Bac blanc – 9 avril 2013 – Corrigé

Exercice 11. a. I1 = 42 – 23

100 × 42 = 42 – 9,66 = 32,34 en W/m².

b. In+1 = In - In = In

donc la suite (In) est géométrique de raison 0,77 et de premier terme I0 = 42 W/m² .

c. In = 42 × 0,77n

2. I10 = 42 × 0,7710 ≈ 3,1 en W/m²

3. On cherche n tel que : In ≤ I0

I0 × 0,77n ≤ I0

0,77n ≤ln (0,77n) ≤ ln( )

n ln (0,77) ≤ - ln 4 or, ln (0,77) < 0

donc n ≥ ,On doit donc traverser au moins 6 plaques pour que l’intensité soit inférieure ou égale au quart de sonintensité initiale.4. (In) est une suite géométrique de raison 0,77 comprise entre 0 et 1. Donc : lim

n+In = 0

Cela peut s’interpréter ainsi : si on se fixe une intensité lumineuse, aussi faible soit-elle, on pourra toujourstrouver un nombre de plaques à superposer pour que le rayon ait une intensité inférieure à celle choisie.De manière plus intuitive : plus on superpose de plaques, plus le rayon lumineux perd de son intensitéjusqu’à n’être quasiment plus visible.

Exercice 2Partie A1. f (1) = 3 f (e) = 1 f ’(1) = 0

2.

3. 3 < < 3,54. On décompte environ 16 petits carreaux dans le domaine, donc sonaire vaut environ 4 unités d’aire.Partie B f (x) = 2x(1 – ln x) + 11. Transformons l’expression de f (x) : f (x) = 2x – 2 × x ln x + 1

or :

limx0+

x ln x = 0 (admis)

limx0+

2x = 0donc, par combinaison linéaire : lim

x0+f (x) = 1.

2. f (x) = 2x(1 – ln x) + 1

limx+

ln x = + donc limx+

1 – ln x = -

limx

2x = +donc, par produit, lim

x+2x(1 – ln x) = - et lim

x+f (x) = -.

n ≥ 5,3

x 0 1 +

3

f

1 -

3. a. (u v)’ = u’ v + u v’ avecu( x ) = 2x u’( x ) = 2

v( x ) = 1 – ln x v’( x ) = 0 – 1x

d’où : f ’(x) = 2 × (1 – ln x) + 2x × -1x

= 2 – 2 ln x – 2 = -2 lnx

b. et c. -2 étant un coefficient négatif, f ’(x) est du signe contraire de ln x donc :

4. A l’aide de la calculatrice, on trouve : 3 < < 4puis 3,1 < < 3,2et 3,18 < < 3,19

5. L’équation de t est de la forme : y = f ’(e) (x – e) + f (e)or : f ’(e) = -2 lne = -2 × 1 = -2 et f (e) = 2e(1 – ln e) + 1 = 2e × 0 + 1 = 1

y = -2 (x – e) + 1 y = -2x +2e + 1 d’où : t : y = -2x + 2e + 1

6. On dérive F en espérant retrouver f :

F’(x) = 32 × 2x –

2xlnx + x2 × 1

x + 1 = 3x – 2xlnx – x + 1 = 2x – 2xlnx + 1 = 2x(1 – lnx) + 1 = f (x) !

donc F est bien une primitive de f .

7. a. f est continue et positive sur [1 ; e] donc, l’aire de la partie considérée est :

a =

1

ef (x) dx =

3

2x2 – x2 lnx + xe1

=

3

2e2 – e2 lne + e –

3

2 12 – 12 ln1 + 1 avec lne = 1 et ln1 = 0

a =

3

2e2 – e2 + e –

3

2 + 1 = 12

e2 + e – 52

u.a. (≈ 3,9 ce qui corrobore le résultat de A.4.)

b. On a « 2 cm » comme unité graphique donc : 1 u.a. = 2 cm × 2 cm = 4 cm2, on trouve alors :

a =

1

2e2 + e – 52 × 4 ≈ 15,7 cm2.

Exercice 31. Puisqu’on passe de B2 à B3 en incrémentant la ligne de 1, il suffit d’incrémenter de 1 la ligne de la cellule

présente dans la formule. Donc la formule en B3 est = 8.68*LN(A3)+93,28 .

2.a. A l’abscisse 16, l’ordonnée sur la courbe est environ 117,5 dB (à mi-chemin entre 115et 120).

b. 8,68 ln(16) + 93,28 117,35 en dB .

3.a. f (x) = 8,68 ln x + 93.28 donc f’(x) = 8,68x

.

f ’ est donc strictement positive car x est positif sur l’intervalle de définition de f.

x 0 1 +

ln x – 0 +

f ’(x) + 0 –

3 f (1) = 2 × 1 × (1 – ln 1) + 1 = 3

f

1 -

b. Le tableau de variation de f est donc :

3.a. L’ordonnée 120 correspond, sur la courbe, à une abscissed’environ 21,5. Donc 120 dB correspondent à une pression d’environ 21,5 bars .

b. Selon le tableur, 21,7 bars correspondent à 119,991 dB et 21,8 bars à 120,031 dBdonc p ] 21,7 ; 21,8[ .

Exercice 4Réponses : 1C 2C 3B 4C 5A

Justifications 1 :12+i= 2−i(2+i)(2−i )

= 2−i5 2 : ∣1−i√3∣=√12+√3 2=2 et cosθ=

12

3 : zA zB=√3ei π3×3e

i π4=3√3 ei(π3+π4) 4 :

z AzB=√3 e

i π3

3 ei π4

=√33ei(π3− π4 )

5 : CD=∣zD−zC∣=∣4+3 i∣=√4 2+32

Exercice 51 4x−7+

16x+3

=(4x−7)(x+3)+16

x+3= 4x

2−7x+12x−21+16x+3

= 4x2+5x−5x+3 : ceci démontre le résultat voulu.

2a F(x)=2x 2−7x+16 ln(x+3 )

2b μ= 14−(−2)∫

−2

4

f (x)dx= 16(F (4)−F (−2 ))= 1

6((32−28+16 ln(7 ))−(8+14+ln(1 )))= 1

6(16 ln (7 )−18)= 8

3ln(7)−3

Exo2 – A2 : -0,5 par incohérence/erreurExo2 – A4 : correct entre 3,5 et 4,5Exo2 – B : ne rien pénaliser en cas d’oubli de la valeur interditeExo2 – B.5.a : -0,5 si « y= » est absent

x 0,5 25

121,2

f

87,3

BarèmeEx

erci

ce 1

1.a. I1 0,5

sur 6

1.b. Suite géométrique (avec raison) 0,5+0,5

1.c. In en fonction de n 0,5

2. Après 10 plaques (arrondi) 0,5+0,5

3. Nombre de plaques 1,5

4. Limite (justifiée) - Interprétation 1+0,5

Exer

cice

2

A.1. Images - Pente 0,5+0,5

sur 4

A.2. Tableau de variation 1,5

A.3. Encadrement de 0,5

A.4. Domaine colorié - Estimation 0,5 + 0,5

B.1. Développement, limite en 0 0,5+1

sur 13

B.2. Limite en + 1

B.3.a. Dérivée 1

B.3.b. Signe de la dérivée 1

B.3.c. Tableau de variation 1

B.4. Encadrement de à 0,01 1

B.5.a. Equation de la tangente (avec « y= ») 1,5

B.5.b. Tracé de la tangente 0,5

B.6. Démarche - Dérivation de F 0,5+1

B.7.a. Justification – Intégrale à calculer – Calcul de l’intégrale 0,5+0,5+1

B.7.b. Aire en cm² - Arrondi 0,5+0,5

Exer

cice

3

1. Formule 0,5

sur 5

2.a. Lecture graphique 0,5

2.b. Calcul 0,5

3.a. Dérivée 0,5

3.b. Signe de la dérivée 0,5

3.c. Tableau de variation 1

4.a. Lecture graphique 1

4.b. Encadrement 0,5

Exer

cice

4

Réponses correctes +………

sur 7,5

Réponses fausses - ………

Non-réponses 0

Exer

cice

5

1. Egalité – Raisonnement correct 1 + 0,5

sur 4,5

2.a. Primitive 0,5+1

2.b. Formlule - Calcul 0,5+1