IX. Trigonométrie 1. Rappels

4/01/2014 CNDP Erpent - Trigonométrie IX - 1

IX. Trigonométrie

1. Rappels

1.1 Définitions :

Dans le cercle trigonométrique C ( O , 1 ), si nous fixons un point P correspondant à

un angle d’amplitude nous avons défini :

cos = abscisse du point P

sin = ordonnée du point P.

si 2 + k, k Z tan =

sin

cos

si k k Z cot = cos

sin

1.2 Propriété fondamentale

Cette propriété s'établit facilement par le théorème de Pythagore : cos 2 + sin 2 = 1

1.3 Valeurs particulières:

sin cos tan cot

0 0 1 0 /

6

1

2 3

2

3

3 3

4 2

2

2

2 1 1

3 3

2

1

2 3 3

3

2 1 0 0

1.4 Réduction au premier quadrant:

Par les figures ci-dessous, on détermine aisément les relations du tableau suivant.

P1P2

P3 P4

P2, P3 , et P4 permettent de situer les angles

- , + et 2 - -

Q1 , Q2 , Q3 , et Q4 permettent de situer les angles

2 - ,

2 + ,

23 - et

23 +

P1

Q2

Q3 Q4

P1

Q1

P2

= -

+ =

P3

= +

- =

P4

= k-

+ = k

Q1

= 2 -

+ = 2

Q2

=2 +

= 2

Q3

=2

3 -

Q

=2

3 +

- =2

3

sin = sin sin = - sin sin = - sin sin = cos sin = cos sin = - cos sin = - cos

cos = - cos cos = - cos cos = cos cos = sin cos = - sin cos = - sin cos = sin

tan = - tg tan = tan tan = - tan tan = cot tan = - cot tan = cot tan = - cot angles

supplémentaires

angles anti -

supplémentaires.

angles opposés. angles

complémentaires.

angles anti -

complémentaires.

1.5 Exercices de révision.

1. Si cos = 1/3 et 2

3 .< < déterminer sin et tan sans faire usage de la calculatrice.

cos

sin tan

cot

P

IX - 2 CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/2014

2. Sans utiliser la calculatrice, déterminer : sin4

5 , sin 6

17, cos

47 , sin

6

19

3. Simplifier les expressions suivantes :

a)

)acot()asin()asin(

)3atan()acos()acos(

2

2 b)

145cos)290sin(575tan

215sin

)250cos(

430cot

c) )2acot()a3tan(

)asin()acos(2

32

=

2. Formules d’addition. Dans ce paragraphe nous allons établir les valeurs des nombres

trigonométriques de la somme et de la différence de deux angles.

Nous envisageons le cas de la somme de deux angles aigus dont le

résultat est un angle aigu. (cfr. figure ci-contre)

Considérons le cercle trigonométrique C ( O , 1 ).

Nous avons :

cos ( a + b ) = OP1 = OP3 - P P1 3

Dans le OP2P3 OP3 = OP2 . cos a

Dans le OPP2 : OP2 = OP . cos b = 1 . cos b = cos b

Et nous obtenons : OP3 = cos b . cos a

D'autre part, dans le triangle OPP2 , nous avons :

PP2 = OP . sin b = 1 . sin b = sin b

Les triangles rectangles OP1P5et P5PP2 sont rectangles et ont deux

angles aigus opposés par le sommet donc les autres angles aigus sont égaux :P4P P2 = P5ÔP1 = a

En exprimant la valeur de 42PP dans le triangle P2P4P et en utilisant la valeur de PP2 trouvée ci-dessus, nous

avons : 31PP = asinPPPP 242 = sin b . sin a = sin a . sin b

Or : cos ( a + b ) = OP1 = OP3 - P P1 3 c-à-d cos ( a + b ) = cos a . cos b - sin a . sin b.

On peut refaire une démonstration analogue dans les autres cas de figure.

Les autres formules s’établiront facilement à partir de celle-ci.

cos ( a - b ) = cos ( a + (-b) ) = cos a cos (-b) - sin a sin (-b) = cos a cos b + sin a sin b

sin ( a + b ) = cos ( 2 - ( a + b ) ) = cos ( (

2 - a) - b ) = cos (

2 - a ) cos b + sin (

2 - a ) sin b

et donc sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

sin ( a - b ) = sin ( a + (-b) ) = sin a cos (-b) + sin (-b) cos a = sin a cos b - sin b cos a

En rassemblant ces égalités nous obtenons:

tan ( a + b ) =sin( )

cos( )

sin cos sin cos

cos cos sin sin

sin cos

cos cos

sin cos

cos coscos cos

cos cos

sin sin

cos cos

tan t

tan tan

a b

a b

a b b a

a b a b

a b

a b

b a

a ba b

a b

a b

a b

a anb

a b

1

De même tan ( a - b ) = tan ( a + (-b) ) = btanatan1

btanatan

)btan(atan1

)btan(atan

Nous retiendrons:

cos ( a b ) = cos a cos b sin a sin b

sin ( a b ) = sin a cos b cos a sin b

tan( )tan tan

tan tana b

a b

a b

1

Exercices.

1. Sans utiliser la machine, déterminer les nombres trigonométriques de 12 ,

125

2. A partir des formules d’addition calculer les nombres trigonométriques de - a, + a, 2 - a,...

P5

O a

a

P

b

P1 P3

P2 P4


3. Sans calculatrice, déterminer les nombres trigonométriques de a + b et de a - b sachant que

a) sin a = - 12

et cos b = 13

si a quadrant 3 et b quadrant 4

b) sin a = 34

et cos b = - 23

si 2 a et

2 b

4. Vérifier sin a sin (b - c) + sin b sin (c - a) + sin c sin (a - b) = 0

5. Vérifier sin (a + b) sin (a - b) = sin 2 a - sin 2 b

6. Vérifier sin a cos a + sin b cos b = sin (a + b) cos (a - b)

7. Vérifier cos 2 (3

2 - a ) + cos 2 a + cos 2 (3

2 + a ) = 32

3. Formules de duplication En considérant le cas où a = b dans les formules d’addition, nous obtenons:

sin 2a = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a

cos 2a = cos a cos a - sin a sin a = cos 2 a - sin 2 a

tan 2a = tan tan

tan tan

tan

tan

a a

a a

a

a

1

2

1 2

Nous retiendrons:

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a

tan 2a = 2

1 2

tan

tan

a

a

Exercices.

1. Vérifier 1 + cos 2a = 2cos 2 a

2. Vérifier 1 - cos 2a = 2 sin 2 a

3. Vérifier cos 4 a - sin 4 a = cos 2a

4. Vérifier sin

cos

2

1 2

a

a tan a

5. Vérifier 1 2

2

cos

sin

a

a= tan a

6. Vérifier cot a - tan a = 2 cot 2a

7. Déterminer sin 3a en fonction de sin a uniquement, cos 3a

en fonction de cos a uniquement et tan 3a en fonction de tan

a uniquement.

Remarque: les égalités des deux premiers exercices sont souvent employées et utiles à mémoriser.

Elles sont connues sous le nom de "formules de Carnot"

1 + cos 2a = 2cos 2 a

1 - cos 2a = 2 sin 2 a

4. Nombres trigonométriques de a à partir de tan a/2

Nous savons sin 2 a2

+ cos 2 a2

=1

sin a = 2 sin a2

cos a2

=

2a2

2a

2a22a2

2a22a2

2a2

2a

2a

2a2

2a2

2a

2a

tan1

tan2

cos

sin

cos

cos

cos

cossin2

sincos

cossin2

De même cos a = cos sin

cos sin

cos

cos

sin

cos

cos

cos

sin

cos

tan

tan

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2 1

1

a a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

N.B. ces transformations ne sont possibles que si cos a2

0 c-à-d si a2

2 + k (ou a + k )

La tangente s’obtient directement à partir des formules de duplication.

Nous retiendrons:

si a +k: sin a =

2a2

2a

tan1

tan2

cos a =

2a22a2

tan1

tan1

tan a =

2a2

2a

tan1

tan2


Exercices.

1. Connaissant la valeur de tan 6 , retrouver celle de sin

3 , cos

3 , tan

3

2. Sachant que tan = - 23

calculer sin 2cos 2 tan 2

3. Transformer l’expression suivante pour l’exprimer en fonction de tan a2

: tan a + 3cos a - 2 sin a

5. Formules logarithmiques ( ou formules de Simpson)

Dans les formules d’addition, posons a+b = p et a - b = q a = p q

2 et b =

p q

2

cos (a + b) + cos (a - b) = cos a cos b - sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b

donc cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b

c-à-d cos p + cos q = 2 cosp q

2cos

p q

2

cos (a + b) - cos (a - b) = cos a cos b - sin a sin b - cos a cos b - sin a sin b

donc cos (a + b) - cos (a - b) = -2 sin a sin b

c-à-d cos p - cos q = -2 sinp q

2sin

p q

2

sin (a + b) + sin (a - b) = sin a cos b + sin b cos a + sin a cos b - sin b cos a

donc sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b

c-à-d sin p + sin q = 2 sinp q

2cos

p q

2

sin (a + b) - sin (a - b) = sin a cos b + sin b cos a - sin a cos b + sin b cos a

donc sin (a + b) - sin (a - b) = 2 sin b cos a

c-à-d sin p - sin q = 2 cosp q

2sin

p q

2

tan (a + b) + tan (a - b) = tan p + tan q = sin

cos

sin

cos

sin cos sin cos

cos cos

sin( )

cos cos

p

p

q

q

p q q p

p q

p q

p q

tan (a + b) - tan (a - b) = tan p - tan q = sin

cos

sin

cos

sin cos sin cos

cos cos

sin( )

cos cos

p

p

q

q

p q q p

p q

p q

p q

Nous retiendrons:

cos p + cos q = 2 cosp q

2cos

p q

2

cos p - cos q = -2 sinp q

2sin

p q

2

sin p + sin q = 2 sinp q

2cos

p q

2

sin p - sin q = 2 cosp q

2sin

p q

2

tan p tan q = sin( )

cos cos

p q

p q

et les formules inverses:

2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

- 2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

Exercices.

1. Simplifier

a)cos cos

sin sin

a a

a a

3

3

b)cos cos

sin sin

2 4

4 2

a a

a a

c)sin sin

cos cos

p q

p q

d)cos cos

sin sin

2 2

2 2

p q

p q

e)cos cos( )

sin( ) sin

3 4 3

4 3 3

b a b

a b b

f)cos cos( )

sin( ) sin

na n a

n a na

2

2

2. Calculer sin a + sin (a +3

2 ) + sin (a +3

4 )


3. Vérifier les identités suivantes:

a) sin sin sin

cos cos cos

2 5

2 5

a a a

a a a

= tan 2a

b) cos 2a cos a - sin 4a sin a = cos 3a cos 2a

c) cos 12

11cos

12

5=

4

1 (sans calculatrice)

d) cos 9

4 + cos

9

2 - cos

9

= 0 ( sans calculatrice )

6. Exercices récapitulatifs. 1. Vérifier les identités suivantes:

a) sin 7a - sin 5a - 2cos 5a sin 2a = - 2 sin a cos 4a b)cos 2 ( a + b ) + cos 2 ( a - b ) - cos 2a cos 2b = 1

c) a2sin

1

)atan()atan(

)atan()atan(

44

44

d) cos 2a ( 1 + tan a tan 2a ) = 1

e) 12

( tan (4 + a ) - tan (

4 - a ) ) = tan 2a f)

sin sin

cos cos

2

1 2

a a

a a

= tan a

2. Si a et b sont les mesures des angles aigus d’un triangle rectangle, vérifier:

a) sin 2a + sin 2b = 2 cos ( a - b )

b) cos a - cos b = 2 sin b a2

7. Equations trigonométriques.

7.1 Equations élémentaires

Une équation trigonométrique est dite élémentaire si elle peut être ramenée à une des formes suivantes:

sin b = sin a cos b = cos a tan b = tan a

Nous constatons:

sin b = sin a b = a + k 2 ou b = - a + k 2

cos b = cos a b = a + k 2

tan b = tan a b = a + k avec les C.E. : b

2 + k a

Exemple1

cos x = 12

cos x = cos 3 x =

3 + k

Sol. Principales : {3 ,

35 } qui sont les solutions comprises entre 0 et

Exemple 2

sin( 32 - x ) = sin ( + x ) 3

2 - x = + x + k 2 ou 3

2 - x = - ( +x ) + k 2

- 2x = -

2+k2 ou 0x = - 3

2 + k 2 (éq. imp.)

x =

4+ k Sol. Principales : {

4,

45 }

Exemple 3

Dans certains cas nous serons amenés à utiliser la calculatrice:

tan ( 32 - x ) = 1

3 3

2 - x = 0,32175 + k -x = -4,39064 + k x = 4,39064 + k

Sol. principales : {1,24905 ; 4,39064}

Exercices.

A. Résoudre les équations suivantes.

1. 2sin x - 1 = 0

2. cos 21

2x

3. cot x - 3 =0

4. 2 sin x + 1 = 0


5. sin 2 x = sin x

6. tan ( + 2x ) = tan ( x - 18 )

7. cos ( x - 2 ) = cos (

4 - x )

8. cos( 2x - ) = cos (

2- 3x)

9. sin ( 2 - 3x ) = sin (

2 +x )

10. cos x - 2 = 0

11. cos ( 3 + 2x ) = 0,2

B. a) Tracer le graphe de la fonction f(x) = 2 cos 2x + 1 en utilisant les transformations de graphes.

b) Déterminer les racines de cette fonction et vérifier sur le graphe.

c) Déterminer les points d'intersection de cette fonction avec la droite y = 2 et vérifier graphiquement

d) Résoudre l'inéquation 2 cos 2x + 1 0 et vérifier graphiquement.

7.2 Equations utilisant les propriétés des angles associés.

Exemple: sin x = cos x sin x = sin (2 - x) x =

2 - x + k ou x = -

2 + x + k

2x = 2 + k ou 0x =

2 + k (impossible) x =

4 + k

Exercices.

1. cos 2x = - cos ( - x)

2. sin x = - sin ( - 2x)

3. sin 3x = - sin 2x

4. tan 2x = - tan ( - x)

5. sin (

2- x) + sin (

2+ x) = 0

6. sin x = cos x

7. sin (x +4 ) = - cos (2x -

3 )

8. tan x = cot x

9. cot (x +6 ) + tan (2x +

3 ) = 0

10. sin (3x + ) = cos (x +

2)

11. sin 2x + cos (x +6

5 ) = 0

12. cos x + cos (2x -

3) = 0

7.3 Equations à transformer par les formules trigonométriques de base

Exemple: cos 2x = cos x - 1 cos 2 x - sin 2 x = cos x - 1 2cos 2 x - cos x = 0 cos x ( 2cos x - 1 ) = 0

cos x = 0 ou 2cos x - 1 = 0

x = 2 + k ou cos x = 1

2= cos

3

x = 3 + k

Sol. principales: {2 ,

23 ,

3 ,

35 }

Exercices.

Résoudre les équations suivantes:

1. 3 cos 2 x + 2 sin 2 x = 2,75

2. cos 2x + cos 2 x = 0

3. cos x + cos 4x = cos 2x + cos 3x

4. cos x cos 4 x = cos 2x cos 3x

5. sin 3x + sin 5x + 2sin 4x = 0

6. 1 + cos 2x + 2 cos x = 0

7. 2 sin2 x - 5cos x - 4 = 0

8. sin (x -6

) sin (x +

6

) =

2

1

7.4 Equations homogènes en sinus et cosinus.

Exemple

sin 3 x + 3 sin 2 x cos x - sin x cos 2 x = 0

sin x ( sin 2 x + 3 sin x cos x - cos 2 x ) = 0

sin x = 0 ou sin 2 x + 3 sin x cos x - cos 2 x = 0

x = k

ou tan 2 x + 3 tan x - 1 = 0 ( cos x = 0 n'étant pas solution de l'équation, on divise toute l'équation par cos2 x)

= 9 + 4 = 13 tan x = 3 13

2 x = 0,2940 + k ou x = -1,2768 + k

S = { x | x = k ou x = 0,2940 + k ou x = -1,2768 + k}


Généralisation et technique:

Une équation trigonométrique est dite homogène en sinus et cosinus lorsque la somme des degrés du sinus et du

cosinus de chacun de ses termes est une constante (dans notre exemple, cette constante vaut 3).

Pour résoudre une telle équation, nous suivrons la procédure suivante :

a) mise en évidence des termes en sin x et cos x affectés de leur plus haute puissance, ce qui nous amène à

résoudre des équations du type sin x = 0 ou cos x = 0

b) Si l'équation restante est du nème

degré, on la ramène à une équation polynomiale en tan x en divisant tous les

termes par cosn x. En posant alors tan x = y, on résout l'équation en y (du second degré, ou en utilisant Horner).

Il reste alors à déterminer les valeurs de x correspondantes

Exercices. Résoudre:

1. cos 4 x + 2 cos 2 x sin 2 x = 3 sin x cos 3 x

2. 2 sin 2 x - 3 sin x cos x - 2 cos 2 x = 0

3. sin 4 x - 6 sin 3 x cos x + 11 sin 2 x cos 2 x - 6 sin x cos 3 x = 0

4. 3sin4 x cos x + 8sin

3 x cos

2x + 3 sin

2 x cos

3 x - 2sin x cos

4 x = 0

5. 3sin3x cos x + 4 cos

4x = 3 cos

2x + sin x cos

3x

7.5 Equations linéaires en sin x et cos x

Une équation linéaire en sinus et cosinus est une équation du type a cos x + b sin x = c a, b, c, R0

exemple: 3cos x + 3 sin x + 3 = 0 cos x + 3

3sin x + 1 = 0

Posons tan = 3

3 ou =

6 Nous obtenons : cos x + tan sin x + 1 = 0

cos x cos + sin sin x + cos = 0 cos ( x - ) = - cos

cos ( x - 6 ) = - cos

6 = cos

65 x -

6 =

65 + k

x = 6 +

65 + k ou x =

6 -

65 + k

x = + k ou x = -3

2 + k

x = + k ou x = 3

4 + k Sol. Principales : {

3

4,}

En général :

a, b, c, R0 a cos x + b sin x = c cos x + a

b sin x =

a

c

Posons : a

b = tan cos x + tan sin x =

a

c cos x +

cos

sin sin x =

a

c

cos x cos + sin x sin =a

ccos cos (x - ) =

a

ccos

Nous constatons que le second membre de cette dernière équation est une expression dont on peut calculer la

valeur numérique. Il s'agit donc toujours d'une équation élémentaire que l'on peut résoudre.

Exercices.

1. sin x - 2 cos x + 2 = 0

2. 3 cos x - 3 sin x + 3 = 0

3. 3 cos x - sin x - 1 = 0

4. cos x + 3 sin x + 3 = 0

5. cos x + 3 sin x = 3

6. cos x – sin x = 0.5

7. 2cos x – 3sin x = 0.5

7.6 Exercices généraux.

1. sin 2 x - 2 cos 2 x = 0

2. 2 cos 4 x - 5 sin 2 x + 2 sin 4 x = 0

3. 2 cos x = tan x

4. sin x + 4 cos x = 4

5. tan x + cot x = 1

6. cos 2x - sin 5x = sin x

7. tan x + cos x = 0

8. 2 ( -sin x + cos x ) sin 2x - ( sin x + cos x ) . cos 2x = 0

9. 4 tan x - 1 + 2 tan 3 x - 5 tan 2 x = 0

10. 2 cos 2x ( 1 - sin x ) + cos x sin 2x = 0

11. sin x + sin 3x + sin 2x = 0


8. Inéquations trigonométriques.

Exemple 1 : Résoudre sin 3x > 12

1ère

méthode Considérons tout d’abord l’inéquation sin y > 12

Graphiquement nous voyons 6 < y < -

6

6 < y <

65 dans [ 0,]

Donc 6 + k < y <

65 + k

6 + k < 3x <

65 + k

18 + k

32 < x <

185 + k

32

2ème

méthode : sin 3x > 12

sin 3x - 12

> 0

En résolvant l'équation sin 3x - 12

= 0 nous obtenons : x = 18 + k

32 ou x =

185 + k

32

Ce qui nous permet d'obtenir le tableau de variation de signe de la fonction f(x) = sin 3x - 12

(entre 0 et 2)

x 18

185

18 +

32

185 +

32

18 +

34

185 +

34

sin 3x - 12

- 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 -

Et nous retrouvons bien la solution trouvée précédemment : 18 + k

32 < x <

185 + k

32

Exemple 2 : Résoudre cos ( 2x -

4) > - 1

2

1ère

méthode : Nous savons - 12

= cos 23 = cos - 2

3

et nous obtenons :

- 23 + k 2 < 2x -

4 < 2

3 + k 2 - 2

3 +

4+ k 2 < 2x < 2

3 +

4+ k 2

- 512 + k < 2x < 11

12 + k 2 - 5

24 + k < x < 11

24 + k

2ème

méthode : cos ( 2x -

4) > - 1

2 cos ( 2x -

4) + 1

2 > 0

En résolvant l'équation : cos ( 2x -

4) + 1

2 = 0 , nous obtenons : x =

24

11+ k ou x =

24

5 + k

Ce qui nous permet d'obtenir le tableau de variation de signe de la fonction f(x) = cos (2x -

4) + 1

2(entre 0 et 2)

x

24

11

24

19

24

11+

24

19+

cos (2x-

4)+ 1

2

+ 0 - 0 + 0 - 0 +

Ce tableau confirme la solution trouvée précédemment : - 524 + k < x < 11

24 + k

Exemple 3 : Résoudre tan x2

2

Nous trouvons directement par le graphique : 1,107 + k x2

< 2

+ k 2,214 + k 2 x < + k 2

Ou en utilisant le tableau de variation : en résolvant l'équation tan x2

- 2 = 0, nous obtenons : x = 2,214 + k 2

L'étude de signe de la fonction tan x2

- 2 confirme la solution 2,214 + k 2 x < + k 2

x 0 2,214 2

tan x2

- 2 - - 0 + +

Exercices.

1. tan ( 2x -6 ) 1

2. cos 2x < - 0,521

3. tan 3x 0,5

4. sin x2 >

1

3

5. cos 32x

3

2

6. cot ( x +

4 ) 5

7. cos (4 - x) sin

43

8. sin (3x + 9

2 ) < cos 3

4

9. tan (2x +

4) > - tan

3

10. sin

4x2 < cos

3

32

32

6

65

4/01/2014 Trigonométrie IX - 9

9. Exercices supplémentaires.

9.1 En utilisant les formules d'addition, calculer les nombres trigonométriques des angles suivants et vérifier votre réponse à l'aide de votre calculatrice.

12

,

12

5,

12

7,

12

11,

12

19, -

12

9.2 Calculer, sans machine

1. sin18

cos

9

+ cos

18

sin

9

2. cos 18

cos

18

7 + sin

18

sin

18

7

3.

18

5

9

4

18

5

9

4

tantan1

tantan

Solutions : 1) 0.5 2) 0.5 3) 3

3

9.3 Calculer, sans machine,

1. cos (a + b) sachant que sin a = - 8/17 ; sin b = 4/5 ; < a < 2

3 et

2

< b <

2. tan (a + b) sachant que sin a = - 1/2 ; cos b = 1/3 ; < a < 2

3 et

2

3 < b <

3. tan (a - b) sachant que sin a = 3/4 ; cos b = - 2/3 ; 2

< a < < b <

2

3

Solutions :

1. cos a = 15

17 cos b =

3

5 cos (a+b) =

77

85

2. cos a = 3

2 sin b =

2 2

3 tan (a + b) =

1 2 6

3 2 2

=

8 2 9 3

5

3. cos a = 7

4 sin b =

5

3 tan (a - b) =

6 35

2 7 3 5

27 7 32 5

17

9.4 Vérifier les identités suivantes :

1. sin a sin (b - c) + sin b sin (c - a) + sin c sin (a - b) = 0

2. cos a sin (b - c) + cos b sin (c - a) + cos c sin (a - b) = 0

3. sin (a - b) cos (a + b) = sin a cos a - sin b cos b

4. sin (a + b) cos ( a - b) = sin a cos a + sin b cos b

5. sin ( a + b) sin (a - b) = sin2 a - sin

2 b = cos

2 b - cos

2a

6. cos (a + b) cos (a - b) = cos 2 a - sin

2 b = cos

2 b - sin

2 a

7. )basin()basin(

)bacos()bacos(

= cot a

8. tan tan

tan tan

sin( )

sin( )

a b

a b

a b

a b

9. 1

1

tan tan

tan tan

cos( )

cos( )

a b

a b

a b

a b

9.5 Calculer les expressions suivantes (sans calculatrice):

1. cos a + cos (a +3

2) + cos (a +

3

4)

2. sin2 (

3

2- x) + sin

2 (

3

2+ x) + sin

2 x

3. cos2 (

3

2- a) + cos

2a + cos

2 (

3

2+ a)


Solutions : 1) 0 2) 1.5 3) 1.5


1. sin2 (a + b) - sin

2 (a - b) = sin 2a sin 2b

2. tan a + cot a = 2

2sin a

3. 1

2cot cota a= sin 2a

4. 1

1 2 tan tana a=cos 2a

5. cot tan

cot tan

a a

a a

= cos 2a

6. cos sin

cos sin

sin3 3

12

2

a a

a a

a

9.7 Calculer, sans machine

1. tan 2a sachant que cos a = - 1/3 et < a < 2

3

2. sin 2a, cos 2a, tan 2a, cot 2a a) sachant que sin a = 0,6 et cos a > 0

b) sachant que cos a = 12/13 et sin a < 0

Solutions :

1) sin a = 2 2

3 tan 2a =

4 2

7

2).a) sin 2a = 0.96 cos 2a = 0.28 tan 2a = 24

7 (cos a = 0.8)

b) sin 2a = 120

169 cos 2a =

119

169 tan 2a =

120

119 (sin a =

5

13)

9.8 Factoriser les expressions suivantes:

1. sin 5a + sin a

2. sin 7a - sin 5a

3. cos 7a + cos 4a

4. cos 5a - cos 2a

5. sin 2a - sin 4a

6. cos 3a - cos 5a

7. sin 70° + sin 50°

8. cos 18

+ cos 50°

9. tan a - tan 4a

10. tan 6

- tan 50°

9.9 Simplifier les expressions suivantes:

1. cos cos

sin sin

a a

a a

3

3

2. cos cos

sin sin

2 4

4 2

a a

a a

3. sin sin

cos cos

2 3

2 3

a a

a a

4. cos cos

sin sin

4

4

a a

a a

5. sin sin

cos cos

3

3

a a

a a

Solutions : 1) tan 2a 2) tan 3a 3) cot a

2 4) tan

5

2

a 5) -cot 2a

9.10 Vérifier les identités suivantes:

1. sin sin

cos cos

p q

p q

=tan

p q

2

2. sin sin

sin sin

tan

tan

p q

p q

p q

p q

2

2

3. sin sin

cos cos

p q

p q

- cot

p q

2

4. cos cos

cos costan tan

p q

p q

p q q p

2 2

5. cos cos

sin sintan

p q

p q

q p

2

6. cot p cotq =sin( )

sin sin

p q

p q

7. tan tan

tan tan

sin( )

sin( )

a b

a b

a b

a b


8. tan 2a - tan a = 2

3

sin

cos cos

a

a a

9. sin( )

cos cos

cos

sin

p q

p q

p q

p q

2

2

10. 1

1

tg

tg

a

a= cot (

4+ a)

11. tan( ) tan( )

tan( ) tan( )

tan ( tan )

tan ( tan )

a b a b

a b a b

a b

b a

1

1

2

2

9.11 Factoriser les expressions suivantes :

1. 1 - 2cos a + cos 2a

2. 1 + 2cos 2a + cos 4a

3. cos2 a - cos

2 2a

4. cos a + cos b + cos (a + b) + 1

5. cos a + cos b - cos (a +b) - 1

6. 1 tan a

7. tan p cot q

8. cosec 2a - cot 2a

9. sec 2a + tan 2a

10. 1 + sec 2a

11. sin a + sin 2a + sin 3a

12. sin a + 2sin 2a + sin 3a

13. sin 3a + sin 7a + sin 10a

14. sin 5a - sin a + sin 6a

15. sin a + 2 sin 3a + sin 5a

16. cos a + 2 cos 2a + cos 3a

17. sin a - sin 2a + sin 3a - sin 4a

18. cos 7a - cos 5a + cos 3a - cos a

19. sin 7a - sin 5a - sin 3a + sin a

20. sin a + sin b - sin (a + b)

21. sin (a + b - c) + sin (b + c - a) + sin (c + a - b) - sin (a + b + c)

22. cos 6a - cos 4a - cos 2a + 1

Solutions :

1. 2cos a (cos a - 1)

2. 4 cos 2a cos2 a

3. sin a sin 3a

4. 4cos a b

2cos

a

2 cos

b

2

5. 4cosa b

2sin

a

2sin

b

2

6. 2 45sin( )

cos

a

a

7. cos( )

cos cos

p q

p q

8. tan a

9. cot (4

- a)

10. 2

2

2cos

cos

a

a

11. sin 2a (2 cos a + 1)

12. 4 sin 2a cos2

a

2

13. 4 sin 5a cos 7

2

acos

3

2

a

14. 4 cos 3a sin5

2

acos

a

2

15. 4 cos2 a sin 3a

16. 4 cos2

a

2cos 2a

17. -4 cos a sin a

2cos

5

2

a

18. -4 sin a sin 4a cos 2a

19. -4 sin a sin 2a sin 4a

20. 4 sin a b

2cos

a

2cos

b

2

21. 4 sin a sin b sin c

22. -4 sin a sin 2a cos 3a

9.12 Calculer les expressions suivantes :

1. sin a + sin (a +3

2) + sin (a +

3

4)

2. cos a + cos (a +3

2) + cos (a +

3

4)

3. cos 9

4 + cos

9

2 - cos

9

4. sin 90

39- sin

10

+ cos

30

11

5.

1010

3

1010

3

sinsin

sinsin

6. sin sin sin

sin sin sin

a a a

a a a

2 3 5

3 2 5 7

7. sin sin sin

sin sin sin

a m a a

a m a a

3 5

3 5 7

Solutions : 1) 0 2) 0 3) 0 4) 0 5) 2 6) sin

sin

3

5

a

a 7)

sin

sin

3

5

a

a

9.13 Transformer en une somme les expressions suivantes :

1. 2 sin 3a cos a

2. 2 cos 3a sin 2a

3. 2 cos 4a cos a

4. -2 sin 3a sin 2a

5. 2 sin 2a sin 6a

6. 2 cos a sin 5a

7. cos a cos 7a

8. sin 2a cos 7a


9. 2 cos 2b cos (a - b)

10. 2 sin (2a + b) cos (a - 2b)

11. 2 sin (a + b) cos (a - b)

12. sin (a + 3b) sin(a - 3b)

13. 2 sin 18

cos

9

2

14. sin 12

sin

12

5

15. cos 12

5 cos

12

11

16. cos 12

cos

12

7


1. cos 5a cos 2a - cos 4a cos 3a = - sin 2a sin a

2. sin a sin (b - c) + sin b sin (c - a) + sin c sin (a - b) = 0

3. cos a sin (b - c) + cos b sin (c - a) + cos c sin (a - b) = 0

4. sin (a + b) sin (a - b) = sin2 a - sin

2 b

5. cos (a + b) cos (a - b) = cos2 a - sin

2 b

6. cos2 (a + b) + cos

2 (a - b) - cos 2a cos 2b = 1

7. cos2 2a - sin

2 a = cos a cos 3a

8. sin2 5a - sin

2 3a = sin 8a sin 2a

9. 1 - sin2 5a - sin

2 2a = cos 7a cos 3a

10. sin 7a - sin 5a - 2 cos 5a sin 2a = - 2 sin a cos 4a

11. cot (a +12

) - tan (a -

12

) =

4 2

2 2 1

cos

sin

a

a

12. 4 2

1 2 2

cos

sin

a

a= cot (

12

- a) + tan (

12

+ a)

9.15 Résoudre les équations trigonométriques suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.

1. sin 2x = 2 sin x

2. sin x + sin 2x + sin 3x = 0

3. sin x + sin 3x = 2 sin 2x

4. sin 4x + sin 2x = sin 3x

5. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0

6. cos x = 2

1 2

tg x

tg x

7. cos 2x = cos x - 1

Solutions :

1. x = k

2. x = k 2

ou x =

3

2 + k

3. x = k2

ou x = k x = k

2

4. x = k3

ou x =

3

+k x = k

3

5. x =2

+ k ou x = k

5

2 ou x = +k

6. CE. x 2

+ k

x = 6

+ k ou x =

6

5 + k

7. x = 2

+ k ou x =

3

+ k

9.16 Résoudre :

1. cos x = sin2 x - cos

2 x

2. 3(1 - cos x) = 1 - cos2 x

3. 3 cos2 x + 2 sin

2 x = 2,75

4. tan (4

+ x) - 3 tan x = 2

5. 2 cos x + 3 = 4 cosx

2

6. 5 sin x = 6 cos2 x

7. cos 2x = cos x + 1

8. 2 cos 2x + 3 cos x + 1 = 0

9. tan 2x = 3 tan x

10. 3 tan2 x + 5 =

7

cos x

11. tan x - cot x = -1

12. cos x - (2 cos2 x - 1) =1/2

Solutions :

1. x = 3

+ k ou x = + k

2. x = k

3. x = 6

+ k ou x =

6

5 + k


4. CE : x 2

+ k et x

4

+ k

x = 6

+ k ou x = -

6

+ k

5. x = 3

2 + k 4

6. x = 0,72973 + k ou x = 2,41186+ k

7. x = 2,4667 + k

8. x = + k ou x = 1,31812 + k

9. CE : x 2

+ k et x

4

+ k

2

x = k ou x = 6

+ k

10. CE : x 2

+ k x =

3

+ k

11. CE : x k2

x = 0,55357 + k ou x = - 1,01722 + k

12. x = 1,88495 + k ou x = 0,62832 + k

9.17 Résoudre :

1. 3 cos x - 3 sin x + 3 = 0

2. 3 cos x - sin x - 1 = 0

3. cos x + 3 sin x + 3 = 0

4. sin x - 2 cos x + 2 = 0

5. sin x + 4 cos x = 4

6. 2 sin x + cos x = 2

7. sin x + cos x - 1 = 0

8. 3 cos x + 3 sin x - 3 = 0

Solutions :

1. x = 2

+ k ou x =

6

5 + k

2. x = 6

+ k ou x = -

2

+ k

3. x = 6

7 + k ou x = -

2

+ k

4. x = k ou x = 5,35589 + k

5. x = k ou x = 0,48995 + k

6. x = 2

+ k ou x = 0,64350 + k

7. x = 2

+ k ou x = k

8. x = k ou x = 3

2 + k

9.18 Résoudre:

1. 3 sin x - 2 cos x = 0

2. 3 cos x - 2 sin x = 0

3. sin x + 4 cos x = 0

4. 2 sin x = sin(4

- x)

5. 2 sin2 x - 4 cos

2 x = 0

6. sin x cos x + cos2 x = 0

7. 2 sin2 x - 3 sin x cos x - 2 cos

2 x = 0

8. 2 cos2 x - 3 cos x sin x = 0

9. 5 sin2 x - 2 cos

2 x - 3 sin x cos x = 0

10. 5 cos2 x + 6 sin

2x = 7

11. 2 cos2 x - 11 sin x cos x + 4 = 0

12. sec x - cos x = sin x

13. 3 sin3 x - 4 3 sin

2 x cos x + 3 cos

2 x sin x = 0

14. sin4 x - cos

4 x = sin x cos x

15. cos4 x + 2 cos

2x sin

2x = 3 sin x cos

3 x

16. 2cos4 x - 5 sin

2 x cos

2 x + 2 sin

4 x = 0

17. sin6 x + cos

6 x =1/2

Solutions :

1. x = 0,78684 + k

2. x = 0,98279 + k

3. x = - 1,32582 + k

4. x = 0,25549 + k

5. x = 0,95532 + k

6. x = 2

+ k ou x = -

4

+ k

7. x = 1,10715 + k ou x = - 0,46365 + k

8. x = 2

+ k ou x = 0,58800 + k

9. x = 4

+ k ou x = - 0,38051 + k

10. S =

11. x = 1,10715 + k ou x = 0,64350 + k

12. CE : x 2

+ k

x = k ou x = 4

+ k

13. x = k ou x = 6

+ k ou x =

3

+ k

14. x = 1,01722 + k ou x = - 0,55357 + k

15. x =2

+ k ou x =

4

+ k

ou x = 0,46365 + k

16. x = 0,95532 + k

ou x = 0,61548 + k

17. x = 1,09314 + k ou x = 0,47766 + k


9.19 Résoudre les inéquations suivantes :

1. sin x > -1

2

2. cos x - 1

2

3. tan x > 3

4. tan x 3

5. cos (4

- x) sin

4

3

6. sin (3x + 9

2) < -

1

2

7. cos (x - ) >3

2

8. tan 3x < 3

3

9. sin 2x 2

2

10. cos (x +

3) >

1

2

Solutions :

1. - 6

+ k < x <

6

7 + k

2. 3

2+ k x

3

4 + k

3. 3

+ k < x <

2

+ k

4. 3

+ k x <

2

+ k

ou 2

+ k < x

3

2 + k

5. k x 2

+ k

6. 54

17+k

3

2 < x <

54

29+ k

3

2

7. 5

6

+ k2 < x <

7

6

+ k2

8. -6

+ k

3

< x <

18

+ k

3

9. 8

+ k

2

x

8

+ k

2

10. -3

2 + k < x < k

9.20 Exercices de synthèse

1. Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :

a) f(x) = xsin21 sol : Zk

2k6

7,2k

6

b) f(x) = xcosxsinxcosxsin3xcos2

xcosx2sin223

sol : R /

ZkZkZk

k10714,1/k4

/k2

c) f(x) = xtan1

1

2 sol :

Zk

k4

,k4

2. A tout moment, notre cœur bat, notre pression sanguine augmente pour décroître ensuite entre deux

battements. Les maximum et les minimum de pression sanguine portent respectivement les noms de

pression systolique et diastolique. La lecture de notre pression sanguine, à l'aide d'un tensiomètre, est

traduite par deux chiffres correspondant aux pressions systolique/diastolique. Une lecture de 12/8 est

considérée comme normale.

La pression sanguine d'une personne est modélisée par la fonction p(t) = 11,5 + 2,5 sin(160 t)

dans laquelle p(t) est la pression en cmHg, et t est le temps exprimé en minutes.

a) Calculer la période de p.

b) Calculer le nombre de battements de cœur par minute.

c) Représenter graphiquement la fonction p(t).

d) Que donnerait le tensiomètre lors d'une lecture de la pression sanguine? Comparer cette lecture à la

tension normale.

e) A quels moments, la pression sanguine vaut-elle 12 ? 8 ? 10.25 ?

3. L'évolution de la population d'une horde de cerfs est modélisée par la fonction :

p(t)= 4000 + 500 sin 2

t2

où t est exprimé en années et où t = 0 correspond au 1er

janvier.

a) Tracer le graphe de p(t) durant un an.

b) durant l'année, quand la population est-elle maximale ? Quelle est la population à ce moment-là ?


c) y a-t-il un minimum ? Si oui, quand ?

d) quelle est la période de la fonction P(t) ?

4. Rythmes circadiens. La variation de température du corps est un exemple de rythme circadien, processus

biologique qui se répète approximativement toutes les 24h.

La température est maximale vers 17h et minimale vers 5h. Soit y la température du corps (en °C), et soit

t = 0 à minuit (t exprimé en heures). Pour une personne déterminée, sa température minimale est de

36.83°C et sa température maximale est de 37.17°C

a) Déterminer une équation de la forme y = d + a sin (bt + c) qui modélise cette information

b) A quels moments de la journée, cette personne a-t-elle une température égale à 37° ?

c) Quand a-t-elle une température inférieure ou égale à 36.9° ?

5. Variation de température journalière

La température (en ° C) durant une journée peut-être modélisée par une fonction sinusoïdale en fonction du

temps (exprimé en heures). Déterminer une telle fonction dans le cas où

a) la température maximale est de 10° et la température minimale atteinte à 4h du matin est de – 10°.

b) la température à minuit est de 15° et les températures maximales et minimales sont de 20°C et 10°C.

c) la température varie entre 10°C et 30°C et la température moyenne de 20° survient la première fois à 9h

du matin.

Documents

IX. Trigonométrie 1. Rappels