IDENTITÉS REMARQUABLES
OBJECTIFS : Rappel double distributivitéConnaitre les identités remarquables en développement et
factorisationApplications
3
1. (a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a + b)² = (a + b)(a + b)
=
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²
aa + ab + ba + bb
(a + b)² = a² + 2ab + b²
ab = produit de a et b
2ab = double produit
Exemples
(x + 2)² = x² + 4x + 4Produit =
Double produit =
(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9Produit =
Double produit =
2x
4x
6x
12x
4
2. (a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)² = (a – b)(a – b)
= a² – ab – ba + b²
= a² – 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
ab = produit de a et b
2ab = double produit
Exemples
(x – 5)² = x² – 10x + 25Produit =
Double produit =
(2x – 7)² = 4x² – 28x + 49Produit =
Double produit =
(7x – 6)² = 49x² – 84x + 36Produit =
Double produit =
5x
10x
14x
28x
42x
84x
5
3. (a + b)(a – b) = a² – b²
(a + b)(a – b) = – bb– abaa + ba
= a² – ab + ba – b²
= a² – b²
(a +b)(a – b) = a² – b²
Exemples
(x + 1)(x – 1) = x² – 1
(x + 2)(x – 2) = x² – 4
(4x + 7)(4x – 7) = 16x² – 49
Des développements accélérés
Développer ( 2+ 6x)( 2 –6x) = 4 -36x²
( a + b ) ( a – b ) = a ² - b²
Développer ( 2- 9x) ²=
( a - b ) ²= a ² - 2 a b + b ²
4 -36x + 81x²
Développer ( x²+ 10) ²=
( a + b ) ²= a ² + 2 a b + b ²
x4 +20x² + 100
Des développements encore
Développer ( 3y- 6x)( 3y +6x) = 9y² - 36x²
Développer ( 1- 5x) ²= 1 -10x+ 25x²
Développer ( 3x²+ y) ²= 9x4 +6x²y+ y²
Des développements plus délicats
Développer (𝒙
𝟐+ 𝟏)(
𝒙
𝟐− 𝟏) =
x²
𝟒-1
Développer (𝒙
𝟐- 5) ²=
x²
𝟒-5x + 25
Développer (3𝟐
+ x ) ²=9
𝟒+ 3x + x²
Des développements de plus en plus délicats
Développer ( 𝒙
𝟐+
𝟏
𝟑)(𝒙
𝟐−
𝟏
𝟑) =
𝒙²
𝟒−
𝟏
𝟗
Développer (𝒙
𝟐−
𝟐
𝟑)𝟐=
𝒙²
𝟒−𝟐𝒙
𝟑+𝟒
𝟗
Développer (𝟐𝒙
𝟑−
𝟏
𝟒)𝟐=
𝟒𝒙²
𝟗+𝒙
𝟑+
𝟏
𝟏𝟔
Des développements de plus en plus délicats
Développer ( 3 – 2x)( 2x + 3) = 9 - 4x²
Développer ( x - 2) ²= x² - 4x + 4
Développer ( 2 - x ) ²= 4 - 4x + x²
Développer ( - x - 3 ) ²= x² + 6x + 9
Développer (- x + 2 ) ²= x² - 4x + 4
Développer ( - 4 + 2x)( - 4 – 2x) = 16 - 4x²
Des factorisations moins détaillées
Factoriser 4x² - 36 = ( 2x + 6 ) (2x –6 )
a ² - b² = ( a + b ) ( a – b )
Factoriser 4 – 36x + 81x²=
a ² - 2 a b + b ² = ( a - b ) ²
( 2 – 9x)²
Factoriser x4 + 20x² + 100=
a ² + 2 a b + b ² = ( a + b ) ²
( x² + 10 )²
Des factorisations encore moins détaillées
Factoriser 9y² - 36x² = ( 3y + 6x ) ( 3y - 6x)
Factoriser 1 – 10x + 25x²= ( 1 – 5x )²
Factoriser 9x4 + 6x²y + y²= ( 3x² + y )²
Des factorisations plus délicates
Factoriser 9x² + 4 + 12x = ( 3x + 2 )²
Factoriser - 16 + 25x² = ( 5x – 4 ) ( 5x + 4 )
Factoriser 25 + 16x²+ 20x = Impossible !!!!