1Cours n°1

UV_TS

Alexandrina ROGOZAN

UV Traitement du signal

Cours n° 1 : Signaux et systèmes discrets

− Signal échantillonné, Signaux discrets périodiques et Signaux discrets générés à partir d’une relation de récurrence

− Systèmes linéaires et invariants dans le temps

− Transformée de Fourier des signaux discrets

− Réponse fréquentielle d’un système régit par une équation aux différences

2Cours n°1

UV_TS

Alexandrina ROGOZAN

Signal échantillonné

� A partir du signal échantillonné xe(t), on extrait la suite de

valeurs x(nTe) :

⇒

avec

� Après normalisation (Te=1) de la période d’échantillonnage

Te, on obtient la suite { x(n)} appelée signal discret

⇒Remarque : Normalisation = Considérer la suite de valeurs x(nTe)

indépendamment du processus qui la générée

x nTe� xe t ,

�t � nTe

xe t � �k

x kTe

�t � kTe

3Cours n°1

UV_TS

Alexandrina ROGOZAN

Signaux discrets particuliers

� Impulsion de Dirac :

� Échelon unité :

� Exponentielle réelle : an avec a<1

�n � U n � U n � 1

U n � k � �

n k

4Cours n°1

UV_TS

Alexandrina ROGOZAN

Signaux discrets périodiques

� Définition : avec

� Exemples : − signal sinusoïdal

− signal exponentiel complexe :

� Remarque : Condition de périodicité :

⇒au sens continu

⇒au sens discret avec

�Sens différent de la périodicité en continu et en discret.

�n ��� , x n � x n � N N ���

x n � Acos � 0 n ���x n � e

j �0n

� 0n � 2 � k

2�� 0

� n

k� p

q��� p,q ���

2�� 0

� n

k���

5Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Énergie et puissance de signaux discrets

� Énergie d’un signal discret :

� Puissance d’un signal discret :

� Exemple : Puissance de l’échelon unité discret U(n) :

W x � �n

x n 2

Px � limK �! " 1

K� #

K

2

K

2

x n 2

Px � limK �! " 1

K�

0

K

2

1 � 1

2

6Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Signaux discrets générés à partir d’une relation de récurrence

� Décrire de signaux discrets et de opérations complexes sur ces signaux à l’aide des additions et multiplications scalaires

� Ex : − signal exponentiel complexe généré avec

− signal sinusoïdal généré avec

x n � ax n � 1 RRx 0 � 1 CI

x n � 2cos � 0 x n � 1 � x n � 2 RR

x 0 � Asin � ; x � 1 � Asin �$��� 0 ; x � 2 � Asin �%� 2 � 0 CI

x n � Asin � 0 n ���

x n � anU n

7Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Opérations sur les signaux discrets� Soit un signal discret , la multiplication par un

scalaire, le décalage temporel, la somme et le produit 2 à 2 de signaux discrets sont de signaux discrets :

� Toute suite d’échantillons x(n) peut−être exprimée à l’aide δ(n) et de ses décalages δ(n−1), δ(n−2), ...

⇒Exemple :

�Généralisation :

x n � x n ,n ���&

x n � & x n ,n ���x n ' y n � x n ' y n ,n ���

x n � y n � x n � y n ,n ���

x n � a#

3

�n � 3 � a1

�n � 1 � a2

�n � 2 � a6

�n � 6

x n � (k

x k ) n * k

y n � x n � n0 ,n ���

n......

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

8Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Systèmes linéaires invariants discrets : SLID� Système discret définit par l’opérateur T tel que

� linéaire

� invariant par translation

⇒ ; SLID (i.e. filtres linéaires)

caractérisé par le produit de convolution discrète où h(n) est sa réponse

impulsionelle

y(n)=T{ x(n)}

y(n)x(n)T

y n � T x n �+(k

x k T ) n * k �+(k

x k hk n * k

hk n * k � h n * k

y n � (k

x k h n * k � x n , h n

h(n)δ(n)h(n)

9Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Propriétés de la convolution discrète

� Commutativité, associativité, distributivité / l’addition

⇒Association en série :

⇒ Association en parallèle :

h n � h1 n , h2 n

h1(n) h2(n)

h n � h1 n - h2 n

h1(n)

h2(n)

10Cours n°1

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Stabilité et causalité des SLID� SLID (i.e. Filtres Linéaires) ⊂ Systèmes Discrètes Stables

� Système stable : Entrée d’amplitude bornée ( x(n)<M ) => Sortie d’amplitude bornée ( y(n)<∞)

⇒

⇒ Exemple de système instable :

� Système causal : Sa sortie y(n) ne précède pas son entrée x(n) ;

⇒ , car h(M)=0 pour M<0

⇒ Exemple de système causal et stable (pour |a|<1) :

�x n , y n �.�

k / # "n

h n � k x k

x n � hC * n

h * n, h n 0 0

0, h n � 0

(k

h k 1�-�2

x n � anU n

11Cours n°1

UV_TS

Alexandrina ROGOZAN

Équation aux différences linéaires à coefficients constants

� Systèmes régis par une éq. aux ≠ d’ordre N ⊂ SLID

⇒ permet de calculer la sortie du

système à l’ instant n sans faire intervenir sa réponse impulsionelle h(n)

⇒Exemple : Identifier les variables de éq. aux ≠ suivante : y(n)−ay(n−1)=x(n) , puis calculer la réponse impulsionelle causale du système

� Conséquence : L’éq. aux ≠ ne suffisant pas pour caractériser complètement un SLID, il faut prendre en compte les conditions initiales.

� Intérêt : Construire de filtres à réponse impulsionelle infinie RII

(k / 0

N

ak y n * k �+(r / 0

M

br x n * r

12Cours n°1

UV_TS

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Équation aux différences linéaires à coefficients constants� 2 types de représentation d’un SLID :

⇒ éq. aux ≠ + conditions initiales

⇒ convolution discrète

� Système causal régis par une éq. aux ≠ d’ordre N :

⇒ permet de calculer y(n)

en fonction de N valeurs précédentes et de M valeurs de l’entrée

⇒Avantage : ∀ la longueur de la réponse impulsionelle, le nombre d’opérations nécessaires au calcul de y(n) est FINI

y n ��* (k / 1

N ak

a0

y n * k - (r / 0

M br

a0

x n * r

13Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Classification de SLID

� N=0 => Systèmes à réponse impulsionelle finie RIF

⇒

� N>0 => Systèmes à réponse impulsionelle infinie RII

⇒

y n �+(r / 0

M br

a0

x n * r

y n ��* (k / 1

N ak

a0

y n * k - (r / 0

M br

a0

x n * r

14Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Représentations des SLID dans le domaine fréquentiel� La réponse d’un SLID à un signal sinusoidal est une sinusoide

de même fréquence :

⇒

� Réponse fréquentielle du SLID à la réponse impulsionelle h(n)

⇒ Spectre d’amplitude : et Spectre de phase :

⇒ Exemple : Calculer la réponse fréquentielle du système de réponse impulsionelle

y n � x n 3 h n � �k / # " "

h k ej � n

#k � ej � n �

k / # " "

h k e

#j � k

H ej 4H ej �H ej � arg H ej �

h n � 1,n � 0,N � 1

0,ailleurs

15Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Transformée de Fourier des signaux discrets

� TFSD :

� TFSD−1 :

⇒∃ de la TFSD liée à la convergence absolue de la série dont les termes constitues les échantillons du signal x(n) =>

⇒ Remarque : Convergence absolue signal x(n) à énergie finie

⇒ Exemple : est d’énergie finie, mais ne converge pas absolument

x n 5 X ej � �$�n

x n e

#j � n �6�

n

x n e

#j 2 7 f n

X ej � 5 x n � 1

2 �8# 7 7

X ej � ej � n d �9� 8#1

2

12

X f ej 2 7 f n df

ω et f sont de variables continues

:n

x n ;=<

h n > sin n ? 0@ n

16Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Transformée de Fourier des signaux discrets

� Si l’on échantillonne x(t) à une période Te => suite d’échantillons x(nT

e)

prélevés à la fréquence fe=1/T

e :

⇒ Pour une période d’échantillonnage normalisée (Te=1), on a :

� Transformée de Fourier du signal échantillonné :

⇒Pour une période d’échantillonnage normalisée (Te=1), on a :

xe t > An

x nTe B t C nTe

xe t >DAn

x n B t C n

x t Échantillonnage

Xe f E X ejw

Xe f �GF# " " (

n

x nTe ) t * nTe e

#2j 7 f t dt �H(

n

x nTe e

#2j 7 nT

e

17Cours n°1

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Représentation spectrale de la TFSD� En fonction de la nature (périodique ou non) de x(n), on peut obtenir :

� Remarques : Le signal x(n) est discret mais sa TF : X(f) est à variable continue : − Signal périodique => Représentation de Fourier discrète − Signal discret => Représentation de Fourier périodique

Support fréquentiel continuSupport fréquentiel discret

X(f)

0 1/2 1

X(f)

0 1/2 1

Af fo2

δ( )−

x n I Acos 2 J f 0 n x n I 1,n K 0,N L 10,ailleurs

18Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Propriétés de la TFSD

� L’ information spectrale du signal est entièrement localisée dans l’ intervalle

⇒ Puisque X (f) est périodique de période 1

⇒ Si x(n) est réel, X(f) est paire => réduction de l’ intervalle à

X(f)

0 1/2−1/2

f M N 1

2,1

2

f est la fréq. réduite f=F/f

e

f M 0,12

19Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Propriétés de la TFSD

Linéarité

Décalage temporel

Décalage fréquentielou modulation

X f

arg X ff O 0, 1

2

ax n P by n Q aX f P bY f

x n R n0 Q X f eS 2j T n0

f

Spectre d’amplitude Fonction paire

Spectre de phase Fonction impaire} Étude sur

x n e2j T n f

0 Q X f R f 0

L’information temporelle se trouve sur la phase de la TFSD, alors que sur son module on trouve seulement le contenu spectral

Changement d’échelle x an Q 1

aX

f

aSi l’on étend le signal, on contracte

son spectre et vice versa

20Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Propriétés de la TFSD

Conservation de l’ énergie du signal

Modulation et produit de convolution linéaire

Un V S WX W x n 2 QZY

S 12

1

2

X f 2 df

x n y n Q X f [ Y f

x n [ y n Q X f Y f

TF de la dérivée du signaldx n

dnQ 2j \ f X f R X 0

21Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Réponse fréquentielle d’un système régit par une éq. aux ≠

� Soit un système régi par une éq. aux ≠ d’ordre N :

⇒ Réponse fréquentielle :

(k / 0

N

ak y n * k � (r / 0

M

br x n * r

H ej ] � Y ej ]X ej ] �

^r _ 0

M

br e j ] r

^k _ 0

N

ak e j ] k

h n

TFSD ` 1

22Cours n°1

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Transformée en Z

� TZ = Généralisation de la TFSD :

⇒

� Région de convergence :

⇒ Si alors => zéros de X(z)

=> pôles de X(z)

⇒Remarques : − Les pôles ne peuvent pas se trouver dans la RDC.

− Le système est causal si la RDC est à l’extérieur d’un cercle.

ej ] 5 z

X z �a�n / # " "

x n z

#n �b�

n / # " "

x n r ej � # n , z �%cLa TFSD est évaluée par la TZ sur le cercle

unité ( |z|=1)

RDC � z �%c�d ^n / # " "

x n z

#n e�f

X z � N z

D zN z � 0

D z � 0

23Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Transformée en Z

� Région de convergence :

⇒ Exemples :

− Calculer la RDC de X(z) pour x(n)=U(n)

− Calculer la RDC de X(z) pour

− Calculer la X(z), sa RDC et le placement de pôles et des zéros pour les signaux :

x n � anU n , a ��g , a h 0

x n i an , n j 0k bn , n l k 1avec a m b

x n � U n � U N � n

24Cours n°1

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Propriétés de la transformée en Z

Linéarité

Décalage temporel

Théorème de la valeur initiale

ax n P by n Q aX z P bY z

x n R n0 Q X f zS n0

x 0 n limz �!" X z

La RDC est au moins la RDC de X(z) ∩ RDC de Y(z)

Changement d’échelle complexe an x n Q Xz

a

Si a∈ℜ+, contraction ou dilatation de la TZ ;

Si |a|=1, rotation des pôles et de zéros de la TZ

=> Intérêt pour le déplacement de pôles et

de zéros de la TZ

La RDC est identique, de restrictions étant toutefois introduites en z=0 ou z=∞

TF de la dérivée du signal nx n Q9R zdX z

dz

Produit de convolution x n , y n n X z Y z

25Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Propriétés de la transformée en Z

TZ−1 : x n E 1

2 \ jY X z zn S 1 dz

Les Xi(z) sont des

fonctions à TZ−1 connue

X z

x n o Uk

xk nX z o Uk

Xk z

X z E Un V S WX W c n zS n x n E c n Si X(z) peut−être décomposée

en série, alors x(n) est le

coefficient associé à z−n.

26Cours n°1

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Alexandrina ROGOZAN

Fonction de transfert d’un système stable et causal

� Définition :

� Système causal : => RDC à l’extérieur d’un cercle,

ou encore les pôles doivent se trouver à l’ intérieur du cercle

� Système stable : => RDC contient le cercle unité

⇒Les pôles d’un système stable et causal sont à l’ intérieur du cercle unité.

⇒Conséquence : Un système instable peut−être rendu stable par changement d’échelle complexe.

H z �6�n

h n z

#n

H z �6�n / 0

"h n z

#n

�n / 0

"h n e�f