connaitre qu'une partie de l'information qu'on peut rendre inniment petite [72]. La puissance

des mécanismes de cryptographies quantiques est nettement plus ecace que les mécanismes

classiques. La cryptographie traditionnelle ne se base pas sur des preuves de sécurité en termes

de théorie de l'information, mais sur des mécanismes mathématiques non prouvés.

La distribution quantique de clé nécessite l'utilisation de photons uniques an de garantir

la sensibilité du canal quantique à toute tentative d'écoute par l'espion Eve. En pratique, la

sensibilité à l'espionnage est diminuée par les erreurs expérimentales et il apparait une limite

sur le taux d'erreur de la transmission entre Alice et Bob au-delà de laquelle la sécurité des clés

ne peut plus être garantie. De façon similaire, l'utilisation d'une source de photons uniques

n'est pas rigoureusement indispensable. Dans le cas où la source produit des impulsions vides,

celles-ci ne contribuent pas à engendrer des données partagées entre Alice et Bob ; à l'inverse,

les impulsions multi-photoniques constituent une source potentielle de fuite d'information vers

l'espion [22].

2.5 L'apport d'une source à photons uniques pour les applica-

tions quantiques

2.5.1 Pour le traitement de l'information quantique

Parmi les supports physiques susceptibles de constituer des bits quantiques, la lumière, ou

plus exactement son constituant ultime, le photon, est l'un des plus résistants à la décohérence.

En eet, au cours de sa propagation que ce soit en espace libre ou dans une bre optique, l'état

quantique d'un photon sera peu perturbé. Cela en fait un candidat de choix pour servir de

support à l'information quantique. L'un des aspects apriori surprenants dans cette proposition

est qu'elle semble impliquer la possibilité d'eectuer des calculs à partir d'opérations exclu-

sivement linéaires. Cependant le principe de fonctionnement de cet d'ordinateur quantique

optique est en fait bien basé sur des non-linéarités, qui sont associées à la photo-détection

et à la post-sélection des résultats. En eet, les résultats des mesures de photo-détection y

26


sont réinjectés dans le calcul sur les bits quantiques à l'aide d'un système de bouclage, ce qui

conduit aux fonctions logiques nécessaires à la réalisation d'un calcul. Le phénomène dit de

coalescence de photons est l'un des éléments de base sur lesquels repose cette proposition. Ce

terme désigne le phénomène intervenant quand deux photons sont incidents de par et d'autre

d'une lame séparatrice. Il se produit alors une interférence entre les diérents chemins quan-

tiques , se traduisant par une annulation de la probabilité d'avoir simultanément un photon

transmis et un photon rééchi des deux côtés de la lame séparatrice en sortie de ce coupleur

linéaire. On observe donc un groupement des photons dans le même mode du champ.

2.5.2 Pour la cryptographie quantique

La distribution quantique de clé nécessite l'utilisation de photons uniques an de garantir

la sensibilité du canal quantique à toute tentative d'écoute par l'espion Eve. En pratique,

la sensibilité à l'espionnage est diminuée par les erreurs expérimentales et il apparait

une limite sur le taux d'erreur de la transmission entre Alice et Bob au-delà de laquelle la

sécurité des clés ne peut plus être garantie. De façon similaire, l'utilisation d'une source à

photons uniques n'est pas rigoureusement indispensable. Dans le cas où la source produit

des impulsions vides, celles-ci ne contribuent pas à engendrer des données partagées entre

Alice et Bob ; à l'inverse, les impulsions multi-photoniques constituent une source potentielle

de fuite d'information vers l'espion [22]. Dans le cas où la quantité d'information concédée

ainsi à l'espion n'est pas prépondérante, la fuite d'information peut être compensée grâce aux

techniques d'amplication de condentialité. Il est par conséquent possible de réaliser une

expérience de cryptographie quantique à l'aide d'une source de photons uniques imparfaites.

C'est en pratique très commode, car cela permet de se contenter d'approximations d'états à un

photon que sont des impulsions cohérentes atténuées. Celles-ci orent l'avantage d'être faciles

à obtenir à partir d'un laser fonctionnant directement en régime impulsionnel, ou bien à partir

d'un faisceau continu dans lequel on découpe des impulsions au moyen de modulateurs

électro-optiques ou acousto-optiques. En dépit de cet aspect pratique, l'utilisation d'impulsions

laser atténuées présente des inconvénients. Pour une telle source, la distribution statistique du

nombre n de photons par impulsion obéit à une loi de Poisson. A l'inverse, une source de

photons uniques conduit essentiellement à des avantages qui sont le pendant des défauts des

impulsions cohérentes atténuées. Pour cela les sources à photons uniques déclenchée à base

d'une boite quantique isolée et la source à photons uniques annoncés qui délivrent des photons

uniques avec une probabilité P1très proche de un et une fonction d'auto-corrélation g(2)(0)

proche de zéro peuvent être utilisées pour les applications de cryptographie quantique. Puisqu'il

n'existe plus de fuite d'information due aux impulsions comportant plus de deux photons, la

cadence de transmission et l'ecacité de la source n'ont pas à être diminuées pour optimiser

27


le niveau de sécurité de la clé entre Alice et Bob.

Résumons ci-dessous les atouts et les facteurs de méritent d'une source à photons uniques

pour la réalisation d'un mécanisme de cryptographie quantique :

Les propriétés statistiques d'émission de la source. L'écart à une statistique idéale de

photons uniques, que ce soit à cause d'un taux résiduel d'impulsions à deux photons ou

à cause de la proportion d'impulsions vides de photons, aectera fortement les perfor-

mances du partage de clé secrète, en termes de taux de transmission et de niveau de

sécurité.

Les caractéristiques spectrales de la source. Si la longueur d'onde d'émission de la source

détermine le canal optique utilisable en pratique (bre optique ou espace libre) la largeur

spectrale et la stabilité du prol spectral vont jouer un grand rôle sur l'évolution du taux

d'erreur au fur et à mesure de la propagation.

La durée des impulsions à un photon. Ce paramètre est directement relié à la dynamique

du processus d'émission. On préfèrera disposer d'impulsions à un photon de courte durée,

de sorte qu'il soit ensuite possible d'établir un fenêtrage temporel étroit au niveau du

système de détection, de manière à limiter l'inuence des coups d'obscurité des détecteurs

et à diminuer ainsi le taux d'erreur dans la transmission.

2.6 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté une caractéristique très importante de la lumière

qui est la dualité onde-corpuscule. Dans une deuxième partie nous avons étalé le principe

des sources à photons uniques, d'une part les sources déclenchées et les diérents types de

structures qui peuvent jouer le rôle d'émetteur unique pour ce genre de source à photons

uniques. Nous avons vu que les molécules à basse température et les ions piégés présentent un

inconvénient majeur et que ces composants sont non photostables. Pour les centres colorés de

diamant ce sont des structures complexes diciles à manipuler où le contrôle de l'émission des

photons uniques est une opération complexe. Contrairement aux autres émetteurs de photons

uniques les boites quantiques présentent un ensemble d'avantages ce qui leur a permis d'être

les émetteurs les plus utilisés pour les sources à photons uniques déclenchées. Les BQ sont

photostables et le contrôle énergétique peut se faire par le choix des paramètres géométriques

de la boite et par le choix de la pompe. D'autre part, nous avons présenté les sources à photons

uniques annoncés qui ont un principe de fonctionnement diérent des sources à photons uniques

déclenchées. Pour cette deuxième catégorie de source les photons sont générés par paires où l'un

des photons annoncera l'arrivée du deuxième. Les sources à photons uniques déclenchées à base

de boites quantiques et les sources à photons uniques annoncés présentent des performances

considérables soit une probabilité d'obtention de photon unique P1 élevée et une fonction

28


d'auto corrélation g2(0) proche de zéro. Pour cet argument notre travail sera consacré pour

l'étude de ces deux sources à photons uniques. La dernière section de ce chapitre a été consacrée

pour les applications quantiques concernant les algorithmes de cryptographie quantique et

les applications de calcul quantique et l'importance d'avoir une source à photons uniques

pour augmenter le rendement de ces applications. Pour le second chapitre, nous étudierons

le principe et les caractéristiques des boites quantiques dans le cadre d'une source à photons

uniques déclenchée.

29

Etude et modelisationdes boites quantiquesInAs/GaAs

3

3.1 Introduction

Le chapitre précédent, a présente les diérents agents qui peuvent jouer le rôle d'un émet-

teur de photons uniques pour une source à photons déclenchée. Nous avons détaillé l'intérêt

et les avantages que présentent les boites quantiques, comme des structures actives pouvant

émettre des photons uniques grâce à la quantication des niveaux d'énergie à l'intérieur de ces

boites. Dans ce chapitre nous présentons notre modèle d'étude des boites quantiques pyrami-

dales se basant sur la méthode de la masse eective et nous détaillons le principe d'excitation

des boites quantiques. Nous illustrons les paramètres optiques et géométriques de la boite

quantique qui est caractérisée par un mode fondamental et émettant un photon à 1550 nm.

Finalement, nous analysons le comportement dynamique de la boite quantique sous excitation

en insistant sur l'intensité des excitons et biexcitons.

3.2 Principe des boites quantiques

3.2.1 La quantication des niveaux d'énergie

Les premières structures développées qui permettent la quantication des niveaux d'éner-

gie étaient les hétéro-jonctions réalisées par épitaxie en phase liquide à la n des années 1960.

Durant les années 1970 et grâce aux méthodes de croissance ecaces telles que l'épitaxie par

jets moléculaires, la réalisation consécutive de deux hétéro-jonctions est devenu possible et a

permis d'obtenir une hétéro-structure, nommée puits quantique. Dans un puits quantique, le

connement des porteurs (les électrons et les trous) sera réalisé en utilisant au centre de la

double hétéro-jonction un matériau de gap plus faible que le gap du matériau environnement.

30

Chapter 3 : Etude et modélisation des boites quantiques InAs/GaAs

Ces structures sont des structures à connement bidimensionnel puisque les électrons et les

trous sont piégés dans une direction (l'axe de la croissance) et sont libres dans le plan des

couches. La gure 3.1 montre l'alignement des bandes de valence et de conduction et l'occu-

pation des bandes de valences par des trous et l'occupation des bandes de conductions par

électrons pour le cas d'une double hétéro-jonction InAs/InP.

Figure 3.1 (a) bandes de valence et de conduction pour une hétéro jonction InAs/InP lesvaleurs des gaps sont données à 300K (b) l'état d'une boite quantique excité, présence desélectrons et trous sur les bandes de conduction et les bandes de valence

Comme illustré dans la gure 3.2, les premières nanostructures étudiées sont les puits quan-

tiques (systèmes 2D). Ces hétéro-structures présentent des propriétés physiques intéressantes

par rapport aux matériaux massifs. D'une part, pour la possibilité de contrôle du comporte-

ment optique en jouant sur la composition et l'épaisseur des couches et grâce à l'amélioration

de la probabilité de recombinaison. D'autre part, nous avons une réduction du couplage des

porteurs avec les phonons causé par la modication du diagramme de bande due à la quanti-

cation le long de l'axe de la croissance. Durant les années 1980, des recherches ont été entamées

pour conner les porteurs dans plusieurs directions de l'espace an d'obtenir des structures

avec des dimensions plus petites que les puits quantiques et ainsi améliorer le connement des

porteurs à l'intérieur de la structure. Des ls quantiques (système 1D) ont été réalisé en faisant

l'intersection de deux puits quantiques orthogonaux [83]. Les premiers systèmes (0D) ont été

développés à base de nanocristaux sphériques d'un semi-conducteur II-VI, par exemple CdSe

ou CdS, dans un verre fondu. Le verre sert comme une barrière aux nanocristaux. Les pre-

miers travaux sur les nonocristaux ont député en 1932 [89]. Il a fallu attendre les années 1980

pour avoir la preuve qu'un connement tridimensionnel est possible à l'intérieur des nanocris-

taux [36]. C'est dans cette période aussi que fut imaginée l'utilisation des boites quantiques

dans les lasers [6], ainsi que la fabrication et l'observation des premières boites quantiques en

31


semi-conducteurs III-V (InAs/GaAs) lors de la croissance de puits contraints [46].

Figure 3.2 Évolution de la densité d'états en fonction de l'énergie dans les systèmes 3D, 2D,1D et 0D (a) un matériau 3D et la densité d'états correspondante (b) puit quantique (système2D) et la densité des états correspondante (c) l quantique (système 1D) et la densité desétats correspondante (d) boite quantique (système OD) et la densité des états correspondante

Figure 3.3 Prol microscopique d'îlots d'InAs sur GaAs [49]

32


3.2.2 Les avantages des boites quantiques

Les boites quantiques possèdent un ensemble d'avantages par rapport aux puits et aux ls

quantiques grâce au connement tridimensionnel des porteurs :

Un gain optique plus élevé car la densité d'état est sous la forme de pics de Dirac ce qui

concentre les porteurs sur des bandes d'énergies plus étroites.

Un courant de seuil laser abaissé car la discrétisation des niveaux d'énergies fait que le

nombre des porteurs nécessaire à l'inversion de population est plus faible.

La densité des porteurs sur les niveaux d'énergies est non variable parce que la diérence

entre les niveaux énergétiques est supérieure à l'agitation thermique. Par conséquent le gain

du laser est stable par rapport à la température.

Cependant, les méthodes de fabrication actuelles des boites quantiques posent quelques

problèmes et ajoutent de nouvelles contraintes par rapport aux modèles théoriques des boites

quantiques :

Il est délicat de contrôler les dimensions des boites quantiques, lors du processus de

fabrication. La distribution des tailles entraine une distribution des niveaux énergétiques. On

n'observe donc pas des fonctions delta comme le cas du modèle théorique idéal, mais des

distributions Gaussiennes

. Le volume utile d'un plan de boites quantique est plus faible que celui d'un puits.

3.2.3 Les caractéristiques des boites quantiques

Pour toutes les applications optiques qui utilisent des boites quantiques, il est nécessaire de

connaitre les niveaux d'énergie de ces boites. Une fois nous excitons la boite quantique par un

laser, une ou plusieurs paires d'électron-trou que nous appelons porteurs peuvent occuper les

états énergétiques de la boite. Le nombre de paires présentes modie et inuence de manière

importante le spectre d'émission d'une boite quantique comme présenté sur la gure 3.4. La

modication du spectre d'émission due à la variation du nombre des porteurs s'explique par

l'interaction colombienne et d'échange entre les porteurs présents dans la boite. L'intensité des

interactions est proportionnelle au recouvrement des fonctions d'onde des porteurs à l'intérieur

de la boite quantique.

33


Figure 3.4 Spectre d'émission d'une boite quantique unique en fonction du nombre de pairsélectrons trous [14]

La gure 3.5 représente les premiers niveaux d'énergie d'une boite quantique. A chaque

niveau est associé un état propre |mn > qui lui correspond un moment angulaire lmn = m−n.L'état qui représente la plus basse énergie (s-shell) pour les électrons et les trous est illustré

par le niveau |00 > de moment angulaire nul. L'état suivant (p-shell) est représenté par deux

niveaux dégénérés |01 > et |10 > de moment angulaire ±1. Chacun de ces niveaux peut être

occupé par deux électrons (respectivement trous) avec des orientations de spins opposées. Les

transitions optiques sont permises lorsqu'un électron et un trou sont localisés sur un même

état .

34


Figure 3.5 Modélisation des boites quantiques avec des états S et P

L'état exciton

Lorsqu'un seul exciton est présent dans la boite, il se localise au niveau fondamental c'est-à-dire

au niveau du s-shell comme présenté sur la gure 3.6.

Figure 3.6 État excitonique d'une boite quantique : l'électron en noir, le trou en blanc

Lorsque l'exciton se recombine, l'énergieεx du photon émis égale à l'énergie de l'état exci-

tonique E x :

εx = Ex = Ee − Eh − Jeh (3.1)

Avec : Ee : l'énergie du niveau électronique

Eh : l'énergie du trou

35


Jeh : énergie d'attraction Colombienne

L'état biexciton

Si nous avons deux excitons présents dans la boite, ils se localisent au niveau fondamental

c'est-à-dire au niveau du s-shell, nous avons un état appelé biexciton comme présenté sur la

gure 3.7, l'énergie de l'état biexcitonique est égale à :

ε2x = 2Ee − 2Eh + Jee + Jhh − 4Jeh (3.2)

Figure 3.7 État biexcitonique d'une boite quantique

Où J ee(J hh) est l'énergie de répulsion colombienne entre deux électrons (respectivement

trous). Lorsqu'un porteur (paire électron-trou) du exciton se recombine nous passons de l'état

biexcitonique à l'état excitonique. Un photon est émis avec une énergie :

ε2x = E2x − Ex = Ee − Eh + Jee + Jhh − 3Jeh (3.3)

Les énergies d'émissions de l'exciton et du biexciton sont diérentes en raison de la présence

de nouveaux termes d'interaction colombienne. L'écart énergétique qui sépare les pics associés

à l'exciton et au biexciton est appelé énergie de liaison du biexciton ∆(2X ) présenté par

l'équation 3.4 :

∆(2X ) = εx − ε2x = 2Jeh − Jee − Jhh (3.4)

Cette convention implique que ∆(2X ) est positif (ou négatif) si la raie biexcitonique ap-

parait à plus basse (ou haute) énergie que la raie excitonique. Sur les boites quantiques III-V,

l'énergie de la liaison du biexciton varie entre 9meV pour des boites InAs/AlAs [93] et −9meV

pour des boites InAs/GaAs [117], ceci est montré au niveau de la gure 3.8

36


Figure 3.8 Exemples d'énergies de liaison du biexciton : (a) boite quantique InAs/AlAs[93], (b) boite InAs/GaAs [117], chaque spectre est étudié en fonction de la polarisation

Il faut savoir que l'énergie de liaison du biexciton dépend de plusieurs paramètres :

Les semi-conducteurs utilisés : l'énergie de la liaison pour les boites quantiques II-VI est

nettement plus importante que pour les III-V parce que des paramètres comme la constante

diélectrique et les permittivités relatives sont diérents.

La taille des boites qui inuence les termes d'interaction Colombienne [106].

La forme des boites qui agit sur la forme de la fonction d'onde et sur la localisation des

porteurs [53].

Les champs piézoélectriques internes [91].

Le nombre de niveaux d'énergie excités présents dans la boite qui inuent sur les termes

de corrélation [90].

Les autres états multiexcitoniques :

Pour les autres états multiexcitoniques ou nous avons un nombre de porteurs supérieur à

deux dans la boite quantique, la boite se rempli successivement de trois puis quatre, cinq,

. . . excitons. Si trois excitons sont piégés à l'intérieur de la boite : deux excitons se localisent

au niveau du s-shell et un exciton au niveau du p-shell. Si l'exciton de recombine en premier

est l'exciton situé au p-shell alors un pic au niveau du p-shell est observé. Si c'est un exciton du

s-shell qui se recombine en premier, nous avons deux possibilités selon que les deux électrons

restants ont leurs spins parallèles ou antiparallèles. C'est deux états n'ont pas la même énergie.

Les deux pics sont attendus au niveau du s-shell et peuvent être séparés d'une dizaine de meV

[96]. Un deuxième point, les deux pics du s-shell n'ont pas la même intensité car les deux

possibilités d'émission envisagées précédemment n'ont pas la même probabilité de se produire

[96]. Le pic de plus forte intensité du s-shell correspond au cas où les deux électrons restant ont

un spin parallèle. Si de nouvelles paires sont ajoutés au triexciton, il faut prendre en compte

toutes les recombinaisons possibles et tous les arrangements des spins des porteurs restants.

Notre étude des boites quantiques se limitera aux deux cas excitonique (présence d'une seule

paires électron-trou au niveau s-shell dans la boite) et biexcitonique (présence de deux paires

37


d'électron-trou). Nous développons une méthode numérique pour calculer les niveaux d'énergie

pour les boites quantiques pyramidales. Nous étudions les boites quantiques InAs/GaAs, nous

essayons de choisir les paramètres géométriques adéquats pour obtenir un niveau d'énergie

fondamental qui nous permettra d'avoir une émission d'un photon unique à 1550nm.

3.3 Calcul des états excitoniques des boites quantiques

L'objectif de cette partie est de calculer les diérents niveaux énergétiques qui vont être

occupés par les électrons et les trous. Une fois nous avons les diérentes valeurs de ces ni-

veaux nous pouvons calculer les diérentes énergies des photons qui seront émis par la boite

quantique. Nous essayons de développer une méthode numérique qui se base sur le modèle

de la masse eective et qui permettra de calculer les diérents niveaux énergétiques des dié-

rents types des boites quantiques. Nous utilisons ce modèle pour étudier l'eet de la variation

des paramètres physiques (le choix des matériaux de la boite quantique) et des paramètres

géométriques (forme de la boite quantique et les dimensions). Nous choisirons les paramètres

optimaux pour obtenir une BQ qui émet un photon unique à 1550nm suite à la désexcitation

du niveau fondamental.

3.3.1 Présentation du modèle

Nous avons développé un modèle numérique, qui calcule les états excitoniques pour des

boites quantiques pyramidales en tenant compte des dimensions et des caractéristiques phy-

siques des matériaux utilisés. Nous calculons les niveaux d'énergies où les électrons et les trous

vont être connés dans la boite quantique. Pour calculer les énergies des photons émis du à

la recombinaison de ces porteurs. L'équation principale de ce problème qu'on va résoudre est

l'équation de Schrödinger présentée par l'équation 3.5 :

−∇.( h2

2m(r , λ)∇u) + V (r)u = λu (3.5)

Où h2 la constant réduite de Plank, λ est la valeur supposée recherchée et u(r) la fonction

propre recherchée. La masse eective m(r , λ) et le potentiel conné V (r) sont discontinus tout

au long de l'hétéro-jonction. Pour un nombre d'ondes limités m(r , λ) peut être approximé par

la masse eective dans la zone centrale de Brillouin. m(λ) et V (r) sont représentés en fonction

de (r) dans l'équation 3.6 :

m(r , λ) =

min(λ)

mout(λ)V (r)

Vin

Vout

(3.6)

38


min(λ), Vin représentent la masse eective et le potentiel conné à l'intérieur de la boite

quantique. mout(λ), Vout représentent la masse eective et le potentiel conné à l'extérieur

de la boite quantique. Nous discrétions, le volume tout au long des trois axes X , Y et Z .

Nous écrivons l'équation de Schrödinger pour les diérentes parties du volume. Pour résoudre

le problème de discontinuité entre ces parties nous utilisons la condition de Ben Daniel-Duke

comme indiqué dans l'équation 3.7

(1

m(r , λ)

∂u∂n

)indot = (1

m(r , λ)

∂u∂n

)inmatrix (3.7)

L'équation 3.5 peut s'écrire comme suit :

−∇h(~m∇hu) + Vu = λ.u (3.8)

Où m et V représentent la surface moyenne de (m) et le volume moyen de V sur le volume

représenté par la boite quantique. Pour discrétiser le volume du cube qui contient la pyramide

représentée par la gure 3.9, nous utilisons un pas ∆x= ∆y= ∆z . Nous présentons l'équation

3.5 dans toutes les parties de la boite quantique :

Figure 3.9 Modèle d'une boite quantique pyramidale dans une matrice tridimensionnelle

A l'extérieur de la pyramide :

39


1(∆x)2

(~2

2moutui−1,j ,k − ~2

2moutui ,j ,k + ~2

2moutui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

(~2

2moutui ,j−1,k − ~2

2moutui ,j ,k + ~2

2moutui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2

2moutui ,j ,k−1 − ~2

2moutui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)= Vout .ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.9)

A l'intérieur de la pyramide :1

(∆x)2

(~2

2minui−1,j ,k − ~2

2minui ,j ,k + ~2

2minui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

(~2

2minui ,j−1,k − ~2

2minui ,j ,k + ~2

2minui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2

2minui ,j ,k−1 − ~2

2minui ,j ,k + ~2

2minui ,j ,k+1

)= Vin .ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.10)

A la surface Ouest de la pyramide :

1(∆x)2

(~2

2moutui−1,j ,k − ( ~2

2min+ ~2

2mout)ui ,j ,k + ~2

2minui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

.(

~24min

+ ~24mout

). (ui ,j−1,k − 2ui ,j ,k + ui ,j+1,k ) +

1(∆z )2

(~2

2minui ,j ,k−1 − ( ~2

2min+ ~2

2mout)ui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(Vout+Vin

2

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.11)

A la surface sud de la pyramide :

1(∆x)2

.(

~24min

+ ~24mout

). (ui−1,j ,k − 2ui ,j ,k + ui+1,j ,k ) +

1(∆y)2

(~2

2moutui ,j−1,k − ( ~2

2min+ ~2

2mout)ui ,j ,k + ~2

2minui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2

2minui ,j ,k−1 − ( ~2

2min+ ~2

2mout)ui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(Vout+Vin

2

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.12)

A la surface de base de la pyramide :

1(∆x)2

.(

~24min

+ ~24mout

). (ui−1,j ,k − 2ui ,j ,k + ui+1,j ,k ) +

1(∆y)2

.(

~24min

+ ~24mout

). (ui ,j−1,k − 2ui ,j ,k + ui ,j+1,k ) +

1(∆z )2

(~2

2moutui ,j ,k−1 − ( ~2

2min+ ~2

2mout)ui ,j ,k + ~2

2minui ,j ,k+1

)=(Vout+Vin

2

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.13)

A l'arrête sud-ouest de la pyramide :

40


1(∆x)2

(~2

2moutui−1,j ,k − ( ~2

2mout+ ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j ,k + ( ~2

4min+ ~2

4mout)ui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

(~2

2moutui ,j−1,k − ( ~2

2mout+ ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j ,k + ( ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2

2minui ,j ,k−1 − ( ~2

2min+ ~2

2mout)ui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(

2.Vout+Vin

3

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.14)

A l'arrête ouest de la surface de la pyramide :

1(∆x)2

(~2

2moutui−1,j ,k − ( ~2

2mout+ ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j ,k + ( ~2

4min+ ~2

4mout)ui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

.(

7.~216.mout

+ ~216.min

). (ui ,j−1,k − 2ui ,j ,k + ui ,j+1,k ) +

1(∆z )2

(~2


moutui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(

7.Vout+Vin

8

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.15)

A l'arrête sud de la surface de la pyramide :

1(∆x)2

.(

7.~216.min

+ ~216.mout

). (ui−1,j ,k − 2ui ,j ,k + ui+1,j ,k ) +

1(∆y)2

(~2

2moutui ,j−1,k − ( ~2

2mout+ ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j ,k + ( ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2


2moutui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(

7.Vout+Vin

8

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.16)

Pour l'angle sud-ouest de la pyramide :

1(∆x)2

(~2

2moutui−1,j ,k − ( ~2

2mout+ ~2

16mout+ ~2

16min)ui ,j ,k + ( 7~2

16mout+ ~2

16mout)ui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

(~2

2moutui ,j−1,k − ( ~2

2mout+ ~2

16min+ ~2

16min)ui ,j ,k + ( 7~2

16mout+ ~2

16mout)ui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2

2minui ,j ,k−1 − ~2

2moutui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(

23.Vout+Vin

24

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.17)

Pour le sommet de la pyramide :

41


1(∆x)2

(~2

2moutui−1,j ,k − ~2

2moutui ,j ,k + ~2

2moutui+1,j ,k

)+

1(∆y)2

(~2

2moutui ,j−1,k − ~2

4moutui ,j ,k + ( ~2

4min+ ~2

4mout)ui ,j+1,k

)+

1(∆z )2

(~2

2minui ,j ,k−1 − ( ~2

2mout+ ~2

2min)ui ,j ,k + ~2

2moutui ,j ,k+1

)=(Vout+2.Vin

3

).ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k

(3.18)

Nous présentons la forme générale des équations de 3.9 à 3.18. i, j et k représentent les

coordonnées du point dans le volume du substrat. Xm, Yp, Ym, Yp, Zm, Zp, A1, A2, A3, K1

et K2 sont des constantes, leurs valeurs dépendent de la zone auquel appartient le point en

tenant compte des conditions aux limites :

1(∆x)2

(Xm .ui−1,j ,k − A1.ui ,j ,k + Xp .ui+1,j ,k ) +1

(∆y)2(Ym .ui ,j−1,k − A2.ui ,j ,k + Yp .ui ,j+1,k ) +

1(∆z )2

(Zm .ui ,j ,k−1 − A3.ui ,j ,k + Zp .ui ,j ,k+1) = (K1.Vin + K2.Vout) .ui ,j ,k − λ.ui ,j ,k(3.19)

Nous avons un système linéaire à résoudre de la forme :

MO .FT = λ.I .FT (3.20)

M0 est une matrice symétrique positive, toutes les valeurs propres sont alors positives. La

taille de la matrice dépend du degré de discrétisation du volume. Si nous avons R, S et T

points tout au long les directions X ,Y et Z , nous obtenons R × S × T comme taille de la

matrice carré M0 . I est la matrice identité. La forme de la matrice M0 est donnée par :

M0 =

M B1 0 0 C1 0 0 0

B2 N B1 0 0 C1 0 0

0 B2 M B1 0 0 C1 0

0 0 B2 M 0 0 0 C1

C2 0 0 0 M B1 0 0

0 C2 0 0 B2 M B1 0

0 0 C2 0 0 B2 M B1

0 0 0 C2 0 0 B2 M

(3.21)

42


M , B1, B2, C1 et C2 sont des matrices T × T :

M =

C Zp 0 0

Zm C Zp 0

0 Zm C Zp0 0 Zm C

(3.22)

B1 =

Yp 0 0 0

0 Yp 0 0

0 0 Yp 0

0 0 0 Yp

(3.23)

B2 =

Ym 0 0 0

0 Ym 0 0

0 0 Ym 0

0 0 0 Ym

(3.24)

C1 =

Xp 0 0 0

0 Xp 0 0

0 0 Xp 0

0 0 0 Xp

(3.25)

C2 =

Xm 0 0 0

0 Xm 0 0

0 0 Xm 0

0 0 0 Xm

(3.26)

3.3.2 Calcul de l'état excitonique et biexcitonique

Dans cette partie, nous présentons les résultats de simulation de notre modèle pour une

boite quantique pyramidale d'InAs/GaAS, qui consiste à une pyramide d'InAs située dans un

cube de GaAs. Nous étudions l'inuence des paramètres géométriques de la boite quantique

sur les valeurs propres qui correspondent aux énergies des électrons et des trous. Pour l'InAs

le modèle de la masse eective nous donne pour les électrons m∗e = 0, 024m0, et pour les trous

m∗h = 0, 4m0 et V in = 0, 0 [57]. Pour le GaAs le modèle de la masse eective nous donne pour

les électrons m∗e = 0, 067m0 et pour les trous m∗h = 0, 5m0 et V in = 0, 7 [57]. Nous calculons les

diérents niveaux d'énergies pour cette boite quantique mais avec des dimensions diérentes.

Le tableau représente les dimensions des trois boites quantiques que nous étudions.

43


Structure 1 Structure 2 Structure 3

Base de la pyramide (nm) 6,2 12,4 24,8Hauteur de la pyramide (nm) 3,1 6,2 12,4

Dimension de la matrice GaAs (nm) 12.4Ö12.4 Ö9,3 24.8Ö24.8Ö18.6 49.6Ö49.6Ö37.2

Table 3.1 Les dimensions des diérentes boites quantiques modélisées

La résolution du système linéaire représenté par l'équation 3.20 nous donne les diérents

niveaux d'énergies discrets à l'intérieur de la boite quantique. Ces niveaux d'énergies sont les

niveaux qui seront occupés par les électrons qui ont une énergie E e et les niveaux qui seront

occupés par les trous qui ont une énergie E h . Les niveaux d'énergie des électrons et des trous

pour les trois structures sont présentées respectivement dans le tableau 3.2 et le tableau 3.3 :

λ(ev) structure 1 structure 2 structure 3

λe1 1,3794 0,78043 0,49257λe2 1,170 1,0392 0,71916λe3 1,360 1,0423 0,72137

Table 3.2 Les valeurs propres qui correspondent aux niveaux d'énergies des électrons pourles trois structures décrites précédemment


λh1 0,58726 0,28418 0,10009λh2 0,82266 0,44263 0,15807λh3 0,82554 0,44333 0,15826

Table 3.3 Les valeurs propres qui correspondent aux niveaux d'énergies des trous pour lestrois structures décrites précédemment

Les photons sont crées au moment de la recombinaison des électrons et des trous. Si nous

avons la présence d'une seule paire d'électron-trou les porteurs vont être situés au niveau

énergétique fondamental nous sommes dans le cas exciton. Dans ce cas le photon crée par la

désexcitation de cette paire peut être calculé par l'équation 3.1. L'énergie du photon pour cette

conguration est calculée pour les trois structures précédentes, les résultats sont présentés dans

le tableau 3.4.


E x (eV ) 0,79213 0,49624 0,3824E x (nm) 1566 2498 3242

Table 3.4 L'énergie du photon du mode fondamental pour les trois structures

La boite quantique va jouer le rôle du composant actif générateur de photons, qui seront

44


émis suite à la recombinaison des électrons et des trous connés dans la boite quantique. Le

tableau 3.4 montre que la structure 1 nous délivre un exciton qui émet un photon autour de

1550 nm lorsque une seule paire de porteur est située dans le mode fondamental de la BQ.

Nous calculons l'énergie du photon émis suite à la recombinaison du biexciton (présence de

deux paires de porteurs sur le niveau fondamental) ,pour cette même structure en se basant

sur l'équation 3.2nous obtenons une énergie du photon E xx = 0, 80113eV .

Après avoir calculé les valeurs des niveaux d'énergies de la boite quantique et l'énergie

des photons émis suite à la désexcitation de l'exciton et du biexciton. Nous étudions la force

d'oscillateur de la boite quantique en fonction de la durée de vie radiative du photon ensuite

nous traitons le comportement dynamique des états excitoniques et biexcitoniques de la boite

quantique.

3.3.3 Étude de la force d'oscillateur de la boite quantique InAs/GaAs

Nous étudions la force d'oscillations f qui est la force d'oscillations des porteurs une fois

piégés dans la boite quantique. Prenons le cas d'un exciton (une seule paire de porteurs) dans

une boite quantique, nous analysons l'inuence de la durée de vie radiative de l'exciton Le

temps de vie radiative est relié à la force d'oscillateur par la formule 3.27 :

f =1

tx

1

ω2

3πε02mc3

ne2(3.27)

tx : la durée de vie radiative.

ω : la pulsation

ε0 : la permittivité du vide

m : masse de l'électron dans le vide

n : l'indice de réfraction de l'InAs

e : la charge élémentaire

La gure 3.10 représente la force de l'oscillateur en fonction de la durée de vie radiative

qui varie de 100ps à 1000ps. Comme nous allons le voir dans le chapitre 4 la force de l'oscil-

lateur est un paramètre important de la boite quantique. Ce paramètre a une inuence sur

les performances de la source à photons uniques déclenchée, puisque le régime de couplage de

la boite quantique avec la microcavité résonante dépend directement de la force d'oscillateur.

Pour garantir le régime de couplage fort, il faut avoir un temps de vie radiative court c'est

à dire une force d'oscillateur importante. En utilisant l'équation 3.27, nous calculons la force

d'oscillateur pour les boites quantiques d'InAs/GaAs le résultat obtenu est f = 22. Cette

valeur sera utile pour étudier le régime de couplage de la boite quantique InAs/GaAs avec la

cavité résonante dans le chapitre suivant. Après avoir calculé les valeurs énergétiques de l'exci-

ton et du biexciton et avoir calculé la force d'oscillateur pour la boite quantique d'InAs/GaAs

45


que nous avons modélisé, nous étudions l'intensité des raies excitonique et biexcitonique en

fonction de la puissance de pompage.

Figure 3.10 Forces de l'oscillateur en fonction de la durée de vie radiative

3.4 Étude du comportement dynamique de la boite quantique

3.4.1 Évolution de l'intensité des raies excitoniques de la boite quantique

en fonction de la puissance d'émission

Nous étudions le comportement des raies excitoniques en fonction de la puissance d'exci-

tation. Nous supposons que l'injection des porteurs se fait d'une manière aléatoire et que les

porteurs sont capturés indépendamment les uns des autres et la capture ne dépend pas de

l'état de charge de la boite quantique. Les porteurs sont capturés par paires (électrons-trous).

τn est le temps de recombinaison associé aux diérents états de charge de la boite quantique.

P(n) est la probabilité à l'état stationnaire d'avoir n paires électrons trous à l'intérieur de

la boite quantique. Nous introduisons le paramètre 1τa

qui représente le taux d'injection des

paires électrons-trous. Cette quantité dépend de la puissance d'incidence P : P = Bτa

avec

B un coecient de proportionnalité. L'accroissement d'avoir n paires présentes dans la boite

quantique pour n ≥ 1 est décrite par l'équation 3.28 :

46


dP(n)

dt=

P(n + 1)

τn+1+

P(n − 1)

τa− P(n)(

1

τa+

1

τn) (3.28)

Nous passons à un état où la boite quantique est chargée par n paires en partant d'une

boites chargées par (n+1) paires d'électrons-trous et en recombinant une des (n+1) paires ou

en partant de (n−1) paires et en piégeant une nouvelle paire. Nous sortons de l'état où la boite

est chargée par n porteurs soit par l'injection d'une nouvelle paire ou par la recombinaison

d'une des n paires.

Pour n = 0 l'équation 3.28 s'écrit comme présenté dans l'équation 3.29 :

dP(0)

dt=

P(1)

τr− P(0)

τa(3.29)

En régime stationnaire pour (n ≥ 0,dP(n)dt

= 0) nous obtenons la relation 3.30 :

P(n) =

∏ni=1 τiτna

P(0) (3.30)

Les probabilités de présence peuvent d'écrire sous la forme de l'équation 3.31 :

P(n) =(∏n

i=1 τi)/τna∑+∞

k=0(∏k

i=1 τi)/τka

(3.31)

L'équation 3.31 nécessite de connaitre tous les temps de recombinaison τn , ce qui n'est pas

le cas. Nous faisons l'hypothèse que la probabilité d'une paire électron-trou se recombine est

indépendante à la fois du niveau dans lequel elle se trouve et de l'état de la charge totale. Le

taux de recombinaison de l'état associé à n paires électron-trous est égal à n fois le taux de

recombinaison de chaque paire : 1τr

:

1

τn=

nτr

(3.32)

Sous cette hypothèse l'équation 3.28 peut s'écrire sous la forme 3.33

dP(n)

dt=

(n + 1)P(n + 1)

τr+

P(n − 1)

τa− P(n)(

1

τa+

nτr

) (3.33)

L'injection des électrons trous dans la boite quantique dépend de la puissance d'excitation,

la probabilité P(n) d'obtenir n excitons dans la boite quantique suit une loi poisonienne comme

indiqué dans l'équation 3.34 :

P(n) =< n > n

n!e−<n> =

1

n!(P

P sat)ne−

PPsat (3.34)

Où < n > est le nombre moyen de paires électrons-trous crées par impulsion, dépendant

47


linéairement de la puissance d'incidence P , Psatest la puissance de saturation et n est le nombre

de paires électrons-trous dans la boite quantique.

La probabilité d'avoir au moins une paire électron-trou dans la boite quantique :

nx = 1− P(0) = 1− e−P

Psat (3.35)

L'intensité de la raie excitonique Ix est proportionnelle à nx :

Ix = I0(1− P(0)) = I0(1− e−P

Psat ) (3.36)

Où I0 : caractérise l'ecacité de collection.

La probabilité d'avoir au moins deux paires électron-trou dans la boite quantique :

nxx = 1− P(0)− P(1) = 1− e−P

Psat − PPsat

e − PPsat

(3.37)

L'intensité de la raie biexcitonique Ixx est proportionnelle à nxx :

Ixx = I0(1− P(0)− P(1)) = I0(1− e−P

Psat − PPsat

e − PPsat

) (3.38)

Après l'émission du biexciton, la probabilité qu'il reste des paires électrons-trous au niveaux

énergétiques supérieurs est non nulle. donc on peut avoir un passage d'une paire électron trou

du niveau énergétique supérieur au mode fondamental ce qui donnera naissance à un nouveau

biexciton ce phénomène est appelé le phénomène de récapture. Notre modèle ne prend pas en

considération ce phénomène

Nous calculons les intensités d'émission en se basant sur les équations 3.36 et 3.38, nous

remarquons sur la gure 3.11 que les intensités de l'exciton et du biexciton varient linéairement

pour les faibles puissances d'excitation de la pompe. A partir d'une certaine puissance les

intensités de l'exciton et du biexciton saturent, pour l'exciton P sat ≈ 20µW et Psat ≈ 30µW

pour le biexcton. L'intensité de l'exciton dépend de la probabilité d'avoir au moins un photon

piégé dans la boite et l'intensité du biexciton dépend de la probabilité d'avoir au moins deux

photons piégés dans la boite quantique.

48


Figure 3.11 Intensité de l'exciton et du biexciton en fonction de la puissance d'excitation

3.4.2 Évolution des intensités en fonction du temps

Nous gardons les mêmes hypothèses que la section précédente c'est à dire que les porteurs

sont capturés en paires dans la boite quantique, et les processus de capture et de recombinai-

son sont aléatoires. Nous supposons que nous avons des conditions d'excitation en dessous de

la saturation de l'émission associée au biexciton, donc nous pouvons considérer que les proba-

bilités d'occupation des niveaux d'énergies autres que le mode fondamental sont nulles. Donc

(p(n > 2) = 0). L'impulsion laser remplit la boite quantique à t = 0 par un nombre moyen

de porteurs < n >. A partir de cet instant les probabilités d'occupation de la boite quantique

par des paires électrons trous sont décrites par les équations 3.39, 3.40 et 3.41 :

dP(0)

dt=

P(1)

tx(3.39)

dP(1)

dt=

P(2)

txx− P(1)

tx(3.40)

dP(2)

dt= −P(2)

txx(3.41)

tx : temps de vie radiative de l'exciton

txx : temps de vie radiative du biexciton

49


Nous avons pris l'hypothèse que le temps de capture est négligeable 1τa

= 0 (pour notre

boite d'InAs/GaAs le temps de capture tc = 30ps tx = 1, 5ns). A t = 0, nous avons les

hypothèses suivantes de remplissage de la boite quantique :

P(0) = e−<n> (3.42)

P(1) =< n > e−<n> (3.43)

P(2) =< n >2 e−<n>

2(3.44)

La résolution des équations donne les solutions suivantes pour P(1) et pour P(2) exprimées

par les équations 3.45 et 3.46 :

P(1) =< n >2 e−<n>

2

txtxx − tx

(e−t/txx − e−t/tx )+ < n > e−<n>e−t/x (3.45)

P(2) =< n >2 e−<n>

2e−t/txx (3.46)

Nous appliquerons ce modèle pour les boites quantiques InAs/GaAs, nous étudions l'émis-

sion des boites quantiques sous excitation impulsionnelle. Les paramètres utilisés pour les

boites quantiques d'InAs/GaAs sont les suivants : tx = 1, 5ns, txx = 500ps[78, 60].

50


Figure 3.12 Variation des intensités de l'exciton et du biexciton en fonction du temps

Figure 3.13 Variation de l'intensité de l'exciton pour <n=0,5>, <n=1> et <n=2>

La gure 3.12 présente les courbes de déclins de la photoluminescence de l'exciton et du

51


biexciton pour < n = 1 >. Nous remarquons que les temps de déclins du exciton et du

biexciton sont proportionnels aux temps de vie radiative de l'exciton tx et du biexciton txx .

Ce résultat est conforme avec les résultats d'expériences de photoluminescence réalisées sur les

boites quantiques d'InAs/GaAs [44]. La gure 3.13 montre la variation de la photoluminescence

pour l'exciton avec des puissances d'excitation diérentes qui correspondent à < n = 0, 5 >,

< n = 1 > et < n = 2 > . L'intensité de photoluminescence augmente avec l'augmentation

de la puissance d'excitation mais le temps de déclins reste toujours proportionnel à la durée

de vie radiative de l'exciton ce qui est prouvé par l'égalité des pentes des trois courbes de la

gure 3.13.

3.5 l'émission de photons uniques

A t = 0, une impulsion laser remplit la boite quantique de paires électrons-trous et dé-

clenche une cascade rapide (temps de capture tc = 30ps) des porteurs dans leurs niveaux

d'énergie respectifs. La durée de l'impulsion laser doit être courte par rapport au temps de

vie radiatif. Dans ce cas nous ne pouvons pas avoir une recombinaison de paires électrons

trous avant la n de l'impulsion. Ceci est un avantage important de la boite quantique par

rapport aux autres émetteurs de photons uniques. Séparer le processus d'excitation et le pro-

cessus d'émission facilite la tache du ltrage spectral. Une fois les porteurs sont situés dans

leurs niveaux respectifs ils se recombinent avec des énergies diérentes suite à l'interaction co-

lombienne entre les porteurs comme l'indique la gure 3.14. Après la recombinaison des états

multiexcitoniques nous aurons toujours une seule paire d'électron-trou dans la boite quantique

qui donnera naissance à un photon de 1550nm lors de la recombinaison. Pour avoir une source

à photons uniques déclenchée nous avons deux choix : Soit d'exciter la boite quantique par une

puissance P < Psat de l'exciton, qui permettra de piéger une seule paire de porteurs dans la

boite quantique ce qui est dicile puisque la puissance de saturation de l'exciton et du biexci-

ton sont très proches. Soit choisir une puissance de pompe susante pour avoir au moins une

paire d'électrons-trous dans la boite quantique et pour éliminer les autres photons émis par

les diérents états excitoniques nous associons la boite quantique avec une cavité résonante

ayant un mode résonant à 1550nm avec un facteur de qualité élevé pour garder le photon de

l'état excitonique et éliminer tous les autres. C'est la deuxième solution que nous adopterons,

nous étudierons les cavités optiques résonantes pour notre source à photons uniques dans le

chapitre suivant.

52


Figure 3.14 Schéma de principe de génération de photons pour une boite quantique

3.6 Conclusion

Nous avons présenté notre méthode numérique qui permet de calculer les états excito-

niques, cette méthode est développée en se basant sur le modèle de la masse eective des

matériaux. Notre étude était basée sur la boite quantique pyramidale d'InAs/GaAs puisque

avec ces matériaux nous obtenons des niveaux d'énergies discrets à l'intérieur de la boite dans

l'intervalle des 1550nm. Ce modèle peut être généralisé pour étudier toute géométrie de la

boite quantique (cubique, cylindrique,...) et pour tout matériau. Nous avons étudié l'inuence

des paramètres opto-géométriques sur les niveaux d'énergie des boites quantiques pyramidales.

Nous avons modélisé une boite quantique d'InAs/GaAS qui permet de délivrer un photon au-

tour de 1550 nm, suite à la désexcitation de l'unique paire de porteur présente sur le mode

fondamental de la BQ. Nous avons étudié la force d'oscillateur de notre boite quantique ainsi

que le comportement et l'état électronique de la boite en fonction de la puissance d'excitation.

La contrainte principale qui se pose à ce niveau est que la recombinaison des autres états

excitoniques autres que l'exciton va donner naissance à l'émission d'autres photons. La solution

que nous allons envisager est de mettre la boite quantique dans une cavité optique résonnante,

qui résonne à 1550 nm, pour avantager l'émission à cette longueur d'onde et ltrer les photons

des autres états excitoniques. Dans le chapitres qui suit nous allons présenter deux modèles

de cavités résonnantes. Le premier se basant sur les microdisques et les microdisques dentés

et le deuxième est basé sur un cristal photonique 2D.

53

Etude et modelisation desmicrocavites resonantespour une source a pho-tons uniques a 1550 nm

4

4.1 Introduction

Comme nous avons expliqué précédemment, pour obtenir une source à photons uniques

déclenchée, nous utiliserons une association entre la boite quantique précédemment modélisée

et une cavité résonnante pour collecter les photons émis par la boite quantique et ainsi ren-

forcer l'émission du photon unique à 1550nm et ltrer les autres photons indésirables. Dans

ce chapitre nous illustrons les diérentes catégories des microrésonateurs. Dans une première

partie, nous présentons notre modèle numérique pour calculer les modes résonants des micro-

disques et des microdisques dentés. Nous modélisons un microdisque et un microdisque denté

sur un substrat de GaAs qui ont un mode résonant λres = 1550nm nous calculons les facteurs

de qualité Q pour ces deux modes résonants. Dans une deuxième partie nous modélisons une

microcavité à base d'un cristal photonique bidimensionnel sur un substrat de GaAs ayant

aussi un mode résonant λres = 1550nm. Nous comparons les facteurs de qualité ainsi que les

volumes eectifs de ces diérentes microcavités et nous étudions les conditions de couplage

fort pour ces diérentes structures.

4.2 Microrésonateurs optiques

Pour le domaine des fréquences optiques, nous pouvons pas avoir de miroir métallique sans

pertes. Le connement tridimensionnel du champ électromagnétique à l'échelle de la longueur

d'onde dans les microcavités par réexions totales internes ou par réexions de Bragg [48].

54

Chapter 4 : Etude et modélisation des microcavités résonantes pour une source à photonsuniques à 1550 nm

Les microcavités présentent un spectre discret des modes connés. Cependant, ce connement

n'étant pas parfait permet à ce spectre de se superposer au continuum des modes de l'espace

libre. Un émetteur placé dans cette cavité répartira son émission entre les modes résonants

de la cavité, les modes non résonants. Ci-dessous cinq types de microcavités les plus citées en

bibliographie :

Le premier type de cavités résonantes optiques sont les VCSELs appelées aussi micro-

piliers. Ces cavités sont semblables aux cavités Fabry-Perot et aux cavités à miroir de Bragg.

La principale caractéristique de ces cavités est le connement latéral de la lumière qui se ré-

échit par réexion totale sur les interfaces semi-conducteur/air. Le connement vertical de la

lumière est assuré par les miroirs de Bragg. La loi de Bragg démontre que qu'une succession

de plusieurs couches de diélectriques de deux natures diérentes et d'épaisseur λ/4n, où n

est l'indice de réfraction de la couche. Ce dispositif constitue un miroir, l'augmentation du

nombre de couches donne un meilleur taux de réectivité. Les micropiliers permettent d'avoir

des microrésonateurs avec un très bon facteur de qualité Q = 103 et de faible volume modal

eectif [112]. Le principal inconvénient de ces cavités provient de leur géométrie verticale peu

compatible avec un couplage planaire.

Figure 4.1 Image microscopique d'un micropilier de 800nm [88]

Le deuxième type de résonateurs est celui des microcavités optiques à base de cristaux

photoniques. Ce sont des structures caractérisées par la périodicité de l'indice de réfraction

sur deux ou trois axes. Cette périodicité conduit à la réexion de Bragg sur deux [80] ou

trois [79] dimensions. Les cavités à cristaux photoniques peuvent atteindre des facteurs de

55


qualité record de Q = 6.106 ce résultat a été démontré par le groupe Noda [98, 116]. Ces

structures permettent également d'avoir des volumes eectifs de modes très faibles, tout en

étant parfaitement compatibles avec une intégration planaire et un couplage avec des guides. Le

principal inconvénient des microcavités à cristaux photoniques est pour l'instant leur processus

de fabrication et l'obligation de l'utilisation d'une étape de photolithographie électronique qui

reste un handicape pour la production industrielle à grande échelle et surtout les problèmes

défauts géométriques de fabrication.

Figure 4.2 Cavité à cristaux photoniques avec un défaut ponctuel gravée sur une membranede GaAs de 180nm [64]

Le troisième type de résonateurs est celui des disques et des anneaux. Les ondes résonantes

seront sous forme de modes de galeries. Les facteurs de qualité atteint pour ces structures sont

élevés de l'ordre de Q =105 [43] pour un diamètre d'une dizaine de micromètres. Pour ces

résonateurs le facteur de qualité augmente avec l'augmentation du diamètre. Pour cela, ils ne

présentent pas de faibles volumes eectifs de modes mais ils ont l'avantage d'être totalement

compatibles avec une intégration et un couplage planaire. Le processus de fabrication est

simple par rapport aux autres microrésonateurs et ceci grâce à la géométrie simple de ces

structures. A l'intérieur de ce type de microcavités, nous pouvons évoquer un résonateur

particulier qui est le tore. Le tore permet d'atteindre des facteurs de qualité supérieures que

les cristaux photoniques Q = 108 . Cependant, jusqu'à aujourd'hui les tores sont fabriqués

avec des matériaux de faible indice de réfraction (silice) et possèdent des volumes eectifs de

modes importants.

56


Figure 4.3 Image microscopique à balayage électronique d'un microdisque à 2000nm dediamètre [82]

Figure 4.4 Micrographe d'une microsphère As2S3 [109]

Le dernier type des microrésonateurs est celui des sphères de silice qui ne sont pas

intégrables mais elles possèdent des facteurs de qualité très élevés de l'ordre de Q = 1010.

Le processus de fabrication consiste à la provocation d'une fusion d'une bre optique, elles

permettent d'obtenir des modes de galerie sur les trois dimensions avec facteurs de qualités

inapprochables.

Pour conclure, l'ensemble des caractéristiques de chaque type de microcavité ainsi que les

valeurs du facteur de qualité Q et les valeurs du volume eectif des modes V sont résumés dans

le tableau 4.1. Ce travail s'oriente principalement vers les microdisques et les cavités à base

de cristaux photoniques. Ce choix est argumenté par le fait que ces composants sont d'excel-

57


lents candidats pour l'optique intégré grâce à leur géométrie compatible avec une intégration

planaire. Ils présentent de bons facteurs de qualité et des volumes de modes faibles.

Micropilier Cristaux photoniques Microdisque Microtore Microsphère

facteur de qualité Q Q ≈ 103 Q ≈ 105 Q ≈ 105 Q ≈ 108 Q ≈ 1010

volume eectif V 5(λ/n)3 1, 2(λ/n)3 6(λ/n)3 3103µm3 3103µm3

Table 4.1 Récapitulation des diérents types de cavités résonantes

4.3 Les modes de galerie

Les premiers modes de galerie ont été observés dans le domaine des ondes acoustiques

plus précisément la propagation d'ondes sur la membrane intérieure d'un dôme. En 1877 Lord

Rayleigh édie la théorie des modes de galerie (whispering gallery modes en anglais) dans un

livre sur la théorie du son [86]. En électromagnétisme, en 1908 le problème de la propagation

de la lumière dans une sphère de dimension grande devant la longueur d'onde était résolu par

Mie qui démontre la possibilité d'avoir de nes résonances associées aux modes de galerie ou

appelés aussi résonances de Mie [74]. En 1912 Rayleigh interprète les modes de galerie comme

des interférences constructives d'une onde électromagnétique qui revient en phase avec elle

même après un tour de 2π suite à des réexions totales interne avec des incidences rasantes

dans la sphère[87]. Les premières études expérimentales des modes de galerie dans le domaine

optique ont démarré avec des micro-gouttelettes en chute libre [28] et des microbilles solides

[20], puis des microdisques dans les polymères [62] et dans des matériaux semi-conducteurs

[31, 40, 41, 113]. Aujourd'hui les modes de galerie représentent les modes résonants des disques

et anneaux circulaires ainsi que les sphères tridimensionnelles. L'ordre de grandeur du volume

eectif des modes de galerie pour les microdisques est de l'ordre de quelques (λn

)3 alors que

pour les microsphères de silice le volume eectif des modes de galerie tridimensionnels est de

l'ordre de 104(λn

)3 [111, 27]. Les microdisques sont des microstructures qui sont capables de

conner fortement la lumière de ce fait ils sont de potentiels candidats pour des expériences

d'optique quantique en cavité.

Après avoir présenté les principaux types de microcavités résonantes et le principe des

modes de galerie. Nous présentons les conditions de couplage d'un émetteur et l'un de ces

microrésonateurs.

4.4 Couplage entre émetteur et microcavité

Dans cette partie, nous étudions le principe d'émission spontanée d'un émetteur dans une

cavité. Nous présentons les caractéristiques des deux régimes de couplage fort et faible et les

58


conditions de passage du régime de couplage faible au régime de couplage fort.

4.4.1 Emission spontanée en cavité

Considérons un émetteur à l'intérieur d'une cavité résonante avec des parois parfaitement

rééchissantes. Les conditions aux limites imposées par la cavité permettent d'avoir un champ

à l'intérieur de celle ci. Ce champ ne peut exister que dans une superposition de modes propres

avec des fréquences bien déterminées. Nous supposons qu'un seul mode a une fréquence propre

proche de la transition reliant le niveau fondamental |g > à son niveau excité |e >.Pour analyser l'évolution du système émetteur-cavité, nous isolons ce mode qui est déni

par sa polarisation et sa pulsation ωl . Pour un traitement quantique du couplage lumière

matière. Le champ électrique quantié est présenté par l'équation 4.1 :

−→E (−→r ) = i

∑l

√~ωl

2ε0εr(al−→αl (−→r )− a+

l

−→α∗l (−→r )) (4.1)

al et a+l sont les opérateurs de destruction et de création d'un photon dans le mode de la

cavité. ε0, εr représentent la permittivité du vide et la permittivité relative. −→αl (−→r ) la fonction

spatiale normalisée du mode de la cavité. Cette fonction décrit la polarisation du champ en−→r et son amplitude relative. Le volume du mode appelé aussi volume eectif du mode est

représenté par l'équation 4.2 :

V =

∫∫∫|−→αl (−→r )|2d3−→r (4.2)

Dans le cas de résonance, supposons qu'à t = 0 l'émetteur est excité dans la cavité vide

|e, 0 >. Cet état n'est pas un état stationnaire il peut se décomposer comme décrit dans

l'équation 4.3 :

|ψ(0) >=1√2

(|ψ+1 > +|ψ−1 >) (4.3)

Cet état peut évoluer comme indiqué par la formule 4.4 :

|ψ(t) >=1√2

(exp(− iE+1t~

)|ψ+1 > +exp(− iE−1t~

)|ψ−1 >) (4.4)

= exp(iωe t)(cos(ΩRt

2)|e, 0 > −isin(

ΩRt2

)|g , 0 >) (4.5)

La probabilité Pb de trouver l'émetteur dans un état excité est en fonction du temps selon :

Pb(t) =∑n

| < e,n|ψ(t) > |2 = | < e, 0|ψ(t) > |2 = cos2(ΩRt

2) (4.6)

59


L'émission spontanée dans une cavité dière de celle dans le vide. Dans le vide l'état excité

sera couplé à un continuum d'états nals. En cavité le couplage entre les états discrets donne

un caractère réversible à l'émission spontanée. L'émetteur excité se désexcite en émettant

un photon dans le mode. Pour le cas d'une cavité parfaitement rééchissante, nous avons

une absence des pertes le photon peut être alors réabsorbé de nouveau par l'émetteur qui va

se trouver de nouveau à l'état excité. La cavité sera de nouveau vide. Ce cycle est appelé

oscillations de Rabi à un photon.

Pour le cas hors résonance, la probabilité d'avoir l'émetteur à l'état excité est donné par

l'équation 4.7 :

Pb(t) = 1−Ω2R

Ω2R + δ2

sin2(√δ2 + Ω2

R

t2

(4.7)

Dans le cas expérimental réel les cavités ne sont pas parfaitement rééchissantes et les

niveaux excités des émetteurs ne sont pas parfaitement stables. Dans ce cas le spectre de

luminescence dans le cas résonant est de la forme comme indiqué à la référence [5]

S (ω) ∝ (Ω+ − ωe + i γl2

ω − Ω+−

Ω− − ωe + i γl2ω − Ω−

)2 (4.8)

Avec :

Ω± = ωe −i4

(γl + γe)± 1

2

√Ω2v − (

γl − γe2

)2 (4.9)

Le signe de la racine carré permet de distinguer deux régimes :

Nous avons le régime du couplage fort, si le radical est négatif. Ce qui se traduit par

Ωv >|γl−γe |

2 les deux solutions sont représentées par les équation 4.10 :

Ω± = −iωe −|γl + γe |

4± i

2

√Ω2v − (

γl − γe2

)2 (4.10)

Les deux fréquences d'oscillation sont diérentes et ont une même fréquence de relaxation :

cela correspond à la moitié de droite de la gure 4.5 Le spectre d'émission spontanée est

caractérisé d'un dédoublement appelé dédoublement de rabi exprimé par l'équation 4.12.

Nous avons le régime de couplage faible, si le radical est positif. Ce qui se traduit par

Ωv <|γl−γe |

2 les deux solutions sont représentées par l'équation 4.11

Ω± = −iωe −|γl + γe |

4± 1

2

√Ω2v − (

γl − γe2

)2 (4.11)

Les deux oscillations sont en phase nous avons une seule fréquence d'oscillation mais avec

deux fréquences de relaxation diérentes. Cela correspond à la moitié gauche de la gure 4.5.

60


sur la même gure on remarque bien que le passage du régime du couplage faible au régime

de couplage fort dépend de la pulsation de Rabi. La partie suivante traitera les oscillations de

Rabi et les conditions de couplage fort en fonction de la pulsation de Rabi du vide ainsi qu'en

fonction des caractéristiques de l'émetteur et de la cavité résonante.

Figure 4.5 Représentation graphique des termes d'oscillation et de relaxation en fonctionde la pulsation de Rabi

4.4.2 Dédoublement de Rabi

Le dédoublement de Rabi vaut à la résonance :

61


~ΩR = 2~√

Ω2v

4− (

γl − γe4

)2 (4.12)

Avec :

~Ωv = 2~

√1

4πε0εr

πe2fmV

(4.13)

γl et γe : représentent les largeurs spectrales respectivement du mode et de l'émetteur.

f : force d'oscillateur de l'émetteur.

m : masse de l'électron dans le vide.

e : énergie élémentaire.

εr : permittivité relative.

ε0 : permittivité dans le vide.

V : volume eectif de la cavité.

Si nous avons Ωv >|γl−γe |

2 le radical de l'équation 4.12 est positif nous sommes en régime

de couplage fort.

Si nous avons Ωv <|γl−γe |

2 le radical de l'équation 4.12 est négatif nous sommes en régime

de couplage faible.

4.4.3 condition de passage du couplage faible au couplage fort

Le passage du régime du couplage faible au régime couplage fort aura lieu à la condition

suivante : Ωv = |γl−γe |2 . Dans le cas général, pour les expériences résolues spectralement, le

régime de couplage fort respectivement faible se manifeste par l'observation de deux raies

respectivement une seule raie à la résonance. Nous prenons par la suite plus simplement ΩR >|γl+γe |

2 comme condition susante. Cette condition signie que le dédoublement de Rabi doit

être supérieur à la largeur moyenne des raies d'émission. Comme illustré par l'équation 4.13,

le dédoublement de Rabi est proportionnel à√

fV. Pour observer le couplage fort il faut

maximiser le facteur de qualité Q et maximiser√

fV

. Le sens physique de ces paramètres est

le suivant :

Q reète le stockage de l'énergie électromagnétique dans la cavité. Pour conserver le

photon le plus longtemps possible dans la cavité. Il faut alors maximiser le facteur de qualité

Q.

f reète le couplage de l'émetteur au champ électromagnétique et notamment sa capacité

à recycler le photon avant qu'il ne s'échappe dénitivement de la cavité. Comme le facteur de

qualité Q il faut maximiser f.

V reète l'inverse du connement du champ électromagnétique dans la cavité. Plus le

62


connement est grand, plus le champ local ressenti par l'émetteur sera fort. Pour renforcer

l'interaction dipolaire électrique il faut minimiser V.

Après la présentation des diérents types de microcavités résonantes ainsi que le principe

des modes de galerie et les conditions de couplage fort entre émetteur et structures résonantes.

La section suivante sera consacré pour expliquer le principe des microrésonateurs circulaires,

après nous essayerons de modéliser une cavité résonante avec λres = 1550nm qui va contenir

notre boite quantique d'InAs/GaAs.

4.5 Les microrésonateurs circulaires

Les résonateurs circulaires sont basés sur le principe du guidage réectif à titre d'exemples :

les disques et les anneaux. Nous pouvons comparé ces résonateurs au résonateur Fabry-Pérot

(FP) qui utilise les caractéristiques de réexion et de réfraction des miroirs. Cependant, les

microrésonateurs circulaires tiennent leurs propriétés des mode de galerie qui sont légèrement

diérents des modes supportés par les cavités Fabry-Pérot. La gure 4.6.a représente un schéma

classique d'une cavité FP traditionnelle. Si l'onde lumineuse a une longueur d'onde égale à

celle de la longueur d'onde de résonance λ = λres , le déphasage de l'onde après un aller retour

est un multiple de 2π. L'onde en rouge sur la gure 4.6.a qui possède un déphasage de p × 2π

avec p = 6 illustre bien ce cas de résonance. La gure 4.6.b représente la réponse spectrale, le

pic entouré en rouge représente l'onde résonante que nous avons décrit. Mais, si le déphasage

de l'onde électromagnétique après un aller retour n'est pas multiple de 2π la condition de

résonance n'est pas valide donc le système est hors résonance. Ce cas est représenté en vert

sur la gure 4.6.a et la gure 4.6.b. La gure 4.6.c montre la répartition spatiale du champ

sur la longueur L de la cavité. Nous remarquons, que le mode de résonance p = 3 possède six

maximums rouges qui sont répartis sur la distance 2L qui représente un aller-retour dans la

cavité FP. Le fonctionnement des modes de galerie est un peu similaire à celui des cavités FP.

Les microdisques ne disposent pas de miroir pour reaichir la lumière. La lumière se propage

tout au long de la membrane périphérique du résonateur, comme illustré sur la gure 4.6.d. La

trajectoire de la lumière en résonance dans la cavité est tracée en rouge. Pour qu'il y a résonance

la lumière doit être déphasée d'un multiple de 2π après un tour dans la cavité résonante.

Nous pouvons observer plusieurs ondes résonantes sur le spectre comme présenté sur gure

4.6.e. Chacun des pics de résonance (bleus) représente une répartition de champ permettant

d'avoir un nombre entier m de maximums rouges tout au long du périmètre P du résonateur

comme le démontre la gure 4.6.f. Le paramètre (m) représente l'ordre azimutal du résonateur.

Pour la gure 4.6.e, des pics de résonance en gris n'ont pas été pris en considération. Ces modes

de résonance sont associés aux modes de résonance radiales, représentés par le paramètre (l) :

appelé ordre radial. La résonance pour un microdisque se passe sur les deux dimensions (r , θ),

63


contrairement aux cavités FP. L'ordre radial correspond au déphasage induit selon l'axe r .

Les deux gures 4.6.g et 4.6.h, montrent le cas de deux modes d'ordre azimutal (m = 13)

et avec deux ordres radiales diérents. Le facteur de qualité diminue avec l'es ordres radiales

supérieurs à zéro. Nous remarquons sur la gure 4.6.i, que le mode d'ordre (m = 13, l = 1)

s'étend un peu plus à l'intérieur de la cavité que le mode fondamental (m = 13, l = 0).

Figure 4.6 Comparaison entre le résonateur de Fabry-Pérot et le disque : (a) Modes derésonance d'un Fabry-Pérot (FP) (b) réponse spectrale d'un FP (c) partie réelle du mode p=3(d) mode de galerie d'ordre radial l=0 (e) réponse spectrale des modes azimutal m=13,14, 15et l'ordre radial l=0 sont mis en valeur (f) partie réelle du champ des modes (l=0,m=6) et(l=0,m=14) (g) mode de galerie d'ordre radial l=1, (h) réponse spectrale des modes d'ordreazimutal m=13 et d'ordre radial l=0, l=1 et l=2 sont mis en valeur (i) partie réelle du champdes modes (l=0,m=13) et (l=1,m=13).

L'objectif de l'étude des microdisques et des microdisques dentés est de modéliser une struc-

64


ture résonante avec un mode résonant λres = 1550nm avec un facteur de qualité acceptable et

un volume eectif faible. Cette structure résonante va contenir la boite quantique pyramidale

d'InAs/GaAs que nous avons étudié au chapitre précédent qui émet un exciton à 1500nm.

La partie suivante présentera notre modèle numérique basé sur les matrices de toeplitz pour

calculer les longueurs d'ondes de résonance et les facteurs de qualité Q pour les microdisques et

les moicrodisques dentés. Nous étudions aussi l'inuence des paramètres géométriques sur les

longueurs d'ondes de résonance et sur les facteurs de qualité, an de modéliser un microdisque

et un microdisque denté avec une longueur d'onde de résonance λres = 1550nm.

4.6 Étude numérique des microdisques et des microdisques den-

tés basé sur une décomposition de Fourier simplié avec les

matrices de toeplitz

4.6.1 Développement de la méthode numérique

Nous étudions dans cette partie les modes de polarisation TM, dans ce cas nous avons les

composantes des champs suivants H z , E r et E θ. Nous pouvons ensuite les écrire sous la forme

de séries de Fourier suivant l'axe azimutal. On supposera que l'on aura 2N + 1 harmoniques

allant de −N à +N . On ajoutera une quatrième relation donnant la permittivité relative εrdu matériau.

Hz =

+N∑l=−N

hz ,l (r).e j .l .θ (4.14)

Er =

+N∑m=−N

rr ,m(r).e j .m.θ (4.15)

Eθ =

+N∑n=−N

eθ,n(r).e j .n.θ (4.16)

εr =+N∑

p=−Nεr ,p(r).e j .p.θ (4.17)

Nous introduisons ces décompositions dans les équations de Maxwell. La première équation

de Maxwell à résoudre relie le champ E θ au champ H z . En utilisant les séries de Fourier

précédentes, nous allons obtenir les relations suivantes :

j .ω0.ε0.εr .Eθ = −∂Hz

∂r(4.18)

65


j .ω0.ε0.+N∑

p=−Nhr ,p(r).e j .p.θ.

+N∑n=−N

eθ,n(r).e j .n.θ = −+N∑

l=−N

∂hz ,l (r)

∂r.e j .l .θ (4.19)

Ce qui donne :

j .ω0.ε0.+N∑

p=−N

+N∑n=−N

εr ,p(r).eθ,n(r).e j .(n+p).θ = −+N∑

l=−N

∂hz ,l (r)

∂r.e j .l .θ (4.20)

On projette cette relation sur l'harmonique q . On doit alors vérier que p + n = q = l

donc p = q − n. On obtient alors :

j .ω0.ε0.

+N∑p=−N

εr ,q−n(r).eθ,n(r) = −∂hz ,q(r)

∂r(4.21)

Cette somme peut alors être représentée par une matrice de Toeplitz dénie par le symbole

[| |]. La construction de cette matrice nécessite l'utilisation de (2× (2N +1)) harmoniques. On

notera ensuite les vecteurs harmoniques par le symbole suivant [ ]. Les deux termes représentent

deux fonctions qui sont discontinues à chaque saut de permittivité selon l'axe θ. Il est alors

conseillé pour éviter des problèmes de divergence dans les calculs numériques, de calculer la

matrice toeplitz de l'inverse de la permittivité. Pour retrouver la permittivité on inversera

ensuite cette matrice. L'équation précédente peut alors s'écrire de la manière suivante :

j .ω0.ε0.

[| 1

ε|]−1

= −∂ [hz (r)]

∂r(4.22)

La deuxième équation de Maxwell à résoudre relie le champ E r au champ H z . En utilisant

les séries de Fourier précédentes, nous allons obtenir les relations suivantes :

j .ω0.ε0.Er = −1

r.∂Hz

∂r(4.23)

Le même calcul amènera à :

j .ω.ε0. [| ε |] . [er (r)] = −1

r. [hz (r)] (4.24)

Enn, la troisième équation de Maxwell à résoudre relie les champs E θ et E r au champ

H z . En utilisant les séries de Fourier précédentes, nous allons obtenir les relations suivantes :

j .ω0.µ0.Hz =1

r.

[∂(r .Eθ)∂r

− ∂Er

∂θ

](4.25)

Ce qui donne :

66


j .ω0.µ0.

+N∑l=−N

hz ,l (r).e j .l .θ =1

r.

[+N∑

n=−N

∂r .eθ,n(r)

∂r.e j .n.θ − j .m.

+N∑m=−N

rr ,m(r).e j .m.θ]

(4.26)

On projette cette relation sur l'harmonique q. On doit alors vérier que m = n = l = q .

On obtient alors :

j .ω0.µ0.hz ,q(r) =1

r.

[∂r .eθ,n(r)

∂r− j .q .er ,q(r)

](4.27)

Cette somme peut aussi être représentée par une matrice de toeplitz. On ajoute une matrice

diagonale K 2 dont les termes sont (jq) avec q la valeur de la ligne ou de la colonne. L'équation

précédente peut alors s'écrire de la manière suivante :

j .ω0.µ0. [hz ,q(r)] =1

r.∂r . [eθ,n(r)]

∂r− [K2] . [er ,q(r)] (4.28)

Avec l'équation 4.15, on obtient :

[er (r)] = − 1

j .ω.ε0.r.[| ε−1 |

]. [K1] . [hz (r)] (4.29)

Enn nous aboutissons à l'équation :

∂r . [eθ(r)]

∂r= r .

[−[K2]

1

j .ω.ε0.r.[| ε−1 |

]. [K1]

]− j .ω.µ0. [I ]

. [hz (r)] (4.30)

Pour résoudre les équations précédentes, nous avons utilisé les diérences nies. Entre deux

interfaces déterminées respectivement par r s+1 et r s , on supposera que les harmoniques des

diérents champs sont constants sur une portion ∆r . On peut donc alors réécrire les équations

4.22 et 4.30de la manière suivante :

jωε0[|1ε|]−1[eθ(rs)] = − [hz (rs+1)− hz (rs)]

∆r(4.31)

[hz (rs+1)] = [hz (rs)]− jωε0∆r [|1ε|]−1[eθ(rs)] (4.32)

=⇒ [hz (rs+1)] = [hz (rs)]− A. [eθ(rs)] (4.33)

L'équation 4.30 peut s'écrire aussi sous cette forme :

rs+1.eθ(rs+1)− rs .eθ(rs)∆r

=

− 1

j .ω.ε0.rs.[K2]

[| ε−1 |

]. [K1] .− j .ω.µ0. [I ]

. [hz (rs)] (4.34)

67


[eθ(rs+1)] =rs [eθ(rs)] + ∆r

− 1

j .ω.ε0.r[K2].

[| ε−1 |

]. [K1] .− j .ω.µ0. [I ]

. [hz (rs)]

rs+1(4.35)

=⇒ eθ(rs+1) = [B ] . [eθ(rs)]− [C ] . [hz (rs)] (4.36)

Figure 4.7 Les diérentes zones du microdisque denté

On peut représenter le système formé par les équations 4.33 et 4.36 sous une forme matri-

cielle qui relie les harmoniques e et h de la couche rs+1 à la couche r s :

eθ,−N (rs+1)...

eθ,+N (rs+1)

hz ,−N (rs+1)...

hz ,+N (rs+1)

= M (s).

eθ,−N (rs)...

eθ,+N (rs)

hz ,−N (rs)...

hz ,+N (rs)

(4.37)

La matrice M (s) à la forme suivante :(B C

A I

)(4.38)

68


Comme présentée sur la gure 4.7, la matrice M (s) relie les champs eθ et hz pour deux

couches successives r s et r s+1 . Pour calculer les champs dans toute la zone modulée de r intà rext :

eθ,−N (rint)...

eθ,+N (rint)

hz ,−N (rint)...

hz ,+N (rint)

=

nb∏s=1

M (s).

eθ,−N (rext)...

eθ,+N (rext)

hz ,−N (rext)...

hz ,+N (rext)

(4.39)

Pour ensuite résoudre le problème homogène, il faut dénir la forme et l'amplitude des

champs de la partie extérieure homogène en imposant seulement un champ sortant et ceux de la

partie intérieure homogène de la structure. Pour l'instant nous avons accès aux harmoniques et

non aux amplitudes des champs des milieux homogènes. Le vecteur des harmoniques intérieure

sera P int et le vecteur des harmoniques extérieure sera Pext . Il faut donc faire un changement

de base avant d'obtenir le système matriciel à résoudre.

On peut exprimer l'harmonique champ hz ,q dans une couche homogène sous la forme

suivante :

hz ,q(r) = aq(r).H (1)q (k0.ni .r) + bq(r).H (2)

q (k0.ni .r) (4.40)

Avec l'équation suivante, on va déterminer une relation équivalente avec la composante

harmonique eθ,q :

eθ,q(r) = − 1

j .ω.ε0.εr.

aq(r).

∂H (1)q (k0.ni .r)

∂r+ bq(r).

∂H (2)q (k0.ni .r)

∂r

(4.41)

En faisant appel à la dérivée de la fonction de Hankel :

eθ,q(r) = − 1j .ω.ε0.εr

.aq(r).H (1)q (k0.ni .r).

[qr− k0.ni .

∂H(1)q+1(k0.ni .r)

∂H(1)q (k0.ni .r)

]− 1

j .ω.ε0.εr.bq(r).H (2)

q (k0.ni .r).

[qr− k0.ni .

∂H(2)q+1(k0.ni .r)

∂H(2)q (k0.ni .r)

] (4.42)

On peut l'écrire sous une forme matricielle en introduisant une matrice Rtavec t ∈ 1, 2dont les termes sont donnés par la relation suivante :

(Rt)nm = k0.ni .∂H (t)

q+1(k0.ni .r)

∂H (t)q (k0.ni .r)

.δnm (4.43)

69


On peut alors résumer le tout sous la relation matricielle suivante :

([eθ(r)]

[hz (r)]

)=

(− 1

j .ω.ε0.ε.[qr− R1

]− 1

j .ω.ε0.ε.[qr− R2

]I I

)(a(r).H (1)(k0.ni .r)

b(r).H (2)(k0.ni .r)

)(4.44)

=⇒

([eθ(r)]

[hz (r)]

)= ψ(r).

(a(r).H (1)(k0.ni .r)

b(r).H (2)(k0.ni .r)

)(4.45)

On a donc une matrice de passage qui nous permet de relier les harmoniques aux am-

plitudes. A chaque interface r s on pourra utiliser cette matrice pour obtenir la matrice de

transmission des amplitudes TA(s) plutôt que la matrice de transmission des harmoniques

M (s). Dans notre cas, on s'intéresse pour l'instant qu'à l'interface intérieure caractérisée par

un indice de réfraction homogène n int et à l'interface extérieure caractérisée par un indice

de réfraction homogène next . La matrice nale de passage en harmoniques est alors MT . On

obtient donc les relations suivantes :([eθ(rext)]

[hz (rext)]

)= MT .

([eθ(rint)]

[hz (rint)]

)(4.46)

=⇒

(a(rext).H (1)(k0.ni .rext)

b(rext).H (2)(k0.ni .rext)

)= ψ(rext)

−1.MT .ψ(rint).

(a(rint).H (1)(k0.ni .rint)

b(rint).H (2)(k0.ni .rint)

)(4.47)

=⇒

(a(rext).H (1)(k0.ni .rext)

b(rext).H (2)(k0.ni .rext)

)= TA.

(a(rint).H (1)(k0.ni .rint)

b(rint).H (2)(k0.ni .rint)

)(4.48)

Nous avons une pulsation complexe ωc = ω + jα qui correspond à la longueur d'onde

λ = |ωc |c

et le facteur de qualité Q = Re(ωc)2Im(ωc) . La longueur d'onde de résonance complexe est la

solution du système représenté par l'équation 4.48. Les longueurs d'ondes de résonances sont

les longueurs d'ondes qui donnent une valeur de déterminant nulle pour la matrice TA. Pour

calculer ces longueurs d'ondes on peut utiliser la méthode développée par Andrea SVD ou la

méthode Newton-Raphson.

Nous comparons dans la section suivante les résultats de notre méthode avec la méthode

FDTD , nous étudions l'inuence des paramètres géométriques sur les longueurs d'ondes de ré-

sonances et sur le facteur de qualité dont l'objectif d'obtenir un microdisque et un microdisque

denté avec un mode résonant λres = 1550nm avec un facteur de qualité Q acceptable.

70


4.6.2 Les résultats numériques

Nous présentons les résultats de simulation pour les deux structures que nous pouvons

modéliser avec notre méthode numérique, les microdisques et les microdisques dentés. Pour

ces deux structures la première étape à faire et de valider les résultats de simulation de notre

méthode avec une autre méthode numérique la FDTD (Fine Denite Time Division). Pour le

cas des microdisques les paramètres qui inuencent les longueurs d'ondes de résonances et leurs

facteurs de qualité sont l'indice de réfraction du matériau utilisé et le rayon du microdisque.

Comme le microdisque va contenir une boite quantique d'InAs/GaAs, donc le matériau de

microdisque est le GaAs. Il reste un seul paramètre pour varier les longueurs d'ondes de réso-

nances du microdisque qui est le rayon r . De même pour le microdisque denté pour les mêmes

raisons que le microdisque le matériau du microdisque denté est le GaAs. Les paramètres qui

inuencent sur les longueurs d'ondes de résonance sont les profondeurs des dents, le rayon

intérieure r int et le rayon extérieure rext .

Cas des microdisques

Notre méthode a l'avantage de modéliser des microdisques simples, les microdisques dentés et

les microdisques avec des défauts irréguliers. Pour le cas des microdisques il sut de prendre

r int = rext = r comme illustré dans la gure 4.8.a nous obtenons la matrice MT = I .

Pour valider notre modèle pour le cas des microdisques nous prenons le cas d'un micro-

disque avec un indice de réfraction n1 = 2, 2 entouré d'air n2 = 1 avec un rayon r = 1µm.

Nous étudions à titre d'exemple le mode m = 5 avec notre méthode et la méthode FDTD.

Le tableau 4.2 présente les diérentes longueurs d'ondes de résonances ainsi que les diérents

facteurs de qualités calculés par les deux méthodes citées pour le mode m = 5.

m=5 l=0 l=1 l=2

λres(µm) 1,689 1,1633 0,884λres(µm)(FDTD) 1,688 1,166 0,887

Q 35,69 6,43 11,07Q(FDTD) 37,34 7,1 12,3

Table 4.2 Les diérentes longueurs d'ondes de résonances pour le mode de galerie (m=5)calculé avec notre méthode et avec la méthode FDTD ainsi que les facteurs de qualités calculésavec les deux méthodes

71


Figure 4.8 (a) Microdisque avec un rayon r avec un indice de réfraction n1 entouré d'airn2 = 1 (b) Le mode de galerie (m=7) (c) Microdisque denté avec un rayon minimum r int etun rayon maximum rext et avec un indice de refraction n1 entouré d'air n2 = 1 (d ) Le modede gallerie (m=8)

Nous remarquons une coïncidence de valeurs pour les longueurs d'ondes de résonances et

des facteurs de qualités calculés avec notre méthode et la FDTD ce qui valide notre méthode

pour le cas des microdisques. Notre objectif nal est de modéliser un microdisque qui résonne

à 1550 nm avec un facteur de qualité acceptable pour qu'il soit associé avec la boite quantique

InAs/GaAs modélisée au chapitre 3 pour former une source à photons uniques à la demande.

Pour cela nous étudions la variation des longueurs d'ondes de résonances et des facteurs de

qualités en fonction du rayon du microdisque.

Pour tout ce qui suit dans ce chapitre, l'indice de réfraction des microdisques et des mi-

crodisques dentés qui seront étudiés sera n1 = 3, 3 puisqu'il s'agit de microdisques et de

microdisques dentés à base de GaAs qui comportera notre boite quantique d'InAs/GaAs.

Nous étudions la variation des longueurs d'ondes de résonances pour quatre rayons parti-

culiers : r = 700 nm, r = 800 nm, r = 900 nm et r = 100 nm.

72


Figure 4.9 Variation des longueurs d'ondes de résonances pour le cas de trois microdisquesavec r = 700 nm, r = 800 nm, r = 900 nm et r = 1000 nm

Sur la gure 4.9 nous constatons que la longueur d'onde de résonance λres augmente avec

l'augmentation du rayon du disque, nous prenons le cas du mode m = 6 qui apparait dans

l'intervalle des longueurs d'ondes [1µm..2µm] pour le cas des quatre microdisques. Pour le

microdisque en rouge (r = 700 nm), λres ≈ 1, 1µm, pour le microdisque en bleu toujours pour

le même mode m = 6 (r = 800 nm), λres ≈ 1, 25µm. Pour le microdisque en vert (r = 900 nm),

λres ≈ 1, 41µm. Pour le dernier cas en jaune (r = 1µm), λres ≈ 1, 6 µm. Nous représentons

le cas général sur la gure 4.10, qui démontre bien que les longueurs d'ondes de résonances

λres augmentent avec l'augmentation du rayon du microdisque. Cette augmentation est due à

l'allongement de la trajectoire de la lumière avec le rayon ce qui explique l'augmentation des

longueurs d'ondes de résonance.

73


Figure 4.10 Variation des longueurs d'ondes de résonances en fonction du rayon du micro-disque

Après avoir étudié le comportement les longueurs d'ondes de résonances nous analysons

l'eet du rayon du microdisque sur le facteur de qualité Q . Pour cela nous calculons le facteur

de qualité pour le même mode étudié précédemment m = 6 pour un microdisque de GaAs.

Nous déduisons que le facteur de qualité a le même comportement des longueurs d'ondes de

résonances il augmente avec l'augmentation du rayon du microdisque comme illustré par la

gure 4.11. En conclusion pour avoir un microdisque qui résonne à une longueur d'onde donnée

il faut chercher le rayon adéquat pour que cette longueur d'onde résonne. De l'autre côté pour

obtenir un facteur de qualité important il faut choisir le rayon le plus grand. Mais pour notre

cas, où le microdisque va contenir une boite quantique avec des dimensions nanométriques le

rayon du microdisque ne doit pas dépasser le micromètre.

74


Figure 4.11 Variation du facteur de qualité Q en fonction du rayon du microdisque

Comme présentée dans le chapitre 3, la boite quantique émet un exciton E x = 1550nm,

donc nous devons avoir un microdisque avec une longueur d'onde de résonance λres = 1550

nm. Avec un microdisque de rayon r =700 nm à base de GaAs on obtient un mode azimutal

m = 7 qui résonne à 1550 nm avec un facteur de qualité Q = 381 comme l'indique la gure

4.12

Figure 4.12 Longueur d'onde de résonance λres = 1550 nm qui correspand au mode azimu-thal m = 7, pour un microdisque à base de GaAs avec un rayon r = 700 nm .

L'avantage principal des microdisques est la simplicité de la géométrie, mais l'inconvénient

est la présence de plusieurs longueurs d'ondes de résonances dans une plage étroite de longueurs

75


d'ondes. Nous essayons de résoudre ce problème en introduisant une modulation de l'indice de

réfraction selon l'axe θ ces structures comme présentées lors de ce chapitre sont appelées les

microdisques dentés.

L'objectif de la partie suivante est d'étudier l'inuence des paramètres géométriques sur les

longueurs d'ondes de résonances et le facteur de qualité Q . An de modéliser un microdisque

denté avec λres = 1550 nm et un facteur de qualité Q considérable.

Cas des microdisques dentés

Dans cette partie nous commençons par valider notre modèle pour le cas des microdisques

dentés, en comparant les résultats de notre modèle avec des résultats calculés avec la FDTD-

2D [100], les simulations ont été réalisées avec RSOFT [1]. Nous utilisons un maillage cartésien

avec un pas de 20 nm, qui assure la stabilité de la méthode. La taille de la grille de calcul est

de 150×150 n÷uds est entourée d'absorbants (PML) [17]. Nous choisissons un pas temporel

égal à 5 × 10−4. Un dipôle émetteur est placé à la périphérie du disque denté pour exciter le

mode de galerie. Le dipôle émet une impulsion avec une forme spectrale Gaussienne centrée sur

la longueur d'onde de résonance recherchée. L'amplitude du champ électromagnétique évolue

et sera échantillonnée au cours du temps à des positions diérentes de la grille de calcul. La

réponse spectrale avec les longueurs d'ondes de résonance sera déduite par la transformée de

Fourier de l'évolution temporelle. Nous calculons le facteur de qualité Q en approchant la

racine carrée du module de chaque pic du spectre par une fonction de Lorentz. Pour notre

méthode nous utilisons un nombre d'harmoniques N = 5m et le nombre de points selon l'axe

r pour la partie modulée nb = 30. La structure étudiée est une structure avec n1 = 2, 63, une

profondeur de dents qui varie entre 0µm et 0, 3µm, le rayon extérieur est xe rext = 1µm et

le rayon intérieur varie entre rint = 0, 7µm et r int = 1µm.

Nous étudions le comportement des longueurs d'ondes de résonances et du facteur de

qualité en fonction de la profondeur des dents, comme présenté sur la gure 4.13.

Cette gure montre bien que la valeur de résonance augmente avec l'augmentation du

rayon intérieur (c'est à dire quand la profondeur des dents diminue). Le facteur de qualité

augmente avec l'augmentation de la valeur du rayon intérieur (c'est à dire avec la diminution

des profondeurs des dents). On remarque aussi une coïncidence entre les résultats calculés

avec notre méthode et ceux calculés avec la méthode FDTD, avec un léger écart entre les deux

méthodes que nous pouvons expliquer par le fait que la FDTD ne prend pas en considération

la partie imaginaire des longueurs d'ondes de résonances. Cette coïncidence de résultats et

pour les longueurs d'ondes de résonances et pour les facteurs de qualité. L'avantage de notre

méthode par rapport à la méthode FDTD et la méthode de perturbation est que nous n'avons

pas besoin de savoir la plage des longueurs d'ondes de résonances contrairement aux autres

méthodes, notre méthode fait le balayage de tout l'intervalle des longueurs d'ondes.

76


Figure 4.13 Comparaison entre la méthode FDTD et notre méthode pour des profondeursde dents déérentes (a) vatiation des longueurs d'ondes de résonances λres en fonction de laprofondeur des dents (b) variation des facteurs de qualité Q en fonction de la profondeur desdents

Comme nous avons fait pour le microdisque nous cherchons à modéliser un micro disque

denté avec λres = 1550 nm avec des rayons ne dépassant pas le micromètre avec un facteur de

qualité considérable. Pour un microdisque denté avec un rayon intérieur r int = 740nm et un

rayon extérieur rext = 1µm (profondeur des dents hd = 260 nm, nous obtenons une longueur

d'onde de résonance λres = 1550 nm pour le mode azimutal m = 6 avec Q = 361 comme

indiqué sur la gure 4.14.

Figure 4.14 Longueur d'onde de résonance λres = 1550 nm qui correspond au mode azi-muthal m = 6, pour un microdisque denté à base de GaAs avec un rayon rint = 740 nm etrext = 1000 nm

77


A travers cette partie nous avons développé une méthode numérique pour l'étude des

microdisques et les microdisques dentés et qui peut être généralisée pour l'étude des structures

résonantes circulaires avec n'importe quel défaut périodique ou non périodique. Cette méthode

a été validé en comparant les résultats de calcule avec les résultats de la FDTD mais avec un

temps de calcule nettement inférieur et un balayage plus précis de l'intervalle des longueurs

d'ondes. Pour contenir la boite quantique pyramidale d'InAs/GaAs nous avons modélisé un

microdisque sur GaAs qui possède un mode résonant à λres = 1550nm avec un facteur de

qualité Q = 381. Le problème des microdisques c'est qu'ils possèdent des modes résonants

très proches. Les microdisques dentés permettent de résoudre ce problème est de diminuer le

nombre de mode résonants. Nous avons modélisé un microdisque denté sur GaAs qui possède

un mode résonant à λres = 1550nm avec un facteur de qualité Q = 361. Avec ce genre de

structures nous ne pouvons pas atteindre des facteurs de qualité très élevés parce que nous

avons des structures nanométriques. Dans la partie suivante nous étudions les cavités résonante

à base de cristaux photoniques et nous essayons de modéliser une cavité résonante à base d'un

cristal photonique avec un mode résonant λres = 1550nm avec un facteur de qualité important.

4.7 Structure résonante à base de cristaux photoniques

Pour cette section nous donnons un bref aperçu sur les structures résonantes à base de

cristaux photoniques et nous modélisons une cavité sur un cristal photonique sur un substrat

de GaAs avec un mode résonant à λ = 1550nm.

4.7.1 Présentation des cavités à base de cristaux photoniques

Un cristal photonique est un matériau transparent où l'indice de réfraction est périodique-

ment modulé. Cette variation périodique est nécessairement de l'ordre de la longueur d'onde

et peut avoir lieu dans une ou plusieurs directions de l'espace. Il est dit cristal puisqu'il est

formé d'un arrangement périodique d'unités structurales. Le terme photonique souligne

la nalité de la conception de tels matériaux : agir sur les propriétés de propagation des pho-

tons. Ce genre de structures peut être appliqué pour la réalisation d'un ensemble de fonctions

optiques tels que : le ltrage, le multiplexage. . . Et peuvent utilisées comme structure réson-

nante par la présence d'un défaut dans la périodicité. La présence de défauts dans un cristal

permet l'existence de modes localisés dans une bande de fréquence très étroite, l'introduction

de défaut dans la structure consiste à modier son arrangement périodique. Par exemple, si

un défaut est introduit dans un réseau hexagonal de trous et si l'on excite un mode avec

une fréquence appartenant à la bande interdite photonique du réseau, la lumière ne pourra

pas "s'échapper". Elle sera piégée par les murs parfaits de réexion. Bien sûr, la structure ne

connera la lumière que dans le plan de périodicité. Pour l'empêcher de fuir dans la troisième

78


direction, on pourra placer la structure entre deux plans métalliques. Un défaut dans un cristal

photonique peut donc servir de cavité résonante puisqu'il piège la lumière dans une bande de

fréquence très étroite. Une simple modication d'une des propriétés du matériau (par applica-

tion d'un champ électrique par exemple) permettra de libérer la lumière. Des nanocavités

de silicium avec des modes résonants avec des facteurs de qualité Q = 45000 et un volume

eectif V = 0, 07µm3 ont été fabriquées en 2003[2]. Une autre étude a été réalisée avec une

nanocavité en GaAs [116]. Nous étudions l'inuence des paramètres optiques et géométriques

sur la bande interdite photonique et nous essayons de modéliser une cavité résonante à base

d'un cristal photonique bidimensionnel sur GaAs avec un défaut ponctuel pour avoir un mode

résonant à λres = 1550nm avec un facteur de qualité Q considérable.

Figure 4.15 Cavité résonante à base de cristaux photoniques avec un défaut de trois trousmanquants [116]

4.7.2 Modélisation d'une cavité résonante à base d'un cristal photonique

sur GaAS

Notre objectif est de modéliser une cavité résonante à base d'un cristal photonique bi-

dimensionnel hexagonal avec les paramètres optiques et géométriques adéquats pour obtenir

une résonance à 1550nm, sur un substrat de GaAs. Dans un premier temps nous étudions la

variation de la largeur de la bande interdite photonique en fonction de r/a, (r) étant le rayon

des trous et (a) la périodicité de la structure, en modes TE et TM.

79


Figure 4.16 Variation de la BIP en fonction de r/a pour les modes TE et TM

Nous observons, que nous avons une largeur de bande interdite photonique considérable

en mode TM pour des valeurs r/a entre 0,3 et 0,4 (gure 4.16). Nous calculons le diagramme

de bande pour un cristal photonique hexagonal bidimensionnel sur un substrat de GaAs avec

r/a = 0,4 et en mode TM.

Figure 4.17 Cavité résonante sur GaAs avec défaut ponctuel et le diagramme de bandescorrespondant

Pour le diagramme de bandes présenté sur la gure 4.17, nous avons des fréquences nor-

malisées a/λ, nous calculons la valeur du rayon (r) et de la période (a) pour mettre la longueur

d'onde 1550 nm au milieu la bande interdite photonique. Pour obtenir un connement des

photons ayant cette longueur d'onde au niveau du défaut et obtenir une résonance avec un

facteur de qualité Q important pour cette longueur d'onde.

a = u.λ = 0, 335× 1, 55 = 0, 519µm (4.49)

80


r = 0, 4× a = 0, 207µm (4.50)

Figure 4.18 La densité des modes de la cavité résonante à base d'un cristal photoniqueGaAs

La densité de mode présenté par la gure 4.18 est un indicateur de résonance et de con-

nement de la lumière pour la structure résonnante. Nous calculons le facteur de qualité Q pour

la cavité à base de cristal photonique à défaut ponctuel.

Q =ω

∆ω= 11000 (4.51)

Nous avons modélisé une cavité à base d'un cristal photonique bidimensionnel avec une

longueur d'onde de résonance λres = 1550nm avec un facteur de qualité important Q = 11000.

Si le choix de la cavité résonante qui va héberger la boite quantique se base sur le facteur

de qualité, certainement la cavité à base du cristal photonique que nous avons modélisé sera

incontestablement sélectionnée devant le microdisque et le microdisque denté. Mais les cristaux

photoniques restent des structures qui ont un processus de fabrication complexe par rapport

aux microdisques et aux microdisques dentés. Avant de faire notre choix dénitif entre ces

trois structures diérentes nous vérions si ces structures permettent un couplage fort avec la

boite quantique.

81


4.8 Conditions de couplage fort pour l'association boite quan-

tique cavité résonante

4.8.1 Conditions de couplage fort pour le microdisque et le microdisque

dentés

Comme nous l'avons vu pour obtenir un couplage fort ΩR > |γl+γe |2 . L'ordre de grandeur

typique de γe et γl est de 100 − 200µeV , pour le microdisque et le microdisque denté nous

avons un volume eectif V = 6(λn

)3 = 0, 62µm3. Le calcul du dédoublement de Rabi est

représenté par la gure 4.19. Le passage du régime couplage faible au régime du couplage fort

aura lieu pour |γl+γe |2 = 150µeV soit pour une force d'oscillation f = 20. Cette valeur ne pose

pas de problème pour notre boite quantique InAs/GaAs qui a une force d'oscillations f = 22.

Mais cette valeur de fréquence d'oscillations reste proche de la limite du couplage faible, nous

étudions les conditions de couplage fort pour la cavité résonante à base de cristaux photoniques.

Figure 4.19 Calcul du dédoublement de Rabi pour un microdisque et un microgear avecV = 6(λ

n)3 en fonction de la force d'oscillation f

82


4.8.2 Conditions de couplage fort pour le cas d'une cavité à base de cristaux

photoniques

Nous avons toujours le même émetteur donc γe = 100µeV . Pour notre cristal photonique

γl = 72µeV c'est une valeur inférieure à celle du microdisque et du microdisque dentée puisque

nous avons un facteur de qualité plus élevé pour les cristaux photoniques. Le volume eectif

de notre cavité à base de cristaux photoniques V = 0, 4(λn

)3 = 0, 0414µm3. Comme pour le

microdisque et le microdisque denté pour obtenir une condition de couplage fort il faut que

ΩR > |γl+γe |2 . Le passage en régime de couplage fort sera à partir de |γl+γe |2 = 86µeV . Nous

avons toujours la même force d'oscillation de la boite quantique InAs/GaAs f = 22. La gure

montre que nous sommes bien dans le régime de couplage fort puisque la valeur 86µeV est

obtenue à partir d'une force d'oscillation f < 10.

Figure 4.20 Calcul de dédoublement de Rabi pour une micro cavité résonante à base d'uncristal photonique bidimensionnel avec V = 0, 4(λ

n)3 en fonction de la force d'oscillation

Récapitulons dans le tableau 4.3 les performances de la source à photons uniques déclen-

chée, formée par une boite quantique de InAs/GaAS avec une force d'oscillations f = 22 et

trois diérents types de cavités (microdisque, microdisque denté et microcavité à base d'un

cristal photonique bidimensionnel). Comme nous l'avons expliqué précédemment que pour

avoir une source à photons uniques déclenchée performante avec une probabilité d'obtenir des

photons uniques qui tend vers un, nous devons maximiser le terme Q√

fV. Ce facteur a la

83


valeur la plus importante pour l'association de la boite quantique d'InAs/GaAs avec la mi-

crocavité à base de cristal photonique. Mais ce type de cavités a un processus de fabrication

complexe par rapport aux microdisques et microdisques dentés. Après l'étude des conditions

de couplage fort pour les trois microcavités, nous étudions l'accord spatial entre l'exciton et

le mode résonant de la cavité

Microdisque Microdisque denté Microcavité à base de CP

Q 381 361 11000V (µm)3 0,62 0,62 0,0414

Q√

fV

(µm)3/2 2269 2150 65 525nombre de modes important réduit réduit

Fabrication simple moins simple complexe

Table 4.3 Performances de source à photons uniques à la demande avec trois types demicrocavités

4.8.3 Accord spatial entre l'exciton et le mode résonant de la cavité

Le dédoublement de Rabi dépend linéairement de l'amplitude du champ électrique, mais

cette amplitude varie spatialement sur toute la surface de la microcavité. Supposons qu'un

exciton est résonant spectralement avec le mode de notre microcavité. Pour obtenir un couplage

fort il faut que l'exciton se trouve dans une zone occupée par le champ. Cette surface est

nommée surface eective exprimée par l'équation 4.52 :

S =

∫∫n2(r)

−→E 2(r)d2−→r

n2 ~E 2max

(4.52)

Le rapport de la surface eective sur la surface géométrique de la microcavité donne l'oc-

cupation de la surface par le champ. Donc pour le cas du microdisque et du microdisque denté

il faut placer notre boite quantique sur les périphérique puisque nous avons un mode de galerie

d'ordre radial l = 1 ce qui donnera un champ conné sur les périphériques du microdisque

et microdisque denté. Pour le cas de la microcavité à base de cristaux photoniques le champ

sera conné dans le défaut ponctuel grâce à la barrière énergétique réalisée par la bande inter-

dite photonique. Donc pour cette structure la boite quantique doit être placée dans le défaut

ponctuel.

4.9 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons développé un nouveau formalisme pour étudier les structures

résonantes circulaires en particulier les microdisques et les microdisques dentés. Le principal

84


avantage de notre méthode c'est qu'elle calcule les longueurs d'ondes de résonances λres sans

connaitre en avance la plage ou l'intervalle de ces longueurs d'ondes contrairement à la méthode

FDTD [13]. Nous avons validé les résultats calculés par notre méthode par rapport aux résultats

délivrés par la FDTD. Ensuite nous avant modélisé un microdisque et un microdisque denté,

les deux structures ayant un mode résonant λres = 1550nm mais le problème pour ces deux

microcavités que nous avons obtenu un facteur de qualité pas très important Q ≈ 400, qui

handicape l'utilisation de ces deux structures pour une source à photons uniques. Après,

nous avons modélisé une microcavité avec un cristal photonique bidimensionnel qui possède

aussi un mode résonant λres = 1550nm mais avec un facteur de qualité plus important que

le microdisque et le microdisque denté Q = 11000. Pour le couplage avec la boite quantique

pyramidale d'InAs/GaAs les trois structures satisfassent la condition de couplage fort, quoi que

pour le microdisque et le microdisque denté nous sommes à la limite du couplage faible. Pour

cela et malgré le processus de fabrication dicile la microacvité à base du cristal photonique

sera mieux adapté avec la boite quantique pour avoir une source à photons uniques déclenchée,

ce qui augmentera la probabilité d'avoir des photons uniques. Dans le chapitre suivant nous

étudions la deuxième catégorie de sources à photons uniques annoncés.

85

Etude et modelisationd’une source a photonsuniques annonces 1310-1550 nm

5

5.1 Introduction

Comme présenté dans le chapitre 2 le principe des sources à photons uniques annoncés se

base sur le fait q'un premier photon annonce l'arrivée du deuxième. Dans ce chapitre, nous

présentons notre architecture de source à photons uniques qui se base sur un composant actif à

base d'un cristal photonique bidimensionnel sur niobate de lithium dopé erbuim. Comme nous

allons détailler, ce composant de base une fois excité nous donnera deux signaux diérents

le premier avec λ = 1310nm et le deuxième avec λ = 1550nm. Nous concevons un système

optique an que les photons à 1310 nm annoncent les photons à 1550 nm. Dans une première

partie de ce chapitre nous décrivons le cristal bidimensionnel actif qui jouera le rôle de géné-

rateur des paires de photons (1310nm-1550nm) et dans une seconde partie nous présentons

l'architecture de la source à photons uniques annoncés avec ces diérents composants. Nous

étudions les performances de cette architecture et la probabilité P1d'avoir un photon unique.

5.2 Étude du cristal photonique bidimensionnel sur un substrat

de niobate de lithium

Nous commençons cette partie par la présentation des caractéristiques du matériau le

niobate de lithium, ensuite nous étudions les caractéristiques du cristal photonique pour obtenir

une émission à 1310 et à 1550 nm.

86

Chapter 5 : Etude et modélisation d'une source à photons uniques annoncés 1310-1550 nm

5.2.1 Le niobate de lithium

Le niobate de lithium possède des propriétés qui font de lui un des matériaux les plus utilisés

en optique intégrée (modulateurs optiques en phase et amplitude, guides diélectriques,. . . . . . ).

Ses propriétés (transparence, non linéarité, dommage optique, eet Kerr,. . . ) [58, 103] corres-

pondent aux principaux critères requis pour la réalisation de composants optiques et depuis

quelques années, ce matériau est utilisé dans les technologies laser. De plus, la croissance

cristalline du niobate de lithium et les techniques de dopage (Er, Nd, H, Ti ,. . . ) sont bien

maitrisées. Ce matériau est un cristal de synthèse obtenu par croissance selon la technique

Czochralski, développée dans les années 60 qui consiste en un tirage à partir d'un bain de

LiO2 et Nb2O5. Le tableau 5.1 suivant présente les propriétés physiques :

87


Propriétés etcoecients

Caractéristiquesdu niobatede lithium

Non linéarité(pm/V)@λ = 1060nm

d22 = 3d31 = 5d33 = 33

Plage detransparence (nm)

350− 450

Coecientsélectro-optiques

(pm/V)@λ = 633nm

r33 = 31r31 = 9r22 = 3r51 = 28

Dommage optique(Mw/cm2)

@λ = 1060nm

300

Densité 4,65Dureté (échelle

Mohs)5

Indice de réfraction@λ = 633nm

@λ = 840nm

@λ = 1060nm

@λ = 1150nm

no =2, 2866ne =

2, 2028no =

2, 2507ne =

2, 1719no =

2, 2323ne =

2, 1561no =

2, 2225ne =

2, 1519

Constantesdiélectriques

ε11 = 44ε33 = 28, 7

Température deCurie (°C)

1142±0, 7

Table 5.1 Les valeurs des diérents coecients du niobate de lithium

88


5.2.2 Modélisation d'un cristal photonique actif bidimensionnel sur niobate

de lithium qui émet à 1310 et 1550 nm

Notre cristal photonique est en fait un ensemble de trous d'air arrangés d'une manière

périodique sur le substrat. Nous avons le choix entre deux périodicités : une périodicité carré ou

une périodicité hexagonale. De nombreuses études ont montré qu'il est plus facile d'obtenir une

bande interdite photonique (BIP) avec un réseau hexagonal qu'avec un réseau carré [115, 7]. De

plus la fabrication de ce genre de structures n'est plus une contrainte [32]. Lors de la prochaine

section nous étudions le comportement de la BIP pour les modes TE et TM. L'objectif est

d'avoir une largeur de BIP acceptable et des bandes d'énergies plates qui entourent la BIP

pour avoir le maximum de puissance pour les deux signaux à 1310 nm et à 1550 nm.

Choix du mode

Nous avons étudié l'apparition et la largeur des BIPs en fonction du rapport r/a pour les

modes TM et TE (gure 4.16). La largeur de la bande interdite photonique varie en fonction

du rapport r/a aussi que la polarisation. Pour l'étude du mode TE, il y a apparition d'une

BIP entre r/a = 0, 4 et r/a = 0, 46. Plus le rapport r/a augmente, plus la fréquence normalisée

est élevée, en ce qui concerne la largeur de la BIP elle atteint son maximum pour r/a = 0, 44.

En ce qui concerne les bandes interdites TM, il y a apparition d'une BIP entre r/a = 0, 25 etr/a = 0, 48 et comme le mode TE, plus le rapport r/a augmente plus la fréquence normalisée

est élevée. Nous obtenons le maximum de largeur de la BIP avec r/a = 0, 38. Nous remarquons,

que il est plus facile d'obtenir des bandes interdites photoniques en mode TM que en mode

TE et que la largeur de ces bandes est plus importante pour ce mode. De plus, en mode

TM la BIP apparait entre la première et la deuxième bande ce qui nous donne des bandes

plates autour de la bande interdite photonique (gure 5.1). Par contre, pour le mode TE la BIP

apparait entre deux bandes élevées qui ne sont pas plates (gure 5.2). Pour ces arguments, nous

choisissons une périodicité hexagonale et une polarisation TM pour notre cristal photonique

bidimensionnel.

Mode TE Mode TM

Apparition de la BIP 0,4-0,46 0,25-0,48Largeur max 0,44 0,38

Limites Entre la 7ème et la 8ème bandes entre le 1ère et la 2ème bandes

Table 5.2 Comparaison entre les modes TE et TM

89


Figure 5.1 Diagramme de bandes des modes TM pour un facteur de remplissage r/a = 0,38

Nous constatons l'apparition de deux bandes interdites photoniques. La première entre les

fréquences normalisées u1 = 0, 357 et u2 = 0, 458 et la deuxième entre u3 = 1, 298 et u4 =

1, 317. La première BIP est plus large que la deuxième. La largeur de la BIP est importante

dans les applications à cristaux photoniques passifs tel que les ltres, les coupleurs. . . , mais ce

qui nous intéresse pour les applications actives c'est d'avoir aux limites de la bande interdite

une bande d'énergie plate ce qui donne une vitesse de groupe faible et une densité de modes

élevée. Ce qui est le cas de la première BIP.

90


Figure 5.2 Diagramme de bandes des modes TE pour un facteur de remplissage r/a = 0,44

Nous constatons l'apparition d'une bande interdite photonique. La première entre les fré-

quence normalisées u1 = 1, 041 et u2 = 1, 081. Cette bande n'est pas assez large. En plus elle

se situe entre deux bandes d'énergie non plates.

Choix du paramètre r/a

Pour la polarisation TM les BIPs apparaissent entre r/a = 0, 25 et r/a = 0, 48 et la largeur

maximale de la BIP est pour r/a = 0, 38 (gure 4.16). Pour le choix du facteur de remplissage

adéquat il faut tenir compte des besoins de l'application que nous allons réaliser comme nous

l'avons déjà mentionné notre application se base sur l'apparition d'une bande interdite photo-

nique avec des bandes d'énergies plates à sa limite. Nous ne cherchons pas d'avoir la largeur

maximale de la BIP. Il faut tenir compte aussi des contraintes technologiques de fabrication

du cristal photonique. Il est très dicile de graver des trous d'air sur le niobate de lithium

avec des taux de remplissage élevés de l'ordre de 0,4 il y a un risque de chevauchement entre

les trous comme indiqué dans le tableau 5.3.

Taux de remplissage Avantages Inconvénientsr/a = 0, 2 Facile à réaliser BIP étroiter/a = 0, 3 Réalisable BIP n'atteint pas sa valeur maximaler/a = 0, 4 Largeur maximale de la BIP très dicile à réaliser

Table 5.3 Comparaison entre les diérentes valeurs du taux de remplissage

91


Un compromis doit être fait entre un facteur de remplissage faible facile à réaliser et un

facteur de remplissage élevé qui donne apparition d'une bande interdite photonique assez large.

Pour cela, nous avons choisit un taux de remplissage r/a = 0, 3.

Calcul de la période et du rayon

Après avoir choisi le mode et le taux de remplissage adéquat, nous calculons la période a pour

que nous plaçons les longueurs d'ondes λ = 1310 nm et λ = 1550 nm sur les deux bords de la

bande interdite photonique.

Figure 5.3 Diagramme de bandes pour un taux de remplissage r/a=0,3 (TM modes)

Comme illustré sur la gure 5.3 sur le diagramme de bandes nous avons une fréquence

normalisée u = aλ . L'équation 5.1 calcule la période a et l'équation 5.2 calcule le rayon r de

telle manière à obtenir λ = 1310 nm et λ = 1550 nm sur les deux bords de la BIP. Le premier

bord de la BIP u = 0, 323.

a = u × λ = 1, 55× 0, 323 = 0, 5µm (5.1)

r = 0, 3× 0, 5 = 0, 15µm (5.2)

Nous vérions avec l'équation 5.3 si nous avons λ = 1310 nm sur le deuxième bord de la

BIP :

92


λ =au

=0, 5

0, 381= 1, 312µm (5.3)

Ces deux dimensions de la période a et du rayon r sont réalisables sur niobate de lithium.

Dans la section suivante nous étudions la densité de mode de notre cristal photonique.

Étude de la densité de modes

Pour étudier la densité des modes (DOM) de notre structure, nous utilisons un code FDTD

2D. Contrairement à la méthode des ondes planes qui modélise des structures innies, l'FDTD

2D modélise des structures nies. Donc, il faut tenir compte d'un nouveau paramètre à la

modélisation qui est le nombre de trous par rangée. La structure niobate de lithium dopé

erbium sur laquelle nous allons graver les trous d'air avec un arrangement hexagonal avec un

rayon r = 0, 15µm et une période a = 0, 5µm nous utilisons une matrice 11× 7.

Figure 5.4 Densité de modes du cristal photonique

Comme le montre la gure 5.4 une fois que le cristal est excité avec un laser (λ = 980nm)

le cristal émet deux longueurs d'ondes λ = 1310nm et λ = 1550nm. La densité de modes

est l'inverse de la vitesse de groupe. Ceci montre que dans le cas bidimensionnel si dans le

diagramme de bandes il y une bande plate dans une direction donnée alors cette dérivée sera

presque nulle. Alors, nous aurons une DOM importante pour cette longueur d'onde. c'est le

cas des deux longueurs d'ondes λ = 1310nm et λ = 1550nm.

Cette section a présenté les caractéristiques du composant actif de notre source à photons

uniques annoncés et le choix des diérents paramètres optiques et géométriques pour avoir une

93


émission à λ = 1310nm et à λ = 1550nm. La section suivante détaillera les autres composants

de l'architecture de la source. Nous étudions la probabilité d'avoir un photon unique en fonction

des diérents paramètres de ces composants.

5.3 Source à photons uniques annoncés 1310-1550 nm architec-

ture et performances

5.3.1 Présentation de la source à photons uniques annoncés

La source de photons annoncés est basée sur la corrélation importante entre l'émission du

photon et un autre évènement. Nous ne pouvons pas prévoir quand le photon est émis mais

nous pouvons s'attendre à l'émission selon l'observation d'un évènement corrélé, [3]. Comme

l'émission ne peut pas être contrôlée et le photon peut arriver à tout moment, un évènement

corrélé peut être utilisé comme un indicateur avertissant l'émission de photon. Dans notre

cas, comme le cristal produit deux photons, un photon peut être utilisé pour annoncer l'autre.

Pour décrire une source à photon unique l'indicateur g2(0) nous permettra de quantier le

caractère de l'unicité du photon. Cette fonction indique la relation de probabilité pour obtenir

deux photons émis par la source et la probabilité d'en avoir un photon seul, [23]. Une source

à photon unique possède g2(0) = 0, elle n'émettra jamais deux photons en même temps. Le

laser atténué possède g2(0) = 1, il ne sera pas adéquat de le considérer comme étant une

source à photon unique. En prenant comme hypothèse que la source a un nombre moyen de

photons émis par une impulsion, à part le cas idéal où nous pouvons avoir un photon par

impulsion, deux autres cas peuvent arriver : le premier, quand aucun photon n'est émis de

la source ; et le deuxième, quand plus qu'un photon sont présents dans l'impulsion. Il faut

une post-sélection des impulsions contenant des photons et chercher à réduire la probabilité

d'obtenir plus qu'un photon dans l'impulsion. Pour une telle source, nous utiliserons un cristal

non linéaire pour convertir les impulsions incidentes en paires de photons. À l'extérieur du

cristal, nous considérons que nous avons le moyen de séparer dans l'espace les deux photons

de la paire, chaque photon suivra un chemin diérent, le photon (a) indiquera la présence du

photon (b). Si nous détectons le photon (a) nous aurons une grande probabilité de recevoir

le photon (b) et une faible probabilité d'en recevoir deux. Nous présenterons notre modèle de

source à photon unique annoncé basée sur un cristal photonique 2D sur niobate de lithium

avec un photon signal (a) à 1310nm et un photon idler (b) à 1550nm. La gure 5.5 illustre

le principe de l'architecture et résume le principe du montage. Le premier photon à 1310 nm

est utilisé pour annoncer celui à 1550nm. Deux détecteurs (photo-diode avalanche APD) sont

utilisées. D'autres architectures ont été proposées et qui s'inspirent directement du principe

de base. Dans [59], les auteurs présentent les performances en terme de probabilité des SPDC

94


(Spontaneous Parametric Down-Conversion) et des NSPDC, (gure 5.6). Les auteurs étudient

diérentes congurations en simulant l'ecacité de la source en fonction de la probabilité pour

un nombre diérent de sources.

Figure 5.5 Principe de la source à photons uniques annoncés

95


Figure 5.6 Source à photon unique obtenue à partir de N sources paramétriques spontanées(SPDC)

5.3.2 Architecture et calcul de probabilités

Pour l'architecture de la source à photons uniques annoncés que nous proposons, le cristal

convertit le signal incident (à 980nm) en deux signaux (à 1310nm et 1550nm), (Figure5.7).

Pour séparer spatialement les deux signaux à 1310nm et celui à 1550nm, nous utilisons un

démultiplexeur. Nous utilisons le photon à 1310nm comme étant l'annonciateur du photon à

1550nm. Deux photodiodes à avalanche sont utilisées, la première servira à détecter le photon

à 1310nm la deuxième par contre en mode de commutation et servira à détecter le photon

à 1550nm. Lorsque la première photodiode détecte le photon à 1310nm, elle démarrera la

détection de la deuxième photodiode pendant une durée de ∆T lui permettant une éventuelle

détection à 1550nm. ∆T étant la fenêtre de détection ; uniquement un seul photon est néces-

saire pendant ∆T . La caractéristique de l'unicité du photon dépend du choix de ∆T et de

µp la valeur moyenne de la création de la paire de photons photons (1310 − 1550nm) par le

96


cristal photonique. Le paramètre µp dépend de la puissance du laser et les caractéristiques du

cristal. Le nombre moyen de paires de photon généré pendant ∆T est donnée par l'équation

5.4 :

¯n =µp .∆T (5.4)

Figure 5.7 Architecture détaillée de la source à photon unique

Le taux moyen des photons signal µ1310 et des photons idler µ1550 sont égales aux taux

moyen de paires crées dans le cristal photonique µp . Cette relation est valable uniquement à

l'intérieur du cristal. A la sortie du cristal et lors de l'opération de collecte des photons µ1310

et µ1550 dépendent toujours de µpmais il faut ajouter un coecient qui représente les pertes de

photons lors de l'opération de collecte. γ1310 et γ1550 représentent les coecients de collection

des photons signal et idler comme illustré par les équations 5.5 et 5.6. Dans un cas idéal où

nous n'avons pas de pertes γ1310 = γ1550 = 1.

µ1310 = γ1310µp (5.5)

µ1550 = γ1550µp (5.6)

Le taux de détection de l'APD est noté S donné par l'équation 5.7 avec η qui correspond

à l'ecacité du détecteur.

S = η.µ1310 = η.γ1310.µp (5.7)

A l'heure actuelle toutes les photodiodes à avalanches présentent des coups sombres notés

97


Dc , qui ne correspondent eectivement à aucune détection de photons mais qui sont dus

au bruit thermique. Notre APD associée pour la détection des photons signal ne fait pas

l'exception à cette règle. Le coecient de détection Snet est donné par la nouvelle équation

5.8.

Snet = S −Dc = η.γ1310.µp .−Dc (5.8)

La probabilité de ne pas avoir un photon de photons à la sortie de la source correspond à

deux cas :

Le premier cas consiste au fait que le photon signal est détecté mais le photon idler est

perdu ce qui s'écrit en normalisation par S : (1−γ1550).Snet

S

Le deuxième cas consiste à un cout sombre de l'APD, alors le deuxième détecteur ne

va pas être déclenché pour collecter le photon idler, ce cas se traduit par l'expression

suivante : DcS.

Nous pouvons écrire la probabilité de ne pas avoir le photon annoncé dans la fenêtre de

détection P01550 par l'équation 5.9 :

P01550 =

(1− γ1550)Snet + Dc

Snet + Dc(5.9)

La probabilité d'avoir le photon annoncé P11550 dans la fenêtre ∆T :

P11550 =

γ1550Snet

Snet + Dc(5.10)

Nous calculons maintenant la probabilité P1+1550 d'avoir un photon idler, contenu dans la

fenêtre temporelle ∆T mais qui ne soit pas annoncé par un photon signal. Le détecteur de

photons fonctionne en mode déclenché donc nous pouvons avoir un ou plusieurs photons non

annoncés dans la fenêtre avec la probabilité présentée par l'équation 5.11 :

P1+1550 = 1− e−µ1310∆T (5.11)

Pour µ1310 ×∆T petit nous pouvons faire la simplication suivante :

P1+1550 = 1− µ1310∆T (5.12)

Nous calculons maintenant les probabilités P2, P1 et P0, ce sont les probabilités d'avoir

respectivement deux photons, un photon et zéro photons par impulsion.

Calcul de la probabilité P2

Cette probabilité correspond au cas où un photon annoncé et un photon non annoncé se

retrouvent ensemble dans la fenêtre de détection ∆T associée au photon annoncé :

98


P2+ = P11550 × P1+

1550 (5.13)

Nous remplaçons P11550 et P1+

1550 par leurs expressions des équations 5.10 et 5.11 :

P2+ ≈ γ21310µp∆T

Snet

Snet + Dc(5.14)

P2+ ≈ γ21310µp∆T

γ1550µpη

γ1550µpη + Dc(5.15)


Pour avoir un seul photon présent dans la fenêtre temporelle soit nous avons un photon annoncé

ou on perd le photon annoncé et nous détectons un autre photon non annoncé. Ces deux cas

se traduisent par la probabilité présenté par l'équation 5.16 :

P1 = P11550 × (1− P1+

1550) + P1+1550 × (1− P1

1550) (5.16)

Nous remplaçons les valeurs de P11550 et P1+

1550 par les expressions 5.10 et 5.11 :

P1 ≈ γ1550((Snet

Snet + Dc)(1− 2γ1550µp∆T ) + µp∆T ) (5.17)

P1 ≈ γ1550((γ1310µpη

γ1310µpη + Dc)(1− 2γ1550µp∆T ) + µp∆T ) (5.18)


La probabilité de n'avoir aucun photon dans la fenêtre temporelle ∆T , donc nous n'avons

aucun photon annoncé ou non annoncé comme illustré par l'équation 5.19 :

P0 = (1− P11550)× (1− P1+

1550) (5.19)

Nous remplaçons les valeurs de P11550 et P1+

1550 par les expressions 5.10 et 5.11 :

P0 = (1− γ1550Snet

Snet + Dc)× (1− γ1550µp∆T ) (5.20)

P0 = (1− γ1550γ1310µpη

γ1310µpη + Dc)× (1− γ1550µp∆T ) (5.21)

Calcul de la fonction d'auto corrélation g(2)(0)

Comme nous avons vu au chapitre 1, la fonction d'auto corrélation est égale à :

g2(0) =2P2+

P21

(5.22)

99


Nous remplaçons P1par son expression dans l'équation 5.18 et P2+ par son expression dans

l'équation 5.15 nous obtenons :

g2(0) =2µp∆T (

γ1310µpηγ1310µpη+Dx

)

(µp∆T + (1− 2γ1550µp∆T )(γ1310µpη + Dc))2(5.23)

5.3.3 L'inuence des paramètres de la source sur ses performances

Une source à photons uniques est plus performante qu'un laser atténué si elle a une pro-

babilité P1 > 0, 1 et une valeur g(2)(0) < 1. Nous étudions dans cette partie l'impact des

diérents paramètres sur la probabilité P1et g2(0). Nous choisissons un point de fonctionne-

ment pour avoir une probabilité P1 proche de 1 et une valeur g(2)(0) proche de zéro. Nous

commençons par l'inuence de la variation des paramètres γ1310 et γ1550 qui représentent les

taux de collection respectivement des photons à 1310nm et 1550nm.

Inuence des paramètres γ1310 et γ1550

Dans cette partie nous considérons que γ1310 = 0, 65×γ1550, nous étudions le comportement de

la probabilité P1et de la fonction d'auto corrélation g2(0) en fonction de la récolte des photons

idler γ1550. Nous avons xé les valeurs des diérents autres paramètres : µp = 6, 6.106s−1,

Dc = 20000s−1et ∆T = 3ns. La gure 5.8 illustre l'inuence de la collection globale des paires

sur les performances de la source. Nous remarquons que la probabilité d'obtenir un photon

unique P1 varie linéairement avec la variation des taux de collection. L'augmentation du taux

de collection des paires diminue le taux de perte des photons ce qui diminuera le nombre

d'impulsions vides et augmentera la probabilité P1. Pour la fonction d'auto corrélation elle

est presque constante du fait que la présence d'un deuxième photon avec le photon unique ne

dépend pas directement des taux de collection des photons. Dans les deux parties suivantes

nous analysons l'eet de variation des deux paramètres de collection séparément.

100


Figure 5.8 Variation de la probabilité P1 et la fonction d'auto corrélation g(2)(0) en fonctionde γ1550

Inuence du paramètre γ1550

Dans cette partie nous xons γ1310 = 0, 3, la gure5.9 montre la variation de P1et g2(0).

Pour les autres paramètres nous gardons les mêmes valeurs que la section précédente. Comme

nous l'avons expliqué au point précédent ,la fonction d'auto-corrélation g2(0) ne dépend pas

directement des taux de collection des photons, ce qui explique le comportement constant de

la fonction g2(0) en fonction deγ1550 et comme indiqué dans l'équation 5.23. Cependant, la

probabilité P1dépend directement de γ1550 comme le démontre l'équation 5.18. L'augmentation

du taux de collection des photons idler diminue le taux de perte de ces photons par conséquent

augmente la probabilité P1. Nous pouvons armer que la récolte des photons idler améliore

la probabilité d'avoir un photon unique mais elle n'a aucune inuence sur la fonction d'auto-

corrélation g2(0).

101


Figure 5.9 Variation de la probabilité P1 et la fonction d'auto-corrélation g(2)(0) en fonctionde γ1550 avec γ1310 xe

Inuence du paramètre γ1310

Dans cette partie nous gardons toujours les mêmes paramètres de µp , Dcet ∆T . nous choi-

sissons la valeur de γ1550 = 0, 6 nous varions γ1310, la gure 5.10 montre la variation des

paramètres P1 et g2(0). A partir de la valeur γ1310 = 0, 1, nous retrouvons des courbes re-

lativement plates, donc P1et g2(0) sont indépendantes de la valeur de γ1310. Comme nous

l'avons expliqué dans les deux points précédents la fonction d'auto-corrélation ne dépend pas

des taux de collection de photons signaux et des photons idler. Mais contrairement au taux

de collection des photons idler γ1550, où la probabilité P1 varie linéairement en fonction de

ce paramètre, cette probabilité est quasiment invariante en fonction du taux de collection des

photons à 1310nm pour des valeurs de γ1310 > 0, 1. La perte ou la collection du photon signal

à 1310nm n'inue pas sur l'absence ou la présence du photon idler à 1550nm. Nous pouvons

conclure que ce paramètre n'inue pas sur les performances de notre source à photons uniques.

Mais comme nous l'avons vu précédemment les paramètres γ1310 et γ1550 sont reliés entre eux,

nous analysons maintenant l'inuence du paramètre µp sur les performances de notre source.

102


Figure 5.10 Variation de la probabilité P1 et la fonction d'auto-corrélation g2(0) en fonctionde γ1310 avec γ1550 xe

Inuence du taux de création de paires µpDans cette partie nous étudions l'inuence du taux de création des paires de photons µp sur

les fonctions P1 et g2(0). Avec γ1310 = 0, 3 et γ1550 = 0, 5, sachant que Dc et ∆T gardent

toujours les mêmes valeurs que les sections précédentes. La gure 5.11 montre bien que à

partir de la valeur µp > 2.106la probabilité P1dépend très peu de µp . La fonction d'auto-

corrélation augmente avec l'augmentation du nombre des paires crées dans un intervalle ∆T .

L'augmentation de µp engendre l'augmentation de la probabilité P2+ d'avoir plus q'un photon

dans la fenêtre ∆T . Il faut avoir une valeur de µp pas trop faible pour avoir un taux de

génération de photons acceptable et pas trop élevée pour ne pas augmenter la probabilité

P2+.

103


Figure 5.11 Variation de la probabilité P1 et de la fonction d'auto-corrélation g2(0) enfonction de µp

Inuence du taux de coups sombres Dc

Dans cette partie nous étudions l'inuence du taux des coups sombres Dc sur les fonctions

P1 et g2(0). Avec γ1310 = 0, 3, γ1550 = 0, 5, µp = 6, 6.106s−1et ∆T = 3ns. Bien que les coups

sombres ne sont pas liés au processus de création de paires de photons, ils ont une inuence sur

les performances de la source à photons uniques. Ils augmentent la probabilité P0 et réduisent

les probabilités P1 et P2 comme illustré sur la gure 5.12. Les coups sombres causent une

non détection de photons ce qui augmente la probabilité de perdre les photons. La qualité du

détecteur des photons signal est très importante et a une grande inuence sur le comportement

et l'ecacité de la source.

104


Figure 5.12 Variation de la probabilité P1 et de la fonction d'auto-corrélation g2(0) enfonction de Dc

Inuence de la taille de la fenêtre temporelle ∆T

Dans cette partie nous étudions l'inuence de la taille de la fenêtre temporelle ∆T sur les

fonctions P1 et g2(0). Avec γ1310 = 0, 3, γ1550 = 0, 5, µp = 6, 6.106s−1 et Dc = 20000. La

durée de la gate ∆T est un paramètre important pour les performances de la source à photons

uniques. Nous constatons sur la gure 5.13 que la fonction d'auto-corrélation augmente avec

augmentation de la taille de la fenêtre temporelle. Nous pouvons expliquer ça du fait que

l'augmentation de ∆T augmente la probabilité d'avoir un deuxième photon non annoncé qui

se glisse dans la fenêtre temporelle. Par contre la probabilité P1 ne varie pas en fonction de la

taille de ∆T .

105


Figure 5.13 Variation de la probabilité P1 et de la fonction d'auto-corrélation g2(0) enfonction de ∆T

Récapitulation de l'inuence des paramètres de la source

Le paramètre le plus important est le taux de création de photons µp qui est relié au processus

de génération des paires de photons. La présence d'un ou plusieurs photons par impulsion

dépend de la valeur de µp . Une valeur très faible de µp engendrera une absence de photons

dans l'impulsion, une valeur importante de ce paramètre délivrera plus q'un photon annoncé

dans l'impulsion. Il faut choisir un taux de génération de photons acceptable, pas très faible

pour ne pas augmenter le nombre d'impulsions vides et pas très élevé pour ne pas augmenter

le nombre d'impulsions à deux photons. Le deuxième paramètre est γ1550 qui représente le

coecient de collection des photons idlers, une valeur de γ1550 proche de un donnera une valeur

de probabilité P1 élevée. En diminuant les pertes des photons nous améliorons les conditions

de collections des photons, ce qui augmente P1. γ1310 représente le taux de collection des

photons signaux à 1310nm, si nous considérons que ce paramètre est indépendant de γ1550 il

n'agit pas directement sur P1 et g2(0). Mais pratiquement les deux taux de collection sont

liés entre eux, puisque les deux photons sont séparés à partir d'un même démultiplexeur et ils

seront guidés après sur le même type de bre optique. Nous pouvons pas avoir par exemple un

γ1550 très élevé et un γ1310 très faible. Le paramètre Dc qui correspond au nombre des coups

sombres pour le détecteur signal est le principal paramètre qui inuence la probabilité P0,

avec un nombre de coups sombres élevé la probabilité d'absence de photon sera importante.

106


Ce qui diminue la probabilité d'avoir un photon ou plus, les probabilités P1 et P2 diminuent

nettement avec l'augmentation des coups sombres. Le choix du détecteur de photons inue

sur les performances de la source à photons annoncés. La taille de la fenêtre ∆T est un

paramètre crucial aussi pour les performances de notre source, si nous augmentons la taille de

notre fenêtre temporelle la probabilité d'avoir un deuxième photon non annoncé qui glissera

dans cette fenêtre augmentera, ce qui est illustré par l'augmentation de la fonction d'auto-

corrélation.

5.3.4 Choix des paramètres de fonctionnement

Le cristal photonique que nous avons modélisé qui jouera le rôle du générateur des paires

de photons (1310 nm et 1550 nm) a une densité de modes importante ce qui donne un taux

de génération de paires autour µp = 12.106s−1, ce taux est plus élevé que le taux utilisé à la

référence [3] ceci va augmenter légèrement la fonction d'auto-corrélation g2(0). Mais l'avantage

du composant actif à base d'un cristal photonique associé à un démultiplexeur à base de

cristaux photoniques aussi est de diminuer les pertes de photons et d'augmenter les coecients

de collection γ1310 = 0, 47 et γ1550 = 0, 7 [29]. Avec ce taux de génération de paires de photons

et ces taux de collection avec un ∆T = 3ns, nous obtenons une probabilité P1 = 0, 5478

mieux que P1 = 0, 4 trouvée dans [3]. Pour la fonction d'auto-corrélation nous obtenons

g(2)(0) = 0, 0744 une valeur légèrement supérieure à la valeur trouvé dans [3] g(2)(0) = 0, 05

du fait que nous avons augmenté le taux de création de paires µp . Pour le choix des paramètres

d'une façon générale ceci dépend de l'application qui va utiliser la source à photons uniques,

certaines applications favorisent P1 par rapport à g(2)(0) où le fonctionnement de l'application

ne sera pas perturbée par la présence d'un photon mais il sera perturbé en absence du photon

unique et pour d'autres applications c'est le contraire, le fonctionnement de l'application ne

sera pas perturbée en absence du photon unique mais sera perturbé en présence du deuxième

photon non annoncé. Pour notre source nous avons favorisé P1 par rapport à g(2)(0). Nous

avons choisit des composants à base d'un cristaux photoniques qui augmentent le taux de

création de paires mais aussi augmentent le taux de collection et diminuent les pertes de

photons.

5.4 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons modélisé une source à photons uniques annoncés avec un pho-

ton signal à 1310 nm et un photon idler à 1550 nm. Nous avons modélisé un composant actif

pour notre source qui génère des paires de photons à 1310 nm et 1550 nm. Ce générateur est à

base d'un cristal photonique bidimensionnel sur niobate de lithium dopé erbium. Nous avons

étudié les paramètres optiques et géométriques de ce cristal photonique de telle manière que

107


nous obtenons une densité de modes importante pour les longueurs d'ondes 1310 nm et 1550

nm. Dans une deuxième partie nous avons présenté l'architecture de notre source qui est basé

sur la génération de paires de photons (1310nm-1550nm) qui seront séparés spatialement à

l'aide d'un démultiplexeur. Le photon à 1310nm annoncera le photon à 1550nm et déclenchera

le mécanisme de détection. Nous avons étudié l'inuence du taux de création des paires de

photons, les taux de collection des photons, le nombre des coups sombres du détecteur et la

taille de la fenêtre temporelle sur les performances de la source et en particulier sur la probabi-

lité d'obtenir un photon P1 et la fonction d'auto-corrélation g(2)(0). Nous avons constaté que

la probabilité P1 dépend linéairement du taux de collection des photons et que le nombre des

coups sombres du détecteur diminue nettement cette probabilité d'obtenir un photon unique.

Le taux de génération de paire est un paramètre délicat aussi il faut pas choisir un taux très

élevé qui augmentera la probabilité P2. Il faut choisir une fenêtre temporelle réduite pour ne

pas avoir plus qu'un photon dans cette fenêtre. Nous avons essayé de choisir des paramètres

optimaux des diérents composants de notre source et nous avons obtenu P1 = 0, 5478 et

g(2)(0) = 0, 0744 qui s'avèrent des valeurs acceptables et correctes pour une source à photons

uniques annoncés.

108

Conclusion et perspec-tives

6

Ce travail de recherche porte sur l'étude et la modélisation des sources à photons uniques,

l'objectif nal étant de proposer le schéma d'une source qui émet des photons uniques à

1550nm. Ce travail a été présenté en deux parties, la première partie concerne une étude des

sources à photons uniques à la demande, appelées aussi sources à photons uniques déclenchées

qui consistent en une association d'un émetteur de photons uniques et d'une microcavité op-

tique. La deuxième partie consiste à l'étude des sources à photons uniques annoncés, où il était

question qu'une source émettant une paire de photons séparés spectralement et spatialement.

Nous avons commencé par l'étude des sources à photons uniques déclenchés, la première

étape était le choix du composant qui jouera le rôle de l'émetteur des photons uniques pour

notre source entre les molécules à basse température, les ions uniques piégés, les centres colorés

de diamant et les boites quantiques. Le principal inconvénient des molécules à basse tempé-

rature et des ions uniques piégés est que ces éléments ont un problème de photostabilité. Les

centres colorés du diamant, ont un inconvénient majeur est le contrôle de l'énergie d'émission

qui reste un processus très dicile à réaliser. Les boites quantiques ont un gain optique très

élevé grâce au connement tridimensionnel de l'énergie. Il est possible de contrôler l'énergie

d'émission des boites quantiques en fonction des paramètres géométriques de celle ci et en

fonction de la puissance de pompage. D'autre part, la boite quantique peut être facilement

couplée à une microcavité optique. Pour tous ces atouts nous avons choisi la boite quantique

comme émetteur de photons uniques pour notre source à photons uniques déclenchée. Nous

avons développé une méthode numérique qui calcule les états excitoniques pour des boites

quantiques pyramidales en tenant compte des dimensions et des caractéristiques physiques des

matériaux utilisés en suivant la méthode de masse eective des matériaux. Nous avons calculé

les énergies des électrons et des trous connés dans la boite quantique, an de trouver les éner-

gies des photons émis à la recombinaison de ces électrons-trous. Notre méthode numérique se

présente sous la forme d'un développement de l'équation de Schrödinger aux diérentes parties

de la boite quantique : à l'intérieur de la pyramide, à l'extérieur, sur toutes les surfaces, sur

109

Chapter 6 : Conclusion et perspectives

tous les cotés et sur tous les angles. La résolution de ce système d'équations nous a donné

les diérentes énergies des électrons et des trous qui peuvent occuper les niveaux énergétiques

de la boite quantique. Nous avons étudié les boites quantiques InAs/GaAs, puis nous avons

choisi les paramètres géométriques optimaux pour obtenir une boite quantique d'InAs/GaAs

pyramidale qui émettent un photon unique (un exciton) à 1550nm. Ensuite, nous avons calculé

l'intensité des excitons et des biexcitons de notre boite quantique déjà modélisée en fonction de

la puissance de pompage. Finalement, nous avons étudié l'évolution temporelle de l'occupation

de la boite quantique par les porteurs en fonction des durées de vie radiatives de l'exciton et

du biexciton. L'intérêt de l'association de la boite quantique avec une micro cavité optique

résonante est d'éliminer les autres photons des autres états multiexcitoniques pour ne garder

que l'exciton. Pour cela, nous avons étudié les diérents types des microcavités résonantes.

Nous avons focalisé notre étude sur les microcavités bidimensionnelles : les microdisques, les

microdisques dentés et les microacvités à base de cristaux photoniques. Ces structures sont

caractérisées par un facteur de qualité de résonance Q élevé et un volume eectif V faible.

Aussi elles possèdent une géométrie bidimensionnelle moins compliquée que les sphères, les

microtores et les micropiliers. Nous avons développé une méthode numérique pour modéliser

les microdisques et les microdisques dentés se basant sur l'écriture des champs électriques et

magnétiques et la permittivité relative sous une décomposition de Fourier. Cette décompo-

sition a été simpliée en utilisant les matrices de toeplitz. L'avantage de cette méthode par

rapport aux autres méthodes telles que la méthode des diérences nies est un temps de cal-

cul inférieur pour notre méthode et une recherche des longueurs d'ondes de résonance sans

connaitre au préalable l'intervalle de résonance, contrairement à l'FDTD. Nous avons modélisé

un microdisque sur GaAs de rayon r = 700nm et ayant le mode azimutal m = 7 qui résonne

à 1550nm avec un facteur de qualité Q = 381. L'inconvénient des microdisques est la pré-

sence de plusieurs modes résonants sur une plage de longueurs d'ondes étroite, ce qui pourra

permettre à d'autres photons émis de la boite quantique de résonner ce qui diminuera la pro-

babilité d'avoir un photon unique à 1550nm. Pour résoudre ce problème nous avons modié

la structure géométrique du microdisque en créant une périodicité de l'indice de réfraction

selon l'axe θ. Cette structure est appelée microdisque denté ou microgear. Suite à l'étudie de

l'inuence de la profondeur des dents sur le déplacement des longueurs d'ondes de résonance

λres et le facteur de qualité Q , nous avons modélisé un microdisque denté avec un rayon in-

térieur rint = 740nm et un rayon extérieur rext = 1000nm sur GaAs avec un mode d'ordre

azimutal m = 6 résonant à 1550nm avec un facteur de qualité Q = 361. Nous avons modélisé

une dernière microcavité à base d'un cristal photonique bidimensionnel sur GaAs le but étant

d'améliorer le facteur de qualité. Nous avons analysé l'inuence des paramètres optiques et

géométriques sur la bande interdite photonique, nous avons conçu un cristal bidimensionnel

avec un réseau de trous d'air hexagonal avec un taux de remplissage r/a = 0, 4. Nous avons

110


calculé les valeurs du rayon r et de la période a de telle manière à obtenir λ = 1550nm au

centre de la bande interdite photonique. Nous avons crée un défaut ponctuel au centre du

cristal photonique de telle manière à conner l'énergie dans cette zone. Nous avons obtenu

une longueur d'onde de résonance λres = 1550nm avec un facteur de qualité Q = 11000. Suite

à la modélisation de ces trois structures résonantes qui sont caractérisées par une longueur

d'onde de résonance λres = 1550nm, nous avons étudié les conditions de couplage fort entre la

boite quantique et les trois cavités résonantes. Nous avons remarqué qu'avec le microdisque et

le microdisque denté on est dans le régime de couplage fort mais très proche du régime de cou-

plage faible, cependant avec la microcavité à base du cristal photonique on est dans le régime

de couplage fort loin de la limite du régime du couplage faible. Nous avons remarqué qu'avec

la microcavité à base du cristal phonique nous avons obtenu des meilleurs performances de

résonances qu'avec le microdisque et le microdisque denté. La limitation des cristaux photo-

niques réside dans le fait que le processus de fabrication qui donne des défauts, contrairement

au processus de fabrication des microdisques qui est maitrisé.

La deuxième partie de ce travail concerne les sources à photons uniques annoncés. Elle

a consisté à l'étude et à la modélisation d'une source à photons uniques annoncés avec un

photon signal à 1310nm et un photon idler à 1550nm. La première étape était de concevoir un

composant optique actif qui génère des paires de photons à (1310nm − 1550nm). Les cristaux

photoniques ont une forte densité de modes sur les les limites de la bande interdite photonique.

En se basant sur cette caractéristique nous avons modélisé un cristal photonique bidimension-

nel actif sur niobate de lithium dopé erbium, nous avons calculé les paramètres géométriques

de telle manière à obtenir une forte densité de modes pour les longueurs d'ondes 1310nm et

1550nm. Le cristal photonique sera associé à un démultiplexeur pour séparer les photons à

1310nm et les photons à 1550nm. Les photons à 1310nm annoncent l'arrivée des photons à

1550nm et déclenchent le processus de détection. Ensuite, nous avons étudié l'inuence des

diérents paramètres des composants de notre architecture sur la probabilité d'avoir un photon

unique P1 et sur la fonction d'auto-corrélation g2(0), comme l'inuence du taux de création

des paires de photons, le taux de détection de photons, l'ecacité des détecteurs, la taille de

la fenêtre temporelle etc..Suite à cette étude nous avons choisi un point de fonctionnement

avec des paramètres réalisables qui permettent de maximiser la probabilité P1 et minimiser la

fonction g2(0). Nous avons obtenu une probabilité P1 = 0, 54 et g2(0) = 0, 07 qui demeurent

des valeurs convenables.

Pour ces travaux de recherche, de nombreuses perspectives sont envisageables. Pour la

source à photons uniques déclenchée nous envisageons développer un seul modèle numérique

qui regroupe la boite quantique la microcavité ce qui simpliera l'analyse de performances de

la source. Pour la source à photons annoncés le travail s'oriente vers l'intégration du cristal

photonique générateur de paires de photons et du démultiplexeur en un seul composant à

111


base de cristaux photoniques. Cette solution diminuera les pertes de photons augmentera le

taux de collection des paires de photons et par la suite augmentera la probabilité d'avoir un

photon unique et diminuera la fonction d'auto-corrélation. Pour les deux sources nous avons

choisi des paramètres de composants réalistes ce qui permettra de faire des tests expérimen-

taux pratiques. Les modèles de portes logiques quantiques tel que la CNOT et les modèles

d'algorithme de cryptographie quantique tel que l'algorithme BB84 se basent sur la notion du

q-bit qui est représenté par un photon unique. Nous pouvons intégrer nos modèles de sources à

photons uniques avec ces modèles d'applications quantiques ce qui donnera un aspect réaliste

à ces modèles. Dans ce cas, nous pouvons étudier à ce moment l'inuence de la probabilité

d'obtention d'un photon unique sur les performances des applications quantiques.

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