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Modélisation Bond Graph 4- Mécanique 4.1 Systèmes plans 4.2 Dynamique du solide – Multi- Bond graph PAG + FM

1 Modélisation Bond Graph 4- Mécanique 4.1 Systèmes plans 4.2 Dynamique du solide – Multi-Bond graph PAG + FM

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1

Modélisation Bond Graph4- Mécanique

4.1 Systèmes plans

4.2 Dynamique du solide – Multi-Bond graph

PAG + FM

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2

Pendule de longueur variable r

x,y positions du centre de masse m

22 yxr

En introduisant les vitesses :

dt

drvr

dt

dyvy

dt

dxvx

Permet de calculer l’élongation et donc l’effort dans le ressort

Utiles au PFD

Le BG contiendra donc les trois jonctions suivantes

Se : mg 1 : Vy I : m

1 : Vx I : m

1 : Vr C : 1/K

! Les vitesses Vx, Vy et Vr sont liées entre elles

4.1 Systèmes plans

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3

yxr vyx

yv

yx

xv ..

2222

yyxxr vmvmv ..

Construction de la vitesse vr par une jonction 0 et transformateurs modulés ( mx, my)

MTF : mxFx

1:vx∫ x

MTF : myFy

1:vy∫ y

0:Fr

Fr

Fr

Fr

vr

1:vr

x et y sont nécessaires au calcul de mx et my

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4

BG global :

MTF : mxFx

1:vx∫ x

MTF : myFy

1:vy∫ y

0:Fr

Fr

Fr

Fr

vr

C : 1/K

I : m

I : m

Se : mg

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5

Suspension 2D

Déplacements notés Y, θ, x1 et x2.

Le BG contiendra donc les jonctions suivantes

R:b1 1 : Vx1 C : 1/K1

1 : ω I : J

1 : Vx2 C : 1/K2R:b2

1 : Vy I:MSe : Mg

Vitesses : vx1 , vx2 , vy , ω

Déplacement du centre de masse uniquement selon Y

Hypothèse des petits angles

Relations géométriques :

YaX sin.1

YbX sin.2

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Première traduction possible des relations géométriques

.1 aVYVx

.2 bVYVx

VY

b

a

V

V

x

x.

1

1

2

1

Transformateur multi-lien :

1 : Vx1

1 : Vx2

1 : Vy

1 : ω

TF : mij

2

1.

11

x

xy

F

F

baC

F

Les flux VY et ω sont imposés

Les flux Vx1 et Vx2 sont calculés

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7

1 : Vx1

1 : Vx2

1 : Vy

1 : ω

TF : mij

I : J

I : M

Se:Mg R:b1

R:b2

C:1/K1

C:1/K2

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8

1 : Vx2

1 : Vx1

1 : Vy

1 : ωTF : 1/a I : J

I : M

Se:Mg R:b2

R:b1

C:1/K2

C:1/K1

TF : b

0 : Fx2

0 : Fx1

Quatre éléments sont en causalité intégrale

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seconde traduction possible des relations géométriques

2211.2.1 .. VxmVxmba

aVx

ba

bVxVY

2211.2.1 ..11

VxnVxnba

Vxba

Vx

1 : Vx2

1 : Vx1

1 : Vy

1 : ωTF : n1

I : J

I : M

Se:Mg

R:b1

C:1/K2

C:1/K1

TF : n2

0 : Fx1 R:b2TF : m2

TF : m1

0 : Fx2

Deux solutions possibles de causalité intégrale

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Toutes deux mènent à une boucle de causalité (orientation dans le même sens sur tous les liens) : implique qu’une variable dépend d’elle-même

Aucune boucle de causalité mais I;J est en causalité dérivée : il existe donc une relation algébrique entre les vitesses comme pour la boucle de causalité

Difficultés de résolution

Pour « casser » cette boucle impose causalité dérivée sur l’élément I:J

Première méthode meilleure (pas de boucle de causalité)

Plusieurs BG peuvent représenter le même système physique.

Pour des systèmes plus complexes, cette règle est plus délicate à appliquer, il faut «essayer»plusieurs BG.

Règle : on impose les vitesses qui dépendent des éléments intertiels et on en déduit les vitesses génératrices dans les éléments R et C

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Elément I multiporte

Énergie stockée fonction de n variables de moment généralisé

Ip°p°1

f1

p°p°2

p°p°n

fn

f2

Illustration : suspension 2D

IFFx1x1=p°=p°1

Vx1=f1

FFx2x2=p°=p°2

Vx2=f2

2

1

2

2

2

1.

11

11

x

x

x

x

p

p

J

b

mJ

ab

m

J

ab

mJ

a

mV

V

.1 aVYVx

.2 bVYVx 21. xxY FFVm 12 ... xx FaFbJ

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Elément C multiporte

Énergie stockée fonction de n variables de déplacement

Cee1

q°1

ee2

een

q°n

q°2

Illustration : Condensateur à armature mobile

F

xArmature fixe

Cuu

q°=i

FF

x°=v

Énergie stockée fonction de deux variables de déplacement q,x C

qE

2

.2

1

x

SC

.

s

xqqxU

.

.),(

S

qqF

..2)(

2

avec

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ELEMENTS DE MULTI-BOND GRAPH

Eléments multi-porte de stockage

e

fC

e

f

dtfq . dtep .

e

fR

Gyrateur multi-porte

e1

f1

e2

f2

n liens

m liens

21 . fGe t

21. efG GY : Gij

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Transformateur multi-porte

e1

f1

e2

f2

n liens

m liens

Tij 21 .eTe t

12 . fTf t

nx1mxn

mx1

1

1

TF : tn1

1

1

TF : t11

TF : tn1

TF : mn

ee11

f11

e21

f21

ee1m

f1m

ee2n

f2n

Les coefficients de la matrice T peuvent être modulés par une ou plusieurs variables

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Jonctions

0m(1)

0

m(n)

n fois 0n

n

nxm TABLEAU de jonction 0

Elément multi-porte 0

01 m

0m

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4.2 DYNAMIQUE DU SOLIDE

But :étude du mouvement d’un solide dans l’espace

Repère des axes principaux d’inertie

Repère attaché au corps solide indéformable. Il passe par le centre de gravité G du solide. Dans ce repère, les produits d’inertie sont nuls. La matrice d’inertie est diagonale positive.

Jz

Jy

Jx

J

00

00

00

Equations d’Euler

V: vitesse du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux d’inertie.ω: vitesse de rotation du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux d’inertie.

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F: force appliquée au solide exprimée dans repère des axes principaux d’inertie.Γ: couple appliqué au solide exprimé dans repère des axes principaux d’inertie.

Equations d’Euler ( dans ce repère)

xyyxz

zxxzy

yzzyx

VmVmVm

VmVmVm

VmVmVm

Fz

Fy

Fx

.....

.....

.....

xxyyyxzz

zzxxxzyy

yyzzzyxx

z

y

x

JJJ

JJJ

JJJ

.....

.....

.....

Les liens matérialisent les efforts et le flux vecteurs de dimension 3.

Modélisation par BG

De même un signal vectoriel (ici, de dimension 3) est représenté par un double trait terminé par une flèche pleine.

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I:M désigne la matrice masse diagonale, chaque terme diagonal vaut m. EJS-C signifie EulerianJunctionStructure pour les couples, et EJS-F EulerianJunctionStructure pour les forces. La «bulle» EJS-C du BG, calcule les termes non linéaires de l’équation d’Euler.

I:M1:VG

0:F

EJS-F

I:J1:ω

0:C

EJS-C

EJF-F calcule les termes de l’équation d’Euler (Forces) contenant les produits de vitesse de rotation par vitesse de translation. Il faut donc fournir le vecteur signal ω matérialisé par la flèche pleine.

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MGY

1:ωxSe:Гx

I:Jx

K

1:ωySe:Гy MGY

MGY

1:ωz Se:Гz

KJy

Jx

I:Jy I:Jz

KJz

La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien

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20

1:VxSe:Fx

I:Mx

K

MGY

1:VySe:Fy MGY

MGY

1:Vz Se:Fz

K Mx

My

I:My I:Mz

KMz

La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien

ωz ωy

ωx

Des forces fixes comme la gravité ne peuvent pas être appliquées directement sur ces BG car dans ces BG les vecteurs (force, vitesse, couple)sont exprimés dans le repère des axes principaux d’inertie et pas la gravité.

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Passage du repère de départ 1 au repère d’arrivée 2. Notons A12 la matrice associée au changement de base: r1v = A12.r2V

CHANGEMENT DE REPERE

Généralités

Notons rkV un vecteur colonne V exprimé dans le repère Rk

Connaissant le vecteur r2V calculé dans la base d’arrivée (2) cette relation calcule les coordonnées r1V du même vecteur exprimées dans la base de départ (1).

A12 commence donc par l’indice de la base de départ

A12 est formée des cosinus directeurs des vecteurs de base du repère 2 exprimés par rapport au repère 1. 22212 kjiA

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Considérons la rotation autour de l’axe z et d’angle ψ> 0 qui transforme le repère de départ 1 en repère 2.

Exemple :

x1

x2

y1y2

ψ

100

0

0

12

cs

sc

A

La matrice de passage A1 possède en première colonne les cosinus directeurs du vecteur i2 de la base 2 dans la base 1. La deuxième colonne est formée à partir des cosinus directeurs du vecteurj2.

Notation : s =sinus et c =cosinus

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Modélisation BG :

Changement de base par rotation se représente en BG par un transformateur modulé alimenté par un signal ayant pour composantes les termes de A12.

Noter la causalité

Ce signal « transporte » donc une matrice à 9 composantes.

r1v = A12.r2V

1: r2V MTF: A12

Signal = matrice

1: r1V

Remarque :il y a conservation de puissance, car :

r1V=A12.r2V

r2F=A12T.r1F

r2FT . r2V = r1FT . A12 . r2V = r1FT . r1V

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Représentation d’un solide par BG, on effectue trois étapes:•Représenter les vitesses (étude cinématique).•Connecter les vitesses par des liens, des jonctions et des MTF

exprimer les relations entre les vitesses absolues de deux points d’un même solide (indéformable)

représenter la cinématique du solide•Étudier la dynamique en incluant les sources d’effort (inerties et forces

extérieures) introduction des équations d’Euler.

SOLIDE INDEFORMABLE en Mouvement