STABILITÉ
Corrigé d’exe
Exercice 6.6.11 On connaît la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système dont on veutconnaître le comportement en boucle fermée.
)1,01()2,01()25,01()5,01(125,01
)( 0s sssssksG
+++++=
A Dessiner le lieu des pôles du système en boucle fermée.B Calculer la valeur de k0 qui amène en limite de stabilité le système en boucle fermée.
Corrigé 6.6.11 A On exprime la fonction de transfert en boucle ouverte sous forme factoriséed’Evans :
)10()5()4()2(8
50)( 0s sssssksG
+++++
= (1pt)
Pôles : –2 ; –4 ; –5 ;–10 Zéros : –8 facteur d’Evans : 50 k0 (2pts)Portions d’axe réel appartenant au lieu des pôles : ]–∞ –10] [–8 –5] [–4 –2] (2pts)
Centre des asymptotes : 33,414
)8(210a −=
−−−−
= kc
Directions des asymptotes : πππξ ;314
)12( ±=−
+= k (3pts)
Séparation
π/3
–10
rcice pour section 6.6 1
: 8,2
81
101
51
41
21)(
s
ssssss
−≅+
−+
++
++
++
=
cccccc
cF
–2
–4 –5 –8Ca= –4,33
Cs= –2,82001.04. 10
(3pts)
0=(2pts)
STABILITÉ
Corrigé d’exercice pour section 6.6 2
Corrigé 6.6.11 (suite) B La limite de stabilité correspond à l’intersection avec l’axe imaginaire.On remplace s par jω dans l’équation fondamentale qui met en évidence le facteur d’Evans.
2
5342
0
64202960137643200
8)10()5()4()2(50
ωωωωωω
ωωωωω
+−−+−−
=
+++++
=−
jjjj
jjjjk
Pour que l’égalité soit respectée, la partie imaginaire doit être nulle aussi pour la fonctionde ω.
73,6ou0)202960(0 42 ==⇒−−= ωωωωω (4pts)
On conserve la deuxième solution, la première étant triviale. On injecte la valeur depulsation dans l’égalité des parties réelles.
6,105315073,6
0
0
=⇒−=−⇒=
kkω
(1pt)
Temps total étudiant 30’
6,73j(k0=10,6)
–4
–8 –5TOTAL 18
–2
–102001.04. 10
pts