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ALGEBRE 2 BACHELOR 1 Semestre 2 2009-2010
Enseignants : H. MOUSSA M. ZOROM 13 mars 2010
Evaluation 1 CORRIGE
Dure : 2 h
Les rponses aux questions doivent tre justifies avec soin. La
qualit de la rdaction et le raisonnement compteront pour une large
part dans la notation des copies. Vous tes pris de rpondre
directement sur les feuilles.
NOM Prnoms
Note
Exercice 1 (5 pts) Soit lapplication linaire g : IR2 [X] IR2[X]
dfinie pour tout P = a X2 + b X + c (a, b et c sont des rels) par
g(P)= g(a X2 + b X + c) = c X2 + b X + a 1) Dterminer ker g et
montrer que g est un automorphisme de IR2[X] 2) Soit B0 = {1, X, X}
la base canonique de IR2[X], dterminer la matrice A associe g 3)
Calculer A et en dduire An. 4) Soit C la matrice dfinie par C =
A-I. Ecrire C 5) Calculer C et en dduire Cn.
1) Kerg = { P = a X2 + b X + c , a, b, c IR / g(P) = c X2 + b X
+ a = 0} = { P = a X2 + b X + c , a, b, c IR / c = b = a = 0}
Kerg = { P = 0}, donc g est injective (car g est linaire). De
plus, dim IR2 [X] = 3 implique que g est une application linaire
bijective de IR2 [X] dans IR2[X], autrement dit un automorphisme de
IR2 [X]
2) Soit A = [g]B0 la matrice de g dans la base canonique B0 =
{1, X, X} de IR2[X].
Puisque g est linaire alors : P = a X2 + b X + c . 1 g(P) = a
g(X2)+ b g(X )+ c. g(1)
or g(P) = c X2 + b X + a. Donc on a : a g(X2)+ b g(X )+ c.g(1) =
c X2 + b X + a .
On en dduit alors que : g(1) = X; g(X) =X ; g(X)= 1
Commentaire [h1]: Autre mthode :
g(1) =X (en effet, P = 1 est tel que : a = 0 ; b=0 ; c =1)
g(X) =X (en effet, P = X est tel que : a = 0 ; b=1 ; c =0)
g(X) = 1 (en effet, P= X est tel que : a = 1 ; b=0 ; c =0)
Do
3)
Donc, on a : A3 = A.A = A.
Do :
4)
5) On a C = (A-I) = A
Or A = I ( daprs 3)). Donc : C = 2 I
Do
Calcul de Cn
C3 = C. C = (-2C). C = C3 = = (-2) C
C4 = C3. C = (-2) C=
La proprit peut tre gnralise et on en dduit que
g(1) g(X) g(X)
I) = A -2 A + I (car AI = IA = A et I = I)
: C = 2 I - 2A = - 2 (A - I) =
2C). C = -2 C = -2.(-2). C = (-2) C
== (-2)3 C
La proprit peut tre gnralise et on en dduit que :
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