2. Repérage et coordonnées
- types de coordonnées- trajectoires- vecteur tangent
Systèmes de coordonnées
• Cartésiennes (1D, 2D, 3D)
• Cylindriques (3D)
• Polaires (2D)
• Sphériques (3D)
Position de M définie par des coordonnées :
Quelconque, glissière rectiligne
Symétrie de révolution (axe), glissière circulaire
Symétrie autour d’1 point fixe
Coordonnées cartésiennes
• M N dans le plan
z selon Oz
• N x selon Ox
y selon Oy
M(ex, ey, ez) appelé repère local
O
M
y
z
xN
x(t) y(t) z(t) = coord. cartésiennes
Coordonnées cartésiennes (2)
Dans le déplacement de M, ex, ey et ez :– Gardent la même longueur (norme =1)– Gardent même direction et sens
Pour l’observateur « attaché à » O(i, j, k)
dex/dt=0 dey/dt=0 dez/dt=0
Coordonnées cylindriques
M N dans le plan
z selon Oz
N repéré par :
θ(t) = (i, ON)
r(t) = ON
r(t) (t) z(t) = coord. cylindriques
O
M
Nθ(t)
z(t)
Coordonnées cylindriques (2)
Lien avec les coord. cartésiennes :• z(t) identique• ON fait θ(t) avec Ox
=> x(t) = r(t)cos θ(t)• ON fait π/2 - θ(t) avec Oy
=> y(t) = r(t)sin θ(t)
ou :
r(t) = x² + y² θ(t) = tan-1(y/x)
Coord. Cylindriques (3)
Vecteur position :
x(t) y(t)
OM = r(t)cos θ(t) i + r(t)sin θ(t) j + z(t) k
ou OM = r(t) {cos θ(t) i + sin θ(t) j } + z(t) k
(1)
Repère local associé• er // ON, norme = 1
er = ON / r(t) (2)
• eθ fait +π/2 dans le plan horizontal passant par M
• ez = er ^ eθ
ez = k
O
M
Nθ(t)
z(t)
Expression de la base locale
Vecteur position :
OM = ON + NM
= r(t) er + z(t) k
comparé avec (1) :
er = cos θ(t) i + sin θ(t) j (3)
notation « juste » er(θ) ou er(θ(t)) !
Expression de la base locale (2)
eθ = er (θ+π/2)
= cos (θ+π/2) i + sin (θ+π/2) j
eθ = - sinθ(t) i + cos θ(t) j (4)
θ
er
eθ
Application du produit vectoriel
er^eθ = k ?
0
cos
sin
0
sin
cos
²sin²cos
0
0
1
0
0
Évolution de la base locale
Dans le déplacement de M, er, eθ et ez :– Gardent la même longueur (norme =1)– er , eθ changent de direction (θ variable)
Pour l’observateur attaché à O(i, j, k)
der/dt 0 deθ/dt 0 dez/dt =0
Évolution de la base locale (2)
(3) : er = cos θ(t) i + sin θ(t) j
der/dt = - sinθ(t)× θ i + cos θ(t)× θ j
(4) : eθ = - sin θ(t) i + cos θ(t) j
deθ/dt = - cosθ(t)× θ i - sin θ(t)× θ j
der/dt = θ eθ ; deθ/dt = - θ er
Application ..• En coord. cylindriques, repère de
dérivation repère d’écriture !• Règle de dérivation habituelle FAUSSE !!
V1 = 10t er + 4t² ez avec θ(t) = 3t
dV1/dt = 10er + 8t ez ?
dV1/dt = (10t er)' + (4t²ez)'
= 10 er + 10t (der/dt) + 8t ez
= 10er + 30t eθ + 8t ez
Coordonnées polaires
• Restriction dans un plan horizontal (z= cste ou z=0) des coordonnées cylindriques
– r(t) appelé rayon polaire – θ(t) angle polaire
Coordonnées sphériques
M repéré par : • 2 angles θ(t) , φ(t)• sa distance r(t) = OM
O
M
r
N
Repère local
er , eθ , eφ
Coordonnées sphériques (2)
• Utilisé en ELM (ondes …)• Coordonnées géographiques :
– Latitude = π/2 – θ– Longitude = φ
φ
Méridien de Greenwich
trajectoire
– Ensemble des points (positions) occupées par M lors du mouvement
– Liée à l’observateur (notion relative)
• Équation de la trajectoire : f(x,y,z) ou g(r,θ) …
Exemple : y(x) = x² , x² + y² = 4
r(θ) = p / (1+ e cos θ)
Trajectoire (2)
• Trajectoire paramétrique (lois horaires)
Ensemble des lois x(t), y(t), z(t)
ou r(t) θ(t) z(t) ….
+ domaine de variation de t
x(t) = 1 + t (m)
y(t) = t²
z(t) = 4/3 t3/2 0 t 2 (s)
t=2s
t=0
Abscisse curviligne
• Mesure de la longueur sur une trajectoire de t0 à t1
• notation OM ( OM) ou s(t)• M1M2 = OM2 – OM1
= s(t2) – s(t1)
méthode de calcul ?
Abscisse curviligne (2)
s(t1)
s(t2)
Vecteur tangent à la trajectoire
• T colinéaire à v(M), || T || = 1
• T = v(M) / v v = || v(M) ||
z
y
x
Mv
)( 222 zyxv
Vecteur tangent (2)
v(M)
T
Vecteur tangent (3)
# Exemple
x(t) = t
y(t) = 1 + t² 0 t 4……
Tx = 1/ 1+4t² Ty = 2t/ 1+4t²