Une réponse (très) partielle à la deuxième question :

Calcul des exposants critiques en champ moyen

Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen :

on néglige les termes de fluctuations (Weiss, Curie, 1907) : le champ local vu par chaque spin est la somme des valeurs moyennes (aimantations) des spins voisins.

On définit

(modèle de spins indépendants)

Alors

On peut maintenant calculer la valeur moyenne du spin i :

NB : 1. analogie avec un modèle d'électeurs 2. autres manières d'introduire l'approximation de champ moyen ?

ce qui donne une équation implicite pour l'aimantation :

Cas particulier : réseau hyper-cubique en dimension D

Solution :

Résolution de l'équation implicite sur l'aimantation :

m1

02D β J m

Pente à l'origine

avec :

mS(T)

NB : il y a aussi la solution m → -m

+1

Tc

T

mS(T)

-1

f

m0

f

m

Pour m petit, on peut écrire :

Exercice : montrer que γ = 1, δ = 3 (facile à partir des définitions)

Valeur de α ?

TTc

Allure de la chaleur spécifique en dimension D = 3 C

V

Un peu subtil car la valeur moyenne de l'énergie est nulle à haute température (car m=0), donc la chaleur spécifique est nulle aussi.

Pour T → T

c , la chaleur spécifique tend vers J/2, donc il y a une discontinuité à T

c

On considère donc que α = 0 en champ moyen

On va maintenant calculer les exposants ν et η associés à la fonction de corrélation spin-spin.Cela semble paradoxal car le champ moyen néglige les corrélations …Pour mieux comprendre cela, il faut s'interroger sur la

Validité du champ moyen :

Premier point de vue : le champ moyen est exact lorsque la dimension D → infini

Comment s'en rendre compte? Il faut d'abord faire attention à ce que l'énergie et l'entropiesoient du même ordre de grandeur lorsque la dimension D tends vers l'infini :

(ordre N)

(ordre N fois D = nombre de liens sur le réseau)

Donc le couplage J doit être d'ordre 1/D

Couplage :

Champ effectif en i :

lorsque D → infini

Il n'y a plus de fluctuation et on peut remplacer chaque champ effectif par le champ moyen :

Exercice : démontrer la première égalité (identité de Callen)

Donc les valeurs des exposants que nous avons calculées sont valides en dimension D → infini

Deuxième point de vue : le champ moyen est exact lorsque la dimension D ≥ 4

β

1/2

D4

?

Nous verrons plus tard pourquoi ….

Calcul des fonctions de corrélation en champ moyen :

Point de départ : théorème fluctuation-dissipation qui relie la fonction de corrélation

à la fonction de réponse

Nous allons montrer que :

Pour calculer la fonction de réponse en champ moyen, on part de l'équation implicitesur les aimantations :

où est la matrice d'adjacence sur le réseau. On obtient :

On peut maintenant prendre tous les champs nuls, donc toutes les aimantationsdeviennent égales à m. En notation matricielle,

Donc G et ∆ ont les mêmes vecteurs propres et leurs valeurs propres sont reliées par

Comment diagonalise-t-on ∆ ?

∆ est une matrice invariante par translation (matrice de Toeplitz) donc ses vecteurs propressont les ondes planes sur le réseau :

a

e1

e2

Ri

donc

Quelles valeurs peuvent prendre les vecteurs ?

a

L sites

L sites

On peut maintenant écrire l'expression de la fonction de corrélation :

Que vaut cette corrélation dans la limite L → infini d'abord, puis R = ||Ri -R

j || >> a ?

On remplace la somme discrète par une intégrale :

avec

On obtient :

Nous allons examiner le comportement de l'intégrale pour R grand :

On développe :

terme isotrope

Dans la phase paramagnétique (m=0) :

où :

On trouve :

se comporte comme (démonstration dans 4 minutes !)

On en déduit les valeurs des exposants critiques :

Oui, mais les corrélations sont censées être nulles en champ moyen …

Nous savons que l'approximation de champ moyen est exacte dans la limite de dimension D → infini :

iréseau hyper-cubique

de dimension D j k

Mais :

Calcul de l'intégrale :

Vecteur de norme 1

On utilise :

donc

Une formule très utile (à démontrer et à savoir par coeur) :

Ici :

Comment se comporte l'intégrale lorsque x → infini (c'est-à-dire R>>ξ) ?

La contribution dominante à l'intégrale vient du voisinage du minimum de f (méthode de Laplace)

où

On trouve le résultat annoncé :

NB : Il y a des corrections logarithmiques (proportionnelles à log x) Nous reviendrons sur ce calcul lors de l'étude du champ libre …

Pourquoi le champ moyen est-il faux en dimension D plus petite que 4 ?

Argument physique, heuristique dû à GinzburgLe champ moyen néglige les fluctuations, voyons si cela est cohérent :

ξ

Domaine

Aimantation moyenne :

Variance de l'aimantation :

~ 1 car u < ξ

Fluctuations relatives :

Donc les fluctuations relatives sont négligeables proche de la température critique lorsque la dimension de l'espace est supérieure à 4 : l'hypothèse que les exposantsont les mêmes valeurs qu'en champ moyen est cohérente.

En dimension inférieure à 4, l'hypothèse que les exposants ont les mêmes valeurs qu'en champ moyen est incohérente. On refait le calcul avec les « bons » exposants :

Fluctuations relatives :

On s'attend à ce que ces fluctuations relatives soient d'ordre 1 proche de latempérature critique. On en déduit que :

(en dimension D < 4)

On peut montrer d'autres relations entre exposants en dimension inférieure à 4 (cf. TD).On trouve finalement que tous les exposants s'expriment en fonction de deux d'entre eux, par exemple :

Ces relations sont vraies en dimension inférieure à 4.En dimension égale à 4, elles sont vérifiées par les exposants de champ moyen.

Démontré précédemment !

Nous allons comprendre plus tard pourquoi il y a deux exposants indépendants !

Diapo 1Diapo 2Diapo 3Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Diapo 8Diapo 9Diapo 10Diapo 11Diapo 12Diapo 13Diapo 14Diapo 15Diapo 16Diapo 17Diapo 18Diapo 19Diapo 20Diapo 21Diapo 22Diapo 23Diapo 24Diapo 25Diapo 26Diapo 27Diapo 28Diapo 29