1
Modélisation Bond Graph4- Mécanique
4.1 Systèmes plans
4.2 Dynamique du solide – Multi-Bond graph
PAG + FM
2
Pendule de longueur variable r
x,y positions du centre de masse m
22 yxr
En introduisant les vitesses :
dt
drvr
dt
dyvy
dt
dxvx
Permet de calculer l’élongation et donc l’effort dans le ressort
Utiles au PFD
Le BG contiendra donc les trois jonctions suivantes
Se : mg 1 : Vy I : m
1 : Vx I : m
1 : Vr C : 1/K
! Les vitesses Vx, Vy et Vr sont liées entre elles
4.1 Systèmes plans
3
yxr vyx
yv
yx
xv ..
2222
yyxxr vmvmv ..
Construction de la vitesse vr par une jonction 0 et transformateurs modulés ( mx, my)
MTF : mxFx
1:vx∫ x
MTF : myFy
1:vy∫ y
0:Fr
Fr
Fr
Fr
vr
1:vr
x et y sont nécessaires au calcul de mx et my
4
BG global :
MTF : mxFx
1:vx∫ x
MTF : myFy
1:vy∫ y
0:Fr
Fr
Fr
Fr
vr
C : 1/K
I : m
I : m
Se : mg
5
Suspension 2D
Déplacements notés Y, θ, x1 et x2.
Le BG contiendra donc les jonctions suivantes
R:b1 1 : Vx1 C : 1/K1
1 : ω I : J
1 : Vx2 C : 1/K2R:b2
1 : Vy I:MSe : Mg
Vitesses : vx1 , vx2 , vy , ω
Déplacement du centre de masse uniquement selon Y
Hypothèse des petits angles
Relations géométriques :
YaX sin.1
YbX sin.2
6
Première traduction possible des relations géométriques
.1 aVYVx
.2 bVYVx
VY
b
a
V
V
x
x.
1
1
2
1
Transformateur multi-lien :
1 : Vx1
1 : Vx2
1 : Vy
1 : ω
TF : mij
2
1.
11
x
xy
F
F
baC
F
Les flux VY et ω sont imposés
Les flux Vx1 et Vx2 sont calculés
7
1 : Vx1
1 : Vx2
1 : Vy
1 : ω
TF : mij
I : J
I : M
Se:Mg R:b1
R:b2
C:1/K1
C:1/K2
8
1 : Vx2
1 : Vx1
1 : Vy
1 : ωTF : 1/a I : J
I : M
Se:Mg R:b2
R:b1
C:1/K2
C:1/K1
TF : b
0 : Fx2
0 : Fx1
Quatre éléments sont en causalité intégrale
9
seconde traduction possible des relations géométriques
2211.2.1 .. VxmVxmba
aVx
ba
bVxVY
2211.2.1 ..11
VxnVxnba
Vxba
Vx
1 : Vx2
1 : Vx1
1 : Vy
1 : ωTF : n1
I : J
I : M
Se:Mg
R:b1
C:1/K2
C:1/K1
TF : n2
0 : Fx1 R:b2TF : m2
TF : m1
0 : Fx2
Deux solutions possibles de causalité intégrale
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Toutes deux mènent à une boucle de causalité (orientation dans le même sens sur tous les liens) : implique qu’une variable dépend d’elle-même
Aucune boucle de causalité mais I;J est en causalité dérivée : il existe donc une relation algébrique entre les vitesses comme pour la boucle de causalité
Difficultés de résolution
Pour « casser » cette boucle impose causalité dérivée sur l’élément I:J
Première méthode meilleure (pas de boucle de causalité)
Plusieurs BG peuvent représenter le même système physique.
Pour des systèmes plus complexes, cette règle est plus délicate à appliquer, il faut «essayer»plusieurs BG.
Règle : on impose les vitesses qui dépendent des éléments intertiels et on en déduit les vitesses génératrices dans les éléments R et C
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Elément I multiporte
Énergie stockée fonction de n variables de moment généralisé
Ip°p°1
f1
p°p°2
p°p°n
fn
f2
Illustration : suspension 2D
IFFx1x1=p°=p°1
Vx1=f1
FFx2x2=p°=p°2
Vx2=f2
2
1
2
2
2
1.
11
11
x
x
x
x
p
p
J
b
mJ
ab
m
J
ab
mJ
a
mV
V
.1 aVYVx
.2 bVYVx 21. xxY FFVm 12 ... xx FaFbJ
12
Elément C multiporte
Énergie stockée fonction de n variables de déplacement
Cee1
q°1
ee2
een
q°n
q°2
Illustration : Condensateur à armature mobile
F
xArmature fixe
Cuu
q°=i
FF
x°=v
Énergie stockée fonction de deux variables de déplacement q,x C
qE
2
.2
1
x
SC
.
s
xqqxU
.
.),(
S
qqF
..2)(
2
avec
13
ELEMENTS DE MULTI-BOND GRAPH
Eléments multi-porte de stockage
e
fC
e
f
dtfq . dtep .
e
fR
Gyrateur multi-porte
e1
f1
e2
f2
n liens
m liens
21 . fGe t
21. efG GY : Gij
14
Transformateur multi-porte
e1
f1
e2
f2
n liens
m liens
Tij 21 .eTe t
12 . fTf t
nx1mxn
mx1
1
1
TF : tn1
1
1
TF : t11
TF : tn1
TF : mn
ee11
f11
e21
f21
ee1m
f1m
ee2n
f2n
Les coefficients de la matrice T peuvent être modulés par une ou plusieurs variables
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Jonctions
0m(1)
0
m(n)
n fois 0n
n
nxm TABLEAU de jonction 0
Elément multi-porte 0
01 m
0m
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4.2 DYNAMIQUE DU SOLIDE
But :étude du mouvement d’un solide dans l’espace
Repère des axes principaux d’inertie
Repère attaché au corps solide indéformable. Il passe par le centre de gravité G du solide. Dans ce repère, les produits d’inertie sont nuls. La matrice d’inertie est diagonale positive.
Jz
Jy
Jx
J
00
00
00
Equations d’Euler
V: vitesse du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux d’inertie.ω: vitesse de rotation du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux d’inertie.
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F: force appliquée au solide exprimée dans repère des axes principaux d’inertie.Γ: couple appliqué au solide exprimé dans repère des axes principaux d’inertie.
Equations d’Euler ( dans ce repère)
xyyxz
zxxzy
yzzyx
VmVmVm
VmVmVm
VmVmVm
Fz
Fy
Fx
.....
.....
.....
xxyyyxzz
zzxxxzyy
yyzzzyxx
z
y
x
JJJ
JJJ
JJJ
.....
.....
.....
Les liens matérialisent les efforts et le flux vecteurs de dimension 3.
Modélisation par BG
De même un signal vectoriel (ici, de dimension 3) est représenté par un double trait terminé par une flèche pleine.
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I:M désigne la matrice masse diagonale, chaque terme diagonal vaut m. EJS-C signifie EulerianJunctionStructure pour les couples, et EJS-F EulerianJunctionStructure pour les forces. La «bulle» EJS-C du BG, calcule les termes non linéaires de l’équation d’Euler.
I:M1:VG
0:F
EJS-F
I:J1:ω
0:C
EJS-C
EJF-F calcule les termes de l’équation d’Euler (Forces) contenant les produits de vitesse de rotation par vitesse de translation. Il faut donc fournir le vecteur signal ω matérialisé par la flèche pleine.
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MGY
1:ωxSe:Гx
I:Jx
K
1:ωySe:Гy MGY
MGY
1:ωz Se:Гz
KJy
Jx
I:Jy I:Jz
KJz
La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien
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1:VxSe:Fx
I:Mx
K
MGY
1:VySe:Fy MGY
MGY
1:Vz Se:Fz
K Mx
My
I:My I:Mz
KMz
La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien
ωz ωy
ωx
Des forces fixes comme la gravité ne peuvent pas être appliquées directement sur ces BG car dans ces BG les vecteurs (force, vitesse, couple)sont exprimés dans le repère des axes principaux d’inertie et pas la gravité.
21
Passage du repère de départ 1 au repère d’arrivée 2. Notons A12 la matrice associée au changement de base: r1v = A12.r2V
CHANGEMENT DE REPERE
Généralités
Notons rkV un vecteur colonne V exprimé dans le repère Rk
Connaissant le vecteur r2V calculé dans la base d’arrivée (2) cette relation calcule les coordonnées r1V du même vecteur exprimées dans la base de départ (1).
A12 commence donc par l’indice de la base de départ
A12 est formée des cosinus directeurs des vecteurs de base du repère 2 exprimés par rapport au repère 1. 22212 kjiA
22
Considérons la rotation autour de l’axe z et d’angle ψ> 0 qui transforme le repère de départ 1 en repère 2.
Exemple :
x1
x2
y1y2
ψ
100
0
0
12
cs
sc
A
La matrice de passage A1 possède en première colonne les cosinus directeurs du vecteur i2 de la base 2 dans la base 1. La deuxième colonne est formée à partir des cosinus directeurs du vecteurj2.
Notation : s =sinus et c =cosinus
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Modélisation BG :
Changement de base par rotation se représente en BG par un transformateur modulé alimenté par un signal ayant pour composantes les termes de A12.
Noter la causalité
Ce signal « transporte » donc une matrice à 9 composantes.
r1v = A12.r2V
1: r2V MTF: A12
Signal = matrice
1: r1V
Remarque :il y a conservation de puissance, car :
r1V=A12.r2V
r2F=A12T.r1F
r2FT . r2V = r1FT . A12 . r2V = r1FT . r1V
24
Représentation d’un solide par BG, on effectue trois étapes:•Représenter les vitesses (étude cinématique).•Connecter les vitesses par des liens, des jonctions et des MTF
exprimer les relations entre les vitesses absolues de deux points d’un même solide (indéformable)
représenter la cinématique du solide•Étudier la dynamique en incluant les sources d’effort (inerties et forces
extérieures) introduction des équations d’Euler.
SOLIDE INDEFORMABLE en Mouvement