8/3/2019 Cours jusque p122
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Economtrie approfondieMichel BEINE
CADRE,Universite de Lille2, France
et DULBEA, Universite Libre de Bruxelles, Belgique.
http://www.users.skynet.be/fa560029
Econometrie approfondie p. 1
8/3/2019 Cours jusque p122
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Manuel
Le cours dconomtrie II est bas sur le livreIntroductory Econometrics, a Modern Approach(second edition) de Jeffrey M. Wooldridge, dition
Thomson South-Western.Sur le site web : http://www.swcollege.com/bef/wooldridge/... wooldridge2e/wooldridge2e.html
il y a des donnes ncessaires pour lesexercices et plusieurs liens intressants.
Econometrie approfondie p. 2
8/3/2019 Cours jusque p122
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Plan du cours
Rappels: Chapitres 1-9 Partie I.
Partie II: Sries temporelles.
Chapitre 10. Introduction.
Chapitre 11. Proprits des MCO.
Chapitre 12. Corrlation srielle et htroscdasticit.
Econometrie approfondie p. 3
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Plan du cours
Partie III: Techniques avances.
Chapitre 13. Pooling: Mthodes simples de Panel.
Chapitre 14. Donnes de Panel: techniques avances.Chapitre 15. Variables instrumentales et MCO en 2tapes.
Chapitre 16. Modles quations simultanes.
Econometrie approfondie p. 4
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Infos pratiques
Logiciel conomtrique: Celui que vous voulez Eviews, Rats, PcGive, etc.
Examen: modalits discuter.
Econometrie approfondie p. 5
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Rappels Structure des donnes: Chapitre 1
Econometrie approfondie p. 6
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Structure des donnes
Il existe 3 types de donnes. Chaque type de donnes peutappeler des techniques conomtriques particulires.
Donnes Cross-section.
Sries temporelles.
Donnes de Panel.
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Donnes Cross-section
chantillon dindividus, mnages, firmes, ..., pris unpoint du temps donn.
Important: on peut souvent supposer que les obs. =chantillon alatoire simplifie lanalyse.Donnes trs utilises en conomie et sciencessociales
micro applique: march du travail, finances
publiques, organisation industrielle, conomie spatiale,dmographie, conomie de la sant, etc.
Example: Wage1.wf1.
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http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/wage1.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/wage1.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Sries temporelles
Sries chronologiques. Ex: PNB, importations, indicesde prix, etc.
Important: Rarement indpendantes au court du temps complexifie lanalyse.Diffrentes frquences: annuel, trimestriel, mensuel,hebdomadaire, journalier, intra-journalier.
Donnes trs utilises en macro-conomie et enfinance.
Example: PRMINWGE.wf1.
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http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/PRMINWGE.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/PRMINWGE.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Donnes de panel
Srie temporelle pour chaque unit/individu.
Important: la mme unit est observe plusieurs fois aucourt du temps.
Example: WAGEPAN.wf1.
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http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/WAGEPAN.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/WAGEPAN.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Rappels Modle de rgression simple: Chapitre 2
Econometrie approfondie p. 11
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Modle de rgression simple
Objectif: estimer un modle du type
wage = 0 + 1educ + u. (1)
De manire gnrale:
y = 0 + 1x + u. (2)
(??) est suppos tenir sur la population dintrt.u est le terme derreur (alas) = facteurs non-observsautres que x qui affectent y.
u et x sont des variables alatoires.Interprtation Ceteris Paribus: Si u = 0 (autresfacteurs inchangs)
y = 1x.
Econometrie approfondie p. 12
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Modle de rgression simple
Pour estimer 0 et 1 et garder cette interprtation CP ilfaut faire certaines hypothses.
E(u) = 0: normalisation
on ne perd rien.
E(u|x) = E(u): pour toute valeur de x, la moyenne desu correspondantes est la mme.
implique la non-corrlation (linaire). Ex:
wage = 0 + 1educ + u E(abil|8) = E(abil|16).En combinant ces 2 hypothses: E(u|x) = E(u) = 0: hyp. moyenne cond. nulle. E(y|x) = 0 + 1x: fonction de rgression de lapopulation.
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Estimation de 0 et 1
(xi, yi) : i = 1, . . . , n = chantillon alatoire de taille n tir dela population.
yi = 0 + 1xi + ui,
i.
E(u) = 0 E(y 0 1x) = 0.E(u|x) = 0 Cov. nulle entre u et x
E[(y
0
1x)x] = 0.
Pour obtenir 0 et 1 on va rsoudre ce systme enremplaant E(.) par son quivalant empirique1/n
n
i=1
(.).
Econometrie approfondie p. 14
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Estimation de 0 et 1
n1n
i=1
(yi 0 1xi) = 0 (3)
n1n
i=1
[(yi 0 1xi)xi] = 0 (4)
0 = y 1x (5) 1 =
ni=1(xi x)(yi y)
ni=1(xi
x)2si > 0
. (6)
Estimation de 0 et 1 par la mthode des moments.
Econometrie approfondie p. 15
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Moindres carrs ordinaires (MCO)
minb0,b1n
i=1(yi b0 b1xi)2 2 quations de premierordre:
2n
i=1
(yi 0 1xi) = 0 (7)
2n
i=1
[(yi 0
1xi)xi] = 0 (8)
0 = y 1x (9)
1 = n
i=1(xi x)(yi y)ni=1(xi x)2 si > 0 . (10)
Estimation de 0 et 1 par la mthode des MCO donne les
mme 0 et 1.Econometrie approfondie p. 16
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits des estimateurs MCO
SLR=Simple Linear Regression.
SLR.1 y = 0 + 1x + u linaire en les paramtres.
SLR.2 (xi, yi) : i = 1, . . . , n chantillon alatoire detaille n tir de la population.SLR.3 E(u|x) = 0 moyenne conditionnelle nulle.Permet de driver les proprits des MCOconditionnellement aux valeurs de xi dans notrechantillon. Techniquement identique supposer xifixes dans des chantillons rpts (pas trs raliste).
SLR.4
ni=1(xi x)2 = 0 variation dans les x.Thorme 2.1: Sous les hypothses SLR.1 - SLR.4,E(0) = 0 et E(1) = 1.
Econometrie approfondie p. 17
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits des estimateurs MCO
SLR.5 V ar(u|x) = 2 homoscdasticit.Thorme 2.2: Sous les hypothses SLR.1 - SLR.5,
V ar(0) =2n1
ni=1 x
2in
i=1(xi x)2
V ar(1) = 2ni=1(xi x)2
Thorme 2.3: Sous les hypothses SLR.1 - SLR.5,E(2) = 2, o 2 = 1n2
ni=1 u2i .
Econometrie approfondie p. 18
8/3/2019 Cours jusque p122
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Rappels Modle de rgression multiple: Chapitre 3
Econometrie approfondie p. 19
8/3/2019 Cours jusque p122
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Modle de rgression multiple
Objectif: estimer un modle du type
wage = 0 + 1educ + 2exper + u. (11)
De manire gnrale:
y = 0 + 1x1 + . . . + kxk + u. (12)
OLS: minb0,b1,...,bk
ni=1(yi b0 b1xi1 . . . bkxik)2.
Econometrie approfondie p. 20
i i
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Modle de rgression multiple
Exemple: y = 0 + 1x1 + 2x2 + u. Comment obtenir 1 ?
Rgresser x1 sur x2: x1 = 0 + 1x2.Calculer r1 = x1 x1.1 =
ni=1
ri1yi
n
i=1r2i1
.
1 est bien leffet net de x1 sur y, o net signifie aprsavoir tenu compte de leffet des autres variables.
Econometrie approfondie p. 21
8/3/2019 Cours jusque p122
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Goodness-of-Fit
Il est possible de dcomposer la variabilit observe sur y,c--d SSTni=1(yi y)2, en 2 quantits:
SSEni=1(yi y)2: variabilit explique par lemodle;
SSR ni=1 u2i : variabilit non-explique par lemodle.
SST = SSE+ SSR.On peut donc dfinir une mesure de qualit de la
rgression (GoF):R2 = SSE/SST compris entre 0 et 1.
Econometrie approfondie p. 22
P it d ti t MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits des estimateurs MCO
MLR=Multiple Linear Regression.
MLR.1 y = 0 + 1x1 + . . . + kxk + u linaire en lesparamtres.
MLR.2 (x1i, . . . , xki, yi) : i = 1, . . . , n chantillonalatoire de taille n tir de la population.
MLR.3 E(u|x1, . . . , xk) = 0
moyenne conditionnelle
nulle.MLR.4
ni=1(xji x)2 = 0 j = 1, . . . , k et pas de
relation linaire parfaite entre les xj
variation dans
les xj et pas de collinarit parfaite.Thorme 3.1: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.4,E(j) = k
j = 0, . . . , k.
Econometrie approfondie p. 23
P it d ti t MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits des estimateurs MCO
MLR.5 V ar(u|x1, . . . , xk) = 2 homoscdasticit.Thorme 3.2: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.5,
V ar(j) =2
(1R2j )n
i=1(xij xj)2
oR
2
jest le
R
2 de le rgression dexj
sur les autresx(+ une constante).
Thorme 3.3: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.5(appeles hypothses de Gauss-Markov),E(2) = 2, o 2 = 1nk1
ni=1 u
2i .
Thorme 3.4 o thorme de Gauss-Markov: Sousles hypothses MLR.1 - MLR.5, j est BLUE,i = 0, . . . , k.
Econometrie approfondie p. 24
8/3/2019 Cours jusque p122
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Rappels Infrence: Chapitre 4
Econometrie approfondie p. 25
H th d lit
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Hypothse de normalit
Pour faire de linfrence statistique, il faut ajouter unehypothse supplmentaire:
MLR.6 u
N(0, 2) et indpendant des xj
normalit.
Les hypothses MLR.1 - MLR.6 sont appeleshypothses classiques du modle linaire (CLM) =Gauss-Markov + normalit.
CLM MCO la variance minimale.Comment justifier cette hypothse de normalit desrsidus ?
Si u est la somme de beaucoup de facteursnon-observs diffrents, on peut appeler le thormecentral limite pour justifier la normalit.
Econometrie approfondie p. 26
Th C t l Li it
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig41.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig41.jpg8/3/2019 Cours jusque p122
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Thorme Central Limite
Soit Y1, Y2, . . . , Y n un chantillon de variables alatoiresde moyenne et de variance 2.
Zn =Yn
/n suit asymptotiquement une distributionN(0,1).
Si Y 2(1), = 1 et 2 = 2.
Exemple.
Econometrie approfondie p. 27
I f
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/clt/clt.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/clt/clt.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.eps8/3/2019 Cours jusque p122
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Infrence
Thorme 4.1: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.6,j N(j, V a r(j)), i = 0, . . . , k, oV ar(j) =
2
(1R2
j )n
i=1(xijxj)2 .
Exemple.
Thorme 4.2: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.6,jjse(j) tnk1, i = 0, . . . , k, ose(j) =
V ar(j) et 2 est remplac par 2.
On peut donc tester H0 : j = aj contreH1 : j aj.
Econometrie approfondie p. 28
P ale r
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig44.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig44.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig42.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig42.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig44.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prg8/3/2019 Cours jusque p122
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P-valeur
P-valeur: Quelle est le plus petit niveau designificativit auquel H0 serait rejet.
Comment la calculer? Prendre la t-stat et regarder
quel pourcentile elle correspond dans la distribution deStudent approprie.
Rejeter H0 si la P-Valeur < au seuil fix (ex: 5%).
Econometrie approfondie p. 29
Tests multiples de restrictions linaires
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Tests multiples de restrictions linaires
Si H0 : j = 0 pour j 0, 1, . . . , k. Ex: H0 : 1 = 2 = 0.et H1 : H0 nest pas vrai.
1) Estimer le modle non contraint. 2) Estimer le modle contraint.
3) Calculer la statistique F
(SSRcSSRnc)/qSSRnc/(n
k
1) , o SSR
dnote la somme des carrs des rsidus et les indices cet nc signifient respectivement contraint etnon-contraint.
Sous H0, F Fq,nk1, o F =Fisher.Rejet H0, si F > c, o c = Fq,nk1.
Econometrie approfondie p. 30
Exercices rcapitulatifs
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig47.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig47.jpg8/3/2019 Cours jusque p122
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Exercices rcapitulatifs
Exercice 4.12.Exercice 4.17.
Exercice 4.19.
Econometrie approfondie p. 31
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Vote1.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Wage2.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Wage2.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Vote1.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Rappels proprits asymptotiques des MCO: Chapitre 5
Econometrie approfondie p. 32
Proprits exactes des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits exactes des MCO
Pour prouver le caractre non-biais et BLUE des MCOnous avons impos des hypothses assez fortes(MLR.1-MLR.5).
Idem pour effectuer de linfrence statistique (MLR.6:normalit).
Ces proprits sont vraies quel que soit la taille de
lchantillon (n). On parle ds lors de proprit exacte, dchantillonfini, ou encore de petit chantillon.
Econometrie approfondie p. 33
Proprits asymptotiques des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits asymptotiques des MCO
Dans certains cas, le rejet de certaines hypothses nesignifie pas que les MCO sont invalides.
Ex: non-normalit de u.
En effet, les MCO peuvent tre encore valides engrand chantillon sous des hypothses plus faibles.
tudier les proprits statistiques pour n grand =
tudier les proprits asymptotiques.Nouveau concept: CONVERGENCE.
Econometrie approfondie p. 34
Proprits asymptotiques des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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Proprits asymptotiques des MCO
Pour rappel. Thorme 3.1: Sous les hypothsesMLR.1 - MLR.4, E(j) = k j = 0, . . . , k.Pour rappel. MLR.3 E(u
|x1, . . . , xk) = 0
moyenne
conditionnelle nulle.On a vu que E(u|x1) = 0 implique Cov(u, x1) = 0.Dfinition: plim = Limite en probabilit = valeur verslaquelle un estimateur converge lorsque la taille delchantillon tend vers linfini. Voir page 741.
Hors, il est possible de montrer que:
plim 1 = 1 +Cov(x1, u)
V ar(x1)
= 1, si Cov(u, x1) = 0.Econometrie approfondie p. 35
Proprits asymptotiques des MCO
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Proprits asymptotiques des MCO
Il est possible de relcher MLR.3 pour prouver toutde mme que les MCO sont convergents.
MLR.3 E(u) = 0 et Cov(xj, u) = 0j = 1, . . . , k
moyenne nulle et correlation nulle. Sous les hypothses MLR.1 - MLR.2 - MLR.3 -MLR.4, j est un estimateur convergent de j,
j = 1, . . . , k.
Econometrie approfondie p. 36
Normalit asymptotique
8/3/2019 Cours jusque p122
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Normalit asymptotique
La normalit ne joue aucun rle dans le caractrenon-biass des MCO ni dans leur caractre BLUE.
Par contre, pour effectuer de linfrence statistique nous
avons suppos que u N(0, 2) et donc que ladistribution de y|x1, . . . , xk est normale. distribution symtrique autour de sa moyenne. peut prendre des valeurs sur . plus de 95% des observations sont comprises entre2 cart-types.
Econometrie approfondie p. 37
Normalit asymptotique
8/3/2019 Cours jusque p122
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Normalit asymptotique
Devons nous abandonner les t-stats si u nest pasnormalement distribu ?
Non: on fait appel au thorme central limite pour
conclure que les MCO satisfont la normalitasymptotique.
Si n grand, j est approximativement N(j, V a r(j)).
Illustration via une Simulation de Monte-Carlo: Prg,Output n=2000,Output n=30.
Econometrie approfondie p. 38
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_2000.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_30.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_30.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_2000.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prg8/3/2019 Cours jusque p122
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Rappels Htroscdasticit: Chapitre 8
Econometrie approfondie p. 39
Consquences de lhtroscdasticit
8/3/2019 Cours jusque p122
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Co sque ces de t oscdast c t
Une fois de plus lhtroscdasticit na pas dinfluencesur le caractre non-biais ou convergent des MCO.
Par contre la formule traditionnelle de V ar(j) donne un
estimateur biais de la variance des estimateurs silhypothse dhomoscdasticit est viole.
Infrence incorrecte si on utilise cette formule.
MCO ne sont plus BLUE.Solution 1: Corriger cette formule cart-typesrobustes lhtroscdasticit (White, 1980).
Solution 2: Dterminer la source de cettehtroscdasticit et la prendre en compte danslestimation
Moindres Carrs Pondrs.
Econometrie approfondie p. 40
8/3/2019 Cours jusque p122
41/122
Rgression avec des sries temporelles: Chapitre 10
Econometrie approfondie p. 41
Sries temporelles
8/3/2019 Cours jusque p122
42/122
p
Les sries chronologiques diffrent des sriescross-section pour plusieurs raisons:
lordre (temporel) importe;
le pass influence souvent le futur; la notion dchantillon alatoire est plus discutablecar on na quune seule ralisation (sauf si on pense
que des conditions initiales = auraient donn uneralisation =).Example: Phillips.wf1.
Question: Peut-on toujours utiliser les MCO avec cessries ?
Econometrie approfondie p. 42
Sries temporelles
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/Phillips.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/Phillips.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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p
Il y a deux types principaux de modles de sriestemporelles simples:
les modles statiques du type:
yt = 0 + 1zt + ut, t = 1, . . . , n .
les modles dynamiques du type:yt = 0 + 0zt + 1zt1 + . . . + qztq + ut, t = 1, . . . , n .
Econometrie approfondie p. 43
Modles statiques
8/3/2019 Cours jusque p122
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q
yt = 0 + 1zt + ut, t = 1, . . . , n .
yt = 1zt si ut = 0 Effet immdiat.Example 1. Courbe de Phillips (annuel):inft = 0 + 1unemt + ut.Example 2. Consommation de tabac (mensuel):ConsTabact = 0 + 1DepPublt + ut.
Econometrie approfondie p. 44
Modles dynamiques
8/3/2019 Cours jusque p122
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y q
FDL(2): yt = 0 + 0zt + 1zt1 + 2zt2 + ut, t = 1, . . . , n .
Supposons que z = c, observation avant t.En t
z = c + 1.
En t + 1, t + 2, . . . , n z = c.Pour simplifier supposons que ut = 0.
Econometrie approfondie p. 45
Modles dynamiques: temporaire
8/3/2019 Cours jusque p122
46/122
yt1 = 0 + 0c + 1c + 2c
yt = 0 + 0(c + 1) + 1c + 2c
yt+1 = 0 + 0c + 1(c + 1) + 2c
yt+2 = 0 + 0c + 1c + 2(c + 1)
yt+3 = 0 + 0c + 1c + 2c
Multiplicateurs dimpactAprs un changement temporaire dune unit de z (c--dz = 1)
yt yt1 = 0 = effet immdiat sur y. yt+1 yt1 = 1 = effet dans 1 priode sur y. yt+2 yt1 = 2 = effet dans 2 priodes sur y.
Econometrie approfondie p. 46
Modles dynamiques: permanente
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yt1 = 0 + 0c + 1c + 2c
yt = 0 + 0(c + 1) + 1c + 2c
yt+1 = 0 + 0(c + 1) + 1(c + 1) + 2cyt+2 = 0 + 0(c + 1) + 1(c + 1) + 2(c + 1)
Multiplicateur de long-termeAprs un changement permanent dune unit de z (c--dz = 1) yt yt1 = 0 = effet immdiat sur y. yt+1 yt1 = 0 + 1 = effet dans 1 priode sur y. yt+2 yt1 = 0 + 1 + 2 = effet dans 2 priodes sur y.qi=0 i = multiplicateur de long-terme.
Econometrie approfondie p. 47
Proprits des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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Nous allons montrer que les MCO sont encore valablesavec des sries temporelles et faire le parallle avec lessries cross-section. Hypothses de base:
MLR.1 y = 0 + 1x1 + . . . + kxk + u linaire en lesparamtres.
TS.1 yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut linaire en lesparamtres. Ex: xt3 = salairet2.
MLR.2 (x1i, . . . , xki, yi) : i = 1, . . . , n
chantillon
alatoire de taille n tir de la population.
Pas ncessaire.
Econometrie approfondie p. 48
Proprits des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
49/122
MLR.3 E(u|x1, . . . , xk) = 0 moyenne conditionnellenulle.
TS.2 E(ut|X) = 0 t moyenne conditionnelle nulletant donn les variables explicatives t
= exognit stricte. implique exognit contemporaine (hypothse plusfaible) : E(ut|xt) = 0).Pour des sries cross-section, pas ncessaire de
vrifier E(ut|X) = 0 t , c--d Corr(ui, xj) pour i = j carMLR.2.! Ne dit rien sur Corr(ut, us) ou Corr(yt, ys) pour t = s!
Econometrie approfondie p. 49
Causes du rejet de TS.2
8/3/2019 Cours jusque p122
50/122
Modle statique simple: yt = 0 + 1zt + ut.TS.2 Corr(ut, zt) = 0 et Corr(ut, zs) = 0 t = s.
Variables omises zt1
Corr(ut, zt
1)
= 0.
Erreurs de mesure dans des variables exognes.Corr(ut, zt+1) = 0.Ex: mrdrtet = 0 + 1polpct + ut o mrdrte = taux de
criminalit dans une ville et polpc = nombre de policierspar personne.Quand +mrdrtet non explique +ut.Si dans ce cas la ville engage plus de policiers(+polpct) corr(polpct+1, ut) > 0.
Econometrie approfondie p. 50
Proprits des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
51/122
MLR.4
ni=1(xji x)2 = 0 j = 1, . . . , k et pas de
relation linaire parfaite entre les xj variation dans lesxj et pas de collinarit parfaite.
TS.3 Pas de variable explicative constante et pas decollinarit parfaite.
Thorme 10.1: Sous les hypothses TS.1 - TS.3,E(j) = j j = 0, . . . , k (conditionnellement X).
Econometrie approfondie p. 51
Proprits des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
52/122
MLR.5 V ar(u|x1, . . . , xk) = 2 homoscdasticit.
TS.4 V ar(ut|
X) = V ar(u) = 2
t = 1, . . . , n
homoscdasticit.Exemple de violation: NASDAQ, donnes journalires(+ de 4000 observations).
TS.5 Corr(ut, us|X) = 0, t = s pas de corrlationsrielle.Exemple de violation: Corr(ut, ut1) = 0.5.
Thorme 10.2: Sous les hypothses TS.1 - TS.5(appeles hypothses de Gauss-Markov des sriestemporelles), V ar(j) =
2
(1R2j )n
t=1(xtjxj)2 , o R
2j est le
R2 de la rgression de xj sur les autres x (+ une cst).Econometrie approfondie p. 52
Proprits des MCO
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Nasdaq.in7http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Nasdaq.in78/3/2019 Cours jusque p122
53/122
Thorme 10.3: Sous les hypothses TS.1 - TS.5,E(2) = 2, o 2 = 1nk1
nt=1 u
2t .
Thorme 10.4 o thorme de Gauss-Markov:
Sous les hypothses TS.1 - TS.5, j est BLUE,i = 0, . . . , k (conditionnellement X).
mme proprits quavec des sries cross-section.
Pour effectuer de linfrence statistique il fautgalement supposer:MLR.6 u N(0, 2) et indpendant des xj normalit.
TS.6 u N(0, 2) et indpendant de X normalit.Linfrence classique est dapplication.
Econometrie approfondie p. 53
Exemple 10.2 et exercice 10.7
8/3/2019 Cours jusque p122
54/122
En utilisant la base de donnes INTDEF.wf1, estimez lemodle de tx dintrt suivant:i3t = 0 + 1inft + 2deft + ut,
o i3 est le tx dintrt obligataire 3 mois, inf est le txdinflation annuel bas sur lindice des prix laconsommation et def est le dficit budgtaire en % duPNB.
En Octobre 1979, la FED a chang sa politique pourmodifier la masse montaire en utilisant directementlinstrument du tx dintrt.
Comment tenir compte de cette information ? Est-ce que cela change les rsultats ?
Econometrie approfondie p. 54
Trend linaire
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Beaucoup de sries ont un trend. Ex:Output par heure aux USA (47-87).
Modle du type: yt = 0 + 1t + et, t = 1, . . . , n.
Quand et = 0, yt = yt yt1 = 1. Ceteris paribus, 1 mesure la yt due au passagedu temps.
E(yt) = 0 + 1t. Croissant ou dcroissant enfonction de 1.
V ar(yt) = V ar(et). Le trend na pas deffet sur la
variance de yt. On appelle ce type de trend: trend linaire.
Econometrie approfondie p. 55
Trend exponentiel
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figure102.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figure102.eps8/3/2019 Cours jusque p122
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Beaucoup de sries sont mieux reprsentes par destrend exponentiels.
Ex: Srie mensuelle reprsentant le nombre de
demandeurs demploi dans le canton dAnderson danslIndiana sur la priode 1980.1 1988.11. Figures:Chmeurs et log(Chmeurs).
Appelle plutt une modlisation du typelog(yt) = 0 + 1t + et, t = 1, . . . , n.
comme log(yt) ytyt1yt1 pour log(yt) petit,
log(yt) = 1 est approximativement le taux decroissance moyen par priode de yt.
Econometrie approfondie p. 56
Trend quadratique
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Chomeurs.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/logChomeurs.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/logChomeurs.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Chomeurs.eps8/3/2019 Cours jusque p122
57/122
Autre modle: yt = 0 + 1t + 2t2 + et, t = 1, . . . , n. ytt = 1 + 22t. Si 1 > 0 et 2 < 0, le trend a uneforme en bosse.
Econometrie approfondie p. 57
Exemple
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Donnes annuelles (1947-1988) sur linvestissementimmobilier (invpc) et sur un indice des prix immobilier(price, 1982 = 1). Graphique des donnes.
Modle simple sans trend.Llasticit Investissement-Indice de prix est trs leve:1.241 et statistiquement > 0.
Modle simple avec trend.Llasticit Investissement-Indice de prix est ngativemais non significative. Par contre le trend est significatif
et implique environ une hausse de 1% par an de invpc.De plus le R2 est pass de 0.208 0.341.
relation fallacieuse explique par un trend commun,c--d lexistence dune variable omise qui expliquelvolution conjointe des deux sries. Econometrie approfondie p. 58
Autre interprtation
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figureinvhous.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous1.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous2.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous2.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous1.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figureinvhous.eps8/3/2019 Cours jusque p122
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Modle estim: yt = 0 + 1xt1 + 2xt2 + 3t.Il est facile de montrer que lon peut obtenir galement1 et 2 de cette manire.
Rgresser par MCO:yt sur cst et trend; sauver les rsidus: yt.xt1 sur cst et trend;
sauver les rsidus: xt1.
xt2 sur cst et trend; sauver les rsidus: xt2.Rgresser par MCO yt sur x
t1 et x
t2 (avec ou sans
constante).
Revenons lexemple prcdant. Graphiqueslog(invpc) et log(price).
Important: le R2 = 0.008
sur les variables
dtrendes, log(price) nexplique rien de lvolution delog(invpc). Econometrie approfondie p. 59
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous3.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_linvpc.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_lprice.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_lprice.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_linvpc.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous3.out8/3/2019 Cours jusque p122
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Sries temporelles (plus) avances: Chapitre 11
Econometrie approfondie p. 60
Rappels
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Nous avons tudi les proprits des MCO enchantillon fini.
Nous avons obtenu les mme proprits avec des
sries temporelles quavec des sries cross-sectionmais au prix dhypothses trs fortes.
Nous allons tenter de relcher certaines hypothses
comme celle dexognit stricte, hypothse viole sipar exemple X comprend yti avec i > 0.
On ne pourra plus tudier le comportement enchantillon fini des MCO mais bien le comportement
asymptotique (n grand).On va devoir introduire pour cela 2 nouveaux concepts:la stationnarit et la dpendance faible.
Econometrie approfondie p. 61
Stationnarit
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Dfinition formelle: Le processus{xt : t = 1, 2, . . .} eststrictement stationnaire si pour chaque collectiondindices de temps1 t1 < t2 < . . . < tm, la distributionjointe de(x
t1, x
t2, . . . , x
tm) est la mme que la
distribution jointe de(xt1+h, xt2+h, . . . , xtm+h), entierh 1.Les xt peuvent tre corrls mais la corrlation doit tre
constante.Exemple de processus non-stationnaire:yt = 0 + 1t + et, t = 1, . . . , n et et iid(0, 1). E(yt) = 0 + 1t.Par contre, yt 0 1t est stationnaire.Il est trs difficile de tester lhypothse de stationnarit.
Econometrie approfondie p. 62
Processus Covariance-stationnaire
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Dfinition: Un processus stochastique{xt : t = 1, 2, . . .}avec second moment fini [E(x2t ) < ] estcovariance-stationnairesi:
i) E(xt) est constante;ii) V ar(xt) est constante;iii) t, h 1,Cov(xt, xt+h) dpend seulement deh etnon det.
implique uniquement les 2 premiers moments.Si un processus stationnaire a E(x2t ) < il estcovariance-stationnaire.
Linverse nest pas vrai.
Exemples : Rejet et non rejet de lhypothses decovariance-stationnarit.
Econometrie approfondie p. 63
Dpendance faible
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Rejet_covstat.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/nonRejet_covstat.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/nonRejet_covstat.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Rejet_covstat.eps8/3/2019 Cours jusque p122
64/122
Dfinition 1: Un processus stationnaire{xt : t = 1, 2, . . .}est faiblement dpendant sixt etxt+h sontindpendant au fur et mesure que h .
Dfinition 2: Un processus covariance-stationnaire{xt : t = 1, 2, . . .} est faiblement dpendant siCorr(xt, xt+h) 0 suffisamment rapidement sih .
Cette hypothse remplace celle dchantillon alatoirepermettant au thorme centrale limite et la loi desgrands nombres de sappliquer aux sries temporelles.
Econometrie approfondie p. 64
Exemple: MA(1)
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M A(1) : xt = et + 1et1, o et i.i.d.(0, 2e ). Corr(xt, xt+1) = 11+2
1
.
Corr(xt, xt+h) = 0 h > 1.M A(1) est faiblement dpendent.
Exemple de processus M A(1).
Econometrie approfondie p. 65
Exemple: AR(1)
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.ox8/3/2019 Cours jusque p122
66/122
AR(1) : yt = 1yt1 + et, o et i.i.d.(0, 2e ).Si |1| < 1 Corr(yt, yt+h) = h1 h 1.AR(1) est faiblement dpendent si
|1|
< 1 car dans cecas, h1 0 si h .Exemple de processus AR(1) stable.
Voir les dtails mathmatiques dans le bouquin.
Econometrie approfondie p. 66
Proprits asymptotiques des MCO
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.ox8/3/2019 Cours jusque p122
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Nous allons montrer que les MCO sont encore valablesavec des hypothses plus faibles que celles postules auChapitre 10.Hypothses de base:
TS.1 yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut linaire en lesparamtres.
TS.1 yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut linaire en les
paramtres et (xt, yt) : t = 1, 2, . . . est stationnaire etfaiblement dpendant.
Econometrie approfondie p. 67
Proprits asymptotiques des MCO
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TS.2 E(ut|X) = 0 t moyenne conditionnelle nulletant donn les variables explicatives t= exognit stricte.
TS.2 E(ut|xt) = 0 moyenne conditionnelle nulletant donn les variables explicatives contemporaines
= exognit contemporaine implique que E(ut) = 0 et Cov(xtj , ut) = 0,j = 1, . . . , k.
Econometrie approfondie p. 68
Proprits asymptotiques des MCO
8/3/2019 Cours jusque p122
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TS.3 Pas de variable explicative constante et pas decollinarit parfaite.
TS.3 Idem.
Thorme 11.1: Sous les hypothses TS.1, TS.2 etTS.3, plimj = j j = 0, . . . , k.
AR(1): yt = 0 + 1yt1 + ut, o E(ut|yt1, yt2, . . .) = 0. E(yt|yt1, yt2, . . .) = E(yt|yt1) = 0 + 1yt1. seulement yt1 affecte la valeur espre de yt.
la valeur espre de y
test une fonction linaire de
yt1.
Econometrie approfondie p. 69
Estimation du modle AR(1)
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Comme xt contient seulement yt1,E(ut|yt1, yt2, . . .) = 0 implique que lhypothse TS.2tient.
Par contre TS.2 ne tient pas. En effet cette hypothseimplique que t, ut est non corrl avecx1, . . . , xt, . . . , xn. Ceci est faux pour un processusAR(1) carCov(xt+1, ut) = Cov(yt, ut) = Cov(0 + 1yt1 + ut, ut) =21Cov(yt1, ut) + Cov(ut, ut) = 0 +
2 > 0, alors queCov(yt1, ut) = 0 exognit contemporaine.
Pour que lhypothse de dpendance faible tienne il fautque |1| < 1. Thorme 11.1: Convergence desMCO.
Illustration: Modle classique et Modle AR(1).Econometrie approfondie p. 70
Proprits asymptotiques des MCO
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.ox8/3/2019 Cours jusque p122
71/122
TS.4 V ar(ut|X) = V ar(u) = 2,t = 1, . . . , n homoscdasticit.
TS.4 V ar(ut|xt) = 2,t = 1, . . . , n homoscdasticitcontemporaine.
TS.5 Corr(ut, us|X) = 0, t = s pas de corrlationsrielle.
TS.5 E(utus|xt, xs) = 0, t = s pas de corrlationsrielle.En pratique on omet souvent le conditionnement sur xtet xs et on vrifie que ut et us sont non-corrls. Econometrie approfondie p. 71
Proprits asymptotiques des MCO
http://-/?-http://-/?-8/3/2019 Cours jusque p122
72/122
Thorme 11.2: Sous les hypothses TS.1 - TS.5, lesestimateurs MCO sont asymptotiquement normalementdistribus. De plus, les cart-types standards sontasymptotiquement valides ainsi que les t, F et LMtests.Illustration: Modle classique et Modle AR(1).
Exemple: Tester lhypothse defficience des marchs.yt est le rendement hebdomadaire en % (le mercredi)du New York Stock Exchange composite index. Uneforme faible de lhypothse defficience des march
stipule que linformation publique disponible en t 1 nedoit pas permettre pour prdire yt E(yt|yt1, yt2, . . .) = E(yt).
Estimer un
AR(q)et tester
H0 :coefficient
AR(q)sont
nuls. Econometrie approfondie p. 72
Sries temporelles trs persistantes
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/NYSE.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/NYSE.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.ox8/3/2019 Cours jusque p122
73/122
Beaucoup de sries chronologiques sont trspersistantes, ce qui peut mener au rejet de lhypothsede dpendance faible voque plus haut.
Lexemple le plus courant est celui dune marchalatoire.
yt = yt1 + et, t = 1, 2, . . ., o et iid(0, 2e ).
AR(1) avec 1 = 1. yt = et + et1 + . . . + e1 + y0. E(yt) = E(et) + E(et1) + . . . + E(e1) + E(y0). E(yt) = E(y0), t 1. V ar(yt) =V ar(et) + V ar(et
1) + . . . + V ar(e1) + V ar(y0) = t
2e .
Econometrie approfondie p. 73
Sries temporelles trs persistantes
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.ox8/3/2019 Cours jusque p122
74/122
Persistance ? yt+h = et+h + et+h1 + . . . + et+1 + yt.
E(yt+h
|yt) = yt,
h
1.
Alors que pour un AR(1) : E(yt+h|yt) = h1yt. Corr(yt, yt+h) =
t/(t + h) 1 pour t grand.
une marche alatoire nest pascovariance-stationnaire. une marche alatoire nest pas faiblement
dpendante.Illustration.
Econometrie approfondie p. 74
Exemple de marche alatoire
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/Sim_covstat_rejected.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/Sim_covstat_rejected.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.ox8/3/2019 Cours jusque p122
75/122
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
2
4
6
8
10
12
14 Taux dintrt US obligataire 3 mois
Econometrie approfondie p. 75
Implication conomique
8/3/2019 Cours jusque p122
76/122
Si y est faiblement dpendant, une de politiqueconomique affectant y (ex: PNB) aujourdhui aura peudeffet dans quelques annes.
Par contre, si y suit une marche alatoire (ou plusgnralement a une racine unitaire, c--d 1 = 1), une de politique conomique affectant y aujourdhui auraun effet important dans plusieurs annes.
Tester la prsence dune racine unitaire a donc uneimplication conomique importante.
Econometrie approfondie p. 76
Marche alatoire avec tendance (drift)
8/3/2019 Cours jusque p122
77/122
yt = 0 + yt1 + et : AR(1) avec constante. yt = 0t + et + et1 + . . . + e1 + y0.
E(yt) = 0t si E(y0) = 0.
E(yt+h|yt) = 0h + yt, h 1. V ar(yt) = t2e .
Exemple de marche alatoire avec tendance.Comment dtecter une RU ?
Econometrie approfondie p. 77
Inspection Visuelle
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoireDrift.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoireDrift.ox8/3/2019 Cours jusque p122
78/122
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
60
80
100
120
140
160
180 NYSE stock price index
Econometrie approfondie p. 78
Correlogramme
8/3/2019 Cours jusque p122
79/122
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0 ACFNYSE stock price index
Econometrie approfondie p. 79
Difficile de distinguer RU et trend
8/3/2019 Cours jusque p122
80/122
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
0
50
100
yt
= 0.1+0.2t+et
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.25
0.50
0.75
1.00ACFy
t
Econometrie approfondie p. 80
Tester la prsence dune RU
8/3/2019 Cours jusque p122
81/122
Modle AR(1) : yt = + yt1 + et.y0 est suppos observ et E(et|yt1, yt2, . . . , y0) = 0.RU si = 1
H0 : = 1 et H1 : < 1.
Notons que: yt yt1 = + ( 1)yt1 + et. yt = + yt1 + et.RU si H
0: = 0 et H
1: < 0.
Problme sous H0, yt1 nest pas faiblement dpendantet donc les t-stats nont pas une distribution standard(thorme centrale limite pas applicable, mme pour n
grand). Il faut utiliser des valeurs critiques tabules parDickey Fuller (1979).
Econometrie approfondie p. 81
Tester la prsence dune RU
8/3/2019 Cours jusque p122
82/122
Valeurs critiques asymptotiques pour un test de RUavec constante mais sans trend: 1% 2.5% 5% 10%
Valeur critique -3.43 -3.12 -2.86 -2.57Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.
Notez que 5% la valeur critique traditionnelle pour n
grand est -1.65 contre -2.86.Limite: dans le test DF usuel, on suppose sous H0 queyt na pas dautocorrlation.
Econometrie approfondie p. 82
Test ADF
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf18/3/2019 Cours jusque p122
83/122
Le test ADF (Augment) gnralise le test de DF:yt = + yt1 + 1yt1 + . . . + pytp + et.
Les valeurs critiques sont les mmes que le test de DF.
Les t-stats de 1, . . . , p sont standardsasymptotiquement.
Le F-test 1 = . . . = p = 0 est valide asymptotiquement.
Inclure le bon nombre de lags est important car celapourrait affecter la fiabilit du test de RU. En effet, lesvaleurs critiques sont calcules en supposant que toute
la dynamique de yt a t modlise.Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.
Econometrie approfondie p. 83
Test ADF avec trend
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Nous avons voqu le fait quil est parfois difficile dedistinguer RU et tendance.
une srie peut donc tre stationnaire autour dun
trend, c--d yt t est faiblement dpendant.Il est donc important dinclure un trend dans le test ADFsi celui-ci est apparent (visuellement).
Le test ADF (Augment) gnralise le test de DF:yt = + t + yt1 + 1yt1 + . . . + pytp + et.
Sous H0 : = 0 et sous H1 : yt est stationnaire autour
dun trend.
Econometrie approfondie p. 84
Test ADF avec trend
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Les valeurs critiques sont diffrentes.Valeurs critiques asymptotiques pour un test de RUavec constante et avec trend:
1% 2.5% 5% 10%Valeur critique -3.96 -3.66 -3.41 -3.12
Le t-stat relatif au trend na pas une distributionstandard.
Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.
Il y a beaucoup dautres tests de RU qui ont tous leursavantages et inconvnients.
Econometrie approfondie p. 85
Que faire si yt a une RU ?
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Si yt = + yt1 + et yt yt yt1 = + et.Si par contre yt est stationnaire, yt est dit Intgrdordre 1 ou I(1) et yt est dit Intgr dordre 0 ou I(0).
Si lapplication le permet, on peut donc estimer parMCO un modle sur yt.
Dans beaucoup dapplications conomiques, on dfinit
des rendements en %: rt = 100log(yt) 100yt
yt1yt1 .
Si diffrentier les sries nest pas possible de part lanature de lapplication, on peut avoir recourt des
techniques plus avances connues sous le nomCointgration (voir section 18.4), permettant demodliser yt et non rt.
Quest-ce quune rgression fallacieuse (ou spuriousregression) ? Econometrie approfondie p. 86
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Corrlation srielle et htroskedasticit: Chapitre 12
Econometrie approfondie p. 87
Biais des MCO et autocorrlation
t 0 1 t t
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Supposons que yt = 0 + 1xt + ut.Supposons que le terme derreur suit unAR(1) : ut = ut1 + et avec | < 1| et et iid(0, 2e ).
Chapitre 10: TS.1-TS.3 MCO non-biaiss pourautant que x soit strictement exogne.
Chapitre 11: TS.1-TS.3 MCO consistant pourautant que yt soit faiblement dpendant et E(ut|xt) = 0.Rien nest dit sur le fait que ut ne puisse pas suivre unAR(1).
Par contre les MCO ne sont plus BLUE car violation deTS.5 et TS.5.
Econometrie approfondie p. 88
Efficience-Infrence des MCO
t 0 1 t t
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Estimation du modle yt = 0 + 1xt + ut par MCO, out suppos iid(0, 2) et pour simplifier x = 0.
Rappelons que ut suit en ralit un AR(1).
1 = 1 + SST1x
ni=1 xtut, o SSTx =
ni=1 x2t .
V ar(1) = SST2x V ar(
ni=1
xtut)
= SST2
x
n
i=1
x2
t
V ar(ut) + 2n1
t=1
nt
j=1
xtxt+jE(utut+j)
=2
SSTx+ 2
2
SST2x
n1
t=1
nt
j=1
jxtxt+j
Econometrie approfondie p. 89
Efficience-Infrence des MCO
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La formule traditionnelle ignore le second terme.Si > 0 on sous-estime V ar(1).Si < 0
on sur-estime V ar(1).
Question: Supposons que ut = et + et1. Montrez quela formule traditionnelle pour calculer V ar(1) estincorrecte si
= 0.
Econometrie approfondie p. 90
Tester la prsence dautocorrlation
D l dl l
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Dans le modle gnral:yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut comment tester laprsence de corrlation srielle ?
Deux types de tests:1. Tests bass sur lhypothse que X est strictementexogne: t-test ou DW.
2. Tests bass sur lhypothse que X nest passtrictement exogne.
Econometrie approfondie p. 91
Si X est strictement exogne
S t 0 + 1 t + t
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Supposons que yt = 0 + 1xt + ut.Nous voulons tester si le terme derreur suit unAR(1) : ut = ut1 + et avec | < 1|.H0 : = 0.Dveloppons tout dabord un test valide quand n estgrand et quand X est strictement exogne.
Hypothses supplmentaires disant en quelque sorteque et est iid:E(et|ut1, ut2, . . .) = 0 et V ar(et|ut1) = V ar(et) = 2e .
Si les ut taient observs on pourrait utiliser leThorme 11.2 pour valider lutilisation asymptotiquedes t-tests dans la rgression ut = ut1 + et.
Que ce passe-t-il si on remplaceut
parut
? A noter queut dpend de 0 et de 1. Econometrie approfondie p. 92
Marche suivre pour le t-test
E ti yt 0 + 1xt + ut t bt i ut
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Estimer yt = 0 + 1xt + ut et obtenir ut.Estimer ut = ut1 + et.
Utiliser un t-test pour tester H0 : = 0 contre
H1 : 0.
Econometrie approfondie p. 93
Test de Durbin-Watson
L t t d D bi W t t t t t t t
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Le test de Durbin-Watson est une autre test pour testerla corrlation srielle dordre 1 sous lhypothse que Xest strictement exogne.
La statistique DW =
n
t=2(ut
ut1)
2nt=1
u2t , o ut est le rsidudune rgression du typeyt = 0 + 1x1t + . . . + betakxkt + ut.
Il est facile de montrer que DW 2(1 ).Durbin et Watson (1951) ont driv la distribution deDW conditionnellement X sous lhypothse que les
hypothses du modle linaire classique sont vrifies(incluant la normalit).
La distribution de DW dpend de n, k, et du fait quon ainclut une constante ou pas.
Econometrie approfondie p. 94
Test de Durbin-Watson
Notons que
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Notons quent=2(ut ut1)2 =
nt=2 u
2t +n
t=2 u2t1 2
nt=2 utut1.
Si = 1 DW = 0.
Si = 1 DW = 4.Si = 0 DW = 2.H0 : = 0 contre gnralement H1 : > 0.
Durbin et Watson (1951) reportent des valeurs critiquesinfrieures dL et suprieures dU.
Si dL
DW
dU, on ne rejette pas H0.
La plupart des logiciels conomtriques reportent DWmais pas les valeurs critiques.
Econometrie approfondie p. 95
Table de Durbin-Watson pour H1 : > 0
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Econometrie approfondie p. 96
Si X nest pas strictement exogne
Durbin (1970 propose un autre test valable si X nest
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Durbin (1970 propose un autre test valable si X n estpas strictement exogne, par exemple si le modlecontient yt1 comme variable explicative.
i) Estimer le modle yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut etobtenir ut, t = 1, 2, . . . , n.ii) Estimer le modle ut = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut1,
t = 2, 3, . . . , n et obtenir ainsi que t.
iii) Utiliser t de la manire usuelle pour testerH0 : = 0 contre H1 : 0.
On rgresse ut sur xt et ut
1 et donc on permet
chaque xtj dtre corrl avec ut1.
t a approximativement une distribution en t si n estgrand.
Econometrie approfondie p. 97
Tester un AR(q)
i) Estimer le modle yt = 0 + 1xt1 + + kxtk + ut etb i
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i) Estimer le modle y = + x + . . . + x + u etobtenir ut, t = 1, 2, . . . , n.ii) Estimer le modle
ut = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + 1ut1 + . . . + qutq,t = q + 1, q + 2, . . . , n.iii) Effectuer le F-test suivant H0 : 1 = . . . = q = 0contre H1 : un des j 0,
j = 1, . . . , q.
Si les xt sont supposs strictement exognes, ont peutles omettre dans les tapes i) et ii).
A noter que ces tests supposentV ar(ut|xt, ut1, . . . , utq) = 2. Il existe une version deces tests robuste lhtroskedasticit comme on leverra plus loin.
Econometrie approfondie p. 98
Tester un AR(q)
Une alternative a F -test est dutiliser un LagrangeM l i li (LM) T ( ) 2
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Une alternative a F-test est d utiliser un LagrangeMultiplier (LM) Test: LM = (n q)R2u,o R2u est le R
2 de la rgressionut = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + 1ut
1 + . . . + qut
q,
t = q + 1, q + 2, . . . , n.Sous H0, LM 2q asymptotiquement.
Ce test est connu sous le nom de test deBreusch-Godfrey.
Il est test est disponible en Eviews (avec le F-test).
Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.ci3t = 0 + 1ci3t1.
Econometrie approfondie p. 99
Correction pour corrlation srielle
Si on dtecte de la corrlation srielle on peut modifierl dl i iti l t t d bt i dl
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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Si on dtecte de la corrlation srielle, on peut modifierle modle initial pour tenter dobtenir un modledynamiquement complet (ex: AR(1) AR(2)).Dans certains cas nous ne sommes pas intress parmodliser cette dynamique lintrt rside pluttdans les autres variables incluses dans le modle.
Mais linfrence est compromise
Que faire ?
Calculer des cart-types robustes nimporte quelleforme de corrlation srielle.
Econometrie approfondie p. 100
cart-types robustes
Considrons le modle yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut,t 1
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Considrons le modle y + + + + ,t = 1, . . . , n.
Comment obtenir un cart-type pour 1 robuste la
corrlation srielle ?xt1 = 0 + 2xt2 . . . + kxtk + rt, o E(rt) = 0 etCorr(rt, xtj) = 0, j 2.
Il est possible de montrer que Avar(1) = V ar(n
i=1 rtut)(n
i=1E(r2t ))
2 ,
o Avar dnote la variance asymptotique.
Sous lhypothse TS.5, at rtut est non corrlsriellement et donc la formule traditionnelle de V ar(1)est valide. Par contre si TS.5 ne tient pas, Avar(1) doittenir compte de la corrlation entre at et as
t
= s.
Econometrie approfondie p. 101
cart-types robustes
Newey et West (1987) et Wooldridge (1989) ont montrA ( ) t t ti d l i i t
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Newey et West (1987) et Wooldridge (1989) ont montrque Avar(1) peut tre estim de la manire suivante.
i) Estimer par MCO yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut,
t = 1, . . . , n. se(1) dnote lcart-type de 1 et lcart-type de ut.
ii) Estimer la rgression auxiliaire:
xt1 = 0 + 2xt2 . . . + kxtk + rt.iii) Calculer at = rtut, t = 1, . . . , n.iv) Pour une valuer g > 0 donne, calculer:
v =n
t=1 a2t + 2
gh=1[1 h/(g + 1)]
n
t=h+1 atath. g contrle la quantit" de corrlation srielle que
nous permettons.
Econometrie approfondie p. 102
cart-types robustes
Ex: g = 1, v =n
t=1 a2t +n
t=2 atat1.
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Ex: g ,
.v) Lcart-type robuste la corrlation srielle de 1 est:se(1) = [se(1)/2]
v.
On peut montrer que cet estimateur est aussi robuste toute forme dhtroskedasticit cas plus gnral dece qui est expos au Chapitre 8.
Comment choisir g ?La thorie nous dit que g doit crotre avec n.
Econometrie approfondie p. 103
Choix de g
Certains travaux ont suggr pour:des donnes annuelles g = 1 2;
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Certains travaux ont suggr pour:- des donnes annuelles g = 1, 2;- des donnes trimestrielles g = 4, 8;- des donnes mensuelles
g = 12, 24.
Newey et West (1987) recommandent de prendre lapartie entire de 4(n/100)2/9 implment en Eviews.Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.ci3t = 0 + 1ci3t1.
Econometrie approfondie p. 104
Htroscdasticit
Pour beaucoup de sries temporelles, lhypothse TS.4ou TS 4 dhomoscdasticit est viole
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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ou beaucoup de s es te po e es, ypot seou TS.4 d homoscdasticit est viole.
Exemple: Rendements journaliers du NYSE
naffecte pas le caractre non-biais ou convergentdes MCO mais invalide linfrence statistiquetraditionnelle.
Il existe deux manires daborder le problme li lhtroscdasticit.
i) Corriger les cart-types pour effectuer de linfrencecorrectement.
ii) Modliser la dynamique prsente dans la variance.
Econometrie approfondie p. 105
cart-types robustes la White (1980)
White (1980) propose une mthode permettant derendre les cart-types robustes toute forme
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre12/FIGNYSE_rend.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre12/FIGNYSE_rend.gwg8/3/2019 Cours jusque p122
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( ) p p prendre les cart types robustes toute formedhtroscdasticit.
offre une solution intressante, pour autant que
lintrt ne se porte que sur la modlisation de lamoyenne conditionnelle.
Eviews, ainsi que beaucoup dautres logiciels
conomtriques, offre cette option.Il est possible de montrer que la formule de White(1980) est un cas particulier de la formule de Newey et
West (1987) qui permet de tenir compte galementdune possible autocorrlation des rsidus.
Exemple: AR(1) sur NYSE
Econometrie approfondie p. 106
Tester la prsence dhtroscdasticit
Avant de modliser la dynamique prsente dans lavariance il est judicieux de tester la prsence
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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y q pvariance, il est judicieux de tester la prsencedhtroscdasticit afin davoir une meilleure ide dela spcification adopter.
Pour appliquer les tests prsents ci-dessous il fautsupposer que les rsidus ut sont non corrlsriellement tester avant.Test de Breusch-Pagan:u2t = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + vt; H0 : 1 = . . . + k = 0.
Pour utiliser un F-test, il faut que les cart-types des
MCO soient valables et donct que vt satisfasse TS.4 ouTS.4 et TS.5 ou TS.5.
Exemple:
AR(1) sur NYSE: Estimer u2
t = 0 + 1returnt1 + etEconometrie approfondie p. 107
Modles ARCH
Considrons un modle simple: yt = 0 + 1zt + ut.Une caractristique largement admise des sries
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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pUne caractristique largement admise des sriesfinancires frquence leve est que la variance nestpas constante au court du temps et quil existe desgrappes de volatilit. Si la variance en t est grande, elle le seraprobablement demain et les jours qui suivent.
Si la variance en t est petite, elle le seraprobablement demain et les jours qui suivent.
Engle (1982) a propos un modle appel ARCH:
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.
Econometrie approfondie p. 108
Modles ARCH
La caractristique du modle ARCH(1) est que:E(u2t |ut 1, ut 2, . . .) = E(u2t |ut 1) = 0 + 1u2t 1, alors
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q ( ) qE(ut |ut1, ut2, . . .) E(ut |ut1) 0 + 1ut1, alorsque E(u2t |ut1, ut2, . . .) = 0.
Les ut sont non corrls sriellement alors que les u2t lesont.
Conditions de positivit: E(u2t |ut1) > 0, t 0 > 0 et1
0.
Si 1 = 0 homoscdasticit. on peut tester la prsence deffets ARCH en
estimant ce modle (sur ut), voir une version plustendue (plus de retards).
On peut tester 1, . . . , q = 0 en utilisant un LMtest ouF
test.
Econometrie approfondie p. 109
[ps,default,slideColor,colorBG]prosper[latin1]inputenc pstricks,pst-node,pst-text,pst-3d amsmath
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Pooling de donnes cross-section ou mthodes simplesde donnes de panel: Chapitre 13
Econometrie approfondie p. 110
Pooling
Une srie cross-section constitue bien souvent unensemble de donnes relatives des units (individus,
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(firmes, etc.) interroges un moment donn.
Dans certains cas, lenqute est rpte plusieurs foisdonnant lieu des chantillons diffrents, reprsentatifsde la population.
La technique du pooling suppose que les diffrents
chantillons sont chaque fois tirs alatoirement de lapopulation.
On nobserve pas ncessairement les mmes units. On dispose de plusieurs chantillons indpendants. Par consquent, Corr(ut, us) = 0, t = s et donc onpeut donc empiler les enqutes et effectuer une
analyse MCO traditionnelle. Econometrie approfondie p. 111
Panel
Par contre, lorsquon observe la mme unit au courtdu temps, on parle de donnes de panel ou
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longitudinales.
Par consquent, on ne peut pas supposer que lesobservations sont indpendantes. Un facteur non-observ (comme le QI) qui affecte lesalaire dun individu en 1995 va galement affecter son
salaire en 2000. Requiert des techniques particulires pour traiter ceproblme.
Empiler les chantillons et utiliser les MCO donnedes estimateurs biaiss.
Econometrie approfondie p. 112
Technique de pooling
Beaucoup denqutes auprs des mnages sontrptes au court du temps.
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Vu que le taux dattrition est souvent assez grand, onveille interroger de nouvelles personnes pouraccrotre lchantillon. On a alors des chantillons indpendants.Pourquoi effectuer plusieurs enqutes ?
Pour avoir plus dobservations et donc plus deprcision dans lestimation des paramtres et descart-types.
Econometrie approfondie p. 113
Technique de pooling
Pour effectuer des tests ncessitant lutilisationdobservations diffrents moments du temps.
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Exemple: Pour tester lefficacit dune politiqueconomique il faut des observations avant et aprs la
mise en oeuvre de la politique.Etude de cas: La base de donnes FERTIL1.wf1concerne ltude de Sanders (1994) sur la fertilit aux
USA.Frquence: une enqute tous les 2 ans de 1972 1984 7 vagues.
La question pose est Comment volue la fertilit aucourt du temps ? aprs avoir contrl pour desfacteurs tels que ducation ge, race, rgion ( 16 ans),environnement ( 16 ans).
Econometrie approfondie p. 114
Variable dpendante: KIDS
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -7.742457 3.051767 -2.537040 0.0113EDUC -0.128427 0.018349 -6.999272 0.0000
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/fertil1.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/fertil1.wf18/3/2019 Cours jusque p122
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AGE 0.532135 0.138386 3.845283 0.0001AGESQ -0.005804 0.001564 -3.710324 0.0002BLACK 1.075658 0.173536 6.198484 0.0000EAST 0.217324 0.132788 1.636626 0.1020NORTHCEN 0.363114 0.120897 3.003501 0.0027WEST 0.197603 0.166913 1.183867 0.2367FARM -0.052557 0.147190 -0.357072 0.7211OTHRURAL -0.162854 0.175442 -0.928248 0.3535TOWN 0.084353 0.124531 0.677367 0.4983SMCITY 0.211879 0.160296 1.321799 0.1865
Y74 0.268183 0.172716 1.552737 0.1208Y76 -0.097379 0.179046 -0.543881 0.5866Y78 -0.068666 0.181684 -0.377945 0.7055Y80 -0.071305 0.182771 -0.390136 0.6965Y82 -0.522484 0.172436 -3.030016 0.0025Y84 -0.545166 0.174516 -3.123871 0.0018
R-squared 0.129512 Mean dependent var 2.743136Adjusted R-squared 0.116192 S.D. dependent var 1.653899S.E. of regression 1.554847 Akaike info criterion 3.736447Sum squared resid 2685.898 Schwarz criterion 3.816627Log likelihood -2091.224 F-statistic 9.723282Durbin-Watson stat 2.010694 Prob(F-statistic) 0.000000
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Donnes de Panel 2 priodes
Supposons maintenant que nous disposons desdonnes individuelles pour lesquelles un individu estb t
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observ en t = 1 et t = 2.
Exemple: la base de donne CRIME2 comprend desdonnes sur les taux de criminalit et de chmage pour46 villes amricaines en 1982 et 1987.
Estimation pour lanne 1987 : Rsultat.
Comment expliquer ce rsultat ? Si chmageaugmente, le crime diminue.
Variables omises observables ? On pourrait contrler
pour des facteurs tels que (la distribution de) lge,ducation, etc.
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Donnes de Panel 2 priodes
Variables omises non-observables ? On peut imaginerque certains de ces facteurs sont constants au court dut t t i i t t d t
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temps et certains varient au court du temps.
yit = 0 + 0d2t + 1xit + ai + uit, t = 1, 2.
i unit et t temps.d2t = 0 si t = 1 et d2t = 1 si t = 2 intercept diffrentpour t = 1 ou 2.
ai capture tous les facteur non-observ affectant yit effet non-observ ou fixe
Ce modle sappelle donc modle effet non-observou effet fixe.
uit est le terme derreur idiosyncratique ou variant dansle temps.
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Exemple
crmrteit = 0 + 0d87t + 1unemit + ai + uit, t = 1, 2.ai reprend tous les autres facteurs affectant le taux de
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criminalit qui ne varient pas entre t = 1 et 2.
caractristiques gographiques (localisations auxUSA). caractristiques dmographiques (age, race,ducation, etc.): a vrifier.
certaines villes peuvent avoir leurs proprescomptabiliser les crimes.
Comment estimer 1 ?
Pooling ?
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Pooling
yit = 0 + 0d2t + 1xit + vit, t = 1, 2. vit = ai + uit
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Pour estimer ce modle par MCO il faut supposer que
ai est non corrl avec xit sinon vit (erreur compos)serait corrl avec xit.
Si ce nest pas le cas les MCO donne lieu un biaisdhtrognit non observe.
Biais d lomission dune variable constante aucourt du temps.
Exemple: CRIME.
92 observations: 46 villes et 2priodes.
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Panel
Si ai est corrl avec xit, la technique du pooling estdonc inapproprie.
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Solution simple: estimer un modle en diffrencepremire.
yi1 = 0 + 1xi1 + ai + ui1 (t = 1)
yi2 = (0 + 0) + 1xi2 + ai + ui2 (t = 2)
Par consquent,
(yi2 yi1) = 0 + 1(xi2 xi1) + (ui2 ui1)yi = 0 + 1xi + ui
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Panel
yi = 0 + 1xi + ui peut tre estim par MCO si leshypothses traditionnelles sont valides.
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En particulier, il faut que Corr(ui, xi) = 0, ce qui estnaturellement vrai si Corr(uit, xit) = 0,
t = 1, 2.
Dans notre exemple Corr(ui, unemi) = 0 ?
Faux si par exemple si leffort dapplication de la loi(
uit) augmente plus dans des villes o le taux dechmage diminue Corr(uit,unemit) < 0 biais desMCO.
Important: on ne peut estimer par cette mthode leffet
de variables constantes au court du temps (zi).Exemple: Distance par rapport la capitale zi = 0.Exemple: CRIME.
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