8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
http://slidepdf.com/reader/full/analyse-des-signaux-non-periodiques 1/36
5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n
p é r i o d i q u e s
5 . 1 . T r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
5 . 1 . 1 . P a s s a g e d e l a s é r i e à l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
L e p a s s a g e d ' u n s i g n a l p é r i o d i q u e à u n s i g n a l a p é r i o d i q u e p e u t s e f a i r e e n c o n s i d é r a n t
q u e l a p é r i o d e T
d e v i e n t d e p l u s e n p l u s g r a n d e p o u r t e n d r e v e r s l ' i n n i . O n c o n s t a t e
a l o r s q u e l e s r a i e s s p e c t r a l e s d i s t a n t e s d e
1/T s e r a p p r o c h e n t p o u r s e t r a n s f o r m e r e n
s p e c t r e c o n t i n u . M a i s e n m ê m e t e m p s , l ' a m p l i t u d e d e c e l u i - c i d i m i n u e p o u r t e n d r e
v e r s z é r o . U n e i l l u s t r a t i o n e n e s t d o n n é e ( g u r e 5 . 1 ) p o u r u n e s u i t e d ' i m p u l s i o n s
r e c t a n g u l a i r e s d o n t l a p é r i o d e a u g m e n t e a l o r s q u e l a l a r g e u r r e s t e c o n s t a n t e . C o m m e
l a s u r f a c e d e l ' i m p u l s i o n r e s t e c o n s t a n t e a l o r s q u e l a p é r i o d e a u g m e n t e , l ' a m p l i t u d e
X dc d u s i n u s c a r d i n a l n e c e s s e d e d é c r o î t r e p o u r t e n d r e v e r s z é r o .
P a r t a n t d ' u n s i g n a l p é r i o d i q u e d é c r i t p a r
x(t) =+∞
k→−∞
X ( jk) exp(+ j2π kf 0 t)
X ( jk) =1
T
+T/2
−T/2
x(t) exp(− j2π kf 0 t)dt
o n é v i t e l ' a n n u l a t i o n d e X ( jk)
l o r s q u e T →∞
e n c o n s i d é r a n t l a f o n c t i o n
T ·X ( jk) = +T/2
−T/2 x(t) exp(− j2π kf 0 t)dt
À p a r t i r d e s c o r r e s p o n d a n c e s s u i v a n t e s
T →∞, f 0 → df, kf 0 → f, T ·X ( jk) → X ( jf )
o n v o i t q u e l a s é r i e d e F o u r i e r d i s c r è t e d e v i e n t u n e f o n c t i o n c o n t i n u e . C e t t e f o n c t i o n
X ( jf )e s t u n e d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e q u i , p a r d é n i t i o n , e s t l a t r a n s f o r -
m é e d e F o u r i e r d u s i g n a l a p é r i o d i q u e x(t)
:
X ( jf ) ≡ +∞−∞
x(t)exp(− j2π f t)dt
1 8 7
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
0 1 2 3
0
0.5
1
x(t)
0 1 2 3
0
0.5
1
0 1 2 3
0
0.5
1
temps
0 5 10 15−0.1
0
0.1
0.2
X(jk)
0 5 10 15−0.1
0
0.1
0.2
0 5 10 15−0.1
0
0.1
0.2
fréquence
0 5 10 15−0.1
0
0.1
0.2
T X(jk)
0 5 10 15−0.1
0
0.1
0.2
0 5 10 15−0.1
0
0.1
0.2
fréquence
F i g . 5 . 1 . : P a s s a g e d e l a s é r i e d e F o u r i e r à l a d e n s i t é s p e c t r a l e
1 8 8
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . 1 . T r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
L a t r a n s f o r m é e i n v e r s e s ' o b t i e n t e n c o n s i d é r a n t l a f o n c t i o n p é r i o d i q u e p o u r l a q u e l l e
l a p é r i o d e T
t e n d v e r s l ' i n n i ; o n a a l o r s :
x(t) =+∞
k→−∞
X ( jk) exp(+ j2π kf 0 t)
= limT →∞
+∞k→−∞
1
T (T X ( jk)) exp(+ j2π kf 0 t)
= limT →∞
+∞k→−∞
(T X ( jk)) exp(+ j2π kf 0 t) f 0
L o r s q u ' o n p a s s e à l a l i m i t e
T →∞, T ·X ( jk) → X ( jf ), f 0 → df, kf 0 → f
o n o b t i e n t l a d é n i t i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n i n v e r s e d e F o u r i e r
x(t) ≡ +∞−∞
X ( jf ) exp(+ j2πf t) df
I l e s t i m p o r t a n t d e n o t e r q u e l e s u n i t é s d e X ( jf )
n e s o n t p a s l e s m ê m e s q u e c e l l e s
d u s i g n a l o r i g i n a l x(t)
. D a n s l e c a s o ù x(t)
e s t u n e t e n s i o n é l e c t r i q u e , s a t r a n s f o r m é e
X ( jf )s ' e x p r i m e e n [ V / H z ] .
5 . 1 . 2 . T F d i r e c t e e t i n v e r s e
L e s d e u x r e l a t i o n s q u e n o u s v e n o n s d e d é m o n t r e r c o n s t i t u e n t l e s t r a n s f o r m a t i o n s d e
F o u r i e r d i r e c t e e t i n v e r s e . O n c o n s t a t e q u e l e s d e s c r i p t i o n s t e m p o r e l l e e t s p e c t r a l e
s o n t p a r f a i t e m e n t s y m é t r i q u e s :
x(t) =
+∞
−∞
X ( jf ) exp(+ j2πf t) df ( 5 . 1 )
X ( jf ) =
+∞−∞
x(t)exp(− j2πf t) dt( 5 . 2 )
E n n o t a t i o n a b r é g é e , o n d é c r i r a c e s d e u x t r a n s f o r m a t i o n s p a r l e s o p é r a t e u r s T F { }
e t T F I
{ }. L a c o r r e s p o n d a n c e r é c i p r o q u e s ' é c r i t a l o r s :
x(t) = T F I {X ( jf )} ←→ T F {x(t)} = X ( jf )
S i l a f o n c t i o n x(t)
n e p o s s è d e p a s d e s y m é t r i e s p a r t i c u l i è r e s , s a d e n s i t é s p e c t r a l e
d ' a m p l i t u d e X ( jf )
e s t u n e f o n c t i o n c o m p l e x e :
x(t) ←→ X ( jf ) = X r(f ) + jX i(f )( 5 . 3 )
L e s d e n s i t é s s p e c t r a l e s d u m o d u l e e t d e l a p h a s e v a l e n t a l o r s :
|X ( jf )| ≡ X (f ) =
X 2r (f ) + X 2i (f )( 5 . 4 )
∠X ( jf ) ≡ α(f ) = arctanX i(f )
X r(f )( 5 . 5 )
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 1 8 9
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
5 . 1 . 3 . É n e r g i e d ' u n s i g n a l n o n p e r m a n e n t
D a n s l e c a s d e s s i g n a u x n o n p e r m a n e n t s , o n p r e n d r a g a r d e à p a r l e r d e l e u r é n e r g i e e t
n o n p a s d e l e u r p u i s s a n c e , c a r c e l l e - c i e s t n u l l e s i l ' o n c o n s i d è r e u n e d u r é e i n n i m e n t
l o n g u e .
D e m a n i è r e s i m i l a i r e à c e q u e l ' o n a v u p o u r l e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s , o n p e u t c a l c u l e r
l ' é n e r g i e d ' u n s i g n a l a p é r i o d i q u e a u s s i b i e n d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l q u e d a n s
d o m a i n e f r é q u e n t i e l :
W =
+∞
−∞
x2(t) dt
V
2s e c
( 5 . 6 )
W =
+∞−∞
|X ( jf )|2 df
V
2/H z
( 5 . 7 )
L ' e x p r e s s i o n d e l ' é n e r g i e d ' u n s i g n a l x(t)
d a n s l e d o m a i n e d e s f r é q u e n c e s e n t r a î n e l a
d é n i t i o n d e l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e S x(f )
:
S x(f ) ≡ |X ( jf )|2 = X ( jf ) ·X ( jf )∗
V
2/H z
2
( 5 . 8 )
O n n o t e r a q u e s e s u n i t é s s ' e x p r i m e n t e n [
V
2/H z
2]l o r s q u e l e s i g n a l e s t u n e t e n s i o n .
5 . 1 . 4 . P r o p r i é t é s d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
P a r m i l e g r a n d n o m b r e d e p r o p r i é t é s a s s o c i é e s à l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r , o n
r e t i e n d r a p a r t i c u l i è r e m e n t c e l l e s q u i o n t l e p l u s d ' i n t é r ê t e n t r a i t e m e n t d u s i g n a l .
E l l e s s o n t p r é s e n t é e s d a n s l e t a b l e a u 5 . 1 .
5 . 2 . E x e m p l e s d e s p e c t r e s c o n t i n u s
P o u r i l l u s t r e r l ' u t i l i s a t i o n d e l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r , c a l c u l o n s l e s d e n s i t é s s p e c -
t r a l e s d e t r o i s s i g n a u x p a r t i c u l i e r s .
5 . 2 . 1 . S p e c t r e d ' u n e i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e
C o n s i d é r o n s u n e i m p u l s i o n x(t)
d e l a r g e u r ∆t
e t d ' a m p l i t u d e A
c e n t r é e e n t = 0
( g u r e 5 . 2 ) . P a r d é n i t i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r , o n a :
X ( jf ) =
+∞−∞
x(t)exp(− j2π f t)dt
E n t e n a n t c o m p t e d e l a d é n i t i o n d e l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e c e n t r é e :
x(t) =
0 si |t| > ∆t2
A si |t| ≤ ∆t2
( 5 . 9 )
1 9 0
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . 2 . E x e m p l e s d e s p e c t r e s c o n t i n u s
a ) l i n é a r i t é ax(t) + by(t) aX ( jf ) + bY ( jf )
b ) d é c a l a g e x(t + td) X ( jf )exp(+ j2πf td)
c ) a m o r t i s s e m e n t x(t)exp(−at), x(t)
c a u s a l X ( j2πf + a)
d ) m o d u l a t i o n x(t)exp(+ j2πf 0t) X ( j(f − f 0))
e ) d é r i v a t i o n
dx(t)
dt j2πf X ( jf )
1
j2πf X ( jf ) +
1
2X (0)δ(f )
f ) i n t é g r a t i o n
t−∞
x(t)dt
a v e c X (0) =
+∞−∞
x(t)dt
h(t)⊗ x(t) H ( jf ) ·X ( jf )g ) c o n v o l u t i o n
h(t) · x(t) H ( jf )⊗X ( jf )
h ) é n e r g i e W =
+∞−∞
x2(t)dt W =
+∞−∞
|X ( jf )|2 df
j ) v a l e u r s à l ' o r i g i n e x(t = 0) = +∞−∞
X ( jf )df X (f = 0) = +∞−∞
x(t)dt
k ) r o t a t i o n O y y(t) = x(−t) Y ( jf ) = X (− jf ) = X ∗( jf )
l ) f o n c t i o n p a i r e x(−t) = x(t) X ( jf ) ∈
m ) f o n c t i o n i m p a i r e
x(−t) = −x(t) X ( jf ) ∈
T a b . 5 . 1 . : Q u e l q u e s p r o p r i é t é s d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 1 9 1
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
i l v i e n t :
X ( jf ) =
+∆t/2
−∆t/2
A exp(− j2π f t)dt
=−A
j2πf exp(− j2π f t)
+∆t/2
−∆t/2
=−A
j2πf
exp(− j2π f
∆t
2)− exp(+ j2π f
∆t
2)
=A
πf
exp(+ jπf ∆t)− exp(− jπf ∆t)
2 j
U t i l i s a n t l a f o r m u l e d ' E u l e r :
sin u = exp(+ ju)− exp(− ju)2 j
o n o b t i e n t n a l e m e n t :
X ( jf ) = A ∆tsin(πf ∆t)
πf ∆t= A ∆t sinc(f ∆t) ∈
( 5 . 1 0 )
C o m m e o n p o u v a i t s ' y a t t e n d r e , l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e d ' u n e i m p u l s i o n
r e c t a n g u l a i r e c e n t r é e e n t = 0
e s t b i e n d é c r i t e p a r u n s i n u s c a r d i n a l . D e p l u s , c o m m e
l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e x(t)
e s t p a i r e , s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e Y ( jf )
e s t
u n e f o n c t i o n r é e l l e . E n n , o n r e m a r q u e r a ( g u r e 5 . 2 ) q u e l e s p e c t r e p a s s e p a r z é r o
c h a q u e f o i s q u e l e s i n u s c a r d i n a l s ' a n n u l e , c ' e s t - à - d i r e , c h a q u e f o i s q u e l a f r é q u e n c e
e s t u n m u l t i p l e d e 1/∆t
.
L e s p e c t r e d e c e t t e i m p u l s i o n i l l u s t r e d e u x p o i n t s i m p o r t a n t s c o n c e r n a n t l e s s i g n a u x
d e d u r é e l i m i t é e ( g u r e 5 . 3 ) :
U n s i g n a l d e c o u r t e d u r é e p o s s è d e u n s p e c t r e l a r g e b a n d e .
U n s p e c t r e é t r o i t c o r r e s p o n d à u n s i g n a l d e l o n g u e d u r é e .
5 . 2 . 2 . S p e c t r e s d ' u n s i n u s a m o r t i
É t u d i o n s , c o m m e d e u x i è m e e x e m p l e , l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r d ' u n e s i n u s o ï d e d e
f r é q u e n c e f p d é c r o i s s a n t e x p o n e n t i e l l e m e n t a u c o u r s d u t e m p s ( g u r e 5 . 4 ) . S o n é q u a -
t i o n s ' é c r i t :
y(t) =
0, si t < 0
A exp(−at) sin(2πf p t), si t ≥ 0( 5 . 1 1 )
P a r t a n t d e l a d é n i t i o n d e l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r , o n c a l c u l e s a d e n s i t é s p e c t r a l e
d ' a m p l i t u d e :
Y ( jf ) = +∞−∞
y(t) exp(− j2πf t)dt
1 9 2
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . 2 . E x e m p l e s d e s p e c t r e s c o n t i n u s
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps
x ( t )
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
0
1
2
3
4
fréquence
X ( j f )
F i g . 5 . 2 . : I m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e e t s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e
−10 −5 0 5 10−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x 1
( t )
A = 1, ∆t = 10
−5 0 5
−2
0
2
4
6
8
10
X 1
( j f )
−10 −5 0 5 10−1
0
1
2
3
4
5
6
temps
x 2
( t )
A = 5, ∆t = 2
−5 0 5
−2
0
2
4
6
8
10
fréquence
X 2
( j f )
F i g . 5 . 3 . : L e c o n t e n u s p e c t r a l d ' u n e i m p u l s i o n d é p e n d f o r t e m e n t d e s a d u r é e
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 1 9 3
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
=
∞
0
A exp(−at) sin(2πf p t) exp(− j2πf t)dt
= ∞0
A exp(−at) exp(+ j2πf p t)− exp(− j2πf p t)2 j
exp(− j2πf t)dt
C e t t e i n t é g r a l e n e c o n t i e n t q u e d e s e x p o n e n t i e l l e s ; e l l e e s t t r è s s i m p l e à c a l c u l e r .
A p r è s r é d u c t i o n d e s d e u x p r i m i t i v e s à u n m ê m e d é n o m i n a t e u r , o n o b t i e n t :
Y ( jf ) = A2πf p
(a + j2πf )2 + (2πf p)2∈ C
( 5 . 1 2 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.5
0
0.5
1
temps
y ( t )
A = 1.0
fp
= 4.0
a = 0.25
−10 −5 0 5 100
0.5
1
1.5
2
fréquence
| Y ( j f ) ) |
F i g . 5 . 4 . : S i n u s a m o r t i e t l e m o d u l e d e s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e
O n r e m a r q u e r a q u e l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e Y ( jf ) e s t u n e f o n c t i o n c o m p l e x e
c a r l a s i n u s o ï d e d é c r o i s s a n t e y(t)
n e p o s s è d e p a s d e s y m é t r i e p a r t i c u l i è r e . L a g u r e
5 . 4 p r é s e n t e l e s i n u s a m o r t i e t l e m o d u l e d e s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e .
O n p e u t é g a l e m e n t n o t e r l e s d e u x v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s s u i v a n t e s
f = 0 : Y (0) = A2πf p
a2 + (2πf p)2 A
2πf ps i
a 2π f p
f = f p : Y ( jf p) =A
a
2πf pa + + j4πf p
A
j2as i
a 2π f p
1 9 4
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
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5 . 2 . E x e m p l e s d e s p e c t r e s c o n t i n u s
5 . 2 . 3 . S p e c t r e s d e 2 i m p u l s i o n s
C o n s i d é r o n s u n s i g n a l c o n s t i t u é d e d e u x i m p u l s i o n s d ' a m p l i t u d e A
p l a c é e s s y m é t r i -
q u e m e n t e n
±t0/2
( g u r e 5 . 5 ) . C e s i g n a l p o s s è d e u n s p e c t r e q u i s e c a l c u l e f a c i l e m e n t
à p a r t i r d e c e l u i d ' u n e i m p u l s i o n c e n t r é e e n t = 0 e t à l ' a i d e d u t h é o r è m e d u d é c a l a g e .
C o m m e l e s i g n a l z(t)
e s t l a s o m m e d e 2 i m p u l s i o n s d é c a l é e s d e ±t0/2
,
z(t) = x(t + t0/2) + x(t− t0/2)( 5 . 1 3 )
o n a :
Z ( jf ) = A ∆tsin(πf ∆t)
πf ∆t
exp(+ j2πf
t02
) + exp(− j2πf t02
)
d o n c
Z ( jf ) = 2 A ∆tsin(πf ∆t)πf ∆t
cos(πf t0)( 5 . 1 4 )
D e p l u s , p a r r a p p o r t à c e q u i v a s u i v r e , i l e s t i n t é r e s s a n t d e c o n s i d é r e r é g a l e m e n t l a
d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e :
S z(f ) ≡ |Z ( jf )|2 =
2 A ∆t
sin(πf ∆t)
πf ∆tcos(πf t0)
2( 5 . 1 5 )
L e s d e n s i t é s s p e c t r a l e s d ' a m p l i t u d e e t d ' é n e r g i e s o n t r e p r é s e n t é e s à l a g u r e 5 . 5 .
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
z ( t )
(a)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1
0
1
2
Z ( j f )
(b)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
S z
( f )
(c)
F i g . 5 . 5 . : D e u x i m p u l s i o n s r e c t a n g u l a i r e s s y m é t r i q u e s ( a ) a v e c s e s d e n s i t é s s p e c -
t r a l e s d ' a m p l i t u d e ( b ) e t d ' é n e r g i e ( c )
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 1 9 5
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
5 . 3 . C a l c u l d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s
A n d e m i e u x s a i s i r l e s i m p l i c a t i o n s d e l a T F , c a l c u l o n s l e s t r a n s f o r m é e s d e q u e l q u e s
s i g n a u x i m p o r t a n t s e n t r a i t e m e n t d u s i g n a l .
5 . 3 . 1 . E x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e
D a n s c e c a s , x(t)
v a u t
x(t) = exp(−at) (t) =
0 si t < 0
exp(−at) si t ≥ 0( 5 . 1 6 )
0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x ( t
temps
−2 0 20
1
2
3
4
| X ( j f ) |
fréquence
−2 0 2−2
−1
0
1
2
/ X ( j f )
fréquence
F i g . 5 . 6 . : E x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e e t s e s s p e c t r e s ( m o d u l e e t p h a s e )
L ' a p p l i c a t i o n d e l a d é n i t i o n d e l a T F c o n d u i t à :
X ( jf ) =
+∞0
exp(−at) exp(− j2πf t)dt
d ' o ù :
X ( jf ) =1
a + j2πf ( 5 . 1 7 )
P o u r i l l u s t r e r l e t h é o r è m e d e l ' é n e r g i e , c a l c u l o n s l ' é n e r g i e d e c e s i g n a l d a n s l e d o -
m a i n e t e m p o r e l :
W =
+∞−∞
x2(t) dt =
+∞0
exp(−2at) dt =1
2a
e t d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l :
W =
+∞−∞
|X ( jf )|2 df =
+∞−∞
df
a2 + (2πf )2
=1
2πaarctan
2πf
a
+∞
−∞
=1
2a
O n r e t r o u v e b i e n e n t e n d u l e m ê m e r é s u l t a t d a n s l e s d e u x c a s .
1 9 6
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5 . 3 . C a l c u l d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s
5 . 3 . 2 . E x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e s y m é t r i q u e
C e s i g n a l e s t d é c r i t p a r :
x(t) = exp(−a |t|) , −∞ < t < +∞ ( 5 . 1 8 )
−5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x ( t )
temps−2 0 2
0
1
2
3
4
| X ( j f ) |
fréquence−2 0 2
−2
−1
0
1
2
/ X ( j f )
fréquence
F i g . 5 . 7 . : E x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e e t s e s s p e c t r e s ( m o d u l e e t p h a s e )
D e m a n i è r e p l u s e x p l i c i t e , o n p e u t e n c o r e l ' é c r i r e s o u s l a f o r m e
x(t) = exp(+at) (−t) + exp(−at) (t)( 5 . 1 9 )
O n a a l o r s :
X ( jf ) = 0−∞
exp(+at) exp(− j2πf t) dt + ∞0 exp(−at)exp(− j2πf t) dt
d ' o ù :
X ( jf ) =1− 0
a− j2πf +
0− 1
−(a + j2πf )=
2a
a2 + (2πf )2( 5 . 2 0 )
O n r e m a r q u e r a q u e x(t)
é t a n t p a i r , s a t r a n s f o r m é e e s t r é e l l e .
5 . 3 . 3 . S i g n a l c o n s t a n t u n i t é
L e s i g n a l c o n s t a n t u n i t é v a u t s i m p l e m e n t 1 q u e l q u e s o i t t ∈ (−∞, +∞)
. A u s e n s
d e s l i m i t e s , i l p e u t ê t r e d é c r i t à p a r t i r d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e :
x(t) = 1 = lima→0
exp(−a |t|) , −∞ < t < +∞( 5 . 2 1 )
C e p a s s a g e p a r l a l i m i t e e s t n é c e s s a i r e c a r l e s i g n a l c o n s t a n t n ' e s t p a s i n t é g r a b l e e n
v a l e u r a b s o l u e e t s a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r n e p e u t d o n c p a s ê t r e c a l c u l é e à p a r t i r
d e s a d é n i t i o n . P a r c o n t r e , p a r t a n t d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e , o n a :
X ( jf ) = lima→0
2a
a2 + (2πf )2 =
0 si f = 0
∞ si f = 0
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
C e r é s u l t a t c o ï n c i d e a v e c l a d é n i t i o n d ' u n e i m p u l s i o n d e D i r a c . L a T F d ' u n s i g n a l
u n i t é e s t d o n c u n e i m p u l s i o n d e D i r a c s i t u é e e n f = 0
:
X ( jf ) = δ(f )( 5 . 2 2 )
5 . 3 . 4 . S a u t u n i t é
L e c a l c u l d e l a T F d ' u n s a u t u n i t é (t)
( g u r e 5 . 8 ) n é c e s s i t e é g a l e m e n t q u e l q u e s
p r é c a u t i o n s , c a r c e s i g n a l n ' e s t p a s i n t é g r a b l e e n v a l e u r a b s o l u e . M a i s , c o n s t a t a n t
q u e l ' o n a :
1 = (t) + (−t)
e t d é s i g n a n t l a T F d e (t)
p a r E ( jf )
, i l v i e n t :
T F {
1}
= δ(f ) = E ( jf ) + E ∗( jf ) = 2 E r( jf )
D e c e r é s u l t a t , o n e n d é d u i t q u e l a p a r t i e r é e l l e E r( jf )
v a u t δ(f )/2
.
I l r e s t e e n c o r e à t r o u v e r l a p a r t i e i m a g i n a i r e d e E ( jf )
. P o u r c e f a i r e , o n p e u t r e -
m a r q u e r q u e l e s a u t u n i t é p e u t é g a l e m e n t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e :
(t) =
0 si t < 0
lima→0 exp(−at) si t ≥ 0( 5 . 2 3 )
d o n t l a t r a n s f o r m é e ( é q u a t i o n 5 . 1 7 ) e s t p u r e m e n t i m a g i n a i r e e t v a u t 1/( j2πf )
. O n
o b t i e n t d o n c n a l e m e n t :
E ( jf ) = E r( jf ) + j E i( jf ) =1
2δ(f ) +
1
j2πf ( 5 . 2 4 )
5 . 3 . 5 . P h a s e u r
P o u r c a l c u l e r s a T F , c o n s i d é r o n s l e f a i t q u ' u n p h a s e u r d e f r é q u e n c e f 0 p e u t s ' é c r i r e
c o m m e s u i t :
x(t) = exp(+ j2πf 0t) = lima→0
exp(−a |t|) exp(+ j2πf 0t)( 5 . 2 5 )
U t i l i s a n t l a T F d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e ( é q u a t i o n 5 . 2 0 ) e t l a p r o p r i é t é d e
m o d u l a t i o n , o n a :
X ( jf ) = lima→0
2a
a2 + (2π(f − f 0))2=
0 si f = f 0
∞ si f = f 0
L a T F d ' u n p h a s e u r d e f r é q u e n c e f 0 e s t d o n c u n e i m p u l s i o n d e D i r a c s i t u é e e n
f = f 0 :
X ( jf ) = δ(f − f 0)( 5 . 2 6 )
1 9 8
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5 . 3 . C a l c u l d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s
−5 0 5
0
0.5
1
x(t)
S a
u t u n i t é
−2 0 2
0
0.5
1
1.5
2|X(jf)|
−2 0 2−2
−1
0
1
2
∠ X(jf)
−5 0 5
−1
−0.5
0
0.5
1
C o s i n u s
−2 0 2
0
0.5
1
−2 0 2−2
−1
0
1
2
−5 0 5
−1
−0.5
0
0.5
1
S i n u s
t
−2 0 2
0
0.5
1
f
−2 0 2−2
−1
0
1
2
f
F i g . 5 . 8 . : S i g n a u x e t d e n s i t é s s p e c t r a l e s d ' u n s a u t u n i t é , d ' u n c o s i n u s e t d ' u n s i n u s
5 . 3 . 6 . S i g n a l s i n u s o ï d a l
C o m m e u n s i g n a l s i n u s o ï d a l e s t c o n s t i t u é d e 2 p h a s e u r s c o n j u g u é s c o m p l e x e s ( l o i
d ' E u l e r ) , s a T F c o m p o r t e r a 2 i m p u l s i o n s d e D i r a c s i t u é e e n ±f 0 . P l u s p r é c i s é m e n t ,
o n a u r a :
x(t) = cos(2πf 0t) =1
2
e+ j2πf 0t + e− j2πf 0t
←→ X ( jf ) =δ(f − f 0) + δ(f + f 0)
2( 5 . 2 7 )
x(t) = sin(2πf 0t) = 12 j
e+ j2πf 0t − e− j2πf 0t
←→ X ( jf ) = δ(f − f 0)− δ(f + f 0)2 j
( 5 . 2 8 )
L a p r e m i è r e T F e s t r é e l l e , c a r l a c o s i n u s o ï d e e s t p a i r e , a l o r s q u e l a d e u x i è m e T F
e s t i m a g i n a i r e c a r l a s i n u s o ï d e e s t i m p a i r e . O n n o t e r a q u e l e s m o d u l e s d e s d e n s i t é s
s p e c t r a l e s s o n t l e s m ê m e s e t q u e s e u l s d i è r e n t l e u r s a r g u m e n t s ( g u r e 5 . 8 ) .
5 . 3 . 7 . I m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e
P a r m i l e s p r o p r i é t é s d e s t r a n s f o r m a t i o n s d e L a p l a c e e t F o u r i e r , n o u s a v o n s v u q u ' à
u n p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l c o r r e s p o n d u n p r o d u i t s i m p l e
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
d a n s l e d o m a i n e c o m p l e x e :
y(t) = h(t)⊗ x(t) ←→ Y ( jf ) = H ( jf ) ·X ( jf )( 5 . 2 9 )
L ' i n v e r s e d e c e t t e p r o p o s i t i o n e s t é g a l e m e n t v r a i e e t e l l e e s t t r è s p r a t i q u e p o u r
c a l c u l e r l e s p e c t r e d e s i g n a u x m o d u l é s e n a m p l i t u d e . E l l e s ' e x p r i m e c o m m e s u i t . À
u n p r o d u i t s i m p l e d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l c o r r e s p o n d u n p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n
d a n s l e d o m a i n e c o m p l e x e :
y(t) = m(t) · x(t) ←→ Y ( jf ) = M ( jf )⊗X ( jf )( 5 . 3 0 )
−2 −1 0 1 2
−1
0
1
x ( t )
−2 −1 0 1 2
−1
0
1
m ( t )
−2 −1 0 1 2
−1
0
1
x ( t )
temps
−10 −5 0 5 10
0
0.5
1
1.5
2
X ( f )
−10 −5 0 5 10
0
0.5
1
1.5
2
M ( f )
−10 −5 0 5 10
0
0.5
1
1.5
2
Y ( f )
fréquence
F i g . 5 . 9 . : I m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e e t s o n s p e c t r e
C o n s i d é r o n s c o m m e e x e m p l e u n e i m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e d e d u r é e ∆t
( g . 5 . 9 c )
y(t) =
cos(2πf 0t)s i
|t| < ∆t2
0s i
|t| ≥ ∆t2
V o y a n t q u e c e s i g n a l e s t é q u i v a l e n t à l a m u l t i p l i c a t i o n d ' u n e s i n u s o ï d e p e r m a n e n t e
( g . 5 . 9 a ) p a r u n e i m p u l s i o n d e l a r g e u r ∆t
( g . 5 . 9 b ) , o n a :
y(t) = m(t) · x(t) = m(t) · cos(2πf 0t)a v e c
m(t) =
1s i
|t| < ∆t2
0s i
|t| ≥ ∆t2
2 0 0
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
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5 . 4 . Q u e l q u e s c o n c l u s i o n s
S a c h a n t q u e l e s s p e c t r e s d e s s i g n a u x x(t)
e t m(t)
v a l e n t r e s p e c t i v e m e n t
X ( jf ) =1
2(δ (f + f 0) + δ (f − f 0))
M ( jf ) = A ∆ts i n c
(f ∆t)
e t q u e l a c o n v o l u t i o n e n t r e u n e f o n c t i o n e t u n e i m p u l s i o n d e D i r a c r e p r o d u i t l a
f o n c t i o n à l ' e n d r o i t o ù s e s i t u e l ' i m p u l s i o n , o n v o i t q u e l e s p e c t r e d e l ' i m p u l s i o n
s i n u s o ï d a l e v a u t
Y ( jf ) = M ( jf )⊗X ( jf ) =A ∆t
2(
s i n c ((f + f 0) ∆t) +
s i n c ((f − f 0) ∆t))
O n c o n s t a t e a i n s i q u e l e s p e c t r e d ' u n e i m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e d e d u r é e ∆t
e s t c o n s t i t u é
d e d e u x s i n u s c a r d i n a u x s i t u é s e n +f 0 e t −f 0 ( g u r e 5 . 9 c ) .
5 . 4 . Q u e l q u e s c o n c l u s i o n s
5 . 4 . 1 . T F d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s
D u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t , o n r e t i e n d r a q u e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r s ' a p p l i q u e
é g a l e m e n t à d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s , c ' e s t - à - d i r e à d e s s i g n a u x d e p u i s s a n c e m o y e n n e
n i e . D a n s c e c a s , l e s r a i e s s p e c t r a l e s d e l a s é r i e d e F o u r i e r s o n t r e m p l a c é e s p a r d e s
i m p u l s i o n s d e D i r a c .
5 . 4 . 2 . R e l a t i o n s a v e c l a t r a n s f o r m a t i o n d e L a p l a c e
L e s d é n i t i o n s d e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r e t L a p l a c e m o n t r e n t u n e f o r t e s i m i l i t u d e .
O n a e n e e t
X ( jf ) =
+∞−∞
x(t)exp(− j2π f t)dt
X (s) =
+∞
0
x(t) exp(−s t) dta v e c
s = σ + j2πf
S i o n a d é n i d e s t r a n s f o r m a t i o n s s i p r o c h e s , m a i s m a l g r é t o u t d i s t i n c t e s , c ' e s t q u e
t o u s l e s s i g n a u x n e s o n t p a s t r a n s f o r m a b l e s d e F o u r i e r e t / o u d e L a p l a c e . E n e e t ,
l ' e x i s t e n c e d e c e s t r a n s f o r m a t i o n s e n t r a î n e n t l e s r e s t r i c t i o n s s u i v a n t e s :
p o u r l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r , i l f a u t q u e l e s i g n a l s o i t i n t é g r a b l e e n v a l e u r
a b s o l u e e t q u e l e n o m b r e d e s e s d i s c o n t i n u i t é s s o i t n i :
+∞−∞
|x(t)| dt < ∞
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 2 0 1
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
p o u r l a t r a n s f o r m a t i o n d e L a p l a c e , i l f a u t q u e : +∞−∞
x(t)e−st
dt < ∞
a u t r e m e n t d i t , i l f a u t q u e l e s i g n a l x(t) p o n d é r é p a r u n e e x p o n e n t i e l l e a m o r t i e
s o i t i n t é g r a b l e e n v a l e u r a b s o l u e .
D e s d e u x p o i n t s c i - d e s s u s , i l d é c o u l e q u e l e s s i g n a u x t e m p o r a i r e s ( à é n e r g i e n i e ) e t
l e s s i g n a u x p e r m a n e n t s p é r i o d i q u e s o u n o n ( à p u i s s a n c e n e ) p o s s è d e n t u n e t r a n s -
f o r m é e d e F o u r i e r m a i s p a s n é c e s s a i r e m e n t u n e t r a n s f o r m é e d e L a p l a c e . A i n s i e n
e s t - i l d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e e t , a u s e n s d e s l i m i t e s , d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s .
P a r c o n t r e , d e s s i g n a u x d é m a r r a n t e n t = 0
t e l s q u ' u n e r a m p e x(t) = a · t (t)
,
u n e p a r a b o l e x(t) = a · t2 (t)
, n e s o n t p a s t r a n s f o r m a b l e s d e F o u r i e r , a l o r s q u ' i l s
p o s s è d e n t u n e t r a n s f o r m é e d e L a p l a c e .
I l e x i s t e d ' a u t r e p a r t d e s s i g n a u x q u i p o s s è d e n t l e s d e u x t r a n s f o r m é e s ; p a r e x e m p l e ,
l e s s i g n a u x a m o r t i s d é m a r r a n t e n t = 0
. E t d ' a u t r e s q u i n ' e n p o s s è d e n t a u c u n e ; p a r
e x e m p l e x(t) = a · t
p o u r
−∞ < t < +∞.
O n t r o u v e r a e n n d e c h a p i t r e u n e t a b l e i l l u s t r é e d e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r t i r é e
d e l ' o u v r a g e d e F . d e C o u l o n [ 2 ] .
5 . 5 . E x t e n s i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
L e s p e c t r e d ' é n e r g i e d e s d e u x i m p u l s i o n s é t u d i é e s à l a s e c t i o n 5 . 2 . 3 m o n t r e u n e
g r a n d e s i m i l i t u d e a v e c l a g u r e d e d i r a c t i o n d e F r a u n h o f e r d u e à d e u x f e n t e s é t r o i t e s
( g u r e 5 . 1 0 ) . E n r é a l i t é , i l s ' a g i t b i e n p l u s q u e d ' u n e s i m i l i t u d e c a r o n m o n t r e e n
p h y s i q u e q u e t o u t e g u r e d e d i r a c t i o n e s t l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r d e l ' o b j e t q u i
e n e s t l a c a u s e .
D e c e t t e a n a l o g i e , o n d é d u i t q u e l a n o t i o n d e t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r p e u t ê t r e
é t e n d u e à d e s e s p a c e s à p l u s i e u r s d i m e n s i o n s . C e t t e t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r m u l t i -
d i m e n s i o n n e l l e e s t d é n i e d e m a n i è r e s i m i l a i r e à c e l l e q u e n o u s a v o n s é t u d i é e j u s q u ' à
p r é s e n t
x(t) → X ( jf ) ≡ +∞−∞
x(t)e x p
(− j2π f t) dt( 5 . 3 1 )
a v e c f r e p r é s e n t a n t l a f r é q u e n c e d e s o s c i l l a t i o n s , c ' e s t - à - d i r e l e n o m b r e d e p é r i o d e s
p a r u n i t é d e t e m p s . C e t t e f r é q u e n c e e s t m e s u r é e e n [ H z ] o u , d e m a n i è r e p l u s f o n d a -
m e n t a l e , e n [ 1 / s e c ] .
D a n s l e c a s p a r t i c u l i e r d ' u n e i m a g e ( e s p a c e à d e u x d i m e n s i o n s ) , o n a a a i r e à u n e
i n t e n s i t é l u m i n e u s e i
f o n c t i o n d e s c o o r d o n n é e s x
e t y
i = i(x, y)( 5 . 3 2 )
S a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r e s t a l o r s d é n i e c o m m e s u i t
i(x, y)
→I ( jf x, jf y)
≡ +∞
−∞
+∞
−∞
i(x, y)e x p
(
− j2π f x x)
e x p (
− j2π f y y) dxdy
( 5 . 3 3 )
2 0 2
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5 . 5 . E x t e n s i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
z ( t )
(a)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1
0
1
2
Z ( j f )
(b)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
S z
( f )
(c)
F i g . 5 . 1 0 . : a ) D e u x i m p u l s i o n s r e c t a n g u l a i r e s e t l e u r s s p e c t r e s d ' a m p l i t u d e s e t
d ' é n e r g i e
b ) F i g u r e d e d i r a c t i o n c a u s é e p a r d e u x o u v e r t u r e s é t r o i t e s [ 3 ]
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 2 0 3
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
I c i , l e s f r é q u e n c e s s p a t i a l e s f x e t
f y r e p r é s e n t e n t l e n o m b r e d e p é r i o d e s p a r u n i t é d e
l o n g u e u r m e s u r é e s e n [ 1 / m ] . U n e i l l u s t r a t i o n d e s s p e c t r e s s p a t i a u x ( o u d e s g u r e s
d e d i r a c t i o n ) d ' o u v e r t u r e s c i r c u l a i r e e t c a r r é e e s t d o n n é e à l a g u r e 5 . 1 1 ; o n y
r e c o n n a î t l a f o n c t i o n s i n u s c a r d i n a l d i s t r i b u é e d a n s l ' e s p a c e d e s f r é q u e n c e s s p a t i a l e s
f x e t f y .
C o m m e n o u s v e n o n s d e l e v o i r , l a n o t i o n d e t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r s ' a p p l i q u e
à d e s f o n c t i o n s b i d i m e n s i o n n e l l e s . O n i m a g i n e d o n c a i s é m e n t q u e l e s p r i n c i p e s d e
l t r a g e b i e n c o n n u s e n é l e c t r o n i q u e p e u v e n t s ' é t e n d r e d e l a m ê m e m a n i è r e à d e s
s i g n a u x m u l t i d i m e n s i o n n e l s . U n e i l l u s t r a t i o n e n e s t d o n n é e à l a g u r e 5 . 1 1 o ù l ' o n
v o i t c o m m e n t l ' a p p l i c a t i o n d e m a s q u e s d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l p e r m e t d ' e x t r a i r e
l e s b o r d s d e l ' i m a g e ( l t r a g e p a s s e - h a u t ) o u d e d é f o c a l i s e r l ' i m a g e ( l t r a g e p a s s e -
b a s ) . O n n o t e r a q u ' u n l t r a g e r é a l i s é a v e c u n m a s q u e c o n s t i t u é s i m p l e m e n t d e 0 o u
1 n ' e s t p a s o p t i m u m c a r i l e n t r a î n e l e s e e t s d e f r a n g e s b i e n v i s i b l e s s u r l e s i m a g e s .
U n e e x p é r i e n c e a m u s a n t e c o n s i s t e à l i r e u n t e x t e d a n s l ' e s p a c e d e F o u r i e r s i , a u
p r é a l a b l e , o n s ' e s t f a m i l i a r i s é a v e c l e s s p e c t r e s b i d i m e n s i o n n e l s d e s m a j u s c u l e s d e
l ' a l p h a b e t ( g u r e 5 . 1 2 ) . Q u e l q u e s i n s t a n t s d ' o b s e r v a t i o n m o n t r e n t q u ' i l e s t p o s s i b l e
d e r e c o n n a î t r e l e s l e t t r e s d e l ' a l p h a b e t s i m p l e m e n t à p a r t i r d e l e u r t r a n s f o r m é e d e
F o u r i e r s p a t i a l e . D a n s c e t t e g u r e , s e u l e s v i n g t i m a g e s d e l ' a l p h a b e t s o n t p r é s e n -
t é e s d a n s l ' o r d r e a l p h a b é t i q u e ; l e s l e t t r e s m a n q u a n t e s p e u v e n t ê t r e r e t r o u v é e s e n
e s s a y a n t d e s e r e p r é s e n t e r l e u r s p e c t r e . A p r è s a v o i r t r o u v é l e s l e t t r e s m a n q u a n t e s ,
o n p e u t r e c h e r c h e r l e m o t é c r i t a v e c c e t a l p h a b e t .
5 . 6 . C l a s s i c a t i o n e t t y p e s d e s i g n a u x
S a n s e n t r e r d a n s l e s d é t a i l s d e l a c l a s s i c a t i o n d e s s i g n a u x , i l f a u t m e n t i o n n e r q u e
p l u s i e u r s a p p r o c h e s s o n t p o s s i b l e s . P a r m i c e l l e s - c i , o n e n c i t e r a d e u x :
l a c l a s s i c a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e q u i m e t l ' a c c e n t s u r l e c o m p o r t e m e n t t e m p o r e l
d u s i g n a l ;
l a c l a s s i c a t i o n é n e r g é t i q u e o ù l ' o n c l a s s e l e s s i g n a u x s u i v a n t q u ' i l s s o n t à é n e r g i e
n i e o u à p u i s s a n c e n i e .
5 . 6 . 1 . C l a s s i c a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e
D a n s c e t t e c l a s s i c a t i o n , o n r é p a r t i t g é n é r a l e m e n t l e s s i g n a u x e n d e u x c l a s s e s p r i n -
c i p a l e s e t q u a t r e s o u s - c l a s s e s i l l u s t r é e s p a r l a g u r e 5 . 1 3 .
D a n s l e s d e u x c l a s s e s p r i n c i p a l e s , o n t r o u v e :
l e s s i g n a u x d é t e r m i n i s t e s d o n t l ' é v o l u t i o n t e m p o r e l l e p a r f a i t e m e n t d é n i e p e u t
ê t r e p r é d i t e p a r u n m o d è l e m a t h é m a t i q u e a p p r o p r i é ;
l e s s i g n a u x a l é a t o i r e s q u i o n t u n c o m p o r t e m e n t t e m p o r e l i m p r é v i s i b l e e t d o n t l a
d e s c r i p t i o n n e p e u t s e f a i r e q u ' a u t r a v e r s d ' o b s e r v a t i o n s s t a t i s t i q u e s .
P a r m i l e s s i g n a u x d é t e r m i n i s t e s ( g u r e 5 . 1 4 ) , o n d i s t i n g u e :
l e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s d o n t l a f o r m e s e r é p è t e r é g u l i è r e m e n t ;
2 0 6
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5 . 6 . C l a s s i c a t i o n e t t y p e s d e s i g n a u x
Signaux
Déterministes Aléatoires
Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires
Permanents Non permanents
F i g . 5 . 1 3 . : C l a s s i c a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e d e s s i g n a u x
−5 0 5
−1
−0.5
0
0.5
1
(a)
−5 0 5
−1
−0.5
0
0.5
1
(b)
−5 0 5
−1
−0.5
0
0.5
1
(c)
temps
−5 0 5
−1
−0.5
0
0.5
1
(d)
temps
F i g . 5 . 1 4 . : E x e m p l e s d e s i g n a u x d é t e r m i n i s t e s : ( a ) p é r i o d i q u e , ( b ) p s e u d o - a l é a t o i r e ,
( c ) q u a s i - p é r i o d i q u e , ( d ) n o n - p e r m a n e n t
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
0
1
(a)
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
0
1
(b)
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
0
1
(c)
temps
F i g . 5 . 1 5 . : T r o i s e x e m p l e s d e s i g n a u x a l é a t o i r e s : ( a ) b r u i t b l a n c , ( b ) b r u i t l a r g e
b a n d e , ( c ) b r u i t n o n - s t a t i o n n a i r e
l e s s i g n a u x p s e u d o - a l é a t o i r e s q u i s o n t d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s m a i s a v e c , à l ' i n t é -
r i e u r d e l a p é r i o d e , u n c o m p o r t e m e n t a l é a t o i r e ;
l e s s i g n a u x q u a s i - p é r i o d i q u e s q u i r é s u l t e n t d ' u n e s o m m e d e s i n u s o ï d e s d o n t l e
r a p p o r t d e s p é r i o d e s n ' e s t p a s r a t i o n n e l ;
l e s s i g n a u x n o n - p é r i o d i q u e s ; i l s s o n t e s s e n t i e l l e m e n t r e p r é s e n t é s p a r d e s s i g n a u x
t r a n s i t o i r e s d o n t l ' e x i s t e n c e e s t é p h é m è r e .
P a r m i l e s s i g n a u x a l é a t o i r e s ( g u r e 5 . 1 5 ) , o n d i s t i n g u e :
l e s s i g n a u x s t a t i o n n a i r e s d o n t l e s c a r a c t é r i s t i q u e s s t a t i s t i q u e s n e c h a n g e n t p a s a u
c o u r s d u t e m p s ( p . e x : l e b r u i t é l e c t r o n i q u e ) ;
l e s s i g n a u x n o n - s t a t i o n n a i r e s d o n t l e c o m p o r t e m e n t s t a t i s t i q u e é v o l u e a u c o u r s
d u t e m p s ( p . e x . : l a p a r o l e ) .
5 . 6 . 2 . C l a s s i c a t i o n é n e r g é t i q u e
L ' é n e r g i e W x d ' u n s i g n a l
x(t)e s t d é n i e c o m m e s u i t
W x ≡
+∞
−∞
x2(t) dt( 5 . 3 4 )
O n d i r a q u e c e s i g n a l e s t à é n e r g i e n i e s i W x < ∞
. D a n s c e t t e c a t é g o r i e , o n
r e n c o n t r e t o u s l e s s i g n a u x t e m p o r e l l e m e n t é p h é m è r e s q u ' i l s s o i e n t d é t e r m i n i s t e s o u
a l é a t o i r e s .
2 0 8
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5 . 6 . C l a s s i c a t i o n e t t y p e s d e s i g n a u x
L a p u i s s a n c e m o y e n n e P x d ' u n s i g n a l
x(t)e s t d é n i e p a r
P x ≡ limT →∞
1
T
+T/2
−T/2
x2(t) dt ≡ X 2eff ( 5 . 3 5 )
O n n o t e r a q u e c e t t e d é n i t i o n c o ï n c i d e a v e c c e l l e d u c a r r é d e l a v a l e u r e c a c e d u
s i g n a l x(t)
. O n d i r a q u e c e l u i - c i e s t à p u i s s a n c e n i e s i P x < ∞
. C e t t e c a t é g o r i e
e n g l o b e l e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s , q u a s i - p é r i o d i q u e s e t l e s s i g n a u x a l é a t o i r e s p e r m a -
n e n t s . D a n s l e c a s o ù l e s i g n a l e s t p é r i o d i q u e , l a d u r é e d ' i n t é g r a t i o n T
e s t p r i s e é g a l e
à u n e p é r i o d e d u s i g n a l .
C e r t a i n s s i g n a u x t h é o r i q u e s n ' a p p a r t i e n n e n t à a u c u n e d e c e s c a t é g o r i e s ; c ' e s t l e c a s ,
p a r e x e m p l e , d e l ' e x p o n e n t i e l l e x(t) = e−at, −∞ < t < ∞
.
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
5 . 7 . T a b l e i l l u s t r é e d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s d e
F o u r i e r [ 2 ]
2 1 0
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . 7 . T a b l e i l l u s t r é e d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r [ 2 ]
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 2 1 1
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
2 1 2
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . 8 . E x e r c i c e s
5 . 8 . E x e r c i c e s
T F 1
À p a r t i r d e l a s e u l e o b s e r v a t i o n d u s i g n a l t e m p o r e l d e l a g u r e 5 . 1 6 , p r é c i s e z
c e q u e v a u t s a d e n s i t é s p e c t r a l e e n
f = 0p u i s c a l c u l e z e t e s q u i s s e z s a t r a n s f o r m é e
d e F o u r i e r .
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
temps [msec]
x ( t )
F i g . 5 . 1 6 . : E x e r c i c e T F 1
T F 2
P a r t a n t d e l a T F d ' u n e i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e e t d e l a p r o p r i é t é d ' i n t é g r a -
t i o n , c a l c u l e z l e s T F d e x(t)
e t y(t)
( g u r e 5 . 1 7 ) . A p r è s c a l c u l s , v o u s r e m a r q u e r e z
q u e Y ( jf )
p e u t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e d ' u n sinc2
.
T F 3
P a r t a n t d e l a T F d ' u n e i m p u l s i o n e t d ' u n s a u t u n i t é , t r o u v e z c e l l e d e z(t)
( g u r e 5 . 1 7 ) . E s t - i l p o s s i b l e d e t r o u v e r Z ( jf )
à p a r t i r d e Y ( jf )
? V o u s p o u v e z v é r i e r
v o t r e r é s u l t a t e n c a l c u l a n t Z ( jf = 0)
q u i d o i t ê t r e é g a l à ∆t/2
.
T F 4
S o i t u n s i g n a l c a r r é p é r i o d i q u e s y m é t r i q u e ( à v a l e u r m o y e n n e n u l l e ) d ' a m -
p l i t u d e A
. E s q u i s s e z
1 . l e s i g n a l x(t)
;
2 . l e s p e c t r e q u e l ' o n o b t i e n t a v e c l e s s é r i e s d e F o u r i e r ;
3 . l e s p e c t r e q u e l ' o n o b t i e n t a v e c l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r .
T F 5
C o n s i d é r a n t l e s i g n a l x(t) = exp(−a |t|)
, c a l c u l e z e t e s q u i s s e z x(t)
e t X ( jf )
,
p u i s v é r i e z l e s 2 é g a l i t é s s u i v a n t e s :
a) X (0) = +∞−∞
x(t)dt , b) x(0) = +∞−∞
X ( jf )df
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 2 1 3
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
−400 −200 0 200 400 600−1
0
1
x ( t )
−400 −200 0 200 400 600
0
0.5
1
y ( t )
−400 −200 0 200 400 600
0
0.5
1
temps [msec]
z ( t )
F i g . 5 . 1 7 . : E x e r c i c e s T F 2 e t T F 3
T F 6
f r é q u e n c e t e m p s
1 l a p a r t i e r é e l l e d e X ( jf )
e s t n u l l e
2 l a p a r t i e i m a g i n a i r e d e X ( jf )
e s t n u l l e
3 i l e x i s t e u n d é c a l a g e t0 t e l q u e
exp( j2πf t0)X ( jf )e s t r é e l
4 i l e x i s t e u n d é c a l a g e t0 t e l q u e
exp( j2πf t0)X ( jf ) e s t i m a g i n a i r e
5 X ( jf )
e s t c o n t i n u
1 . C o n s i d é r a n t l e s c i n q p r o p r i é t é s f r é q u e n t i e l l e s d u t a b l e a u c i - d e s s u s , e x p r i m e z
l e u r é q u i v a l e n t t e m p o r e l d a n s l a c o l o n n e d e d r o i t e .
2 . P o u r c h a c u n d e s s i g n a u x t e m p o r e l s d e l a g u r e 5 . 1 8 , q u e l l e s s o n t l e s p r o p r i é t é s
d u t a b l e a u q u i s ' y a p p l i q u e n t ?
2 1 4
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
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5 . 8 . E x e r c i c e s
3 . C o n s t r u i s e z u n s i g n a l q u i n e p o s s è d e a u c u n e d e s c i n q p r o p r i é t é s m e n t i o n n é e s
d a n s l e t a b l e a u .
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1
−0.5
0
0.5
1 (a)
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
0.5
1(b)
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1
−0.5
0
0.5
1 (c)
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1
−0.5
0
0.5
1 (d)
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
0.5
1(e)
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1
−0.5
0
0.5
1 (f)
F i g . 5 . 1 8 . : E x e r c i c e T F 6
−2 −1 0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x ( t )
temps [msec]
F i g . 5 . 1 9 . : E x e r c i c e T F 7
T F 7
S o i t
X ( jf )l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r d u s i g n a l
x(t)d e l a g u r e 5 . 1 9 . S a n s
c a l c u l e r e x p l i c i t e m e n t X ( jf )
, r e c h e r c h e z :
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 2 1 5
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
T F 1 6
C o n s i d é r a n t u n s i g n a l u ( t ) d o n t l e s p e c t r e e s t l e s u i v a n t :
U ( jf ) =
1s i
100[H z
] ≤ |f | ≤ 200[H z
]
0 s i n o n
1 . e s q u i s s e z
U ( jf );
2 . c a l c u l e z p u i s e s q u i s s e z u(t)
;
3 . q u e v a u t s o n é n e r g i e ?
T F 1 7
U t i l i s e z l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r p o u r t r o u v e r l e c o u r a n t c i r c u l a n t d a n s
u n c i r c u i t R C s é r i e s a c h a n t q u e l e s i g n a l a p p l i q u é e s t u n s a u t d e t e n s i o n d ' a m p l i -
t u d e E .
T F 1 8
O n a p p l i q u e u n e f o n c t i o n s i g n e u1(t)
d ' a m p l i t u d e E à u n l t r e R C p a s s e -
b a s .
1 . u t i l i s e z l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r p o u r t r o u v e r l a t e n s i o n d e s o r t i e ;
2 . e s q u i s s e z u1(t)
e t u2(t)
.
T F 1 9
O n a p p l i q u e u n e e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e u1(t) = U 0exp(−a |t|)
à u n l t r e
p a s s e - b a s d e c o n s t a n t e d e t e m p s τ
.
1 . a v a n t d e v o u s l a n c e r d a n s l e s c a l c u l s , e s q u i s s e z u1(t)
e t i m a g i n e z c e q u e p e u t
ê t r e u2(t)
;
2 . c a l c u l e z l a t e n s i o n d e s o r t i e d u l t r e .
L a m a r c h e à s u i v r e e s t l a m ê m e q u e c e l l e u t i l i s é e a v e c l a t r a n s f o r m a t i o n d e L a -
p l a c e : d é c o m p o s i t i o n e n s o m m e d e f r a c t i o n s s i m p l e s p u i s r e c h e r c h e d e s c o e c i e n t s
p a r i d e n t i c a t i o n a v e c d e s t r a n s f o r m é e s c o n n u e s .
T F 2 0
O n a p p l i q u e u n e e x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e u1(t) = U 0 exp(−at) · (t)
à u n
l t r e p a s s e - b a s i d é a l d e f r é q u e n c e d e c o u p u r e f c .
1 . e x p r i m e z U 1( jf )
e t U 2( jf )
; e s q u i s s e z l e u r m o d u l e ;
2 . e n a d m e t t a n t U 0 = 10 [V ]
e t a = 1000[
1 / s e c
], c a l c u l e z l e s é n e r g i e s
E 1 e t E 2
d e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e l o r s q u e :
( a )
f c = 1 [k H z
]; ( b )
f c = a2π .
2 1 8
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . 8 . E x e r c i c e s
T F 2 1
O n a p p l i q u e à u n l t r e p a s s e - b a s d e c o n s t a n t e d e t e m p s τ = 1 [msec]
u n
s i g n a l u1(t)
d o n t l e s p e c t r e e s t d é n i p a r :
U 1( jf ) =
1 [V / H z
]s i
100[Hz] <=
|f
|<= 300 [
H z ]
0s i n o n
1 . e x p r i m e z l a f o n c t i o n d e t r a n s f e r t H ( jf )
d u l t r e ; q u e v a u t s a f r é q u e n c e c a -
r a c t é r i s t i q u e f c ?
2 . e s q u i s s e z U 1( jf )
, H ( jf )
e t U 2( jf )
p o u r −500[
H z ] < f < +500[
H z ]
;
3 . q u e l l e s s o n t l e s é n e r g i e s E 1 e t
E 2 d e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e ?
4 . c o m m e n t é v o l u e r a E 2 s i l a c o n s t a n t e d e t e m p s
τ d i m i n u e ?
5 . c o m m e n t c a l c u l e r i e z - v o u s u2(t)
? N e f a i t e s p a s l e s c a l c u l s , m a i s p r é c i s e z p o i n t
p a r p o i n t v o t r e d é m a r c h e ; e s s a y e z d ' e n t r e v o i r l e s d i c u l t é s d e c e c a l c u l .
T F 2 2
O n a p p l i q u e à u n l t r e p a s s e - b a s d e c o n s t a n t e d e t e m p s τ = RC = 10 [
m s e c ]
u n e t e n s i o n e x p o n e n t i e l l e u1(t) = 10 exp(−at)(t)
a v e c a = 1000[
1 / s e c ]
.
1 . e s q u i s s e z u1(t)
e t u2(t)
;
2 . c a l c u l e z l e s é n e r g i e s c o n t e n u e s d a n s l e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e .
1
T F 2 3
O n a p p l i q u e u n e i m p u l s i o n d e D i r a c δ(t)
à u n l t r e p a s s e - b a n d e d o n t l a
f o n c t i o n d e t r a n s f e r t v a u t :
H ( jf ) =D0
jf f 0
1 + D0 jf f 0
+ jf f 0
2 D0 ≡ 1
Q0
1 . e s q u i s s e z l e s s p e c t r e s d e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e ;
2 . e x p r i m e z l ' é n e r g i e d u s i g n a l d e s o r t i e c o n t e n u e d a n s l a b a n d e p a s s a n t e ∆f
s a c h a n t q u e :
f 0 =1
2π√LC = 1 [kH z] D0
≡1
Q0
= 0.1
f i,s =∆f
2
±1 +
1 + 4Q2
0
∆f = f 0D0
1
S i l e c a l c u l d e l ' i n t é g r a l e d é n i e n é c e s s a i r e p o u r o b t e n i r l ' é n e r g i e v o u s p a r a î t t r o p d i c i l e , e s s a y e z
l a d é m a r c h e s u i v a n t e :
a ) e s q u i s s e z l a f o n c t i o n à i n t é g r e r ;
b ) e s t i m e z d e s l i m i t e s r a i s o n n a b l e s p o u r l a v a l e u r d e l ' é n e r g i e ;
c ) à l ' a i d e d ' u n p e t i t p r o g r a m m e ( u n e d o u z a i n e d e l i g n e s ) , i n t é g r e z n u m é r i q u e m e n t l a d e n s i t é
s p e c t r a l e d ' é n e r g i e . S i l e n o m b r e d e p a s e s t s u s a n t , l e r é s u l t a t o b t e n u s e r a t o u t à f a i t
s a t i s f a i s a n t .
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 2 1 9
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s
T F 2 4
C o n s i d é r a n t l e s p e c t r e X ( jf )
d e l a g u r e 5 . 2 0 c o n s t i t u é d ' u n s i n u s c a r d i n a l
d ' a m p l i t u d e X (0) = 2 ·10−3
e t d e 2 i m p u l s i o n s d e D i r a c d e s u r f a c e 1/2
, t r o u v e z p u i s
e s q u i s s e z l e s i g n a l x ( t ) c o r r e s p o n d a n t .
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5
0
5
10
15
20x 10
−4
fréquence [kHz]
X ( j f )
1/21/2
F i g . 5 . 2 0 . : E x e r c i c e T F 2 4
T F 2 5
A p a r t i r d u s i g n a l x(t) = exp(−at)(t)
, t r o u v e z l e s p e c t r e d e y(t) = sgn(t)
.
2 2 0
c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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B i b l i o g r a p h i e
[ 1 ] B . P . L a t h y , L i n e a r S y s t e m s a n d S i g n a l s , B e r k e l e y - C a m b r i d g e P r e s s , C a r m i c h a e l
C A , 1 9 9 2
[ 2 ] F . d e C o u l o n , T h é o r i e e t t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x , P r e s s e s p o l y t e c h n i q u e s r o -
m a n d e s , L a u s a n n e , 1 9 8 4
[ 3 ] M . A l o n s o , E . J . F i n n , P h y s i q u e g é n é r a l e : c h a m p s e t o n d e s , E d i t i o n s p é d a g o -
g i q u e s , M o n t r é a l , 1 9 7 0
2 2 1
8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques
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B i b l i o g r a p h i e