#1. Les frayèresLes milieux où les poissons vont se reproduire, appelés frayères, sont des écosystèmes aquatiques que l’activité humaine peut fragiliser. Les gouvernements les protègent donc à l’aide de normes et de règlements très stricts. Par exemple, les entreprises forestières doivent garder intacts les cours d’eau et les habitats qu’ils constituent.

En tant que spécialiste en aménagement du territoire, tu étudies une rivière afin de déterminer l’endroit où se reproduisent les ombles de fontaine, une espèce de poissons très répandue au Québec et prisée par les pêcheurs. Après une première analyse, tu as repéré trois zones de frai possibles. Toutes les zones ont une surface équivalente, mais certaines de leurs caractéristiques diffèrent.

Voici une partie d’une carte géographique sur laquelle on aperçoit une section de la rivière. À même la carte, tu as délimité les trois zones, indiqué quelques mesures et tracé un plan cartésien dans le but de déterminer certaines coordonnées.

Tu as réussi à relever certaines caractéristiques des trois zones, mais tu n’as pu mesurer précisément leur largeur. Le tableau ci-dessous rassemble les caractéristiques que tu as réussi à identifier pour chaque zone.

Tableau 1 : Les caractéristiques de chaque zone

Caractéristique Zone A Zone B Zone C

Vitesse du courant (m/s) Non disponible Non disponible Non disponible

Température de l’eauen période de frai (°C) 4 7 9

Profondeur de la rivière (cm) 12 15 24

Diamètre du gravier1 (cm) Environ 4 Environ 2,5 Environ 1

Dimensions (m)Longueur : distance entre

P (–9, –4) et R(–1, 7)Largeur : a

Longueur : 12Largeur : b

Longueur : c + 5Largeur : c

1

La largeur de la rivière détermine la vitesse du courant. En période de frai, cette relation peut être modélisée par la fonction suivante : f(x) – 15(1,1434)-x, où x est la largeur de la rivière, en mètres, et f(x), la vitesse du courant, en mètres par seconde.

En faisant quelques recherches dans Internet, tu as trouvé les informations suivantes sur le site du ministère des Ressources naturelles et de la Faune (MRNF).

Tableau 2 : Les caractéristiques optimales d’une frayère pour l’omble de fontaineCaractéristique Intervalle de valeurs optimales

Vitesse du courant (m/s) [0,4, 0,9]Température de l’eau (°C) [2, 10]Profondeur de la rivière (cm) [10, 30]Diamètre du gravier (cm) [0,9, 5]

Tableau 3 : La survie des alevins (jeunes poissons) selon le diamètre du gravierDiamètre du gravier (cm) Taux de survie (%)

[0,9, 1,4[ 75

[1,4, 1,9[ 79

[1,9, 2,4[ 84

[2,4, 2,9[ 86

[2,9, 3,4[ 86

[3,4, 3,9[ 85

[3,9, 4,4[ 81

[4,4, 4,9[ 85

À l’aide de toutes les données que tu as recueillies, détermine l’endroit où l’omble de fontaine se reproduit en choisissant la zone qui a le meilleur potentiel de frai. Fournis tous les calculs nécessaires et explique ton raisonnement.

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#2. Du boulot au labo !

Julia effectue une expérience pour étudier l’effet Joule, c’est-à-dire la puissance (P) dissipée par différents conducteurs d’électricité. Pour ce faire, elle observe la quantité de chaleur dissipée par un fil parcouru d’un courant électrique. La puissance ainsi perdue dépend de deux facteurs : l’intensité du courant électrique (I) et la résistance (R) du matériau composant le fil.

Voici les données recueillies par Julia durant l’expérience sur l’effet Joule. La manipulation consistait à mesurer la perte de puissance (P) dans un fil de cuivre, puis dans un fil d’aluminium, en faisant varier l’intensité du courant (I).

Puissance dissipée selon l’intensité du courant dans un fil de cuivre

Intensité du courant électrique (Ampère)

Puissance dissipéepar effet Joule (Watt)

0 00,5 0,011 0,03

1,5 0,082 0,14

2,5 0,203 0,31

3,5 0,404 0,54

4,5 0,695 0,85

Julia n’a pas eu le temps de compléter l’expérience avec le fil d’aluminium, mais elle sait que la résistance de l’aluminium (0,054Ω ) est plus élevée que celle du cuivre (0,034Ω ).

Représente graphiquement la puissance dissipée par un fil de cuivre en fonction du courant. À partir de ce graphique, trouve la règle qui modélise la relation entre la puissance dissipée et l’intensité du courant dans un fil d’aluminium.

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#3. Santé !

On observe un plus grand risque de maladies cardio-vasculaires et de diabète chez les personnes ayant un surplus de poids. Dans le cadre d’une campagne de sensibilisation, une nutritionniste prépare un dépliant sur les dangers reliés à l’obésité chez l’adulte. Un des outils utilisés pour mesurer l’obésité est l’indice de masse corporelle, IMC, qui propose un rapport entre la masse (en kilogrammes) et le carré de la taille (en mètres) d’une personne.

IMC =

massetaille2

Cet indice est valable pour les personnes entre 18 et 65 ans qui ne pratiquent pas un sport de haut niveau, car la masse musculaire importante chez ces athlètes vient fausser les résultats. Bien qu’il ne s’agisse pas de l’indice le plus précis, sa simplicité le rend populaire.

Pour son dépliant, la nutritionniste te demande de tracer un graphique présentant le niveau de santé attribué aux adultes en fonction de leur IMC et de fournir un exemple de calcul permettant d’expliquer clairement à la population comment utiliser cet outil.

Voici les données scientifiques qu’elle a recueillies pour t’aider à accomplir ta tâche :

Tableau 1 :Calcul de la cote de santé

en fonction de l’IMC

Tableau 2 :Niveau de santé

selon la cote attribuéeIMC Calcul mathématique de

la cote

IMC < 16,5 [IMC17 ]16,5 ¿ IMC < 18,5

[0,1[0,5(IMC + 1,5)] + 0,1]

18,5 ¿ IMC < 25 [0,5[ 213 (IMC+1 ) ]+0,5 ]25 ¿ IMC < 45 [IMC5 ]−2

IMC ¿ 456[IMC45 ]

Cote attribuée Niveau de santé

0 Dénutrition

1 Maigreur

2 Poids santé

3 Surpoids

4 Obésité modérée

5 Obésité sévère

6 Obésité morbide

Laisse des traces détaillées de ta démarche.

5

6

#4. Agronomie algébrique

Une agronome est une scientifique spécialisée dans le domaine de l’agriculture. Elle possède des connaissances, entre autres, sur les types de sols, les végétaux, les engrais, les fertilisants, ainsi que sur les impacts écologiques d’une exploitation agricole. C’est grâce à ces connaissances qu’elle peut proposer des solutions aux agriculteurs qui font appel à ses services pour améliorer leur production.

Adrien est agriculteur et demande à une agronome de l’aider à maximiser le rendement de ses terres. Son terrain rectangulaire est séparé en quatre parties : l’une est réservée au maïs, une autre à la culture du blé, une est un pâturage et la dernière est demeurée boisée. Après avoir analysé les besoins et les ressources d’Adrien, l’agronome lui propose de séparer son terrain en quatre parties rectangulaires, dont voici les caractéristiques :

• Le rapport entre la superficie du champ de maïs et celle de la partie boisée sera de

x2−8 x+15x2−25 .

• Le rapport entre la superficie du champ de maïs et celle du champ de blé sera de x2−8x+15

3x2−9 x+5xy−15 y .• Le reste de la superficie est réservé aux pâturages pour les animaux.

Détermine la proportion du terrain d’Adrien qui ne sera pas consacrée à des champs de céréales. Laisse des traces de ton raisonnement.

#5. Quelle maladresse !

Tu as répandu ta boisson gazeuse sur le devoir de mathématiques de Tommy.Sur la partie de la page encore lisible, on réussit à obtenir les informations suivantes :• Le polynôme de départ est de degré deux, de la forme ax2 + bx + c.• Le problème consistait à déterminer les valeurs de x pour lesquelles le polynôme vaut 100.• Pour résoudre son problème, Tommy avait factorisé par complétion du carré. Il avait obtenu trois

facteurs, dont voici les deux premiers : 0,5 et (x – 12 + √158 ).

De plus, Tommy se souvient que :• b ∈ ;• c ∈ | 0 ¿ c ¿ 100.

Avec ces seuls indices, tu dois déterminer quel était le polynôme de départ et réparer ta maladresse en résolvant le problème de Tommy. Chaque partie de ta tâche doit être clairement expliquée.

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#6. Pigeon droit devant !

Inventé à l’origine pour les chasseurs d’oiseaux, le tir au pigeon d’argile compte aujourd’hui de nombreux adeptes. Il est possible de varier le niveau de difficulté pour les tireurs en modifiant certains paramètres. Par exemple, on peut changer les dimensions du pigeon et la trajectoire de la cible. Dans les centres de tir, le pigeon est projeté à une hauteur de 50 m alors que dans les compétitions internationales, il atteint une hauteur de 70 m.

Le propriétaire d’un centre de tir au pigeon d’argile affirme dans sa publicité avoir modifié un de ses appareils de tir afin de projeter les pigeons aussi haut que ceux des compétitions internationales. Un de tes amis, qui travaille dans ce centre les fins de semaine, met en doute l’affirmation de son patron. Cet ami a recueilli les renseignements suivants :

• Sur l’appareil standard, on peut lire que le projectile, lorsque les vents sont négligeables, suit une trajectoire donnée par la règle : f(x) = -0,03125x2 + 2,5x, où x représente la distance horizontale par rapport à l’appareil et f(x), la hauteur du projectile.

• En ramassant les débris au sol, ton ami remarque que les pigeons projetés par l’appareil modifié qui n’ont pas été touchés par les tireurs se retrouvent 80 m plus loin que les pigeons intacts projetés par l’appareil standard.

• L’appareil modifié se trouve à 2,5 m devant l’appareil standard. De plus, quand les deux appareils sont activés en même temps, les pigeons entrent en collision au point le plus élevé de la trajectoire de l’appareil standard.

Émets une conjecture à propos de la publicité du propriétaire du centre de tir. Explique ton raisonnement.

#7. Sirop de météo

Les conditions météorologiques sont très importantes en acériculture, car le temps et la température influent largement sur la productivité des érablières. En effet, les érables produisent leur eau sucrée lorsque la température varie entre 4°C et 12°C. Elle doit aussi s’être maintenue sous le point de congélation durant la nuit.

La température d’une certaine journée d’avril est représentée par l’équation suivante :

C(t) =−1249

t 2+487t−33

, où t représente le temps en heures depuis minuit et C(t), la température en degrés Celsius.

À partir de ces données, tu dois expliquer à un acériculteur durant combien de temps ses érables ont coulé durant cette journée. Donne l’intervalle de temps durant lequel les érables ont coulé et accompagne ton explication d’un support visuel.

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#8. Confusion expérimentale

Roxane et Angela doivent déterminer la nature d’un liquide inconnu qui leur est remis en laboratoire. Elles n’ont qu’une balance à fléau et un cylindre gradué pour identifier la substance qu’elles ont entre les mains. Elles connaissent aussi la masse volumique de quelques substances. Elles ont appris que la masse volumique est une propriété caractéristique permettant l’identification d’une substance. On la définit comme le rapport entre la masse et le volume d’une substance donnée. Elles décident donc de déterminer la masse volumique de plusieurs échantillons de la substance inconnue afin d’en déterminer la nature le plus précisément possible.

Masse volumique de certaines substancesSubstance Masse volumique (g/mL)Huile de lin 0,94

Eau 1,00Acide acétique 1,05

Glycérine 1,26

Résultats expérimentaux : échantillons de la substance inconnueÉchantillon 1 2 3 4 5 6 7 8

Volume (mL) 4,9 7,3 9,7 12,4 14,8 15,8 17,2 19,8

Masse (g) 5,14 7,46 10,08 12,53 14,93 16,03 17,32 18,14

À l’aide de leurs résultats expérimentaux, Roxane et Angela complètent leur rapport de laboratoire à la maison et se rendent compte le lendemain matin que leurs conclusions diffèrent. Elles te présentent leurs résultats respectifs et te demandent de déterminer qui a raison.

Méthode de Roxane :

P1(8,58, 8,80)P2(16,9, 16,61)

Taux de variation de la masse en fonction du volume :

a ¿ 0,94

Comme le taux de variation de la droite représente la masse volumique, je conclu que la substance inconnue est de l’huile de lin.

Méthode d’Angela :M1(7,3, 7,46)

M2(13,6, 13,73)

M3(17,2, 17,32)

Taux de variation de la masse en fonction du volume :

a ¿ 1

Comme le taux de variation de la droite représente la masse volumique, je conclu que la substance inconnue est de l’eau distillée.

À partir des informations données, explique ce qui s’est produit et détermine la nature de leur échantillon.

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#9. Journal économique

Marc-Alexandre et toi écrivez pour le journal étudiant de votre école. Pour votre article de ce mois-ci, Marc-Alexandre te propose de vérifier si les hausses du salaire minimum suivent l’augmentation de l’indice des prix à la consommation au Québec. Il te remet le tableau de données ci-dessous et te demande de l’analyser pour compléter son article. Il a déjà rédigé le début de son article et compte sur toi pour le terminer, en présentant une analyse juste et détaillée des données. Tu peux ajouter des éléments visuels au texte.

Année Salaire minimum IPC (Québec)1997 6,70 90,81998 6,80 92,11999 6,90 93,52000 6,90 95,82001 7,00 98,02002 7,20 100,02003 7,30 102,52004 7,45 104,52005 7,60 106,92006 7,75 108,72007 8,00 110,42008 8,50 112,7

Adapté de : Institut de la statistique du Québec et Statistique Canada

« Chers lecteurs, ce mois-ci, nous vous proposons une petite leçon d’économie ! Vous connaissez certainement la notion de salaire minimum. Il s’agit du salaire horaire de base qu’un employeur doit vous payer.

Vous êtes probablement moins nombreux à connaître l’IPC. Il s’agit de l’indice des prix à la consommation. L’IPC est établi chaque mois en calculant le coût de certains biens et services achetés par un Québécois type. Il tient compte des coûts de logement, de nourriture, de trans- port, de divertissement, etc. Les biens et services utilisés dans le calcul de L’IPC sont toujours les mêmes. Par exemple, les biens et services qui coûtaient 100 $ en 2002 coûtaient 104,50 $ en 2004. On peut donc dire qu’entre 2002 et 2004, les prix ont augmenté de 4,5 %. »

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#10. La preuve

Yanic prétend que, dans tous les quadrilatères convexes, les diagonales forment des triangles isométriques deux à deux. Carmen croit que l’affirmation est fausse. Ils te demandent de déterminer qui a raison. À partir d’au moins trois différents types de quadrilatères, émets une conjecture sur l’énoncé de Yanic. Ton raisonnement doit être clair et structuré.

#11. Du nouveau dans les labos

Les béchers sont indispensables au travail en laboratoire. Leur rangement peut toutefois occasionner des problèmes d’espace, étant donné leur forme cylindrique. Une entreprise désire mettre sur le marché des béchers ayant une base carrée, ce qui permettrait de minimiser l’espace de rangement nécessaire. Dans un premier temps, l’entreprise veut créer des béchers équivalents à ceux qui ont une capacité de 250 mL, de 400 mL et de 800 mL. La hauteur de tous leurs béchers doit être la même que celle du bécher standard de 400 mL. On te charge de la conception des trois modèles de base, mais en cours de route, tu t’aperçois qu’il est impossible de concevoir des béchers exactement équivalents à ceux qui existent déjà. Tu devras donc faire les plans avec des mesures qui tendent vers les dimensions visées, en expliquant pourquoi il est impossible d’obtenir la parfaite équivalence souhaitée.

Rappel : 1 mL = 1 cm3.

Dimensions des béchers cylindriquesCapacité du bécher (mL) Diamètre (mm)

250 70400 80800 100

Vue de haut du rangement

des béchers

Bécher de 400 mL

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#12. Des lettres et des chiffres !

Dans l’illustration ci-dessous, on demande de déterminer la hauteur relative à l’hypoténuse du triangle CEF. Ton amie Cynthia affirme qu’il est impossible de trouver une valeur numérique, parce que certaines mesures sont données uniquement en fonction des variables a et x. Détermine la mesure recherchée, puis émets une conjecture sur l’affirmation de Cynthia. Laisse des traces claires de ton raisonnement.

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#13. Vive la fête !

Pierre et Maxime sont embauchés par une municipalité pour organiser la fête qui termine le carnaval. À l’aide de frondes particulières, ils veulent faire éclater des balles remplies de confettis sur le parcours du grand défilé.

Pierre se place sur le toit de la bibliothèque municipale, à 8 m de hauteur. En utilisant le drapeau situé sur le mât en face de cet édifice comme repère, il remarque, après plusieurs essais, que la balle lancée atteint une hauteur maximale de 10 m au bout de 4 secondes, et que sa trajectoire suit une courbe parabolique.

Pendant ce temps, Maxime reste au sol, le dos appuyé au mur de l’édifice, et vise le haut du mât avec sa fronde. Selon ses calculs, on peut modéliser la hauteur de sa balle par une droite dont la pente est de 0,7 m à la seconde.

Les deux amis s’alignent sur le même plan et préparent leur lancer. Ils souhaitent calculer la hauteur et le moment où les deux balles entreront en collision, libérant ainsi les confettis.

Maxime croit que les balles se frapperont à près de 7 m du sol. Pierre croit plutôt que les balles se toucheront plus tard, à 5,5 m du sol, puisque Maxime met toujours deux secondes à lancer la balle après le son du sifflet de départ, ce qui veut dire que les deux balles ne partent pas en même temps.

D’après toi, lequel des deux amis a raison quant à la hauteur où les balles entreront en collision ?

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#14. L’impossible !

L’enseignant de mathématique de Jasmine lui demande de résoudre le système d’équations suivant :

{ y1=− 2x 2+ 4 x+2 ¿ ¿¿¿Après plusieurs essais de résolution algébrique, elle n’arrive pas à trouver une solution à ce système d’équations.

À l’aide de la méthode de comparaison, elle obtient ceci :

–2x2 + 4x + 2 = 43x+4

–2x2 + 83x−2

= 0Mais lorsqu’elle utilise sa calculatrice pour résoudre cette dernière équation à l’aide de la formule

b±√b2−4ac2a , elle obtient un message d’erreur.Perplexe, elle te demande de lui expliquer ce qui ne va pas. Ton explication doit comprendre un support visuel, afin de bien lui présenter la situation.

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15. Encore Pythagore!

La relation de Pythagore est fréquemment utilisée en géométrie pour déterminer une mesure de côté manquante dans un triangle rectangle. Sa réciproque est aussi utile pour déterminer si un triangle possède un angle droit. On l’énonce comme suit :

« Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. »

Autrement dit, si, dans un triangle dont le plus grand côté mesure c et les deux autres mesurent respectivement a et b, la relation c2 = a2 + b2 est respectée, alors ce triangle est rectangle.

Ta coéquipière Katia croit pouvoir prouver ce théorème à l’aide de ses connaissances en trigonométrie. Elle a commencé sa démonstration ainsi :

Soit un triangle ABC dans lequel c2 = a2 + b2.On veut prouver que ce triangle est nécessairement rectangle, sans utiliser la réciproque de la relation de Pythagore.

Remplis le tableau affirmation-justification commencé par Katia.

Affirmation Justification

c2 = a2 + b2 – 2ab • cos C La loi des cosinus est valide dans tous les triangles, qu’ils soient rectangles ou non.

Transitivité de l’égalité, puisque c2 = a2 + b2

cos C = 0

C = 90° Calcul

Le triangle ABC est rectangle. L’angle C mesure 90°.

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