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VI – Rang d’une matrice
Mots clés : Rang
• Exemple :
1 2 3
1 2 4
0 1 2 1 5 5 1 0 3 0 1 0
2 2 10 0 4 4 0 1 2 0 1 2
2 2 10 1 8 7 0 0 0 1 4 3
2 4 14 2 14 14 0 0 0 0 0 0
3 lignes non nulles : , et
Rang( )=3
3 colonnes pivots : , et
LA R
R R R
A
R R R
Définition 1 : Rang d’une matrice
• Exemple :
1 0 2 3 1 2 8 11
0 1 3 4 0 3 9 12
1 1 5 7 1 0 2 3
1 0 2 3 1 0 2 3
0 1 3 4 0 1 3 4
1 1 5 7 0 0 0 0
1 2 8 11 1 0 2 3
0 3 9 12 0 1 3 4
1 0 2 3 0 0 0 0
Rang( )=Rang( )=2
L
L
L
A B
A R
B R
A B
Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang
Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang
• Exemple :
0 0 01 0 2 3 1 0 2 3
0 0 00 1 3 4 0 1 3 4
0 0 01 1 5 7 0 0 0 0
0 0 0
Rang( )=2 Rang( )=0
0 0 01 0 2 3 0 0 0
0 0 0= 0 1 3 4 0 0 0 Rang( )=0
0 0 01 1 5 7 0 0 0
0 0 0
LA R B
A B
AB AB
Proposition 1 : rang(AB) rang(A)
Proposition 1 : rang(AB) rang(A)
• Exemple :
1 0 0 01 0 2 3 1 0 2 3
0 1 0 00 1 3 4 0 1 3 4
0 0 1 01 1 5 7 0 0 0 0
0 0 0 1
Rang( )=2 Rang( )=4
1 0 0 01 0 2 3 1 0 2 3
0 1 0 0= 0 1 3 4 0 1 3 4 Rang( )=2
0 0 1 01 1 5 7 1 1 5 7
0 0 0 1
LA R B I
A B
AB AB
Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A)
Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A)
• Exemple :
t
1 0 01 0 2 3 1 0 2 3
0 1 00 1 3 4 0 1 3 4
2 3 01 1 5 7 0 0 0 0
3 4 0
n'est pas (nécessairement) une l.r.e
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1' Rang( )=2=Rang( )
2 3 5 0 0 0
3 4 7 0 0 0
L t
t
Lt
A R R
R
A R A A
Théorème 5 : rang(tA)=rang(A)
• Exemple :
1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 1
0 1 3 4 0 1 3 4 3 1 0
1 1 5 7 0 0 0 0 1 0 0
Rang( )=2 Rang( )=3 ( est inversible)
1 0 1 1 0 2 3 2 1 7 10
= 3 1 0 0 1 3 4 3 1 9 13
1 0 0 1 1 5 7 1 0 2 3
2 1 7 10
= 3 1 9 13
1 0 2 3
LA R B
A B B
BA
BA
1 0 2 3
' 0 1 3 4
0 0 0 0
Rang( )=2=Rang( )
L R
BA A
Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A)
Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A)
VI – Systèmes linéaires
Mots clés : Equations, Inconnues, Constantes, Coefficients, Système homogène, Système trivial, Système incompatible, Inconnues pivots, Inconnues libres, Solution homogène, Solutions canoniques.
Définition 1 :
1 2 31
1 2 3
1 2
2 1 2
1 2
Exemple : 1
5( ) :
2 4
Exemple : 2
2
( ) : 0
2 4
x x x
x x x
x x
x x
x x
• p=3 inconnues x1, x2 et x3
• n=2 équations
• n=2 constantes -5 et 4
• nxp=2x3=6 coefficients
• p=2 inconnues x1 et x2
• n=3 équations
• n=3 constantes 2, 0 et 4
• nxp=3x2=6 coefficients
Remarque 1
1 2 31
1 2 3
1 2
2 1 2
1 2
Exemple : 1
5( ) :
2 4
Exemple : 2
2
( ) : 0
2 4
x x x
x x x
x x
x x
x x
1
1 2
3
12
2
1 1 1 5( ) :
2 1 1 4
1 1 2
( ) : 1 1 0
2 1 4
x
x
x
x
x
Définition 2
1 2 31
1 2 3
1 2
2 1 2
1 2
Exemple : 1
0( ) :
2 0
Exemple : 2
0
( ) : 0
2 0
x x x
x x x
x x
x x
x x
1
1 2
3
12
2
1 1 1 0( ) :
2 1 1 0
1 1 0
( ) : 1 1 0
2 1 0
x
x
x
x
x
Définition 3
1 2 31
1 2 3
1
Exemple : 1
5( ) :
2 4
1 2 4 5( ) :
2x1 2 4 4
x x x
x x x
1
11 1 1 5
( ) : 22 1 1 4
4
• s1=1 , s2= 2, s3= 4 est une solution du système :
• Remarque 2 :
Rappel : C=AB les colonnes de C sont des combinaisons linéaires des colonnes de A : Cj=ABj
et K (=AX) est une matrice colonne.
• Remarque 3 : En effet : A0=0
Définition 4 :
1 2
2 1 2
1 2
2
Soit le système : ( ) : 0
2 4
x x
x x
x x
• La somme des deux premières équations donne 2x1=2 d’où x1=1.
• En remplaçant dans la 2eme équation on obtient x1=x2=1
• En remplaçant dans la 3eme équation on obtient 3=4
• Impossible! donc le système est incompatible
• On a vu que le système de l’exemple 1 est compatible
Remarque 4 :
• Le système est compatible si et seulement si K appartient à l’ensemble engendré par les colonnes de A.
• En effet Théorème 1 : AB=C CJ =ABJ
• Donc AX=K K =AX
Définition 5 : Deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions
• Remarque 5 : Cette relation est une relation d’équivalence– Réflexive
– Symétrique
– Transitive
Proposition 1 : Soit AX=K un système linéaire et (A|K) sa matrice augmentée. Si (A|K) est ligne-équivalente à (B|H) alors AX=K et BX=H sont équivalents
En pratique :
1 2 31
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3
Exemple : 1
5( ) :
2 4
5
0 3 14
0 2 9
0 3 14
2 9
3 14
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
21
12
( 2)
(1)
1 1 1 5( | )
2 1 1 4
1 1 1 5
0 1 3 14
1 0 2 9
0 1 3 14
Plus simple à résoudre
L
L
A K
• En donnant des valeurs à x3 on obtient celles de x1 et x2
Définition 6 :
1 2 31
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Exemple : 1
5( ) :
2 4
0 2 9
0 3 14
x x x
x x x
x x x
x x x
1 1 1 5( | )
2 1 1 4
1 0 2 9( | )
0 1 3 14
A K
R H
• Deux inconnues pivots : x1 et x2 une inconnue libre : x3
Théorème 6 :
1 2
2 1 2
1 2
2
Exemple : 2 ( ) : 0
2 4
1 1 2 1 0 0
( | ) 1 1 0 0 1 0 ( | )
2 1 4 0 0 1
( | ) 3 2 ( )
x x
x x
x x
A K R H
rg R H rg R
• Le système est donc incompatible
Théorème 6 :
1 23
1 2
2 2 10Exemple : 3 ( ) :
3 2 12
2 2 10 1 0 2( | ) ( | )
3 2 12 0 1 3
( | ) 2 2 ( ) 2 (nb d'inconnues)
x x
x x
A K R H
rg R H rg R p
• Le système admet donc une solution unique : x1=2 ; x2=3
Théorème 6 :
1 2 31
1 2 3
5Exemple : 1 ( ) :
2 4
1 1 1 5 1 0 2 9( | ) ( | )
2 1 1 4 0 1 3 14
( | ) 2 2 ( ) 3 (nb d'inconnues)
x x x
x x x
A K R H
rg R H rg R p
• Le système admet donc une infinité de solutions
Remarque 5 :
1 2 31
1 2 3
1 3 1 3
2 3 2 3
5Exemple : 1 ( ) :
2 4
1 1 1 5 1 0 2 9( | ) ( | )
2 1 1 4 0 1 3 14
( | ) 2 2 ( ) 3 (nb d'inconnues)
2 9 2 9ou encore
3 14 3 14
x x x
x x x
A K R H
rg R H rg R p
x x x x
x x x x
• Par exemple : x3=4 on obtient : x1=1 et x2=2 ou : x3=5 on obtient : x1=-1 et x2=-1
Définition 7 : L’ensemble solution d’un système linéaire homogène AX=0 est appelé noyau de la matrice A. On le note Ker(A)
• Proposition 2 : Soit un système linéaire homogène AX=0 alors :
• (a) 0Ker(A)
• (b) Si S1Ker(A) et S2Ker(A) alors S1+ S2Ker(A)
• (c) Si SKer(A) et R alors S1Ker(A)
Définition 8 :
2 3 4 5 6
1 2 3 5 64
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2 5 5 0
2 2 10 4 4 0Exemple 4 : ( ) :
2 2 10 8 7 0
2 4 14 2 14 14 0
0 1 2 1 5 5 1 0 3 0 1 0
2 2 10 0 4 4 0 1 2 0 1 2
2 2 10 1 8 7 0 0 0 1 4 3
2 4 14 2 14 14 0 0 0 0 0 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
A
R
• 3 inconnues pivots : x1 , x2 et x4
3 inconnues libres : x3 , x5 et x6
Définition 8 :
1 3 5
2 3 5 6
4 5 6
1 3 5
2 3 5 6
3 3
4 5 6
5 5
6 6
3
2 2
4 3
3
2 2
4 3
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x xS
x x x
x x
x x
Définition 8 :
1 3 5
2 3 5 6
3 3
4 5 6
5 5
6 6
1 2 3
3
2 2
4 3
3 1 0
2 1 2
1 0 0
0 4 3
0 1 0
0 0 1
x x x
x x x x
x xS
x x x
x x
x x
S S S
• 3 solutions canoniques
Théorème 7 :
2 3 4 5 6 1
1 2 3 5 6 24
1 2 3 4 5 6 3
1 2 3 4 5 6 4
Exemple 4 bis :
2 5 5
2 2 10 4 4( ) :
2 2 10 8 7
2 4 14 2 14 14
x x x x x k
x x x x x k
x x x x x x k
x x x x x x k
Théorème 7 :
1
2
3
4
1
2
3
4
0 1 2 1 5 5
2 2 10 0 4 4( | )
2 2 10 1 8 7
2 4 14 2 14 14
1 0 3 0 1 0
0 1 2 0 1 2( | )
0 0 0 1 4 3
0 0 0 0 0 0
k
kA K
k
k
h
hR H
h
h
• 3 inconnues pivots : x1 , x2 et x4
• 3 inconnues libres : x3 , x5 et x6
Théorème 7 :
1 1 2 2 3 3
1 1
2 2
3 31 2 3
4 4
5 5
6 6
3 1 0
2 1 2
1 0 0
0 4 3
0 1 0
0 0 1
S S S S P
x p
x p
x pS
x p
x p
x p
• S= Sh+Sp