1Automatique

Marges de stabilité et performances des systèmes linéaires asservis

UV Automatique

ASI 3

Cours 5

2Automatique

Contenu

! Robustesse de la stabilité" Notion de robustesse de la stabilité

" Marges de stabilité (marges de gain et de phase)

! Performances des systèmes asservis" Précision des systèmes asservis

# Erreur en régime permanent liée à la consigne

# Rejet des perturbations

" Rapidité des systèmes asservis

" Dilemme stabilité, rapidité, précision

3Automatique

Robustesse de la stabilité (1)

! Introduction" Caractéristiques des critères de Routh et de Nyquist

# Déterminer si le système est stable, oscillant ou instable en BF

# Déterminer les conditions limite de stabilité

# Ne permettent pas de dire si le système stable en BF est plus oumoins proche de l'instabilité (point critique)

" Concept de marges de stabilité (système à stabilité absolue)

# Intuitivement, la stabilité est satisfaisante si le lieu de Nyquist ou de Black du système en BO passe loin du point critique -1

Re

Im

-1

Stabilité satisfaisante

Re

Im

-1

Marges de stabilité faibles

4Automatique

Robustesse de la stabilité (2)

! Marges de stabilité

" Marge de phase mϕ

" Marge de gain mg

avec

Elles permettent d'estimer la proximité de la réponse fréquentielle HBO(jω) du point critique π−∠=− 11

Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1. La marge de phase est la différence entre ϕBO(ωc0) et −π

( ))(arg)( 00 CcBO jH ωωϕ =

Soit ω-π la pulsation telle que argHBO(jω-π)=−π. La marge de gain est l'écart entre 0dB et le gain à la pulsation ω-π

πωϕϕ += )( 0cBOm

avec πωϕ π −=− )(BO)(log20 10 πω−−= jHm BOg

5Automatique

Robustesse de la stabilité (3)! Interprétation des marges de stabilité

! Remarques

$Un système est stable en BF si la marge de phase est positive$La marge de gain correspond au gain supplémentaire

maximum que l'on peut donner au système en BO sans risquer de le rendre instable en BF

$Plus les marges sont grandes, plus robuste est la stabilité

$Pour une bonne stabilité, on considère satisfaisantes les valeurs minimales : mϕ = π/4 à π /3 (45° à 60°) et mg=10dB à 15dB

$On définit aussi la marge de retard mr comme le retard maximal admissible sans déstabiliser le système en BF

0cr

mm ω

ϕ=e−τs introduit un déphasage de −τω

Condition de stabilité : πωϕτω −≥+− )( 00 cBOc0

limc

mωτ ϕ≤⇒

6Automatique

Robustesse de la stabilité (4)

! Détermination des marges de stabilité

ϕ

G (dB)

-π/2-ππππ

mϕ

mg

ωc0

ω-π−−−−ππππ

0 dB ωlog

G (dB)

ϕ (rad)

ωlog

mϕ

mg

ωc0

ω-π

Re

Im

-1O

A

mϕ

ωc0

ω-π Amg 10log20−=

Cercle de rayon unité

7Automatique

Performances des systèmes asservis! Introduction

! Précision des systèmes asservis

En boucle fermée, on désire que :$ le système suive la consigne en régime établi (précision)$ le système élimine les perturbations (rejet des perturbations)$ le système ait une dynamique rapide

C (s) H (s) yc +−ε y u

d

++

F (s)

La précision est définie à partir du signal d'erreur ε :

)()()( tytyt c −=ε

Considérons le schéma simplifié d'asservissement

On s'intéresse à l'erreur en régime permanent : )(lim t

tεε

∞→∞ =

8Automatique

Précision des systèmes asservis (1)

! Sortie du système asservi

! TL de l'erreur

)()()( sHsCsHBO =

)()(1)()()(1

)()( sDsHsFsYsH

sHsYBO

cBO

BO+++=

avec

)()()( sYsYtE c −=

)()(1)()()(1

)()()( sDsHsFsYsH

sHsYtEBO

cBO

BOc +−+−=

)()(1)()()(1

1)( sDsHsFsYsHsE

BOc

BO +−+= )()()( sHsCsHBO =

9Automatique

Précision des systèmes asservis (2)

! Erreur d'asservissement

" Un terme relatif à l'écart avec la consigne

" Un terme d'erreur dû à la perturbation

)()(1)()()(1

1)( sDsHsFsYsHsE

BOc

BO +−+=

L'erreur est fonction de deux termes :

)()(11)( sYsHsE cBO

c +=

)()(1)()( sDsH

sFsEBO

d +−=

Le système est d'autant plus précis que l'erreur en régime permanent est proche de 0

0)(lim →∞→

tt

ε

10Automatique

Précision des systèmes asservis (3)

! Erreur relative à la consigne εc

)(lim)(0

ssEcs

c→

=∞⇒ ε)(lim)( tct

c εε∞→

=∞

)()(1lim)(0

sYsHs

cBOs

c +=∞→

ε

)()()(

0

000 sD

sNsKsH BO α=Ecrivons HBO(s) sous la forme

1)()(lim

0

00

=→ sD

sNs

avec

)(

)()(1

lim)(

0

0000

sY

sDsN

sK

sc

sc

α

ε+

=∞→

)(1

lim)(

000

sY

sKs

cs

c

α

ε+

=∞→

⇒

)(lim)(0

1

0 0

0sY

Kss

cs

c +=∞

+

→ α

αε

11

)()(

1

1

0

00

0 ++++++= −

− sasasbsb

sDsN

nn

mm

L

Lα

α⇒

11Automatique

Précision des systèmes asservis (4)

! Erreur relative à la consigne εc

" : consigne échelon. On parle d'erreur de position ou erreur statique

" : consigne rampe. On parle d'erreur de vitesseou erreur de traînage

" : consigne parabole. On parle d'erreur d'accélération

L'étude peut être menée pour tout signal de consigne. En pratique, on s'intéresse à l'erreur pour des consignes suivantes :

)()( ttyc Γ=

)()( tvtyc =

221)( ttyc =

RemarqueUn système ayant α0 intégrateurs est dit de classe α0ou de type α0

12Automatique

Précision des systèmes asservis (5)

! Erreur relative à la consigne εc

" Consigne échelon (erreur statique ou de position)

#

#

(pas d'intégrateur en BO, système de classe 0)

avec

00, 0

0lim)(

Kss

spc +=∞⇒

→ α

αε

ssYc

1)( =⇒)()( ttyc Γ=

00 =α

KpKpc1

11)(

0, =

+=∞ε ( ))(1lim

0sHKp BO

s+=

→

(au moins un intégrateur en BO)10 ≥α

Si le système n'a pas d'intégrateur en BO, le système en BF présente une erreur statique permanente. Cette erreur est d'autant plus petite que le gain en BO K0 est grande

0)(, =∞pcε Si le système a au moins un intégrateur en BO, le système en BF a une erreur statique nulle.

13Automatique

Précision des systèmes asservis (6)

! Erreur relative à la consigne εc

" Consigne rampe (erreur de vitesse)

#

#

#

(système de classe 0, pas d'intégrateur en BO)

avec

0

1

0, 0

0lim)(

Kss

svc +=∞⇒

−

→ α

αε2

1)(s

sYc =⇒)()( tvtyc =

00 =α

∞=∞)(,vcε

)(lim0

ssHK BOs

v→

=

(système de classe 2 ou supérieure)20 ≥α

0)(, =∞vcε

10 =α (système de classe 1, 1 intégrateur en BO)

vvc K

1)(, =∞ε Gain en vitesse

14Automatique

Précision des systèmes asservis (7)

! Erreur relative à la consigne εc

" Consigne parabole (erreur d'accélération)

#

#

#

(au plus 1 intégrateur en BO)

221)( ttyc =

avec

0

2

0, 0

0lim)(

Kss

sac +=∞⇒

−

→ α

αε3

1)(s

sYc =⇒

10 ≤α

∞=∞)(,acε

)(lim 20

sHsK BOs

a→

=

(plus de 2 intégrateurs en BO)30 ≥α

0)(, =∞acε

20 =α (système de classe 2, 2 intégrateurs en BO)

aac K

1)(, =∞ε Gain en accélération

15Automatique

Précision des systèmes asservis (8)

! Récapitulation (erreur due à la consigne)

0∞∞εc,a

00∞εc,v

000εc,p

α0>2210α0ε

aK1

vK1

pK1

α0 : nombre d'intégrateurs de la fonction de transfert en BO

Ces résultats sont valables si le système est stable en BF !!

Remarques$ Dans le cas où l'erreur est non nulle mais bornée, cette erreur est d'autant plus petite que le gain en BO est grand$ Si le gain en BO est grand, il y a risque d'instabilité (cf Routh) : c'est le dilemme stabilité - précision

16Automatique

Précision des systèmes asservis (9)! Illustration

0 2 4 0

0.5

1 εc,p

0 5 10 15 0

5

10

15

εc,v→∞

0 5 10 0

10

20

30

40

50

εc,a→∞

0 5 10 15 0

0.5

1 εc,p= 0

0 5 10 0

5

10

εc,v

0 10 20 0

50

100

150

200 εc,a→∞

0 20 40 0

0.5

1

1.5

2

εc,p= 0

0 10 20 0

10

20

30

εc,v=0

0 10 20 0

50

100

150

200 εc,a≠0

α0=0 α0=1 α0=2

17Automatique

Précision des systèmes asservis (10)

! Erreur relative à la perturbation εd

)()(1)()( sDsH

sFsEBO

d +−=

)(lim)(0

ssEds

d→

=∞⇒ ε)(lim)( tdt

d εε∞→

=∞

)()()(

0

000 sD

sNsKsH BO α= 1)0(

)0(0

0 =DNPosons

On parle de rejet asymptotique de la perturbation si l'erreur due à la perturbation εd tend vers 0 en régime permanent

)()()( sD

sNsKsF

ddd

β= 1)0()0( =

dd

DN

)(lim)(0

1

0 0

0sD

KssKd

sd +

−=∞⇒+−

→ α

βαε

avec

avec

18Automatique

Précision des systèmes asservis (11)! Erreur relative à la perturbation εd

" Perturbation de type échelon ( )

# (système de classe 0). On a :

• Si β = 0, on obtient

• Si β ≠ 0, on obtient

L'erreur est bornée si F(s) n'a pas d'intégrateur

00, 0

0lim)(

KssKd

spd +

−=∞−

→ α

βαε

ssD 1)( =

00 =α00

, 1lim)(

KsKd

spd +

−=∞−

→

βε

p

ddpd K

KK

K −=+

−=∞0

, 1)(ε

−∞=∞)(, pdε

La présence d'intégrateurs dans F(s) ne contribue pas àl'élimination asymptotique de la perturbation

19Automatique

Précision des systèmes asservis (12)! Erreur relative à la perturbation εd

" Perturbation de type échelon

# (au moins un intégrateur)

• Si α0−β = 0, on obtient

• Si α0−β ≥1, on obtient

10 ≥α

0, )(

KKd

pd −=∞ε

L'erreur de position εd,p due à la perturbation est diminuée voire annulée si on augmente le nombre d'intégrateurs α0en amont du point d'application de la perturbation tout en veillant à ne pas déstabiliser le système

00,

0lim)(

KsKd

spd

βαε

−

→−=∞On a

0)(, =∞pdε

20Automatique

Précision des systèmes asservis (13)! Erreur relative à la perturbation εd

0

-∞

-∞

-∞

-∞

εd,a

0003

012

0002

-∞11

001

-∞00

εd,vεd,pα0 β

p

dKK−

v

dKK−

Avec

)(lim0

ssHK BOsv→

=

v

dKK−

a

dKK−

a

dKK−

)(lim 20

sHsK BOsa→

=

( ))(1lim0

sHK BOsp +=→

L'erreur totale en régime permanent est la somme de l'erreur par rapport à la consigne et de l'erreur due à la perturbation

21Automatique

Précision des systèmes asservis (14)! Rejet de la perturbation par compensation

Si F(s) est connue, on peut éliminer totalement la perturbation en réalisant une correction par compensation

C (s) H (s) yc + − ε y u

d

++

F(s)W (s)

−

)()(1

)()()()()(1

)()( sDsH

sHsWsFsYsH

sHsYBO

BOc

BO

BO+−+

+=

Le hic! W(s) n'est pas toujours stable ou physiquement réalisable (contrainte de causalité)

On élimine totalement la perturbation en prenant

)()()( sHsCsH BO =

)()()(sH

sFsWBO

=

22Automatique

Performances dynamiques (1)! Performances

" rapidité : temps de montée tm, temps de réponse tr

" dépassement

" résonance

! Résultats qualitatifs

On apprécie le comportement dynamique des systèmes asservis en termes de (cf cours 1 à 3) :

Ces performances peuvent être évaluées sur la réponse indicielle ou fréquentielle du système asservi

Peut-on déduire les performances des systèmes asservis à partir de la connaissance de HBO(s) ?

$ Oui pour les systèmes du 1er ordre$ Des résultats qualitatifs pour les systèmes du 2e ordre

23Automatique

Performances dynamiques (2)! Système du premier ordre en BF

" Fonction de transfert en BF

avec

Quand on boucle un système du 1er ordre, on obtient en BF un système ayant le comportement d'un 1er ordre

KBF : gain statique en BF TBF : constante de temps en BF

sTKsHBO

0

01

)(+

=H BO(s)yc + −

ε y

sTKKsHBF

00

01

)(++

= ⇒sT

KsHBF

BFBF +

=1

)(

0

01 K

KKBF +=

0

01 K

TTBF +=et

24Automatique

Performances dynamiques (3)! Système du premier ordre en BF

" Remarques

# Le système du 1er ordre en BF présente en régime permanent, une erreur statique non nulle. Cette erreur est d'autant plus petite que le gain K0 est grand (mais attention à la saturation des actionneurs !!)

# Temps de réponse en BF

• Le système est plus rapide en BF qu'en BO

• Le temps de réponse est d'autant plus petit que K0 est grand

avec sT

KsHBF

BFBF +

=1

)(0

01 K

KKBF +=

0

01 K

TTBF +=et

0

0, 1

33K

TTt BFBFr +==

25Automatique

Performances dynamiques (4)! Système du deuxième ordre en BF

" Fonction de transfert en BF

12)(

0,

02

0,

20

++=

ssKsH

nn

BO

ωξ

ω

H BO(s)yc +−

ε y

)1(2)(

00,

02

0,

20

KssKsH

nn

BF+++

=

ωξ

ω

,

⇒12

)(

,2,

2++

=ss

KsH

BFn

BF

BFn

BFBF

ωξ

ω

: gain statique en BF0

01 K

KKBF +=

0

01 KBF +

= ξξ

00,, 1 KnBFn += ωω

: facteur d'amortissement en BF ( )

: pulsation naturelle en BF

10 << BFξ

26Automatique

Performances dynamiques (5)! Système du deuxième ordre en BF

" Remarques# Le système en BF a une erreur statique non nulle

# Le système en BF a un comportement oscillatoire amorti

# Le facteur d'amortissement ξBF est faible si K0 est grand ⇒ la réponse indicielle a un fort dépassement

# Le temps de montée tm est rapide si K0 grand

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

ξBF

ω n, BF

t m

8.02.0 << BFξPour on a

42 , << mBFn tω

Pour les valeurs courantes de ξBF, on peut obtenir un ordre de grandeur du temps de montée en BF à partir des éléments de la BO

27Automatique

Performances dynamiques (6)

! Système du deuxième ordre en BF" Relation empirique 1

" Relation empirique 2 : relation entre marge de phase et facteur d'amortissement en BF

Si K0 >> 1, on montre que 000,, 1 cnBFn K ωωω ≈+=

avec ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1 ou G(ωc0)=0dB

ωc0 est appelée aussi pulsation de coupure à 0dB

Ces deux relations permettent de déduire les performances du système en BF à partir de la connaissance des caractéristiques fréquentielles de HBO

100)(deg rém

BFϕξ ≈ mϕ : marge de phase °+= 180)( 0cBOm ωϕϕ

28Automatique

Performances dynamiques (7)! Système du deuxième ordre en BF

" Influence du gain statique K0 en BO sur la BF# Augmentation de K0 ⇒

• diminution de ξBF , augmentation de ωn,BF (donc de la BP)• dépassement DBF important• diminution de la marge de phase (stabilité moins bonne)• augmentation du temps de montée en BF et de la précision

#Diminution de K0 ⇒• augmentation de ξBF , diminution de ωn,BF (donc de la BP)• diminution du dépassement DBF

• augmentation de la marge de phase (stabilité améliorée)• diminution du temps de montée en BF et de la précision

Il y a un compromis à trouver entre la rapidité, la stabilité et la précision