Yves JANNOT Janvier 2007s3be4113b6b0f333a.jimcontent.com/download/version/1374353905/... · 1.4 Transfert de chaleur par convection ... La propagation de la chaleur par conduction

Thermique solaire. Yves Jannot, 2007.

Yves JANNOT Janvier 2007

Table des matières

1

Thermique solaire

Thermique solaire. Yves Jannot, 2007. 2

TABLE DES MATIERES

NOMENCLATURE ....................................... ...............................................................5

1 RAPPELS SUR LES TRANSFERTS DE CHALEUR .............................7

1.1 Formulation d’un problème de transfert de chaleur ........................................................................... 7 1.1.1 Introduction.......................................................................................................................................... 7 1.1.2 Définitions ........................................................................................................................................... 7 1.1.3 Bilan thermique.................................................................................................................................... 8

1.2 Transfert de chaleur par conduction en régime permanent ............................................................. 10 1.2.1 Mur simple......................................................................................................................................... 10 1.2.2 Mur multicouches .............................................................................................................................. 11 1.2.3 Mur composite ................................................................................................................................... 12 1.2.4 Cylindre creux long (tube) ................................................................................................................. 13 1.2.5 Cylindre creux multicouches ............................................................................................................. 14

1.3 Transfert de chaleur par rayonnement............................................................................................... 15 1.3.1 Généralités. Définitions ..................................................................................................................... 15 1.3.2 Lois du rayonnement.......................................................................................................................... 19 1.3.3 Rayonnement réciproque de plusieurs surfaces ................................................................................. 22

1.4 Transfert de chaleur par convection ................................................................................................... 27 1.4.1 Généralités. Définitions ..................................................................................................................... 27 1.4.2 Expression du flux de chaleur ............................................................................................................ 28 1.4.3 Calcul du flux de chaleur en convection forcée ................................................................................. 30 1.4.4 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle ............................................................................. 30

2 L’ENERGIE SOLAIRE .................................................................................33

2.1 Introduction .......................................................................................................................................... 33 2.1.1 Le contexte......................................................................................................................................... 33 2.1.2 Aperçu de la ressource ....................................................................................................................... 33

2.2 Aspects géométriques ........................................................................................................................... 34 2.2.1 Mouvements de la Terre .................................................................................................................... 34 2.2.2 Mouvement apparent du Soleil .......................................................................................................... 34 2.2.3 Heures et temps.................................................................................................................................. 36 2.2.4 Durée et taux d’ensoleillement........................................................................................................... 38

2.3 Aspects énergétiques............................................................................................................................. 38 2.3.1 L’atmosphère terrestre ....................................................................................................................... 38 2.3.2 Rayonnement solaire au sol ............................................................................................................... 40 2.3.3 Rayonnement solaire sur un plan quelconque.................................................................................... 43 2.3.4 Variations types du rayonnement....................................................................................................... 43

3 LES CAPTEURS SOLAIRES PLANS .....................................................47

3.1 Principe.................................................................................................................................................. 47

3.2 Bilan thermique global de la paroi absorbante .................................................................................. 47

3.3 Expression du coefficient global de pertes.......................................................................................... 49

3.4 Bilan thermique de la couverture transparente ................................................................................. 52

Table des matières

3

3.5 Exemple de calcul du rendement d’un capteur.................................................................................. 52 3.5.1 Profil transversal de température ....................................................................................................... 52 3.5.2 Profil de température dans le sens de l’écoulement du fluide ............................................................ 54 3.5.3 Calcul du rendement global ............................................................................................................... 55 3.5.4 Température moyenne de l’absorbeur................................................................................................ 56

3.6 Rendement des autres types de capteur.............................................................................................. 56 3.6.1 Capteurs de type 1 et 3....................................................................................................................... 56 3.6.2 Capteur de type 4 ............................................................................................................................... 56

3.7 Autres grandeurs caractéristiques ...................................................................................................... 56

3.8 Méthode de calcul d’un capteur solaire .............................................................................................. 58 3.8.1 Conditions de fonctionnement d’un capteur existant ......................................................................... 58 3.8.2 Dimensionnement d’un capteur solaire plan...................................................................................... 58 3.8.3 Calcul approché ................................................................................................................................. 59

4 UTILISATIONS DE L’ENERGIE SOLAIRE ............................................61

4.1 Production d’eau chaude...................................................................................................................... 61 4.1.1 Chauffe-eau solaire capteur-stockeur................................................................................................. 61 4.1.2 Chauffe-eau solaire monobloc ........................................................................................................... 61 4.1.3 Chauffe-eau solaire à éléments séparés.............................................................................................. 63 4.1.4 Eléments de dimensionnement........................................................................................................... 65

4.2 Froid et climatisation............................................................................................................................ 65 4.2.1 Réfrigération ...................................................................................................................................... 65 4.2.2 Climatisation...................................................................................................................................... 65

4.3 Distillation .............................................................................................................................................67 4.3.1 A un étage .......................................................................................................................................... 67 4.3.2 A plusieurs étages .............................................................................................................................. 67

4.4 Cuisson................................................................................................................................................... 68

5 LE SECHAGE SOLAIRE ............................................................................69

5.1 Généralités sur le séchage et définitions ............................................................................................. 69 5.1.1 But du séchage ................................................................................................................................... 69 5.1.2 Définitions ......................................................................................................................................... 69 5.1.3 Equilibre air / produit......................................................................................................................... 69

5.2 Principe et description du séchage ...................................................................................................... 75 5.2.1 Principe .............................................................................................................................................. 75 5.2.2 Température de séchage..................................................................................................................... 76 5.2.3 Vitesse de séchage ............................................................................................................................. 76 5.2.4 Rendements relatifs au séchage ......................................................................................................... 77 5.2.5 Pouvoir évaporatoire d’un séchoir ..................................................................................................... 78

5.3 Les différents types de séchoirs solaires.............................................................................................. 80 5.3.1 Séchoirs solaires à convection naturelle............................................................................................. 80 5.3.2 Séchoirs solaires à convection forcée ................................................................................................ 81

5.4 Méthodes simplifiées de dimensionnement......................................................................................... 81 5.4.1 Séchoirs solaires à convection naturelle............................................................................................. 81 5.4.2 A convection forcée ........................................................................................................................... 82

Thermique solaire


BIBLIOGRAPHIE .................................................................................................84

Nomenclature

5

NOMENCLATURE a Azimut ° aw Activité de l’eau dans un produit c Capacité calorifique J.kg-1.°C-1 d Durée du jour h D Irradiation solaire journalière diffuse W.m-2.j-1 De, Di Diamètres extérieur, intérieur m D* Densité de flux solaire diffus W.m-2 ET Equation du temps h g Accélération due à la pesanteur m2.s-1 G Irradiation solaire journalière globale W.m-2.j-1 G* Densité de flux solaire global W.m-2 G0 Irradiation solaire journalière globale hors atmosphère W.m-2.j-1 h Hauteur du Soleil ° hc Coefficient de transfert de chaleur par convection W.m-2.°C-1 hr Coefficient de transfert de chaleur par rayonnement W.m-2.°C-1 hp Coefficient global de pertes W.m-2.°C-1

HR Humidité relative de l’air % I Irradiation solaire journalière directe perpendiculairement aux rayons solaires W.m-2.j-1 I* Densité de flux solaire direct perpendiculairement aux rayons solaires W.m-2 j n° du jour de l’année L Latitude, longueur ° ℓ Largeur M l Longitude ° lref Longitude de référence du fuseau horaire ° Lv Chaleur latente d’évaporation de l’eau J.kg-1 pv Pression partielle de vapeur d’eau Pa S Irradiation solaire journalière directe W.m-2.j-1 S* Densité de flux solaire direct W.m-2 SS Durée journalière d’ensoleillement h SS0 Durée journalière maximale d’ensoleillement h t Temps s T Température °C Th Température de bulbe humide de l’air °C Tr Température de rosée de l’air °C TCF Temps civil du fuseau h TL Temps légal h TS Temps solaire h TU Temps universel h Vs Vitesse de séchage kg.kg-1.s-1 W Teneur en eau d’un solide kg.kg-1 x Humidité absolue de l’air kg.kg-1 α Coefficient d'absorption ρ Coefficient de réflexion τ Coefficient de transmission δ Déclinaison ° ε Emissivité ϕ Flux de chaleur W.m-2 φ Densité de flux de chaleur W.m-2.°C-1 λ Longueur d’onde m λ Conductivité thermique W.m-1.°C-1 σ Taux d’ensoleillement ω Angle solaire ° ωl Angle solaire au lever du jour ° Ω Angle solide sr

Thermique solaire


Indices

a Air b Fond du capteur c Couverture transparente ciel Ciel e Entrée f fluide p Paroi s Sortie t Tube u Utile

Rappel sur les transferts de chaleur

7

1 RAPPELS SUR LES TRANSFERTS DE CHALEUR

1.1 Formulation d’un problème de transfert de chale ur

1.1.1 Introduction

La thermodynamique permet de prévoir la quantité totale d’énergie qu’un système doit échanger avec l’extérieur pour passer d’un état d’équilibre à un autre.

La thermique (ou thermocinétique) se propose de décrire quantitativement (dans l’espace et dans le temps) l’évolution des grandeurs caractéristiques du système, en particulier la température, entre l’état d’équilibre initial et l’état d’équilibre final.

1.1.2 Définitions

Champ de température

Les transferts d’énergie sont déterminés à partir de l’évolution dans l’espace et dans le temps de la température : T = f (x,y,z,t). La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champ de température. Nous distinguerons deux cas :

- Champ de température indépendant du temps : le régime est dit permanent ou stationnaire. - Evolution du champ de température avec le temps : le régime est dit variable ou instationnaire.

Gradient de température

Si l’on réunit tous les points de l’espace qui ont la même température, on obtient une surface dite surface isotherme. La variation de température par unité de longueur est maximale le long de la normale à la surface isotherme. Cette variation est caractérisée par le gradient de température représenté sur la figure 1.1.

Figure 1.1 : Isotherme et gradient thermique

Avec : →n vecteur unitaire de la normale

n

T

∂

∂ dérivée de la température le long de la normale.

Flux de chaleur

La chaleur s’écoule sous l’influence d’un gradient de température par conduction des hautes vers les basses températures. La quantité de chaleur transmise par unité de temps et par unité d’aire de la surface isotherme est appelée densité de flux de chaleur :

où S est l’aire de la surface (m2).

On appelle flux de chaleur la quantité de chaleur transmise sur la surface S par unité de temps :

dt

dQ=ϕ (W) (1.3)

dt

dQ

S

1=φ (W m-2) (1.2)

( )n

TnTgrad

∂

∂→=

→ (1.1)

Isotherme T0

( )Tgrad→

Thermique solaire


1.1.3 Bilan thermique

Il faut tout d’abord définir un système (S) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventaire des différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être :

Figure 1.2 : Système et bilan énergétique

On applique alors le 1er principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie du système (S) :

Il faut ensuite établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans le bilan

d’énergie, nous obtiendrons l’équation différentielle dont la résolution permettra de connaître l’évolution de la température en chaque point du système.

Conduction

C’est le transfert de chaleur au sein d’un milieu opaque, sans déplacement de matière, sous l’influence d’une différence de température. La propagation de la chaleur par conduction à l’intérieur d’un corps s’effectue selon deux mécanismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molécules et une transmission par les électrons libres.

La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier : la densité de flux est proportionnelle au gradient de température :

ou sous forme algébrique :

avec : ϕ Flux de chaleur transmis par conduction (W) λ Conductivité thermique du milieu (W m-1 °C-1) x Variable d’espace dans la direction du flux (m)

S Aire de la section de passage du flux de chaleur (m2)

Figure 1.3 : Schéma du transfert de chaleur conductif

On trouvera dans le tableau 1.1 les valeurs de la conductivité thermique λ de certains matériaux parmi les plus courants. Un tableau plus complet est donné en annexe A.1.1.

(S)

ϕst ϕg

ϕe ϕs

ϕst flux de chaleur stocké ϕg flux de chaleur généré ϕe flux de chaleur entrant ϕs flux de chaleur sortant

dans le système (S)

stsge ϕ+ϕ=ϕ+ϕ (W) (1.4)

( )Tgradλ→

−=→ϕ (1.5)

x

TSλ

∂∂−=ϕ (W) (1.6)

x

S

T1 T2 T1 > T2 x

TSλ

∂∂−=ϕ


9

Tableau 1.1 : Conductivité thermique de certains matériaux

Matériau λ (W m-1 °C-1) Matériau λ (W m-1 °C-1)

Argent 419 Plâtre 0,48 Cuivre 386 Amiante 0,16 Aluminium 204 Coton 0,059 Acier doux 45 Liège 0,044-0,049 Acier inox 14,9 Laine de roche 0,038-0,041 Glace 1,88 Laine de verre 0,035-0,051 Béton 1,4 Polystyrène expansé 0,036-0,047 Bois (feuillu-résineux) 0,12-0,23 Polyuréthane (mousse) 0,030-0,045 Brique terre cuite 1,1 Polystyrène extrudé 0,027 Verre 0,78

Air 0,026

Convection

C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide. Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton :

Figure 1.4 : Schéma du transfert de chaleur convectif

Avec : ϕ Flux de chaleur transmis par convection (W)

h Coefficient de transfert de chaleur par convection (W m-2 °C-1) Tp Température de surface du solide (°C) T∞ Température du fluide loin de la surface du solide (°C) S Aire de la surface de contact solide/fluide (m2) La convection est dite forcée si le fluide est mis en mouvement par une action extérieure (pompe, ventilateur,

vent…). La convection est dite naturelle si le mouvement du fluide ne résulte que des différences de masse volumique induite par des différences de températures.

La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide, de sa température, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide. On trouvera en annexe A.1.2 et A.1.3 des corrélations permettant de calculer ce coefficient pour les configurations les plus courantes.

Rayonnement

C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces (même dans le vide). Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu environnant et dans ce cas nous avons la relation :

Figure 1.5 : Schéma du transfert de chaleur radiatif Avec : ϕ Flux de chaleur transmis par rayonnement (W) σ Constante de Stephan (5,67.10-8 W m-2 K-4)

( )∞−=ϕ TTSh p(W) (1.7)

( )44pp TTS ∞−εσ=ϕ (W) (1.8)

ϕ

S

Fluide à T∞

Tp

ϕ

S

Milieu environnant à T∞

Tp

Thermique solaire


εp Facteur d’émission de la surface Tp Température de la surface (K ) T∞ Température du milieu environnant la surface (K ) S Aire de la surface (m2)

Stockage d’énergie

Le stockage d’énergie dans un corps correspond à une augmentation de son énergie interne au cours du temps d’où (à pression constante) :

Avec : ϕst Flux de chaleur stocké (W) ρ Masse volumique (kg m-3) V Volume (m3) c Chaleur massique (J kg-1 °C-1) T Température (°C) t Temps (s) ρ, V et c sont supposés constants, le produit ρ V c est appelé la capacitance thermique du corps.

Génération d’énergie

Elle intervient lorsqu’une autre forme d’énergie (chimique, électrique, mécanique, nucléaire) est convertie en énergie thermique. Nous pouvons l’écrire sous la forme :

Avec : ϕg Flux d’énergie thermique générée (W)

•

q Densité volumique d’énergie générée (W m-3)

V Volume (m3)

1.2 Transfert de chaleur par conduction en régime p ermanent

1.2.1 Mur simple On se placera dans le cas où l’écoulement est unidirectionnel et qu’il n’y a pas de génération ni de stockage

d’énergie. On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité thermique λ, et de grandes dimensions transversales dont les faces extrêmes sont à des températures T1 et T2 (cf. figure 1.6).

Figure 1.6 : Bilan thermique élémentaire sur un mur simple

(W) (1.9)

Vqg•

=ϕ (W) (1.10)

t

TcVst ∂

∂= ρϕ

0 x e

T1

T2

λ

ϕx ϕx+dx

Section transversale S

x + dx


11

( )e

TTλ 21 −=φ

En effectuant un bilan thermique sur le système (S) constitué par la tranche de mur comprise entre les

abscisses x et x + dx il vient :

dxxx dx

dTSλ

dx

dTSλdxxx

+

−=

−⇒+ϕ=ϕ d’où Adx

dT= et T(x) = A x + B

Avec les conditions aux limites : T (x = 0) = T1 et T (x = e) = T2

d’où :

Le profil de température est donc linéaire. La densité de flux de chaleur traversant le mur s’en déduit par la

relation : dx

dTλ−=φ , d’où :

La relation (2.7) peut également se mettre sous la forme : ( )

Sλ

eTT 21 −=ϕ , cette relation est analogue à la loi

d’Ohm en électricité qui définit l’intensité du courant comme le rapport de la différence de potentiel électrique

sur la résistance électrique. La température apparaît ainsi comme un potentiel thermique et le terme Sλ

eapparaît

comme la résistance thermique d’un mur plan d’épaisseur e, de conductivité thermique λ et de surface latérale S, on a donc le schéma équivalent représenté sur la figure 1.7.

Figure 1.7 : Schéma électrique équivalent d’un mur simple

1.2.2 Mur multicouches

C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches de matériaux différents et où le ne connaît que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latérale S (cf. figure 1.8).

Figure 1.8 : Schématisation des flux et des températures dans un mur multicouches

( )211 TTe

xTT −−= (°C) (1.11)

(W m-2) (1.12)

T

T1

ϕ

Sλ

eR =

Tf2

Fluide 1

Fluide 2

T1

T3

λA

eA eB eC

T4

convection coefficient h1

convection coefficient h2

T2

λB λA λC

T3

ϕ

Tf1

Thermique solaire


En régime permanent, le flux de chaleur se conserve lors de la traversée du mur et s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f242C

'3C

B

32B

A

21A1f11 TTSh

e

TTSλ

e

TTSλ

e

TTSλTTSh −=

−=

−=−=−=ϕ

d’où :

Nous avons considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existait pas de discontinuité de température aux interfaces. En réalité, compte-tenu de la rugosité des surfaces, une micro-couche d’air existe entre les creux des surfaces en regard et créé une résistance thermique R (l’air est un isolant ) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente s’écrit alors :

Le schéma électrique équivalent est représenté sur la figure 1.9.

Figure 1.9 : Schéma électrique équivalent d’ un mur multicouches

Remarques :

- Une résistance thermique ne peut être définie qu’entre deux surfaces isothermes. - Cette résistance thermique de contact est négligée si le mur comporte une paroi isolante ou si les parois

sont jointes par soudure.

1.2.3 Mur composite

C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas isotropes. Considérons à titre d’exemple un mur de largeur L constitué d’agglomérés creux (cf. figure 1.10).

Figure 1.10 : Schématisation d’un mur composite

(W m-2) (1.14)

e1 e2 e3

ℓ1

ℓ2

ℓ3

Milieu 2

Milieu 1

Convection h1

Convection h2

Mur en aggloméré creux

Sh

1

Sλ

e

Sλ

e

Sλ

e

Sh

1TT

2C

C

B

B

A

A

1

f2f1

++++

−=ϕ (W m-2) 1.13)

Sh1

Sλ

eRSλ

eRSλ

eSh

1TT

2C

CBC

B

BAB

A

A

1

f2f1

++++++

−=ϕ

Tf2 Tf1

Sh

1

1 Sh

1

2

RAB RBC

S

e

A

A

λ S

e

B

B

λ Sλ

e

C

C

eA

ϕ


13

En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axes de symétrie, on peut se ramener au calcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer la résistance thermique R équivalente d’une portion de mur de largeur L et de hauteur ℓ= ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 en utilisant les lois d’association des résistances en série et en parallèle par la relation :

76

533

21 RR

R

1

R

1

R

11

RRR ++++

++=

avec :

Lh

1R;

Lλ

eR;

Lλ

eR;

Lλ

eR;

Lλ

eR;

Lλ

eR;

Lh

1R

2

7

1

36

32

25

21

24

12

23

1

12

1

1lllllll

=======

selon le schéma électrique équivalent suivant représenté sur la figure 1.11:

Figure 1.11 : Schéma électrique équivalent du mur composite

1.2.4 Cylindre creux long (tube)

On considère un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2, de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T1 et T2. On suppose que le gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial.

Effectuons le bilan thermique du système constitué par la partie de cylindre comprise entre les rayons r et r + dr :

drrr +ϕ=ϕ avec r

r dr

dTLr2

πλ−=ϕ

et ( )drr

drr dr

dTLdrr2

++

+πλ−=ϕ

soit ( )drrr dr

dTLdrr2

dr

dTLr2

+

+πλ−=

πλ−

d’où Cdr

dTr =

Figure 1.12 : Schéma des transferts dans un cylindre creux Avec les conditions aux limites : T(r1) = T1 et T(r2) = T2

D’où :

Et par application de la relation dr

dTr2πλ−=ϕ , on obtient :

( )

+

=

1

2

21

12

r

rln

r

rlnT

r

rlnT

rT (°C) (1.15)

R1 R2

R5

R4

R3

R6 R7

drr+ϕ

r

r+dr

Thermique solaire


( )

−=ϕ

1

2

21

r

rln

TTLλπ2

Cette relation peut aussi être mise sous la forme : Lλ2π

r

rln

RavecR

TT 1

2

1212

21

=−

=ϕ et être représentée

par le schéma électrique équivalent de la figure 1.13 :

Figure 1.13 : Schéma électrique équivalent d’un cylindre creux

1.2.5 Cylindre creux multicouches

C’est le cas pratique d’un tube recouvert d’une ou plusieurs couches de matériaux différents et où le ne connaît que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les faces interne et externe du cylindre ; h1 et h2 sont les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les faces internes et externes (cf. figure 1.14).

Figure 1.14 : Schéma des transferts dans un cylindre creux multicouches En régime permanent, le flux de chaleur ϕ se conserve lors de la traversée des différentes couches et s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )f2332

2

3

32B

1

2

21A1f111 TTLrπ2h

r

rln

TTLλπ2

r

rln

TTLλπ2TTLrπ2h −=

−=

−=−=ϕ

d’où :

(W) (1.16)

Lr2πh

1

Lλ2π

r

rln

Lλ2π

r

rln

Lr2πh

1

TT

32B

2

3

A

1

2

11

f2f1

+

+

+

−=ϕ(W m-1) (1.17)

ϕ

T2 T1

Lλ2π

r

rln

R 1

2

12

=

r1 r2 r3

Tf1

T3

Tf2

Fluide 1

Fluide 2

ϕ

λB

λA T2

h1

h2

T1


15

ce qui peut être représenté par le schéma électrique équivalent de la figure 1.15 :

Figure 1.15: Schéma électrique équivalent d’un cylindre creux multicouches

1.3 Transfert de chaleur par rayonnement

1.3.1 Généralités. Définitions

1.3.1.1 Nature du rayonnement Tous les corps, quelque soit leur état : solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature

électromagnétique. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur. Le rayonnement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de

différentes longueurs d’onde comme l’a démontré l’expérience de W. Herschell (cf. figure 1.16)

Figure 1.16 : Principe de l’expérience de W. Herschell

En passant à travers un prisme, les radiations sont plus ou moins déviées selon leur longueur d’onde. On envoie donc les radiations émises par une source à la température T0 sur un prisme et on projette le faisceau dévié sur un écran absorbant (noirci), on obtient ainsi la décomposition du rayonnement total incident en un spectre de radiations monochromatiques.

Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la température Te caractérisant l’énergie reçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant la courbe Te = f(λ), on obtient la répartition spectrale de l’énergie rayonnée pour la température T0 de la source. On constate alors que:

- L’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’onde λm variable avec T0. - L’énergie n’est émise que sur un intervalle [λ1, λ2] de longueur d’onde caractérisant le rayonnement

thermique. On trouvera représenté sur la figure 1.17 les différents types d’ondes électromagnétiques et leurs longueurs

d’ondes correspondantes. On retiendra que le rayonnement thermique émis par les corps se situe entre 0,1 et 100 µm. On notera par ailleurs que le rayonnement est perçu par l’homme :

- Par l’oeil : pour 0,31 µm > λ < 0,79 µm rayonnement visible. - Par la peau : pour 0,79 µm < λ < 314 µm rayonnement IR.

T

Source à To

Prisme

Ecran absorbant

ϕ

Tf2 Tf1

Lr2πh

1

11

Lλ2π

r

rln

A

1

2

Lλ2π

r

rln

B

2

3

Lr2πh

1

22

Thermique solaire


Figure 1.17 : Spectre des ondes électromagnétiques

1.3.1.2 Définitions

Classification

Les grandeurs physiques seront distinguées selon : - La composition spectrale du rayonnement

- Si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre elle est dite totale. - Si elle concerne un intervalle spectral étroit dλ autour d’une longueur d’onde λ elle est dite

monochromatique : Gλ.

- La distribution spatiale du rayonnement - Si la grandeur est relative à l’ensemble des directions de l’espace elle est dite hémisphérique. - Si elle caractérise une direction donnée de propagation elle est dit directionnelle : Gx.

Définitions relatives aux sources

Flux - On appelle flux d’une source S la puissance rayonnée notée ϕ par S dans tout l’espace qui l’entoure, sur

toutes les longueurs d’onde. Le flux ϕ s’exprime en W - Le flux envoyé par un élément de surface dS dans un angle solide élémentaire dΩ est noté d2ϕ - Le flux envoyé dans tout l’espace par une surface élémentaire dS est noté dϕ. - Le flux envoyé par une surface S dans l’angle solide dΩ entourant la direction Ox est noté dϕx.

Nous avons donc les relations suivantes : ∫Ω

ϕ=ϕ 2dd et ∫ ∫Ω

ϕ=ϕ=ϕS

xdd

Rappel sur les angles solides élémentaires

L’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface S est par définition l’aire de la surface intersection de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface S.

L’angle solide dΩ sous lequel est vu d’un point O le contour d’une petite surface dS (assimilée à une surface plane) peut être calculé par :

Figure 1.18 : Schéma de l’angle solide Emittance énergétique

- Monochromatique : Un élément de surface dS émet dans toutes les directions du ½ espace un certain flux d’énergie par rayonnement. Ce flux est réparti sur un intervalle de longueurs d’ondes. Si l’on considère le flux

log10(λ) -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 γ

X

UV visible

IR

Micro-onde Onde radio Téléphone

Thermique

2r

cosdSd

α=Ω (1.18)

O

dS

dS cosα →n

α r


17

d’énergie λ+λλϕ dd émis entre les deux longueurs d’ondes λ et λ+dλ, on définit l’émittance

monochromatique d’une source à la température T par :

- Totale : C’est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par dS sur tout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de la température T et de la nature de la source :

Intensité énergétique dans une direction

On appelle intensité énergétique Ix le flux par unité d’angle solide émis par une surface dS dans un angle solide dΩ entourant la direction Ox :

Luminance énergétique dans une direction

Soit α l’angle fait par la normale →n à la surface émettrice S avec la direction Ox suivant laquelle la surface S

possède une intensité énergétique Ix . La projection de S sur le plan perpendiculaire à Ox s’appelle la surface émettrice apparente ∑ et l’intensité énergétique dans la direction Ox par unité de surface émettrice apparente s’appelle la luminance énergétique L :

Figure 1.19 : Schéma de définition des angles Application : Formule de Bougouer

On déduit des définitions précédentes l’expression du flux d2ϕx envoyé par un élément dSi de luminance Lx sur un autre élément dSk :

Ωα=Ω=ϕ dcosdSLdId iixxx2

Figure 1.20 : Schéma de définition des angles dans la formule de Bougouer

Où : dΩ est l’angle solide duquel depuis la surface dSi on voit la surface dSk donc 2

kk

r

cosdSd

α=Ω

λφ

=λ+λ

λλ ddS

dM

d

T

∫∞=λ

=λλ

ϕ=λ=0

TT dS

ddMM

Ωϕ=

d

dI x

2

x

αcosdSdΩ

d

cosαdS

I

dS

IL x

2x

x

xx

ϕ===

(1.22)

(W m-3) (1.19)

(W m-2) (1.20)

Ox

dS α

→n

dSi

αi

r αk

dSk

Ox

(1.21)

Thermique solaire


D’où la formule de Bougouer :

Définitions relatives à un récepteur

Eclairement

C’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le flux reçu par unité de surface réceptrice, en provenance de l’ensemble des directions.

Réception du rayonnement par un solide

Quand un rayon incident d’énergie ϕλ frappe un corps à la température T, un partie ϕλ ρλT de l’énergie incidente est réfléchie par la surface S, une autre partie ϕλ αλT est absorbée par le corps qui s’échauffe et le reste ϕλ τλT est transmis et continue son chemin (cf. figure 1.21).

Figure 1.21 : Schématisation de la répartition d’un flux incident de rayonnement sur un solide On a évidemment : ϕλ = ϕλ ρλT + ϕλ αλT + ϕλ τλT d’où : ρλT + αλT + τλT = 1 .

On définit ainsi les pouvoirs monochromatiques réfléchissant ρλT, absorbant αλT et filtrant τλT qui sont

fonction de la nature du corps, de son épaisseur, de sa température T, de la longueur d’onde λ du rayonnement incident et de l’angle d’incidence.

Si l’on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs

réfléchissants ρT , absorbant αT et filtrant τT totaux. Les valeurs de ρT, αT et τT de certains corps sont donnés en annexe A.3.1.

Corps noir, corps gris

Corps noir C’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa

température, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident, il est défini par : αλT = 1. Une surface enduite de noir de fumée est approximativement un corps noir.

Propriétés du corps noir :

- Tous les corps noirs rayonnent de la même manière. - Le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température.

Corps gris

Un corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant αλT est indépendant de la longueur d’onde λ du rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par : αλT = αT.

2kkii

xix2

r

cosαdScosαdSLd =ϕ (1.23)

ϕλ τλT transmis

ϕλ incident ϕλ ρλT réfléchi

ϕλ αλT absorbé Corps à T


19

En général, on considère les corps solides comme des corps gris par intervalle et on utilise un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour λ < 3 µm (rayonnement émis par des corps à haute température comme le Soleil) et un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour λ > 3 µm (rayonnement émis par les corps à faible température : atmosphère, absorbeur solaire,...). On pourra à titre d’exemple considérer pour la peinture blanche les valeurs représentées sur la figure 1.22.

Figure 1.22 : Représentation simplifiée du pouvoir absorbant monochromatique de la peinture blanche

1.3.2 Lois du rayonnement

1.3.2.1 Loi de Lambert Dans le cas où la source est isotrope, la luminance est indépendante de la direction : Lx = L

Or S

IL

nn =

Et α

= αα cosS

IL

De l’égalité Ln = Lα on déduit la loi de Lambert pour une source isotrope :

Figure 1.23 : Schématisation de

l’intensité énergétique

Ainsi l’indicatrice de l’intensité est une sphère tangente en O à la surface émettrice lorsque celle-ci suit la loi de Lambert :

Remarque : Lorsqu’un corps suit la loi de Lambert, on montre qu’émittance et luminance sont proportionnelles :

α

In

Iα

S α=α cosII n

L L

O

Luminance d’une source isotrope

Intensité énergétique d’une source isotrope

LM π=

λ

1 α = 0,9

α = 0,3

λ = 3 µm

αλT

0

(1.24)

(W.m-2) (1.25)

In

Iα

O

α

Figure 1.24 : Schématisation de la luminance et de l’intensité énergétique d’une source isotrope

Thermique solaire


1.3.2.2 Lois physiques

Loi de Kirchoff

A une température T donnée et pour une longueur d’onde λ donnée, le rapport T

TM

λ

λ

α est le même pour tous

les corps.

Pour le corps noir : αλT = 1 , le rapport T

TM

λ

λ

α est donc égal à MολT en appelant MολT l’émittance

monochromatique du corps noir, donc :

L’émittance monochromatique de tout corps est égale au produit de son pouvoir absorbant monochromatique par l’émittance monochromatique du corps noir à la même température, d’où l’intérêt de connaître le rayonnement émis par le corps noir.

Cas des corps gris : loi de Kirchoff généralisée

Dans le cas du corps gris, on peut généraliser cette loi ce qui facilite les application. En effet pour un corps gris αλT = αT , donc :

En appelant MoT l’émittance totale du corps noir à la température T, nous obtenons pour un corps gris : L’émittance totale MT d’un corps gris à la température T est égal au produit de son pouvoir absorbant αT par

l’émittance totale MoT du corps noir à la même température.

Rayonnement du corps noir

Emittance monochromatique Elle est donnée par la loi de Planck : avec : C1= 3,742.10-16 W.m-2 C2 = 1,4385.10-2 m.K La loi de Planck permet de tracer les courbes isothermes représentant les variations de MoλT en fonction de la

longueur d’onde pour diverses températures (cf. figure 1.25)

Remarques :

- La longueur d’onde λM pour laquelle l’émission est maximale varie avec la température de la source :

TTT MoM λλλ α=

∫∫∫∞=λ

=λλ

∞=λ

=λλλ

∞=λ

=λλ λα=λα=λ=

0

TT

0

TT

0

TT dModModMM

TTT MoM α=

1T

Cexp

CMo

2

51

T

−

λ

λ=

−

λ (W.m-3) (1.28)

(W.m-3) (1.26)

(W.m-2) (1.27)

T

2,897.10λ

3

M

−=

5

T 10

T410,0Mo

M

=λ

(µm) (1.30) et (W.m-3) (1.31)


21

avec T : Température (K)

Pour le Soleil ( T≈ 5777 K ), 90% de l’énergie est émise entre 0,31 et 2,5 µm, le maximum étant situé dans le spectre visible. Par contre, un corps noir à 373 K (100°C) a son émission maximale vers λ = 8 µm dans l’IR.

Figure 1.25 : Emittance monochromatique d’un corps noir à deux températures différentes

Emittance totale MoT

L’intégration de la formule de Planck pour toutes les longueurs d’onde donne l’émittance totale MoT du corps noir qui n’est plus fonction que de la température T , on obtient la loi de Stephan-Boltzmann :

avec σ = 5,675.10-8 W.m-2.K -4

Dans les calculs on écrira souvent : 4

100

T675,5

=σ

Fraction de l’émittance dans un intervalle donné de longueurs d’onde [λ1, λ2]

C’est la fraction du flux émis par l’unité de surface du corps noir à la température T entre les longueurs d’ondes λ1 et λ2 :

40

T

40

T

40 0

TT

4

T

0

T

T

TTT

dMo

T

dMo

T

dModMo

T

dMo

dMo

dMo

F

122 12

1

2

1

21 σ

λ

−σ

λ

=σ

λ−λ

=σ

λ

=

λ

λ

=∫∫∫ ∫∫

∫

∫λ

λ

λ

λ

λ λ

λλ

λ

λλ

∞

λ

λ

λλ

λ−λ

Ce qui peut également s’écrire : T0T0TT 1221

FFF λ−λ−λ−λ −= ; Calculons T0F λ− à T constant :

( ) ( ) ( )Td

1T

Cexp

TC1dT

1T

Cexp

TC1d

1T

Cexp

C

T

1F

0 2

51

0 2

51

0 2

51

4T0 λ−

λ

λσ

=λ−

λ

λσ

=λ−

λ

λσ

= ∫∫∫λ −λ −λ −

λ−

Emittance d'un corps noir à 100°C

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

λ λ λ λ (µµµµm)

Mo

λΤλΤ λΤλΤ (

W.m

-3)

Emittance d'un corps noir à 5777 K (Soleil)

0,00E+00

5,00E+07

1,00E+08

1,50E+08

2,00E+08

2,50E+08

0 1 2 3 4 5

λ λ λ λ (µµµµm)

Mo

λλ λλt (

W.m

-3)

4T TMo σ= (W m-2) (1.32)

Thermique solaire


Nous constatons que F0-λT ne dépend que du produit λT. Il suffit donc de dresser une fois pour toutes une table à une entrée unique λT donnant F0-λT et de l’utiliser pour le calcul de T0T0TT 1221

FFF λ−λ−λ−λ −= . Le tableau

des valeurs est donné en annexe A.3.2.

Rayonnement des corps non noirs Facteur d’émission ou émissivité On définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans les

mêmes conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelés facteurs d’émission ou émissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par :

D’après la loi de Kirchoff, on montre que :

Cas des corps gris Ils sont caractérisés par TT α=α λ soit d’après ce qui précède : TT ε=ελ

Or : TTT MoM ε= , nous en déduisons l’émittance du corps gris à la température T :

1.3.3 Rayonnement réciproque de plusieurs surfaces

Hypothèse : Les surfaces considérées seront supposées homogènes, opaques, isothermes et grises.

1.3.3.1 Radiosité et flux net perdu

Le rayonnement qui quitte une surface Si est la somme de son émission propre et de la réflexion d’une partie du rayonnement incident sur cette surface. On appelle radiosité, que l’on note Ji, l’émittance apparente de la surface Si donc :

Avec Ei : Eclairement de la surface Si (W.m-2)

Considérons maintenant la surface Si choisie parmi n surfaces isothermes et homogènes qui délimitent un

volume tel que représenté sur la figure 1.26.

Figure 1.26 : Schématisation des flux de rayonnement sur une surface

T

TT

T

TT Mo

Met

Mo

M=ε=ε

λ

λλ

TT λλ ε=α

4TT TM σε=

( )i4

iii E1TJ ε−+σε=

Si

Ei εi σ Ti4

(1 - εi) Ei

εi Ei

(1.33)

(1.34)

(W m-2) (1.35)

(W m-2) (1.36)


23

La densité d’énergie nette perdue par rayonnement par Si s’écrit : ii4

iii ETnet

ε−σε=φ

En introduisant, d’après (2.18), la radiosité Ji par : ( )4iii

ii TJ

1

1E σε−

ε−= , nous obtenons :

1.3.3.2 Facteur de forme géométrique

On considère une surface Si qui sur toute son étendue a une émission apparente iii JS=ϕ . La surface Si est environnée par un nombre n de surfaces et ϕi est envoyé sur toutes ces surfaces ( la surface Si

peut également rayonner vers elle-même si elle est concave). Le flux apparent ϕi peut donc se décomposer de la manière suivante :

niii2i1ii ............................ →→→→ ϕ++ϕ++ϕ+ϕ=ϕ

Calculons ki→ϕ qui est la part du flux quittant Si qui atteint Sk :

D’après la formule de Bougouer, le flux ki2d →ϕ envoyé par la surface élémentaire dSi vers la surface

élémentaire dSk s’écrit :

avec π

= ii

JL si la surface Si suit la loi de Lambert.

Nous en déduisons : kiS S

2ki

i dSdSrπ

cosαcosαJki

i k

∫ ∫=→ϕ

Le facteur de forme géométrique fik de la surface Si par rapport à la surface Sk est alors défini par la relation :

Il ne dépend que de la géométrie et de la disposition relative des surfaces Si et Sk. Des formules donnent sa valeur pour les cas de figure les plus courants (cf. annexe A.3.3). Le flux ki→ϕ peut alors s’écrire simplement :

iikiki SfJ=ϕ →

Remarques :

- Le 2ème membre de la formule (3.20) de définition de fik est symétrique en i et k, on en déduit que :

- La relation niii2i1ii ............................ →→→→ ϕ++ϕ++ϕ+ϕ=ϕ peut s’écrire :

( )in2i1iiiiinii2iii1iii f............ffSJSfJ................SfJSfJ +++=+++=ϕ or iii JS=ϕ

d’où :

( ) ( ) iii4

iii4

ii

ii EJETJT

1net−=−σε=−σ

ε−ε

=φ

2kkii

iki2

r

cosdScosdSLd

αα=ϕ →

ki

S S2

kiiki dSdS

r

coscosfS

i k

∫ ∫ παα

=

kikiki fSfS =

1f............ff in2i1i =+++

(3.21)

(W m-2) (1.37)

(1.38)

(1.40)

(1.39)

Thermique solaire


Ces deux relations sont utiles pour la détermination des facteurs de formes de plusieurs surfaces en présence.

1.3.3.3 Calcul des flux

Le flux i→ϕ reçu par la surface Si s’écrit : ∑=

→→ ϕ==ϕn

1kikiii SE or kikkik fSJ=ϕ →

D’où : ∑ ∑= =

==n

1k

n

1kikikkikkii fSJfSJSE d’après (3.21).

En reportant cette expression dans (3.18), nous obtenons : ( )∑=

ε−+σε=n

1kikki

4iii fJ1TJ

Soit encore : ( )∑=

ε−ε

+ε

=σn

1kikki

ii

i4i fJ1

1JT

En utilisant le symbole de Kronecker, nous pouvons écrire : ∑=

δ=n

1kkiki JJ

D’où :

Nous écrirons cette relation pour toutes les surfaces Si dont on connaît les températures. Pour celles dont on

connaît plutôt la densité de flux net perdue netiφ nous utiliserons la relation : ∑

=

−=−=φn

1kJikiiii knet

fJEJ

qui peut encore s’écrire : Méthode de résolution

Si l’on connaît p températures et (n-p) densités de flux nets netiφ , on écrit p fois l’équation (3.23) et (n-p) fois

l’équation (3.24), on obtient ainsi un système linéaire de n équations à n inconnues : J1, J2, .....Jp,, Tp+1, ......Tn.

La résolution de ce système permet de calculer les (n-p) températures et les p radiosités inconnues. Les p

densités de flux nets inconnues se calculent ensuite par la relation : ( )i4

ii

ii JT

1net−σ

ε−ε

=φ

Remarque :

Si une surface est noire (εi = 1), la relation (3. 23) ne peut pas être utilisée. Nous avons alors simplement dans

ce cas la relation : 4ii TJ σ= et l’on résout le système des (n-1) équations restantes.

Exemple d’application : Cas de deux plans parallèles infinis

Figure 1.27 : Schématisation de plans parallèles rayonnants

( )[ ] 4ikikiik

n

1k i

TJf11 σ=ε−−δε∑

=

( )netik

n

1kikik Jf φ=−δ∑

=

T1

T2

S1

S2

ε1

ε2

(1.41)

(1.42)


25

On suppose que les températures T1 et T2 des deux surfaces S1 et S2 sont connues, on cherche à déterminer le flux net perdu par chacune de ces surfaces.

Nous avons f11 = f22 = 0 car les surfaces S1 et S2 sont planes et ne peuvent pas rayonner vers elles-mêmes.

Nous en déduisons f12 = 1 et f21 = 1 en appliquant la relation∑=

=n

1kik 1f pour i = 1 et pour i = 2.

La relation (3.23) s’écrit alors de la manière suivante pour i = 1 et i = 2 :

d’où : ( )

( )( )21

4212

411

1 111

T1TJ

ε−ε−−ε−ε+εσ=

et : ( ) ( )2121

12

1

142

2121

1

1

1

1

1411

41

1

11

1

1T

11TJT

1net εε−ε+εε−ε⋅

ε−εσ−

εε−ε+εε⋅

ε−ε−

ε−εσ=−σ

ε−ε=φ

Soit finalement :

1.3.3.4 Analogie électrique Flux net perdu par une surface

Nous avons montré que : ( )i4

ii

ineti JT

1−σ

ε−ε=φ ce qui peut encore s’écrire :

ii

i

i4

ii

S

1JT

net

εε−−σ=ϕ

Par analogie, cette relation peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 1.28 :

Figure 1.28 : Schéma électrique équivalent du flux radiatif perdu par une surface

On notera que cette résistance thermique de rayonnement ne dépend que des propriétés physiques de la surface

Si et qu’elle est nulle pour un corps noir. Flux net échangé entre plusieurs surfaces

Le flux net perdu par la surface Si dans ses échanges radiatifs avec l’ensemble des surfaces environnantes

s’écrit d’après la relation (2.) : ( ) iiii SEJnet

−=ϕ

Le flux ϕi = Ji Si quittant la surface Si peut se décomposer de la manière suivante :

∑=

→++→→ =ϕϕ+ϕ=ϕn

1jijiini.................2i1ii fSJ

L’éclairement Ei reçu par la surface Si peut se décomposer de la manière suivante :

∑=∑===

→n

1jjijj

n

1jijii fSJSE ϕ

111TT

21

42

41

21 nnetnet

−ε

+ε

−σ=φ−=φ

( )( ) 4

22212

411211

TJJ1

TJ1J

εσ=+ε−−

εσ=ε−−

netiϕ

ii

i

S

1

εε−

4iTσ

Ji

(1.43)

( )2121

2142

4121 TT

nnetnet εε−ε+εεε−σ=φ−=φ

Thermique solaire


Le flux net perdu par Si peut donc s’écrire :

( ) ∑=∑ −=∑ −==== →

n

1jnet

n

1jjiiji

n

1jijjjijiii jitne

JJfSfSJfSJ ϕϕ

Le flux net échangé entre les surfaces Si et Sj s’écrit donc : ( )iji

jiijijinet

fS

1

JJfSJJ

ji

−=−=ϕ

→

Cet échange radiatif peut être représenté par le schéma électrique équivalent de la figure 1.29.

Figure 1.29 : Schéma électrique équivalent du flux radiatif échangé entre deux surfaces On notera que cette résistance thermique de rayonnement est purement géométrique et qu’elle ne dépend pas

des propriétés physiques des surfaces Si et Sj. Application : Echange entre deux surfaces grises

Si les deux surfaces S1 et S2 sont seules en présence, le flux net net1ϕ perdu par S1 est égal au flux net

net2ϕ

gagné par S2 . Ce flux est encore égal au flux net 21net →

ϕ échangé entre S1 et S2, nous avons donc les égalités :

net21net 2net1 ϕ−=ϕ=ϕ→

Soit

22

2

422

121

21

11

1

14

11

S

1TJ

fS

1JJ

S

1JT

net

εε−σ−

=−

=

εε−−σ

=ϕ

Cet échange radiatif peut être représenté par le schéma électrique équivalent de la figure 1.30.

Figure 1.30 : Schéma électrique équivalent du flux radiatif net échangé entre deux surfaces

D’où

Utilisation des schémas analogiques

Dans les systèmes simples, il est plus rapide d’utiliser la technique des schémas analogiques que celle du

système linéaire. Lorsqu’on a établi le schéma analogique, on calcule les différentes résistances du circuit puis on résout par les techniques habituelles utilisées en électricité : loi d’association des résistances en série et en parallèle, loi des noeuds,...

Exemple d’application : Cas d’une surface S1 convexe complètement entourée par une surface S2

La surface S1 étant convexe elle ne peut pas rayonner vers elle-même donc : f11 = 0

iji fS

1

net1ϕ

121 fS

1

J2

11

1

S

1

εε−

41Tσ J1

ii

i

S

1

εε−

42Tσ

22

2

12111

1

42

41

21

S

1

fS

1

S

1TT

netnet

εε−++

εε−

−σ=ϕ−=ϕ (W) (1.44)

Jj

Ji

jinet →ϕ


27

La relation f11 + f12 =1 nous permet de déduire : f12 = 1 et la relation (3.26) s’écrit alors :

22211

42

41

22

2

111

1

42

41

21

S

1

S

1

S

1TT

S

1

S

1

S

1TT

netnet

−ε

+ε

−σ=

εε−

++ε

ε−−

σ=ϕ−=ϕ

D’où : Cas particulier où la surface S1 est « petite » devant la surface S2 :

Nous avons dans ce cas : 0S

S

2

1 ≈ et la relation (3.27) s’écrit alors :

1.4 Transfert de chaleur par convection

1.4.1 Généralités. Définitions Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts de

chaleur par convection. Ce mode d’échange de chaleur existe au sein des milieux fluides dans lesquels il est généralement prépondérant.

Convection naturelle et forcée

Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue : - La convection libre ou naturelle : le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de

masse volumique résultant des différences de températures sur les frontières et d’un champ de forces extérieures (la pesanteur).

- La convection forcée : le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de température (pompe, ventilateur...).

L’étude du transfert de chaleur par convection permet de déterminer les échanges de chaleur se produisant

entre un fluide et une paroi.

Régime d’écoulement

Compte-tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de considérer le régime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluide dans une conduite :

- En régime laminaire, l’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes. :

Figure 1.29 : Schématisation d’un écoulement laminaire

( )

−+

−=ϕ−=ϕ

1ε

1

S

S

ε

1

TTSσ

22

1

1

42

411

21 netnet

( )42

411121 TTS

netnet−εσ=ϕ−=ϕ

(W) (1.45)

(W) (1.46)

umax u = 0

Thermique solaire


Entre deux filets fluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc : - Par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides. - Par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux

filets fluides.

- En régime turbulent, l’écoulement n’est pas unidirectionnel :

Figure 1.30 : Schématisation d’un écoulement turbulent

L’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction est généralement négligeable par rapport à la convection.

1.4.2 Expression du flux de chaleur Analogie de Reynolds

De même qu’au niveau moléculaire on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités de mouvement des molécules lors des chocs intermoléculaires, on explique la transmission de la chaleur par la transmission d’énergie cinétique lors de ces mêmes chocs.

Cette liaison intime des phénomènes de viscosité et de transfert de chaleur conduisent à l’analogie de Reynolds : dans un écoulement fluide avec transfert de chaleur dans un tube, le profil des vitesses et le profil des températures sont liés par une relation de similitude :

Figure 1.31 : Représentation de l’analogie de Reynolds Couches limites dynamiques et thermiques

Quelque soit le régime d’écoulement, il demeure une sous-couche laminaire (couche limite dynamique) dont l’épaisseur est d’autant plus réduite que le nombre de Reynolds est grand. L’épaisseur de cette couche limite varie en fonction de nombreux paramètres : nature du fluide, température, rugosité de la paroi...

L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, c’est à dire dans la sous-couche laminaire. Quelque soit le régime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entièrement située dans le film laminaire qui joue le rôle d’isolant thermique (couche limite thermique). Expression du flux de chaleur

On considère que cette résistance thermique R est équivalente à celle que le flux de chaleur rencontrerait en conduction à travers une paroi dont l’épaisseur serait celle du film laminaire et qui possèderait les mêmes caractéristiques thermiques que le fluide soit :

sous-couche laminaire

zone turbulente

u = 0

umax

umax

u = 0 Τp

Τi

Τmax


29

λ= e

R

avec : e épaisseur du film laminaire λ conductivité thermique du fluide

Rigoureusement, le flux de chaleur par unité de surface s’écrit alors : ( )ip TTe

−λ

=φ où Τi est la

température à la limite du film laminaire. Pour un régime thermique bien établi, on peut considérer en première approximation que par suite des courants

de convection la masse fluide au-delà du film laminaire est à une température constante et prendre comme loi de la densité de flux de chaleur la relation :

Avec : Τ∞ : Température du fluide loin de la paroi (°C) qui correspond au modèle de Prandtl représenté ci-après à titre d’exemple pour l’écoulement d’un fluide dans

une conduite :

Figure 1.32 : Représentation du modèle de Prandtl Τ∞ , qui est la température moyenne du fluide dans une section perpendiculaire à l’écoulement dans le cas de la

circulation d’un fluide dans une canalisation, dépend du régime d’écoulement. Dans le cas d’un échange paroi-fluide, on prendra pour Τ∞ la température du fluide loin de la paroi.

Loi de Newton. Valeur du coefficient de transfert

Cette loi simple présente néanmoins une énorme difficulté dans son application puisque l’on ne connaît pas l’épaisseur e du film laminaire. C’est ce qui amène à définir un coefficient de transfert superficiel ou coefficient de transfert de chaleur par convection par :

Quelque soit le type de convection (libre ou forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du fluide (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur ϕ est donné par la relation dite loi de Newton :

Le problème majeur à résoudre avant le calcul du flux de chaleur consiste à déterminer h qui dépend d’un nombre important de paramètres : caractéristiques du fluide, de l’écoulement, de la température, de la forme de la surface d’échange,...

On trouvera dans le tableau ci–après l’ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection

pour différentes configurations.

( )∞−λ

=φ TTe

p

eh

λ=

θ∆=ϕ Sh (W) (1.49)

umax

u = 0 Τp

Τi

Τ∞

(W m-2 °C-1) (1.48)

(W.m-2) (1.47)

Thermique solaire


Configuration h (Wm-2 °C-1)

Convection naturelle Plaque verticale de hauteur 0,3 m dans l’air Cylindre horizontal de diamètre 5 cm dans l’air Cylindre horizontal de diamètre 2 cm dans l’eau

Convection forcée Courant d’air à 2 m/s sur une plaque carrée de 2 m de côté Courant d’air à 35 m/s sur une plaque carrée de 0,75 m de côté Eau à 0,5 kg/s dans un tube de diamètre 2,5 cm Courant d’air à 50 m/s perpendiculaire à un tube de diamètre 5 cm

Ebullition de l’eau Dans un récipient En écoulement dans un tube

Condensation de l’eau sous 1 atm Sur une surface verticale A l’extérieur de tubes horizontaux

4,5 6,5 890

12 75

3500 180

2500-35000 5000-100000

1000-11000 10000-25000

1.4.3 Calcul du flux de chaleur en convection forcée

L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels :

Définis par :

λ

DhNu = Nombre de Nusselt

µ

DuRe

ρ= Nombre de Reynolds

λ

µcPr p= Nombre de Prandtl

Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante :

1. Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl.

2. Suivant la valeur de Re et la configuration → choix de la corrélation. 3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.

4. Calcul de D

Nuλh = et de ( )∞−=ϕ TTSh p .

Pour la convection forcée, les principales corrélations sont données en annexe A.4.1.

1.4.4 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle

Mécanisme de la convection naturelle

Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à température Τ0. Si l’on porte la paroi à une température Τ = Τ0 + ∆Τ, le fluide au contact de la paroi va s’échauffer par conduction et la masse du volume unité va passer de ρ0 à ρ0 - ∆ρ :

Nu = f (Re, Pr) (1.50)


31

Figure 1.33 : Représentation du mécanisme de convection naturelle

Il sera donc soumis à une force ascensionnelle →→

ρ∆−= gf . Le principe fondamental de la dynamique permet

d’évaluer l’accélération du fluide :

Pour un volume unité : m = ρ d’où : γρ=ρ∆ g et gρρ∆=γ

En introduisant le coefficient de dilatation cubique β du fluide défini par T

1

∆

ρ∆

ρ=β , il vient :

Tg ∆β=γ

β g ∆Τ est donc le module de l’accélération produite par l’expansion thermique due à la variation ∆Τ de la

température Τ0. Ce mouvement du fluide induit par les différences de masse volumique résultantes des gradients de température va donner naissance aux courants de convection.

Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient de

convection dépend des caractéristiques du fluide : λ, ρ, µ, cp, β, g, de la paroi caractérisée par la longueur L, et de l’écart de température ∆θ aux bornes du film ce que l’on peut traduire par une relation du type :

φ = f (λ, ρ, µ, cp, β, g, L, ∆Τ)

Dans le système M, L, T, θ, Q, cette relation entre 8 grandeurs se réduit à une relation entre trois nombres

adimensionnels : Définis par :

λ


2

32 LTgGr

µ

ρ∆β= Nombre de Grashof

λ


Signification physique du nombre de Grashof

Lorsque la masse unité du fluide, soumise à l’accélération β g ∆Τ subit une variation d’altitude L, la

conservation de l’énergie permet d’écrire :

TLg2

u2

∆β=

2

u2

représente la variation d’énergie cinétique et β g ∆Τ L la variation d’énergie potentielle.

On voit donc que le nombre de Grashof peut se mettre sous la forme :

t = 0 t

V = 1 u m = ρ0

Fluide à Τ0, ρ0 Fluide à Τ0, ρ0

→→ρ∆= gf

V = 1 u m = ρ0 - ∆ρ Τp = Τ0 Τp = T0 + ∆Τ

Nu = f ( Gr, Pr) (1.51)

Thermique solaire


2Lu

2

1Gr

µρ=

Il est donc proportionnel au carré d’un nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement. En pratique, en convection naturelle, le courant qui prend naissance reste laminaire jusqu’à ce que le nombre de Grashof atteigne une valeur d’environ 109.

Calcul du flux de chaleur en convection naturelle

L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels : Nu = f (Gr, Pr) définis par :

λ


2

32

µ

L∆TgGr

ρβ= Nombre de Grashof

λ


Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection naturelle s’effectue donc de la manière suivante :

1. Calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl . 2. Suivant la valeur de Gr et configuration → choix de la corrélation. 3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.

4. Calcul de D

Nuλh = et de ( )∞−=ϕ TTSh p

Pour la convection naturelle, les principales corrélations sont données en annexe A.4.2.

L’énergie solaire

33

2 L’ENERGIE SOLAIRE

2.1 Introduction

2.1.1 Le contexte

L’augmentation brutale du prix du pétrole survenue en 1973 a conduit une première fois l’homme à s’intéresser à des sources d’énergie renouvelables au premier rang desquelles l’énergie solaire. Les principales caractéristiques de l’énergie solaire ayant suscité l’intérêt qu’on lui a porté à l’époque étaient sa gratuité (nous y reviendrons), sa disponibilité sur une grande partie du globe terrestre et l’absence de risque d’épuisement connu par les sources d’énergie fossile.

On s’est vite aperçu que l’énergie solaire, contrairement à une idée répandue, n’est pas tout à fait gratuite : son utilisation nécessite un investissement de départ souvent plus lourd que pour les sources d’énergie conventionnelles et nombre d’installations solaires sont aujourd’hui à l’arrêt faute d’avoir prévu un budget pour la maintenance des équipements.

Toutefois, sans être totalement gratuite, l’énergie solaire présente des coûts de fonctionnement réduits et offre dans certains cas une alternative économiquement rentable par rapport aux sources d’énergie conventionnelles.

Le développement de l’utilisation de l’énergie solaire sera lié non seulement à ses avantages économiques (qui grandiront au fur et à mesure que les réserves d’énergie fossile diminueront) mais surtout à des considérations liées à la protection de l’environnement : pas de rejets polluants (fumées contenant du CO2 et des NOx par les centrales thermiques), pas de danger radioactif et de déchets encombrants (centrales nucléaires), possibilité de limitation de l’emploi des CFC (production de froid solaire par adsorption).

2.1.2 Aperçu de la ressource

Le soleil est une sphère gazeuse composée presque totalement d’hydrogène. Son diamètre est de 1 391 000 km (100 fois celui de la Terre), sa masse est de l’ordre de 2.1027 tonnes.

Toute l’énergie du Soleil provient de réactions thermo-nucléaires qui s’y produisent. Elles transforment à chaque seconde 564.106 tonnes d’hydrogène en 560.106 tonnes d’Hélium, la différence de 4 millions de tonnes est dissipée sous forme d’énergie ( E = mc2), ce qui représente une énergie totale de 36.1022 kW. La Terre étant à une distance de 150.106 km du Soleil, elle reçoit une énergie de 1,8.1017 W.

La valeur du flux de rayonnement solaire E reçu par une surface perpendiculaire aux rayons solaires placée à la limite supérieure de l’atmosphère terrestre (soit à environ 80 km d’altitude) varie au cours de l’année avec la distance Terre/Soleil. Sa valeur moyenne E0 est appelée la constante solaire, elle vaut E0 = 1353 W.m-2. En première approximation, on peut calculer la valeur de E en fonction du numéro du jour de l’année j par :

On trouvera sur la figure 2.1 la répartition spectrale du rayonnement solaire hors atmosphère.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

λλλλ (µµµµm)

E λλ λλ (

W.m

-2. µµ µµ

m-1)

Figure 2.1 Répartition spectrale du rayonnement solaire hors atmosphère.

( )[ ]j984,0cos033,01EE 0 += (2.1)

Thermique solaire


On notera que 98% du rayonnement solaire est émis dans des longueurs d’onde inférieures à 4 µm. En première approximation, le rayonnement solaire peut être assimilé au rayonnement d’un corps noir à une température de 5777 K.

2.2 Aspects géométriques Nous allons nous intéresser ici aux aspects géométriques du rayonnement solaire intercepté par la Terre dans

le but ultérieur de calculer le flux reçu par un plan incliné placé à la surface de la Terre et orienté dans une direction fixée. La connaissance de ce flux est la base du dimensionnement de tout système solaire.

2.2.1 Mouvements de la Terre

La trajectoire de la Terre autour du Soleil est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers. Le plan de cette ellipse est appelé l’écliptique.

L’excentricité de cette ellipse est faible ce qui fait que la distance Terre/Soleil ne varie que de ±1,7% par rapport à la distance moyenne qui est de 149 675.106 km.

La Terre tourne également sur elle-même autour d’un axe appelé l’axe des pôles. Le plan perpendiculaire à l’axe des pôles et passant par le centre de la Terre est appelé l’équateur. L’axe des pôles n’est pas perpendiculaire à l’écliptique : l’équateur et l’écliptique font entre eux un angle appelé inclinaison et qui vaut 23°27’. Les mouvements de la Terre autour de son axe et autour du Soleil sont schématisés sur la figure 2.2.

Figure 2.2 : Schématisation des mouvements de la Terre autour du Soleil On appelle déclinaison δδδδ l’angle formé par la direction du Soleil avec le plan équatorial. Elle varie au cours

de l’année entre -23,45° et +23,45°. Elle est nulle aux équinoxes (21 mars et 21 septembre), maximale au solstice d’été (21 juin) et minimale au solstice d’hiver (21 décembre). La valeur de la déclinaison peut être calculée par la relation :

Où j est le numéro du jour de l’année.

2.2.2 Mouvement apparent du Soleil

Le mouvement apparent du Soleil vu par un observateur fixe en un point de latitude L au nord de l’équateur est représenté sur la figure 2.3

Au midi solaire, l’angle que fait la direction du Soleil avec la verticale du lieu est égal à (L – d). La durée du jour est de 12h aux équinoxes, elle est inférieure à 12h entre le 21 septembre et le 21 mars,

supérieure à 12h entre le 21 mars et le 21 septembre.

( )[ ]284j980,0sin45,23 +°°=δ (2.2)

21 juin

21 mars

21 décembre

21 septembre

154.106 km 144.106 km

Nuit polaire

Tropique du Capricorne

Tropique du Cancer


35

Figure 2.3 : Mouvement apparent du Soleil observé d’un point de latitude L

Exemple :

Calculer l’angle fait par la direction du Soleil avec la verticale au midi solaire à Ouagadougou le 27 mai. La latitude de Ouagadougou est L = 12,45°N.

Nous avons : j = (31 + 28 + 31 + 30 + 17 = 147 d’où ( )[ ] °=+°°=δ 78,20284147980,0sin45,23 L’angle fait par la direction du Soleil avec la verticale du lieu au midi solaire a pour valeur :

L – d = 12,45 – 20,78 = -8,4° . A Ouagadougou le 27 mai, le Soleil passe donc au Nord de la verticale à midi bien que Ouagadougou soit dans l’hémisphère Nord.

Le repérage du Soleil s’effectue par l’intermédiaire de deux angles : - L’azimut a : c’est l’angle que fait la direction de la projection du Soleil sur le plan horizontal avec la

direction Sud, cet angle étant orienté positivement vers l’Ouest. - La hauteur h du Soleil : c’est l’angle que fait la direction du Soleil avec sa projection sur un plan

horizontal. Ces deux angles sont représentés sur la figure 2.4.

Figure 2.4 : Repérage de la position du Soleil. Ces deux angles sont fonction de : - La latitude L du lieu - La date j (numéro du jour de l’année) - L’heure solaire TS dans la journée.

La latitude L et la date j servent à déterminer la trajectoire du Soleil dans le ceil et l’heure TS donne ma

position instantanée sur cette trajectoire. On définit le jour comme le temps mis par la Terre pour effectuer un tour sur elle-même. Un jour a été divisé

en 24h et on a défini l’heure solaire TS en fixant TS = 12h lorsque la hauteur du Soleil est maximale (le Soleil est à son « zénith »).

E

N

S

O

a h

Coucher du Soleil

Lever du Soleil

Trajectoire apparente du Soleil

E

N

S

O

Coucher du Soleil

Lever du Soleil

Verticale

L - δ

Midi solaire (h maxi)

Thermique solaire


On définit également l’angle horaire ωωωω par : ω est compté positivement l’après-midi. La hauteur h du Soleil peut alors se déduire de la relation : Et l’azimut a par la relation : Des diagrammes solaires tels que ceux présentés en annexe A2.1 peuvent également permettre une

détermination rapide, en un lieu de latitude L donnée, des valeurs de a et h pour chaque heure (solaire) de la journée et chaque mois de l’année.

2.2.3 Heures et temps

2.2.3.1 Durée du jour Le module ωl de l’angle horaire au lever du Soleil s’obtient en écrivant sin(h) = 0 dans la formule (2.4), ce qui

conduit à : L’heure solaire au lever du Soleil a donc pour valeur : L’angle horaire ωc au coucher du Soleil est l’opposé de l’angle horaire à son lever, nous avons donc ωc = -ωl et

la durée du jour vaut :

2.2.3.2 Relation entre temps légal et temps solaire Les relations se rapportant au mouvement du Soleil utilisent le temps solaire TS qui diffère généralement du

temps légal TL (heure des montres) du lieu considéré. Cette différence est liée à : - La différence (fixée par chaque pays) entre l’heure légale TL et l’heure civile TCF du fuseau horaire dans

lequel il se trouve :

L’heure civile TCF du fuseau horaire est égale au temps universel TU (temps solaire du méridien de

Greenwich) augmenté de la valeur du décalage horaire que l’on trouvera sur la figure 2.5.

- La variation de la vitesse de la Terre sur sa trajectoire autour du Soleil qui introduit un terme correctif appelé équation du temps et noté ET :

( )12TS15 −°=ω

( ) ( ) ( )( )hcos

sincosasin

ωδ=

(2.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωδ+δ= coscosLcossinLsinhsin (2.4)

(2.5)

( ) ( ) ( )δ−=ω tanLtancos l (2.6)

( )15

12TS ll

ω−= (2.7)

152d lω

= (2.8)

TCFTLC −= (2.9)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ω+ω+ω+ω+ω+ω−

−=j'3sin3361,0j'2sin3912,9j'sin3509,7

j'3cos0903,0j'2cos2265,3j'cos4797,00002,0ET (2.10)


37

Où : j Numéro du jour de l’année ω’ = 0,984 ET Equation du temps (terme correctif) en mn ;

Figure 2.5 : Décalage horaire par rapport au méridien de Greenwich

- La différence de longitude (l – lref) entre le lieu considéré et le lieu servant de référence au temps légal (en

général le centre du fuseau).

Le temps solaire TS se calcule finalement par la formule : La correction maximale due à l’équation du temps est de l’ordre de 16 mn, on peut ne pas en tenir compte en

première approximation. On trouvera les variations annuelles de la déclinaison et de l’équation du temps sur la figure 2.6.

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 50 100 150 200 250 300 350

Jour

ET

(m

n) o

u δδ δδ(

°)

Figure 2.6 : Equation du temps ET et déclinaison δ en fonction du jour de l’année.

( )15

llETCTLTS ref −

++−= (2.11)

δ (°)

ET (mn)

mois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n° jour du

1er du mois 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

Thermique solaire


Le problème est souvent de déterminer la différence C entre TL et TCF en un lieu donné, on peut procéder de la manière suivante :

- Il est possible de connaître TL et TU (écouter une radio internationale…) d’où (TL – TU). - La différence (TCF – TU) peut être lue sur la figure 2.5. - On en déduit C = (TL – TU) – (TCF – TU).

Exemple :

Calculer la hauteur du Soleil et l’azimut lorsqu’il est 12h30 le 20 février à Bordeaux. La latitude est L = 44,5°N et la longitude est l = 0,34°O.

La différence (TL-TU) est égale à 1h en France en février (heure d’hiver), la différence (TCF – TU) lue sur la figure 15 est nulle.

Nous obtenons par application de la figure 1.6 ou par le calcul : ET = -14,1 mn. Nous en déduisons : TS = 12,5 - 1 -14,1/60 +(0+0,34)/15 = 11,3 h D’où ω = 15 (TS – 12) = - 18,2° Et ( )[ ] °−=+°°=δ 32,1228451980,0sin45,23

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 536,02.18cos32,12cos5,44cos32,12sin5,44sincoscosLcossinLsinhsin =−−+−=ωδ+δ= d’où : h = 32,4°

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

215,04,32cos

2,18sin32,12cos

hcos

sincosasin −=

−−=

ωδ= d’où : a = -12,4°

2.2.4 Durée et taux d’ensoleillement

2.2.4.1 Durée d’ensoleillement Selon les conditions atmosphériques, le ciel peut être plus ou moins couvert de nuages au cours d’une journée.

Ceux-ci occultent le Soleil, totalement ou partiellement, empêchant ainsi le rayonnement d’atteindre directement le sol. On dit que la nébulosité est plus ou moins importante selon qu’il y a beaucoup ou peu de nuages.

On appelle durée effective d’ensoleillement ou insolation SS le temps pendant lequel, au cours d’une journée, le rayonnement solaire direct a atteint le sol du lieu considéré. On appelle rayonnement direct le rayonnement qui atteint la surface terrestre sans avoir subi de déviation depuis son émission par le Soleil.

2.2.4.2 Taux d’ensoleillement Par ciel clair sans nuages, le sol reçoit le rayonnement solaire direct pendant toute la durée du jour, ou plus

précisément pendant la durée maximale d’ensoleillement SS0. On appelle taux d’ensoleillement ou taux d’insolation le rapport entre la durée effective et la durée maximale d’ensoleillement. :

La durée maximale d’ensoleillement SS0 pour un site dégagé peut être prise égale à la durée du jour calculée

par la formule (2.8).

2.3 Aspects énergétiques

2.3.1 L’atmosphère terrestre

2.3.1.1 Composition L’atmosphère est constituée de plusieurs couches de caractéristiques différentes, ce sont : - La troposphère, entre le sol et 15 km d’altitude. - La stratosphère entre 15 et 80 km d’altitude. - L’ionosphère entre 80 et 200km d’altitude.

Les caractéristiques absorbantes de l’atmosphère sont déterminées par la présence de :

- CO2 (0,03%) - Vapeur d’eau : en quantité variable caractérisé par l’épaisseur d’eau condensable qui est l’épaisseur d’eau

que l’on obtiendrait en condensant toute la vapeur d’eau contenue dans l’atmosphère.

0SS

SS=σ (2.12)


39

- Ozone O3 située entre 10 et 30 km d’altitude. - Aérosols : grains de sable, poussières, fumées…

On trouvera sur la figure 2.7 la répartition spectrale du rayonnement solaire au niveau du sol terrestre avec

indication des gaz partiellement opaques qui filtrent ce rayonnement selon la longueur d’onde.

Figure 2.7 : Répartition spectrale du rayonnement solaire au niveau du sol terrestre.

2.3.1.2 Rayonnement du ciel et de l’atmosphère

Les gaz non transparents de l’atmosphère (CO2, O3, H2O) émettent vers la Terre un rayonnement dans les principales bandes suivantes :

- vers 14,7 µm pour le CO2. - Entre 5 et 7 µm et entre 14 et 20 µm pour la vapeur d’eau. - Vers 9,6µm pour O3.

Ainsi que le montre la figure 2.8, il s’agit d’un rayonnement émis dans les grandes longueurs d’onde (> 3µm)

contrairement au rayonnement solaire émis dans des longueurs d’ondes inférieures à 3 µm.

Figure 2.8 : Spectre du rayonnement atmosphérique.

500

1000

1500

2000

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 λ (µm)

Iλ (W.m-2.µm-1)

Composante diffuse (légère brume)

Composante diffuse (ciel clair)

Eclairement hors atmosphère Eclairement au niveau de la mer Emission du corps noir à 5800K

2 5 15 8 12 20 25 30 λ (µm)

Emittance (W.m-3)

Thermique solaire


4aa

4cielciel TT εσ=σ=Φ

La densité de flux Φciel rayonnée par le ciel et l’atmosphère vers la Terre peut être calculé par : Où Tciel et εa sont donnés par l’une des corrélations suivantes Où : Tra Température de rosée de l’air en K Ta Température de l’air en K

2.3.2 Rayonnement solaire au sol

2.3.2.1 Notations Comme nous l’avons évoqué précédemment, l’atmosphère ne transmet pas au sol la totalité du rayonnement

solaire qu’elle reçoit : - Le rayonnement direct est celui qui traverse l’atmosphère sans subir de modifications. - Le rayonnement diffus est la part du rayonnement solaire diffusé par les particules solides ou liquides en

suspension dans l’atmosphère. Il n’a pas de direction privilégiée. - Le rayonnement global est la somme du rayonnement direct et diffus.

Les notations utilisées pour les composantes du rayonnement solaire sur une surface horizontale sont données

dans le tableau 2.1.

Directe S

Diffuse D

Irradiation solaire

Energie reçue pendant une certaine durée W.m-2.durée-1 ou kWh.m-2.durée-1

Globale G

G = S + D

Direct S*

Diffus D*

Eclairement solaire

Flux instantané W.m-2

Global G*

G* = S* + D*

Tableau 2.1 : Rayonnement solaire sur un plan horizontal : notations utilisées.

Le rayonnement direct reçu par une surface orientée en permanence vers le Soleil et qui reçoit donc le

rayonnement solaire sous une incidence normale est désigné par I. Nous désignerons par : - I l’énergie reçue (irradiation) en W.m-2.durée-1 ou kWh.m-2.durée-1

- I* le flux reçu (éclairement) en W.m-2 Nous avons la relation :

12TT aciel −=

( )[ ]2a

4a 273T10.77,7exp261,01 −−−=ε −

+=ε

273

Tln764,0787,0 ra

a

( )hsin*I*S =

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)


41

2.3.2.2 Rayonnement direct

Eclairement S*

L’éclairement solaire direct S* sur un plan horizontal peut être déterminé de plusieurs manières en fonction des données disponibles :

α. Par mesure de G* et D*, on en déduit S* = G* - D*. β. A partir de la mesure des irradiations journalières globales G et diffuse D sur un plan horizontal, on en

déduit S = G – D et S* par la fonction de répartition suivante :

Où : a = 0,409 + 0,502 sin(ωl – 60°) b = 0,661 - 0,477 sin(ωl – 60°)

χ. A partir de la mesure de l’irradiation journalière globale G, on évalue l’irradiation journalière diffuse D

par la corrélation de Collares-Pereira et Rabl :

Où :

G0 étant l’irradiation journalière sur un plan horizontal placé au-dessus de l’atmosphère calculable par :

Où ωl est en degré et G0 en kJ.m-2

On calcule ensuite S = G – D et on est ramené au cas précédent.

δ. A partir de la connaissance de la moyenne mensuelle de l’irradiation globale journalière G , on calcule l’irradiation diffuse journalière moyenne D par la corrélation de Collares-Pereira et Rabl :

Et on est ramené au cas β.

A partir de la mesure du taux d’ensoleillement σ, on évalue G par :

Et on est ramené au cas précédent.

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

Scos

180sin

coscoscosba

24*S

ll

l

l

ωωπ

−ω

ω−ωω+π=

G99,0D = KT ≤ 0,17

( )GK648,14K865,21K473,9K272,2188,1D 4T

3T

2TT +−+−= 0,17 < KT ≤0,75

( ) G632,0K54,0D T +−= 0,75 <KT ≤ 0,80 G2,0D = KT ≥ 0,80

0

TG

GK =

( ) ( )[ ] ( ) G103K115cos9000455,0505,09000606,0775,0D Tll −°−ω+−°−ω+=

(2.18)

(2.19)

(2.20)

( ) ( ) ( ) ( )

ω

ωπ−ωδ= l

ll

40 cos

180sincosLcos10.795,3G (2.21)

(2.22)

(2.23)( )[ ]σ+= 52,0Lcos29,0GG 0 Zone tropicale

[ ]72,012GG 0 −+σ= France

Thermique solaire


ε. On ne dispose d’aucune mesure : on peut évaluer le rayonnement direct sur un plan perpendiculaire au

rayonnement solaire par la relation :

Où TL est le facteur de trouble de Linke calculable par :

β est le coefficient de trouble atmosphérique que l’on peut prendre égal à : β = 0,05 en zone rurale β = 01 en zone urbaine β = 0,2 en zone industrielle ou polluée

pv est la pression partielle de vapeur d’eau exprimée en mmHg.

On en déduit S* = I* sin(h)

Irradiation directe journalière S

L’irradiation directe journalière S sur un plan horizontal peut être déterminé de plusieurs manières en fonction des données disponibles :

α. Par mesure directe de G et D on en déduit S = G – D.

β. A partir de G , on calcule D par la formule (2.19) et on est ramené au cas précédent.

χ. A partir de la mesure du taux d’ensoleillement σ on évalue G par la formule (2.23) et on est ramené au cas précédent.

δ. Par intégration sur la journée des valeurs de S* = I* sin(h), I* étant calculé par la formule (2.24).

2.3.2.3 Rayonnement diffus

Eclairement D*

L’éclairement solaire diffus D* sur un plan horizontal peut être déterminé de plusieurs manières en fonction des données disponibles :

α. Par mesure directe. β. A partir de la mesure de l’irradiation journalière diffuse D sur un plan horizontal, on déduit :

χ. A partir de la mesure de l’irradiation globale G sur un plan horizontal : on évalue D par la formule (2.22) et on est ramené au cas précédent.

δ. A partir de la mesure du taux d’ensoleillement σ, on évalue G par la formule (2.23) et on est ramené au

cas précédent.

ε. Par utilisation de la corrélation suivante en l’absence de toute mesure :

( ) ( )vpln214,06,144,2TL β++β+=

( )

+−=

hsin4,99,0

TLexp1370*I

(2.24)

(2.25)

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

Dcos

180sin

coscoscosba

24*D

ll

l

l

ωωπ

−ω

ω−ωω+π= (2.26)


43

Où TL est le facteur de trouble de Linke calculable par la formule (2.25).

Irradiation D

L’irradiation diffuse journalière D sur un plan horizontal peut être déterminé de plusieurs manières en fonction des données disponibles :

α. Par mesure directe.

β. A partir de la mesure de l’irradiation globale G sur un plan horizontal : on évalue D par la formule

(2.22).

χ. A partir de la mesure du taux d’ensoleillement σ, on évalue G par la formule (2.23) et on est ramené au

cas précédent.

δ. Par intégration des valeurs de D* données par la corrélation (2.27) en l’absence de toute donnée.

2.3.3 Rayonnement solaire sur un plan quelconque

Soit une surface plane inclinée d’un angle i par rapport à l’horizontale et orientée vers une direction faisant un angle g avec la direction Sud (g compté positivement vers l’Ouest). Le rayonnement global G*(i,γ) reçu par cette surface est la somme de 3 termes :

chacun des 3 termes se calculant de la façon suivante : Eclairement direct : Eclairement diffus : Eclairement réfléchi :

Où ρ est le facteur de réflexion du sol vis-à-vis du rayonnement solaire, ρ est appelé l’albedo. On trouvera ses

valeurs en annexes A2.

2.3.4 Variations types du rayonnement

2.3.4.1 Annuelle

La valeur de l’irradiation globale annuelle sur un plan horizontal dépend fortement de la latitude comme le montre la carte de l’ensoleillement sur la figure 2.9.

( ) ( )[ ]hsin5,0TLhsin8,54*D −−= (2.27)

( ) ( ) ( ) ( )γ+γ+γ=γ ,i*R,i*D,i*S,i*G (2.28)

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]icoshsinacosisinhcoshsin

*S,i*S +γ−=γ

( ) ( )[ ]icos12

*D,i*D +=γ

( ) ( )[ ]icos12

*G,i*R −ρ=γ

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Thermique solaire


Figure 2.9 : Irradiation globale moyenne en kWh.m-2.j-1 La valeur mensuelle moyenne de l’irradiation globale sur un plan horizontal subit également des variations

plus ou moins importantes au cours de l’année ainsi que l’indiquent les données du tableau 2.2.

Mois Lieu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Bangui 4,50 5,16 5,81 5,67 5,44 4,76 4,45 4,63 5,08 5,26 4,64 4,35 Dakar 5,2 5,93 6,99 7,02 6,95 6,51 5,78 5,10 5,40 5,50 5,00 4,87 Le Caire 3,36 4,40 5,83 6,76 7,2 7,58 7,43 6,96 6,13 4,86 3,58 3,08 Ouagadougou 5,61 6,36 6,28 6,31 6,22 6,06 5,81 5,47 5,94 5,83 5,75 5,19

Tableau 2.2 : Valeurs mensuelles moyennes des irradiations journalières (en kWh.m-2.j-1) en différents lieux.

La valeur du flux est élevée et sa valeur minimale est relativement importante en zone tropicale ce qui peut

permettre d’envisager des systèmes solaires autonomes sans stockage d’énergie sur une longue période. En dehors de la zone tropicale, les écarts de la valeur de l’irradiation entre le mois le plus ensoleillé et le mois le moins ensoleillé sont importants et il faudra prévoir soit une stockage d’énergie soit une énergie d’appoint pour couvrir un besoin énergétique donné (séchage de produits, production d’eau chaude sanitaire, pompage d’eau,…).

2.3.4.2 Mensuelle En zone tropicale, l’irradiation globale journalière moyenne G sur un plan horizontal varie peu en saison sèche

alors qu’elle subit des variations importantes en saison pluvieuse ainsi que le montrent les valeurs de la station de Ouagadougou dans le tableau 2.3.

Jour 11 12 13 14 15 16 17 G (kJ.m-2-j -1) 9620 21430 16690 17450 9860 17820 19280

Tableau 2.3 : Valeur de G (kJ.m-2.j-1) à Ouagadougou en août 1987. Ceci pose le problème de la sécurité de fonctionnement des systèmes solaires : si l’on veut assurer une

couverture complète des besoins chaque jour de l’année, il faut une système de stockage d’énergie permettant de pallier à une période de non-ensoleillement limitée à 2 jours en zone tropicale sèche. Dans les autres zones où les périodes d’ensoleillement peuvent être de plus longue durée, il faut obligatoirement utiliser une autre source d’énergie en appoint. Exemple : chauffe-eau électrosolaire où l’eau est chauffée dans un capteur solaire et par une résistance électrique si la température atteinte est insuffisante.

180 150 120 90 60 30 0 30 60 90 120 150 180

180 150 120 90 60 30 0 30 60 90 120 150 180


45

2.3.4.3 Journalière L’éclairement solaire reçu par un capteur varie typiquement de la manière représentée sur la figure 2.10 au

cours d’une journée non-perturbée : nul la nuit , il augmente dès le lever du jour pour atteindre un maximum au midi solaire avant de décroître de nouveau jusqu’à s’annuler à la tombée de la nuit.

Figure 2.10 : Variation type de l’éclairement solaire au cours d’une journée non-perturbée. L’utilisation de l’énergie solaire est donc bien adaptée aux applications dont les besoins coïncident avec les

heures d’ensoleillement maximum. Dans la plupart des cas, il existe un décalage qui nécessite un stockage pour satisfaire les besoins de la période de non-ensoleillement : ballon d’eau chaude associée à un capteur solaire pour les besoins en eau chaude en début de matinée, château d’eau associé à une pompe solaire pour les besoins nocturnes en eau.

Eclairement d'une surface horizontale (L =10°, l = 10°, j = 150)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

5 7 9 11 13 15 17Heure légale (h)

Flu

x (W

.m-2)

S*(i,γ)

D*(i, γ)

G*(i,γ)

Thermique solaire


Les capteurs solaires

47

3 LES CAPTEURS SOLAIRES PLANS

Nous ferons dans ce paragraphe l’hypothèse que la couverture transparente utilisée dans le capteur solaire est opaque au rayonnement IR ( λ > 3µm) et n’absorbe pas le rayonnement solaire.

3.1 Principe Le rôle d’un capteur solaire thermique est de transformer le rayonnement solaire qu’il reçoit en énergie

calorifique utilisable, le plus souvent par l’intermédiaire d’un fluide caloporteur (eau, air, …). Le schéma de principe d’un capteur solaire plan est donné sur la figure 3.1.

Figure 3.1 : Schéma de principe d’un capteur solaire plan

La paroi absorbante s’échauffe sous l’effet de l’absorption du rayonnement solaire incident. Le fluide qui circule sous cette paroi récupère par convection une partie de cette énergie absorbée et subit une élévation de température Tfs – Tfe à la traversée du capteur.

3.2 Bilan thermique global de la paroi absorbante Le bilan thermique de la paroi absorbante s’écrit : Où : ϕsa Flux solaire absorbé ϕp→ Flux perdu par la paroi absorbante ϕu Flux utile transmis au fluide caloporteur ϕst Flux stocké dans le capteur qui s’écrit :

Où : Me Masse en eau du capteur définie par : ∑ = eaueii cMcm , i représentant les différents

éléments constitutifs du capteur T Température moyenne du capteur t Temps La puissance absorbée par le capteur s’écrit :

Où : ϕsa Flux solaire absorbé par la surface exposée (W)

G*(i,γ) Eclairement (densité de flux) solaire incident sur le capteur (W.m-2) αps Coefficient d’absorption de la paroi absorbante par rapport au rayonnement solaire

τcs Coefficient de transmission de la couverture transparente par rapport au rayonnement solaire

tTcM eauest ∂

∂=ϕ (3.2)(W)

( ) S*G ,ipscssa γατ≈ϕ (3.3)(W)

stupsa ϕ+ϕ+ϕ=ϕ → (3.1)(W)

Fluide entrant à Tfe , sortant à Tfs

Couverture transparente

Isolant

Air confiné

Paroi absorbante / rayonnement solaire

Thermique solaire


(3.5)

S Surface de la paroi absorbante.

Dans le cas où le fluide caloporteur ne subit pas de changement d’état, le flux utile s’écrit :

Où : qcf Débit calorifique du fluide caloporteur (W.°C-1) = débit massique x capacité calorifique Tfe Température du fluide caloporteur à l’entrée de l’absorbeur Tfs Température du fluide caloporteur à la sortie de l’absorbeur. Les déperditions thermiques du capteur sont mises sous la forme :

Où : hp Coefficient global de pertes du capteur Tpm Température moyenne de la paroi absorbante Ta Température de l’air extérieur Dans le cas d’un capteur plan, la température moyenne Tpm peut en première approximation être calculée par : pour tenir compte de la non-linéarité de l’évolution de la température du fluide dans le capteur et de l’écart de

température ∆T existant entre le fluide et la paroi absorbante.

Rendements d’un capteur solaire Les rendements d’un capteur sont définis par rapport au flux solaire incident de la manière suivante :

- Le rendement global :

- Le rendement interne :

- Le rendement optique :

On définit également des rendements moyens sur une période donnée (jour, mois, année). Pour ce faire, on

intègre la relation du bilan (3.1) sur la période choisie :

∫∫∫ →ϕ+ϕ=ϕt

0p

t

0u

t

0sa dtdtdt soit : Qsa = Qu + Qp→

On définit alors les rendements global η , interne iη et optique oη moyens du capteur sur la période

considérée par :

( )∫ γ

=ηt

0

u

dtS,i*G

Q

sa

ui

Q

Q=η ( )∫ γ

=ηt

0

sao

dtS,i*G

Q

S*G ),i(

u

γ

ϕ=η (3.9)

sa

ui ϕ

ϕ=η (3.10)

S*G ),i(

sa0

γ

ϕ=η (3.11)

(3.12) (3.13) (3.14)

( )fefscfu TTq −=ϕ

T4

TT3T fefs

pm ∆++

= (3.7)(°C)

( )STTh apmpp −=ϕ → (3.6)(W)

(W)


49

Ces rendements sont à considérer lors d’un calcul de dimensionnement d’un capteur solaire. Il ne faut pas les

confondre avec les rendements instantanés qui sont toujours plus élevés ( un rendement journalier moyen tient compte du refroidissement nocturne par exemple).

3.3 Expression du coefficient global de pertes

Capteur solaire couvert de type 1

Les échanges thermiques convectifs entre la paroi absorbante et l’extérieur dans un capteur solaire couvert que nous appellerons de type 1 peuvent être schématisés comme indiqué sur la figure 3.2 .

Figure 3.2 : Schématisation des flux convectifs dans un capteur couvert de type 1. Pertes thermiques vers le haut

Les pertes thermiques vers le haut peuvent s’écrire : cc,rac,ccp,rcp,c −−−−↑ ϕ+ϕ=ϕ+ϕ=ϕ

Où : cp,c −ϕ Flux échangé par convection-conduction entre la paroi absorbante et la couverture

cp,r −ϕ Flux échangé par rayonnement entre la paroi absorbante et la couverture

ac,c −ϕ Flux échangé par convection entre la couverture et l’air extérieur

ac,r −ϕ Flux échangé par rayonnement entre la couverture et le milieu extérieur.

Chacun de ces flux peut s’exprimer de la manière suivante :

• ( )STTh cmpmcp,ccp,c −=ϕ −− où hc,p-c est le coefficient de transfert de chaleur entre deux surfaces

parallèles délimitant un espace clos contenant de l’air, calculable par la corrélation présentée en annexe A.1.3.

• cp,r −ϕ peut être calculé en considérant la paroi absorbante et la couverture comme deux surfaces

parallèles infinies (la distance les séparant est faible devant leur largeur et leur longueur) grises et opaques (hypothèse de la couverture opaque au rayonnement IR), ces hypothèses permettent d’écrire :

S1

11

TT

cipi

4cm

4pm

cp,r

−α

+α

−σ=ϕ − que l’on peut aussi écrire : ( )STTh cmpmcp,rcp,r −=ϕ −−

avec : ( )( )

111

TTTTh

cipi

cmpm2

cm2

pmcp,r

−α

+α

++σ=−

Avec : αpi Coefficient d’absorption de la plaque par rapport au rayonnement IR αci Coefficient d’absorption de la couverture par rapport au rayonnement IR.

h1 ≈ h2

hvent

hvent

hc,p-c

Fluide à Tf

Couverture à Tcm

Plaque abs. à Tpm

Air à Ta

Air à Ta

Thermique solaire


• ac,c −ϕ qui dépend principalement de la vitesse du vent peut se calculer par :

( )STTh acmap,ccc,c −=ϕ −−

le coefficient de convection étant calculable par la corrélation suivante où uvent est la vitesse moyenne du vent :

• ( ) ( )STTSTT 4ciel

4cmci

4aa

4cmciac,r −ασ=ε−ασ=ϕ −

Où : εa Emissivité de l’atmosphère calculable par les relations (2.15) ou (2.16) Tciel Température équivalente du ciel Tcm Température moyenne de la couverture. Que l’on peut mettre sous la forme :

( )STTh acmac,rac,r −=ϕ −− avec : ( )

acm

4aa

4cmci

ac,rTT

TTh

−

ε−ασ=−

Le flux perdu vers le haut par la plaque absorbante peut alors s’écrire :

( ) ( ) ( ) ( ) STThhSTThh acmca,rventcmpmcp,rcp,cp −+=−+=ϕ −−−↑

soit encore :

S

hh

1

hh

1

TTS

hh

1

TTS

hh

1

TT

ca,rventcp,rcp,c

apm

ca,rca,c

acm

cp,rcp,c

cmpmp

−−−−−−−

↑

++

+

−=

+

−=

+

−=ϕ

Pertes thermiques vers le bas

Les pertes thermiques vers le bas peuvent s’écrire :

venti

i

abbp,rbp,cp

h

1

S

e

TT

+λ

−=ϕ+ϕ=ϕ −−↓

Où : bp,c −ϕ Flux échangé par convection-conduction entre la paroi et le bas

bp,r −ϕ Flux échangé par rayonnement entre la paroi et le bas

ei, λi Epaisseur et conductivité thermique de l’isolant. Les deux flux échangés par la paroi absorbante avec le bas du capteur peuvent s’écrire :

i

bp

21

bpbp,c

h2

TT

h1

h1

TT −≈

+

−=ϕ − car h1 ≈ h2 = hi = coefficient de convection fluide/paroi, calculable par les

corrélations données en annexe A.1.2.

et : ( ) STTh bpmcp,rbp,r −=ϕ −− avec : ( )( )

111

TTTTh

bipi

bpm2

b2

pmbp,r

−α

+α

++σ=−

Avec αbi Coefficient d’absorption du fond du capteur par rapport au rayonnement IR.

On en déduit : S

h1

S

e

hh1

TTS

h1

S

eTT

S

hh1

TT

venti

i

bp,rbp,c

apm

venti

i

ab

bp,rbp,c

bpmp

+λ

++

−=

+λ

−=

+

−=ϕ

−−−−

↓

ventventac,c u8,37,5hh +==− (3.15) (W.m-2.°C-1)


51

Pertes thermiques totales

On obtient finalement :

venti

i

bp,rbp,c

apm

ca,rventcp,rcp,c

apm

ppp

h

1

S

e

hh

1

TT

hh

1

hh

1

TT

+λ

++

−+

++

+

−=ϕ+ϕ=ϕ

−−−−−

↓↑

que l’on peut mettre sous la forme : ( ) STTh apmpp −=ϕ avec :

Capteur solaire couvert de type 2

Figure 4.3 : Schématisation des flux convectifs dans un capteur solaire couvert de type 2. Une analyse similaire conduit au résultat suivant :

Capteur solaire non-couvert de type 3

Figure 34 : Schématisation des flux convectifs dans un capteur solaire non-couvert de type 3.

On établit la relation :

venti

i

ca,rventcp,rcp,c

p

h

1

S

e1

hh

1

hh

11

h

+λ

+

++

+

=

−−−

venti

i

bp,rbp,cca,rventcp,rcp,c

p

h

1

S

e

hh

1

1

hh

1

hh

11

h

+λ

++

+

++

+

=

−−−−−

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(W.m-2.°C-1)

(W.m-2.°C-1)

(W.m-2.°C-1)

venti

i

bp,rbp,c

ca,rventp

h

1

S

e

hh

1

1hhh

+λ

++

++=

−−

−

hvent

hvent

hc,p-c

Couverture à Tcm

Plaque abs. à Tpm

Air à Ta

Air à Ta

Fluide à Tf

h1 ≈ h2

hvent

hvent

Fluide à Tf

Plaque abs. à Tpm

Air à Ta

Air à Ta

Thermique solaire


Capteur solaire non-couvert de type 4

Figure 3.5 : Schématisation des flux convectifs dans un capteur solaire non-couvert de type 4.

On établit la relation :

3.4 Bilan thermique de la couverture transparente Le bilan thermique de la couverture transparente s’écrit d’après ce qui précède:

Avec : ( )

acm

4aa

4cmci

ac,rTT

TTh

−

ε−ασ=− ; hvent = 5,7 + 3,8 uvent ;

( )( )1

11

TTTTh

cipi

cmpm2

cm2

pmcp,r

−α

+α

++σ=−

et hc,p-c coefficient global de convection dans la cellule fermée délimitée par la paroi absorbante et la couverture transparente, il peut être calculé par la corrélation donnée en annexe A.1.3. La connaissance de Tpm permet de calculer Tcm par résolution de l’équation (3.20) par une méthode itérative.

3.5 Exemple de calcul du rendement d’un capteur Nous allons à titre d’exemple développer le calcul du rendement d’un capteur solaire couvert de type 2, les

résultats relatifs aux autres types de capteur seront donnés par la suite au § 3.6.

3.5.1 Profil transversal de température Nous allons dans un premier temps déterminer le profil de température de la paroi absorbante dans la direction

Oy perpendiculaire à la direction Ox de l’écoulement du fluide (cf. figure 3.6).

Figure 3.6 : Schéma en coupe de l’absorbeur. Le bilan thermique du morceau de plaque de longueur unité compris entre y et y + dy s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )STThhSTThh acmca,rventcmpmcp,rcp,c −+=−+ −−−

(3.19)

(3.20)

(W.m-2.°C-1)

Air à Ta

hvent

hvent

Plaque abs. à Tpm

Air à Ta

Fluide à Tf

ℓ

φDe

0 y y + dy

Tube à température extérieure uniforme Tt

Tp(y)

Ox

φDi

venti

ipa,rventp

h

1e1

hhh+

λ

++= −


53

( )dyTThy

Te

y

Te apmp

dyypp

yppsa −+

∂

∂λ−=

∂

∂λ−φ+

où : ep, λp Epaisseur et conductivité thermique de la paroi absorbante hp Coefficient global de pertes de la paroi absorbante φsa Densité de flux solaire absorbé par la plaque

ce qui peut s’écrire :

φ−−

λ=

∂

∂

p

saap

pp

p

2

p2

hTT

e

h

y

T

on peut poser : p

saapp

hTTT

φ−−= et

pp

p2

e

h

λ=ω , on obtient : 0T

y

Tp

22p

2

=ω−∂

∂

d’où : ( ) ( ) ( )ycoshCysinhCypT 21 ω+ω=

On utilise les conditions aux limites pour calculer C1 et C2 :

En y = 0 : 0y

T

y

T pp =∂

∂=

∂

∂ par raison de symétrie, on en déduit : C1 = 0

En 2

Dy e−

=l

: Tp = Tt , on en déduit :

−ω

φ−−

=

2

Dcosh

hTT

Ce

p

saat

2 l

D’où :

( )( )( )

−ωω=φ

−−

φ−−

2

Dcosh

ycosh

hTT

hTyT

e

p

saat

p

saap

l

Le flux transféré (par unité de longueur selon Ox) à la base de la plaque en ( )

2

Dy e−

=l

vers un tube s’écrit :

( )( ) ( )

−ω

φ−−

ω=

−ωλω

−ω

φ−−

−=

∂

∂λ−=ϕ

−=

→2

Dtanh

hTT1

2

Dsinhe

2

Dcosh

hTT

y

Ted e

p

saat

epp

e

p

saat

2

Dy

ppptp

e

ll

ll

La plaque comprise entre y = 0 et ( )

2

Dy e−

=l

joue en fait le rôle d’ailette de chauffage par rapport au tube.

Si toute cette ailette était à la température uniforme Tt, le flux transféré de l’ailette au tube s’écrirait :

( )[ ] ( )2

DTThd e

atpsatp max

−−−φ=ϕ →

l

Le rendement de l’ailette est défini par : Le tube gagne également un flux capté directement sur sa largeur apparente De supposée à la température

uniforme Tt :

( )

−−φ=ϕ→ atpsaet TThDd

(3.21)

( )

( )2

D2

Dtanh

d

dF

e

e

tp

tp

max

−ω

−ω

=ϕ

ϕ=

→

→

l

l

Thermique solaire


Le flux utile total gagné par un tube par unité de longueur selon la direction Ox de l’écoulement du fluide

s’écrit finalement en considérant que chaque tube reçoit le flux de deux ailettes de longueur ( )

2

De−l :

d ( ) ( )[ ]eeatpsau DFDTTh −+

−−φ=ϕ l

Ce flux utile gagné par le tube est transmis au fluide à travers la résistance de conduction du tube d’épaisseur et et la résistance de convection entre la paroi interne du tube et le fluide, soit :

it

t

ii

ftu

D

e

Dh1

TTd

πλ+

π

−=ϕ

On peut éliminer Tt en égalant les deux expressions de ϕu et l’on obtient finalement l’expression du flux utile gagné par chaque tube par unité de longueur dans la direction Ox de l’écoulement du fluide :

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]eeit

t

iip

eeafpsau

DFDD

e

Dh1h1

DFDTThd

−+

πλ+

π+

−+−−φ=ϕ

l

l (W.m-1)

que l’on écrit sous la forme simplifiée : ( )

−−φ=ϕ afpsau TTh'Fd l (W.m-1)

avec : F’ apparaît comme le rapport de la résistance thermique au transfert entre la plaque et l’extérieur sur la

résistance thermique au transfert entre le fluide et l’extérieur. F’ est donc un nombre inférieur ou égal à l’unité appelé facteur d’efficacité de la plaque absorbante.

3.5.2 Profil de température dans le sens de l’écoulement du fluide

Considérons un tube de longueur L parmi les n tubes du capteur, le fluide entre dans le tube à la température Tfe et en ressort à la température Tfs. D’après ce qui précède, chaque tube gagne un flux utile dϕu par unité de longueur dans le sens Ox de l’écoulement du fluide.

Effectuons un bilan thermique sur la portion de fluide contenue dans un tube entre les distances x et x +dx à

partir de l’entrée du tube, il s’écrit :

dxdx

Tc

n

mu

ff

f ϕ=∂∂

•

où : •

fm Débit total du fluide dans l’absorbeur constitué de n tubes en parallèle (kg.s-1)

cf Capacité calorifique du fluide (J.kg-1)

on en déduit : ( )[ ]dxTTh'Fx

Tc

n

mafpsa

ff

f −−φ=∂∂

•

l

Par intégration entre 0 et x, on obtient le profil de température longitudinal du fluide :

( )[ ]

πλ+

π+

+−

=

it

t

iipee

p

D

e

Dh1

hDFD1

h1

'F

l

l

(3.22)


55

( )

−=φ

−−

φ−−

• xcm

h'Fnexp

hTT

hTxT

ff

p

p

saafe

p

saaf

l

et par intégration entre x = 0 et x = L, on obtient l’expression suivante de la température de sortie Tfs du

fluide dans laquelle LS l= est la surface de l’absorbeur :

−=φ

−−

φ−−

•

ff

p

p

saafe

p

saafs

cm

h'FSnexp

hTT

hTT

On peut également calculer la température moyenne du fluide dans l’absorbeur par :

( )∫=L

0ff dxxT

L1T

moy qui conduit à l’expression suivante :

−−

φ−−+

φ+= •

•

ff

p

p

ff

p

saafe

p

saaf

cm

h'FSnexp1

h'FSn

cm

hTT

hTT

moy

3.5.3 Calcul du rendement global

Le flux utile gagné sur la surface totale LS l= de l’absorbeur peut se calculer par :

∫ ϕ=ϕL

0uu dxdn avec ( )[ ]afpsau TTh'F −−φ=ϕ l et

( )

−=φ

−−

φ−−

• xcm

h'Fnexp

hTT

hTxT

ff

p

p

saafe

p

saaf

l

Le calcul de cette intégrale conduit à : ( )

−−φ=ϕ afepsaRu TThFS

Où FR est le facteur de conductance de l’absorbeur défini par : Le rendement global du capteur tel que défini par la relation (3.9) s’écrit finalement : Où η0 est le rendement optique défini par la relation (3.11).

−−= •

•

ff

p

p

ffR

cm

h'FSnexp1

hS

cmF

( )

φ

−−η=η

sa

afepoR

TThF

(3.23)

(3.24)

Thermique solaire


3.5.4 Température moyenne de l’absorbeur

Par définition du coefficient global de pertes défini par la relation (3.6) , on a :

−−φ=ϕ apmpsau TThS

On en déduit :

où : ( )

−−φ=ϕ afepsaRu TThFS

3.6 Rendement des autres types de capteur

3.6.1 Capteurs de type 1 et 3

Dans ces deux types de capteurs, l’énergie absorbée est transmise au fluide sur toute la surface de captation, il n’y a pas d’effet d’ailette à prendre en compte et par conséquent : F = 1.

et on montre que : Les formules de calcul du facteur de conductance FR et de l’efficacité η restent inchangées, mais le rendement

optique a l’expression simplifiée suivante dans le cas d’un capteur de type 3 : pso α=η .

Les expressions du coefficient global de pertes hp sont également différentes pour les deux types de capteur (cf. § 3.3).

3.6.2 Capteur de type 4

Les formules de calcul du facteur d’efficacité F’, du facteur de conductance FR et de l’efficacité η sont les mêmes que celles du capteur de type 2, par contre le coefficient global de pertes hp n’a pas la même expression dans les deux cas (cf. § 3.3) et le rendement optique a pour expression : pso α=η

3.7 Autres grandeurs caractéristiques

Rayonnement de seuil

Nous avons établi précédemment les expressions : ( ) ( )

−−φ=−=ϕ afepsaRfefscfu TThFSTTq

Pour une valeur de Tfe donnée (par exemple la température en début de journée de l’eau issue d’un ballon de

stockage redescendue à 45 °C pendant la nuit), il apparaît que l’éclairement solaire G*(i,γ) atteignant un capteur doit être supérieur à un certaine valeur appelée rayonnement de seuil que nous noterons G*s pour que le flux utile soit positif. Cette valeur G*s est donnée par :

(3.27)

bp,ri

i

p

bp,r2

1

p

h

1

h

11

h

h1

1

h

1

h

11

h

h1

1'F

−−

++

+

≈

++

+

=

( )csps

afeps

TTh*G

τα

−=

(3.26)

p

u

p

saapm

hShTT

ϕ−

φ+= (3.25)

(W.m-2)

(°C)


57

Cette valeur est importante en pratique car pour des valeurs de l’éclairement solaire inférieures à Es, le flux utile est nul. Il ne faut donc pas prendre en compte les valeurs G*(i,γ) < G*s. On cherchera à obtenir un rayonnement de seuil le plus faible possible.

Température limite

Si, pour un éclairement solaire G*(i,γ) donné le débit du fluide caloporteur s’annule, la température moyenne Tpm de la paroi absorbante va augmenter jusqu’à atteindre une valeur d’équilibre appelée température limite Tpl solution de l’équation du bilan thermique global de l’absorbeur :

( ) 0TTh aplpsa =−−φ

d’où : Il faut considérer le comportement des matériaux utilisés à la température limite de fonctionnement

correspondant à l’éclairement solaire maximum (G*(i,γ) ≈ 1000 W.m-2) pour éviter tout risque de dégradation du capteur.

Inertie thermique

Avant d’atteindre un fonctionnement en régime semi-permanent (bien que l’éclairement solaire varie de façon continue, on pourra le considérer constant sur une période d’une heure par exemple), le capteur passe par une phase de régime variable qui l’amène de la température ambiante Ta (à laquelle il se trouve en début de journée) à sa température de fonctionnement Tfe.

Le bilan global de la phase de mise en température d’une durée tm peut être mis sous la forme :

( ) ( )m

afeeaueapmpsa

t

TTcMSTThS

−+−=φ

Où : φsa Flux solaire moyen absorbé lors de la phase de mise en température Tpm Température moyenne de l’absorbeur lors de la phase de mise en température tm Temps nécessaire à la mise en température. La durée de la phase de mise en température s’écrit donc :

Pertes de charge

Les frottements du fluide caloporteur dans les conduits entraînent des pertes de charge qui sont principalement fonction de la vitesse d’écoulement du fluide.

La connaissance des pertes de charge permet d’assurer un écoulement suffisant du fluide en convection naturelle (thermosiphon pour l’eau, effet de cheminée pour l’air) ou de calculer la puissance de la pompe de circulation ou du ventilateur en convection forcée.

Les pertes de charge en ligne (régulières) dans un conduit à parois lisses sont données par :

Avec :

2000ResiRe

3164,0

2000ResiRe

64

25,0c

c

>=λ

<=λ

( )( )[ ]STTh

TTcMt

apmpsa

apeauem −−φ

−=

h

2f

fcD2

Lup ρλ=∆ (Pa)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(s)

(°C) asa

pl T*G

T +φ

=

Thermique solaire


Où : ρf Masse volumique du fluide uf Vitesse du fluide L Longueur du conduit Dh Diamètre hydraulique du conduit (= 4 x section de passage / périmètre mouillé) On trouvera en annexe A.3.1 des formules permettant d’évaluer les pertes de charges singulières dans un

certain nombre de configurations courantes : coudes, variations de section par exemple. La connaissance du couple (débit volumique , pertes de charges) permet de sélectionner dans un catalogue

constructeur la pompe ou le ventilateur adapté. Le constructeur fournit en effet pour chaque appareil sa courbe caractéristique de fonctionnement : pertes de charge = f (débit volumique) comme le montre l’exemple de l’annexe A.3.2.

Le choix de la vitesse du fluide caloporteur et donc de son débit résulte d’un compromis pour obtenir des

pertes de charges limitées (elles augmentent avec la vitesse) et un coefficient de transfert de convection fluide/paroi absorbante élevé (il augmente lui aussi avec la vitesse).

On retiendra les valeurs pratiques suivantes : Eau : u = 0,5 à 2 m.s-1 h = 250 à 15 000 W.m-2.°C-1 Air : u = 5 à 10 m.s-1 h = 10 à 50 W.m-2.°C-1.

3.8 Méthode de calcul d’un capteur solaire

3.8.1 Conditions de fonctionnement d’un capteur existant

On se place ici dans le cas de figure où l’on dispose d’un capteur solaire plan dont on connaît les dimensions et les propriétés thermiques et optiques des différents éléments constitutifs. Le problème est de déterminer son rendement dans des conditions météorologiques données. Les inconnues du problème sont : Tpm, Tcm, hpet η .

On utilise une méthode itérative :

- On fixe une valeur arbitraire « réaliste » de Tpm - On calcule Tcm par résolution de l’équation (3.20) - On calcule les différents coefficients d’échange par convection et rayonnement puis le coefficient

global de pertes hp par l’une des relations (3.16) à (3.19) - On calcule F, F’, FR et η par les relations (3.21) à (3.24) - On recalcule Tpm par (3.25) - On compare la valeur recalculée à la valeur de départ. Si la différence dépasse un critère de

convergence à fixer (écart > 0,05°C par exemple), on réitère la boucle de calcul en prenant comme valeur initiale la valeur recalculée. Sinon, on arrête le calcul en retenant les résultats de la dernière boucle effectuée.

Remarque :

Ces calculs itératifs peuvent être effectués très simplement dans un tableur en créant une feuille de calcul dans laquelle on affectera une case à chacune des grandeurs Tpm, Tcm, hp, F, F’, FR, η. On entre dans ces cases respectivement les formules (3.25), (3.20), l’une des relations (3.16) à (3.19) et les relations (3.21) à (3.24). On créé ainsi des références circulaires que le tableur peut résoudre automatiquement si l’on choisit l’option itération proposée dans le menu calcul.

3.8.2 Dimensionnement d’un capteur solaire plan

On veut maintenant dimensionner un capteur solaire capable d’élever la température d’un débit de fluide de Tfe à Tfs dans des conditions météorologiques données. Les inconnues du système sont maintenant Tpm, Tcm, hp

et S . On résout également le problème par une méthode itérative : - On fixe une valeur « réaliste » de S - On effectue la boucle de calcul décrite ci-dessus pour déterminer η

- On recalcule S par ( )[ ]afepsaR

u

TThFS

−−φ

ϕ= jusqu’à convergence.


59

3.8.3 Calcul approché

Le rendement d’un capteur solaire plan est souvent calculé par la relation (3.24) dans laquelle on considère une valeur moyenne constante du coefficient global de pertes hp calculé à l’aide des relations précédemment

établies. La représentation du rendement h du capteur en fonction du rapport sa

ap TT*T

φ

−= est en effet

assimilable à une droite pour les valeurs de ce rapport inférieures à 0,07 ainsi que le montre la figure 3.7. Le rendement peut alors s’écrire sous la forme : η = Β – K T*. Dans la norme française NF P50-501, les grandeurs Β et K sont appelées respectivement :

- Facteur optique du capteur - Conductance thermique totale des pertes.

Pour T* = 0, on a Tp = Ta et les pertes de l’absorbeur sont alors nulles et on a Ssau

φ=ϕ . La constante B est

donc égale au rendement optique : ( ) ocspssau

*G

*G

*GS

S

*GS0*TB η=

τα=

φ=

ϕ==η= .

On obtient une valeur nulle du rendement pour 0u =ϕ , la température de l’absorbeur est dans ce cas égale à

la température limite donnée par la relation (3.28) :

a

sapl T

*GT +

φ=

La température réduite T*(η=0) vaut alors : ( )p

o

p

oaa

p

sa

h*Gh

*G

*G

TTh

0*Tη

=η

=

−+φ

==η

On en déduit que : ( ) p

p

o

o h

h

0*T

BK =

ηη

==η

=

Figure 3.7 : Rendement instantané d’un capteur solaire en fonction de ),i(*G

TT*T

ap

γ

−=

Rendement instantané η

T* (K.m2.W-1)

Thermique solaire. Yves Jannot, 2007.

Utilisations de l’énergie solaire

61

4 UTILISATIONS DE L’ENERGIE SOLAIRE

4.1 Production d’eau chaude La production d’eau chaude sanitaire est à l’heure actuelle l’application la plus développée de l’énergie solaire

thermique. Sous un climat tropical sec, un chauffe-eau solaire performant et bien dimensionné peut permettre de satisfaire les besoins en eau chaude d’une famille toute l’année. Sous un climat tropical humide, il sera nécessaire à certaines périodes d’utiliser une énergie d’appoint. Le chauffe-eau solaire permettra quand même de réaliser d’importantes économies. Il existe plusieurs types de chauffe-eau solaire que nous allons détailler.

4.1.1 Chauffe-eau solaire capteur-stockeur

Ce sont des appareils qui se présentent comme des capteurs solaires à eau classiques avec coffre, vitrage, isolant et absorbeur. La contenance de l’absorbeur, de l’ordre de 75 l.m-2 permet d’assurer dans le même appareil les fonctions de captage et de stockage de l’énergie.

Ces appareils sont peu encombrants, peu coûteux et faciles à installer. Ils présentent un bon rendement lors des

journées ensoleillées (résistance thermique négligeable entre l’absorbeur et l’eau : contact sur toute la surface de l’absorbeur). Cependant les pertes de chaleur sont importantes la nuit et la température de l’eau le matin en période fraîche (décembre, janvier en climat tropical sec) est souvent trop basse. Des modèles de fabrication locale bien isolés ont été testés et donnent des résultats satisfaisants. Le problème principal à résoudre est la réalisation d’un capteur plat d’une épaisseur de l’ordre de 5 mm résistant à la pression d’eau du réseau.

Figure 4.1 : Schéma d’un chauffe-eau solaire capteur-stockeur

4.1.2 Chauffe-eau solaire monobloc

Il s’agit d’appareils dont le ballon de stockage d’eau chaude est solidaire du capteur solaire comme représenté sur la figure 4.2, la circulation d’eau entre les deux éléments s’effectuant par thermosiphon. La figure 4.3 représente une vue éclatée d’un chauffe-eau solaire monobloc commercialisé.

Pour un bon fonctionnement de ces appareils, les règles suivantes doivent être respectées :

- Eviter les possibilités d’accumulation d’air en un point haut du circuit - Placer les tubes en parallèle pour éviter les pertes de charge - Le bas du réservoir doit être situé au-dessus du capteur - Respecter une inclinaison minimale (>10°, on choisit souvent 30°) pour un fonctionnement correct du

thermosiphon La figure 4.4 illustre quelques unes de ces règles d’installation.

Couverture transparente

Lame d’air

Isolant thermique

Eau

Thermique solaire


Figure 4.2 : Schéma de principe d’un chauffe-eau solaire monobloc

Figure 4.3 : Vue éclatée chauffe-eau solaire BP Solar (http://www.apex-bpsolar.com/solaire/chauffeEau)


63

Figure 4.4 : Règles d’installation des chauffe-eau solaires monoblocs

4.1.3 Chauffe-eau solaire à éléments séparés

Ces appareils sont constitués d’un ballon relié à un ou plusieurs capteurs par des tuyauteries de longueur variable. Le ballon non solidaire du capteur peut être installé à l’intérieur du logement. Ils fonctionnent le plus souvent en convection forcée (circulation de l’eau assurée par une pompe) ce qui nécessite le raccordement au réseau électrique. D’une plus grande souplesse d’utilisation, leur bon fonctionnement est davantage tributaire du soin apporté à leur installation. On trouvera sur la figure 4.5 le schéma de principe d’une installation type et sur la figure 4.6 le détail des différents éléments constitutifs.

Figure 4.4 : Schéma de principe d’un chauffe-eau solaire à éléments séparés

La différence de masse volumique entre l’eau chaude et l’eau froide conduit à l’établissement d’un gradient de température dans un ballon de stockage d’eau chaude : la température de l’eau est plus élevée en haut qu’en bas du ballon ainsi que le schématise la figure 4.6 Le rendement d’un capteur solaire étant d’autant plus élevé que la température d’entrée du fluide est faible, on a intérêt :

- A choisir un rapport hauteur/diamètre du ballon suffisant (>2) pour obtenir une stratification suffisante, - A éviter le brassage de l’eau dans le ballon qui « casserait » la stratification, - A envoyer vers le capteur de l’eau provenant de la partie basse du ballon.

Thermique solaire


Figure 4.5 : Eléments d’un chauffe-eau solaire à éléments séparés

Figure 4.6 : Schématisation de la stratification dans un ballon d’eau chaude (extrait de Bragard S.)


65

4.1.4 Eléments de dimensionnement

L’isolation du capteur et du réservoir est réalisée en laine verre ou en mousse de polyuréthane avec une épaisseur de 30 à 50mm. Pour des raisons de tenue en température, le polystyrène est à écarter. Le volume de stockage varie entre 75 et 100 litres par m² de capteur. La surface de capteur retenue varie entre 2 et 4m² pour une famille de 4 à 6 personnes. Des logiciels tels que SOLO2000® ou SimSol® du CSTB (disponible gratuitement à l’adresse http://software.cstb.fr/main/home_vl.asp ) permettent de réaliser un dimensionnement plus précis prenant en compte :

- Les performances du capteur (coefficients B et K à renseigner) - Les données météorologiques - Les besoins en eau chaude.

Le logiciel SOLO2000 est exécutable en ligne avec l’avantage de posséder les données de nombreuses stations météorologiques africaines en bibliothèque à l’adresse : http://www.tecsol.fr/st_fr/plansite.asp?page=gar0.htm

4.2 Froid et climatisation

4.2.1 Réfrigération

L’énergie solaire peut être utilisée pour produire du froid par deux voies : - Photoélectrique : on utilise l’électricité produite par des panneaux photovoltaïques pour alimenter un

groupe frigorifique à compression ou des éléments Peltier - Thermique : on utilise la chaleur récupérée dans un capteur solaire pour produire du froid par sorption.

Des réfrigérateurs fonctionnant sur ce principe sont opérationnels comme celui de Flechon et Godmel dont on trouvera le schéma sur la figure 4.7.

Son fonctionnement repose sur l’utilisation d’un couple absorbant/fluide frigorigène. La substance absorbante

reste dans le capteur solaire. Dans la journée, l’élévation de sa température dans le capteur provoque l’évaporation du fluide frigorigène qui se condense dans un condenseur placé dans l’air ambiant à l’extérieur de l’enceinte à réfrigérer. Il est ensuite stocké dans un réservoir.

Pendant la phase nocturne le composé absorbant se refroidit et devient « avide » de fluide frigorigène. Celui-ci s’évapore donc dans l’évaporateur placé à l’intérieur du caisson isolé à refroidir pour être réabsorbé par le composé absorbant.

Le cycle peut alors se répéter le jour suivant. La production de froid s’effectuant la nuit, il faut prévoir un stockage du froid produit pour limiter l’élévation de température de l’enceinte réfrigérée dans la journée. Ce stockage s’effectue généralement par un volume d’eau glycolée placée dans l’enceinte.

Le facteur limitant la diffusion de ces réfrigérateurs reste un coût élevé.

Figure 4.7 : Schéma du réfrigérateur photothermique des Prs Flechon et Godmel

4.2.2 Climatisation

Nous présenterons ici le principe de deux systèmes reposant sur des cycles intermittents d’absorption/désorption d’eau dans un solide hygroscopique (gel de silice) :

Thermique solaire


Le système conçu par Dannies (figure 4.8) ne comporte aucun mécanisme et ne fait appel qu’aux mouvements de l’air par convection naturelle. Les murs Est et Ouest du bâtiment contiennent les éléments absorbants au travers desquels l’air circule selon le processus suivant :

- Le matin le Soleil échauffe le mur Est : le mélange d’air et de vapeur d’eau réchauffé et plus léger monte dans le mur Est et en sort à sa partie supérieure. Il en résulte une aspiration correspondante d’air par les orifices supérieurs du mur Ouest dans lequel l’air passe sur l’absorbant régénéré la veille et s’y dessèche. Un dispositif d’évaporation d’eau placé au pied du mur permet alors de le refroidir avant son introduction dans la pièce. Durant cette phase, l’échauffement du mur Est provoque la déshydratation de l’absorbant qu’il renferme.

- L’après-midi, le Soleil échauffe le mur Ouest et la circulation d’air s’inverse. Ce système expérimenté au Libéria et en Lybie a permis de maintenir les locaux à une température de 5 à 15°C

au-dessous de l’ambiance extérieure, avec une humidité relative comprise entre 65 et 75%. Un autre système destiné à la déshumidification de l’air en zone humide a été mis au point par Lof aux Etats-

Unis (figure (4.9). L’air à déshumidifier passe à travers une pluie de solution de glycol concentrée et s’y dessèche. La chaleur latente de condensation et la chaleur d’absorption sont éliminées dans un échangeur à eau : à la sortie l’air déshumidifié est à la même température qu’à l’entrée.

Le glycol dilué par son échange avec l’air humide est envoyé dans un régénérateur où il tombe en gouttelettes à travers un courant ascendant d’air sec réchauffé dans un capteur solaire à air.

Ces systèmes restent toutefois au stade de faible diffusion et semblent difficilement adaptables à l’habitat

individuel. Leur avenir se situe plutôt dans une intégration à une centrale de climatisation en vue de réduire la consommation énergétique.

Figure 4.8 : Schéma du procédé Dannies (d’après IIF)

Figure 4.9 : Schéma du procédé Lof


67

4.3 Distillation

4.3.1 A un étage

C’est le plus simple et le plus répandu, on en trouvera une schématisation sur la figure 4 .10. L’eau placée dans un bac noirci disposé au fond d’un capteur solaire s’échauffe par absorption du rayonnement solaire traversant la vitre. Cet échauffement provoque une évaporation superficielle, la vapeur d’eau produite venant ensuite se condenser sur la vitre plus froide. Il suffit alors de récupérer l’eau distillée ruisselant sur la face interne de la vitre à l’aide d’un système de gouttières placées de chaque côté de la vitre.

Figure 4.10 : Schéma de principe d’un distillateur solaire à un étage

Figure 4.11: Vues d’un distillateur commercialisé (http://www.watercone.com/product.html)

4.3.2 A plusieurs étages

Pour augmenter le rendement des distillateurs solaires, le Pr Le Goff a imaginé un distillateur à plusieurs étages où la chaleur libérée par la condensation est récupérée dans un 2ème étage pour servir à évaporer une masse d’eau supplémentaire suivant le schéma de la figure 4.12.

Figure 4.12 : Schéma du distillateur solaire DIFICAP du Pr Le Goff

Thermique solaire


La production distillée peut théoriquement atteindre 10 à 15 l.m-2 par jour. Les problèmes liés à sa réalisation n’ont pas jusqu’à présent permis sa vulgarisation.

4.4 Cuisson La cuisson est une application nécessitant une température plus élevée que les applications précédentes,

l’utilisation de l’énergie solaire est donc a priori moins adaptée à cette application. De nombreux modèles de cuiseurs solaires ont toutefois été développés, on peut les classer en deux catégories :

- Les cuiseurs solaires à concentration (cf. figure 4.13) : dans ces modèles le récipient à chauffer (noir) est dans le milieu ambiant au foyer d’une parabole réflectrice. Il capte ainsi tout les rayons de Soleil parallèles à l’axe de la parabole. Ce type de cuiseur n’utilise donc que le rayonnement direct et ne peut pas fonctionner en période humide où la part du rayonnement diffus est importante. Par ailleurs, leur utilisation nécessite de prendre quelques précautions : ils peuvent provoquer éblouissement ou brûlures.

- Les cuiseurs solaires plans (cf. figure 4.14): le récipient à chauffer (noir) est placé dans un caisson dont les parois internes sont recouvertes d’un réflecteur, sur-isolé et recouvert d’un double vitrage. Il y a également risque de brûlure en sortant le récipient du cuiseur.

Notons que les cuiseurs solaires présentent l’inconvénient de nécessiter une utilisation en plein soleil et aux heures d’ensoleillement maximum.

Figure 4.13 : Schéma de cuiseurs solaires à concentration (http://www.mueller-solartechnik.com/fkocher.htm)

Figure 4.14 : Schéma d’un cuiseur solaire plan (http://www.mueller-solartechnik.com/fkocher.htm)

Ces appareils permettent d’atteindre des températures de 120 à 160°C en période d’ensoleillement. Le modèle plan permet le maintien au chaud du fait de sa forte isolation thermique.

Le séchage solaire

69

s

e

m

mW =

m

mm e

c =

W1

Wmc;

m1

mW

c

c

+=

−=

5 LE SECHAGE SOLAIRE

5.1 Généralités sur le séchage et définitions

5.1.1 But du séchage

Le but du séchage est de déshydrater un produit de façon à abaisser sa teneur en eau en-dessous d’une valeur permettant sa conservation à température ambiante. Le séchage a donc pour effet d’alléger le produit. Il provoque également des modifications d’aspect, de goût, de texture et de qualité nutritionnelle du produit.

L’étude du séchage nécessite la connaissance des définitions et des relations relatives à l’air humide (cf. cours « L’air humide »).

5.1.2 Définitions Tout produit d’origine végétale ou animale contient de l’eau, on peut donc distinguer dans un tel produit de

masse m : - une masse me d’eau, - la masse restante ms = m – me appelée masse sèche ou anhydre du produit.

Comme pour l’air humide on définit l’humidité ou la teneur en eau d’un produit (en base sèche) exprimé en kgeau.kgms

-1 par :

(5.1)

La teneur en eau d’un produit est parfois définie en base humide : (5.2)

Les deux grandeurs sont liées par les relations suivantes : (5.3) Exemple : La teneur en eau du maïs après récolte est Wi = 0,54. On veut le sécher jusqu’à obtenir une teneur en eau finale

Wf = 0,18. Calculer la masse de maïs obtenue après séchage de 100 kg de maïs frais.

s

s

s

eii m

mm

m

mW

−== d’où : kg9,64

54,01

100

W1

mms

i

i =+

=+

=

kg7,119,6418,0mWmm

mW sfef

s

eff =×==⇒=

La masse du maïs obtenue après séchage est : mf = me + ms = 64,9 + 11,7 = 76,6 kg.

5.1.3 Equilibre air / produit 5.1.3.1 Activité de l’eau

L’activité de l’eau est le rapport entre la pression de vapeur d’eau à la surface du produit et la pression de la

vapeur d’eau sur la surface plane d’un liquide à la même température.

Thermique solaire


( )Tp

paw

sat

v=

Figure 5.1 : Représentation de l’activité de l’eau

(5.4)

Considérons maintenant un produit et un air en équilibre l’un avec l’autre, pv, T, pva et Ta étant respectivement

les pressions de vapeur d’eau et les températures du produit et de l’air. L’équilibre impose : - T = Ta : pas de transfert de chaleur - pv = pva : pas de transfert de masse

or l’humidité relative de l’air s’écrit : ( )Tp

p100HR

s

va= d’où HR = 100 aw .

L’activité de l’eau dans un produit est donc également l’humidité relative d’un air en équilibre avec le produit. Pour qu’un produit puisse se conserver à température ambiante, son activité aw doit être abaissée en-dessous de 0,6 (les moisissures ne peuvent plus se développer, cf. annexe A.5.1).

5.1.3.2 Isotherme de sorption

L’activité aw de l’eau dans un produit dépend principalement de sa teneur en eau X et de sa température T. La courbe représentant pour une température T donnée la teneur en eau X d’un produit en fonction de la valeur de l’activité de l’eau aw ou de l’humidité relative de l’air en équilibre HR est appelée :

- Isotherme d’adsorption si elle a été déterminée expérimentalement en partant d’un produit sec. - Isotherme de désorption si elle a été déterminée en partant d’un produit saturé en eau.

Les isothermes d’adsorption/désorption présentent en général trois zones, chaque zone correspondant à un

mode de fixation particulier de l’eau sur le produit, cf. figure 5.2.

Figure 5.2 : Différentes zones des isothermes de sorption

- Zone 1 : Constitution d’une monocouche moléculaire à la surface du produit.

Elle est caractéristique de l’action des forces de Van der Waals entre les groupements hydrophiles et les molécules d’eau. L’adsorption des molécules d’eau se fait progressivement jusqu’à constituer une monocouche recouvrant toute la surface externe des pores du produit. L’eau est dans un état rigide en raison de l’importance des forces de liaisons entre les molécules d’eau et la surface. Le passage à la zone suivante s’effectue quand toute la surface est saturée.

- Zone 2 : Adsorption des molécules sur la monocouche initiale. L’isotherme est linéaire dans cette zone et l’eau est dans un état intermédiaire entre solide et liquide.

Produit à T

pv Psat(T)

1 2 3

Xeq

aw 10

monocouche

multicouche eau liquide

Zone non hygroscopique

Zone hygroscopique

Le séchage solaire

71

- Zone 3 : Eau présente à l’état liquide dans les pores du matériau. L’épaisseur de la pellicule est suffisante pour que l’eau soit présente à l’état liquide dans les pores du matériau. L’eau microcapillaire constitue une phase continue.

De nombreux modèles ont été proposés pour représenter les isothermes de sorption par des fonctions

mathématiques, on en trouvera un récapitulatif dans le tableau 5.1. Certains paramètres de ces modèles ont une signification physique :

- Dans les modèles de BET et de GAB, W12 représente la teneur en eau du solide à la saturation de la monocouche,

- Dans le modèle de GAB, les paramètres C et K ont les expressions suivantes :

−=

RT

HHexpAC mw (5.5) et

−=

RT

HHexpBK

qw (5.6)

Où : Hw Chaleur de condensation de l’eau pure Hm Chaleur de sorption totale de la première couche Hq Chaleur de sorption totale des multicouches.

Parmi ces modèles, les plus couramment utilisés pour représenter les isothermes de sorption des produits

alimentaires sont ceux de BET (Czepirski et al, 2002), de GAB (Akanbi et al, 2006) et d’Henderson et de Hasley (Pagano et Mascheroni, 2005).

Tableau 5.1 : Modèles pour les isothermes de sorption

Auteurs Modèle

Paramètres Domaine

Langmuir HRC1

HRCWW 12 +

= (5.7) C W12

Zone 1

( )( ) 1n

1nn

12HRCHR1C1

HRnHR1n1

HR1

HRCWW

+

+

−−+

++−−

=

(5.8) C W12 n nombre de couches

Zone 2 Brunauer Emmet Teller (BET)

( ) HRWC

1C

WC

1

WHR1

HR

1212

−+=−

(5.9) C W12

n=1 , HR2 négligé Zone 1

Guggenheim Anderson Boer (GAB) ( ) ( )KHRKCHR1KHR1

KCHRWW 12

−+−= (5.10)

−=

RT

HHexpCC m1

0

−=

RT

HHexpKK

q10

W12

Courbe complète

Harkings

−=

2W

nkexpHR (5.11)

k n

Courbe complète

Smith

−−=

n

Wkexp1HR (5.12)

k n

Courbe complète

Henderson ( )[ ]CWBTAexp1HR +−−= (5.13) A, B, C Courbe

complète

Oswin

1C

W

TBA1HR

−

++= (5.14)

A B C

Courbe complète

Chung ( )

−

= Wnexp

TR

kexpHR (5.15)

k n

Courbe complète

Thermique solaire


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Activité a w

Xeq

(kg

.kg

ms

-1)

Xeq_exp à 40°C

Xeq_GAB à 40°C

Xeq_exp à 50°CXeq_GAB à 50°C

Xeq_exp à 60°C

Xeq_GAB à 60°C

Signification physique des paramètres : - W12 Teneur en eau à la transition entre les zones 1 et 2 (saturation de la monocouche) - n Nombre de couches - H1 Chaleur de condensation de l’eau pure - Hm Chaleur de sorption totale de la première couche - Hq Chaleur de sorption totale des multicouches

On trouvera à titre d’exemple sur la figure 5.3 les isothermes de désorption de la banane et de l’ananas à différentes températures et leur modélisation par le modèle de GAB.

Figure 5.3 : Isothermes de désorption expérimentales et modèle de GAB pour l’ananas et la banane.

5.1.3.3 Caractéristiques physiques déductibles des isothermes Teneur en eau de transition W12

Elle se déduit par application d’une méthode d’estimation de paramètres à partir une courbe expérimentale pour trouver les paramètres (dont W12) de la formule de BET qui est la mieux adaptée entre HR = 0,1 et HR = 0,35. Surface spécifique SS

La détermination de la teneur en eau de transition W12 permet de calculer la surface de la monocouche en

supposant que celle-ci est recouverte de molécules d’eau alignées. On considérera également que les molécules sont sphériques et empilées dans les couches suivantes de la manière la plus compacte possible, soit un empilement cubique à faces centrées selon la « conjecture de Kepler » (1611!). Calcul du diamètre dm d’une molécule

Soit ρ la masse volumique de l’adsorbat, moléculelaparoccupévolume

adsorbat'dmoléculelademasse

V

m

0

==ρ

avo

0N.

MmV

ρ=

ρ= = Volume de la molécule + Volume du vide intermoléculaire

et Vm le volume de la molécule donné par : 6

3dV m

m

π=

0,0

0,2

0,4

0,6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Activité a w

Xeq

(kg.

kgm

s-1

)

Xeq_exp à 40°C

Xeq_GAB à 40°C

Xeq_exp à 50°C

Xeq_GAB à 50°C

Xeq_exp à 60°C

Xeq_GAB à 60°C

Ananas

Weq

(kg

.kg

ms

-1)

Banane

Le séchage solaire

73

La valeur du rapport

0

m

V

Vf = pour l’empilement empilement cubique à faces centrées a été établie par Kepler

(1611 !) et vaut 23

π

On en déduit : 3

1

avo

31

avo

31

mm

N

M2Mf6V6d

ρ=

Νρπ=

π= (c)

Calcul de la surface projetée Sm occupée par chaque molécule

La surface qu’occupe une molécule correspond à la surface d’un cercle Sc de diamètre dm (diamètre de la molécule) ajoutée à la surface intermoléculaire Si tel que représenté sur la figure 5.4.

Figure 5.4 : Agencement des molécules sur la surface du solide

On cherche à déterminer l’aire de la partie hachurée Si et pour cela il suffit de connaître l’aire du triangle ABC Striangle ainsi que l’aire du secteur d’un cercle Ssecteur :

4

3d

2

hdS

2mm

triangle ==

π

απ=

2.

4

d.S

2m

teursec avec α = π/3 d’où : 24

d.S

2m

teursec

π=

Compte-tenu de la disposition des molécules, Sm s’écrit : Sm = Sc + 6 Si /3

Avec Si = Striangle – 3 Ssecteur soit : 2m

2mi d

8d

4

3S

π−=

d’où : 2m

2m

2m

2mm d

2

3d

4d

2

3d

4S =π−+π=

Calcul de la surface spécifique SS : surface de la monocouche par gramme de matière sèche

Soit Xm la masse d’adsorbat par gramme de matière sèche et Nm le nombre de molécules d’adsorbat par

gramme de matière sèche, Nm s’écrit :

M

NXN avo

mm =

Où Navo Nombre d’Avogadro (6,023.1023 mol-1) M Masse molaire de l’adsorbat (kg.mol-1)

Diamètre dm

+

+

+

C

B

Surface intermoléculaire Si

A α

Ssecteur h

Thermique solaire


12

3

1

2avo

3

m WM

N

2

23SS

ρ==

d’où : M

NWd

2

3NSSS avo

122mmm ==

Et en reportant dans (b) : (5.16)

Dans le cas de l’eau elle s’écrit : 12W3516SS=

Avec : SS Aire de la monocouche ou surface spécifique (m2.g-1 ) W12 Teneur en eau à la transition entre les zones 1 et 2 (kg.kg-1)

5.1.3.4 Détermination expérimentale des isothermes de sorption

Méthode gravimétrique

Le principe d’obtention d’un point de l’isotherme est le suivant : on place un échantillon du produit dans une

enceinte maintenue à température T et à humidité relative HR de l’air constante. L’échantillon est pesé à intervalle régulier jusqu’à ce que sa masse ne varie plus, il est alors en équilibre avec l’air à (T, HR). Connaissant sa masse humide, il suffit alors de déterminer sa masse sèche pour en déduire sa teneur en eau X, le couple (HR, X) fournit un point de l’isotherme de sorption ou de désorption.

Le produit est placé dans un récipient étanche à l’intérieur duquel une solution maintient une humidité relative constante (cf. figure 5.5). Cette solution peut être une solution saline saturée en sel ou une solution d’acide sulfurique de concentration fixée. La température est maintenue constante en plaçant les récipients dans une enceinte thermostatée. On utilise autant de sels ou de concentration différents (et donc de récipients) que l’on veut obtenir de points sur l’isotherme. Le tableau 5.2 indique les humidités relatives de l’air au-dessus des solutions salines saturées (à 25°C) préconisées pour la mise en œuvre de la méthode des sels, un tableau plus complet en donnant les valeurs pour diverses températures est présenté en annexe A.5.2. Le choix des concentrations en acide sulfurique s’effectue en fonction des données fournies dans le tableau 5.3.

Cette méthode est très longue : l’équilibre air/produit n’est parfois atteint qu’après plusieurs semaines, elle ne

convient donc pas à la détermination des points de l’isotherme correspondants aux valeurs élevées de HR pour des produits biologiques qui subiraient des dégradations dues aux moisissures avant que l’équilibre ne soit atteint. La cinétique peut toutefois être accélérée de manière importante en créant un vide dans les récipients ce qui peut alors étendre le champ d’application de la méthode en réduisant la durée de la mesure.

Figure 5.5 : Schéma d’un montage expérimental type pour la méthode des solutions salines. Méthode des solutions salines concentrées :

( )TpHRp satv =

Solution saline saturée

Support inerte (Tube PVC φ50)

Grille inoxydable

Coupelle aluminium Bocal en verre

Couvercle étanche

Le séchage solaire

75

Tableau 5.2 : Valeur de HR (%) en fonction de la nature du sel et de la température.

LiBr LiCl KCH 3O KF MgCl2 KCO3

6,4 11,3 22,5 30,9 32,8 43,2

NaBr CuCl2 CoCl2 NaCl KCl K2SO4

57,6 68,5 64,9 75,3 84,3 97,3

Méthode des solutions d’acide sulfurique :

( ) ( )[ ]Tplog

1

T

aa

Tp

plog

ats

21

sat

v +

−=

où : T en K pv, psat en Pa

Tableau 5.3: Valeurs des coefficients a1 et a2 pour le calcul de HR avec des solutions d’acide sulfurique.

T (°C) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95

a1 8,925 8,922 8,864 8,84 8,832 8,841 9,032 9,293 9,265 9,79

a2 2,259 2,268 2,271 2,299 2,357 2,457 2,688 3,040 3,390 9,880

Et : ( )[ ] ( )Tlog3.868T

279520,3182Tplog 10ats10 −−= en mmHg avec 223 K < Τ < 473 K

5.2 Principe et description du séchage

5.2.1 Principe

Le moyen le plus simple à mettre en œuvre pour sécher un produit est de le ventiler avec un air suffisamment chaud et sec pour qu’un échange de chaleur et d’humidité s’effectue entre cet air et le produit. Le schéma type d’une installation de séchage dit convectif est représenté sur la figure 5.6.

Figure 5.6 : Schéma de principe d’un séchoir convectif

L’air subit d’abord un échauffement à pression constante dans un batterie de chauffage ou un capteur solaire

puis une humidification quasi-adiabatique dans l’enceinte de séchage. On a les relations : Ta <T1 , T2 < T1 , x2 > x1 et Th2 = Th1 si l’enceinte de séchage est parfaitement isolée.

La différence (x2 – xa) correspond à la masse d’eau retirée du produit par kg d’air sec ayant traversé le séchoir. Pour réaliser une opération de séchage convectif il faut donc :

- Un apport d’énergie Q , - Une circulation d’air qui entraîne la vapeur d’eau extraite du produit (on parle aussi de séchage par

entraînement).

Batterie de chauffage ou

capteur solaire

Air extérieur Ta, pva, HRa T1, pv1, HR1 Enceinte de

séchage

T2, pv2, HR2

Q

Thermique solaire


5.2.2 Température de séchage

C’est la différence pv – pva qui doit être positive qui provoque l’évaporation de l’eau à la surface du produit. L’échauffement de l’air ne modifie pas la pression de vapeur d’eau pva. Pour augmenter la vitesse de séchage il faut donc, à pva constant, augmenter la pression de vapeur d’eau pv à la surface du produit. Si l’on admet que aw varie peu avec la température, on peut écrire :

( ) ( )2s

2Tv

1s

1Tv

Tp

p

Tp

paw ≈=

où pvT1 et pvT2 sont les pressions de vapeur d’eau régnant à la surface du produit respectivement à T1 et à T2. On en déduit : ( ) ( ) 1vT2vT1s2s12 ppTpTpTT ≥⇒≥⇒≥

D’où : va1vTva2vT pppp −≥−

La température du produit a donc intérêt à être la plus élevée possible pour obtenir une vitesse de séchage

importante. Elle ne doit cependant pas dépasser une certaine valeur Tmax au-delà de laquelle le produit peut-être altéré ou détruit. Ceci est particulièrement vrai pour les fruits et légumes dont les éléments nutritifs peuvent être détériorés. On peut retenir comme ordre de grandeur Tmax ≈ 60°C pour les fruits et Tmax ≈ 50°C pour les légumes feuilles, des valeurs plus précises sont données en annexe A.5.3.

On notera également qu’une vitesse de séchage trop élevée en début d’opération peut conduire à un phénomène de croûtage : formation d’une pellicule résistante au passage de la vapeur d’eau qui ralentit ensuite le séchage. Il convient donc de limiter la température de l’air en début de séchage pour éviter ce phénomène.

5.2.3 Vitesse de séchage Dans le cas d’une couche mince de produit à sécher, la courbe de séchage du produit ou vitesse d’évaporation

en fonction du temps met en évidence plusieurs phases ainsi que le montre à titre d’exemple les courbes expérimentales de la figure 5.7 obtenues pour la banane.

0,001

0,010

0,100

1,000

10,000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0W*

Vs (

kg.k

ms

-1.h

-1)

60 °C ; 2.0 m/s ; 0.02 kg/kgas

50 °C ; 2.0 m/s ; 0.02 kg/kgas

40 °C ; 2.0 m/s ; 0.02 kg/kgas

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

W*

Vs

(kg.

kgm

s-1

.h-1

)

60°C ; 2.0 m/s ; 0.02 kg kgas

50°C ; 2.0 m/s ; 0.02 kg/kgas

40°C ; 2.0 m/s ; 0.02 kg/kgas

Figure 5.7 : Vitesse de séchage en fonction de la teneur en eau réduite pour trois températures différentes

1ère phase : Mise en température Elle dure le temps d’amener le produit de la température Ta initiale à la température Te résultant de l’équilibre

entre le transfert de chaleur convectif air / produit et l’évaporation à la surface du produit.

2ème phase : Vitesse constante L’eau s’évaporant à la surface du produit est de l’eau libre : elle est sans cesse remplacée par l’arrivée d’eau

liquide provenant de l’intérieur du produit. Durant cette phase, la surface du produit reste constante et égale à la température humide de l’air. Cette phase n’est pas présente pour tous les produits et en particulier pour les fruits et légumes. Sur la figure 1, la phase 1 correspond à la mise en température du produit et il n’y a pas de phase à

Phase 2

Phase 3

Phase 1

a)

Phase 3

Phase 4

b)

Le séchage solaire

77

ae2

a2m xx

xx

−−

=η

vitesse constante ainsi que le montre la représentation de l’évolution des températures dans le produit sur la figure 5.8. Cette phase quand elle existe correspond à un état du produit non hygroscopique tel que défini sur la figure 5.2.

3ème phase : Vitesse décroissante

Il n’y a plus d’eau libre dans le produit et l’eau se déplace du centre vers la surface sous forme de vapeur. Le déplacement de cette vapeur est beaucoup plus lent. Le refroidissement de l’air du à l’évaporation devient moins important, la température du produit tend vers la température sèche de l’air. Cette phase se décompose souvent en deux sous-phases (phases 2 et 3 sur la figure ) correspondant respectivement aux zones 3 et 2 de l’isotherme de sorption représentée sur la figure 5.2. la vitesse de séchage décroît sous une forme dans la phase 2 et sous une forme dans la phase 3.

25

30

35

40

45

50

55

0 4 8 12 16 20

t (h)

T (°

C) Ts

Tair

Tc

Figure 5.8 : Evolution de la température de la banane au cours du séchage : Ts = température de surface et

Tc = température au centre.

5.2.4 Rendements relatifs au séchage

5.2.4.1 Rendement massique

La figure 5.9 représente l’évolution de l’air dans un séchage convectif tel que que celui schématisé sur la figure 5.6.

Figure 5.9 : Evolution de l’air lors d’une opération de séchage convectif. L’air sort de l’enceinte de séchage au point 2, il sortirait au point 2e si l’équilibre avec le produit était atteint,

donc HR2e = aw, aw étant l’activité du produit. Le rendement massique est alors défini par : (5.17)

1

2

T

x i

2e

Ta T2 T1

Thermique solaire


a2

a1

xx

iiCEM

−−

=

vL

CEMRCE =

( ) va2

a1

Lxx

iiRCE

−−

=

( )ae2as xxmPE −= &

Le rendement massique dépend principalement de la nature et de la taille du produit ainsi que de sa teneur en eau et de la température et de la vitesse de l’air autour du produit.

Exemple : Calculer la quantité d’énergie maximale à fournir pour sécher 100 kg de maïs de Wi = 0,54 à Wi = 0,18. Calculer la masse et le volume d’air minima à faire passer dans le séchoir pour réaliser cette opération. Données : Ta = 25°C ; T1 = 50°C ; HRa = 50%. Nous avons calculé précédemment la masse d’eau évaporée lors de cette opération : ∆m= 100 - 76,6 = 23,4 kg La quantité minimale d’énergie à fournir a donc pour valeur : Qmin = ∆m Lv = 23,4 x 2382 = 5,57.104 kJ. Le diagramme de l’air humide nous donne : pour le point A : xa = 9,84 g.kg et ia = 50,22 kJ.kg-1 pour le point 1 : xa = 9,84 g.kg et ia = 75,81 kJ.kg-1, Th1 = 25,1°C Si l’échange de chaleur et de matière air/produit était parfait, l’air sortirait saturé après avoir subi un

refroidissement adiabatique, nous en déduisons les caractéristiques de sortie idéales : pour le point 2 : T2 = Th2 = 25,1°C, HR2 = 100% et x2 = 20,13 g.kg

La masse minimale d’air sec à utiliser est donc : kg227400984,002013,0

4,23

xx

mm

12as =

−=

−∆=

Soit une masse d’air humide à l’entrée de : ( ) ( ) kg2296227400984,01mx1m asaah =+=+=

Et un volume d’air humide correspondant de : 3

ah

ahah m1950

177,1

2296mV ==

ρ=

5.2.4.2 Rendement énergétique

On définit pour une opération de séchage deux grandeurs caractérisant l’énergie consommée :

- La consommation énergétique moyenne CEM qui est la quantité d’énergie nécessaire pour évaporer 1 kg d’eau du produit. Elle s’exprime par :

(5.18)

- Le rapport de consommation énergétique défini par :

(5.19)

où Lv est la chaleur latente de vaporisation de l’eau. D’après ce qui précède, ce rapport peut s’exprimer par :

(5.20)

5.2.5 Pouvoir évaporatoire d’un séchoir

C’est le débit massique d’eau qui serait évaporé si le rendement massique était de 100%, il est défini par :

(5.21)

Le séchage solaire

79

PEm mη=∆ &

où asm& est le débit massique d’air sec circulant dans le séchoir. Le pouvoir évaporatoire diminue au fur et à

mesure que le produit sèche car le point 2e est défini par Th2e = Th1 et HR2e = 100 aw et aw diminue au cours du séchage.

Le débit d’eau évaporé peut s’écrire :

(5.22)

Exemple :

De l’air entre avec un débit de 450 m3.h-1 dans un capteur solaire d’où il ressort à 50°C. Si le rendement massique est de 50%, calculer le débit d’eau évaporée dans les cas suivants :

1. Ta = 35°C, HRa = 16 %, aw = 1 (début de séchage, saison sèche) 2. Ta = 35°C, HRa = 16 %, aw = 0,6 (fin de séchage, saison sèche) 3. Ta = 35°C, HRa = 40 %, aw = 1 (début de séchage, saison humide) 4. Ta = 35°C, HRa = 40 %, aw = 1 (fin de séchage, saison humide).

Nous calculons d’abord les caractéristiques de l’air aux points A, 1 et 2, les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau 5.3.

Tableau 5.3 : Caractéristiques de l’air humide aux différents points.

T Tha HR x pv i

°C °C % g.kg-1 mmHg kJ.kg-1

1 35 17,8 16 5,54 6,70 49,4

2 35 17,8 16 5,54 6,70 49,4

3 35 23,9 40 14,03 16,76 71,2 Point A

4 35 23,9 40 14,03 16,76 71,2

1 50 22,4 7,3 5,54 6,70 64,6

2 50 22,4 7,3 5,54 6,70 64,6

3 50 27,7 18,2 14,03 16,76 86,7 Point 1

4 50 27,7 18,2 14,03 16,76 86,7

1 22,4 22,4 100 17,0 20,22 65,8

2 28,3 22,4 60 14,5 17,3 65,5

3 27,7 27,7 100 23,5 27,70 87,9 Point 2e

4 34,4 27,7 60 20,6 24,40 87,6

1 36,2 22,4 30,1 11,2 13,46 65,2

2 39,2 22,4 22,8 10,0 12,00 65,1

3 38,8 27,7 43,2 18,8 22,28 87,4 Point 2

4 42,2 27,7 33,4 17,4 20,63 87,2

Les caractéristiques du point 2 ont été calculées à partir des relations suivantes :

Th2 = Th1 et 1e2

12

1e2

12m TT

TT

xx

xx

−−

≈−−

=η d’où l’on déduit : ( )1e2m12 TTTT −η+=

Les débits d’eau évaporés calculés par la relation ( ) ( )12a

ah12as xx

x1

mxxmm −

+=−=∆

&&& ont les valeurs

suivantes : 1. m&∆ = 2,89 kg.h-1 2. m&∆ = 2,28 kg.h-1 3. m&∆ = 2,43 kg.h-1 4. m&∆ = 1,72 kg.h-1 On constate que pour la même quantité d’énergie fournie (même élévation de température de l’air de 35°C à

Thermique solaire


50°C) la masse d’eau évaporée est plus importante en saison sèche : + 20% en début de séchage et +30% en fin de séchage.

5.3 Les différents types de séchoirs solaires

Il est possible de classer les séchoirs solaires en plusieurs catégories en considérant deux caractéristiques : - Un séchoir est dit couvert si l’absorbeur est protégé par une couverture transparente, il est dit non-

couvert dans le cas contraire. - Un séchoir est dit à direct si le rayonnement solaire atteint directement les produits, indirect si les

produits sont à l’abri du rayonnement solaire. - Un séchoir est dit à convection naturelle si la circulation d’air est assurée par thermosiphon, ventilé si

elle est assurée par une action mécanique.

Chaque type de séchoir présente des avantages et des inconvénients propres cependant tous présentent les avantages suivants par rapport au séchage naturel (produits exposés au soleil et au vent sans protection, par exemple sur une natte ou sur une tôle) :

- Produit à l’abri de la poussière et de la pluie - Produit à l’abri des insectes.

Ils présentent aussi l’inconvénient d’un coût assez élevé : une vitre de 1m2 coûte environ 15000 FCFA alors

qu’une tôle aluminium coûte environ 10 fois moins cher.

5.3.1 Séchoirs solaires à convection naturelle

5.3.1.1 Directs

Exemples (cf. annexe A.5.4) : - Séchoir à fruits du Brésil - Séchoir du BRI - Séchoir ENSIAAC

Avantages :

- Séchage rapide - Construction simple

Inconvénients :

- Température élevée en fin de séchage - Oxydation des vitamines A et C par les rayons UV du soleil - Jaunissement des légumes verts

5.3.1.2 Indirects

Exemples (cf. annexe A.5.5) : - Séchoir coquille - Séchoir ENSIAAC

Avantages :

- Produit à l’abri des UV - Température limitée (55°C)

Inconvénients :

- Séchage moins rapide que dans un séchoir direct

Le séchage solaire

81

5.3.1.3 Comparaison des modes directs et indirects

Pour les produits que l’exposition directe au rayonnement solaire n’altèrent pas (fruits en général) on choisira d’utiliser un séchoir direct du type séchoir ENSIAAC décrit en annexe A.5.4. On réservera l’utilisation des séchoirs indirects moins rapides aux produits sensibles aux rayons UV : cela concerne principalement les légumes verts qui subissent une décoloration par le rayonnement solaire et les plantes aromatiques. Dans ce cas, on pourra choisir pour son meilleur rendement un séchoir indirect couvert du type ENSIAAC décrit en annexe A.5.5 plutôt qu’un séchoir coquille non-couvert.

5.3.2 Séchoirs solaires à convection forcée

Ce type de séchoir est sauf exception de type indirect.

Exemples (cf. annexe A.5.6) : - Séchoir du BRI - Séchoir de l’IPM de Dakar

Avantages :

- Séchage plus rapide surtout en début d’opération - Un pré-séchage peut être réalisé la nuit en saison sèche par simple ventilation

Inconvénients :

- Construction plus complexe - Coût plus élevé (achat d’un ventilateur) - Ne peut être envisagé que pour un capteur de taille suffisante (> 5m²) - Vitesse de séchage non homogène sur toutes les claies (permutation nécessaire).

5.4 Méthodes simplifiées de dimensionnement

5.4.1 Séchoirs solaires à convection naturelle

5.4.1.1 Directs

La surface de capteur solaire peut être estimée en considérant un rendement global sur une opération de séchage de 25% en saison sèche et de 20% en saison humide (zone tropicale).

Le débit d’air n’est pas directement contrôlable, il est fortement influencé par le vent qui créé une aspiration de l’air dans le séchoir et qui influe autant sur le débit que l’effet de thermosiphon résultant de la différence de température (donc de masse volumique) entre l’air sortant du séchoir et l’air ambiant.

5.4.1.2 Indirects

La surface de capteur solaire peut être estimée en considérant un rendement global sur une opération de séchage de 20% en saison sèche et de 15% en saison humide (zone tropicale).

Exemple d’application :

Calculer la surface de capteur nécessaire pour sécher 20kg de bananes en 3 jours dans un séchoir direct à Ouagadougou au mois de mai. La teneur en eau initiale est de 4 kg.kg-1 et on séchera jusqu’à obtention d’une activité finale de 0,6.

Les isothermes de sorption représentées sur la figure 5.3 nous donnent la teneur en eau finale à atteindre :

Wf = 0,2 kg.kg-1.

La masse sèche est de : kg441

20

W1

mm

i

is =

+=

+=

La masse d’eau à évaporer est de : ( ) ( ) kg2,152,044WWmmmm fisfi =−=−=−=∆

Thermique solaire


Nous lisons sur le tableau des données météorologiques de la station de Ouagadougou en annexe A.5.7 : En mai : G = 22,4.103 kJ.m-2. En considérant un rendement global η = 20%, la surface de captation nécessaire pour réaliser le séchage en n =

3 jours est donnée par :

²m7,22,0224003

24072,15

G3

LvmS =

×××=

η∆

=

On pourra par exemple choisir un séchoir de 3,4m x 0,8m contenant 3 claies de 1,13m x 0,8m chargée chacune avec 6,7 kg de bananes (soit 5,93 km.m-2) en début de séchage.

5.4.2 A convection forcée On peut retenir en première approximation pour la zone tropicale qu’un débit d’air de 100 m3.h-1 par m2 de

capteur couvert permet d’évaporer en moyenne 1 kg d’eau.m-2.jour-1 sous des conditions moyennes d’ensoleillement et de température.

Exemple d’application : Calculer la surface de capteur d’un séchoir solaire capable de sécher 100 kg de mangues en 2 jours à

Ouagadougou. La teneur en eau initiale est de 5 kg.kg-1 et on séchera jusqu’à obtention d’une activité finale de 0,6.

Les isothermes de sorption représentées sur la figure 5.3 nous donnent la teneur en eau finale à atteindre : Wf = 0,3 kg.kg-1.

La masse sèche est de : kg7,1651

100

W1

mm

i

is =

+=

+=

La masse d’eau à évaporer est de : ( ) ( ) kg5,783,057,16WWmmmm fisfi =−=−=−=∆

Une estimation de la surface peut être calculée par : ²m4012

5,78S ≈

×= . On peut choisir un capteur de 4m x

10m. On détermine la distance fond/absorbeur de façon à obtenir une vitesse de 5m.s-1 le débit étant fixé à

4000 m3.h-1 ce qui conduit à : cm5,5543600

4000b =

××= .

Les pertes de charge régulières se calculent par :

h

2

41 D2

Lu

Re

3164,0Pr

ρ=∆

µρ

= hDuRe avec ( ) m099,0

405,02

405,04Dh =

+××= soit 29960

10.9,1

099,0515,1Re

5=

××=

−

Pa9,34099,02

10515,1

29960

3164,0Pr

2

41

==∆

On peut faire l’hypothèse que les pertes de charge totales sont le double des pertes de charge régulières soit

∆P = 70Pa. Les pertes de charge étant faibles par rapport au débit on séparera le capteur en deux « demi-capteurs » accolés de 2m x 10m et on utilisera deux ventilateurs. Les contraintes à respecter sont alors :

Dh = 0,099m ;Re = 29960 et ∆P = 70Pa. Ceci nous permet de sélectionner par exemple le ventilateur ELCO 3FGB-CO.370-70.3V/4 à 3 vitesses dont

les vitesses 1 et 2 encadrent le débit souhaité (cf. annexe A.5.8).

Le séchage solaire

83

Thermique solaire


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8. http://www.ademe.fr : Site de l’ADEME, agence publique chargée notamment de promouvoir les énergies renouvelables.

9. http://www.systemes-solaires.com/s_accueil.asp : Site de la revue « Systèmes solaires » spécialisée dans le domaine des énergies renouvelables.

10. http://www.fondem.org : Site de la Fondation Energies pour le Monde qui réalise des projets d’utilisation des énergies renouvelables dans les pays du Tiers-Monde.

11. http://www.infoclimat.com/ : Données de températures, humidité, précipitations et durée d’ensoleillement de nombreuses stations météo en France et en Europe.

Documents

Yves JANNOT Janvier 2007s3be4113b6b0f333a.jimcontent.com/download/version/1374353905/... · 1.4 Transfert de chaleur par convection ... La propagation de la chaleur par conduction