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Vario, supp. 1
Stratgie de modlisation
Il existe plusieurs stratgies diffrentes et chacun dveloppe
probablement ses propres habitudes. Pour ma part, je recommande la
stratgie suivante:
- Calculer et modliser le variogramme omnidirectionnel en
respectant, pour le choix des classes, les rgles nonces
ci-haut.
- Si le nombre de donnes le permet (i.e. au moins 50,
prfrablement 100) calculer les variogrammes directionnels selon
diffrentes directions (ex. 0, 45, 90, et 135 degrs) en respectant
les rgles ci-haut (i.e. nb. paires >30, demi-longueur du champ
comme distance maximale) et surimposer le modle omnidirectionnel
sur les variogrammes exprimentaux directionnels.
La gologie peut apporter une information prcieuse dans le choix
des directions et la dcision d'adopter ou non un modle
anisotrope.
- Dterminer s'il y a anisotropie: diffrences de palier, mais
surtout de portes qui ne peuvent raisonnablement tre imputes des
fluctuations alatoires du variogramme. Cette valuation concerne
surtout le dbut du variogramme. Des divergences distance plus
grandes sont normales et sans importance. Si ncessaire, procder
l'ajustement d'un modle anisotrope.
Ajustement visuel vs mthodes automatiques
Il y a deux coles de penses concernant l'ajustement des modles
de variogramme. Certains prtendent que l'ajustement visuel demeure
la meilleure mthode, alors que d'autres prfrent les mthodes
automatiques.
Personnellement j'utilise les deux mthodes dpendant des
contextes et parfois j'utilise les deux mthodes conjointement.
L'ajustement automatique est utile lorsqu'on a une bonne ide du
type de modle utiliser (ex. sphrique isotrope) et qu'on dsire avoir
un choix plus objectif des paramtres du modle (C0, C et a). Il est
aussi particulirement utile dans des tudes de simulations ou on
gnre des donnes selon un type de modle connu. La mthode automatique
est galement utile lorsqu'on dispose de trs peu de donnes qui ne
permettent pas de calculer efficacement le variogramme exprimental.
On peut alors procder par ajustement automatique utilisant une
technique de validation croise. Dans cette technique, il s'agit
d'estimer les points connus en faisant comme s'ils ne l'taient pas.
En effectuant l'estimation avec diffrents modles, on retient celui
qui permet de prdire les points connus avec le plus de
prcision.
Les mthodes entirement automatiques sont probablement viter. Un
monitoring des caractristiques essentielles du modle est
souhaitable (type de modle, anisotropie, direction d'anisotropie).
Les connaissances de l'utilisateur concernant le phnomne doivent
tre mises contribution. La gostatistique n'est pas une bote
noire!
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Vario, supp. 2
Note:
Il existe trois catgories de mthodes d'ajustement automatique: .
Mthodes d'ajustement des moindres carrs partir des valeurs du
variogramme
exprimental. Dans ce cas, les guides noncs ci-haut pour le
calcul du variogramme exprimental s'appliquent intgralement. Notons
que ces moindres carrs doivent tre pondrs en fonction de "h" et de
"N(h)" tout comme on le fait visuellement. Une part de subjectivit
se glisse ncessairement dans le choix des critres de
pondration.
. La seconde mthode s'applique surtout de petits ensemble de
donnes. Il s'agit des techniques de validation croise (automatise)
o les performances pour la restimation des points connus par
diffrents modles de variogrammes sont compares. Ici, il n'est plus
ncessaire de calculer le variogramme exprimental pour obtenir le
modle, bien que ceci soit recommand pour contrler l'ajustement
obtenu.
. Les mthodes bases sur le maximum de vraisemblance et
ncessitant des distributions multinormales.
MODLISATION DU VARIOGRAMME
Il faut reconnatre deux problmes distincts: - Dtermination du
type de modle (ex. sphrique ou linaire), du nombre de structures
(ex. un effet de ppite plus un sphrique plus un exponentiel) et de
la prsence d'anisotropies ventuelles. - Estimation proprement dite
des paramtres des modles retenus.
La premire partie est trs peu automatise, mme de nos jours. Elle
repose souvent en partie sur des connaissances externes aux donnes
elles-mmes (ex. nature de la variable, prsence de stratifications,
prcision analytique connue, rsultats obtenus avec des donnes
similaires d'ailleurs, etc...).
La seconde partie est de plus en plus automatise, surtout avec
la venue de nouveaux logiciels et avec le dveloppement de la
gostatistique dans d'autres domaines d'application que les mines.
La modlisation visuelle graphique demeure quand mme largement
utilise, surtout en gologie.
Mthodes automatiques d'ajustement.
1. Moindres carrs:
On ajuste les paramtres du modle de faon minimiser la somme des
carrs des diffrences entre valeurs exprimentales et valeurs
thoriques du modle. On utilise habituellement une fonction de
pondration proportionnelle au nombre de paires de chaque point du
variogramme et de faon donner plus de poids aux faibles valeurs de
h.
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Vario, supp. 3
Avantages: - trs rapide - reproduit assez bien l'ajustement
visuel, tout en liminant une certaine part de subjectivit. - on
peut, sous hypothse de normalit et d'indpendance des points du
variogramme
construire des intervalles de confiance pour les paramtres.
Toutefois la validit de ces intervalles de confiance est trs
discutable car les valeurs du variogramme exprimental ne sont ni
normales, ni indpendantes les unes des autres. On peut possiblement
les considrer comme une indication relative de la prcision du modle
estim.
Inconvnients: - le critre des moindres carrs est li assez
troitement la distribution normale et est assez
sensible la prsence de points aberrants sur le variograme
exprimental. On pourrait songer utiliser un estimateur un peu plus
robuste cherchant minimiser la moyenne des carts en valeur absolue
par exemple, mais les proprits de cet estimateur sont moins bien
connues.
- une part certaine de subjectivit demeure dans la dfinition de
la fonction de pondration.
- les rsultats dpendent du choix des classes effectu pour le
calcul du variogramme exprimental. On pourrait considrer chaque
paire individuellement, mais le temps de calcul serait plus long et
les rsultats possiblement moins robustes.
- les paramtres estims ne respectent pas ncessairement les
conditions pour un modle positif dfini. Ceci peut tre corrig en
incluant des pnalits dans la fonction objective.
- la solution optimale obtenue n'est pas ncessairement un
optimum global, i.e. le rsultat peut dpendre du point de dpart de
l'algorithme.
ex. Cressie propose de minimiser:
Autres mthodes de moindres carrs.
On peut rcrire l'quation prcdente sous la forme:
o la matrice W diagonale ayant sur sa diagonale une quantit
approximativement proportionnelle aux variances des valeurs
exprimentales du variogramme, i.e. var(e(h)). On peut gnraliser
cette ide en utilisant la matrice de variance-covariance V au lieu
de W dans l'quation prcdente. Des tudes comparatives ont indiqu
toutefois que la complexit supplmentaire ne semblait pas
justifie.
f = N( h ) (h ) - ( h )( h )i=1K
i
2
e i t i
t i
[ (h)- (h)] W [ (h) - (h)]e t -1 e t
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Vario, supp. 4
2. Mthodes de maximum de vraisemblances
Ces mthodes reposent toutes sur l'hypothse trs forte de
multinormalit, soit des valeurs observes (vraisemblance maximale),
soit des contrastes entre les valeurs (vraisemblance maximale
rduite). Ces estimateurs produisent des estimateurs biaiss des
paramtres qu'ils cherchent estimer, potentiellement de faon
importante lorsqu'on s'carte beaucoup de l'hypothse de
multinormalit. Les tudes comparatives menes dans un contexte normal
ont montr que le moindre carr performait aussi bien que le maximum
de vraisemblance. Cressie ne recommande pas leur utilisation.
Rappel: la fonction de vraisemblance de l'chantillon est
simplement la valeur de la fonction de densit conjointe, value aux
valeurs prises par l'chantillon, obtenue pour un ensemble de
paramtres donns, vecteur moyenne et matrice de variance-covariance
dans le cas de la loi multinormale. L'objectif est de choisir ce
vecteur moyenne et cette matrice de variance-covariance de faon
maximiser la fonction de densit conjointe. Dans le modle de
gostatistique stationnaire, la moyenne est constante, et les
variances-covariances sont dtermines partir du variogramme
thorique, donc de quelques paramtres seulement.
3. Estimation par validation croise
Le principe de la mthode est d'enlever tour tour chaque point
chantillon et de l'estimer (par krigeage) l'aide de ses voisins. On
obtient ainsi chaque point une erreur d'estimation et on cherche
les paramtres du variogramme qui, lorsqu'utiliss dans le systme de
krigeage, fourniront les estims les plus prcis. La prcision des
estims peut tre mesure de diverses faons; ex. somme des carrs des
erreurs, somme des carrs des erreurs normaliss par la variance de
krigeage.
Le principal problme est son temps de calcul extrmement long,
puisque l'on doit effectuer "n" krigeages pour chaque ensemble de
paramtres tests. On l'utilise donc surtout comme mthode de
vrification, une fois les paramtres estims par une autre
mthode.
La technique de validation croise peut galement tre utilise pour
dterminer le voisinage optimal devant tre utilis pour le krigeage,
pour choisir entre deux modles fournissant des ajustements
quivalents, pour comparer des mthodes d'estimation entre elles (ex.
krigeage vs cokrigeage, vs inverse de la distance, vs spline),
etc...
L(m, ) = n2
(2 ) + 12
| ( )| + 12
(Z - m) ( ) (Z - m)-1 pi log log
-
Vario, supp. 5
CONDITIONS D'ADMISSIBILIT DES MODLES DE COVARIOGRAMME ET DE
VARIOGRAMME
Soit
La variance d'estimation de Z0* est donne par:
Puisqu'il s'agit d'une variance, cette quantit doit tre positive
ou nulle, peu importe l'ensemble des n points choisis. C(h) doit
donc tre une fonction positive dfinie.
De mme,
fournit une condition quivalente exprime en termes du
variogramme.
Thorme de Bochner:
Une fonction continue est positive dfinie ssi sa transforme de
Fourier est une fonction positive et intgrable. Note dans C(h), h
est un vecteur dans 1, 2 ou 3 dimensions, de sorte que la
transforme de Fourier est une transforme de Fourier en 1, 2 ou 3
dimensions. (Note: ce thorme ne sapplique pas leffet de ppite qui
est une fonction discontinue).
Le problme de ce critre est qu'il est difficile de vrification
car les fonctions candidates n'ont pas ncessairement des formes
analytiques simples. Christakos (1984, 1992) a donc dvelopp une
srie de conditions ncessaires et suffisantes plus simples vrifier.
(Voir plus loin)
0*
i=1
n
iZ = Z
Var( Z ) = Cov( Z ,Z ) = C( h )0*i=1
n
j=1
n
i j i ji=1
n
j=1
n
i j ij
[ ]i=1
n
j=1
n
i j ij i j2
ijC( h ) = - (h )
-
Vario, supp. 6
Rpertoire de modles
Le tableau suivant donne une liste, certainement non-exhaustive
de modles rencontrs dans la littrature. Plusieurs de ces modles
sont en fait des familles de modle pouvant prendre des formes
varies selon les valeurs prcises de leurs paramtres.
Nom quation Source / remarques Ppite 0>h C0 Exponentiel
(-h/a)]-[1 C exp Porte effective: 3a; Modle markovien
en 1-D Sphrique ])0.5(h/a - [1.5h/a C 3 Drive de l'intersection
de deux sphres Circulaire
ah C
a
-
Vario, supp. 7
Effet de trou (sin) (aussi sin cardinal)
C 1 - (2 h / a)2 h / a
sin pipi
Admissible en 3D. La fonction samortie en fonction de h.
Lamplitude maximale est atteinte en 0.7151*a. La valaeur maximale
du variogramme vaut alors 1.217*C.
Effet de trou 2D )b/h(J)a/hexp((C pi 21 0 Armstrong, 1998, p.
38. Exponentiel gnralis )haexp()haexp(C yx
byy
bxx
22
Abt et al., Math. Geol, 1999,#1. ax et ay>0 bx et by [0,2)
Flexible, le modle gaussien est un cas particulier)
Stein C [1 - (-h / a) (a + h)
a]exp Stein, Avignon, 1989. Comportement quadratique
l'origine.
Whittle C [1 - h / a K (h / a) ]1 K1 est la fonction modifie de
Bessel de la 2e sorte; Matern, 1960; Markovien en R2.
Matern, p.30, 2e C 1-(1 + h / a ) 2 2 -
n+12
n=0 donne le modle gravimtrique de Chils, n=2 donne le modle
magntique. n est entier; Matern, 1960.
Matern, p.30, 3e
(h/a)Jh/a2k! - 1 C k
k
Jk est la fonction de Bessel de la 1 re sorte. Matern, 1960.
Bessel [ ](h/a)Jbh - 1 C 022 )/exp( Mantoglou et Wilson, 1982; b
et a des paramtres ajuster Admissible en R2 seulement
Quadratique ah] (h/a))(h/a [ C 2 2 Alfaro, 1984 Stable ( )[ ]ah
- 1 C /exp Lantujoul, 1994 Hyperbolique
+ h/a)(-C 111
Lantujoul, 1994
Christakos, 1984, p.264, 74
[ ] ah(h/a)(h/a).-(h/a.C + 52)52 53 Spline sous tension 1D
exp(-|h|/a)+|h|/a-1 1-D, ref [1], p.81 Spline sous tension
2D
K0(a|h|)+log(a|h|) 2-D, ref. [1], p.81 Spline sous tension
3D
1/(a|h|)(exp(-a|h|-1)+1 3D, ref [1], p.85 Puissance (1-|h|2) h1
2D, covariance, ref.[2] Matern, p.30, 4e
] (h/a)K a
h cte- [1 C s
s
Cas particuliers: s=1, Whittle;s=1/2, exponentiel. Matern, 1960.
La constante est ajuste de sorte que le terme entre crochets vaut 0
lorsque h->0
-
Vario, supp. 8
Matern, gnral )h(Kh)v(
2v
vv1
Kv : fonction de Bessel d'ordre v>0 (ref [2]) ;
Covariance
Cauchy
0b
1
112
>
+
b
a
hC
Wackernagel, 1995, p. 219 aussi ref [2]
Rfrences pour les modles du tableau :
Alfaro M., 1984,Statistical inference of..., in Geostatistics
for natural resources characterization, G. Verly et al (eds),
Reidel, 45-54.
Chils J.P. et Guillen, 1984, Sciences de la Terre #20.
Christakos G., 1984, Permissible covariance and variogram models,
Water Resources Research, 20, 2, 251-265. Galli A. ,
Gerdil-Neuillet F. et Dadou C., 1984, Factorial kriging analysis
:..., in Geostatistics for natural resources
characterization, G. Verly et al (eds), Reidel, 543-558. Journel
A. et Huijbregts, 1978, Mining Geostatistics, Academic press, 600p.
Lantujoul C., 1994, Non conditional simulations of...., in
Geostatistical simulations, M. Armstrong (ed), Kluwer,
147-177. Mantoglou A., et Wilson J., 1982, The turning band
methods...., Water Resources Research, 18, 5, 1379-1394. Matern B.,
1960, Spatial variation, Springer-Verlag, 2e ed., 1980, 151p.
Srivastava R.M., et Parker H.M., 1989, Robust measures of spatial
continuity, in Geostatistics, M. Armstrong (ed),
Kluwer, 295-308. Stein M., 1989, The loss of efficeincy ..., in
Geostatistics, M. Armstrong (ed), Kluwer, 273-282.
[1]: Wessel, P. et Bercovici D., 1998, Interpolation with
splines in tension: a green's function approach, Math. Geol., v. 30
#1, 77-94. [2]: Gneiting, T. 1998, Closed form solutions of the
two-dimensional turning bands equation. Math. Geol., 1998, v. 30, #
4, 379-390.
-
Vario, supp. 9
Critres dadmissibilit des modles
Critres d'admissibilit des modles de covariances, de variogramme
et de covariances gnralises.
A. Considrations gnrales
Soit n la dimension de l'espace (1D,2D,3D...) Soit k, l'ordre de
la drive (0, 1,...) Un modle admissible en Rp l'est aussi en Rp-1.
L'inverse n'est pas toujours vrai. Un modle admissible l'ordre k
l'est aussi l'ordre k+1. L'inverse n'est pas toujours vrai.
B. Covariance
Dans tous les cas, si on considre une combinaison linaire de
v.a. Zi, il faut que la variance de cette combinaison linaire soit
positive: Soit:
Note: Une combinaison linaire positive de modles admissibles est
un modle admissible.
i.e. C(h) = b C (h) est admissible bi=1
p
i2
i i
Un produit de modles admissible est un modle admissible.
B.1 Condition ncessaire et suffisante pour une covariance
C(h) est une fonction continue de covariance admissible ssi: .
la transforme de Fourier de C(h) existe et est note c(w) . c(w) 0
w
.
-
c(w) dw <
(thorme de Bochner)
*
i=1
n
i iZ = Z
Var( Z ) = Cov( Z , Z ) 0*i=1
n
j=1
n
i j i j
-
Vario, supp. 10
B.2 Condition suffisante pour une covariance
i. Une fonction C(h) est admissible en Rn si:
et
et
h2 2
33
2
u
(u - h )
d C(h)dh
dh 0 en R
2
2
3
33d C(h)
dh - h d C(h)
dh 0 en R
ii. Une fonction C(h) est admissible en R3 si: h C(h) est
non-croissant.
B.3 Conditions ncessaires pour une covariance
Pour qu'une fonction soit admissible, il faut que: i.
o n est la dimension de l'espace (1D, 2D, 3D)
ii. en R1 C(h) = -.403 C(0) en R3 C(h) >= -.218 C(0)
lim (h 0 ) dC(h)dh < 0+
lim (h infinity) C(h)h
= 0(1-n)/ 2
2
21d C(h)
dh 0 en R
lim C(h)h
= 0 h(1-n)/ 2
-
Vario, supp. 11
B.4 Cas multivariable
Ncessaire et suffisant, cas gnral:
Les matrices pxp K(w) dont chaque lment Kij(w) est le spectre de
puissance crois obtenu par TF de la fonction de covariance Cij(h) o
i et j dsignent les variables, doivent tre positives dfinies. De
plus, les intgrales des TF existent.
Ncessaire: Condition de Cauchy-Schwartz. La condition s'exprime
en termes des variogrammes (avec paliers). On peut convertir cette
relation en termes de covariances par la relation (h)=2 - C(h).
Ncessaire et suffisant, cas de deux variables
Si Cii(h), Cjj(h) et Cij(h) sont, individuellement, des
fonctions admissibles, alors la condition de Cauchy-Schwartz est
aussi suffisante.
C. Variogramme
Une combinaison linaire positive de modles admissibles est un
modle admissible.
i.e. (h) = b (h) est admissible bi=1
p
i2
i i
C.1 Condition ncessaire et suffisante pour un variogramme
Si le variogramme possde un palier, il suffit de vrifier si la
covariance correspondante est admissible. Les rsultats ci-haut
s'appliquent intgralement.
Si le variogramme ne possde pas de palier, alors seuls les
incrments sont stationnaires. De la mme faon, la drive (si elle
existe) est galement stationnaire. La covariance des drives doit
donc tre une fonction positive dfinie. Cette covariance est donne
en fonction du Laplacien du variogramme par:
La transforme de Fourier doit tre positive, i.e.
(note: la TF de (h) existe au sens des fonctions gnralises)
| (h)| (h) (h) i, jij ii jj
d h2C (h) = (h)
d d2
c (w) = TF [C (h)] = (iw ) TF [ (h)] 0
-
Vario, supp. 12
Il faut de plus que:
C.2 Conditions suffisantes pour un variogramme
Voir B.2, en remplaant C(h) par C(0)-(h).
C.3 Conditions ncessaires pour un variogramme
i.
ii.
iii.
iv. Dans le cas d'une fonction stationnaire (i.e. avec palier),
en R1, (h)
-
Vario, supp. 13
Ncessaire et suffisant, cas de deux variables
Si ii(h), jj(h) et ij(h) sont individuellement des fonctions
admissibles, alors la condition de Cauchy-Schwartz est aussi
suffisante.
D. Covariances gnralises
D.1 Condition ncessaire et suffisante
Soit K(h), une covariance gnralise d'ordre k. En drivant k+1
fois le processus Z on obtient un processus stationnaire. En
drivant 2(k+1) fois la covariance gnralise, on obtient une
covariance stationnaire dont la TF doit tre positive.
Il faut, pour que K(h) soit admissible que:
et
Note: Ces conditions sont analogues celles dduites pour le
variogramme, en posant k=0 et K(h)=-(h)
D.2 Condition suffisante pour une covariance gnralise
D.3 Condition ncessaire pour une covariance gnralise
D.4 Cas multivariable
| (h)| (h) (h) i, jij ii jj
TF d K(h)dh
= (iw ) TF [K(h)] 02k+2
2k+22k+2
lim K(h)h
= 0 h2k+2
lim K(h)h
= 0 h Infinity2k+2
-
Vario, supp. 14
Ncessaire et suffisant
Analogue au cas des variogrammes, les matrices des spectres de
puissance doivent tre positives semi-dfinies. Chaque fonction de
covariance gnralise, individuellement, est admissible.
E. Autres rsultats
Christakos (1984), propose deux mthodes pour construire de
nouvelles fonctions de covariance ou de variogramme. La premire
mthode utilise la fonction de densit spectrale. On gnre une
fonction positive dont l'intgrale existe. Sa TF est une fonction de
covariance admissible par construction. Christakos tablit de plus
le lien entre fonctions de densit spectrale dans Rn et Rn-k. La
seconde mthode tablit le lien entre variogrammes en Rn et
variogrammes en Rn-2. Connaissant un modle admissible en Rn, on
peut construire un nouveau modle admissible en Rn-2 par la relation
suivante:
F. EXEMPLES
1. Effet de ppite: (Christakos, 1992, p. 65)
C(h) = a (h) o (h) est la fonction de Dirac et a>0.
La transforme de Fourier est: 1(2 ) anpi o n est la dimension de
l'espace. Cette valeur est positive pour tout w. Christakos conclut
quelle est admissible (bien que le thorme de Bochner ne sapplique
pas dans ce cas)
On peut intuitivement accepter quelle est admissible en tenant
le raisonnement suivant: on peut toujours remplacer leffet de ppite
par un modle admissible transitif de trs faible porte.
2. Modle gaussien en R1 (Christakos, 1992, p.65)
C(h)= C(exp(-(h/a)2) La transforme de Fourier en Rn est:
n-2 n(h) = (h) + h
(n - 2) d (h)
dh
c(w) = 2
-
w
4 0
2piexp
-
Vario, supp. 15
c(w) est positif et l'intgrale existe. Par B.1, C(h) est donc
admissible en R1 (et on peut dmontrer que c'est le cas en R2,
R3....
Un argument simple permet de faire la dmonstration pour Rn. C(h)
peut en effet tre factorise en une srie de covariances gaussiennes
en R1. Un produit de covariances admissible est galement un modle
admissible (A).
3. Soit le modle en R1
Sa transforme de Fourier est:
Qui est positif et dont l'intgrale existe. Par consquent, ce
modle est admissible en R1 (B.1)
4. Soit le modle exponentiel en R3
C(h)= exp(-h/a) a>0 Examinons les conditions suffisantes B.2
La pente l'origine est -1/a < 0 la 1re condition est remplie La
2e condition est: h exp(-h/a) = 0 quand h tend vers l'infini. La 3e
condition donne: (h+a)/a3 exp(-h/a) >0
Le modle est donc admissible en R3
5. Soit, (h) = h1.5, en R1 Examinons C.1, on a: Cd(h) = .75
h-0.5 cd(w) = cte w-0.5 > 0 Donc, le modle est admissible
6. h2.1 n'est pas admissible car il croit plus rapidement que h2
(C.1)
C(h) = C
ha
cosh
c(w) = aC2 aw
2cosh pi
-
Vario, supp. 16
7. Le variogramme suivant: (h) = .25 h 0
