Université catholique de LouvainEcole Polytechnique de Louvain

MECANIQUE DES FLUIDES ET TRANSFERTS I

V. Legat, G. Winckelmans

Enoncés des exercices pour le cours MECA1321 (partie 1)Année académique 2008-2009 (version 1.0 30-1-2008)

Ce document est une oeuvre originale protégée par le droit d’auteur.Copyright V. Legat, mars 2009 Ce texte est une version provisoire. Malgré tout le soin apportéà sa rédaction, il est possible que quelques erreurs soient toujours présentes dans le texte.Tout commentaire, critique ou suggestion de votre part, est évidemment le bienvenu. Il vousest possible de m’envoyer vos commentaires directement par courrier électronique à l’adressesuivante : vincent.legat@uclouvain.be

i

Séance 1

Equations deconservation

Dρ

Dt+ ρ∇ · v = 0,

ρDvDt

= ∇ · σ + ρg,

ρDU

Dt= σ : d−∇ · q + r,

1On analyse un écoulement incompressible bidimensionnel où on suppose que la composante hors-plan de vitesse est nulle. Un fluide de masse volumique ρ est coincé entre le sol situé en y = 0 etune plaque de largeur L se déplaçant vers le bas avec une vitesse V : l’épaisseur de la couche fluideentre la plaque et le sol est donc une fonction du temps h(t).L’amplitude du profil de vitesse horizontale est supposé de la forme :

u(y, t) = 4U(t)

[y

h(t)−(

y

h(t)

)2]

1. Déterminer la fonction h(t) si l’épaisseur en t = 0 vaut h0.2. Calculer la vitesse maximale U(t).

2On considère l’étude d’écoulements incompressibles de fluides.

1. Ecrire en notation tensorielle (c’est-à-dire avec des symboles comme ∇, v ...) la forme localedes équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie internepour de tels écoulements (c’est-à-dire des écoulements incompressibles !). Effectuer les sim-plifications qui peuvent être réalisées et ne pas simplement écrire les équations valables pourtout type d’écoulement.

2. Quelle propriété du tenseur de Cauchy est imposée par le respect de la conservation du momentde la quantité de mouvement ?

3. Effectuer le décompte des équations et des inconnues et montrer qu’il sera nécessaire d’introduiredes équations de comportement telles que la loi de Fourier et le modèle de fluide Newtonien.

4. Ecrire ces équations de comportement avec des paramètres constants et montrer commentil est possible d’obtenir une formulation vitesses-pression-température pour la modélisationd’écoulements incompressibles de fluides newtoniens.

5. Définir et donner les unités de tous les paramètres matériels présents dans ces équations.6. Dans le cas général (en écoulements compressibles et incompressibles) du modèle de fluide new-

tonien, quelles sont les contraintes imposées sur la viscosité par le respect du second principede la thermodynamique ? Enoncer ce second principe avec des mots.

1

7. Définir la viscosité de volume et expliquer pourquoi elle est absente dans le cas d’écoulementsincompressibles.

(Examen de juin 2000)

3Un fluide avec une vitesse constante U∞ et une masse volumique ρ rencontre un corps cylindriqueinfiniment long. L’écoulement se fait perpendiculairement à l’axe du cylindre. L’unique forceexercée sur le corps est une force de trainée FDrag. A l’aval du corps, un sillage est généré où lavitesse u(x, y) est plus faible que U∞.

On définit alors un volume de contrôle qui englobe le corps et qui s’étend suffisamment loin afinque les perturbations de l’écoulement soient suffisamment amoindries et que le champs de pressionà l’extérieur de ce volume puisse être supposé comme non pertubé. Nous supposerons donc qu’àl’extérieur du volume, les effets visqueux sont totalement négligeables.

1. Calculer la force de trainée par unité de longueur, en fonction d’une distribution u(L, y) avecun choix de L suffisamment éloigné du corps.

2. Généraliser votre calcul pour un corps sphérique avec une distribution u(L, r) et un volumede controle cylindrique.

4Pour un écoulement de cisaillement plan, on utilise souvent la relation suivante pour définir lecomportement de certains fluides non-newtoniens :

τxy = m

∣∣∣∣dudy∣∣∣∣n−1

du

dy

Les autres composantes du tenseur des extra-tensions sont nulles. On peut directement observerque lorsque n = 1, ce modèle connu sous le nom de power law ou de modèle de Ostwald-de Waelese réduit à l’équation de comportement du fluide newtonien.

1. Ecrire l’expression tensorielle générale du modèle de Ostwald-de Waele.

2. Déduire l’équivalent de la formule de Hagen-Poiseuille pour ce modèle.

5De la pulpe de papier est pompée dans une filière horizontale de hauteur 2h et de longueur L enimposant en gradient de pression dp/dx. La largeur de la filière étant très grande, on supposeraque l’écoulement est bidimensionnel. Comme la pulpe n’est pas un fluide Newtonien, son profil devitesse est donné par l’expression :

u(y) =n

n+ 1

(1m

dp

dx

)1/n (h(n+1)/n − |y|(n+1)/n

)où m et n sont des paramètres matériels strictement positifs. Les composantes diagonales de τ sontnulles, tandis que l’unique composante de cisaillement τxy est indépendante de x.

1. Donner les unités des paramètres matériels n et m.

2. Calculer le gradient de pression requis pour transporter V un volume de pulpe par unité detemps et par unité de longueur de la filière.

3. En supposant que l’énergie interne et l’énergie cinétique restent constantes dans la filière,calculer le flux de chaleur à évacuer en raison du travail de forces de surface.

2

Séance 2

Transferts et écoulementsincompressiblesstationnairesétablis

∇ · v = 0,

ρ(v ·∇)v = −∇p+ ∇ · (2µd) + ρg,

ρc(v ·∇)T = 2µd : d + ∇ · (k∇T ) + r,

6Considérons l’écoulement incompressible stationnaire et établi en conduite cylindrique de sectioncirculaire de rayon R. Le gradient de pression dp/dx, et la viscosité µ du fluide sont connus. Onvous demande de :

1. Calculer le profil de vitesse u(r) et la vitesse moyenne um.

2. Calculer le coefficient de frottement Cf et les pertes de charges λ.

3. Calculer l’énergie dissipée par le travail des efforts internes dans l’écoulement.

Quelques ordres de grandeur de viscosité

Matériau µ [kg/ms]

verre (à température ambiante) 1040

verre (à 5000C) 1012

bitume 108

polymères fondus 103

miel 101

glycérine 10huile d’olive 10−1

huile industrielle 10−2

eau 10−3

air 10−5

7On souhaite analyser les écoulements incompressibles stationnaires et établis entre deux cylindresconcentriques de rayon interne Ri et Re = R. Le gradient de pression dp/dx, et la viscosité µ dufluide sont connus. On vous demande de :

1. Calculer le profil de vitesse u(r).

2. Calculer la vitesse moyenne um.

3. Calculer les pertes de charges λ.

3

4. Qu’observe-t-on dans les deux cas limites donnés par Re −Ri � Re et Ri � Re ?

8On recherche le profil de température T (x) dans l’épaisseur d’une plaque plane dont les faces sontbeaucoup plus grandes que son épaisseur L et ont une température connue : T (0) = T0, T (L) = TL.On vous demande de :

1. Calculer la densité de flux de chaleur q = qx.2. Déterminer le profil de température dans la plaque.

Quelques ordres de grandeur de coefficient de conduction

Matériau k [W/mK]

cuivre 380aluminium 260acier 45eau (à pression atmosphérique) 0.67air (à pression atmosphérique) 0.02

9Considérons une plaque plane composée de plusieurs couches dont les faces sont beaucoup plusgrandes que son épaisseur L. On recherche le profil de température T (x). Les coefficients deconduction des diverses couches sont donnés par ki tandis que leur épaisseurs sont données par Li.Les densités de flux de chaleurs sur les faces extérieures sont données par les expressions :

q = h0 (T∞0 − T (0))q = hL (T (L)− T∞L)

où h0 et hL sont des coefficients de convection, tandis que T∞0 > T∞L sont les températuresmoyennes de l’air des deux côtés de la plaque. Lors du transfert de chaleur d’une paroi à températureT (L) vers un fluide environnant dont la température moyenne est T∞L (supposée ici plus basse),l’expérience indique que l’on peut modéliser le transfert sous la forme ci-dessus connue sous le nomde loi de Newton. Cette loi purement phénomélogique est une façon très simple de modéliser letransfert de chaleur à la surface de la plaque car le coefficient h ne peut être déterminé une foispour toutes. Il devrait contenir en réalité toutes les informations relatives à l’écoulement et auxpropriétés du fluide : profil de vitesse à la paroi, propriétés du fluide : viscosité, conductibilitéthermique, masse volumique, chaleur massique. Ici, nous considérons que la valeur de h a étédéterminée a priori pour les deux faces.On vous demande de :

1. Calculer la densité de flux de chaleur q en fonction des données.2. Déterminer les températures aux interfaces entre les couches.3. Dessiner le profil de température.

Quelques ordres de grandeur de coefficients de convection

Type de transfert Fluide h [W/m2K]

Convection forcée Gaz 10...300

Liquide aqueux 500...12000Huile 50...1700Métal liquide 6000...110000

Convection naturelle Gaz 5...30Liquide aqueux 100...1000

Changement de phase Eau, ébullition 3000...60000Eau, condensation 5000...110000

4

Séance 3

Transferts et écoulementsincompressiblesinstationnairesétablis

∇ · v = 0,

ρDvDt

= −∇p+ ∇ · (2µd) + ρg,

ρcDT

Dt= 2µd : d + ∇ · (k∇T ) + r,

10Démarrage brusque d’une plaque

Considérons un écoulement instationnaire le long d’une plaque plane définie par l’équation y = 0.On recherche donc une vitesse de la forme : u = u(y, t). Il n’y a pas de gradient de pression latéral eton souhaite étudier le démarrage brusque d’une plaque. Pour t < 0, il n’y a pas de vitesse de plaqueet aucun écoulement. Pour t > 0, une vitesse de plaque constante, U , est imposée. Un écoulementdémarre progressivement au sein du fluide afin de respecter la condition de non-glissement à laparoi : u(0, t > 0) = U .

1. Montrer que le champs de vitesse satisfait à l’équation classique de la diffusion

ρ∂u

∂t= µ

∂2u

∂y2.

2. Montrer qu’en introduisant une variable de similitude adéquate η(y, t), on peut se limiter àrésoudre une équation différentielle ordinaire par rapport à cette variable η.

3. Obtenir l’expression analytique du champs de vitesse u(y, t).

11Plaque oscillante

Considérons toujours un écoulement instationnaire le long d’une plaque plane (située en y = 0). Iln’y a pas de gradient de pression latéral et la vitesse de la plaque est donnée par U cos(ωt).

1. Donner l’équation aux dérivées partielles modélisant ce problème ainsi que les conditions auxlimites sous forme dimensionnelle.

2. Proposer des adimensionnalisations u′, η et t′ pour la vitesse u, la variable spatiale y et letemps t respectivement.

3. Montrer que la solution adimensionnelle peut s’écrire sous la forme u′(η, t′) = f(η)cos(t′).

5

4. Montrer que f est la solution d’une équation différentielle ordinaire du second ordre. Donnerle polynôme caractéristique de cette équation.

5. Obtenir l’expression analytique du champs de vitesse u(y, t).

12Relaxation d’un échelon de température appliqué à un mur d’épaisseur 2L

On considère un mur subissant un changement brutal de la température environnante moyenne del’air d’une valeur T0 à une valeur Te. Le mur est supposée suffisamment haut et long afin de pouvoirnégliger tous les effets de bord : en d’autres mots, on suppose que le problème n’a qu’une dimensionspatiale le long de l’épaisseur (x, en l’occurence, avec x = +/− L pour les 2 faces de notre mur).La profil initial de température dans le mur est donnée par T (x, 0) = T0, et le transfert de chaleurà la paroi peut être approchée par la relation :

−k(∂T

∂x

)L,t

= h(T (L, t)− Te).

Pour obtenir le profil de température dans la paroi, on va utiliser la méthode de séparation desvariables en cherchant une solution du type : T (x, t)− Te︸ ︷︷ ︸

θ(x, t)

= X(x)Y (t)

1. Donner l’équation aux dérivées partielles qui régit le profil de température, ainsi que les con-ditions aux limites sous forme dimensionnelle.

2. Definir le nombres adimensionnels de Biot et de Nusselt et en donner le sens physique.3. Quel est le sens physique du nombre de Fourier défini à chaque instant par Fo(t) = αt/L2 ?4. Montrer que la forme générale du profil de température s’écrit sous la forme

T (x, t)− TeT0 − Te

=∑j

Aj cos(ωjxL

)exp

(−ω2

jαt

L2

).

Montrer ensuite comment il serait possible d’obtenir la forme finale du profil de tempéra-ture en tirant profit des conditions aux limites. En utilisant un programme Matlab, évaluernumériquement les ωi et les Ai.

5. Définissons un temps de relaxation comme un ordre de grandeur de temps τ au bout duquel ladifférence de température entre le centre de la plaque et le fluide a chuté de 95% de sa valeurinitiale. En supposant que le premier terme de la solution est une bonne approximation del’entièreté de la solution (ce qui est le cas lorsque Fo ≥ 0.25) et que le terme A1 est proche del’unité (ce qui est une bonne approximation, quel que soit le nombre de Biot), montrer que letemps de relaxation d’un échelon de température peut être donné par une expression du type

τ ≈ 3L2

αω21

.

Pour obtenir cette estimation, on considère la température au milieu de l’épaisseur de la plaque(x = 0) : ce qui est bien la position la plus critique.

Quelques ordres de grandeur de diffusivité thermique

Matériau (à température et pression ambiantes) α [cm2/s]

air sec 2.5 10−1

granit 1.2 10−2

hélium 2.1 10−2

eau 1.5 10−3

verre 3.4 10−3

neige 3.9 10−3

béton 6.6 10−3

kérozène 7.1 10−4

gazoline 7.5 10−4

huile de moteur (à 3000C) 8.5 10−4

6

13Milieu thermiquement semi-infini soumis à des fluctuations périodiques

Considérons un milieu semi-infini dont la température à la paroi (située en x = 0) fluctue à unepulsation ω donnée autour d’une valeur moyenne Tm constante : T (0, t) = Tm + θ0 cos(ωt).

Cette fluctuation de température pénètre dans le milieu en s’amortissant. Il vous est demandé decalculer sa répartition au sein du milieu T (x, t). Il s’agit donc d’un problème avec une dimensionspatiale et périodique dans le temps.

1. Donner l’équation aux dérivées partielles modélisant ce problème ainsi que les conditions auxlimites sous forme dimensionnelle.

2. Proposer des adimensionnalisations θ′, η et t′ pour la température T , la variable spatiale x etle temps t respectivement.

3. Montrer que la solution adimensionnelle peut s’écrire sous la forme θ(η, t′) = f(η)cos(t′).

4. Montrer que f est la solution d’une équation différentielle ordinaire du second ordre. Donnerle polynôme caractéristique de cette équation.

5. Obtenir l’expression analytique du champs de température T (x, t).

6. A quelle distance de la paroi, la température (elle-même oscillante...) est-elle déphasée de 180degrés par rapport à la température de la paroi ?

14Formation d’une plaque de glace sur un lac

On se propose de suivre l’évolution de l’épaisseur d’une plaque de glace se développant à la surfaced’un lac à la suite de la chute brutale de la température atmosphérique. Le lac est supposé suff-isamment grand afin de pouvoir négliger tous les effets de bord. En d’autres mots, on suppose quele problème n’a qu’une dimension spatiale : x, en l’occurence, partant de la surface vers le fonddu lac. Les conductibilités, masses volumiques et chaleurs spécifiques de la glace et de l’eau sontnotées respectivement ks, kl, ρs, ρl, cs et cl.

On souhaite déterminer à chaque instant la position xf (t) de l’interface glace-eau où s’effectue lechangement de phase à la température connue Tf . La température globale de l’air est notée Te.Toutefois, au dessus du lac, une couche limite d’air surplombant la glace en formation va apparaîtreet la température de l’air en surface du lac vaudra donc une valeur Tw inconnue que nous supposonsconstante afin de simplifier notre problème1. La température initiale du lac est notée Ti. Pour quele problème soit réaliste, il faut évidemment que Te < Tw < Tf < Ti. Le profil de températureau sein de la glace est notée Ts(x, t) tandis que le profil de température au sein de l’eau est notéeTl(x, t).

Afin de tenir compte de la congélation, la continuité du flux de chaleur à l’interface glace-eau s’écrit

ks∂Ts∂x

(xf (t), t) = kl∂Tl∂x

(xf (t), t) + ρs∆Hsldxfdt

(t)

où ∆Hsl est l’enthalpie (ou chaleur) latente de fusion de la glace.

1. Définir et évaluer numériquement (avec les unités !) les diffusivités thermiques respectives dela glace et de l’eau : αs et αl.

2. Faire un schéma approximatif du problème avec un profil intuitif de température et les 3domaines (air, glace, eau) à un instant t arbitraire. Y indiquer Te, Tw, Tf , Ti.

3. Donner les deux équations aux dérivées partielles, ainsi que les trois conditions aux limitessous forme dimensionnelle pour déduire le profil de température au sein de la glace et de l’eaudu lac.

1Une telle approximation n’est pas totalement correcte, car la hauteur de la couche limite va grandir progressivement,tout comme l’écart Tw − Te. Mais, il faut bien simplifier l’algèbre, on approxime donc Tw(t) par une valeur constante quel’on peut interpréter comme une moyenne temporelle ....

7

4. Trouver l’expression du profil de température dans la glace et dans l’eau en utilisant commevariable de similitude

η =x

2√αst

,

et en supposant que les profils de température s’écrivent sous la forme

Ts(x, t)− Tw = (Tf − Tw)f(η(x, t))f(ηf )

,

Tl(x, t)− Tw = (Ti − Tw)− (Ti − Tf )

1− f(√

αs

αlη(x, t))

1− f(√

αs

αlηf )

.

où ηf est une constante solution de l’équation scalaire transcendante

ks(Tf − Tw)√αsπ

exp(−η2f )

erf(ηf )=kl(Ti − Tf )√αlπ

exp(−αsη2f

αl)

(1− erf(√

αs

αlηf ))

+ ρs√αs∆Hslηf .

Démontrer que ce choix est judicieux et trouver l’expression de la fonction f . En utilisantMatlab, résoudre numériquement l’équation dont ηf est la solution pour Tw = Te.

5. Obtenir une expression pour la vitesse du front de glaciationdxfdt

(t).

6. Calculer l’épaisseur de la glace après une heure, si l’on suppose que Tw = Te.

7. Calculer la valeur de Tw, sachant qu’expérimentalement on a observé que l’épaisseur de laglace atteint approximativement 5 mm. Une résolution numérique de l’équation liant ηf etTw sera à nouveau requise.

8. Estimer la valeur de Tw en calculant un profil linéaire de température au sein de la glace,lorsqu’on néglige tous les effets dynamiques et que la température de l’eau du lac est supposéeêtre maintenue à Tf . Par contre, les échanges par convection et par rayonnement à l’interfaceair-glace sont modélisés à l’aide de la loi de Newton avec un coefficient h = 20.0 W m−2 K−1

supposé uniforme et constant. L’épaisseur de la glace supposée évidemment constante vaudra5 mm.

Valeurs numériques et indications diverses

ks 2.0 W m−1 K−1

kl 0.6 W m−1 K−1

ρs 920.0 kg m−3

ρl 1000.0 kg m−3

cs 1800.0 J kg−1 K−1

cl 3900.0 J kg−1 K−1

∆Hsl 333600.0 J kg−1

Tf 0.0 0CTe −10.0 0CTi 5.0 0C

Il peut aussi être utile de serappeler que :

erf(η) =2√π

∫ η

0

exp(−s2)ds.

erf(0) = 0limη→∞ erf(η) = 1

8

Séance 4

Mélangesbinairesvisqueux

∂ρA∂t

+ ∇ · (ρAv) = −∇ · jA +mA,

∂ρB∂t

+ ∇ · (ρBv) = −∇ · jB +mB ,

ρDvDt

= −∇p+ ∇ · (2µd) + ρAgA + ρBgB ,

ρDH

Dt=

Dp

Dt+ 2µd : d + ∇ · (k∇T ) + r

+ jA · gA −∇ · (jAHA) +mAHA

+ jB · gB −∇ · (jBHB) +mBHB .

jA = −ρ∇(D

ρAρ

)= −jB

15Diffusion et réaction chimique homogèneExamen de juin 1999

On considère le système suivant : au dessus de z = 0, nous avons un gaz A et en dessous une phaseliquide dans laquelle le gaz A se dissout dans un liquide B et diffuse dans la phase liquide. Pendantque A diffuse dans la phase liquide, il subit simultanément une réaction chimique irréversible dusecond ordre dont la cinétique est donnée par

mA

MA= −kc2A.

On souhaite obtenir le profil de concentration molaire de A dans la phase liquide si on suppose quela concentration en surface est cA0. Dans notre analyse, nous supposerons que la phase liquide aune très grande profondeur, que la concentration de A est très faible dans la phase liquide et que leproduit de la réaction AB n’interfère pas avec la diffusion de A dans B. Le coefficient de diffusionde A dans le liquide sera noté D et est supposé constant.

1. Dessiner un schéma clair et concis du problème.

2. Ecrire l’équation différentielle qui modélise, à l’équilibre, la diffusion avec la réaction chimique.Le mélange liquide est supposé être au repos (v = 0) et sa densité ρ peut également êtresupposée constante (Pourquoi ?).

3. Ecrire les deux conditions aux limites.

4. Résoudre l’équation différentielle et obtenir le profil de concentration. Il peut être utile desavoir que ce profil est de la forme suivante (Az +B)r (où A et B sont des constantes réelleset r est un entier).

5. Montrer que la densité de flux de masse à la surface du liquide (z = 0) est donnée à l’équilibrepar

√2kc3A0DM

2A/3. Donner les unités de cette grandeur !!

16Transfert simultané de chaleur et de masse

Nous allons rechercher le profils de concentration xA(x) et de température T (x) pour le systèmesuivant. Nous avons une surface froide mise en présence d’un mélange contenant une vapeur chaudecondensable A et un gaz non-condensable B. La vapeur va donc se condenser sur la paroi et former

9

un fin film liquide sur celle-ci. Nous allons considérer qu’à la surface extérieure du film liquidex = 0, on connaît la concentration molaire cA0 et la température T0. De même, à une distancex = δ, nous connaissons également ces deux grandeurs, soit xAδ et Tδ. Il s’agit de la distance danslaquelle, on peut estimer que le gaz B est immobile, tandis qu’au delà l’écoulement global rendhomogène la température et la concentration. Il y a, par contre, un mouvement global de la vapeurA de x = δ vers x = 0 correspondant à la quantité de vapeur qui va se condenser en x = 0 et coulerle long de la paroi froide.

Dans notre analyse, nous allons supposer que le comportement du mélange peut être considérécomme un gaz idéal avec des propriétés matérielles constantes et à pression constante. Le coefficientde diffusion de A dans le gaz B sera noté D et est supposé constant.

1. Dessiner un schéma clair et concis du problème.

2. Ecrire l’équation différentielle qui modélise, à l’équilibre, le transfert de masse, en supposantque la concentration molaire c peut également être supposée constante. Que pensez-vous decette dernière hypothèse ?

3. Ecrire l’équation différentielle qui modélise, à l’équilibre, le transfert d’énergie en sachant quela chaleur spécifique à pression constante de A est notée cp.

4. Obtenir le profil de concentration en termes de xA0 et xAδ. Il peut être utile de savoir que ceprofil est de la forme suivante log(1− xA) = (Ax+B) (où A et B sont des constantes réelles).

5. Obtenir le profil de température et le comparer à celui que l’on obtiendrait en absence detransfert de masse.

Quelques ordres de grandeur de diffusivités massiques

Mélanges gazeux (température et pression ambiantes) D [cm2/s]

air-ammoniac 2.8 10−1

air-dioxyde carbone 1.4 10−1

air-vapeur d’eau 2.6 10−1

hydrogène-azote 7.8 10−1

Solutions liquides (soluté-solvant à température ambiante) D [cm2/s]

air-eau 2.5 10−5

dioxyde carbone-eau 1.9 10−5

ethanol-eau 8.4 10−6

hydrogène-eau 4.5 10−5

17Evaporation d’un liquide

Considérons un liquide A qui s’évapore dans un gaz B. Nous pouvons imaginer que le niveau duliquide est maintenu constant à la hauteur z = 0. A l’interface liquide-gaz, la concentration de A estexprimée comme la fraction molaire xA0. Cette valeur est la concentration de gaz A correspondantà l’équilibre avec le liquide à l’interface. Nous supposerons en outre que la diffusion de B dans leliquide A est négligeable.

Au sommet de la colonne de hauteur L, un mélange de gaz A + B de concentration xAL s’écoulelentement. Le système entier est supposé, en outre, être maintenu à pression et à températureconstantes. Les deux gaz sont supposés idéaux. Lorsque le système atteint un régime permanent,il n’y a plus qu’un mouvement de A à partir de la surface d’évaporation et le gaz B est immobile.Le profil de concentration est donné par l’expression suivante :

(1− xA1− xA0

)=(

1− xAL1− xA0

) zL

.

On vous demande de :

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1. Dessiner un schéma clair et concis du problème.2. Calculer la densité de flux de masse à la surface du liquide.3. Calculer le taux d’évaporation (en grammes/heures) d’un pesticide CCl3NO2 dans de l’air

considéré ici comme substance pure à 25 degrés.

Valeurs numériques

Pression totale 770 mm HgDiffusivité massique 0.088 cm2 s−1

Pression partielle de la vapeur à l’interface 23.81 mm HgL 11.14 cmMasse molaire du CCl3NO2 164.36 gr mole−1

Surface du bac 2.29 cm2

18Diffusion dans un film sphérique non-isothermeOn considère le même problème de diffusion dans le cas sphérique. Nous considérons l’évaporationd’une bulle de liquide A de rayon R0 entourée d’un film gazeux B sphérique de rayon R1.On vous demande de :

1. Dessiner un schéma clair et concis du problème.2. Obtenir l’expression de la fraction molaire dans le cas isotherme.3. Obtenir le flux molaire global.4. Etendre les résultats précédents aux cas non-isotherme si on considère un champ de tempéra-

ture donné et la variation thermique du coefficient de diffusion massique décrits par :(T (r)T0

)=(r

R0

)n (D(T )D0

)=(T

T0

) 32

où D0, T0 et n sont des constantes.

19Méthode de diffusion pour séparer l’hélium du gaz naturelEn 1958, K.B. McAfee décrit une manière de séparer l’hélium du gaz naturel. La méthode estbasée sur le fait que le verre pyrex est imperméable pour tous les gaz, à l’exception de l’hélium :typiquement le coefficient de diffusion de He dans le pyrex est plus de 25 fois supérieur à celui deH2, l’hydrogène étant le plus proche concurrent dans cette compétition du gaz le plus diffusif...Cette méthode offre une alternative efficace et moins coûteuse que les techniques habituelles dedistillation à basse température. On considère donc que le gaz se trouve dans un tube pyrex derayons intérieur et extérieur Ri et Re. La hauteur du tube est L : il n’y a pas de diffusion par lesbases du tube. On supposera que la concentration cA0 d’Hélium dans le pyrex en contact avec legaz naturel reste constante et est connue (pas évident, en pratique !)On vous demande de :

1. Dessiner un schéma clair et concis du problème.2. Ecrire l’équation différentielle régissant la diffusion de l’hélium dans le verre pyrex.3. Proposer des conditions aux limites à appliquer.4. Calculer le profil de concentration.5. Calculer le taux global avec lequel l’hélium s’échappera du tube en fonction du coefficient de

diffusion, de la concentration cA0 et des dimensions du tube pyrex.

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Séance 5

Ecoulementsincompressiblesstationnairesrampants

∇ · v = 0,

0 = −∇p+ µ∇2v + ρg,

20Nous considèrons l’écoulement stationnaire bidimensionnel autour d’un cylindre de section circulairede diamètre D = 2a. Cet écoulement n’est pas un écoulement établi. Le nombre de Reynoldscaractéristique est Re = U∞D/ν, avec U∞ > 0 la vitesse loin du cylindre. Plus précisément, nousprenons le cas où Re est très petit : les termes non-linéaires d’inertie sont supposés négligeablesdans l’équation du mouvement. On se place dans un repère fixe par rapport au cylindre et nousallons rechercher une solution en terme de fonction de courant de la forme :

ψ(r, θ) = f(r) sin θ

1. Donner l’équation différentielle que doit satisfaire la fonction de courant ?

2. Donner les conditions aux limites du problème.

3. Montrer que la fonction f s’écrit sous la forme générale

f(r) = U∞ a

(c1r

a+ c2

a

r+ c3

r

alog( ra

)+ c4

( ra

)3)

4. Montrer qu’il est impossible de satisfaire simultanément la condition de vitesse nulle à la paroiet celle de vitesse uniforme à l’infini : il s’agit du paradoxe de Stokes.

21Ecoulement rampant avec une sphère de fluideExamen de juin 1999

On considère l’écoulement rampant avec un fluide interne de viscosité µi à l’intérieur de la sphèrede rayon a et un fluide externe de viscosité µe à l’extérieur de la sphère. On se place dans unrepère fixe par rapport au centre de la sphère avec U∞ la vitesse de l’écoulement externe à l’infini.En effectuant l’algèbre, on obtient la forme suivante de la solution (en utilisant un indice e et irespectivement pour les écoulements externes et internes) :

13

ψ = U∞ a

(c1 + c2

( ra

)+ c3

(ar

)2

+ c4

( ra

)3)

sin θ

1r sin θ

∂

∂θ(sin θ ψ) = ur = 2U∞

(c1

(ar

)+ c2 + c3

(ar

)3

+ c4

( ra

)2)

cos θ

−1r

∂

∂r(r ψ) = uθ = −U∞

(c1

(ar

)+ 2 c2 − c3

(ar

)3

+ 4 c4( ra

)2)

sin θ

µ

(r∂

∂r

(uθr

)+

1r

∂ur∂θ

)= τrθ = −µ U∞

a

(6 c3

(ar

)4

+ 6 c4( ra

))sin θ

1. En exprimant la condition à l’infini, déduire que ce,4 = 0 et ce,2 = 0.5.

2. En considérant l’écoulement à l’origine, déduire que ci,3 = 0 et ci,1 = 0.

3. Comme la sphère ne se déforme pas, montrer que chaque écoulement est caractérisé par ununique paramètre : ce , ce,1 et ci , ci,2.

4. Déterminer les solutions externes et internes pour ψ, ur, uθ et τrθ.

5. Donner les conditions de raccord entre les deux écoulements sur la sphère et en déduire lesexpressions de ce et ci en fonction de µe et µi.

6. Lorsque µi � µe, montrer que la solution tend bien vers l’écoulement autour d’une sphère.

7. Qu’obtient-on lorsque µi � µe ? Donner un exemple pratique en ingénierie.

8. Calculer le coefficient de traînée CD entre les deux domaines.

µeµi

= 10µeµi

= 0.1

Figure 5.1: Lignes de courant pour l’écoulement rampant avec sphère de fluide:iso-contours de ψ/ (U∞ a) pour les cas µe/µi = 0.1 et µe/µi = 10.

14

Séance 6

Théorie de lalubrification

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

0 = −dpdx

+ µ∂2u

∂y2

22Convoyeur hydraulique rectilignePour déplacer des pièces très lourdes, on utilise un convoyeur hydraulique avec une pompe quialimente, via deux rainures centrales, deux patins distincts avec une huile dont les caractéristiquessont ρ = 900 kg/m3 et µ = 0.2 Ns/m2. L’écart entre la rainure centrale et le bord de chaquedemi-patin est L = 0.1 m tandis que la longueur totale du convoyeur est b = 2.0 m. La distanceentre la surface des patins et le sol est uniforme et est notée h. La pression à la sortie de chaquepatin (et aussi à l’entrée de la pompe) est celle du milieu ambiant et est notée p0. La pression àl’injection de chaque patin (et aussi à la sortie de la pompe) est notée pi. La caractéristique de lapompe est

(pi − p0)ρ

= α− β Q2 ,

avec α = 103m2/s2, β = 109m−4 et Q le débit volumique.

1. Réaliser un schéma du problème.2. Quel type d’écoulement a-t-on sous chaque demi-patin ? Donner l’expression du profil de

vitesse et la relation liant la vitesse de débit au gradient de pression.3. Exprimer la distribution de pression p(x)− p0, en fonction de x, L, pi et p0.4. Calculer la valeur de pi − p0 nécessaire pour supporter une charge (poids propre du système

et charge utile) de W = 25 tonnes.5. Quel est alors le débit, Q, fourni par la pompe ?

Quelle est aussi la puissance utile fournie par la pompe ?Que vaut alors h entre le patin et le sol ?

6. Que se passe-t-il lorsque la charge diminue ?

23Convoyeur hydraulique axisymétriqueNous avons maintenant un convoyeur de type axisymétrique avec un système hydraulique intégré.La distance entre la surface du convoyeur et celle du sol est notée h. Une pompe alimente lesystème avec une huile dont les caractéristiques sont ρ = 900 kg/m3 et µ = 0.2 Ns/m2. Le rayon àl’injection est ri = 0.05 m et la pression y est pi. Le rayon à la sortie est ro = 0.50 m et la pressiony est la pression ambiante po. On a que h� ri. La caractéristique de fonctionnement de la pompeest

(pi − p0)ρ

= α− β Q2 ,

avec α = 103m2/s2, β = 109m−4 et Q le débit volumique.

15

1. Montrer que p = p(r) et que l’équation de quantité de mouvement en r se réduit à:

ρ u∂u

∂r= −dp

dr+ µ

∂2u

∂y2

2. Donner le critère global permettant de simplifier le problème en :

0 = −dpdr

+ µ∂2u

∂y2

3. Obtenir le profil de vitesse en fonction du gradient local de pression.

4. Montrer que la conservation de la masse implique que :

d

dr

(rdp

dr

)= 0

5. Calculer la pression et en déduire la relation suivante entre le débit et la différence de pression :

Q =π h3

6µ(pi − po)log(ro/ri)

6. Considérons un débit global de Q = 0.5 10−3 m3/s.Quelle est alors la différence de pression fournie par la pompe ?Quelle est alors la puissance utile fournie ?Que vaut alors la distance h ?Que valent alors les vitesses de débit à l’injection et à la sortie ?Est-il correct de négliger les termes d’inertie dans ce cas ?

7. Calculer la charge totale portée (charge utile + poids propre du convoyeur avec son systèmehydraulique).

r, u

y, v

0ri

ro

h

pi po

Figure 6.1: Vue schématique du convoyeur et du système de coordonnées.

16

Séance 7

Conduction thermique stationnairedans unécoulementétablien conduite

0 = −dpdx

+µ

r

d

dr

(rdu

dr

)

ρ c u∂T

∂x= k

1r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+ k

∂2T

∂x2+ µ

(du

dr

)2

24Entrée thermique : le problème de Poiseuille

On souhaite étudier le développement du profil de température après un changement brusque de latempérature de paroi, dans une conduite circulaire de diamètre D = 2R où l’écoulement est établiavec une vitesse moyenne um. Pour x < 0 et x > 0, la température de paroi vaut une constanteT0 et une autre constante Tw 6= T0, respectivement. Le problème est stationnaire. En outre, onnéglige les effets de dissipation visqueuse et la conduction dans la direction axiale de l’écoulement.

1. Donner les équations et les conditions aux limites que doivent satisfaire u(r) et T (x, r).

2. Calculer le profil de vitesse.

3. Exprimer la grandeur caractéristique X en fonction de R, α, ν et um, afin que le profil devitesse T (η, ζ) satisfasse l’équation suivante :

(1− η2

) ∂T∂ζ

=2η

∂

∂η

(η∂T

∂η

)avec η = r/R et ζ = x/X. La normalisation ainsi obtenue permet d’obtenir une équationdifférentielle générique ne faisant pas apparaître de paramètres dimensionnels.

4. Montrer que la température peut s’exprimer sous la forme

T (η, ζ)− TwT0 − Tw

=∞∑n=1

Anfn(η) gn(ζ)

Notons que si le calcul de g est aisé, l’équation différentielle pour f n’est pas du tout facile àrésoudre. Une solution analytique existe toutefois et a été obtenue par Poiseuille en 1885.

17

25Entrée thermique simplifiée : le problème de Grätz

On peut simplifier le problème précédent en considérant un profil de vitesse uniforme um. On parleégalement d’écoulement bouchon (plug flow). Ce problème plus simple a lui été résolu par Grätzen 1883.

1. Montrer que le profil de vitesse T (η, ζ) satisfait l’équation suivante :

∂T

∂ζ=

4η

∂

∂η

(η∂T

∂η

)avec η = r/R et ζ = (αx)/(umD2).

2. Montrer que le profil de température s’écrit sous la forme :

T (η, ζ)− TwT0 − Tw

= 2∞∑n=1

J0(λn η)λn J1(λn)

e−4λ2n ζ

où λn sont les racines successives de la fonction de Bessel J0.

3. Estimer la longueur adimensionnelle caractéristique ζc de dévelopement du profil de tempéra-ture.

4. Montrer que le flux de chaleur moyen qw,m(x) calculé à partir de x = 0 satisfait l’équation :

d

dx

(x qw,m(x)

)︸ ︷︷ ︸

qw(x)

= −Dρum c4

dTmdx

(x)

5. Définir un nombre de Nusselt moyen Num(x) à partir qw,m(x), D, k, Tm(0), Tw et Tm(x) afinqu’il satisfasse l’équation :

d

dx

(x Num(x)

)︸ ︷︷ ︸

Nu(x)

= −Dρum c4

d

dx

(log(Tm(x)− Tw)

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1

ζ

η

T − TwT0 − Tw

Figure 7.1: Entrée thermique avec écoulement bouchon en conduite circulaire..

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