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CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE

4. Bilan de forces

3.2. Forces concentrées forces réparties notion de centre de masse⇒

3.3. Forces d’action forces de réaction

3.1. Forces extérieures forces intérieures

2. Conditions d’équilibre d’un solide

1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre

3. Isostaticité

2

3.3.3. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’appuis

A. Cas d’un système plan : par exemple, une poutre


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Poutres

• 1 dimension > les 2 autres• Transmet tous les efforts• Peut être chargée entre ses extrémités

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Poutres

http://i-structures.epfl.ch/cours/poutres_f.php

Gare routière de Coire, Arch. R. Brosi e Obristund Partner, 1993

École primaire de Riva San Vitale, Arch. A. Galfetti, 1972

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3.3.3. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’appuis

A. Cas d’un système plan : par exemple, une poutre

a) Encastrement

x

y

3 degrés de liberté empêchés r = 3 « composantes » de réaction d’appui

)3( =+ rl

A

0=l

zAA

yAxAA

z

yx LLL

1

11

Γ=Γ

+=

A

LAy

LAx ΓAz

3=r

A.1. Types d’appuis


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Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999

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b) Articulation ou rotule ( = appui fixe = appui double)

A θ

x

y A

1=l

A LAx

LAy

yAxAA yx LLL 11 +=

2=r

2 degrés de liberté empêchés r = 2 composantes de réaction d’appui

)3( =+ rl

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9

Source: Viaduc de Verrières sur l’A75, http://www.structurae.info.fr

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Source: http://labogc.egletons.unilim.fr/TEMP/MERLE/HTML/techniq.htm

Articulation en pied de béquille (à modéliser sous la forme d’une rotule 2D)

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c) Rouleau ( = appui mobile = appui simple = appui à dilatation)

A θ A

x O

A

2=l

x

y

A

LAy

yAA yLL 1=

1=r

1 degré de liberté empêché r = 1 composante de réaction d’appui

)3( =+ rl

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d) Encastrement à glissière

O x

A

A

1=l

x

y

A

LAy

ΓAz

2=r

zAA

yAA

z

yLL

1

1

Γ=Γ

=

2 degrés de liberté empêchés r = 2 composantes de réaction d’appui

)3( =+ rl

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Appuis réels 2D• Appuis réels non idéaux dû:

• au frottement,• à la rouille• au jeu• à l’encombrement spatial

Source: Studer & Frey

Rotule ou rouleau?

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A.2. Isostaticité

toutes les inconnues

( paramètres déterminant la position d’équilibre + composantes de réaction de liaison)

peuvent être déterminées par les conditions d’équilibre

⇔

Système isostatique

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! liaisons inadéquates système non isostatique⇒ B A C

Ex. :

B A B A

systèmes isostatiques

B A

système hypostatique

B A BA C

systèmes hyperstatiques

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Exemple 1 (1)

A B C M

q

L/2 L/2 L/2L/4 L/4

F

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A B C M

qL/2

L/2 L/2 L/2

F

Ax

AyBy

x

y

L/2

Exemple 1 (2)

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Exemple 1 (3)

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Exercice 2P

A B

L L

21

Exercice 3

P

A B

L L

22

Exercice 4p [N/m]

A

B

L/2 dL/2

23

Exercice 5p[N/m]

A

B

L/2 dL/2

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DCL

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? Réactions d’appui

à l’encastrement en A L

F

L/2 C

M

A B

L/2

x

y L

F

L/2 C

M

A B

L/2

LAx

LAy

ΓAz

MFL

FL

L

zA

A

A

y

x

−=Γ

=

=

2

0

Exercice 6

261.5 m 2 m

A B

20 Nm

100 N

C

60° 45°

1.5 m

LA

LCx

LCy

N 8.3

N 6.55N 1.111

≈

−≈

≈

y

x

C

C

A

L

LL

x

y

? Réactions d’appui

en A et en C

1.5 m 2 m

A B

20 Nm

100 N

C

30°

45°

1.5 m

Exercice 7

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B. Cas d’un système spatial

Types d’appuis et isostaticité (généralisation)

Solide libre : 0 ; 6 == rl

Solide lié : 60 <≤ l

• 1 degré de liberté empêché par une liaison en un point A

1 « composante » de réaction d ’appui

• 2 degrés de liberté empêchés par une liaison en un point A

2 « composantes » de réaction d ’appui

etc...

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CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE

4. Bilan de forces

3.2. Forces concentrées forces réparties notion de centre de masse⇒


3.1. Forces extérieures forces intérieures

2. Conditions d’équilibre d’un solide

1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre

3. Isostaticité

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• Elément déformable (entorse au domaine d’étude des corps rigides)

Sources: (1) www.flatever.com ; (2) inconnue; (3) www.horlogerie-suisse.com

(1) Ressort hélicoïdal (2) Ressort lame (3) Ressort spiralé (montre)

3.3.4. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un ressort

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l0

A B

∆l >0

F

l0

A B

∆l >0

l0

A B

∆l < 0

l0

A B

∆l < 0

l0

A B

∆l >0

-F F

F -F

3.3.4. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un ressort

Force de rappel d’un ressort

B

lo

A

l0

A B

∆l < 0

F

B

lo

A

lo = longueur libre

du ressort

∆l = élongation

du ressort= force de rappel

du ressort

F

31

B

lo

A

l0

A B

∆l < 0

F

(b) : ressort dur

(c) : ressort mou

(a)(b)

(c)

F

∆l

(a) : ressort linéaire kF =⇔ ∆l

k = constante de rappel du ressort linéaire

(= raideur du ressort linéaire)

Ox

O x

xO

Force de rappel d’un ressort linéaire, si x = élongation du ressort :

( pour suffisamment petit ) x

N.B. : un ressort linéaire est caractérisé par sa longueur libre lo et par sa constante de rappel k

xkxF 1 −=

F

l0

A B

∆l >0

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? long. libres des ressorts BC et DE

N200=BDT

mg = 200N ; k1 = 4kN/m ; k2 = 6kN/m

BC = BD = DE = DH = 1m

m B

C

D

E

A120°

120°

150°

45°

H

(1)

(2)

Exemple

B 120°120°

120° FBC

TBD

200N

D

45° 30°

FDE TDH

TBD

lo1 = 0.95m m98.0≈lo2

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θ

B

A

mg

LAy

c(π/2 -θ)

G

Rem. : Couple de rappel d’un ressort spiral linéaire

zc 1 θ∆−=Γ= moment du couple de rappel du ressort spiralΓ

c = coefficient de torsion du ressort spiral

∆θ = déflexion angulaire du solide sous l’action du ressortoù

c

θ

B

A

Exemple cposition libre du ressort

1z équilibre

θθ sin )2π( AGmgc =−

⇔

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Exemples de ressorts spirale

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Synthèse 2D(1)

Source: Meriam & Kraige

37Source: Meriam & Kraige

Synthèse 2D(2)

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Classification des appuis 3D (1)

Source: Guide de la construction mécanique, Ed. Delagrave

39

Classification des appuis 3D (2)

Source: Guide de la construction mécanique, Ed. Delagrave