Vers un indicateur de la qualité des cours d’ eau…

Contexte et objectif

• Objectif :– Construire un indicateur pertinent synthétisant

par station et par année l’ ensemble des mesures de concentrations en nitrates, nitrites, orthophosphates et ammonium.

– Suivre l’évolution interannuelle

• Etude réalisée avec l’agence de l’eau Loire Bretagne et le MEDD

Indicateurs de la qualité de l’eau• Moyenne et quantile 90 des concentrations

par station, sur une année?

January February March April May June July August September October November December

Dates de prelevement

24

68

1012

14

conc

entr

atio

ns e

n ni

trat

es (

mg

NO

3 / L

)

• Meilleur suivi hivernal surestimation par les statistiques classiques

effectif moyenne quantile 9012 7,57 12,3918 8,51 13,35

Nuage de corrélation des moyennes statistiques calculées avec 12 ou 18 mesures sur une station

4 5 6 7 8

estimation de la moyenne annuelle par statistique classique (12 mesures)

45

67

89

10

estim

atio

n de

la m

oyen

ne p

ar s

tatis

tique

cla

ssiq

ue (

18 m

esur

es)

1989

1988

1993

1990

1995

1985

19911994

1986

19871992

Niveau réel et évolution interannuelle?

Modèle statistique sous jacentStatistique • Les concentrations sont des tirages

indépendants suivant une même loi Z dont on infère l’espérance

iz

January February March April May June July August September October November December

Date

510

15

Con

cent

ratio

ns e

n N

O3-

(m

g N

O3

/L)

Station 50500, concentrations en nitrate, 1985

nombre de jours

vari

og

ram

me

exp

éri

me

nta

l

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

01

02

03

04

0

Variogramme expérimental, environ 1 mesure par mois sur 15 ans ammonium Station 50500

217

216

217

216

214

214

304

227

206

215

247

204

204

215

205

201

202

205

198

200

254

208

193

202 24

019

419

319

919

1 186

186

212

185

185

218

189

178

182

239

179

176

179

179

172

171

190

169

170

181

176

164

170

234

165

163

168

165

157

157

174

155

155

158

158

150

153

193

151

148

156

164

143

141

159

140

139

144

149

135

137

164

135

131

139

147 12

812

713

512

612

4 126

141

119

120

138

123

116 12

113

711

3

pepite+spherique+cosinus 5.958 934.50419092 2.856 32.983 NA

Comment prendre en compte l’irrégularité de l’ échantillonnage et la corrélation temporelle?

• z(t) réalisation d’ une fonction aléatoire Z(t) présentant une corrélation temporelle

• On estime réalisation de

• Prise en compte de poids de krigeage

• Calcul de variance d’ estimation

1

T

Z t dtT

January February March April May June July AugustSeptember November

date

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

poid

s de

krig

eage

Exemple de calcul de poids de krigeage (6 mesures été + 12 mesures hiver)

1

T

z t dtT

Estimation de la moyenne annuelle

Estimation des moyennes annuelles des concentrations en NO3- sur la station 56000, par moyenne arithmétique et krigeage

23

45

678

91011

1213

1415

année

mo

yen

ne

+ o

u -

2 *

éca

rt-t

ype

d'e

stim

atio

n

krigeage (1 mes/mois)

moyenne arithmétique(1 mes/mois)

krigeage (ttes mes)

moyenne arithmétique(ttes mes)

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

1985

L’ indicateur actuel• Le quantile 90 :

– estimé par la règle des 90% (SEQ EAU)

– équivalent au quantile empirique

Exemple : 1-10 mesures -> valeur maximale retenue

11-20 mesures -> avant dernière valeur retenue et ainsi de suite…

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

probabilité

Z( 1 )

Z( 2 )

Z( 3 )

Z( 4 )

Z( 5 )

Z( 6 )

Z( 7 )

Z( 8 )

Z( 9 )

quan

tile

asso

cié

Règle des 90%

Problèmes de la règle des 90%

0 10 20 30

nombre de prélèvements

0.0

0.5

1.0

1.5

Esp

eran

ce d

u qu

antil

e

LOI NORMALE : estimation du quantile moyen en fonction du nombre de prélèvements

• Comme pour la moyenne : ne prend pas en compte les corrélations et l’irrégularité de l’ échantillonnage

• Estimateur biaisé dont le biais dépend de la fréquence d’échantillonnage.

Solution au problème du biais (1)

• Interpolation linéaire du quantile empirique

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

probabilité

Z( 1 )

Z( 2 )

Z( 3 )

Z( 4 )

Z( 5 )

Z( 6 )

quan

tile

asso

cié

Interpolation linéaire par morceaux de la fonction de quantile empirique (2)

quantile empiriqueinterpolation linéaire du quantile empirique

Solution au problème du biais (2)

10 20 30

nombre de prélèvements

0.6

0.8

1.0

1.2

Esp

eran

ce d

u qu

antil

eLOI NORMALE : estimation du quantile moyen

en fonction du nombre de prélèvements

(interpolation linéaire du quantile (2) )

Corrélations et irrégularité d’ échantillonnage : solutions (1)

• Méthode géométrique: segments d’ influence

• Mesures pondérées par la longueur du segment

• Problème : ne prend pas en compte les corrélations temporelles

2 3 4

d2/365,25 = poids2

365,25 jours

mesures 1

d1/365,25 = poids1

d3/365,25=poids3

d4/365,25 = poids4

Corrélation temporelle et irrégularité d’ échantillonnage : solutions (2)

• Changement de modèle : les mesures sont les réalisations d’une fonction aléatoire

• On affecte aux mesures les poids de krigeage de la moyenne annuelle.

• Méthode mieux adaptée mais plus difficile à automatiser

Exemple : influence des poids

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Y

05

1015

Z

quantile empirique

**

*

**

*

**

*

** *

*

* * *

*

* *

quantile empirique

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Y

05

1015

Z

xx

x

xx

x

xx

x

xx x

x

x x x

x

x x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Y

05

1015

Z

**

*

**

*

**

*

** *

*

* * *

*

* *

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Y

05

1015

Z

xx

x

xx

x

xx

x

xx x

x

x x x

x

x x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Y

05

1015

Z

. quantile réelavec poids, droite d'influence

* sans poidsavec poids de krigeage

Evolution du biais pour des échantillons corrélés

0 10 20 30

nombre de prélèvements par an

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

quan

tile

moy

en s

ur 1

000

prél

èvem

ents

sans poidsavec poids de krigeagequantile réel

Evolution du quantile moyen en fonction du nombre de prélèvements,

chronique de loi normale et de covariance sphérique (portee 100 palier 1 )

échantillonnage irrégulier, règle des 90%

10 20 30

nombre de prélèvements par an

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

quan

tile

moy

en e

stim

é su

r 10

00 s

imul

atio

ns

Evolution du quantile moyen en fonction du nombre de prélèvements,

chronique de loi normale et de covariance sphérique (portée 100 palier 1 )

échantillonnage irrégulier, règle des 90% linéarisée

Evolution des indices au cours du temps : surveillance hivernale

12 13 14 15 16

quantile estimé avec 12 mesures régulières

1213

1415

1617

quan

tile

estim

é av

ec 1

8 m

esur

es (

6 ét

é +

12

hive

r)

1995

1993

19901994

19921991

19931995

1991

1992

19941990

1995

1994

1990

1993

1992

1991

méthodes statistiquesméthodes géostatistiquesquantile réel

Evolution du quantile 90 en fonction de l'échantillonnageet de l'échantillonnage et de la méthode. Orléans, nitrates, 1990-1995

Nitrates sur la Loire : évolution des quantiles

1996 1998 2000 2002

annee

2530

3540

45

quan

tile

18

18

18

18

18

18

18

14

18

18

18

18

18

18

18

14

Evolution des quantiles par statistique et geostatistique, nitrates, station 123000

1985 1990 1995 2000

annee

68

10

12

14

qu

an

tile

8

1210

6

6

6

6

6

66 6

6

1212

12

12

126

8

12

10

6

6

6

6

6

66 6

6

1212

12

12

126

Evolution des quantiles par statistique et geostatistique, nitrates, station 13000

Conclusions - perspectives

• Le meilleur estimateur du quantile 90 dans le cadre de l’évaluation de la qualité des cours d’eau est :

– Interpolation linéaire du quantile– Prise en compte des poids de krigeage

• Intervalles de confiance?• Par la suite, comment construire un

indicateur pour un ensemble de stations?