UV E8H Commande des Systmes

AU206 - Modlisation par Reprsentation dEtat

Patrick LANUSSE patrick.lanusse@bordeaux-inp.fr Bordeaux INP 2015/2016

Ministre de l'Enseignement

Suprieur et de la Recherche

mailto:patrick.lanusse@bordeaux-inp.fr

2

Contenu

1. Motivation

2. Dfinition de ltat dun systme et de la reprsentation

dtat dun systme

3. Proprits de la matrice de transition

4. Notion de commandabilit et dobservabilit

5. Diffrentes formes de reprsentation dtat

6. Commande par retour dtat

7. Dtermination dun observateur

8. Reprsentation dtat temps discret

9. Commandes MATLAB

10. Bureau d'tude

3

1 - Motivation

Les modles entre-sortie de type fonction de transfert sont particulirement

adapts ltude du comportement frquentiel des systmes.

Un grand nombre doutils performants existent dans le domaine frquentiel et

permettent danalyser les systmes et de synthtiser des systmes de commande.

he(t) s(t)

j

jet

ppHH

pEpHpS

Manipulation plus dlicate dans le cas multivariable

Particularits internes caches

Conditions initiales pas prises en compte

Un peu loign de lensemble des quations fournies par la modlisation

Inapplicable aux systmes non linaires

4

Gnralisation au multivariable et problme de compacit

Reprsentation entre-sortie pas toujours trs commode et compacte pour des

systmes multivariables

Dans le cas linaire et condition initiale nulle on a

hej(t) si(t)

0,...,0,...,0,,...,,...,

0,...,0,...,0,,...,,...,

0,...,0,...,0,,...,,...,

11

11

1111

pimjpp

pimjii

pimj

ssstetetehts

ssstetetehts

ssstetetehts

pHpHpH

pHpHpH

pHpHpH

pH

pE

pE

pE

pE

pS

pS

pS

pSpEpHpS

pmpjp

imiji

mj

m

j

p

i

1

1

111111

et , avec

entres) ( 1

sorties) ( 1 avec

mmj

ppi

H(p) : matrice de transfert pxm

5

Instabilit non modlise par une reprsentation entre/sortie

Une reprsentation entre-sortie peu conduire des conclusions errones. Par

exemple dans le cas d'un systme a tat initial non nul et comportant un mode

instable a priori "compens".

e(t) s(t)

1

11

p

ppH

1

12

ppH

x(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

s(0-) = 0.1

6

Modle dun systme non linaire multivariable 2x1

tgmMtttmltftltmM

ttmgttmltftytmM

sincossinsin

sincossinsin

22

22

Pendule invers sur chariot

y et sont coupls

les quations diffrentielles obtenues sont non linaires

f(t)

y(t)

(t)

y(t) : position horizontale du chariot

(t) : angle du pendule par rapport la verticaleM : masse du chariot

m et l : masse et longueur du pendule

f(t) : force applique au chariot

7

Asservissement multivariable du pendule

f(t) [(t),y(t)]T[ref(t),yref(t)]T=[0,0]T rgulateur

multivariable

8

Modlisation d'un systme multi-technologique

tptpttq

tt

tftJt

ttftJtiKt

tKtf

tftvtiLtRi

pUp

KpV

ses

m

eqeqc

cmmmi

mecem

cem

ce

u

cos1

/

/

1

Prenons un moteur lectrique permettant de rgler l'ouverture d'une vanne papillon

assurant un dbit

(t)

qs(t)

(t)v(t)

i(t)

uc(t)

pe(t)

fcem(t) ps(t)

A laide de la commande uc, on souhaite :

asservir le dbit qs contrler le courant i

observer langle douverture rejeter linfluence des pressions pe et ps

9

Modlisation d'un systme multi-technologique (suite)

tptpttq

tfftiKJJ

t

tt

tRitKtvL

ti

tvtuKtv

ses

eq2

i

eq2

m

e

cue

cos1

1

1

1

Le systme dquations prcdent peut

tre rcrit comme un ensemble de 5

quations diffrentielles dordre 1

o :

uc est lentre de commande

qs est la sortie asservir

i et sont deux autres sorties pe et ps sont 2 entres de perturbation

v et sont deux signaux internes

qs(t)

(t)

i(t)uc(t)

pe(t) ps(t)

10

Reprsentation dtat dun systme dynamique

ttutxgty

ttutxfdt

tdx

,,

,,

Ltat dun systme est compos de lensemble des variables dont la

connaissance en un instant donn permet la connaissance son volution future.

La dynamique dun systme peux tre modlis par un ensemble dquations

diffrentielles du premier ordre gouvernant lvolution de son tat, ainsi que par

un ensemble dquation liant (principalement) les sorties mesures cet tat :

le vecteur dtat x (nx1) correspond aux nergies internes accumules

dans le systme

le vecteur dentre u (mx1) comporte les signaux de commande ou de

perturbation

le vecteur de sortie y (px1) comporte les signaux mesurs

x(t)y(t)u(t)

f,g,t

11

Extraction dun modle linaire stationnaire

.0,, 000 tuxf

Le modle dun systme peut tre non linaire et/ou non stationnaire.

Si tel est le cas, il est possible dextraire son comportement linaire stationnaire

(LTI) un instant t0 donn et autour dune position dquilibre dfinie par x0 et u0solution de :

Aux petites variations autour de x0 et u0, et donc de y0, on a :

. et , 000 yytyuutuxxtx

Autour de ce point dquilibre, le comportement linaire du systme scrit :

000000

000000

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

avec

tuxtux

tuxtux

u

ttutxgD

x

ttutxgC

u

ttutxfB

x

ttutxfA

tuDtxCty

tuBtxAdt

txd

12

Extraction dun modle linaire stationnaire (suite)

. et , avec

,

000 ytyyutuuxtxx

DuCxy

BuAxdt

dx

Autour dune position dquilibre x0, u0 et y0, la reprsentation dtat dun

systme scrit gnralement :

A est la matrice (nxn) dtat qui rgit lvolution de x en labsence de u

B est la matrice (nxm) de commande qui traduit leffet de u sur ltat x

C et D sont les matrices (pxn) et (pxm) de sortie, D traduisant leffet direct de u

sur y

u(t) y(t)x(t)

A

B C

D

++ tx

pmn y

y

y

u

u

u

x

x

x 111

13

Application : Systme multi-technologique

tptppp

tpptq

tfftiKJJ

t

tt

tRitKtvL

ti

tvtuKtv

se

0s0e

00s0e0s

eq2

i

eq2

m

e

cue

2

cos1sin

1

1

1

Autour du point dquilibre dfini par

0s0e00s

0

0

0

0s

0e

0c

0

0

0

0

0

0

cos1

0

0

0

0

0

ppq

iy

p

p

u

ui

v

x

Le processus de

linarisation conduit

qs(t)

(t)

i(t)uc(t)

pe(t)

ps(t)

14

Systme multi-technologique (suite)

0s0e

0

0s0e

00s0e0

e

u

eq2

m

eq2

eq2

m

i

e

e

2

cos1

2

cos10

000

000

0sin00

0010

0100

000

000

000

00

00

1000

01

01

avec ,

pppp

D

pp

C

K

B

JJ

ff

JJ

K

L

K

L

R

LA

DuCxy

BuAxdt

dx

et

tq

ti

t

y

t

t

ti

tv

x

tp

tp

tu

u

ss

e

c

La reprsentation dtat linaire du systme est donne par qs(t)

(t)

i(t)uc(t)pe(t)

ps(t)

15

Application : Modlisation dun systme RLC

21 R

tv

dt

tdvCti

R

tvte

dt

tdiLtv

Mise en quation :

v

ix

uxy

u

CR

x

CRCRC

Lx avec

010

10

111

10

121

Modle dtat :

Ce L

R1

R2

i

v

+

-

211

11soit

RRtv

CR

te

C

ti

dt

tdv

L

tv

dt

tdi

Entre u = e / Sortie y = v

16

Application : Rgulateur de vitesse (cruise control)

FkVcmmVm 2osgsing

mg

FV

20000 osgsing0 kVcmmFVm

Modle non linaire :

Etat dquilibre :

Linarisation :

Fm

Vm

kV

m

smcmV

VV

12ingosg

00

Fsc

mV

m

kVV ingosg

1200

0

Modle dtat :

17

Application : Linarisation dun modle non linaire

221

21212

2111

1

2

1.02

xxy

xxxx

uxxxx

Considrons le systme non linaire caractris par la reprsentation dtat :

0421

0

1

00125.01

0025.00

uxy

uxx

Modle dtat linaire:

Etat dquilibre :

220100

010

1020

220100

2102010

0201010

1,2

05.0,

2

1

1

20

1.020

xxyu

xx

x

xxy

xxx

uxxx

221

2211122

21121

20,10

20,1020,10

20,1020,10

22

241

1.01.02

xxxy

xxxxxx

uxxxxx

xx

xxxx

xxxx

Linarisation :

0105.01

0

1

451.01

0475.0105.2

uxy

uxx

pour u0 = 0

x10 = -0.025

x20 = 20

pour u0 = 1

x10 = 0.475

x20 = -1.053

18

Relation modle dtat/fonction de transfert

I 1BApCDpH

Le systme ayant comme reprsentation

a pour matrice de transfert H(p) reliant le vecteur Y(p) au vecteur U(p)

u(t) y(t)x(t)

A

B C

D

++ tx

DuCxy

BuAxdt

dx

Avant toutes simplifications ple/zro, les ples de H(p) sont les valeurs

propres de A.

Compte tenu de simplifications ventuelles, des termes de H(p) peuvent ne pas

faire apparatre des parties du systme. Dans le cadre dun problme de

commande, ces simplifications peuvent engendrer des performances totalement

diffrentes de celles prvues, par exemple si un mode instable na pas t

stabilis car invisible dans la fonction de transfert prise en compte.

19

Application : Systme Locomotive/Wagon

1222

1211

VVFVm

VVVm

F

V1 V2

Ns/m1 kg,5.0 1kg, 21

12

mm

VVy

3

2

2

0

3

12

12

11 2

0

22

1111

2

1

ppp

p

p

p

ppH

0112

0

22

11

et , avec 2

1

DC

BAFu

V

V x

DuCxy

BuAxdt

dx

X

ofX

X

XXRappel :

T1 CAdj

20

Dtermination de la rponse impulsionnelle

Iet 1 pUBApCDpYDuCxy

BuAxdt

dx

pH

Le systme est dfini par u(t) y(t)x(t)

A

B C

D

++ tx

Sa rponse impulsionnelle h(t) correspondant

peut tre obtenue par :

dtthepH pt 0

BCetDth At

Le terme eAt est une exponentielle de matrice pouvant tre calcule par :

0

22

!!!2!1I

i

iikkAt

i

tA

k

tAtAAte

La convergence de eAt garantit la stabilit du systme.

21

Rponse en rgime libre (u(t) = 0)

Axdt

dxLvolution de ltat x est alors rgi par

A limage de la solution dune quation diffrentielle du premier ordre scalaire,

la solution de lquation dtat homogne est

, 0xetx At

La matrice eAt note f(t) est appele matrice de transition. Ses proprits sont :

y(t)x(t)

A

C tx

ou en considrant une condition initiale t = t0 : 00 txetx

ttA

I0

1

020112

f

ff

fffff

fff

tt

qttttt

tttttt

q

22

Rponse une entre quelconque

Sachant que u(t) y(t)x(t)

A

B C

D

++ tx

soit :

, tAxtxetxedt

d AtAt

il vient . tBuetxedt

d AtAt

Intgrons les 2 membres entre t = 0 et t, on obtient alors

, 00

dBuextxet

AAt

, 00

dBuexetxt

tAAt

ou . 0

0

ff dButxttxt

La sortie y scrit alors

.0

0

forc rgime

0libre rgime

0

f

ff

duthxtC

dButCtDuxtCty

t

t

23

Calcul simple de la matrice de transition

La matrice de transition f(t) = eAt peut tre calcule par transformation deLaplace inverse :

application

11 I Ape -At L

t

ttt

e

eeet

p

pppAp

xy

uxx

2

2

1

0

2

10

21

1

1

1

I

01

1

0

20

11

f

u(t) y(t) = x1(t)

2

11

ppH

1

12

ppH

x2(t)

.3

34

soit

,3

1

00

3 0et 1 0 0, Prenons

2

2

2

1

2

2

21

t

tt

t

ttt

e

ee

tx

txtx

e

eeexttx

xxtu

f

24

Changement de base

DuCxy

BuAxdt

dx

A l'aide du changement de variable x = Tz, soit z = T-1x, la reprsentation d'tat

devient :

DDCTC

BTBATTA

uDzCy

uBzAdt

dz

~~

~~

avec ~~

~~11

u(t) y(t)x(t)

A

B C

D

++ tx

T-1z(t)

.

1

1

11

nn

n

n t

t

t

t

T

T est compose des vecteurs de la nouvelle base. tij (1 i n) sont les

coordonnes du jme vecteur exprimes dans la base de x

z est le vecteur dtat exprime par les vecteurs de la nouvelle base.

25

Invariance des proprits de la reprsentation dtat

Considrons la nouvelle reprsentation d'tat

thBCetDBTCTetDBeCtDth AtATtTtA

1~ 1

~~~~

pHBApCDBATTTTpCDBATTTTpCTD

BTATTpCTDBApCDpH

111111

1111

III

I~~

I~~~

La rponse impulsionnelle s'crit alors :

La "nouvelle" matrice de transfert est

DDCTC

BTBATTA

uDzCy

uBzAdt

dz

~~

~~

avec ~~

~~11

26

Diagonalisation de A

Considrons une matrice A dont les n valeurs propres li distinctes sont lessolutions de

Recherchons la matrice T telle que

Si lon crit

Sachant que

les vecteurs vi sont donc solutions de

.0I Al

ndiagATTA lll ,,,~

211

. ,, avec 1

1

11

11

nn

n

n

n

n

v

v

v

v

v

vvvT

nTTAT lll ,,,diag 21

iii vAv l

Une solution consiste donc composer la matrice T des vecteurs propres de A

27

Reprsentation modale (cas monovariable)

021

2

1

2

1

~~

~

0

0

avec ~~

~

l

l

l

DC

B

uDzCy

uBzdt

dz

n

nn

n

i i

ii

ppU

pYpH

10

l

La matrice de transfert est

u(t)

z1(t)

1

1

lp11

ip l

1ii

np l

1nn

zi(t)

zn(t)

y(t)+

Le mode i est observable si i 0. Il est commandable si i 0.Un mode non-observable et/ou non-commandable napparat pas dans H(p)

Remarque : n valeurs

propres distinctes

0

28

Exemple

0011

0

56

10

avec

DC

BA

DuCxy

BuAxdt

dx

0I

avec

1

1

11

A

vAv

v

v

v

v

Tiii

nn

n

n

l

l

12

13et

32

11

3

1 exemplepar ,33

56

10

2

1 exemplepar ,22

56

10

3et 2

1

2222122

21

22

21

1121112

11

12

11

10

TT

vvvv

v

v

v

vvvv

v

v

v

ll

yxyx

uyyy

21 et Posons

65Soit

0~11~

1

1~

30

02~

avec ~~

~~ 11

DCTC

BTBATTA

uDzCy

uBzAdt

dz

x = Tz avec

29

Matrice de Jordan (valeurs propres multiples)

r

ii

mr

mmnmnrA r

121 et avec I

21 lllllll

La matrice de transfert est

di tant le degr de dgnrescence dfini par di = n - rang(liI A).

r

i

m

jj

i

r

p

jir

pU

pYpH

1 10

,

l

La recherche des valeurs propres de A conduit

i

i

i

ijidiiir AAAAdiagAAAAdiagA i

l

l

l

0

1

01

et ,,, avec ,,, 2121

La matrice A peut alors scrire sous la forme dune matrice de

Jordan compose de blocs de Jordan :

Camille Jordan(1838 1922)

30

Commandabilit/Atteignabilit

DuCxy

BuAxdt

dx

Dfinition : Un tat est dit commandable si quel que soit x(0), il existe une

commande u(t), avec 0 < t T, telle que x(T) = 0. Si tous les tats sont

commandables, le systme est dit compltement commandable.

x(t)

x(0)

t0 T

x(t)

x*

t0 T

Dfinition : Un tat x* 0 est dit atteignable si pour x(0) = 0, il existe une

commande u(t), avec 0 < t T, telle que x(T) = x*.

Les proprits datteignabilit et de commandabilit sont quivalentes pour les

systmes linaires stationnaires.

31

Critre de commandabilit (Kalman-Bucy 1961)

0*ou 0* 22002

dtBuexdBuex t ATt tAT

Si un tat x* nest pas commandable, il est orthogonal la

rponse de x(t) toute commande u(t), soit :

Compte tenu de la dfinition de eAT,

tous les tats x* sont commandables si et seulement si la matrice de

commandabilit Mc est de plein rang ligne, soit :

0

22

,!!!2!1

I i

iikkAt

i

tA

k

tAtAAte

avec , rang c nM

On dira alors que la paire (A,B) est commandable.

Rappel : Le plein rang d'une matrice carr peut tre test par le calcul de son

dterminant.

.12c BABAABB M n

Rudolf Kalman(1930 HU)

32

Application : Systme Locomotive/Wagon

F

V1 V2

0112

0

22

11

et , avec 2

1

DC

BAFu

V

V x

DuCxy

BuAxdt

dx

ecommandabl , paire04

.42

20

2

0

22

11

2

0

c

12c

BAM

BABAABB M n

33

Commande par retour dtat

. avec1

refT

ng

g

gxxgu

DuCxy

BuAxdt

dx

A laide de la commande u calcule partir de la mesure de ltat, il est possible de

gnrer un systme la dynamique diffrente de celle du systme command :

modes stables, rapides, bien amortis, etc.

.

refT

refTT

refT

xDgxDgCy

xBgxBgAxxBgAxx

T

Un placement de ples consiste imposer les n valeurs propres li de A-BgT, soit :

On obtient alors la nouvelle reprsentation dtat

u(t)y(t)

Tg

BuAxx DuCxy x(t)

.I1

T

n

iiBgA lll

xref(t)

+

-

34

Exemple - dtermination de g

001

0

1

10

avec

et posons

00

21001

DC

qB

ppA

DuCxy

BuAxdt

dx

yxyxuqypypy

ecommandabl , paire0

.00

1

10

0

20c

010

0

000

12c

BAqM

qpq

q

qppqBABAABB M n

. avec

1T

ref

ng

g

gxgkyu

u(t) y(t)

Tg

BuAxx DuCxy x(t)

yref(t) +

-k

0

1n2

0

02n

1

010

2

0212T

021010

T

2et

I10

2nn

q

pg

q

pg

qgpqgpBgAqgpqgp

BgA

lll

n

n2

1p

Im

Re

0p

35

Suivi de consigne - dtermination de k

. que doncfaut il ,permanent rgimeen qu'Pour

avec

:crivents' commande laet systme lepermanent rgimeEn

0

2n

ref

0

2n

ref

0

02n

11ref

00

qkyy

yq

ky

q

pgygkyu

uqyp

u(t) y(t)

Tg

BuAxx DuCxy x(t)

yref(t) +

-k

36

Suivi de consigne - autre solution

. que doncfaut il ,permanent rgimeen qu'Pour

avec

:crivents' commande laet systme lepermanent rgimeEn

02n

2n

10

100ref

ref10100

0

02n

11ref1

00

pgq

gqpkyy

kygqygqp

q

pgygkygu

uqyp

u(t) y(t)

Tg

BuAxx DuCxy x(t)

yref(t)

+

-

0

k

37

Suivi de consigne avec effet intgrateur (augmentation de

l'tat)

Une action intgrale peut tre introduite pour assurer la prcision du suivi de

consigne

L'intgrateur est lui-mme dfini par :

+

u(t)y(t)

Tg

BuAxx DuCxy x(t)

yref(t)-

p

1

yi(t)

D

BB

C

AA aa

0

0

Le placement de ples consiste alors imposer les na = n+1 valeurs propres

de Aa-BagT, avec :

Cxy yyuuxDCBA et avec ,soit 0 1 1 0 refiiiiiii

y

xxaLe nouvel tat (dit "tat augment") correspond

38

Forme compagne (ou canonique) commandable

000

10

0

100

01

1

0010

avec

10

1210

DbbbC

a

B

a

a

a

a

a

a

a

a

A

DuCxy

BuAxx

m

n

n

n

n

n

nn

,

0

0

in

ii

im

ii

pa

pb

pU

pYpH

Considrons un systme commandable de fonction de transfert

que lon crit

.1

0

0

pXpY

im

ii

pUpX

in

ii

pb

pa

pH

... 1

1210210

321

ou

n

xn

xxx

n

xn

n

n

nn

XaXaXaXauXauXaXaXaXa

La relation entre x et u permet dcrire

.m

xm

xxx m

XbXbXbXby

1321

210

La relation entre y et x permet dcrire

soit finalement :

39

Forme compagne commandable (suite)

000

10

0

100

01

1

0010

avec

10

1210

DbbbC

a

B

a

a

a

a

a

a

a

a

A

DuCxy

BuAxx

m

n

n

n

n

n

nn

,

0

0

in

ii

im

ii

pa

pb

pU

pYpH

u(t)x1xm+1

y(t)

na1

n

n

a

a 1

+

+

n

m

a

a

+

na

a0

xn

0bmb

+y est en fait compos dune combinaison

linaire de x1 et de ses m drives

40

Intrt de la forme compagne commandable

n

n

n

n

n

n

nn

g

g

g

a

B

a

a

a

a

a

a

a

a

A

1

1210

10

0

100

01

1

0010

Quand un systme est dcrit sous sa forme compagne commandable, il assez facile

de rgler sa commande par retour dtat.

u(t) y(t)

Tg

BuAxx Cxy x(t)

011

1102111T

1122110

TT

I

100

01

1

0010

lllllll

nn

n

nn

n

n

nnn

n

nn

n

nn

nn

a

ga

a

ga

a

gaBgA

a

ga

a

ga

a

ga

a

ga

xBgAxgBAxx

Chaque coefficient de g permet de modifier un des termes de lquation

caractristique et donc de placer aisment les ples de la boucle ferme :

11 inii aag

41

Application : pendule invers

Autour de son point dquilibre (instable), un pendule invers est rgi par le

modle linaire du type

u(t) y(t)

Tg

BuAxx Cxy x(t)

n2

2n

2n12

nn22

n122T

2

10

2

212T

22I icisoit

I

lllll

lll

g

gggBgA

a

ga

a

gaBgA

En boucle ferme, on a donc

f 2n

f(t)

y(t)

(t)

0 soit ,

2nn

2n1

2

2212n

ggggf

n

n

n21

n

n

Im

Re

42

Obtention de la forme compagne commandable

Tout systme commandable (matrice Mc non singulire) peut se mettre sous

forme compagne commandable.

Le changement de variable x = Tz, seffectue alors avec la matrice T dfinie par

DDCTC

BTBATTA

uDzCy

uBzAdt

dz

~~

~~

avec ~~

~~11

u(t) y(t)x(t)

A

B C

D

++ tx

T-1z(t)

.

00

0

M avec

1

2

121

12c

c

n

nn

n

nn

n BABAABB M

MMT

Les coefficients i sont en fait les coefficients du polynme caractristique de A

n

i

iiA

0

I ll

Rappel:

43

Stabilisabilit

Un systme non compltement commandable (rang Mc < n) peut tre scind en

faisant apparatre un tat commandable et un tat non commandable (forme

canonique de commandabilit).

Dfinition : Un systme est dit stabilisable si sa partie non commandable est

stable.

La partie non commandable de ltat participe momentanment lvolution de

y mais converge vers 0 suivant la dynamique des modes concerns.

~~

0

~

~0

~~

nc

cncc

c

nc

c

nc

12c

nc

c

Duz

zCCy

uB

z

z

A

AA

z

z

u(t) y(t)

~cC

zc(t)Partie commandable +

D

Partie non commandable ~

ncCznc(t)

44

Exemple

u(t) y(t)

1

11

p

ppH

1

12

ppH

e(t)

10

1

2

11

01

2

1

2

1

21

2

1

2

1

2

1

1222

11

2

11

1

x

xy

ux

x

x

x

uxxexx

uxx

yx

pUp

uep

pH

x

L

lestabilisab pasest n' systme ceinstable, modeun ant correspond

ecommandablnt complteme pasest n' qui 1 mode Le

ecommandablnon , paire0

.11

22

c

c

p

BAM

ABB M

45

Obtention de la forme canonique de commandabilit

Soit un systme non compltement commandable (rang Mc = k < n).

La forme canonique est obtenue l'aide du changement de variable x = Tz o T

est une matrice non singulire compose de k colonnes indpendantes de Mcpuis des n - k colonnes indpendantes complmentaires.

~~

0

~

~0

~~

nc

cncc

c

nc

c

nc

12c

nc

c

Duz

zCCy

uB

z

z

A

AA

z

z

u(t) y(t)

~cC

zc(t)Partie commandable +

D

Partie non commandable ~

ncCznc(t)

DuCxy

BuAxdt

dx

DDCTC

BTBATTA

uDzCy

uBzAdt

dz

~~

~~

avec ~~

~~11

46

Application

u(t) y(t)

1

11

p

ppH

1

12

ppH

e(t)

10

1

2

11

01

2

1

2

1

2

1

x

xy

ux

x

x

x

21,

11

22c

nk M

0~01~

0

1~

10

11~

donne 01

1-2 11

DDCTC

BTBATTAT

Contrairement au mode p = -1, le mode p = 1 n'est pas commandable.

47

Observabilit/Reconstructibilit

DuCxy

BuAxdt

dx

Dfinition : Un tat est dit observable si connaissant u(t) et y(t) sur lintervalle

[t0, t1], il est possible de dterminer x(t0). Si tous les tats sont observables, le

systme est dit compltement observable.

Dfinition : Un tat est dit reconstructible si connaissant u(t) et y(t) sur

lintervalle [t0, t1], il est possible de dterminer x(t1).

Les proprits dobservabilit et de reconstructibilit sont quivalentes pour les

systmes linaires stationnaires.

y(t)

t0 t1t0

x(t0)

y(t)

t0 t1t0

x(t1)

48

Critre dobservabilit (Kalman-Bucy)

0xCety At

Si un tat x* nest pas observable, sa contribution y est nulle. Lors dune

rponse en rgime libre, la sortie y est dfinie par :

Pour un tat non observable,

Compte tenu de la dfinition de eAT,

tous les tats sont observables si et seulement si la matrice dobservabilit Mo est

de plein rang colonne, soit :

0

22

,!!!2!1

I i

iikkAt

i

tA

k

tAtAAte

avec , rang o nM

On dira alors que la paire (A,C) est observable.

.T12o nCACACAC M

.0 0* ttxCety At

49

Application : Systme Locomotive/Wagon

observablenon , paire0

.33

11

22

1111 11

o

T

T12o

CAM

CACACAC M n

F

V1 V2

0112

0

22

11

et , avec 2

1

DC

BAFu

V

V x

DuCxy

BuAxdt

dx

sortie lasur -3 modedu unique influence3

2:

p

ppHrappel

50

Ralisation dun observateur (David Luenberger - 1963)

avec

1

nl

l

l

DuxCy

yylBuxAdt

xd

DuCxy

BuAxdt

dx

Pour quune commande par retour dtat soit possible, il est

ncessaire de pouvoir disposer de ltat du systme. Cet tat ntant

pas parfois mesur (ou mesurable), on utilise un observateur (ou

reconstructeur) pour en estimer la valeur.

xxxxlCAx

BuAxx

yylBuxAx~ avec ~~

tx

u(t) y(t)

l

BuxAx ty

systme

+

- ~ tyDuxCy

Un placement de ples consiste imposer les n valeurs propres li de A-lC, soit :

Il est possible de dterminer lquation rgissant lerreur destimation

.I1

n

iilCA lll

David Luenberger

51

Exemple

001

0

1

10

avec

et posons

00

21001

DC

qB

ppA

x

DuCxy

BuAxdt

dx

yxyxuqypypy

observable , paire1

.10

01

1

1001 01

o

T

0

T12o

CAM

ppCACACAC M n

1n102n21n1

2011

2

112

120

1

2et 2

I1

2nn

ppplpl

lplplplCAplp

llCA

lll

tx

u(t) y(t)

l

BuxAx ty

systme

+- ~ ty

DuxCy

nl

l

lxxxxlCAx 1

et ~ avec ~~

n

n2

1p

Im

Re

0p

52

e

d

1

s+1

Transfer Fcn Scope

1

s

Integrator1

1

s

Integrator-1

Gain2

4

Gain1

1

Gain

0 2 4 60

0.5

1

1.5

Application : Estimation de perturbation

On souhaite un observateur avec un mode rgl 2 rad/s et 0.5 damortissement.

0 avec 1

dtdp

pDpEpS

xy

syeud

sxuxx

01

et , avec 0

1

00

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

4et 1

1I0

11

21

4

2

2

12

2

1

ll

lllCAl

llCA lll

53

Comparaison Retour dtat/Observateur

Une commande par retour dtat est obtenue grce au placement des n valeurs

propres de A-BgT.

Un observateur dtat est obtenue grce au placement des n valeurs propres de

A-lC.

Sachant

que les valeurs propres dune matrice et de sa matrice transpose sont

identiques

que (A-lC )T = AT-CTlT

les mmes algorithmes sont utiliss pour traiter ces 2 problmes duaux.

54

Fonction de transfert dun observateur

00

00

uDxCy

yyluBxAx

DuCxy

BuAxx

xlC-ApBDDlBxlC-ApBux-Ap

lCxuDDlBxlC-Ap

I I I

I 10000

0000

tx

u(t) y(t)

l

00 uBxAx

ty

systme

+

- ~ tyuDxCy 00

Plus le gain l est grand, plus lestimation de x est bonne, mais aussi sensible

au bruit de mesure.

Pour viter tout biais, la bonne connaissance de la partie de C prenant en

compte le rgime continu est indispensable.

55

Forme compagne (ou canonique) observable

,

0

0

in

ii

im

ii

pa

pb

pU

pYpH

Considrons un systme observable de fonction de transfert

dont on tire lquation diffrentielle

En intgrant n fois, on obtient

Sous une forme rcursive, cette quation devient

.. m

m

n

n ububububyayayaya 210210

ubububyayayayayamn

m

nn

nn

nnn

1

101

2

2

1

10

01

0

11

11

11

211

1

dua

bx

a

ax

dxua

bx

a

ax

dxua

bx

a

ax

dxxa

ayx

nnn

nnn

n

mnn

m

n

mmn

n

n

001

0

00

1

0

1

0

001

0

0

1

2

1

xy

u

a

b

a

b

x

a

a

a

a

a

a

a

a

x

n

n

m

n

n

n

n

n

n

soit :

56

Forme compagne observable (suite)

Compte tenu des n quations intgrales, on

obtient le schma suivant.

u(t)

+ xn

0b

0a

+

mb

ma

+

1na

-

xn-m

Connaissant y et u linstant, une chane dintgrateurs permet de remonter

facilement nimporte quel tat du systme.

x1=y(t)

01

0

11

11

11

211

1

dua

bx

a

ax

dxua

bx

a

ax

dxua

bx

a

ax

dxxa

ayx

nnn

nnn

n

mnn

m

n

mmn

n

n

na1

na1

57

Intrt de la forme compagne observable

0

0

1

00

1

0

10

001

1

0

1

2

1

n

T

n

n

n

n

n

n

l

l

lC

a

a

a

a

a

a

a

a

A

Quand un systme est dcrit sous sa forme compagne observable, il assez facile de

rgler son observateur dtat.

u(t) y(t)

l

BuxAx xCy

Chaque coefficient de l permet de

modifier un des termes de

lquation caractristique rgissant

lerreur destimation dtat et donc

de placer aisment les ples de

lestimateur :

tx tysystme

+

- ~ ty

011

1

01

111

1

0

11

I

00

1

0

0

001

~~

~ avec ~~

lll

llll

nn

n

nn

nn

n

n

nn

nn

n

n

la

al

a

al

a

alCA

la

a

la

a

xlCAx

xxxxlCAxyylBuxAx

n

i

a

aiil

11

58

Dtectabilit

Un systme non compltement observable (rang Mo < n) peut tre scind en

faisant apparatre un tat observable et un tat non observable (forme canonique

d'observabilit).

Dfinition : Un systme est dit dtectable si sa partie non observable est stable.

Une partie non observable instable pose des problmes vidents, sa divergence

ne pouvant pas tre contre car elle na pas deffet observable sur la sortie.

0~

~

~

~~0

~

no

oo

no

o

no

o

no21

o

no

o

Duz

zCy

uB

B

z

z

AA

A

z

z

u(t) y(t)

~oC

zo(t)Partie observable +

D

Partie non observablezno(t)

59

Exemple

u(t) y(t)

1

11

p

ppH

1

12

ppH

e(t)

10

1

2

11-

01

2

1

2

1

21

2

1

2

1

2

1

1222

11

2

11

1

x

xy

ux

x

x

x

uxxexx

uxx

yx

pUp

uep

pH

x

L

le.stabilisab pas tout malgr mais ...

... dtectablent complteme doncest systme Ce

observable , paire1

.11

10

o

To

CAM

CAC M

60

Obtention de la forme canonique d'observabilit

Soit un systme non compltement observable (rang Mo = k < n).

La forme canonique est obtenue l'aide du changement de variable x = Tz o T-1

est une matrice non singulire compose de k lignes indpendantes de Mo puis

des n - k lignes indpendantes complmentaires.

DuCxy

BuAxdt

dx

DDCTC

BTBATTA

uDzCy

uBzAdt

dz

~~

~~

avec ~~

~~11

u(t) y(t)

~oC

zo(t)Partie observable +

D

Partie non observablezno(t)

0~

~

~

~~0

~

no

oo

no

o

no

o

no21

o

no

o

Duz

zCy

uB

B

z

z

AA

A

z

z

61

Application : Systme Locomotive/Wagon

33

11o M

F

V1 V2

0112

0

22

11

et , avec 2

1

DC

BAFu

V

V x

DuCxy

BuAxdt

dx

0~01~

0

2~

01

03~

et 1-1

1-0 donne

01-

11- 111

DDCTC

BTBATTATT

Contrairement au mode p = -3, le mode p = 0 n'est pas observable.

62

Dcomposition de Kalman Forme canonique

Tout systme peut se dcomposer en 4 sous systmes correspondant aux 4 types

dtat :

commandable et observable

commandable et non observable

non commandable et observable

non commandable et non observable

La fonction de transfert nest dfinie que par le sous systme Sco

ocS +

coS

coS

coS

yu

00

0

0

00

000

00

oc

oc

oc

co

21

2

1

oc

oc

oc

co

4443

33

24232221

1311

oc

oc

oc

co

x

x

x

x

CCy

uB

B

x

x

x

x

AA

A

AAAA

AA

x

x

x

x

Observable

Commandable

63

Association Commande par retour dtat/Observateur

Lobservateur fourni une estimation de ltat au rgulateur assurant

lasservissement.

ref

TTT

refT

0~

0~

ou

~ avec ~~

xBg

x

x

lCA

BgBgA

x

x

xxxxlCAx

xxBgAxx

Pour dcoupler les deux fonctions, les ples de lobservateur sont gnralement

choisis plus rapides que ceux de la boucle de commande, la limite tant bien sr

lie au bruit de mesure.

Les ples du systme complet sont alors solutions de

0II

robservateul' de ples

commande de boucle la de ples

T

lCABgA ll

tx

u(t) y(t)

l

BuxAx ty

systme

+

- ~ tyDuxCy

Tg

xref(t)

+-modle inv.

yref(t)

64

Reprsentation dtat dun systme temps discret

kuxgy

kuxfx

kkk

kkk

,,

,,1

Les reprsentations et les proprits sont sensiblement les mmes temps discret

qu temps continu. A temps discret, linstant t = (k+1)Te, la reprsentation

dtat est dfinie par

et pour un systme linaire 1

kkkkk

kkkkk

uDxCy

uBxAx

uk

Ak

Bk Ck

Dk

z-1 ++xk+1 xk yk

65

Rponse en rgime libre (u = 0)

Lvolution de ltat x alors rgi par

La matrice de transition est alors dfinie par

0

0,1

00111 121 kkkkkkxAAAAx

kk

f

Ses proprits sont :

I,

,,1

,,,

00

020112

kk

kkkkk

kkkkkk

A

f

ff

fff

kkk xAx 1

Ak

Ckz-1

xk+1 xk yk

66

Relation modle dtat/fonction de transfert

I 1BAzCDzH

Dans le cas stationnaire

La matrice de transfert H(z) est alors

Avant toutes simplifications ple/zro, les ples de H(z) sont les valeurs

propres de A.

uk

A

B C

D

z-1 ++xk+1 xk yk

1

kkk

kkk

DuCxy

BuAxx

67

Application

0113

1

0

0

243

100

010

1

kkk

kkk

uxy

uxx

eeeeeee kTuTkuTkukTyTkyTkyTky 312314223

Soit un systme dcrit par lquation rcurrente

Sa fonction de transfert discrte (sans simplification) scrit

eeee

eeeee

ee

ee

kTxkTxkTxkTy

kTukTxkTxkTxTkx

kTxTkx

kTxTkx

321

1233

32

21

3

3421

1

1

3et 342

1 avec 2

23

zz

zX

zY

zzzzU

zX

zU

zX

zX

zY

zU

zY

68

Rponse une entre quelconque

Dans le cas stationnaire, lexpression de ltat

une entre agissant partir de linstant k0Te est

dfinie par

La sortie yk scrit alors

uk

A

B C

D

z-1 ++xk+1 xk yk

1

1

0

00

k

kii

ikk

kkk BuAxAx

force rgime

11

libre rgime0

00 .

k

kiki

ikk

kkk DuBuACxCAy

69

Commandabilit/Atteignabilit

Observabilit/Reconstructibilit

T12o

12c

n

n

CACACAC M

BABAABB M

Contrairement au cas temps continu, les proprits datteignabilit et de

commandabilit dune part, et dobservabilit et dtectabilit dautre part ne sont

pas quivalentes pour les modles dtat temps discret.

Prenons un systme de type

Ce systme est bien sr commandable (car son tat converge vers 0) mais aucun

tat autre que 0 nest atteignable.

Ltat nul actuel est bien sr reconstructible, mais il est impossible dobserver

ltat initial.

Pour ltude de la commandabilit et lobservabilit, les critres portent toujours

sur le rang des matrices

01

kk

k

xy

x

70

Application

0113

1

0

0

243

100

010

1

kkk

kkk

uxy

uxx

Soit le systme dcrit par la reprsentation dtat

sortie. lasur effet d' pas an' rcurrentequation l' de cts 2 desprsent 1 mode Le

.observablenon , paire0 ,

113

113

113

.ecommandabl , paire1 ,

021

210

100

o

T2o

c2

c

z-

CAMCACAC M

BAMBAABB M

71

Commandes Matlab

Analyse de matricesEIG

DET

RANK

Dfinition d'une reprsentation

d'tatSS

Changement de formeSS2SS

SSBAL

CTRBF

OBSVF

CANON

Analyse de propritsCTRB

OBSV

Placement de plesPLACE

ACKER

Ralisation d'observateur et

rgulateur linairesESTIM

REG

72

EIG, DET, RANK

EIG Eigenvalues and eigenvectors.

E = EIG(X) is a vector containing the eigenvalues of a square matrix X.

[V,D] = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix

V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.

DET Determinant.

DET(X) is the determinant of the square matrix X.

RANK Matrix rank.

RANK(A) provides an estimate of the number of linearly independent rows or

columns of a matrix A.

73

SS

SS Create state-space model or convert LTI model to state space.

Creation:

SYS = SS(A,B,C,D) creates a continuous-time state-space (SS) model

SYS with matrices A,B,C,D. The output SYS is a SS object. You can set D=0

to mean the zero matrix of appropriate dimensions.

SYS = SS(A,B,C,D,Ts) creates a discrete-time SS model with sample time Ts

(set Ts=-1 if the sample time is undetermined).

SYS = SS(SYS,'min') computes a minimal realization of SYS.

74

SS2SS, SSBAL

SS2SS Change of state coordinates for state-space models.

SYS = SS2SS(SYS,T) performs the similarity transformation z = Tx on the state

vector x of the state-space model SYS.

The resulting state-space model is described by:

. -1

z = [TAT ] z + [TB] u

-1

y = [CT ] z + D u.

SSBAL Balancing of state-space model using diagonal similarity.

[SYS,T] = SSBAL(SYS) uses BALANCE to compute a diagonal similarity

transformation T such that [T*A/T , T*B ; C/T 0] has approximately equal row

and column norms.

75

CTRBF

CTRBF Controllability staircase form.

[ABAR,BBAR,CBAR,T,K] = CTRBF(A,B,C) returns a decomposition into the

controllable/uncontrollable subspaces.

If Co=CTRB(A,B) has rank r

76

OBSVF

OBSVF Observability staircase form.

[ABAR,BBAR,CBAR,T,K] = OBSVF(A,B,C) returns a decomposition into the

observable/unobservable subspaces.

[ABAR,BBAR,CBAR,T,K] = OBSVF(A,B,C,TOL) uses tolerance TOL.

If Ob=OBSV(A,C) has rank r

77

CANON

CANON Canonical state-space realizations.

CSYS = CANON(SYS,TYPE) computes a canonical state-space realization

CSYS of the LTI model SYS. The string TYPE selects the type of canonical form:

'modal' : Modal canonical form where the system eigenvalues appear on the

diagonal.

The state matrix A must be diagonalizable.

'companion': Companion canonical form where the characteristic polynomial

appears in the right column.

[CSYS,T] = CANON(SYS,TYPE) also returns the state transformation matrix T

relating the new state vector z to the old state vector x by z = Tx. This syntax is

only meaningful when SYS is a state-space model.

The modal form is useful for determining the relative controllability of the system

modes.

78

CTRB, OBSV

CTRB Compute the controllability matrix.

CO = CTRB(A,B) returns the controllability matrix [B AB A^2B ...].

CO = CTRB(SYS) returns the controllability matrix of the state-space model

SYS with realization (A,B,C,D). This is equivalent to CTRB(sys.a,sys.b).

OBSV Compute the observability matrix.

OB = OBSV(A,C) returns the observability matrix [C; CA; CA^2 ...]

OB = OBSV(SYS) returns the observability matrix of the state-space model SYS

with realization (A,B,C,D). This is equivalent to OBSV(sys.a,sys.c).

79

PLACE, ACKER

PLACE Pole placement technique

K = PLACE(A,B,P) computes a state-feedback matrix K such that the

eigenvalues of A-B*K are those specified in vector P.

No eigenvalue should have a multiplicity greater than the number of inputs.

ACKER Pole placement gain selection using Ackermann's formula.

K = ACKER(A,B,P) calculates the feedback gain matrix K such that

the single input system x = Ax + Bu with a feedback law of u = -Kx has closed

loop poles at the values specified in vector P, i.e., P = eig(A-B*K).

80

ESTIM

ESTIM Form estimator given estimator gain.

EST = ESTIM(SYS,L) produces an estimator EST with gain L for the outputs and states of

the state-space model SYS, assuming all inputs of SYS are stochastic and all outputs are

measured. .

For a continuous system SYS: x = Ax + Bw , y = Cx + Dw (with w stochastic),

.

the resulting estimator x_e = [A-LC] x_e + Ly

|y_e| = |C| x_e

|x_e| |I|

generates estimates x_e and y_e of x and y. ESTIM behaves similarly when applied to

discrete-time systems.

EST = ESTIM(SYS,L,SENSORS,KNOWN) handles more general plants SYS with both

deterministic and stochastic inputs, and both measured and non-measured outputs. The

index vectors SENSORS and KNOWN specify which outputs y are measured and which

inputs u are known, respectively. The resulting estimator EST uses [u;y] as input to produce

the estimates [y_e;x_e].

81

REG

REG Form regulator given state-feedback and estimator gains.

RSYS = REG(SYS,K,L) produces an observer-based regulator RSYS for the state-space

system SYS, assuming all inputs of SYS are controls and all outputs are measured. The

matrices K and L specify the state-feedback and observer gains. For.

SYS: x = Ax + Bu , y = Cx + Du .

the resulting regulator is x_e = [A-BK-LC+LDK] x_e + Ly

u = -K x_e

This regulator should be connected to the plant using positive feedback. REG behaves

similarly when applied to discrete-time systems.

RSYS = REG(SYS,K,L,SENSORS,KNOWN,CONTROLS) handles more general regulation

problems where

* the plant inputs consist of controls u, known inputs Ud,

and stochastic inputs w,

* only a subset y of the plant outputs are measured.

The I/O subsets y, Ud, and u are specified by the index vectors SENSORS, KNOWN, and

CONTROLS. The resulting regulator RSYS uses [Ud;y] as input to generate the commands u.

82

Bureau d'tude : Sustentation lectromagntique

24

2

2

2

2

NmA10 ,1 ,H01.0

ms81.9 ,kg05.0

: avec

KRL

gM

th

tiKMg

dt

thdM

tRidt

tdiLtv

R

v(t) L,Ki(t)

M

+

-

h(t)

L'objectif est la stabilisation de la bille une distance h de l'lectro-aimant

comprise entre 20 cm (bille sur le plateau) et 5 cm l'aide de la mesure de h et

de la commande v.

La commande de type commande par retour d'tat ncessitera un observateur.

L'tat considr sera x = [i(t), h(t), dh(t)/dt]T.

83

Partie 1 - Procd

1 Dterminer le modle linaire analytique du systme d'entre v, d'tat x et de

sortie h.

2 Construire le modle non linaire Simulink avec conditions initiales v0, i0 et

h0 non nulles.

3 Comparer le comportement linaire (rponses frquentielles) du systme non

linaire aux modles linaires analytiques obtenus autour de

h = 5cm, 10cm et 20 cm.

4 Analyser la stabilit de ces modles (poles/valeurs propres).

84

Partie 2 - Observateur

5 Analyser l'observabilit et la commandabilit du systme quand la mesure

consiste soit en i, soit en h. Pourrait on commender le systme en ne mesurant

que le courant i ?

6 Avec un mesure de h, dterminer un observateur autour de h = 10cm.

Imposer une dynamique d'observation au moins 4 fois plus rapide que la

dynamique la plus lente du procd (ples dsirs : -30, -50, -100). Analyser sa

stabilit autour de h = 5cm et 20 cm.

7 Implanter et analyser les performances de cet observateur linaire pour

estimer l'tat du systme non linaire l'quilibre h = 10cm.

8 Raliser et valuer un autre observateur utilisant un modle non linaire du

procd conditions initiales nulles et les gains dobservation calculs

prcdemment.

85

Partie 3 Commande

9 Dterminer la commande par retour d'tat v = uref - gTx autour de h = 10cm.

Imposer une rapidit en boucle ferme de l'ordre de celle du procd initial

(ples : -9, -10, -100). Analyser sa stabilit autour de h = 5cm et 20 cm.

10 En rgime permanent, dterminer le signal uref = v0 + gTx0 ncessaire pour

garantir h = href.

11 Utiliser cette commande pour amener h de 20 cm 10cm.

12 Tester cette commande avec une variation non prvue de gravit de +10%.

13 Ajouter du bruit sur la mesure de h de type Random number et de variance

10-6. Observer l'tat estim et surtout le signal de commande.

14 Raliser le mme test avec un observateur obtenu avec une dynamique 10

fois plus rapide que la dynamique de commande (ples dsirs : -190, -200, -

210). Estimer lintrt (ou pas) dune telle augmentation.