CNAM ELE 103 D. Roviras 1
CNAM
Bases de Traitement du Signal
ELE 103, partie I (draft version)
D. [email protected]@idf.pleiad.fr
Tel : 01 40 27 25 67Accès 11, 2 ème étage, Bureau 11B2.372015-2016 version 23
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Sommaire :
1. Introduction
2. Rappels sur le filtrage (C1, TD1)
3. Rappels sur la Série de Fourier et la Transformée de Fourier (C2,C3,TD2,TD3,TD4)
4. Signaux déterministes à énergie finie (C4)
5. Signaux déterministes à puissance finie (C4)
6. Introduction aux probabilités (C5,C6,C7,TD5, TD6)
7. Signaux aléatoires (C8 C9 C10, TD7)
8. Filtrage des signaux (C11, TD8, TD9)
9. Signaux bande étroite (C12 C13)
10. Modulations (C14 C15, TD10, TD11, TD12)
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Introduction1. Pré requis et place de ELE103 dans le cursus
ingénieur
2. Le traitement du signal
Introduction
CNAM ELE 103 D. Roviras 4Introduction
Cycle préparatoire :Une UE au choix parmi :
• Signal déterministe MAA107 • Signal aléatoire MAA104
Composants électroniques ELE101
Bases de Traitement du signal ELE103 Traitement numérique du signal ELE102 Programmation microcontrôleurs ELE118 ou Conception VHDL ELE106 Processeurs de signaux et logique programmable ELE 119
Techniques avancées en électronique analogique et n umérique (1) ELE108 (cycle de TP)
Bases de transmissions numériques (1) ELE112
Pré requis
CNAM ELE 103 D. Roviras 5Introduction
Cycle de sp écialisation : Bases de transmissions numériques(2) ELE113 Techniques avancées en élect. analogique et numériq ue (2) ELE109
Une UE au choix parmi : • Télécommunications optiques ELE107• Propagation, rayonnement, électromagnétisme ELE115• Transmissions en télécoms ELE111• Prévention des risques physiques PHR103
Deux UE au choix parmi : • Circuits pour système RF, micro-ondes et optoélectr oniques ELE202• Traitement du signal en télécommunications ELE203• Télévision numérique et multimédia ELE210• Radiocommunications ELE208• Conception électronique des circuits VLSI logiques ELE205• Technologies des hauts débits ELE207
CNAM ELE 103 D. Roviras 6Introduction
A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?
Station de radio n°1
Station de radio n°2
mon poste de radio
CNAM ELE 103 D. Roviras 7Introduction
A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?
t
Signal station de radio n°1
t
Signal station de radio n°2
TraitementModulationAmplificationTransmission
TraitementModulationAmplificationTransmission
mon postede radio
CNAM ELE 103 D. Roviras 8Introduction
A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?
Pré-amplificationTraitementDémodulationAmplification
CNAM ELE 103 D. Roviras 9Introduction
A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?
m1(t)
t
(1) Signal station de radio n°1 (m1(t))
g(t)
Passe-Bas
x(t)
(2) Traitement du signal m1(t) : filtrage
cos( 2.π.fp.t)
v(t)
(3) Modulation du signal m1(t)
h(t)
Canal hertzien
y(t)
(4) Transmission hertzienne
+
n(t) cos (2.π.fp.t)
e(t)
s(t)z(t)
Passe-Bas
(5) Démodulation
CNAM ELE 103 D. Roviras 10Introduction
SystèmeEntrée Sortie
Caractérisation temporelle et fréquentielle des signaux d’entrée, de sortie et des perturbations
Relations entrée/sortie ?
Quel traitement réaliser ?
Perturbations
CNAM ELE 103 D. Roviras 11Introduction
Source
CAN
Signal
CNA Décodeursource
Décodeurcanal
Codeursource
Codeurcanal
Modulateur
Canal
Récepteur
Exemple d’un chaîne de transmission num érique
ELE102-103ELE103
ELE103
ELE102-103
ELE102-112
ELE102-103-112
ELE102-112
ELE102-112
ELE102-103-112
ELE103-112
ELE102-112
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Rappels sur le filtrage et les distributions
1. Filtrage par un SLIT
2. Rappel sur les distributions
Filtrage
CNAM ELE 103 D. Roviras 13
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Linéarité :
SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(2 tx )(2 ty
SLIT)(.)(. 21 txbtxa + )(.)(. 21 tybtya +
Invariance temporelle :
SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(1 τ−tx )(1 τ−ty
Filtrage
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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Non Linéaire : comparateur
Filtrage
SystèmeEntrée (x) Sortie (y)
x: amplitude de l’entrée
y : amplitude de la sortie
A
0
x1(t)=constante = 1 y1(t)=constante=A
x2(t)=constante = 2 y2(t)=constante=A
x3(t)= x1(t)+x2(t) )()()( 213 tytyAty +≠=
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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Non Linéaire : diode
Filtrage
SystèmeEntrée (x) Sortie (y)
x: amplitude de l’entrée
y : amplitude de la sortie
0
x1(t)=constante = -1 y1(t)=constante=0
x2(t)=constante = 1 y2(t)=constante=1
x3(t)= x1(t)+x2(t) )()(0)( 213 tytyty +≠=
Pente de 1
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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Variant Temporellement :
Filtrage
Systèmex(t) y(t)
x(t) y(t)
g(t)
)()()()()()(
)()()()(
11212
111
τττ −≠−=→−==→
tytxtgtytxtx
txtgtytx
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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)Exemple de système Variant Temporellement :
Filtrage
x(t) y(t)
g(t)
t
g(t)
t
t
x1(t)
y1(t)
x2(t)=x1(t-τ)
y2(t)
1
2
τ
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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Caractérisation d’un SLIT : Réponse fréquentielle H(f)
)( fH
f
)( fH
f
( ))( fHPhase
Filtrage
Système)2cos( 00 tfA π )2cos( 101 ϕπ +tfA
( ) )(de Phase )( 100
10 ϕ== fH
A
AfH
module phase
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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Caractérisation d’un SLIT : Réponse impulsionnelle h(t)
SLIT)(tδ )(th
h(t)
t
Filtrage
[ ])()( thTFfH =
1/∆∆
t
lim0
)(→∆
=tδ
0
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Relation entrée/sortie d’un SLIT
SLITh(t)
)(tx )(ty
)(tx
t
)(txe
t
SLITh(t)
)(tye
t
Rectangle de largeur D et de hauteur x(k.D)k.D
Réponse au rectangle de largeur D et de hauteur x(k.D): V(t-kD)
Filtrage
Invariance temporelleet linéarité
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Relation entrée/sortie d’un SLIT
∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−Π=
=+
=k
Dk
e kDtkDxhauteur
).DkD et (kentrerectkDxtx )().(
1
1 ).()(
∑+∞
−∞=
−=
ke kDtV
DDkDxty )(
1.).()(
∑+∞
−∞=
−Π=
kDe kDt
DDkDxtx )(
1.).()(
Si D tend vers 0 alors on a xe(t) qui tend vers x(t)
)(1
tD DΠ tend vers δ(t) ∑
+∞
−∞=
−≈k
e kDthDkDxty )(.).()(
)(1
tVD
tend vers h(t)
Invariance temporelleet linéarité
τττ dthxty ∫+∞
∞−
−= )().()(
Filtrage
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Relation entrée/sortie d’un SLIT
[ ] )(*)().()( thxdthxty =−= ∫+∞
∞−
τττ
)(*)()( thtxty =De façon à ne pas alourdir les notations on écrira plus simplement :
)().()( fHfXfY =On verra dans le chapitre suivant que l’on a :
Filtrage
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Propriétés de la relation de convolution
)(*)()(*)( txththtx =
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier
Associativité
Distributivité
Commutativité
[ ] [ ] [ ])(*)()(*)()(*)()( 2121 thtxthtxthtxtx +=+
[ ] [ ])(*)(*)()(*)(*)( 321321 txtxtxtxtxtx =
[ ] )().()(*)( fHfXthtxTF =
[ ] )(*)()().( fHfXthtxTF =
Filtrage
)(*)()(*)( 1221 txtxtxtx =
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Interprétation graphique de la convolution
τττ dthxty ∫+∞
∞−
−= )().()(
)(τx
τ
τ
)(τh
τ
)( 0 τ−th
τ
τττ dthx∫+∞
∞−
− )().( 0
)(ty
t
t0
Filtrage
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Notion de causalité
)(τh
Filtrage
Les systèmes physiques réels sont causaux. Cela veut dire que la sortie du système ne peut pas varier avant que l’on ait appliqué l’entrée
Avec un SLIT causal on a h(t)=0 pour t<0
Remarque : dans certains calculs théoriques nous utiliserons des filtres non causaux. C’est une liberté qui permet de simplifier les calculs mais il est bien clair que ces systèmes non causaux sont non réalisables physiquement.
Exemple: un filtre passe-bas idéal
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Notion de causalité
Filtrage
Comment rendre causal un filtre non causal ?
h(t)
t
On tronque temporellement la réponse impulsionnelle:h(t)
t
On décale temporellement la réponse impulsionnelle tronquée :h(t)
t
Imaginons que l’on veuille réaliser un SLIT avec la réponse impulsionnelle suivante:
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Rappels sur les distributions
Filtrage
Remarque : Ces rappels ne sont pas un cours sur les Distributions mais quelques notions physiques sur l’impulsion de Dirac et les propriétés associées
Soit x(t) un rectangle centré sur 0 de largeur D et de hauteur 1/D. L’aire de x(t) vaut 1.
En faisant tendre D vers 0 on a x(t) qui tend vers une impulsion baptisée impulsion de Dirac
t
)(1
tD DΠ
-D/2 D/2
1/D
D tend vers 0
t
)(tδ
0
Par convention de dessin on dessine une impulsion de Dirac comme ci dessus
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Propriétés de l’impulsion de Dirac
Filtrage
∫+∞
∞−
=1)( dttδ
TF
TF
TF
Convolution
Convolution
Convolution
Convolution
TF
Dirac.Fonction
Dirac.Fonction
Dirac .Fonction
Aire unitaire
)().0()().( txttx δδ =
)().()().( 000 tttxtttx −=− δδ
)().()().( 01001 ttttxttttx −−=−− δδ
)()(*)( txttx =δ
)()(*)( 00 ttxtttx −=− δ
)()(*)( 00 ttxtttx −=−δ
)()(*)( 0101 tttxttttx −−=−− δ
1)( =tTF δ
)(1 fTF δ=
( )00 2exp)( jftttTF πδ −=−
( ) )(2exp 00 fftjfTF −= δπ
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Rappel sur les nombres complexes
Filtrage
ginairepartie imabréellepartieajbac ==+=
aRe
Im
bc
cdu vecteur Longueur bacule de c mod 22 =+==
φφφφ
cdu vecteur Anglea
barctg phase de c φ=
=
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Rappel sur les nombres complexes
Filtrage
et )exp(. 22
=+==a
barctgbacavecjcc φφ .bjac +=
complexesdeux
cc
et 21
2121 .. cccc = )()().( 2121 cccc φφφ +=
.bjac += .* bjac −= *cc = )()( *cc φφ −=
.bjac += *2.ccc =
∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
=
nn
nn AA *
*
complexes
desAn
complexes
desAn ( )∏∏+∞
−∞=
+∞
−∞=
=
nn
nn AA *
*
)2sin(.)2cos( )2exp( )sin()cos()exp( ftjftjftjj πππϕϕϕ +=+=
1 )2exp( =jftπ
( ) )2exp( )2exp( * jftjft ππ −=
)exp( )exp().exp( baba +=
( ) ).exp(.).exp( tKKtKdt
d =
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Rappel sur les fonctions trigonom étriques
Filtrage
)cos(21)cos(2
1)sin()sin( bababa +−−=
)cos(21)cos(2
1)cos()cos( bababa ++−=
)sin(21)sin(2
1)cos()sin( bababa ++−=
)sin(21)sin(2
1)sin()cos( bababa −−+=
)sin()cos()cos()sin()sin( bababa +=+
)sin()cos()cos()sin()sin( bababa −=−
)sin()sin()cos()cos()cos( bababa −=+
)sin()sin()cos()cos()cos( bababa +=−
2))2cos(1()(cos2 aa +=2))2cos(1()(sin2 aa −=
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Rappel sur les dérivées de fonctions trigonom étriques
Filtrage
)sin()cos(
uu
u −=δδδδ
δδδδ
)cos()sin(
uu
u =δδδδ
δδδδ
)sin()cos( uduu =∫
)cos()sin( uduu −=∫
)sin(.).cos(
uku
uk −=δδδδ
δδδδ
[ ] ').('')()]([
ggfgfu
ugf ==δδδδ
δδδδ
[ ] '.'.'.)().(
gfgfgfu
uguf +==δδδδ
δδδδ
[ ]2
'.'.'/
)(/)(
ggfgf
gfu
uguf −==δδδδ
δδδδ
).cos().sin(
uku
uk =δδδδ
δδδδ
).sin(.1
).cos( ukk
duuk =∫
).cos(.1
).sin( ukk
duuk −=∫
)exp()exp(
uu
u =δδδδ
δδδδ ).exp(.).exp(
ukku
uk =δδδδ
δδδδ
CNAM ELE 103 D. Roviras 33
Rappels sur la S érie et la Transform ée de Fourier
1. Série de Fourier
2. Transform ée de Fourier
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 34SF et TF
Série de Fourier pour les signaux déterministes périodiques :
Soit x(t) un signal périodique de période T
• x(to)=x(to+T)
• x(t) est décomposable en série de Fourier c.a.d. en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de 1/T
• On a un spectre de raies
• Deux décompositions duales: somme de sinus/cosinus ou somme d’exponentielles
CNAM ELE 103 D. Roviras 35SF et TF
Décomposition en somme d’exponentielles
Forme bilatérale avec fréquences positives et négatives
= ∑+∞
−∞=
tT
njXtx
nn π2exp)(
dttT
njtx
TX
Tto
to
n ∫+
−= π2exp)(1
( ) 1: 2 −=jRappel
CNAM ELE 103 D. Roviras 36SF et TF
Décomposition en somme de sinus et cosinus
Forme mono latérale avec fréquences positives seulement
+
+= ∑+∞
=
tT
nbt
T
na
atx n
nn ππ 2sin2cos
2)(
1
0
dttT
ntx
Ta
Tto
to
n ∫+
= π2cos)(2
dttT
ntx
Tb
Tto
to
n ∫+
= π2sin)(2
CNAM ELE 103 D. Roviras 37SF et TF
Quelques propriétés des coefficients de Fourier
* )( nn XXréelletx −=⇒ ( ) jbajbaRappel −=+ *:
( ) positifnjbaX nnn pour 2
1 −=
signaldu continue composante la représente 20oa
X =
nX
n
( )nXPhase
n
En général, tend vers 0 quand n tend vers l’infininX
CNAM ELE 103 D. Roviras 38SF et TF
Résultats d’une troncature des coefficients de Four ier
1
5
3
7
21
13
9
Signal carré: 1, 3, 5, 7 et 21 harmoniques
Signal sinusoïdal redresséen simple alternance: 1, 3 et 9 harmoniques
CNAM ELE 103 D. Roviras 39SF et TF
Quelques propriétés des coefficients de Fourier
22
)(1
∑∫+∞
−∞=
+
==n
n
Tto
to
XdttxT
Puissance
Identité de Parseval :
Calcul de la puissance dans le domaine temporel et spectral :
CNAM ELE 103 D. Roviras 40SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Démonstration de l’identité de Parseval• Objectifs ?
= ∑+∞
−∞=
tT
njXtx
nn π2exp)(
dttT
njXt
T
njX
Tdttx
T
Tto
to nn
nn
Tto
to∫ ∑∑∫+ +∞
−∞=
+∞
−∞=
+
−
= ππ 2exp2exp1
)(1 *2
∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
=
nn
nn AARappel *
*
:
dttT
pnjXX
TdtX
Tdttx
T
Tto
to
p
pnpn
n
Tto
to nn
Tto
to∫ ∑∫ ∑∫+ ∞+
≠−∞=
+ ∞+
−∞=
+
−+
= π2exp11
)(1 *
,
22
Intégrale égale à 0
∑∫+∞
−∞=
+
=n
n
Tto
to
XdttxT
22)(
1
CNAM ELE 103 D. Roviras 41SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Démonstration de l’expression des coefficients X n
= ∑+∞
−∞=
tT
njXtx
nn π2exp)(
−
=
− ∑+∞
−∞=
tT
pjt
T
njXt
T
pjtx
nn πππ 2exp2exp2exp)(
∫ ∑∫+ +∞
−∞=
+
−
=
−Tto
to nn
Tto
to
dttT
pjt
T
njXdtt
T
pjtx πππ 2exp2exp2exp)(
∫ ∑∫+ +∞
−∞=
+
−
+=Tto
to nn
Tto
to
p dttT
pjt
T
njXdtX ππ 2exp2exp
Intégrale égale à 0
CNAM ELE 103 D. Roviras 42SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré
ailleurs 0et 2
D
2pour )(
+≤≤−= tD
Atx
t
0
D/2-D/2
T-T
A
=
=T
nDc
T
AD
T
nDT
nD
T
ADXn sin
sin
π
π
x
xxcDéfinition
ππ )sin(
)(sin: =
CNAM ELE 103 D. Roviras 43SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré
=
=T
nDc
T
AD
T
nDT
nD
T
ADXn sin
sin
π
π
AD/T
f01/D 2/D-1/D-2/D
( )fD
fD
T
AD
ππsin
1/T 2/T 3/T-1/T
Coefficient X1
CNAM ELE 103 D. Roviras 44SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré
Si la période tend vers l’infini Les raies spectrales deviennent infiniment serrées : spectre continu (Série de Fourier)
Si A tend vers l’infini et D vers 0 de façon à ce que A.D=1 et la période T est constante
Le signal périodique tend vers un peigne de Dirac en temporel
La représentation spectrale d’un peigne de Dirac temporel est un peigne de Dirac fréquentiel
CNAM ELE 103 D. Roviras 45SF et TF
Transform ée de Fourier :
Existence de la TF:• Fonctions de carré intégrable, signaux à énergie finie• Signaux à puissance finie• Distributions: Dirac et peigne de Dirac
( )dtjfttxfX ∫+∞
∞−
−= π2exp)()(
( )dfjftfXtx ∫+∞
∞−
= π2exp)()(
CNAM ELE 103 D. Roviras 46SF et TF
Transform ée de Fourier :
dffXdttxEnergie ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
== 22)()(
Identité de Parseval pour les signaux à énergie finie
( ) dtdfjftfXtxdttxtxdttx ∫ ∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
==
*
*22exp)()()()()( π
( ) ( ) dtdfjftfXtxdtdfjftfXtx ∫ ∫∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−=
−= ππ 2exp)()(2exp)()( **
( ) dffXdffXfXdffXdtjfttx ∫∫∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
==
−= 2** )()()()(2exp)( π
CNAM ELE 103 D. Roviras 47SF et TF
Propriétés de la Transform ée de Fourier :
Décalage fréquentiel
x(t-to)Décalage temporel
Symétrie Hermitiennex(t) réelFonction réelle
X(-f)*x(t)*Conjugaison
a.X(f)+b.Y(f)a.x(t)+b.y(t)Linéarité
X(f)x(t)
FréquentielTemporelPropriété
pairefonction )( fX
( ) impairefonction )( fXPhase
)2exp()( ojftfX π−
)2exp()( tjftx oπ )( offX −
CNAM ELE 103 D. Roviras 48SF et TF
Propriétés de la Transform ée de Fourier :
Modulation
x(t)*y(t)Convolution
x(t)y(t)Multiplication
x(-f)X(t)Symétrie
Dérivée
FréquentielTemporelPropriété
)()( * fYfX
( )njffX π2)(n
n
dt
xd
)2cos()( tftx oπ
)().( fYfX
)(2
1)(
2
1oo ffXffX ++−
CNAM ELE 103 D. Roviras 49SF et TF
Propriétés de la Transform ée de Fourier :Démonstrations :Conjugaison : changement de variableFonction réelle : changement de variableDécalage temporel : changement de variableDécalage fréquentiel : changement de variableMultiplication et convolution
( ) ( ) ( )dtjfttytxtytxTF ∫+∞
∞−
−= π2exp)(*)()(*)(
( ) ( ) ( ) ( )dtjftdtyxdtjfttytx ∫ ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−
−=−= πτττπ 2exp)()(2exp)(*)(
( ) ( ) ( )( ) ττττπττ dtyTFxddtjfttyx ∫∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−=
−−= )()(2exp)()(
( )( ) )()()2exp()()()()( fYfXdjffYxdtyTFx =−=−= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
ττπττττ
CNAM ELE 103 D. Roviras 50SF et TF
Propriétés de la Transform ée de Fourier :Démonstrations :Conjugaison : changement de variableFonction réelle : changement de variableDécalage temporel : changement de variableDécalage fréquentiel : changement de variableMultiplication et convolution
( ) ( )dtjfttxtxTF ∫+∞
∞−
−−=− πττ 2exp)()( τ−= tuposons
( ) [ ]( )duujfuxtxTF ∫+∞
∞−
+−=− τπτ 2exp)()(
( ) )2exp(.2exp)( τππ jfdujfuux −−= ∫+∞
∞−
( ) )2exp(.)( τπjftxTF −=
CNAM ELE 103 D. Roviras 51
Transform ée de Fourier usuelles (1/5)x(t)= Rectangle = )(tT∏ amplitude=1, largeur=T, centré sur 0
T.sinc(f.T)= T.[sin(π.f.T)/π.f.T]
x(t)= Triangle amplitude=1, largeur=2.T, centré sur 0
T.sinc2(f.T)
exp( . . . . )2 π j fo t δ ( )f fo−
cos( . . . )2 π fo t [ ]1
2. ( ) ( )δ δf fo f fo+ + −
1 δ ( )f
δ ( )t 1
)...2sin( tfoπ
[ ]jf fo f fo
2. ( ) ( )δ δ+ − −
SF et TF
)...2cos( 0ϕπ +tfo ).exp().(2
1).exp().(
2
100 ϕδϕδ jfofjfof −+−+
CNAM ELE 103 D. Roviras 52
Transform ée de Fourier usuelles (2/5)
SF et TF
( )( )Bt
BtBtx
ππsin
)( =1hauteur de B/2et B/2- entre
Blargeur de Rectangle X(f)
+=
( )( )
2sin
)(
=Bt
BtBtx
ππ
1hauteur de Bet B- entre
2Blargeur de Triangle X(f)
+=
CNAM ELE 103 D. Roviras 53
U(t) = Echelon unité 1
2
1
2. ( )
. . .δ πf
j f+
Signe(t) 1
j f. .π
exp(-a.t).U(t) (U(t) = Echelon unité de temps)
1
2a j f+ . . .π
exp(-a.|t|)
2
22 2
.
( . . )
a
a f+ π
exp( . )−π t 2
exp( . )−π f 2
exp( . ).cos( . . . ). ( )−a t fo t U t2 π a j f
a j f fo
++ +
. . .
( . . . ) ( . . )
2
2 22 2
ππ π
exp( . ).sin( . . . ). ( )−a t fo t U t2 π
2
2 22 2
. .
( . . . ) ( . . )
ππ π
fo
a j f fo+ +
Transform ée de Fourier usuelles (3/5)
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 54
( )1
b aa t b t U t
−− − −. exp( . ) exp( . ) . ( )
1
2 2( . . . ).( . . . )a j f b j f+ +π π
cos( . . . ). ( )2 π fo t tΠ ∆ [ ]∆∆ ∆
2. sin ( .( )) sin ( .( ))c f fo c f fo+ + −
∑+∞
−∞=nn t
T
njX )....2exp(. π X f
n
Tnn
. ( )δ −= −∞
+∞
∑
Transform ée de Fourier usuelles (4/5)
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 55
2. . ( . )A t n T ATn
Π −
−
= −∞
+∞
∑
Signal carré de largeur T/2, entre +A et -A et périodique de période T
X fn
T
A c n
A
nA
n
nn
. ( )
.sin ( / )
.
.
.
.
δ
π
π
−
=
=
= ± ±
= − ± ±
=−∞
+∞
∑
avec X
avec
X pour n pair ou nul
X pour n = 1, 5,....
X pour n = 3, 7, ....
n
n
n
n
2
02
2
A t n Tn
. ( . )Π ∆ −= −∞
+∞
∑
Signal carré de largeur ∆, entre 0 et +A et périodique de période T
X fn
T
A
Tc n T
nn
. ( )
..sin ( / )
δ −
=
=−∞
+∞
∑
avec X
n
∆∆
∑+∞
−∞=
−n
Tnt ).(δ
∑+∞
−∞=
−n T
nf
T)(.
1 δ
Transform ée de Fourier usuelles (5/5)
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 56
Exemple de calcul de TF usuelles :)(tT∏
exp( . . . . )2 π j fo t
cos( . . . )2 π fo t
δ ( )t
)...2sin( tfoπ
Rectangle =
Limite du rectangle1
signal carré périodique et passage à la limite
Peigne de Dirac temporel
Calcul classique ou limite du rectangle
Décomposition en exponentielles
Décomposition en exponentielles
Calcul par TF-1 de δ(f-fo)
Convolution de deux rectanglesx(t)= Triangle d’amplitude=1, largeur=2.T, centré sur 0
Calcul classique
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 57SF et TF
TF de signaux born és temporellement
Si x(t) est un signal borné temporellement alors sa TF s’étend de moins l’infini àplus l’infini
t
x(t)
t
ΠT(t)
fT
fTTfXfXttxtx T π
π )sin(*)()()().()( =⇒∏=
La fonction sin(πfT)/πfT s’étendant de moins l’infini à plus l’infini, le support spectral de X(f) est donc infini
CNAM ELE 103 D. Roviras 58SF et TF
Allure g énérale d ’un signal et de sa TFSi x(t) est très «pointu», sa TF sera très «étalée»
t
x(t)
f
X(f)
Si x(t) est très «étalé», sa TF sera très «pointue»
t
x(t)
f
X(f)
CNAM ELE 103 D. Roviras 59SF et TF
TF de signaux p ériodiques
Soit x(t) un signal périodique de période Tx(t) est décomposable en série de Fourier
= ∑+∞
−∞=
tT
njXtx
nn π2exp)(
Une fonction périodique présente un spectre de raies espacées de 1/T
)()(T
nfXfX
nn −= ∑
+∞
−∞=
δ
CNAM ELE 103 D. Roviras 60
SF et TF
Peigne de Dirac et échantillonnageObjectif de la numérisation d’un signal :Transformer un signal continu (défini quelque soit t et prenant une infinité de valeurs d’amplitude) en une suite de points prenant leurs valeurs dans un ensemble fini.
Signal x(t)
Bits àémettreNumérisation
Signal x(t)
Bits àémettre
Echantillonnage du signal : Fe échantillons par seconde
échantillonnage Fe Deux opérationsPour numériser
Quantificationsur n bits
Quantification : n bits par échantillon
CNAM ELE 103 D. Roviras 61
Objectif :
Rappel du théorème d’échantillonnage
Démonstration
Notion de repliement de spectre
Signal x(t)
EchantillonnageFe
x(k.Te)
à partir de x(k.Te) pouvoir revenir au signal original x(t)
Fe > 2. fmax
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 62
Signal x(t)
Echantillonnage Fe=1/Te
x(k.Te)
Peigne de Dirac et échantillonnage
Objectif : à partir de la suite de valeurs x(k.Te) pouvoir revenir au signal original x(t)
∑+∞
−∞=
−=n
e TektTekxtx ).().()( δ SLIT )(tx
Calcul du spectre de xe(t)
∑∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−=−=kkk
e TekttxTekttxTektTekxtx ).()().()().().()( δδδ
∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=
−=
kke Te
kf
TefXTektTFfXfX δδ 1
*)().(*)()(
∑+∞
−∞=
−=k
e Te
kfX
TefX
1)(
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 63
Peigne de Dirac et échantillonnage
( )∑+∞
−∞=
−=k
e FekfXTe
fX .1
)(
-B +B f
)( fX
Fe>2.B
-B +Bf
)( fXe
k=0
k=1k=-1
Fe-Fe
Fe<2.Bf
)( fXe
k=0
k=1k=-1
Fe-Fe
k=-2
-2Fe
k=2
2Fe
SF et TF
0
CNAM ELE 103 D. Roviras 64
Peigne de Dirac et échantillonnage
Recouvrement (ou repliement) de spectre si Fe<2.B avec B= bande du signal
Reconstitution de x(t) par filtrage possible si pas de repliement de spectre c.a.d. si Fe>2.B
Pour échantillonner correctement un signal de bande B, il faut que la fréquence d’échantillonnage Fe soit telle que:
Fe>2.BPassage du signal échantillonné au signal temporel : voir TD
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 65
Plus Fe est grande plus le débit est grand (Db=Fe.n)
Choix de Fe ?
Notion de Qualité de Service (QoS)
Limitation de la bande du signal transmis
Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique
Signal x(t)
EchantillonnageFe
x(k.Te)
Fe > 2. fmax
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 66
Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique
Signal x(t)
EchantillonnageFe
x(k.Te)
Fe > 2. fmax
Parole en téléphonie fixe classique fmax transmise = 3400 Hz Suffisant pour le service de téléphonie fixe Fe=8KHz, Te=125µs Bande du signal de parole : [300 Hz, 3400 Hz]
Musique sur CD audio fmax transmise = 20000 Hz Meilleure qualité de restitution du son Fe=44.1 KHz
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 67
Plus n est grand plus le débit sortant est grand (Db=Fe.n)
Choix de n ?
Lié au bruit de quantification
n petit Db faible et bruit de quantification grand
n grand Db grand et bruit de quantification faible
Notion de QoS
Quantificationx(k.Te) n bits paréchantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 68
Quantificationx(k.Te) n bits paréchantillon
Pas dequantification∆
N =2n plages de quantification
n bits par échantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
Puissance du bruit de quantification =∆∆∆∆2/12 (voir TD n°6)
CNAM ELE 103 D. Roviras 69
Exemples de quantification pour signaux de parole et de musique
Parole en téléphonie fixe classique 8 bits par échantillon Db=64 Kbps (Kilo bits par seconde) SNR de quantification de l’ordre de 35dB
Musique sur CD audio 16 bits par échantillon Db=705 Kbps
Quantificationx(k.Te) n bits paréchantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 70
Signal x(t)
Bits àémettre
EchantillonnageFe
Quantification
Db = Fe . n
Signal x(t)
DbBits àémettre
EchantillonnageFe
CANFiltreAnti
repliementn Bits paréchantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 71
Signaux à énergie finie1. Notion de corrélation
2. Densité spectrale d’énergie
SEF
Objectifs : • Dualité corrélation/spectre• Introduction de la notion de corrélation
Signal à énergie finie :
• Signaux bornés temporellement• Signaux de carré intégrable
finieValeur )(2 == ∫
+∞
∞−
dttxEnergie
CNAM ELE 103 D. Roviras 72SEF
Dualité corrélation/spectre :
• Si un signal varie lentement : ce signal est «pauvre» en hautes fréquences• Si un signal varie lentement : le signal va ressembler à une version décalée de lui-même :
x(t) ressemblera à x(t+t)
• La vitesse de variation, c’est-à-dire la richesse fréquentielle est donc liée à la notion de ressemblance
• Comment mesurer la ressemblance d’un signal avec une version décalée de lui-même ?
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Signal x1(t)
Signal x2(t)
CNAM ELE 103 D. Roviras 73
SEF
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-2
0
2
4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-2
0
2
4
630 632 634 636 638 640 642 644 646 648 650
-2
0
2
632 634 636 638 640 642 644 646 648
-2
0
2
4
x1(n) et x1(n-10)
x2(n) et x2(n-10)
)()( : )et x(t x(t)entre ceressemblan de Mesure dttxtx∫+∞
∞−
++ ττ
CNAM ELE 103 D. Roviras 74
SEF
t
x1(t)
t
x2(t)
Ressemblance entre x(t) et x(t+ττττ)Fonction de corrélation
τ
K x1(ττττ)
τ
K x2(ττττ)
Transformée de Fourier : Densité
Spectrale d’énergie
f
Sx1(f)
f
Sx2(f)
CNAM ELE 103 D. Roviras 75
SEF
Intercorrélation
Autocorrélation
Définition de la fonction de corrélation pour les signaux à énergie finie
) dtτ)(t)x(tx (τK *xx ∫
+∞
∞−
+=
) dtτ)(t)y(tx (τK *xy ∫
+∞
∞−
+=
CNAM ELE 103 D. Roviras 76
SEF
Propriétés de la fonction de corrélation
Si x(t) et y(t) sont réels, Kxx(τ) est réelle
Si x(t) est réel, Kxx(τ) est une fonction réelle et paire
Inégalité de Schwartz
Symétrie Hermitienne
IntercorrélationAutocorrélation
)() *τK(τK yxxy −=)() *
τK(τK xxxx −=
x(t)de Energie 02
== ∫+∞
∞−
dtx(t))(K xx
)0(K)(K xxxx ≤τ )0)02
(K(K)(K yyxxxy ≤τ
)(*)() * τxτx(τK xx −= )(*)() * τyτx(τK xy −=
( ) ))) ''
' (τK(τK(τKxxxxxx =−= ( ) ))) ''
' (τK(τK(τKxyyxxy =−=
Rappel de l’inégalitéde Schwartz: ∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
≤ duuBduuAduuBuA22
2
* )(.)()().( )(.)( : si égalité avec * uBkuA =
CNAM ELE 103 D. Roviras 77
SEF
Définition de la densité spectrale d’énergie
Pourquoi densité spectrale d’énergie ? :
(Parceval) )(finieValeur )(22dffXdttxEnergie ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
===
[ ] [ ] [ ])(*)()(.)()()()( ***2txtxTFtxTFtxTFfXfXfX −=−==
[ ] [ ])()(*)()( *2tKTFtxtxTFfX xx=−=
[ ])( Energied' Spectrale Densité )()(2
tKTFfXfS xxxx ===
∫+∞
∞−
−== dtjfttKfSfS xxxxx )2exp()()()( π
∫∫+
+
−
−
+=2
1
2
1
)()(f2et f1 entre Energief
f
xx
f
f
xx dffSdffS
CNAM ELE 103 D. Roviras 78
SEF
Propriétés de la Densité Spectrale d’Energie
Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire
Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)
[ ] ∫+∞
∞−
− +== dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 τπτ
∫+∞
∞−
= dffSK xxx )()0(
négativenon réellefonction ,0)( ≥fSx
Unités:Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2s et Sx(f) en V2s/Hz soit en V2s2
Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2s et Sx(f) en (Unité-arbitraire)2s2
[ ])( Energied' Spectrale Densité )()(2
tKTFfXfS xxxx ===
CNAM ELE 103 D. Roviras 79
SEF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE
x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs
0pour ))(exp(exp )0
>+−−=+= ∫∫+∞+∞
∞−
τdtτtaat)(dtτ)(t)x(tx (τK *xx
∫∫+∞+∞
−−=+−−=00
)exp(2exp))(exp(exp) dtaτat)(dtτtaat)( (τK xx
a
aτaτ
a
at(dtaτat)( (τK xx 2
)exp()exp(
2
)2exp)exp(2exp)
00
−=−
−−=−−=
+∞+∞
∫
0 si 2
)exp() <+= τ
a
aτ(τK xx
2
)exp()
a
τa(τK xx
−=
CNAM ELE 103 D. Roviras 80
SEF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE
x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs
2
)exp()
a
τa(τK xx
−= )djfexp(-2
2
)exp() ττπ∫
+∞
∞−
−=
a
τa(fSx
ττπττπ d)jf2-exp(2a
1 )djfexp(-2
2
)exp(∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−=−
= τaa
τa
−+−=−= ∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
ττπττπττπ d)jf2-exp(d)jf2-exp(2a
1d)jf2-exp(
2a
1
0
0
τaτaτa
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ][ ] =
−−+
=
−+=
+∞
∞−
∞+
∞−∫∫
0
0
0
0
jf2-
)jf2-exp(
jf2-
)jf2-exp(
2a
1d)jf2-exp(d)jf2-exp(
2a
1
πτπ
πτπττπττπ
a
a
a
aaa
[ ] [ ] ( )[ ]
+=
−−+= 22 f2
2
2a
1
jf2-
1
jf2-
1
2a
1
πππ a
a
aa
( )22 f2
1)(
π+=
afSx
CNAM ELE 103 D. Roviras 81
SEF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE
t
x(t)
0
τ
Kxx(τ)
0
1
1/2a
f
Sx(f)
0
1/a2
Vérifier les propriétés de Kxx(τ) et Sx(f)
1/a
1/(2a2)
a/(2.π)
Faire varier a,Conséquences ?
1/a
CNAM ELE 103 D. Roviras 82
Signaux à puissance finie1. Corrélation2. Densité Spectrale de Puissance3. Cas des signaux périodiques
SPF
Signal à puissance finie :
• Signaux physiquement réalisables• Signaux périodiques
finieValeur )(1
lim2/
2/
2 == ∫+
−+∞→
dttxT
PuissanceT
TT
CNAM ELE 103 D. Roviras 83
SPF
Intercorrélation
Autocorrélation
Définition de la fonction de corrélation
1
lim)2/
2/
dtτ)(t)x(txT
(τKT
T
*
Txx ∫
+
−+∞→
+=
1
lim)2/
2/
dtτ)(t)y(txT
(τKT
T
*
Txy ∫
+
−+∞→
+=
Unités:Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2
Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2
CNAM ELE 103 D. Roviras 84
SPF
Propriétés de la fonction de corrélation
Si x(t) et y(t) sont réels, Kxy(τ) est réelle
Si x(t) est réel, Kxx(τ) est réelle et paire
Inégalité de Schwartz
Symétrie Hermitienne
IntercorrélationAutocorrélation
)() *τK(τK yxxy −=)() *
τK(τK xxxx −=
x(t)de Puissance 1
lim022/
2/
== ∫+
−+∞→
dtx(t)T
)(KT
TT
xx
)0(K)(K xxxx ≤τ )0)02
(K(K)(K yyxxxy ≤τ
( ) ))) ''
' (τK(τK(τKxxxxxx =−= ( ) ))) ''
' (τK(τK(τKxyyxxy =−=
CNAM ELE 103 D. Roviras 85
SPF
Densité Spectrale de Puissance
La fonction de corrélation mesure la ressemblance de deux signaux et donc leur richesse temporelle. Par analogie avec le cas des signaux à énergie finie on définira la Densité Spectrale de Puissance comme :
[ ] ∫+∞
∞−
−== dtjfttKtKTFfS xxxxx )2exp()()()( π
∫+∞
∞−
== dffSK xxx )( x(t)de Puissance)0(
∫∫+
+
−
−
+=2
1
2
1
)()(f2et f1 entre Puissancef
f
xx
f
f
xx dffSdffS
Unités:Si x(t) est en Volts, Sx(f) est en V2/HzSi x(t) est en Unité-arbitraire, Sx(f) est en (Unité-arbitraire)2/Hz
CNAM ELE 103 D. Roviras 86
SPF
Propriétés de la Densité Spectrale de Puissance
Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)
Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire
[ ] ∫+∞
∞−
− +== dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 τπτ
∫+∞
∞−
= dffSK xxx )()0(
négativenon réellefonction ,0)( ≥fSx
CNAM ELE 103 D. Roviras 87
SPF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP
x(t)=A.cos(2πfot+φ)
oo
2/
2/
2/
2/
1/fT avec 11
lim) =+=+= ∫∫+
−
+
−+∞→
dtτ)(t)x(txT
dtτ)(t)x(txT
(τKo
o
T
T
*
o
T
T
*
Txx
))(2cos()2cos()2/
2/
2
dttftfT
A(τK
o
o
T
T
ooo
xx ∫+
−
+++= φτπφπ
)cos(2
1)cos(
2
1)cos()cos( : Rappel bababa −++=
)2cos()24cos(2
)2/
2/
2
dtftfT
A(τK
o
o
T
T
ooo
xx ∫+
−
++= τπφπ
)2cos(2
)2cos(2
)24cos(2
)22/
2/
22/
2/
2
τπτπφπ o
T
T
oo
T
T
oo
xx fA
dtfT
Adttf
T
A(τK
o
o
o
o
=++= ∫∫+
−
+
−
)2cos(2
)2
τπ oxx fA
(τK = Vérifier les propriétés de la fonction d’autocorrélation de signaux à puissance finie
CNAM ELE 103 D. Roviras 88
SPF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP
)2cos(2
)2
τπ oxx fA
(τK =
Vérifier les propriétés de la DSP de signaux à puissance finie
)(4
)(4
)2cos(2
)222
ooox ffA
ffA
fA
TF(fS −++=
= δδτπ
quelconque phase deet A amplituded' cosinusun d' Puissance : 2
)02A
(K xx =
CNAM ELE 103 D. Roviras 89SPF
x(t)=A.exp(2πjfot)
))(2exp()2exp(1
)2/
2/
22/
2/
dttjftjfT
Adtτ)(t)x(tx
T(τK
o
o
o
o
T
T
ooo
T
T
*
oxx ∫∫
+
−
+
−
+−=+= τππ
Autre exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP
)2exp( )2exp()2
2/
2/
2
τπτπ o
T
T
oo
xx jfAdtjfT
A(τK
o
o
== ∫+
−
)2exp()2 τπ oxx jfA(τK = )()
2
ox ffA(fS −= δ
Application aux signaux périodiques
CNAM ELE 103 D. Roviras 90SPF
Fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques
période T avec 2exp)( =
= ∑+∞
−∞=
tT
njXtx
nn π
= ∑+∞
−∞=
τπτT
njXK
nnxx 2exp)(
2
−= ∑+∞
−∞= T
nfXfS
nnx δ2
)(
Vérifier qu’en intégrant Sx(f) on retrouve Parseval, ou bien que la fonction d’autocorrélationen zéro est bien la puissance
La fonction d’autocorrélation d’un signal périodique est périodique de même période
La densité spectrale de puissance d’un signal périodique est un spectre de raies espacées de k/T
CNAM ELE 103 D. Roviras 91SPF
Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques
∑+∞
−∞=
−==n
T Tnttxtx ).(*)(T période de périodique Signal )( δ
dtτ)(t)x(txT
dtτ)(t)x(txT
dtτ)(t)x(txT
K *T
T
T
*T
T
T
*xx ∫∫∫
+∞
∞−
+
−
+
−
+=+=+= 111 )(
2/
2/
2/
2/
τ
)()()( avec ttxtx TT Π=
-tu avec 11
)( =−−=+= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
duu)u)x(τ(xT
dtτ)(t)x(txT
K *T
*Txx τ
[ ] )()(*)(*1
)()(*1
)( τδττ =
−−==−= ∑
+∞=
−∞=
ukTuuxu)(xT
uuxu)(xT
Kk
kT
*T
*Txx
)()(*)(1
)()(*)(*1
)( τδτδτ =
−==
−−= ∑∑+∞=
−∞=
+∞=
−∞=
ukTuuKT
ukTuuxu)(xT
Kk
kx
k
kT
*Txx T
∑+∞=
−∞=
−=k
kxxx kTK
TK
T)(*)(
1)( τδττ ∑
+∞=
−∞=
−=k
kxx T
kffS
TfS
T)().(
1)(
2δ
CNAM ELE 103 D. Roviras 92SPF
Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques
∑+∞=
−∞=
−=k
kxxx kTK
TK
T)(*)(
1)( τδττ ∑
+∞=
−∞=
−=k
kxx T
kffS
TfS
T)().(
1)(
2δ
0 T t
xT(t)
0 T t
x(t)
0 T ττττ
KxT(ττττ)
0 T ττττ
Kx(ττττ)
-T
-T
0 f
SxT(f)
0 f
Sx(f)
1/T-1/T-T
TF
TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 93
Introduction aux probabilités
1. Propriétés générales2. Variables Aléatoires (VA) discrètes et continues 3. Moments d’une variable aléatoire4. VA multi dimensionnelles5. Changement de variable6. Théorème de la limite centrale
Probabilités
CNAM ELE 103 D. Roviras 94
Propriétés générales
Probabilités
Notion de probabilité:Tirage d’un dé à six faces :
tiragesde totalNombre
4 avec tiragesNombrelimProba(4)
tiragesde nombre ∞→=
Probabilité : Ensemble des résultats de l’expérience aléatoire : ΣΣΣΣΩ Ω Ω Ω = partition de l’ensemble ΣΣΣΣProbabilité : Application deΩ Ω Ω Ω vers l’ensemble [0,1][0,1][0,1][0,1]
Tirage d’un dé à six faces :
ΣΣΣΣ=1,2,3,4,5,6 ΩΩΩΩ [0,1]Calculer P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6)Calculer P(1,2,3) = P(tirage = 1 ou 2 ou 3)
CNAM ELE 103 D. Roviras 95
Propriétés générales
Probabilités
Propriétés:
( ) ( ) 0 videEnsemble 1 ==Σ PP
( ) )(1 APAP −=( ) 10 ≤≤ AP
( ) )()()()( BAPBPAPAouBPBAP IU −+==
Exemple : Tirage d’un dé à six faces
Calculer Proba(tirage = 1 ou2 ou 2 ou 3 ou5 = Proba(1,2 U 2,3,5)Calculer Proba(tirage = nombre pair)Calculer Proba(tirage = nombre entier)Calculer Proba(tirage = nombre premier)Calculer Proba(tirage >3)Calculer Proba(tirage<10)
1)( : aon ,....,, : Avec1
21 ==∑ ∑=
N
iiN aPaaa
CNAM ELE 103 D. Roviras 96
Propriétés générales : probabilités conditionnelles
Probabilités
( ) )()/(/ APABPP(B)BAPB)P(A ==I
Σ, Σ, Σ, Σ, P(Σ)=1(Σ)=1(Σ)=1(Σ)=1
A, P(A)
B, P(B)
BAI
CNAM ELE 103 D. Roviras 97
Propriétés générales : probabilités conditionnelles
ΣΣΣΣ
AB)(
)()
)(
)()
Σ=
Σ=
SurfaceBSurface
P(B
SurfaceASurface
P(A BA∩
A vérifiéB
)(
)(.
)(
)(
)(
)()
)(
)()/
Σ∩=
Σ∩=∩
∩=
SurfaceASurface
ASurfaceBASurface
SurfaceBASurface
BP(A
ASurfaceBASurface
AP(B
)(/)/) APAP(BBP(A =∩
CNAM ELE 103 D. Roviras 98
Propriétés générales : formule des probabilités tot ales
Probabilités et évènements disjoints et complets:
Plus généralement, si les évènements Ai sont disjoints et complets :
( ) B)AP(BAPP(B) II +=
Probabilités
A
AB
B A I BA I
( ) )(/)(/ A)PAP(BAPABPP(B) +=
U
I
N
i
Ai
jisivideAjAi
1
=
Σ=
≠=( )∑
=
=N
i
AiPAiBPP(B)1
)(/
CNAM ELE 103 D. Roviras 99
Propriétés générales : R ègle de Bayes
Probabilités conditionnelles:
Exemple : Transmission de 0 et de 1 à travers un canal de transmissionEmission : P(0)=0.9 P(1)=0.1
Canal binaire symétriquep = Probabilité de ne pas faire une erreur1-p = Probabilité d’erreur = 0.1
Calculer P(0 reçu/1 émis)= P(détecter 0/1émis)Calculer P(1 reçu/ 1 émis)Calculer P(0 émis/ 1 reçu)Calculer P(1 émis/ 1 reçu)
Calculer P(0 émis/ 0 reçu) et P(1 émis/ 0 reçu)
( ) P(A/B)P(B)P(A)B/APA)P(B ==I
Probabilités conditionnellesrègle de Bayes :
0
1
0
1
p
p1-p
Probabilités
( ) )(
)()/(/
BP
APABPBAP =
CNAM ELE 103 D. Roviras 100
Propriétés générales : formule de Bayes
Autre exemple : sondage avec 3 tranches d’âge : Les tranches d’âge:TR1 âge <30 ans, proba(TR1)=30%TR2 30 ans<âge <50 ans, proba(TR2)=50%TR3 50 ans <âge, proba(TR3)=20%
Le sondage : choix d’un CD parmi 3
Calculer Proba(choisir CD1/tranche âge = TR1)=P(CD1/TR1)Calculer P(CD3/TR2)Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD1 choisi) = P(TR2/CD1)Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD2 choisi) = P(TR2/CD2)Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD3 choisi) = P(TR2/CD3)Calculer P(être dans la tranche TR1/ CD3 choisi) = P(TR1/CD3)
Probabilités
70205CD3
205015CD2
103080CD1
TR3TR2TR1
CNAM ELE 103 D. Roviras 101
Propriétés générales : formule de Bayes
Probabilités
(30%) TR1
(50%) TR2
(20%) TR3
CD1
CD2
CD3
0.8
0.5
0.15
0.05
0.3
0.20.1
0.7
0.2
P(CD1/TR1) = 0.8 (donné par l’énoncé)P(CD3/TR2) = 0.2 (donné par l ’énoncé)
( )
( ) 0.365941.0
5.0 . 3.0 1/2
41.02.0.1.05.0.3.03.0.8.0)()/1(P(CD1)
)1(
5.0 . 3.0
)1(
)2()2/1(1/2
3
1 totales)tés(Probabili
)(
==
=++==
==
∑=
CDTRP
TRiPTRiCDP
CDPCDP
TRPTRCDPCDTRP
i
Bayes
CNAM ELE 103 D. Roviras 102
Propriétés générales : formule de Bayes
Probabilités
( )
( ) 0.7463335.0
5.0 . 5.0 2/2
335.02.0.2.05.0.5.03.0.15.0)()/2(P(CD2)
)2(
5.0 . 5.0
)2(
)2()2/2(2/2
3
1 totales)tés(Probabili
)(
==
=++==
==
∑=
CDTRP
TRiPTRiCDP
CDPCDP
TRPTRCDPCDTRP
i
Bayes
( )
( ) 0.3922255.0
5.0 . 2.0 3/2
255.02.0.7.05.0.2.03.0.05.0)()/3(P(CD3)
)3(
5.0 . 2.0
)3(
)2()2/3(3/2
3
1 totales)tés(Probabili
)(
==
=++==
==
∑=
CDTRP
TRiPTRiCDP
CDPCDP
TRPTRCDPCDTRP
i
Bayes
5.0255.0.3922.0335.0.7463.041.0.3659.0)()/2(P(TR2)
: queier peut vérifOn 3
1 totales)tés(Probabili
=++== ∑=i
CDiPCDiTRP
( ) 0.0588 255.0
3.0 . 05.0
)3(
)1()1/3(3/1
)(===
CDP
TRPTRCDPCDTRP
Bayes
CNAM ELE 103 D. Roviras 103
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Variable aléatoire :Résultat d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire sera notée dans le cours par une majuscule.
• Une VA est dite discrète si elle prend un nombre fini de valeursPar exemple suite des valeurs de la face d’un tirage de dé
• Une VA est dite continue si elle prend un nombre infini de valeursPar exemple, une tension continue perturbée par un bruit
Si Vo=1V on aura la suite de valeurs qui sera: …., 1.002, 0.958, 1.41, 0.9954, ….
Vo+
n(t)
x(t) Suite de valeursVA : X
CNAM ELE 103 D. Roviras 104
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Caractérisation des VA :
• VA discrète : Probabilité des différentes valeurs prises par la VA
• VA continue : Proba(X=1.025083947)=0La notion de probabilité d’apparition d’une valeur n’a pas de sens…
On introduit la notion de fonction de répartition et de densité de probabilité
Fonction de répartition de la VA X :
• C’est une fonction notée FX(u)
• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1
•
)()( ooX uXPuF <=
0=∞− )(FX1=∞+ )(FX
CNAM ELE 103 D. Roviras 105
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple de fonction de répartition de la VA X :
X est définie par la suite de valeurs d’un tirage de dé à six faces
Tracer la fonction de répartition de la VA X
Exemple de fonction de répartition de la VA X :
X est définie par la suite de valeurs de l’expérience suivante:• Tirage 1er dé : v1• Tirage 2èmedé : v2• Valeurs de X : v1+v2
Tracer la fonction de répartition de la VA X
Sur les deux exemples précédents, vérifier les propriétés de la fonction de répartitionProgramme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 106
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Répartition des familles selon le nombre d'enfants
Pas d’enfant 1 enfant 2 enfants 3 enfants
4 enfants ou plus
Un homme - actif
occupé 18 262 104 367 45 888 13 878 4 278 186 673 - autre 58 693 32 621 9 414 3 273 2 024 106 025Une femme
- activeoccupée 81 176 499 239 259 611 70 433 17 578 928 037 - autre 332 807 223 046 118 586 56 359 33 066 763 864
Deux actifsoccupés 1 911 611 1 754 773 1 856 785 569 551 114 582 6 207 302Un seul actifoccupé - l’homme 803 818 617 879 737 205 437 348 204 825 2 801 075 - la femme 577 933 187 951 114 714 43 240 17 790 941 628Pas d’actifsoccupés 3 708 032 195 983 113 056 73 897 71 210 4 162 178Total 7 492 332 3 615 859 3 255 259 1 267 979 465 353 16 096 782
champ : France métropolitainesource : Insee, recensement 1999.
Un homme et une femme
Nombre d’enfants
TotalUn seul adulte
Tracer la fonction de répartition de la VA X qui est le nombre d’enfants d’un couple d’actifs tous deux occupés
CNAM ELE 103 D. Roviras 107
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Propriétés de la Fonction de répartition d’une VA :
•
• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1
•
•
)()( ooX uXPuF <=
0=∞− )(FX 1=∞+ )(FX
( ) )()( 0110 xFxFxXxP XX −=<≤
CNAM ELE 103 D. Roviras 108
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
FX(u)1
u
X : VA continue
x1 x2 x5x3 x4
FX(u)1
u
X : VA discrète
CNAM ELE 103 D. Roviras 109
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Notion de densité de probabilité :
dxx
xFuXPuF
ou
XooX ∫
∞−
=<=δ
δ )()()(
[ ] )()()()( oXXoXo
X uFFuFu
xF =−∞−=∞−
=
La dérivée de la fonction de répartition s’appelle la densité de probabilité :
δx
(x)δF(x)p X
X =
CNAM ELE 103 D. Roviras 110
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Propriétés de la densité de probabilité :
•
• pX(x) est une fonction positive ou nulle
•
•
•
δx
(x)δF(x)p X
X =
∫+∞
∞−
=1(x)dxpX
)()( oX
u
Xo uF(x)dxpuXPo
==< ∫∞−
( ) )()( 0110
1
0
xFxF(x)dxpxXxP XX
x
x
X −==<≤ ∫
pX(u)
u
X : VA continue
pX(u)
u
X : VA discrète
x1 x2 x3
CNAM ELE 103 D. Roviras 111
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple de densité de probabilité de VA :X est uniformément répartie entre -1 et +1. Cela veut dire que la probabilité est identique quelque soit x sur -1/+1Calculer la densité de probabilité de cette VA continue• Tracer la densité de probabilité• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA X• Calculer P(0<X<0.5)• Calculer P(X=0.5)
Exemple de densité de probabilité de VA :X est uniformément répartie entre -1 et +1Y est uniformément répartie entre -1 et +1Z=X+Y• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA Z• Calculer la densité de probabilité de la VA continue Z• Tracer la densité de probabilité• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité
Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 112
Exemple de VA continue
Probabilités
Loi Normale ou Gaussienne :
La loi normale est caractérisée par une densité de probabilité symétrique en forme de « cloche » :
pX(u)
uuo
−−=2
2
2
)(exp
2
1
σσπo
X
uu(u)p
uo=moyenneσσσσ = écart typeσσσσ2 = variance
CNAM ELE 103 D. Roviras 113
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
-5 0 5 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Signal 1 (b), Signal 2 (r)
Signal 1
Signal 2
Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et d’écart type sigma = 1
Signal 2 : Gaussienne de moyenne 1 et d’écart type sigma = 2
Densité de probabilité de deux fonctions Gaussiennes
Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss
CNAM ELE 103 D. Roviras 114
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et d’écart type sigma = 1
Signal 2 : Gaussienne de moyenne 10 et d’écart type sigma = 2
Tracé temporel des deux signaux suivant une loi Gaussienne
Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss
0 500 1000 1500 2000 2500-5
0
5
10
15
20Tracé temporel Signal 1 (b), Signal 2 (r)
Signal 2
Signal 1
CNAM ELE 103 D. Roviras 115
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
( )du
uuduupSXP o
SS X
−−==> ∫∫∞+∞+
2
2
2exp
2
1)()(
σσπ
σσπ
σ
σ.
2exp
2
1)(
: variablede Changement
2
dvv
SXP
uuv
ouS
o
−=>
−=
∫∞+−
−=
−=> ∫∞+
− σπσ
ouS
uSQdv
vSXP
o 2exp
2
1)(
2
Pas de primitive:Table
Loi Normale ou Gaussienne
CNAM ELE 103 D. Roviras 116
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Loi Normale réduite
p z z
Q z p u duz
( ).
exp
( ) ( ).
= − ⋅
=+∞
∫
1
2
1
22
π
0 2 4 6 7 z
Q(z)
2.27 e-2
3.17 e-5
1.28 e-12
9.87 e-10
Loi Normale ou Gaussienne
CNAM ELE 103 D. Roviras 117
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Loi Normale réduite ∫+∞
⋅−=z
duuzQ .2
1exp
.2
1)( 2
π
u0 z
Q(z) (voir table de la fonction Q(z))z>0
u0z
Q(z) (non tabulée)z<0
)(1.2
1exp
.2
11
.2
1exp
.2
11.
2
1exp
.2
1)(
2
22
zQduu
duuduuzQ
z
z
z
−−=
⋅−−=
=
⋅−−=
⋅−=
∫
∫∫∞+
−
∞−
+∞
π
ππ
CNAM ELE 103 D. Roviras 118
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Relations entre Q(z) et erfc(z)
duuzQz
.2
1exp.
.2
1)( 2
∫+∞
⋅−=π
( )dvvzerfcz
.exp.2
)( 2∫
+∞
−=π
=2
.2
1)(
zerfczQ
Loi Normale ou Gaussienne
CNAM ELE 103 D. Roviras 119
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Histogramme et estimation de la densité de probabilité :
Soit une suite finie de points issus de la réalisation d’une VA X
• Xmin=valeur minimale de la suite de valeurs• Xmax=valeur maximale de la suite de valeurs
• On partage le segment [Xmin, Xmax] en C classes équidistantes• On compte le nombre de valeurs dans chaque classe• On a une estimation de la densité de probabilité
,....,, 21 NxxxSuite=
∆≈<≤≈= ++ ).()(
valeursde totalNombre
Vet V entre Valeurs
points de totalNombre
classe la dans points de Nombre1
1iiXii
i VpVXVP
Avec ∆ = largeur d’une classe = (Xmax-Xmin)/C
CNAM ELE 103 D. Roviras 120
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Histogramme et estimation de la densité de probabilité :
1 2 3 4 5 ………………………………………. NXmin
Xmax
C2
C3
C1
CNAM ELE 103 D. Roviras 121
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 5 classes
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
5
10
15
20
25
30
35Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 100 classes
Trop peu de points pour l’estimation de la densité de probabilité
Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 122
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :
Trop peu de classes pour l’estimation de la densité de probabilité
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7x 10
4Histogramme d'une Gaussienne avec 100000 points et 5 classes
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000Histogramme d'une Gaussienne avec 100000 points et 100 classes
Estimation correcte de la densité de probabilité
Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 123
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moyenne d’une variable aléatoire discrète :
Petit Jeu :Pendant 50% du temps je gagne 1€Pendant 50% du temps je gagne -1.5€ (en fait c’est une perte de 1.5€)Combien vais-je gagner en moyenne ?
Solution du petit Jeu :Combien vais-je gagner en moyenne : 0.5 x 1€ + 0.5 x (-1.5€) = -0.25€
)( associées ésprobabilit les avec ,....,,: 21 iN xPxxxXVA
∑=
====N
iiiX xPxµXEXdeEspéranceXdeMoyenne
1
)()(
CNAM ELE 103 D. Roviras 124
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moyenne d’une variable aléatoire continue :
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)
Cette expression est aussi applicable aux VA discrètes
L’espérance d’une VA est encore appelé moment d’ordre 1 de la VA
∫+∞
∞−
=== duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(
∫+∞
∞−
== duupuXEkordredMoment Xkk )(.)( '
CNAM ELE 103 D. Roviras 125
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moments d’une fonction de VA :
Petit Jeu :Pendant 50% du temps je gagne 1€ et je les place avec un bonus de 10%Pendant 50% du temps je gagne 0.1€ et je les place avec un bonus de 10%Combien vais-je gagner en moyenne après placement?
1€ avec un bonus de 10% = bonus(1€) = 1.1€0.1€ avec un bonus de 10% = bonus(0.1€) = 0.11€Je gagne en moyenne après placement : 0.5 x 1.1€ + 0.5 x 0.11€
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)Soit Y=f(X) une nouvelle VA
( ) ∫+∞
∞−
== duupufXfEYE X )().()( )(
CNAM ELE 103 D. Roviras 126
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moments d’une fonction de VA :
Petit Jeu :Dans 50% des recherches je trouve 1000g d’or qui me sont payés à 1€/gramme Dans 50% des recherches je trouve 100g d’or qui me sont payés à 1€/grammeCombien vais-je gagner en moyenne pour chaque recherche ?
1000g à 1€/g = 1000€100g à 1€/g = 100€Je gagne en moyenne pour chaque recherche : 0.5 x 1000€ + 0.5 x 100€ = 550€
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)Soit Y=f(X) une nouvelle VA
( ) ∫+∞
∞−
== duupufXfEYE X )().()( )(
CNAM ELE 103 D. Roviras 127
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moments d’une fonction de VA :
Petit Jeu :Dans 90% des recherches je trouve un diamant de 1 carat que je peux vendre à 1€/carat Dans 10% des recherches je trouve un diamant de 100 carat que je peux vendre à100€/carat Combien vais-je gagner en moyenne pour chaque recherche ?
1 carat à 1€/carat = 1€100 carats à 100€/carat = 10000€Je gagne en moyenne pour chaque recherche : 0.9 x 1€ + 0.1 x 10000€ = 1000.9€
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)Soit Y=f(X) une nouvelle VA
( ) ∫+∞
∞−
== duupufXfEYE X )().()( )(
CNAM ELE 103 D. Roviras 128
Exemple
Probabilités
Le Taux d’Erreur de Bit (TEB) lorsque le gain du canal est de 1 est donné par l’expression suivante:
• SNR est le rapport Signal sur Bruit (Ps/Pn) en émission,
•
• Le Taux d’Erreur de Bit (TEB) lorsque le gain du canal est de g est donné par l’expression suivante:
( ) .1)1( 2
== SNRQgainTEB
duu
zQz∫
+∞
−=
2exp
2
1)(
2
π
( ) .)( 2
== SNRgQggainTEB
CNAM ELE 103 D. Roviras 129Probabilités
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Fonction Q(z)
Exemple Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss
CNAM ELE 103 D. Roviras 130Probabilités
Exemple :• g est une VA discrète qui prend trois valeurs : 0.5, 1 et 2• P(g=0.5)=0.25, P(g=1)=0.5, P(g=2)=0.25• Calculer le TEB pour g égal à une constante de 1 et un SNR de 5dB• Calculer le TEB pour g qui suit la loi de la VA discrète et un SNR de 5dB
( ) ( ) ( ) 0377.077.1162.3 .1)1( 2 ===
== QQSNRQgTEB lin
SNRdB=5dB SNRlin=3.162
Exemple
=
=
10
10
10
)(log10
dBSNR
lin
lindB
SNR
SNRSNR Exemple :SNRlin=100 SNRdB=20dBSNRdB=35dB SNRlin=3162.3
CNAM ELE 103 D. Roviras 131Probabilités
( ) ( )( ) 187.08891.0
162.3 . 25.0 .5.0)5.0( 2
==
=
==
Q
QSNRQgTEB lin
SNRdB=5dB SNRlin=3.162 g=0.5
( ) ( )( ) 4
2
10 87.155.3
162.3 . 4 .2)2(
−==
=
==
Q
QSNRQgTEB lin
SNRdB=5dB SNRlin=3.162 g=2
( ) ( )
0653.0)10 87.1(25.0)0377.0(5.0)187.0(25.0
)().()()() variable(
4
3
1
=++=
===
−=∑i
ii gTEBgPgfonctionEgTEBEgTEB
SNRdB=5dB SNRlin=3.162 g = VA discrète
Exemple
CNAM ELE 103 D. Roviras 132Probabilités
Exemple
g est une VA discrète qui prend trois valeurs : 0.5, 1 et 2P(g=0.5)=0.25, P(g=1)=0.5, P(g=2)=0.25
Programme Matlab : ELE103_Illustration_TEB_Canal_gain_variable
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-4
10-3
10-2
10-1
100
TEB avec canal g=1 (b) et canal avec g variable (r)
Gain constant de 1
Gain variable
CNAM ELE 103 D. Roviras 133
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moments principaux d’une VA :
∫+∞
∞−
=== duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(
VariancetypeEcart X == σ
( )( ) ( )( )222 )( XX µXEXEXEVariance −=−== σ
( )( ) ( ) ( )2222 )()( XEXEXEXEX −=−=σ
CNAM ELE 103 D. Roviras 134
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Sens physique des moments d’une VA :
E(X)=µX : Valeur moyenne = composante continue
[E(X)] 2=µX2 : Puissance de la composante continue
E(X2) : Puissance totale du signal
X-E(X) : Fluctuations autour de la composante continue
σσσσX2 = E([X-E(X)]2 ) : Puissance des fluctuations
E(X2)= µX2 + σσσσX
2 = P(composante continue)+P(fluctuations)
CNAM ELE 103 D. Roviras 135
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Variable aléatoire à plusieurs dimensions (encore appelévecteur de VA):Résultat dépendant de plusieurs caractères aléatoires.
Exemple de VA discrète à deux dimensions:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’un dé à six facesX2 : tirage d’une pièce en pile ou face
Exemple de VA continue à deux dimensions:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tailleX2 : poids
CNAM ELE 103 D. Roviras 136
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Caractérisation d’une VA multidimensionnelle:• Fonction de répartition
• Densité de probabilité
• PropriétésFX1,..,Xn(u1,…,un) : fonction non décroissante et positive ou nulle
pX1,…,Xn(u1,…,un) : fonction positive ou nulle
( ) ),....,(,...., 111,..,1 nnnXnX uXuXPuuF <<=
( ) ( )nXnXn
n
nXnX uuFuuu
uup ,....,...
,...., 1,...,121
1,...,1 ∂∂∂∂=
( ) ( ) 1,...., 0,...., ,...,1,...,1 =+∞∞+=−∞∞− XnXXnX FF
CNAM ELE 103 D. Roviras 137
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)X2 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)
1/41/2
1/2
1
0 1
0
1
Fonction de répartition :
Densité de probabilité :
0 10
1X1
X2
CNAM ELE 103 D. Roviras 138
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’un dé à six facesX2 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)
Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’un dé à six facesX2 : somme du tirage du premier dé et d’un second dé
Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 139
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Uniformément répartie entre +1 et -1
Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Somme de X1 et d’une autre Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 140
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Uniformément répartie entre +1 et -1
0
20
40
60
80
100
020
4060
80100
0
200
400
600
Histogramme VA multidimensionnelle
Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 141
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
020
4060
80100
0
50
1000
500
1000
1500
2000
Histogramme VA multidimensionnelle
Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 142
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Somme de X1 et d’une autre Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
020
4060
80100
0
50
1000
500
1000
1500
2000
2500
Histogramme VA multidimensionnelle
Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 143
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Somme de X1 et d’une VA uniformément répartie entre +1 et -1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
20
40
60
80
100
0
500
1000
1500
2000
2500 Histogramme VA multidimensionnelle
Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 144
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
20
40
60
80
100
0
500
1000
1500 Histogramme VA multidimensionnelle
Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
=
)1,3(
)1,3(bien ou
)1,0(
)1,0(
2
1
N
N
N
N
X
X
CNAM ELE 103 D. Roviras 145
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Lois de probabilités marginales :
( ) ( )2121
2
212,1 ,, uuFxx
uup XXX ∂∂∂=
( ) ( )∫+∞
∞−
= 2212,111 , duuupup XXX
( ) ( )∫+∞
∞−
= 1212,122 , duuupup XXX
( ) ∑=
=n
iiXXX uuPup
112,111 ),(
( ) ∑=
=m
jjXXX uuPup
122,122 ),(
VA continues VA discrètes
CNAM ELE 103 D. Roviras 146
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Moments de VA multidimensionnelle, cas général :
Corrélation statistique:
Covariance :
Coefficient de corrélation :
[ ] ∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
= nnXnXnn duduuupuufXXXfE ...),...,().,...,(....),...,,( 11121 1
[ ] ∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
== 212121 ),(... duduuupuuYXERxy XY
( )( )[ ] ( )( )∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
−−=−−= 212121 ),(... duduuupµuµuµYµXEC XYYXYXXY
YXXY
Cxy
σσρ =
CNAM ELE 103 D. Roviras 147
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Propriétés :
)(.)(.)( YEbXEabYaXE +=+
YXXYXY µµCR +=
XYYXYX C.2222 ++=+ σσσ
CNAM ELE 103 D. Roviras 148
Indépendance de Variables aléatoires
Probabilités
Deux variables aléatoires sont dites indépendantes si la connaissance d’une VA n’apporte rien sur l’autre VAPour des VA indépendantes on a :
)().(),( 2121 upupuup YXXY =
YXXY µµYEXEYXER === )().().(
0=XYC
222YXYX σσσ +=+
CNAM ELE 103 D. Roviras 149
Changement de variables
Probabilités
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u) alors la VA continue Y=f(X) a une densité de probabilité donnée par :
Soit (X1,X2,…,Xn) un vecteur de VA continue caractérisé par sa densité de probabilité pX1X2…Xn(u1,u2,…un), alors le vecteur de VA continue (Y1,Y2,…,Yn)=f(X1,X2,…,Xn) a une densité de probabilité donnée par :
[ ] [ ])()( 11 )(. )(.)(
vfuXvfuXY upY
XupJvp −− == ∂
∂==
[ ] ),...,1(,..,1..1 1),...,1(.),...,1( vnvfunuXnXY unupJvnvp −==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
Yn
Xn
Y
Xn
Yn
X
Y
X
J
...1
::
1...
1
1
detAttention : ne pas oublier de prendre la valeur absolue du Jacobien !
CNAM ELE 103 D. Roviras 150Probabilités
Exemples :
• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de 2.X+3
• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X2 et de X3
• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes et uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X1.X2
• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u) et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2
Changement de variables
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 151Probabilités
Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X2
Changement de variables, Exemple, pdf de Y=X 2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
≤≤=
=+==−+=⇒=→
==⇒=∂∂
⇒==⇒=
∂∂==
−+==
==
−
−−
ailleurs 0
10pour 1
5.0)(
12/12/1 )( )(
et
15.0
15.0
15.0
)(. )(.)(
et )(
2
2/12/12/12
)()(
1
11
vvvp
upup
vvuuvu
vvJ
YY
XYYXXY
upY
XupJvp
Y
vvuXvfuX
vfuXvfuXY
CNAM ELE 103 D. Roviras 152Probabilités
Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u) et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2
Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2
[ ] [ ]
1110
11det
2
2
1
22
1
1
1
det
),(.
2
2
1
22
1
1
1
det ),(.),(
21
1
2
1
2
1
2
1
12
1
2
1
21
1
2
1
2
1
),(),(2121),(),(2121212121
12121
121
==
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
−=
⇒
+=
→
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==
+=
=
→
−− ==
Y
X
Y
XY
X
Y
X
J
vv
v
u
u
uu
u
v
v
u
u
uup
Y
X
Y
XY
X
Y
X
uupJvvp
XX
X
X
Xf
Y
Y
X
X
vvfuuXXvvfuuXXYY
CNAM ELE 103 D. Roviras 153Probabilités
Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u) et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2
Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2
( ) ( )
( ) ( )
)(*)()(
)().(),(
,)(
, : marginales ésProbabilit
)().(),( : aon tesindépendanétant X2et X1
),( ),(.1),(
2121
112211112121
1212,122221
1212,122
1221112121
12121121212121
vpvpvp
dvvvpvpdvvvvp
dvvvpvpvp
dvvvpvp
vvpvpvvvp
vvvpvvvpvvp
XXXX
XXXX
YYYXX
YYY
XXXX
XXXXYY
=
⇒−=−=
===
=
−=−−=−=
+
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−+
∞+
∞−
∫∫
∫
∫
CNAM ELE 103 D. Roviras 154Probabilités
Si X1 et X2 sont deux VA indépendantescaractérisées par pX1(u) et pX2(v), alors la densité de probabilité de la somme de ces deux VA est égale à la convolution des deux densités de probabilité
Densité de probabilité d’une somme de VA indépendantes
)(*)()( 2121 vpvpvp XXXX =+
CNAM ELE 103 D. Roviras 155Probabilités
Changement de variables
X une VA continue uniformément répartie entre [-1 ,+1] et Y= 2.X+3
-6 -4 -2 0 2 4 60
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme VA X et Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Y=2.X+3
X = VA continue uniformément répartie entre [-1, +1] et Y= X2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
4 Histogramme VA X et Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Y=X.X
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 156Probabilités
Changement de variables
X = VA continue uniformément répartie entre [-1, +1] et Y= X3
X et Y= VA continue uniformément répartie entre [-1, +1] et Z= X.Y
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18x 10
4 Histogramme VA X et Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Y=X.X.X
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
4 Histogramme VA X et Z=X.Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Z=X.Y
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 157Probabilités
Changement de variables
X1, X2, X3, VA continues indépendantes uniformément réparties entre [-1, +1] et Z=X1+X2+X3
X1, X2, VA continues indépendantes uniformément réparties entre [-1, +1] et Z=X1+X2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme VA X et Z=X+Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Z=X+Y
-3 -2 -1 0 1 2 30
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme VA X1 et Z=X1+X2+X3
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Z=X1+X2+X3
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 158
Théorème de la limite centrale
Probabilités
La distribution statistique de la somme de n VA indépendantes et de même loi tend vers la loi Normale quand n tend vers l’infini
• Illustration de la tendance vers la loi normale avec Matlab: ELE103_Illustrtion_limite_centrale.m
Les bruits physiques sont souvent Gaussiens à cause du théorème de la limite centrale
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 159
Théorème de la limite centrale
Probabilités
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2
-1
0
1
2
3Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants (b) et signal individuel (r)
Signaux indépendants et uniformément répartis entre -0.5 et +0.5Somme de N=10 signaux (bleu)
-6 -4 -2 0 2 4 60
2000
4000
6000
8000
10000
12000Histogramme de la somme des N signaux indépendants
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 160
Théorème de la limite centrale
Probabilités
Signaux indépendants avec fréquence et phase aléatoireSomme de N=10 signaux (bleu)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000Histogramme de la somme des N signaux indépendants
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 161
Théorème de la limite centrale
Probabilités
Signaux indépendants avec suite de +1 et -1 aléatoiresSomme de N=10 signaux (bleu)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme de la somme des N signaux indépendants
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m