Devoir surveillé

MATHEMATIQUES

ECO2Durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n’est autoriséAucun document n’est autorisé

Les étudiants sont invités à soigner la présentation de leur copie

EXERCICE 1 : AlgèbreLes deux parties sont indépendantes

PARTIE A : algèbre dans

Soit

l’endomorphisme de dont la matrice, relativement à la base canonique

de , est

1) Déterminer une base et la dimension du noyau de .2) L’endomorphisme est-il un automorphisme de  ? Justifier votre réponse 3) Déterminer une base de l’image de

4) Montrer que est une base de 5) Donner la matrice de l’endomorphisme relativement à la base 6) Donner la matrice de passage de la base à la base

7) Rappeler le lien matriciel entre les matrices8) Donner l’instruction Scilab que vous devez taper sur la console pour obtenir

l’affichage de la matrice

Partie B : algèbre dans

A tout élément de on fait correspondre le polynôme tel que :

1) Montrer que l’on définit ainsi un endomorphisme de

2) Ecrire la matrice de dans la base canonique de3) Déterminer une base de l’image de

4) Déterminer une base du noyau de

On note l’identité dans et on considère un réel

a) Montrer que est bijectif sauf pour un nombre fini de valeurs de que l’on précisera

b) On appelle la plus grande des valeurs trouvées en 4)a). Déterminer le noyau de

EXERCICE 2 : Analyse (LYON 2000)

On considère la fonction définie, pour tout , par :

1) Montrer que est continue sur

2) Montrer que est de classe sur et sur

3) Montrer que la fonction est dérivable en 0 et préciser

4) Pour tout réel , calculer

5) Montrer que tend vers lorsque tend vers 0

6) En déduire que la fonction est de classe sur

7) Montrer que ,8) En déduire le tableau des variations de la fonction (on précisera les limites de la

fonction en et en )

9) Montrer que, pour tout , l’intégrale existe

On considère la fonction définie, pour tout , par

10) Montrer que la fonction est dérivable sur et que la fonction est

croissante sur

11) Montrer que , 12) En déduire la limite en de la fonction

13) Montrer que l’intégrale est convergente

14) En déduire que la fonction admet une limite finie en .On ne cherchera pas à calculer cette limite

EXERCICE 3 : Probabilités (LYON 1997)

On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité

d’apparition de «pile» soit égale à . On pourra noterSoit un entier naturel non nul fixé.On effectue lancers du dé ; si n est le nombre de "6" obtenus, on lance alors n fois la pièce.On définit trois variables aléatoires de la manière suivante :

indique le nombre de "6" obtenus aux lancers du dé indique le nombre de "piles" obtenus aux lancers de la pièce indique le nombre de "faces" obtenues aux lancers de la pièce

Ainsi et si prend la valeur 0, alors et prennent la valeur 0.1) Préciser la loi de , son espérance et sa variance.2) Recopier et compléter le script suivant pour qu’il simule la loi de , calcule et

affiche la valeur prise par la variable aléatoire  :

3) Pour , , déterminer la probabilité conditionnelleOn distinguera les cas et

4) Montrer, pour tout couple d'entiers naturels :

Si alors

Si ou alors

5) Calculer la probabilité

6) Montrer pour tout couple d'entiers naturels tel que  :

.En déduire la probabilité

7) Montrer que la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et Quelle est la loi de la variable aléatoire ?8) Est-ce que les variables aléatoires et sont indépendantes ?

Déterminer la loi du couple 9) En comparant les variances de et de , déterminer la covariance du couple