1Cours n°2

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Alexandrina ROGOZAN

UV Traitement du signal

Cours n° 2 : Transformée de Four ier Discrète

− TF des signaux discrets vers TF discrète

− TF discrète d’un signal périodique, d’un signal limité

− TF discrète et convolution circulaire

− Précision et résolution de la TF discrète

− Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète

− Mise en oeuvre de la TFD par la transformée de Fourier rapide

2Cours n°2

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Alexandrina ROGOZAN

TF de signaux discrets vers TF discrète

� Objectif : Calculer la TF d’un signal discret à l’aide d’un calculateur

� Difficulté :

⇒Le calcul de la TF nécessite une infinité de points N de mesure.

⇒Le calculateur ne peut calculer le contenu fréquentiel du signal discret qu’ en un nombre fini L de points fréquentiels, or f varie continûment.

� Solution : Transformée de Fourier Discrète

� Question : Quel est l’ impact sur la précision et la resolution de l’observation spectrale d’un nombre fini N de points de mesure et d’un nombre fini L de points de calcul ?

3Cours n°2

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TF discrète d’un signal périodique

� Signal discret périodique :

�Calcul de la TF d’un signal discret périodique sur un nb. fini N de points de mesure

et sur un nb. fini L de points fréquentiels suite à une discretisation de la fréquence : f=k/L avec k=0,...,L−1

�X f � �

n � 0

N � 1 �x n e� 2j � n f

�x n � �x n � N , � n �

�x n

�X k � �

n � 0

N � 1 �x n e

� 2j � nkL avec k=0,...,L−1

4Cours n°2

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TF discrète d’un signal périodique� Définition :

� Propriétés :

Suite périodique de période N −> Suite périodique X(k) de même période

Puisque TFD bijective, la Trans. de Fourier Discrète Inverse existe :

�X k � �

n � 0

N � 1 �x n W L

nk avec W L � e� 2j�L

�x n

TFD

�x n � 1

L

�k � 0

L � 1 �X k e

2j � nkL � 1

L

�k � 0

L � 1 �X k W L

� nk

et k=0,...,L−1

TFD−1

TFD

et n=0,...,N−1

et k=0,...,L−1

Avec n=0,...,N−1

5Cours n°2

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TF discrète d’un signal périodique

� Définition :

� Propriétés :

⇒ Séparabilité :

⇒ Périodicité :

⇒ Evaluation par la TZ :

�X k � �

n � 0

N � 1 �x n W L

nk avec W L � e� 2j�L

W Ll � k � W L

l W Lk

W Ll � kL � W L

l

�X k � X z z � e

2j � kL

et k=0,...,L−1

et n=0,...,N−1

6Cours n°2

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TF discrète d’un signal limité

� Soit un signal discret limité :

⇒

� Calcul de la TF discrète d’un signal discret limité sur un nb. fini N de points de mesure et sur un nb. fini L de points fréquentiels :

x n � � 0,n 0,..., N � 1

0,sinon

x n � �x n U n � U n � N � �x n , n 0,..., N � 1

x n

X k � �n � 0

N � 1

x n e� 2j � n

kL � �

n � 0

N � 1

x n W Lnk avec W L � e

� 2j�L

et k=0,...,L−1et n=0,...,N−1

7Cours n°2

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TF discrète� Propriétés : Présente les propriétés classiques d’une TF, mais tous les

calculs d’ indices k et n se font modulo L et N

Linéarité

Décalage temporel

Décalage fréquentielou modulation

Conservation de l’ énergie du signal

a x n � b y n � a X k � bY k

x n � n0 modN � X k e� 2j � n

0

kL

x n e2j � n

k0

L � X k � k0 modL

�n � 0

N � 1

x n2 � 1

L

�k � 0

L � 1

X k2

x n � 1

L

�k � 0

L � 1

X k e2j � n

kL � 1

L

�k � 0

L � 1

X k W L� nk

et k=0,...,L−1Avec n=0,...,N−1

8Cours n°2

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TF discrète et convolution circulaire� Soit x(n) et y(n) des signaux discrets limités constitués de N points, leur

produit de convolution circulaire est un signal à support temporel discrets : { 0,..., N−1}

� Propriétés :

� Exemple : Soit x(n)=1 pour n∈{0, 1, ..., 7}

=> conv. linéaire : x(n)*x(n) = {1, 2, ..., 7, 8, ..., 2, 1} pour n∈{0, 1, ..., 15}

=> conv. circulaire : x(n) x x(n) = 8 pour n∈{ 0, 1, ..., 7}

c n � x n � y n � �k � 0

N � 1

x k y n � k modN–c(n) est un signal discret périodique de période N

x n � y n � X k Y k

x n y n � X k � Y k

9Cours n°2

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Précision de la TF discrète� Évaluer la précision de mesure de la fréquence d’une seule sinusoide

� Et si x(n) => raies spectrales non−multiple de fe/L ? La TFD d’une

sinusoide pure apparaît sous forme de plusieurs valeurs non nulles, dont la plus importante en module est proche de la vraie fréq. => Si L désigne le nb. de points de calcul de la TFD, la précision en fréquence est f

e/L [Hz].

–↑ la précision dans le domaine spectral :

–− ↓ de fe (↓ de precision en temporel)

–− ↑ du nombre de points fréquentiels L –− rajout d � échantillons nuls, puis interpolation entre échantillons f

|X(f)|

fe/L

10Cours n°2

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Résolution de la TF discrète� Objectif : Évaluer le pouvoir de séparer 2 fréquences voisines dans un

signal

� Définition : Écart MIN en fréquence qu’il faut mettre entre 2 sinusoïdes d’amplitudes différentes pour observer sur le spectre de leur somme un creux de plus de 3 dB entre les 2 maxima

⇒ Problème : Si x(n) constitué de N points de mesure => apparition de lobes dans le spectre d’une sinusoide, dont le lobe principal a une largeur égale à 2/N.

⇒ Exemple : Soit x(n)= A1cos(2f

1n)+A

2cos(2f

2n) un signal constitué de N points

de mesure

Si |f2−f

1|<1/N => les lobes principaux de chacune seront très proches qu’ il sera

difficile de distinguer avec certitude => la résolution est de l’ordre de fe/N [Hz]

ou autrement est de l’ordre de l’ inverse du temps total d’analyse N Te

11Cours n°2

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Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète

� Convolution de la TF de x(n) avec la TF de wN(n) qui est :

⇒ Ondulations dans le spectre ; Interprétation : La TFD est constituée d’échantillons de la TF à temps discret filtrée à travers un filtre de réponse fréquentielle W

N(f)

X k � �n � 0

N � 1

x n e� 2j � n

kL � �

n � � �� �

x n wN n e� 2j � n

kL

et k=0,...,L−1et n=0,...,N−1

fenêtre rectangulaire de largeur NwN n � 10,..., N � 1 n

W N f � sin N � f

sin � fe� j N � 1 f

12Cours n°2

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Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète

� Objectif : Amélioration de l ! analyse spectrale par pondération des échantillons avant filtrage

� Réalisation : Remplacement de la fenêtre rectangulaire par une fenêtre dont la TF présente des ondulations plus faibles

� Fenêtre de Hamming Fenêtre de Hanning

� En général la résolution en fréquence est d’autant meilleure :

⇒ que le lobe principal est étroit et que les lobes secondaires sont bas => élargissement du lobe principal

wN n " 0,54 # 0,46cos 2 $ n

N,n % 0,...,N # 1

0,sinonwN n & 1

21 ' cos 2 ( n

N,n ) 0,..., N * 1

0,sinon

13Cours n°2

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Exemples de fenêtres

� Critères de selection :

⇒ rapport A entre les maxima du lobe central et des lobes secondaires de la TFD de fenêtres

⇒ atténuation S des lobes secondaires de la TFD de fenêtres

⇒ largeur L du lobe central

Hanning Hamming Kaiser0.5

|W(f)|

LA

Sf

Rectangle

Hanning

AdB

Hamming

13

32

43

14Cours n°2

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Transformée de Fourier rapide� Objectif :Trouver un algorithme de calcul efficace de la TFD de { xn} qui s’écrit

Avec Xk ��n � 0

N � 1

xn W Lnk W L � e

� 2j�L

X0

X1

...X L

2 + 1&

1 1 ... 1

1 W2 ... W2

L2 + 1

1 W4 ... W4

L2 + 1

... ... ... ...

1 W2

L2 + 1 ... W

2L2 + 1 L

2 + 1

x0

x2

...x

2L2 + 1

'1 1 ... 1

W W3 ... W L + 1W2 W6 ... W2 L + 1... ... ... ...

WL2 + 1 W

3L2 + 1 ... W

L2 + 1 L + 1

x1

x3

...xL + 1

X0

X1

...X L

2 + 1& T L

2

x0

x2

...x

2L2 + 1

'1 0 ... 00 W ... 00 0 ... 0... ... ... ...

0 0 ... WL2 + 1

T L2

x1

x3

...xL + 1

X0,...,

L

2 , 1 - T L

2

x pair . DT L

2

ximpai r

X L

2,..., L , 1 - T L

2

x pair / DT L

2

ximpai r

15Cours n°2

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Transformée de Fourier rapide

� Si N=2m, on peut réitérer ce processus et le calcul de la TFD d’ordre

N se ramène au calculs de TFD d’ordre N/2, N/4, 0 , 2 => m itérations

� Chaque itération nécessite N/2 multiplications complexes et N additions Soit la complexité globale devient :

Multiplications et Additions

Contre N2 Multiplications et Additions pour la TFD

X0,...,

L

2 , 1 - T L

2

x pair . DT L

2

ximpai r

X L

2,..., L , 1 - T L

2

x pair / DT L

2

ximpai r

N

2log2 N N log2 N

–Le calcul d’une TFD d’ordre N necesite le calcul de 2 TFD d’ordre N/2 + N/2

Multiplications + N Additions