Bac blanc – 9 avril 2013 – Corrigé
Exercice 11. a. I1 = 42 – 23
100 × 42 = 42 – 9,66 = 32,34 en W/m².
b. In+1 = In - In = In
donc la suite (In) est géométrique de raison 0,77 et de premier terme I0 = 42 W/m² .
c. In = 42 × 0,77n
2. I10 = 42 × 0,7710 ≈ 3,1 en W/m²
3. On cherche n tel que : In ≤ I0
I0 × 0,77n ≤ I0
0,77n ≤ln (0,77n) ≤ ln( )
n ln (0,77) ≤ - ln 4 or, ln (0,77) < 0
donc n ≥ ,On doit donc traverser au moins 6 plaques pour que l’intensité soit inférieure ou égale au quart de sonintensité initiale.4. (In) est une suite géométrique de raison 0,77 comprise entre 0 et 1. Donc : lim
n+In = 0
Cela peut s’interpréter ainsi : si on se fixe une intensité lumineuse, aussi faible soit-elle, on pourra toujourstrouver un nombre de plaques à superposer pour que le rayon ait une intensité inférieure à celle choisie.De manière plus intuitive : plus on superpose de plaques, plus le rayon lumineux perd de son intensitéjusqu’à n’être quasiment plus visible.
Exercice 2Partie A1. f (1) = 3 f (e) = 1 f ’(1) = 0
2.
3. 3 < < 3,54. On décompte environ 16 petits carreaux dans le domaine, donc sonaire vaut environ 4 unités d’aire.Partie B f (x) = 2x(1 – ln x) + 11. Transformons l’expression de f (x) : f (x) = 2x – 2 × x ln x + 1
or :
limx0+
x ln x = 0 (admis)
limx0+
2x = 0donc, par combinaison linéaire : lim
x0+f (x) = 1.
2. f (x) = 2x(1 – ln x) + 1
limx+
ln x = + donc limx+
1 – ln x = -
limx
2x = +donc, par produit, lim
x+2x(1 – ln x) = - et lim
x+f (x) = -.
n ≥ 5,3
x 0 1 +
3
f
1 -
3. a. (u v)’ = u’ v + u v’ avecu( x ) = 2x u’( x ) = 2
v( x ) = 1 – ln x v’( x ) = 0 – 1x
d’où : f ’(x) = 2 × (1 – ln x) + 2x × -1x
= 2 – 2 ln x – 2 = -2 lnx
b. et c. -2 étant un coefficient négatif, f ’(x) est du signe contraire de ln x donc :
4. A l’aide de la calculatrice, on trouve : 3 < < 4puis 3,1 < < 3,2et 3,18 < < 3,19
5. L’équation de t est de la forme : y = f ’(e) (x – e) + f (e)or : f ’(e) = -2 lne = -2 × 1 = -2 et f (e) = 2e(1 – ln e) + 1 = 2e × 0 + 1 = 1
y = -2 (x – e) + 1 y = -2x +2e + 1 d’où : t : y = -2x + 2e + 1
6. On dérive F en espérant retrouver f :
F’(x) = 32 × 2x –
2xlnx + x2 × 1
x + 1 = 3x – 2xlnx – x + 1 = 2x – 2xlnx + 1 = 2x(1 – lnx) + 1 = f (x) !
donc F est bien une primitive de f .
7. a. f est continue et positive sur [1 ; e] donc, l’aire de la partie considérée est :
a =
1
ef (x) dx =
3
2x2 – x2 lnx + xe1
=
3
2e2 – e2 lne + e –
3
2 12 – 12 ln1 + 1 avec lne = 1 et ln1 = 0
a =
3
2e2 – e2 + e –
3
2 + 1 = 12
e2 + e – 52
u.a. (≈ 3,9 ce qui corrobore le résultat de A.4.)
b. On a « 2 cm » comme unité graphique donc : 1 u.a. = 2 cm × 2 cm = 4 cm2, on trouve alors :
a =
1
2e2 + e – 52 × 4 ≈ 15,7 cm2.
Exercice 31. Puisqu’on passe de B2 à B3 en incrémentant la ligne de 1, il suffit d’incrémenter de 1 la ligne de la cellule
présente dans la formule. Donc la formule en B3 est = 8.68*LN(A3)+93,28 .
2.a. A l’abscisse 16, l’ordonnée sur la courbe est environ 117,5 dB (à mi-chemin entre 115et 120).
b. 8,68 ln(16) + 93,28 117,35 en dB .
3.a. f (x) = 8,68 ln x + 93.28 donc f’(x) = 8,68x
.
f ’ est donc strictement positive car x est positif sur l’intervalle de définition de f.
x 0 1 +
ln x – 0 +
f ’(x) + 0 –
3 f (1) = 2 × 1 × (1 – ln 1) + 1 = 3
f
1 -
b. Le tableau de variation de f est donc :
3.a. L’ordonnée 120 correspond, sur la courbe, à une abscissed’environ 21,5. Donc 120 dB correspondent à une pression d’environ 21,5 bars .
b. Selon le tableur, 21,7 bars correspondent à 119,991 dB et 21,8 bars à 120,031 dBdonc p ] 21,7 ; 21,8[ .
Exercice 4Réponses : 1C 2C 3B 4C 5A
Justifications 1 :12+i= 2−i(2+i)(2−i )
= 2−i5 2 : ∣1−i√3∣=√12+√3 2=2 et cosθ=
12
3 : zA zB=√3ei π3×3e
i π4=3√3 ei(π3+π4) 4 :
z AzB=√3 e
i π3
3 ei π4
=√33ei(π3− π4 )
5 : CD=∣zD−zC∣=∣4+3 i∣=√4 2+32
Exercice 51 4x−7+
16x+3
=(4x−7)(x+3)+16
x+3= 4x
2−7x+12x−21+16x+3
= 4x2+5x−5x+3 : ceci démontre le résultat voulu.
2a F(x)=2x 2−7x+16 ln(x+3 )
2b μ= 14−(−2)∫
−2
4
f (x)dx= 16(F (4)−F (−2 ))= 1
6((32−28+16 ln(7 ))−(8+14+ln(1 )))= 1
6(16 ln (7 )−18)= 8
3ln(7)−3
Exo2 – A2 : -0,5 par incohérence/erreurExo2 – A4 : correct entre 3,5 et 4,5Exo2 – B : ne rien pénaliser en cas d’oubli de la valeur interditeExo2 – B.5.a : -0,5 si « y= » est absent
x 0,5 25
121,2
f
87,3
BarèmeEx
erci
ce 1
1.a. I1 0,5
sur 6
1.b. Suite géométrique (avec raison) 0,5+0,5
1.c. In en fonction de n 0,5
2. Après 10 plaques (arrondi) 0,5+0,5
3. Nombre de plaques 1,5
4. Limite (justifiée) - Interprétation 1+0,5
Exer
cice
2
A.1. Images - Pente 0,5+0,5
sur 4
A.2. Tableau de variation 1,5
A.3. Encadrement de 0,5
A.4. Domaine colorié - Estimation 0,5 + 0,5
B.1. Développement, limite en 0 0,5+1
sur 13
B.2. Limite en + 1
B.3.a. Dérivée 1
B.3.b. Signe de la dérivée 1
B.3.c. Tableau de variation 1
B.4. Encadrement de à 0,01 1
B.5.a. Equation de la tangente (avec « y= ») 1,5
B.5.b. Tracé de la tangente 0,5
B.6. Démarche - Dérivation de F 0,5+1
B.7.a. Justification – Intégrale à calculer – Calcul de l’intégrale 0,5+0,5+1
B.7.b. Aire en cm² - Arrondi 0,5+0,5
Exer
cice
3
1. Formule 0,5
sur 5
2.a. Lecture graphique 0,5
2.b. Calcul 0,5
3.a. Dérivée 0,5
3.b. Signe de la dérivée 0,5
3.c. Tableau de variation 1
4.a. Lecture graphique 1
4.b. Encadrement 0,5
Exer
cice
4
Réponses correctes +………
sur 7,5
Réponses fausses - ………
Non-réponses 0
Exer
cice
5
1. Egalité – Raisonnement correct 1 + 0,5
sur 4,5
2.a. Primitive 0,5+1
2.b. Formlule - Calcul 0,5+1