1
AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL :
REALISATION DE FILTRES DU PREMIER ORDRE 1
L’amplificateur opérationnel est considéré comme idéal. La résistance R3 sur les schémas (qui a pour but de limiter la tension d’offset de l’amplificateur réel) ne sera pas prise en compte : sa tension aux bornes est nulle. On supposera de plus que la courbe de réponse de l’amplificateur est idéale : gain en tension constant quelle que soit la fréquence. 1 - FILTRE PASSE-HAUT INVERSEUR
Figure 1 : filtre passe-haut inverseur
1. Le montage de la figure 1constitue un amplificateur inverseur de gain A(ω) :
A(!) = vsve= !
R2Z1
avec : Z1 = R1 +1
j!C1
On obtient alors : A(!) = vsve= !
R2R1
1
1+ 1j!R1C1
2. Déterminons le module du gain : A(!) = vsve
=R2R1
1
1+ 1!R1C1( )2
soit en décibels :
A(!)dB= 20 log R2
R1
!
"#
$
%&'10 log(1+
1!R1C1( )2
)
3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux
fréquences moyennes {soit :20 log R2R1
!
"#
$
%&= 20dB )} a chuté de -3dB.
Dans ces conditions :!cR1C1 =1 .
1 Philippe ROUX © 2012 http://philippe.roux.7.perso.neuf.fr/
+
_R1
R3
R2
C1
10k"
ve1k"
1k"
1!F
vs
e
2
On en déduit la fréquence de coupure à -3 dB par rapport aux fréquences moyennes :
fc =1
2!R1C1soit fc = 159 Hz.
Le déphasage (en degrés) de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :
! = "180" Arc tan(!R1C1) A la fréquence de coupure fc le déphasage Φ (fc) est de -225°.
4. Déterminons le Graphe asymptotique de Bode du module du gain en tension exprimé en dB.
A(!)dB= 20 log R2
R1
!
"#
$
%&'10 log(1+
1!R1C1( )2
)
Le graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 2 :
Composante (1) : 20 log R2R1
!
"#
$
%& = 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une
droite horizontale.
Composante (2) : !10 log(1+ 1!R1C1( )2
) dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à 0 dB pour une fréquence tendant vers l’infini. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur 20 dB/ décade (pour f
tendant vers zéro).
La somme (3) des deux composantes précédentes constitue le graphe asymptotique de Bode du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
Figure 2 : Graphe asymptotique de Bode du module du gain
10 100 1 103 1 10420
0
20
40
159 f (Hz)
!
A
dB
1
2
fc
20 dB/décade
3
3
5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée :
! = "180" Arc tan(!R1C1) . Le graphe asymptotique de Bode a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 3 :
Composante (1) : -180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite horizontale. Composante (2) : !Arc tan(!R1C1) dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini. • à 0° pour f tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ.
Figure 3 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine).
Figure 4 : Graphe de Nyquist
10 100 1 103 1 104200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0 0
159
f (Hz)
1
2
3!
"
degrés
-45°/décade
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
109876543210
4
2 - FILTRE PASSE-BAS INVERSEUR
Figure 5 : Filtre passe-bas inverseur
1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain : A(!) = vsve= !
Z 2R1
Z2 =R2
1+ j!C2R2. On obtient alors : A(!) = vs
ve= !
R2R1
11+ j!R2C2
2. Déterminons le module du gain en décibels ainsi que la déphasage Φ de la sortie par rapport à
l’entrée.
A(!) = vsve
=R2R1
1
1+ !R2C2( )2
Soit en décibels : A(!)dB= 20 log R2
R1
!
"#
$
%&'10 log(1+ !R2C2( )2 )
Le déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :
! =180" Arc tan(!R2C2 )
3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux
fréquences moyennes {20 log R2R1
!
"#
$
%&= 20dB )} a chuté de -3dB.
Dans ces conditions : !cR2C2 =1 fc =1
2!R2C2= 31,8kHz
Le déphasage est alors : !( fc ) =180" 45=135°
+
_R1
R3
R2
C2
10k!
ve1k!
1k!
0,5nF
vs
e
5
4. Graphes asymptotiques de Bode du module du gain en tension.
A(!)dB= 20 log R2
R1
!
"#
$
%&'10 log(1+ !R2C2( )2 )
Ce graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 6 :
Composante (1) : 20 log R2R1
!
"#
$
%& = 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une
droite horizontale.
Composante (2) : !10 log(1+ !R2C2( )2 )dont les asymptotes correspondent respectivement : • à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur -20 dB/ décade (pour
f tendant vers l’infini).
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
Figure 6 : Graphe asymptotique du module du gain
5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage ! =180" Arc tan(!R2C2 )
Le graphe de Bode du déphasage a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 7 :
Composante (1) : 180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite horizontale.
Composante (2) : !Arc tan(!R2C2 ) dont les asymptotes correspondent respectivement :
1 103 1 104 1 105 1 10620
10
0
10
20
30
40
.3.183 104
1
2
fc f (Hz)
!
A
dB
3
-20/décade
6
• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini. • à 0° pour f tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ.
Figure 7 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine).
Figure 8 : Graphe de Nyquist
1 103 1 104 1 105 1 10690
45
0
45
90
135
180
.3.183 104
-45°/décade
!
"
degrés
f (Hz)
1
2
3
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
10
987
654
3210
7
3 - FILTRE PASSE-BANDE INVERSEUR L'association des deux montages précédents conduit à la réalisation d'un filtre passe-bande. On se place dans la situation particulière (figure 9) où les deux constantes de temps sont égales: R1 C1 = R2 C2 = τ.
Figure 9 : Filtre passe-bande inverseur
1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain : A(!) = vsve= !
Z 2Z1
Avec : Z1 = R1 +1
j!C1 Z 2 =
R21+ j!R2C2
Soit :
A(!) = ! j!R2C1(1+ j!R1C1)(1+ j!R2C2 )
2. Graphe asymptotique de Bode du module du gain exprimé en décibels (figure 10).
A(!)dB= 20 log !R2C1( )!10 log(1+ !R1C1( )2 )!10 log(1+ !R2C2( )2 )
Ce graphe de Bode possède trois composantes notées (1), (2) et (3) sur la figure 10 :
Composante (1) : 20 log !R2C1( ) représentée par une droite de coefficient directeur
20dB/décade passant par la fréquence : 12!R2C1
=1,59kHz
Composante (2) : !10 log(1+ !R1C1( )2 ) dont les asymptotes correspondent respectivement : • à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro.
• à un segment de droite passant par 12!R1C1
=15,9kHz et de coefficient directeur -20
dB/ décade (pour f tendant vers l’infini).
+
_R1
R3
R2
C2
10k!
ve1k!
1k!
1nF
vs
eC1
10nF
8
Composante (3) : !10 log(1+ !R2C2( )2 ) identique à la composante (2) sachant que les constantes de temps sont égales.
La somme (4) de ces trois composantes constitue le graphe asymptotique de Bode du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
Figure 10 : Graphe de Bode du module du gain
3. Graphe asymptotique de Bode du déphasage de la sortie par rapport à l’entrée (figure 11).
! = "Arc tan(#)" Arc tan(!R1C1)" Arc tan(!R2C2 ) Le graphe de Bode du déphasage a trois composantes notées (1), (2) et (3) sur la figure :
Composante (1) : -90° indépendant de la fréquence et représenté par une droite horizontale.
Composante (2) : !Arc tan(!R1C1) dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini. • à 0° pour f tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
Composante (3) : !Arc tan(!R2C2 ) identique à la précédente.
100 1 103 1 104 1 105 1 10620
16
12
8
4
0
4
8
12
16
20
1.59 104
.
1.592 103
1
2
3
20 dB/décade -20 dB/décade
4
!
A
dB
4
f (Hz)
9
La somme de toutes les composantes constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ. La discontinuité sur le graphe a été introduite par le logiciel de calcul et ne doit pas être prise en compte.
Figure 11 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents sont rassemblés sous la forme de Nyquist (la phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine). Vous noterez l’absence de discontinuité.
Figure 12 : Graphe de Nyquist
100 103180
135
90
45
45
90
135
180
.1.59 104
f (Hz)
!
"
degrés
104
105 106
1
2 3
-45°/décade
-90°/décade
-90°/décade
180 0
30
60
90
120
150
210
240
270
300
330
54.543.532.521.510.50
10
4. On se propose maintenant de déterminer le gain en tension maximal Amax ainsi que les fréquences de coupures à -3 dB du montage. Si l’expression précédente du gain était appropriée pour obtenir les graphes de Bode, elle est peu pratique pour la suite. A cet effet, exprimons le gain en tension sous une autre forme :
A(!)[ ]!1 = vevs= !Z1Y 2 avec : Y 2 =G2 + j!C2 .
On obtient alors l’expression :
A(!) = ! 1R1R2+C2C1
+ j(!R1C2 !1
!R2C1)
Le gain en tension sera maximal lorsque la partie imaginaire sera nulle. Soit :
Amax =1
R1R2+C2C1
= 5 (14 dB)
Pour obtenir les fréquences de coupure à –3dB fb et fh du filtre, nous allons écrire le gain sous
la forme : A(!) = Amax1+ jF(!)
A(!) = ! 1R1R2+C2C1
1
1+ j(!R1C2 !
1!R2C1
)
R1R2+C2C1
-> A(!) = ! Amax1+ jAmax (!R1C2 !
1!R2C1
)
Le module du gain est alors :
A(!) = Amax
1+ A2max (!R1C2 !1
!R2C1)2
Les fréquences de coupure à -3 dB sont obtenues lorsque : A2max (!R1C2 !1
!R2C1)2 =1
Ceci conduit à résoudre l’équation : Amax (!R1C2 !1
!R2C1) = ±1
Les racines réelles des deux équations du 2° degré précédentes conduisent à :
• Fréquence de coupure basse : fb = 6,6 kHz. • Fréquence de coupure haute : fh = 38 kHz.
11
4- FILTRE PASSE-BAS NON INVERSEUR
a. Montage 1 : on place un circuit RC intégrateur à l’entrée du montage amplificateur non inverseur.
Figure 13 : Filtre passe-bas non inverseur
Gain en tension du montage : vc =
1j!C
R+ 1j!C
ve vc = vsR1
R1 + R2 A(!) = R2 + R1
R1
!
"#
$
%&
11+ j!RC
On en déduit le module (en dB) et l’argument :
A(!)dB= 20 log R2 + R1
R1
!
"#
$
%&'10 log 1+ !RC( )2!
"$%
! = "Arc tan !RC( )
• Gain aux fréquences moyennes : A = 11
• Fréquence de coupure haute fc =1
2!RC= 31,8kHz où Φ (fc) = -45°.
Les points calculés des courbes de réponse en fréquences : AdB
et ! en degrés sont données en figures 14 et 15 (en s’inspirant des graphes exposés précédemment, il sera facile de tracer les graphes de Bode asymptotiques).
Figure 14 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés
+
_
R
R
RA0
vsev
2
1
Ccv
1k!
1k!
10k!
5nF
1 103 1 104 1 105 1 10620
10
0
10
20
30
40
.3.183 104
|A| dB
f (Hz)
12
Figure 15 : Graphe de Bode du déphasage avec points calculés
b. Montage 2 : on place un condensateur C2 en parallèle avec la résistance R2.
Figure 16 : : Filtre passe-bas non inverseur
Gain en tension du montage : A(!) = R2 + R1R1
!
"#
$
%&1+ j! R1 / /R2( )C21+ j!R2C2
On en déduit le module du gain en dB et le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée :
A(!)dB= 20 log R2 + R1
R1
!
"#
$
%&+10 log 1+ ! R1 / /R2( )C2( )
2!"#
$%&'10 log 1+ !R2C2( )2!
"$%
! = Arc tan ! R1 / /R2( )C2"# $%& Arc tan !R2C2[ ]
• Gain aux fréquences moyennes : A = 11
• Fréquence de coupure haute fh =1
2!R2C2=159kHz
1 103 1 104 1 105 1 10690
75
60
45
30
15
0
.3.183 104
f (Hz)
! (degrés)
+
_
R
RA0
vsev
2
1
C2
1k! 10k!
1nF
13
On remarquera que l’expression du gain fait apparaître une autre fréquence de coupure fc
supérieure à fh à savoir : fc =1
2! (R1 / /R2 )C2=1, 75MHz dont l’influence apparaît nettement
sur la graphe du déphasage. Les courbe de réponse en fréquences : A
dBet ! en degrés sont données en figures 17 et 18.
Figure 17 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés
Figure 18 : Déphasage de la sortie par rapport à l’entrée
1 103 1 104 1 105 1 10620
10
0
10
20
30
40
.1.59 104 .1.75 105
|A| dB
1 103 1 104 1 105 1 10690
70
50
30
10
10
30
50
70
90
0
90
.1.59 104 .1.75 105
! (degrés)
f (Hz)
14
5- FILTRE PASSE-HAUT NON INVERSEUR On place un circuit RC différentiateur à l’entrée du montage amplificateur non inverseur.
Figure 19 : Filtre passe-haut non inverseur
Déterminons le gain en tension du montage : vc =R
R+ 1j!C
ve on en déduit :
A(!) = vsve=R2 + R1R1
!
"#
$
%&
1
1+ 1j!RC
A(!)dB= 20 log R2 + R1
R1
!
"#
$
%&'10 log 1+
1!RC( )2
!
"##
$
%&&
! = "Arc tan 1
!RC#
$%&
'(
Gain aux fréquences moyennes : A = 11
Fréquence de coupure à -3 dB : fb =1
2!RC=1,59kHZ où Φ (fc) = +45°.
Les points calculés des courbe de réponse en fréquences : AdB
et ! en degrés sont données en figures 20 et 21.
Figure 20 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés
+
_
R
R
RA0
vsev
2
1
C
cv
1k!
10k!
10k!
10nF
100 1 103 1 104 1 10520
10
0
10
20
30
40
.1.592 103
f (Hz)
|A| dB
15
Figure 21 : Déphasage de la sortie par rapport à l’entrée
100 1 103 1 104 1 1050
15
30
45
60
75
90
.1.592 103
f (Hz)
! en degrés