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Cours de:
RsistanceDesMatriaux
(R.D.M)
Pr: H. LAHMAML.C.S.M
Licence professionnelle : I. M. PModule : McaniqueApplique
Elment :RsistanceDesMatriauxDpartement de Physique. Facult des Sciences BenMSik. Universit Hassan-II Mohammdia.
Casablanca-Maroc.
2006-2007
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1
Introduction1 Rappel surllasticit linaire.
R. D. M
2 Equation dquilibre dune
poutre en lasticit linaire.3 Quelques applications.
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Introduction
La Rsistance Des Matriaux est lascience du dimensionnement despices ou lments qui constituent unouvrage dart ou tout objetutilitaire.
2
Le gnie civil, domaine de la crationintelligente, sappuie essentiellementsur la R.D.M pour la ralisation desconstructions telles que les grosuvres des btiments, les ponts, lesossatures des grandes surfaces de
stockage ou de vente.
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Cette tude prliminaire doit remplirles fonctions demandes cettestructure (cahier de charge), cest dire une bonne rsistance (sansdommage) tous les effortsauxquelselle sera soumise pendant son
service.
La conception dun ouvrage estlimagination des formes des pices
formant le squelette gomtriqueainsi que la dtermination desquantits de matire ncessaires etsuffisantes pour raliser ces formes.
3
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4Le dimensionnement (ralis par desbureaux dtudes) fait appel des
calculs qui prvoient le comportementmcanique de lobjet dont laconception doit runir les meilleures
conditions de scurit, dconomie etdesthtique (architecte).
Historiquement, Les premiers travauxde recherche sur la R.D.M remontent la fin du XVIe sicle (Etudesexprimentales de Galile( Phy,math etastr italien 1564-1642) sur la tension et
la flexion des poutres).
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les bases de la thorie de llasticitlinaire (rversibilit et proportionnalit
des dformations aux efforts) ont tnonces parRobert Hooke (Phy et astranglais 1635-1703 ) en 1678.
5
1Rappel sur llasticit linaire.
1.a Essai de traction simple.
Analysons leffet dun essai detraction sur une longue barre (ou un
fil ) daciersuppos homogne.
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L 0
Charge
Comparateur
6
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Piston
huile
De la
pompeDispositif
coulissant
ManomtreEprouvette
Mchoires
de fixation
Machine de traction
7
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8
Coupe longitudinaledune prouvette
(courte et paisse)L
S
F
- F
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9 Diagramme contrainte-dformationde lacier
N
eLL
O
ruptureElasticitPlasticit
itelim
S
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10Diagramme contrainte-dformation
de la fonte(matriau fragile)
SN
eLL
O
ElasticitPlasticit
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11
SN
eLLO
Elasticit
Diagramme contrainte-dformation
du marbre
lim2lim1
Ilim1I lim2
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12 Diagramme contrainte-dformationdu bton
SN
eLL
O
Elasticit
lim1
lim2
Ilim1I lim2
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Remarque 1: Daprs le diagramme
contrainte-dformation de lacier la
contrainte varie en fonction de la
dformation dans la zone lastique
selon une loi linaire est rversible.
13
Loi de Hooke en lasticit linaire
(1676)
E e E est le module dYoung (Thomas
Young:Md et phy anglais 1773-1829)
ou moduledlasticit longitudinale.
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Lordre de grandeur du module
dYoung varie de 50.000 MPa
200.000 MPa (1MPa=1N/mm2
).
14
Remarque 2: L'exprience montre que la
diminution de la section transversale lors
de la traction est proportionnelle l'allongement de la barre dessai.
t eest le modulede Poisson (mathfranais 1781-1840). ou module
de compression transversale.
P t i h
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15
(1+e)aa
a
(1+et)a
Pour un matriau homogne on a:
1/2
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La variation du volume de llment cube
dcoup dans la barre dessai est:
16
)21(
3a2)1)((13a
3a
2)t1)((1
3aV
e
Daprslexprience,le volume de la barre
ne peut diminuer en traction, alors:
2/1
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171.b Essai de torsion simple.
Etudions leffet dun essai de torsionsur une longue barre (ou un fil )
dacier suppos homogne.(En
pratique on peut utiliser aussi unrouleau en caoutchouc).
La torsion de cette barre dessai peuttre obtenue, par exemple, en
appliquant deux couples opposs en
ses extrmits.
18
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18Pour comprendre la dformation de
ce matriau, on ralise sur sa
surface un trac sous forme d untreillis de lignes orthogonales.
Etat non
dformM
t
- M
Etat
dform
z
19
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19Aprs dformation, les lignes
circulaires conservent leur forme,tandis que les lignes parallles laxe
du rouleau deviennent hlicodales.
Dcoupons, par imagination, dans le
rouleau des disques minces et danschaque disque un anneau comme le
montre la figure ci-dessous:
20
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20
d dzd
r
d est langle de cisaillement et dest langle de torsion.
21
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21
dz
drd)d(tg
=r.d est le dplacement tangentiel dela face suprieure du disque mincepar rapport la face infrieure.
Dcoupons, par imagination, dans ledisque mince, un anneau de rayon
intrieurret de rayon extrieurr + dr.
22
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22
dz
dd r
r+dr
Considrons, dans cet anneau, un
petit cube qui priori subit une
dformation de cisaillement pure.
d23
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dzd
d r.ddr23
z
z
= z= est lacontrainte de
cisaillement.
24
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/2
/2
24
Les expriences montrent que dans la
zone de llasticit, les grandeurs etsont lies par une loi linaire:
25
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25.G
G est le module de cisaillement(ou module de llasticittransversale).
dz
dGrd.G.G
=Lemoment , par rapport laxe du
rouleau, de la force orthoradiale
,due cette contrainte est:
26
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26
k.drddz
dr.G
k.drrd.r
eds.erMd
3
r
=
Le moment de torsion, par rapport
laxe du rouleau, exerc sur une
section transversale est:
27
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k.
dz
d
32
GD)z(M
4 =27Dest lediamtre du rouleau dessai.
Dans le cas d unmatriau homogne,langle de torsion varie de faon
linaire en fonction de z, ce qui
donne:
Mk.
L
)0z()Lz(
32
GD)z(M t
4 ==
28
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28
ML32
GD)z(M t0
4 ==
L tant la longueur du rouleau.
Si nous dsignons par0 langle detorsion de la barred essai, alors on a:
L32
GD4 Est le coefficient derigidit de la barre en
torsion.
29
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29Remarques
Dans le cas de la dformation decisaillement pur, la contrainte
maximale est donne par:
L2
DG.G 0maxmax
16
D
L23
DGM max
30
4
t ==
30
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30les moments de torsion admissibles
dans le domaine de l lasticit
linaire sont donns par l ingalitsuivante:
16
DM e
3t
e est la contrainte de cisaillementcorrespondant la limite de llasticit
linaire ou seuil de proportionalit.
31 L t d t i d t
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2/D
IM e
zzet
31 Le momentde torsion correspondant la limite de llasticit peut scrire
aussi:
Izzest le momentquadratique de lasection par rapport son axe (Oz):
32
DdSrI
4
S
2zz
=
32
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321.c Essai de flexion simple.
Etudions leffet dun essai de flexionsur une longue barre mtallique
suppos homogne.(En pratique on
peut utiliser aussi une barreprismatique en caoutchouc).
La flexion de cette barre dessai peuttre obtenue, par exemple, en
appliquant un chargement transversal
surlune de ses extrmits.
33P d l df ti d
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33 Pour comprendre la dformation dece matriau, on ralise sur sa
surface latrale un trac sous formedun treillis de lignes orthogonales.
Mchoires
dun tau
34
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Ligne
moyenne
Etat non dform
de la surface
latrale
34
Etat dform
de la surface
latrale
35
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35Aprs dformation, les couches
suprieures sallongent tandis quecelles dubas se resserrent. La couche
moyenne conserve pratiquement sa
longueur.
Dcoupons, par imagination, dans la
barre, un tronon de longueur
suffisamment petite.
36dL
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36
Le segment infinitsimal sur la ligne
moyenne conserve sa longueurdL.
d2d
dL
dA
B
37
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Remarque: la section transversale
reste plane. Par consquent le
raccourcissement et lallongementdes couches sont proportionnelles
la distance transversale de ces
couches mesure partir de la lignemoyenne.
37
On peut supposer que la contraintenormale dans chaque couche est
proportionnelle son allongement ou
son raccourcissement.
380 z
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38
e
z 0
o est la contrainte normale auniveau de la couche la plus loigne
de la couche neutre.
0 zO(z) 2e
A
B
O Ox
39
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39Remarque: leffortnormal exerc sur
la section transversale AB est nul.
Calculons le moment de flexion
exerc sur la section transversale AB.
0dz
e
z.bF
ez
ez
0 ==
b dsigne la largeur de la section
transversale.
40
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40
3
eb2
0dydzez
FzdM
20
e
ez
20
ez
ez
==
=
=
41
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Ixx est le moment quadratique de lasection transversale par rapport
son axe de rotation.
I
e
M xx0=
3
be2
dydzzI
3e
e
2
xx =
42
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Remarque: Dans le cas de la
dformation de flexion pure, le momentde flexion est proportionnelle la
contrainte normale maximale.
les moments de flexion admissibles
dans le domaine de llasticit linaire
sont donns parlingalit suivante:
limitexxitelim
f MI
e
M =
43
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La quantit moment de
rsistance de la section
transversale.e
I xx
Remarque: dans le cas de lexemple
tudi, le moment de flexion est le
mme dans toutes les sectionstransversales de la barre (ou poutre).
Expression de la flche44
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Expression de la flche.
45
d
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dy
dztg
dydyzdd2
2
d2d
2
2
0
dy
zdEe
dy
ed2E =
46
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xx
0
IeM
= 2
2
xxdy
zd
EIM =Le moment de flexion est le mmedans toutes les sections transversales
de la barre (ou poutre), puisque leffet
de la pesanteur est nglig et que la
barre nest sollicite quen ses
extrmits par un couple.
47
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xx
ext2
2
EI
M
dy
zd =Admettons que l'extrmit (y=0) estencastre et que la section est
constante.
F
-F
48Md
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2
xx
exty
EI
M
2
1)y(z =
2
xx
extmax L
EI
M
2
1z =
La flche maximale correspond dans
ce cas la valeur (y=L), soit:
y
EI
M
dy
dz
xx
ext
y
=
49 2 Equation dquilibre dune
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2 Equation d quilibre d une
poutre en lasticit linaire.
2-1Torseur des efforts intrieurs
S0(G0)S1(G1)S(G)
Ligne moyennePoutre curviligne
Dcoupons par imagination la50
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Dcoupons par imagination la
poutre suivant la section S(G).
S0(G0)S1(G1)
S+(G)
S-(G)La partie droite exerce sur la partie
gauche des efforts intrieurs
caractriss par le torseur:
51
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)G(M),G(R)S(int
=
Daprs le principe de laction et de la
raction, La partie gauche exerce sur
la partie droite des efforts intrieurs
opposs caractriss par le torseur:
)G(M),G(R)S(int
52
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)G(M)G(M)G(M
)G(T)G(N)G(R)S(
tf
int
=
Dsignons par le vecteur tangent laligne moyenne au point G orient de la
partie gauche vers la partie droite. Le
torseur int(S+)scrit encore:
53
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)G()G(N)G()G()G(R)G(N
=
)G(N)G(R)G(T=
Effort normal
Effort tranchant
54
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)G(tM)G()G()G(M)G(tM
=
Moment de torsion
)G(fM)G(M)G(fM=
Moment de flexion
552 2 Equation dquilibre vrifie
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56/88
S(G)
S(G )ds
Tronon de poutre
2-2Equation dquilibre vrifie
par le Torseur des efforts
intrieurs
Labscisse curviligne du centre de56
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Cette tranche lmentaire est en
quilibre statique sous leffet de trois
torseurs:
L abscisse curviligne du centre de
masse G est donne au premier
ordre par:
sd)G(s)G(s'
)G(M),G(R))G(S(int
57
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58/88
ds
dsMd)G(M
ds
ds
Rd)G(R
))G(S(
G
G'int
=
)G(m,)G(ext
Torseurparunit de
longueur ds
Exprimons le torseur des efforts58
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59/88
)G(RGGdsds
Md)G(M
dsds
Rd
)G(R
))G(S(
'
G
G
int
=
Exprimons le torseur des efforts
intrieurs appliqu sur S+(G) au
point G:
Lquilibre du tronon de poutre59
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L quilibre du tronon de poutre
se traduit donc par:
Ods)G(m)G(Rdsdsds
Md
Odsdsds
Rd
G
G
=
=
Soit encore par:60
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Soit encore par:
OmRds
Md
Ods
Rd
=
=
2-3 Cas dune poutre prismatique
z61
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x
y
0z
dy
zdT
0ydy
dN
0xdyxdT
===
0mT
dy
dM
0mdy
dM
0mTdydM
zxz
y
y
xzx
==
=
3 Quelques applications62
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63/88
3 Quelques applications.
3-1 Dformation longitudinaledune barre mtallique sous
leffet de son poids.
m3L
ms8.9g
Kg/cm10x1.2E
cm/Kg0078.0
1-
26
acier
3acier
= ==O
y
gL
63Daprs lquation dquilibre
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D aprs l quation d quilibre
vrifie par l effort normal N, on a:
0dy
dN y = 0dyg.dmdydN = )yL(Sg)y(N
mgR(O))0(N)0(N
LSg)0(N)0(N
64Daprs la loi de Hooke on a:
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D aprs la loi de Hooke, on a:
)yL(gSdy
dv
ESN
)2y
L(yE
g
)y(v = E2gLL)L(v
2
=m1630L
653-2 Dformation longitudinale de
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3-2 Dformation longitudinale de
deux barreaux mtalliques
en srie.O
y
gL1
L2
F
acier
bronze
66Distribution de leffort normal dans
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0gSdydN 11 =Dans le barreauDans le barreau
0gSdydN 22 =CgSy)y(N 111 CgSy)y(N 222 F)LL(N 212 =
Distribution de l effort normal dans
les barreaux et .
)L(N)L(N 1211 = FL)yL(gS)y(N 22111
67FyLLgS)y(N 2122
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FyLLgS)y(N 2122 Distribution de la contraintenormale dans les barreaux et .
SF
L)yL(gS
)y(N
)y( 22111
1
S
FyLLg
S
)y(N)y(
212
2
2
Champ de dplacement dans les
barreaux
et
.
68 dv
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SFL)yL(g
dy
dvE)y(
2211
11
=
Ay2gy
SF)LL(g(y)vE 121221111
y2g
yS
F
)LL(g(y)vE
21
221111
L
S
F)L
2
L(g)L(vE 122
11111
Fdv269
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SFyLLgdydvE)y( 212222 Ay
2
g-y
S
F)LL(g)y(vE 2
2221222
)L(v)L(v 1211 =
S
F)
2
L2L(g
E
LE
S
F)
2
L2L(gLA
2211
1
12
21
212
Allongements des barreaux et70
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Allongements des barreaux et .
Allongementdu barreau )L(vL 111=Allongement
du barreau )L(v)LL(v)L(v)LL(vL
11212
122122
26acier
3acier
Kg/cm10x1.2E
cm/Kg0078.0
==
25bronze
3bronze
Kg/cm10x9E
cm/Kg008.0
==
Application numrique
212
m2L;m1L;50cmS71
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72/88
1-5
21
ms8.9g;N10x5F
m2L;m1L;50cmS
==
3-3 Flexion dune barre sous leffetdun chargement uniforme.
mm0.47L1= mm0.23L2=
z
yO A
720
dTz
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73/88
==0T
dydM
0dy
d
zx
zz
0z Ly0;CyT 0z
Remarque: Aux points dappui leffort
tranchant subit une discontinuit donnes par:)O(R)o(T)o(T zz )A(R)L(T)L(T zz
730)L(T;0)o(T
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74/88
0)L(T;0)o(T zz =)A(R)L(T)O(R)o(T
z
z =
Lquilibreglobal de la barre se traduit par:
=
=
=
=
0)kdy(OG)A(ROA
0)kdy()A(R)O(R
L
0y
L
0y
74L)A(R)O(R
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75/88
==
0
2
L)A(LR
L)A(R)O(R
2
L)A(R)O(R
=
2
L
)L(T
2
L)o(T
z
z
=
L/2y0;
2
Ly)y(T(y)T zz
75 LyT
dMx
7/29/2019 222222Cours de RDM
76/88
2yT
dyz
x Ly
2yMx 0)L(M:car x =
Expression de la flche, de la ligne
moyenne, en fonction de y.
Ly2
y
dy
zdEIM
2
2
x 1
L
y2
L
y
EI24
yL)y(z
233
Diagramme de leffort tranchant76
7/29/2019 222222Cours de RDM
77/88
Diagramme de l effort tranchant
Tz
2Ly =
Ly =y
-L/2
L/2
O
77Diagramme du moment de flexion
7/29/2019 222222Cours de RDM
78/88
La section correspondant la valeur
maximale du moment est appele
section dangereuse.
Diagramme du moment de flexion
Mx
2
Ly = Ly =
Mmax=L2/8
Oy
78
7/29/2019 222222Cours de RDM
79/88
3-4 Flexion dune barre sous leffet
dun chargement concentr.
z
y
O
Amg
Y=L/2
Y=L Ox
On peut modliser le problme79
7/29/2019 222222Cours de RDM
80/88
On peut modliser le problme
prcdent par le problme suivant:
z
yO
Amg
Y=L/2 Y=L
Ox
)O(M
)o(R
)L(M
)L(R
0dy
dz
dy
dz)L(z)o(z
Ly0y
==
= =
800
dTz
7/29/2019 222222Cours de RDM
81/88
L/2y0pour;
0Tdy
dM
0dy
zx
z
=
=
L/2y0;)(oTtetanconsT zz Remarque: Au milieu de la barre, leffort
tranchant subit une discontinuit donne par:mg)
2
L(T)
2
L(T zz =
81)0(R)o(T
7/29/2019 222222Cours de RDM
82/88
)0(R)o(T z =)A(R)L(T
)O(R)o(T
z
z =
Lquilibreglobal de la barre se traduit par:
==
0gmj2
L)A(ROA
0gm)A(R)O(R
82 =mg)A(R)O(R
7/29/2019 222222Cours de RDM
83/88
= 0
2
Lmg)A(LR
2
mg)A(R)O(R =
2
mg
)L(T
2
mg)o(T
z
z
=
L/2y0;
2
mg)y(T(y)T zz
83 mgT
dMx
7/29/2019 222222Cours de RDM
84/88
2T
dyz =
Expression de la flche, de la lignemoyenne, en fonction de y et pour0 y L/2.
2
mg
dy
zdEI
dy
dM
3
3x =
322
13
cycycyEI12
mg)y(z
84 0)o(z =
7/29/2019 222222Cours de RDM
85/88
0
dy
dz
0
dy
dz
2/Ly
0y
=
=
=
=
4
L3yy
EI12
mg)y(z
2
2Ly24mgdy
zdEI)y(M
2
2
x
85
7/29/2019 222222Cours de RDM
86/88
Expression de la flche, de la lignemoyenne, en fonction de y et pourL/2 y L.
48L8 yL316Ly312yEImg)y(z3223
2L3y24mg)y(Mx
Diagramme de leffort tranchant86
7/29/2019 222222Cours de RDM
87/88
g
Tz
2
Ly =
Ly = y
-mg/2
mg/2
O
87 Diagramme du moment de flexion
7/29/2019 222222Cours de RDM
88/88
Le moment de flexion est donc maximalau niveau des encastrements et au milieude la barre qui correspondent auxsections dangereuses
Mx
2
L
y =Ly =
mgL/8
O
y-mgL/8