8/14/2019 Cours Estimation
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Estimation
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Mesures statistiques sur un chantillon
Estimateurs
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Mesures statistiques sur un chantillon
Sur un chantillon, on peut mesurer lesmmes types de paramtres de position et
de distribution que sur une population Utiliss comme estimateurs des paramtresinconnus dans la population
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Paramtres de position
Moyenne: on appelle m oula moyenne dune variable quantitativecalcule sur un chantillon, tant la
moyenne inconnue dans la population.Avec x: les valeurs de la variable, x lasomme de ces valeurs et n la taille delchantillon
x
m =
x
nLa moyenne m est lestimateur de la moyenne inconnue
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Paramtres de position
Pourcentage: on appelle p un pourcentageobserv sur un chantillon, P tant lepourcentage inconnu dans la population.
Avec n la taille de lchantillon et k lenombre dindividus prsentant lacaractristique
p =k
nLe pourcentage p est lestimateur du pourcentage P inconnu
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Paramtres de dispersion
Variance empirique, dun chantillon Avec x: les valeurs de la variable, m: la moyenne
de lchantillon et n la taille de lchantillon
v =
xm( )n
2
Peut-on estimer 2 , la variance au niveau de lapopulation par v???
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Paramtres de dispersion
NON
s2=
n
n 1v =
xm( )n 1
2
NB: Lestimateur v est biais
v =
xm( )n
2
E(v) =n 1
n
2
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Paramtres de dispersion
Variance: on appelle s2la variance dune variablequantitative calcule sur un chantillon, estimateurde la variance 2 inconnue dans la population.Avec x: les valeurs de la variable, m: la moyenne
de lchantillon et n la taille de lchantillon
s
2=
xm( )n 1
2
=
x2( )
x( )2
n
n 1
La variance s2 est lestimateur de la variance 2 inconnue
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Paramtres de dispersion
Ecart type: on appelle s lcart type calcul sur lesvaleurs de lchantillon, tant lcart typeinconnu dans la population.
Lcart type s est lestimateur de lcart type inconnu
s = s2
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Estimation dun paramtre Dfinir les paramtres dune population partir
des paramtres observs sur un chantillon
inconnu
POPULATION ECHANTILLON
observ
La valeur observe a fort peu de chances dtre exactement
la valeur inconnue de la population elle est nanmoins assez proche si lchantillon est reprsentatif en rptant lchantillonnage, on trouverait dautres valeurs,toutes assez proches les unes des autres
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On a mesur le taux de fer srique de 20 individus. Ce taux, exprim en g/100mlest le suivant: 83,0; 98,0; 183,3; 119,6; 78,5; 162,6; 155,7; 147,3; 100,1;139,2; 172,1; 102,0; 162,8; 113,8; 157,4; 128,5; 136,2; 129,3; 131,6; 157,3.
Calculer les estimations de la moyenne, de la variance et de lcart-type du taux defer srique dans la population partir de cet chantillon.
La moyenne du taux de fer srique dans la population est estime par m,note aussi
x
m =x =
xi
i=1
n
n
=132,915g /100ml
La variance 2est estime par s2
s2=
(xim)2
i=1
n
n 1
= 900
Lcart type est estim par s
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Estimation dune moyenne
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Estimation dune moyenne
Fluctuation dchantillonnage dune moyenne
chantillon 1 -> m1
chantillon 2 -> m2m1 m3 m2
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Estimation dune moyenne
Thorme central limite:
La moyenne dune variable quantitative calculesur un chantillon est une variable alatoire
Qui suit une loi normale (convergence vers une loinormale)
Cette loi normale est centre sur la moyenne dela population
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Estimation: intervalle de pari
On se pose le problme suivant. On s'apprte raliser une srie d'expriences, c'est--dire mesurer la variableXsur un chantillon de n
individus. Peut-on construire un intervalle [a,b]tel que la probabilit pour que la moyenneobserve que l'on s'apprte calculer appartienne cet intervalle ait une valeur donne? Il s'agitdonc de construire un intervalle qui contienne
avec une probabilit fixe la valeur observe quel'on va obtenir.
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Estimation dune moyenne
Rsultat: intervalle de pari de la moyenne
Si, dans une population, une v.a. X a une moyenne et une variance 2, la moyenne des n valeursdun chantillon a une probabilit 1- dtrecomprise entre
z
n
+ z
n
et
Condition de validit: n 30
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Estimation dune moyenne
Lcart type de la moyenne m peut tre estim par:
sm
=
s
n
Avec s: cart type des valeurs de lchantillonn: taille de lchantillon
Applicable ssi la taille de lchantillon est ngligeable parrapport la taille de la population (10%).
ATTENTION: ne pas confondre s et sm
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Intervalle de confiance dune moyenne
Un intervalle de confiance dun paramtreinconnu est une fourchette de valeurs danslaquelle le paramtre inconnu quon veut estimer a
une probabilit 1- de se trouver (et de ne passe trouver)
m z
sm< < m + z
sm
Ici, on connatm et on cherche dterminer .
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Intervalle de confiance dune moyenne
On cherche dterminer
m z
n
< < m + z
n
est inconnu. On le remplace par son estimation s.
m z
s
n
< < m + z
s
n
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Intervalle de confiance dune moyenne
Lintervalle de confiance au risque permettantlestimation de partir dun chantillon (m, s)est
La valeur recherchea une probabilit 1- dese trouver dans cet intervalle.
Condition
m z
s
n
n 30
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Machine A garantie par le constructeur comme faisant descomprims de poids moyen 0,80g avec un cart-type de 0,02gEchantillon A prlev 15 comprims mA= 0,79 g
X poids des comprims suit loi normale
Echantillon de 15 cps (n)
Machine A: connu (0.80) connu (0.02)
Intervalle de pari de la moyenne du poids msur un chantillon vaut:
n;+
n
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Machine A garantie par le constructeur comme faisant descomprims de poids moyen 0,80g avec un cart-type de 0,02gmA= 0,79 g
n= 15 , = 0.80; =0.02
Intervalle de pari de la moyenne du poids msur un chantillon vaut:
n
;+
n
0.789;0.811
=1.96
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Estimation dun pourcentage
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Estimation dun pourcentage Etant donn une population o une proportion P des
individus possde un certain caractre. Il sagit destimer P partir de p, proportion trouve dans un chantillon detaille n.
On sait que np suit une loi binomiale B(n,P).
Si n est petit on utilise les calculs de la loi binomiale
Si n est grand,
np suit N nP; cart - type = nP(1- P)( )
p suit loi N P; ecart - type =P(1- P)
n
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Estimation dun pourcentage
Fluctuation dchantillonnage dun pourcentage Un pourcentage observ sur un chantillon est une
variable alatoire. Il varie selon les chantillons.
Cette variable suit une loi normale (convergencevers une loi normale)
Cette loi normale est centre sur le pourcentage Pde la population
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Estimation dun pourcentage
Rsultat: intervalle de pari dun pourcentage
Si, dans une population, on a la proportion P, lepourcentage p sur les n valeurs dun chantillon aune probabilit 1- dtre comprise entre
P z
P(1 P)
n
P + z
P(1 P)
n
et
Condition de validit: nP et n(1 P) 10
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Estimation dun pourcentage
Ecart type dun pourcentage P peut tre estimpar:
sp= p(1
p)
n
Conditions de validit: n ngligeable par rapport la
taille de la population (
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Intervalle de confiance dun pourcentage Le but est destimer P partir dune observation
sur un seul chantillon. Thorme central limite Condition
Lintervalle de confiance au risque permettantlestimation de P partir dun chantillon (p, sp)est
p
z sp
np et n(1 p) 10