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o Éditeur LECARPENTIER Jean-Françoisavenue d'Agde 34810 Pomérols

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Table des matières

A lire impérativement avant de commencer 5

1 Second degré 7

1.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Cas où le calcul du discriminant est inutile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Signe-inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Dérivation 11

2.1 Taux de variation et nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Lecture graphique du nombre dérivé-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Signe de la dérivée et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Suites 13

3.1 Forme explicite et relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Variations d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Exponentielle 15

5 Trigonométrie 17

5.1 cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4 Fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Produit scalaire 21

6.1 Rappels de seconde : coordonnées d'un vecteur et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Produit scalaire(dé�nition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 Produit scalaire avec le projeté orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4 Autres expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.5 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.6 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Droites et cercles 25

7.1 Équation réduite d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.4 Droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.5 Équation d'un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8 Probabilités 29

8.1 Notations et rappels de seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.3 Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.4 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.5 Variable aléatoire et espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

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9 Algorithmes et python 31

9.1 Variables et opérations sur les nombres avec Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.3 Comparaison de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.4 Manipuler les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.5 Test Si....ALORS....SINON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.6 Boucles POUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.7 Boucles TANT QUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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A LIRE AVANT DE COMMENCER

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Chapitre 1 Second degré

1.1 Forme canonique

o Polynôme de degré 2P est une fonction polynôme de degré 2 dé�nie sur R par P (x) = ax2 + bx+ c où a, b et c sont des réels et a 6= 0

o Forme canonique-sommet de la parabole

P (x) = a(x− α)2 + β est la forme canonique de P avec α = −b2a

et β = P (α)

��

��réf 639-Déterminer la forme canonique�

���réf 641-Déterminer la forme canonique à partir du graphique

1.2 Variations

o Variations

Le sommet de la parabole a pour coordonnées S(α;β) avec α =−b2a

et β = f(α).

On a alors deux cas possibles a > 0 et a < 0 :

��

��réf 640-sommet de la parabole et tableau de variation

1.3 Racines

o Racine d'un polynôme

7

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P (x) = ax2 + bx+ c (avec a 6= 0), x1 est une racine de P si et seulement si P (x1) = 0

o Discriminant

P (x) = ax2 + bx+ c (avec a 6= 0)Le nombre réel noté ∆ = b2 − 4ac est appelé discriminant de P .

o Racines

- Si ∆ > 0 il y a deux racines

x1 =−b+

√∆

2aet x2 =

−b−√

∆

2a

- Si ∆ = 0, il y a une racine x1 =−b2a

- Si ∆ < 0 il n'y a aucune racine

1.4 Somme et produit des racines

o somme et produit des racines

P (x) = ax2 + bx+ c (avec a 6= 0)

Si le polynôme admet deux racines x1 et x2 alors x1x2 =c

aet x1 + x2 =

−ba

��

��réf 605 produit des racines

1.5 Cas où le calcul du discriminant est inutile

o cas où b = 0

On peut "isoler" x2 : ax2 + c = 0⇐⇒ x2 = −ca

o Cas où c = 0

On peut factoriser x : ax2 + bx = 0⇐⇒ x(ax+ b) = 0⇐⇒ x = 0 ou ax+ c = 0

o Cas où l'on peut trouver une racine "simple" (voir section précédente)

On utilise x1x2 =c

a

��

��réf 605-racines sans calculer le discriminant

��

��réf 607-équations du second degré

1.6 Signe-inéquations

o signe de ax2 + bx+ c

spécialité maths première Page 8 CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉ

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��

��réf 643- signe de ax2 + bx+ c

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Indexcanonique (forme), 7équation cartésienne, 26coe�cient directeur d'une droite, 25vecteurs colinéaires dans un repère, 21coordonnées (critère de colinéarité), 21coordonnées (vecteur), 21cosinus, 17cosinus (équations), 20

dérivée(signe et variations de f , 12dérivée d'un produit, 11dérivée d'un quotient, 11dérivées usuelles, 11discriminant, 8coordonnées( distance), 21distance dans un repère, 21droite (équation cartésienne, 26droite (vecteur directeur), 25droites parallèles, 26droites perpendiculaires, 26

écart type, 30équation d'un cercle, 27équation réduite d'une droite, 25espérance, 30événements indépendants, 29forme explicite(suites dé�nies par...), 13exponentielle, 15

loi de probabilité, 30

coordonnées( du milieu), 21

nombre dérivé, 11

périodique(fonctions), 20Boucle Pour, 32probabilités conditionnelles, 29probabilités (notations), 29probabilités totales, 29produit des racines, 8produit scalaire (propriétés algébriques), 22produit scalaire (vecteurs orthogonaux), 23produit scalaire dans un repère orthonormé, 22produit scalaire(avec le projeté orthogonal), 22produit scalaire(avec les normes des vecteurs), 22produit scalaire(dé�nition), 21projeté orthogonal, 22

racine d'un polynôme, 7racines d'un polynôme du second degré, 8racines sans calculer le discriminant, 8relation de récurrence(suites dé�nies par...), 13

signe d'un polynôme de degré 2, 8sinus, 17somme des termes(suites arithmétiques), 13somme des termes(suites géométriques), 14

somme des racines, 8sommet(parabole), 7suite arithmétique, 13suite géométrique, 14

Boucle tant que, 33taux de variation, 11Si...alors...sinon, 32trigonométrie (équations avec cosinus), 20trigonométrie (équations), 19trigonométrie (cercle), 17trigonométrie (valeurs remarquables du cos et sin), 17

variable aléatoire, 30variable aléatoire (espérance), 30variables, 31variations(polynôme de degré 2), 12variations(suites), 13variations(tableau de), 12vecteur(coordonnées), 22vecteur directeur d'une droite, 25vecteur normal à une droite, 26

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LECARPENTIER Jean-François02/05/1966

Professeur agrégé de mathématiques

redA lire impérativement avant de commencerSecond degréForme canoniqueVariationsRacinesSomme et produit des racinesCas où le calcul du discriminant est inutileSigne-inéquations

DérivationTaux de variation et nombre dérivéLecture graphique du nombre dérivé-tangenteCalculs de dérivéesSigne de la dérivée et variations

SuitesForme explicite et relation de récurrenceVariations d'une suiteSuites arithmétiquesSuites géométriques

ExponentielleTrigonométriecosinus et sinusAngles associésÉquations trigonométriquesFonctions cosinus et sinus

Produit scalaireRappels de seconde: coordonnées d'un vecteur et distancesProduit scalaire(définition)Produit scalaire avec le projeté orthogonalAutres expressions du produit scalairePropriétésVecteurs orthogonaux

Droites et cerclesÉquation réduite d'une droiteÉquation cartésienne d'une droiteDroites parallèlesDroites perpendiculairesÉquation d'un cercle

ProbabilitésNotations et rappels de secondeProbabilité conditionnelleProbabilités totalesÉvénements indépendantsVariable aléatoire et espérance

Algorithmes et pythonVariables et opérations sur les nombres avec PythonVariablesComparaison de nombresManipuler les nombresTest Si....ALORS....SINONBoucles POURBoucles TANT QUE