Angles orientés et trigonométrie – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : conversion d’un angle en degrés ou en radians
Exercice 2 : cercle trigonométrique et repérage de points
Exercice 3 : calculs de mesures d’angles orientés
Exercice 4 : formule trigonométrique fondamentale
Exercice 5 : mesure principale d’un angle orienté
Exercice 6 : programmation (programme de calcul donnant la mesure principale d’un angle orienté)
Exercice 7 : application de formules trigonométriques
Exercice 8 : résolutions d’équations trigonométriques dans l’ensemble des réels
Exercice 9 : résolution d’équation trigonométrique dans l’ensemble des réels puis dans un intervalle des
réels
Exercice 10 : calcul du cosinus et du sinus d’un angle
Exercice 11 : formules d’addition
Exercice 12 : angles orientés et ensembles de points
Exercice 13 : résolution d’une inéquation trigonométrique
Angles orientés et trigonométrie
Exercices corrigés
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1- Donner la mesure en radians de chaque angle suivant :
2- Donner la mesure en degrés de chaque angle suivant :
Point méthode : Conversion radians/degrés
Pour convertir les radians en degrés (et vice versa), on utilise un
tableau de proportionnalité, en considérant qu’un même angle mesure
ou .
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
1- Donnons la mesure en radians de chaque angle.
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
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Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
2- Donnons la mesure en degrés de chaque angle.
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
(
)
( )
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians ( )
Construire un cercle trigonométrique et placer les points images des nombres réels suivants :
Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile
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Rappel : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 et muni d’un sens direct (sens inverse des
aiguilles d’une montre).
Point méthode : Comment placer un point image sur un cercle trigonométrique ?
Tout d’abord, il faut bien comprendre que les points associés à et sont confondus. En effet,
cela revient à effectuer tours complets (un tour représentant un chemin de longueur radians)
supplémentaires sur le cercle, dans le sens direct ou dans le sens direct.
Pour placer par exemple le point image du nombre
, on commence par parcourir
, c’est-à-dire 502
tours complets depuis le point image du nombre (ci-dessous en rouge). Il reste donc ensuite à parcourir
, c’est-à-dire
(soit trois quarts de tours dans le sens direct). On a donc :
⏟
A partir du point image du nombre , on parcourt un chemin de longueur dans le sens direct ou indirect.
Nombre Chemin parcouru
Aucun chemin parcouru ; point immobile
Un tour de cercle complet dans le sens direct
Un demi-tour de cercle dans le sens direct
Un demi-tour de cercle dans le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre)
Un quart de tour de cercle dans le sens direct
Un huitième de tour de cercle dans le sens direct
Un sixième de tour de cercle dans le sens indirect
502 tours dans le sens direct et 3 quarts de tour dans le sens direct
Construisons un cercle trigonométrique et plaçons les points images des nombres réels suivants :
Correction de l’exercice 2
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Soit un carré de centre tel que ( )
. Déterminer une mesure de chacun des angles orientés
suivants : ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) et ( ).
Soit un carré de centre tel que ( )
. Commençons
par représenter ci-contre le carré et l’angle droit direct
( ).
Remarque préliminaire :
est un carré de centre tel que ( )
.
Donc ( ) ( ) ( ) ( )
.
En outre, ( ) ( ) ( ) ( )
.
Rappel : Mesures d’angles orientés de deux vecteurs non nuls
Soient , et des vecteurs non nuls et soit l’angle
orienté .
(relation de Chasles)
(angles égaux)
(angles opposés)
(angles supplémentaires)
(angles supplémentaires)
Déterminons désormais une mesure de chacun des angles proposés.
Déterminons une mesure de l’angle ( ).
Les angles ( ) et ( ) sont opposés donc ( ) ( ). Or, ( )
.
Donc ( ) ( )
.
𝜋
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝐼
𝜋
��
𝑣
��
��
��
Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3
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Déterminons une mesure de l’angle ( ).
D’après la relation de Chasles, ( ) ( ) ( )
= .
Déterminons une mesure de l’angle ( ).
est le centre de donc est le milieu de . Autrement dit, . Ainsi, ( ) ( )
.
Déterminons une mesure de l’angle ( ).
D’après ce qui précède, par égalité des vecteurs et , ( ) ( ).
Or, les angles ( ) et ( ) sont supplémentaires donc ( ) ( ) . Ainsi, on obtient :
( ) ( ) ( )
Comme la demi-droite est une bissectrice de l’angle ( ), on a ( )
, d’où :
( )
( )
( )
Déterminons une mesure de l’angle ( ).
est un carré donc .
Ainsi, ( ) ( ) ( )
( )
Déterminons une mesure de l’angle ( ).
( ) ( ) ( )
Résumons les résultats obtenus ci-dessus :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Montrer que, pour tout , .
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
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Pour tout ,
Par conséquent, comme , pour tout , .
Donner la mesure principale de chacun des angles suivants :
Rappel : Mesure principale d’un angle orienté
Si est une mesure en radians d’un angle orienté , toutes les mesures de cet angle sont de la forme :
ou bien
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté , une et une seule appartient à l’intervalle ]– ]. Cette
mesure s’appelle la MESURE PRINCIPALE de l’angle .
Point méthode : Comment déterminer la mesure principale d’un angle orienté ?
Pour déterminer la mesure principale en radians d’un angle orienté , il convient d’écrire sous la
forme de telle sorte que ]– ] (ou bien avec
]– ]).
Donnons la mesure principale respective des angles , , et .
1-
Correction de l’exercice 4
Exercice 5 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 5
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Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
2-
Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
3-
Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
4-
Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
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Soit un angle dont la mesure en radians est de la forme
avec et . Ecrire un programme
permettant de préciser la mesure principale de l’angle .
Soit un angle dont la mesure en radians est de la forme
avec et . Déterminer la mesure
principale de l’angle revient à déterminer les entiers et (non nul) tels que :
{
Calculatrices CASIO G20
ou plus
Programme MESPRINC
Calculatrices TEXAS TI 80
Programme MESPRINC
Calculatrices TEXAS TI 82
ou plus
Programme MESPRINC
Remarques :
est supposé entier naturel non nul.
A l’aide de ces programmes, on peut vérifier les résultats obtenus à l’exercice précédent.
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 6
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Montrer que est un entier naturel.
Remarque : Au lieu de se lancer dans d’interminables calculs de développement, il convient de bien observer
l’écriture de et de remarquer qu’il est possible d’en organiser les termes par couple.
En effet,
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
Ainsi,
Or, pour tout réel, on a :
(
)
Donc
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Exercice 7 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 7
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donc est un entier naturel.
Rappel : Angles associés
(
)
(
)
(
)
(
)
Résoudre dans les équations suivantes :
√
(
)
Rappel : Résolution d’équation trigonométrique
{
Résolvons dans l’équation :
Pour tout ,
(
)
L’ensemble des solutions de l’équation est donc :
{
}
Exercice 8 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 8
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Résolvons dans l’équation :
√
Pour tout ,
√
(
)
{
{
{
{
L’ensemble des solutions de l’équation est donc :
{
}
Résolvons dans l’équation :
(
)
Pour tout ,
(
)
{
{
{
{
L’ensemble des solutions de l’équation est donc :
{
}
Résoudre dans puis dans l’équation suivante :
(
)
Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen
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Résolvons dans l’équation suivante :
(
)
Pour tout réel,
(
) (
) (
) {
{
{
{
{
Déterminons désormais les solutions de l’équation dans .
D’après ce qui précède, les solutions de l’équation dans sont :
{
}
Si :
Si :
Si :
Correction de l’exercice 9
𝑋 (𝑋 𝜋
)
Pour tout réel 𝑋,
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Pour toutes les autres valeurs de , donc les solutions de l’équation dans sont :
{
}
Calculer le sinus et le cosinus de l’angle sachant que .
Pour tout réel,
Or, pour tout réel,
D’où, pour tout réel,
(
)
Il s’ensuit que :
En définitive, si , alors {
.
Calculer le sinus et le cosinus de
.
Exercice 10 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 10
Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen
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Rappel : Formules d’addition et de différence
En appliquant la formule d’addition , on obtient :
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
√
√
√
√ (√ )
En appliquant la formule d’addition , on obtient :
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
√
√
√
√ (√ )
Vérification : Il est possible (et même fortement conseillé) de vérifier les résultats précédents en utilisant
l’égalité trigonométrique fondamentale .
(
) (
) (
√ (√ )
)
(√ (√ )
)
√ (√ )
√ (√ )
√ (√ ) √ (√ )
(√ ) (√ )
(√ √ ) (√ √ )
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
√ √
Soient et deux points distincts du plan. Dans chacun des 3 cas, préciser l’ensemble des points tels que :
( ) ( ) ( )
Correction de l’exercice 11
Exercice 12 (1 question) Niveau : moyen
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Précisons l’ensemble des points tels que ( )
L’angle orienté ( ) est nul donc les vecteurs et sont colinéaires et de même sens. Autrement
dit, les points , et sont alignés dans cet ordre ou les points , et sont alignés dans cet ordre.
L’ensemble des points tels que ( ) est la droite privée du segment . En effet, ne
peut appartenir au segment car, sinon, on aurait les vecteurs et de sens contraire. Autrement dit,
( ) Représentons ci-dessous cet ensemble en vert.
Précisons l’ensemble des points tels que ( )
L’angle orienté ( ) est un angle plat direct donc les vecteurs et sont colinéaires et de sens
contraire. Autrement dit, les points , et sont alignés dans cet ordre.
L’ensemble des points tels que ( ) est l’ensemble des points appartenant au segment
privé des points et . Autrement dit, ( ) . Représentons ci-dessous cet ensemble en
vert.
Représentons l’ensemble des points tels que ( )
L’ensemble des points tels que ( )
est
l’ensemble des points appartenant au demi-cercle de
diamètre privé de et , représenté ci-contre en vert.
Remarque : De manière générale, l’ensemble des points tels ( ) avec est un arc
de cercle de diamètre privé des extrémités et .
𝑀 𝐴 𝐵 𝑀
𝐴 𝑀 𝐵
𝐴 𝐵
𝑀
𝜋
Correction de l’exercice 12
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Résoudre dans [
] l’inéquation suivante :
Résolvons dans [
] l’inéquation suivante :
Rappel : Formules de duplication
Pour tout réel ,
Etudions désormais le signe de . Pour cela, posons . Remarquons par ailleurs
que, pour tout réel , , donc . L’expression devient
.
En posant le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue ,
donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
√
√
Exercice 13 (1 question) Niveau : difficile
Correction de l’exercice 13
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En outre, comme , le trinôme est factorisable et .
Enfin, comme et , on obtient que :
(
)
D’où, pour tout réel ,
[ (
)]
(
)
Or, dans [
], on a :
D’où le tableau de signes suivant :
Remarques :
(
)
Lors de l’étude du produit , il ne faut pas oublier le facteur , faute de quoi les signes seraient
erronés.
En notant l’ensemble des solutions de l’inéquation dans [
],
[
[ ]
[