Cours jusque p122

8/3/2019 Cours jusque p122

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Economtrie approfondieMichel BEINE

[email protected]

CADRE,Universite de Lille2, France

et DULBEA, Universite Libre de Bruxelles, Belgique.

http://www.users.skynet.be/fa560029

Econometrie approfondie p. 1


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Manuel

Le cours dconomtrie II est bas sur le livreIntroductory Econometrics, a Modern Approach(second edition) de Jeffrey M. Wooldridge, dition

Thomson South-Western.Sur le site web : http://www.swcollege.com/bef/wooldridge/... wooldridge2e/wooldridge2e.html

il y a des donnes ncessaires pour lesexercices et plusieurs liens intressants.



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Plan du cours

Rappels: Chapitres 1-9 Partie I.

Partie II: Sries temporelles.

Chapitre 10. Introduction.

Chapitre 11. Proprits des MCO.

Chapitre 12. Corrlation srielle et htroscdasticit.



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Plan du cours

Partie III: Techniques avances.

Chapitre 13. Pooling: Mthodes simples de Panel.

Chapitre 14. Donnes de Panel: techniques avances.Chapitre 15. Variables instrumentales et MCO en 2tapes.

Chapitre 16. Modles quations simultanes.



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Infos pratiques

Logiciel conomtrique: Celui que vous voulez Eviews, Rats, PcGive, etc.

Examen: modalits discuter.



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Rappels Structure des donnes: Chapitre 1



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Structure des donnes

Il existe 3 types de donnes. Chaque type de donnes peutappeler des techniques conomtriques particulires.

Donnes Cross-section.

Sries temporelles.

Donnes de Panel.



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Donnes Cross-section

chantillon dindividus, mnages, firmes, ..., pris unpoint du temps donn.

Important: on peut souvent supposer que les obs. =chantillon alatoire simplifie lanalyse.Donnes trs utilises en conomie et sciencessociales

micro applique: march du travail, finances

publiques, organisation industrielle, conomie spatiale,dmographie, conomie de la sant, etc.

Example: Wage1.wf1.

http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/wage1.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/wage1.wf1


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Sries temporelles

Sries chronologiques. Ex: PNB, importations, indicesde prix, etc.

Important: Rarement indpendantes au court du temps complexifie lanalyse.Diffrentes frquences: annuel, trimestriel, mensuel,hebdomadaire, journalier, intra-journalier.

Donnes trs utilises en macro-conomie et enfinance.

Example: PRMINWGE.wf1.

http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/PRMINWGE.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/PRMINWGE.wf1


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Donnes de panel

Srie temporelle pour chaque unit/individu.

Important: la mme unit est observe plusieurs fois aucourt du temps.

Example: WAGEPAN.wf1.

http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/WAGEPAN.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/WAGEPAN.wf1


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Rappels Modle de rgression simple: Chapitre 2



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Modle de rgression simple

Objectif: estimer un modle du type

wage = 0 + 1educ + u. (1)

De manire gnrale:

y = 0 + 1x + u. (2)

(??) est suppos tenir sur la population dintrt.u est le terme derreur (alas) = facteurs non-observsautres que x qui affectent y.

u et x sont des variables alatoires.Interprtation Ceteris Paribus: Si u = 0 (autresfacteurs inchangs)

y = 1x.



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Modle de rgression simple

Pour estimer 0 et 1 et garder cette interprtation CP ilfaut faire certaines hypothses.

E(u) = 0: normalisation

on ne perd rien.

E(u|x) = E(u): pour toute valeur de x, la moyenne desu correspondantes est la mme.

implique la non-corrlation (linaire). Ex:

wage = 0 + 1educ + u E(abil|8) = E(abil|16).En combinant ces 2 hypothses: E(u|x) = E(u) = 0: hyp. moyenne cond. nulle. E(y|x) = 0 + 1x: fonction de rgression de lapopulation.



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Estimation de 0 et 1

(xi, yi) : i = 1, . . . , n = chantillon alatoire de taille n tir dela population.

yi = 0 + 1xi + ui,

i.

E(u) = 0 E(y 0 1x) = 0.E(u|x) = 0 Cov. nulle entre u et x

E[(y

0

1x)x] = 0.

Pour obtenir 0 et 1 on va rsoudre ce systme enremplaant E(.) par son quivalant empirique1/n

n

i=1

(.).



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Estimation de 0 et 1

n1n

i=1

(yi 0 1xi) = 0 (3)

n1n

i=1

[(yi 0 1xi)xi] = 0 (4)

0 = y 1x (5) 1 =

ni=1(xi x)(yi y)

ni=1(xi

x)2si > 0

. (6)

Estimation de 0 et 1 par la mthode des moments.



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Moindres carrs ordinaires (MCO)

minb0,b1n

i=1(yi b0 b1xi)2 2 quations de premierordre:

2n

i=1

(yi 0 1xi) = 0 (7)

2n

i=1

[(yi 0

1xi)xi] = 0 (8)

0 = y 1x (9)

1 = n

i=1(xi x)(yi y)ni=1(xi x)2 si > 0 . (10)

Estimation de 0 et 1 par la mthode des MCO donne les

mme 0 et 1.Econometrie approfondie p. 16


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Proprits des estimateurs MCO

SLR=Simple Linear Regression.

SLR.1 y = 0 + 1x + u linaire en les paramtres.

SLR.2 (xi, yi) : i = 1, . . . , n chantillon alatoire detaille n tir de la population.SLR.3 E(u|x) = 0 moyenne conditionnelle nulle.Permet de driver les proprits des MCOconditionnellement aux valeurs de xi dans notrechantillon. Techniquement identique supposer xifixes dans des chantillons rpts (pas trs raliste).

SLR.4

ni=1(xi x)2 = 0 variation dans les x.Thorme 2.1: Sous les hypothses SLR.1 - SLR.4,E(0) = 0 et E(1) = 1.



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SLR.5 V ar(u|x) = 2 homoscdasticit.Thorme 2.2: Sous les hypothses SLR.1 - SLR.5,

V ar(0) =2n1

ni=1 x

2in

i=1(xi x)2

V ar(1) = 2ni=1(xi x)2

Thorme 2.3: Sous les hypothses SLR.1 - SLR.5,E(2) = 2, o 2 = 1n2

ni=1 u2i .



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Rappels Modle de rgression multiple: Chapitre 3



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Modle de rgression multiple

Objectif: estimer un modle du type

wage = 0 + 1educ + 2exper + u. (11)

De manire gnrale:

y = 0 + 1x1 + . . . + kxk + u. (12)

OLS: minb0,b1,...,bk

ni=1(yi b0 b1xi1 . . . bkxik)2.


i i


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Modle de rgression multiple

Exemple: y = 0 + 1x1 + 2x2 + u. Comment obtenir 1 ?

Rgresser x1 sur x2: x1 = 0 + 1x2.Calculer r1 = x1 x1.1 =

ni=1

ri1yi

n

i=1r2i1

.

1 est bien leffet net de x1 sur y, o net signifie aprsavoir tenu compte de leffet des autres variables.



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Goodness-of-Fit

Il est possible de dcomposer la variabilit observe sur y,c--d SSTni=1(yi y)2, en 2 quantits:

SSEni=1(yi y)2: variabilit explique par lemodle;

SSR ni=1 u2i : variabilit non-explique par lemodle.

SST = SSE+ SSR.On peut donc dfinir une mesure de qualit de la

rgression (GoF):R2 = SSE/SST compris entre 0 et 1.


P it d ti t MCO


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MLR=Multiple Linear Regression.

MLR.1 y = 0 + 1x1 + . . . + kxk + u linaire en lesparamtres.

MLR.2 (x1i, . . . , xki, yi) : i = 1, . . . , n chantillonalatoire de taille n tir de la population.

MLR.3 E(u|x1, . . . , xk) = 0

moyenne conditionnelle

nulle.MLR.4

ni=1(xji x)2 = 0 j = 1, . . . , k et pas de

relation linaire parfaite entre les xj

variation dans

les xj et pas de collinarit parfaite.Thorme 3.1: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.4,E(j) = k

j = 0, . . . , k.


P it d ti t MCO


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MLR.5 V ar(u|x1, . . . , xk) = 2 homoscdasticit.Thorme 3.2: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.5,

V ar(j) =2

(1R2j )n

i=1(xij xj)2

oR

2

jest le

R

2 de le rgression dexj

sur les autresx(+ une constante).

Thorme 3.3: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.5(appeles hypothses de Gauss-Markov),E(2) = 2, o 2 = 1nk1

ni=1 u

2i .

Thorme 3.4 o thorme de Gauss-Markov: Sousles hypothses MLR.1 - MLR.5, j est BLUE,i = 0, . . . , k.



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Rappels Infrence: Chapitre 4


H th d lit


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Hypothse de normalit

Pour faire de linfrence statistique, il faut ajouter unehypothse supplmentaire:

MLR.6 u

N(0, 2) et indpendant des xj

normalit.

Les hypothses MLR.1 - MLR.6 sont appeleshypothses classiques du modle linaire (CLM) =Gauss-Markov + normalit.

CLM MCO la variance minimale.Comment justifier cette hypothse de normalit desrsidus ?

Si u est la somme de beaucoup de facteursnon-observs diffrents, on peut appeler le thormecentral limite pour justifier la normalit.


Th C t l Li it
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig41.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig41.jpg


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Thorme Central Limite

Soit Y1, Y2, . . . , Y n un chantillon de variables alatoiresde moyenne et de variance 2.

Zn =Yn

/n suit asymptotiquement une distributionN(0,1).

Si Y 2(1), = 1 et 2 = 2.

Exemple.


I f
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/clt/clt.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/clt/clt.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/N_et_chi2.eps


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Infrence

Thorme 4.1: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.6,j N(j, V a r(j)), i = 0, . . . , k, oV ar(j) =

2

(1R2

j )n

i=1(xijxj)2 .

Exemple.

Thorme 4.2: Sous les hypothses MLR.1 - MLR.6,jjse(j) tnk1, i = 0, . . . , k, ose(j) =

V ar(j) et 2 est remplac par 2.

On peut donc tester H0 : j = aj contreH1 : j aj.


P ale r
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig44.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig44.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig42.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig42.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig44.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prg


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P-valeur

P-valeur: Quelle est le plus petit niveau designificativit auquel H0 serait rejet.

Comment la calculer? Prendre la t-stat et regarder

quel pourcentile elle correspond dans la distribution deStudent approprie.

Rejeter H0 si la P-Valeur < au seuil fix (ex: 5%).


Tests multiples de restrictions linaires


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Tests multiples de restrictions linaires

Si H0 : j = 0 pour j 0, 1, . . . , k. Ex: H0 : 1 = 2 = 0.et H1 : H0 nest pas vrai.

1) Estimer le modle non contraint. 2) Estimer le modle contraint.

3) Calculer la statistique F

(SSRcSSRnc)/qSSRnc/(n

k

1) , o SSR

dnote la somme des carrs des rsidus et les indices cet nc signifient respectivement contraint etnon-contraint.

Sous H0, F Fq,nk1, o F =Fisher.Rejet H0, si F > c, o c = Fq,nk1.


Exercices rcapitulatifs
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig47.jpghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/Fig47.jpg


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Exercices rcapitulatifs

Exercice 4.12.Exercice 4.17.

Exercice 4.19.

http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Vote1.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Wage2.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Wage2.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/Vote1.wf1


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Rappels proprits asymptotiques des MCO: Chapitre 5


Proprits exactes des MCO


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Proprits exactes des MCO

Pour prouver le caractre non-biais et BLUE des MCOnous avons impos des hypothses assez fortes(MLR.1-MLR.5).

Idem pour effectuer de linfrence statistique (MLR.6:normalit).

Ces proprits sont vraies quel que soit la taille de

lchantillon (n). On parle ds lors de proprit exacte, dchantillonfini, ou encore de petit chantillon.


Proprits asymptotiques des MCO


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Dans certains cas, le rejet de certaines hypothses nesignifie pas que les MCO sont invalides.

Ex: non-normalit de u.

En effet, les MCO peuvent tre encore valides engrand chantillon sous des hypothses plus faibles.

tudier les proprits statistiques pour n grand =

tudier les proprits asymptotiques.Nouveau concept: CONVERGENCE.




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Pour rappel. Thorme 3.1: Sous les hypothsesMLR.1 - MLR.4, E(j) = k j = 0, . . . , k.Pour rappel. MLR.3 E(u

|x1, . . . , xk) = 0

moyenne

conditionnelle nulle.On a vu que E(u|x1) = 0 implique Cov(u, x1) = 0.Dfinition: plim = Limite en probabilit = valeur verslaquelle un estimateur converge lorsque la taille delchantillon tend vers linfini. Voir page 741.

Hors, il est possible de montrer que:

plim 1 = 1 +Cov(x1, u)

V ar(x1)

= 1, si Cov(u, x1) = 0.Econometrie approfondie p. 35



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Il est possible de relcher MLR.3 pour prouver toutde mme que les MCO sont convergents.

MLR.3 E(u) = 0 et Cov(xj, u) = 0j = 1, . . . , k

moyenne nulle et correlation nulle. Sous les hypothses MLR.1 - MLR.2 - MLR.3 -MLR.4, j est un estimateur convergent de j,

j = 1, . . . , k.


Normalit asymptotique


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La normalit ne joue aucun rle dans le caractrenon-biass des MCO ni dans leur caractre BLUE.

Par contre, pour effectuer de linfrence statistique nous

avons suppos que u N(0, 2) et donc que ladistribution de y|x1, . . . , xk est normale. distribution symtrique autour de sa moyenne. peut prendre des valeurs sur . plus de 95% des observations sont comprises entre2 cart-types.




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Devons nous abandonner les t-stats si u nest pasnormalement distribu ?

Non: on fait appel au thorme central limite pour

conclure que les MCO satisfont la normalitasymptotique.

Si n grand, j est approximativement N(j, V a r(j)).

Illustration via une Simulation de Monte-Carlo: Prg,Output n=2000,Output n=30.

http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_2000.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_30.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_30.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/simas_2000.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Rappels/sim_norm.prg


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Rappels Htroscdasticit: Chapitre 8


Consquences de lhtroscdasticit


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Co sque ces de t oscdast c t

Une fois de plus lhtroscdasticit na pas dinfluencesur le caractre non-biais ou convergent des MCO.

Par contre la formule traditionnelle de V ar(j) donne un

estimateur biais de la variance des estimateurs silhypothse dhomoscdasticit est viole.

Infrence incorrecte si on utilise cette formule.

MCO ne sont plus BLUE.Solution 1: Corriger cette formule cart-typesrobustes lhtroscdasticit (White, 1980).

Solution 2: Dterminer la source de cettehtroscdasticit et la prendre en compte danslestimation

Moindres Carrs Pondrs.



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Rgression avec des sries temporelles: Chapitre 10


Sries temporelles


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p

Les sries chronologiques diffrent des sriescross-section pour plusieurs raisons:

lordre (temporel) importe;

le pass influence souvent le futur; la notion dchantillon alatoire est plus discutablecar on na quune seule ralisation (sauf si on pense

que des conditions initiales = auraient donn uneralisation =).Example: Phillips.wf1.

Question: Peut-on toujours utiliser les MCO avec cessries ?


Sries temporelles
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/Phillips.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/Data/Eviews/Phillips.wf1


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p

Il y a deux types principaux de modles de sriestemporelles simples:

les modles statiques du type:

yt = 0 + 1zt + ut, t = 1, . . . , n .

les modles dynamiques du type:yt = 0 + 0zt + 1zt1 + . . . + qztq + ut, t = 1, . . . , n .


Modles statiques


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q

yt = 0 + 1zt + ut, t = 1, . . . , n .

yt = 1zt si ut = 0 Effet immdiat.Example 1. Courbe de Phillips (annuel):inft = 0 + 1unemt + ut.Example 2. Consommation de tabac (mensuel):ConsTabact = 0 + 1DepPublt + ut.


Modles dynamiques


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y q

FDL(2): yt = 0 + 0zt + 1zt1 + 2zt2 + ut, t = 1, . . . , n .

Supposons que z = c, observation avant t.En t

z = c + 1.

En t + 1, t + 2, . . . , n z = c.Pour simplifier supposons que ut = 0.


Modles dynamiques: temporaire


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yt1 = 0 + 0c + 1c + 2c

yt = 0 + 0(c + 1) + 1c + 2c

yt+1 = 0 + 0c + 1(c + 1) + 2c

yt+2 = 0 + 0c + 1c + 2(c + 1)

yt+3 = 0 + 0c + 1c + 2c

Multiplicateurs dimpactAprs un changement temporaire dune unit de z (c--dz = 1)

yt yt1 = 0 = effet immdiat sur y. yt+1 yt1 = 1 = effet dans 1 priode sur y. yt+2 yt1 = 2 = effet dans 2 priodes sur y.


Modles dynamiques: permanente


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yt1 = 0 + 0c + 1c + 2c

yt = 0 + 0(c + 1) + 1c + 2c

yt+1 = 0 + 0(c + 1) + 1(c + 1) + 2cyt+2 = 0 + 0(c + 1) + 1(c + 1) + 2(c + 1)

Multiplicateur de long-termeAprs un changement permanent dune unit de z (c--dz = 1) yt yt1 = 0 = effet immdiat sur y. yt+1 yt1 = 0 + 1 = effet dans 1 priode sur y. yt+2 yt1 = 0 + 1 + 2 = effet dans 2 priodes sur y.qi=0 i = multiplicateur de long-terme.


Proprits des MCO


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Nous allons montrer que les MCO sont encore valablesavec des sries temporelles et faire le parallle avec lessries cross-section. Hypothses de base:

MLR.1 y = 0 + 1x1 + . . . + kxk + u linaire en lesparamtres.

TS.1 yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut linaire en lesparamtres. Ex: xt3 = salairet2.

MLR.2 (x1i, . . . , xki, yi) : i = 1, . . . , n

chantillon

alatoire de taille n tir de la population.

Pas ncessaire.


Proprits des MCO


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MLR.3 E(u|x1, . . . , xk) = 0 moyenne conditionnellenulle.

TS.2 E(ut|X) = 0 t moyenne conditionnelle nulletant donn les variables explicatives t

= exognit stricte. implique exognit contemporaine (hypothse plusfaible) : E(ut|xt) = 0).Pour des sries cross-section, pas ncessaire de

vrifier E(ut|X) = 0 t , c--d Corr(ui, xj) pour i = j carMLR.2.! Ne dit rien sur Corr(ut, us) ou Corr(yt, ys) pour t = s!


Causes du rejet de TS.2


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Modle statique simple: yt = 0 + 1zt + ut.TS.2 Corr(ut, zt) = 0 et Corr(ut, zs) = 0 t = s.

Variables omises zt1

Corr(ut, zt

1)

= 0.

Erreurs de mesure dans des variables exognes.Corr(ut, zt+1) = 0.Ex: mrdrtet = 0 + 1polpct + ut o mrdrte = taux de

criminalit dans une ville et polpc = nombre de policierspar personne.Quand +mrdrtet non explique +ut.Si dans ce cas la ville engage plus de policiers(+polpct) corr(polpct+1, ut) > 0.


Proprits des MCO


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MLR.4

ni=1(xji x)2 = 0 j = 1, . . . , k et pas de

relation linaire parfaite entre les xj variation dans lesxj et pas de collinarit parfaite.

TS.3 Pas de variable explicative constante et pas decollinarit parfaite.

Thorme 10.1: Sous les hypothses TS.1 - TS.3,E(j) = j j = 0, . . . , k (conditionnellement X).


Proprits des MCO


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MLR.5 V ar(u|x1, . . . , xk) = 2 homoscdasticit.

TS.4 V ar(ut|

X) = V ar(u) = 2

t = 1, . . . , n

homoscdasticit.Exemple de violation: NASDAQ, donnes journalires(+ de 4000 observations).

TS.5 Corr(ut, us|X) = 0, t = s pas de corrlationsrielle.Exemple de violation: Corr(ut, ut1) = 0.5.

Thorme 10.2: Sous les hypothses TS.1 - TS.5(appeles hypothses de Gauss-Markov des sriestemporelles), V ar(j) =

2

(1R2j )n

t=1(xtjxj)2 , o R

2j est le

R2 de la rgression de xj sur les autres x (+ une cst).Econometrie approfondie p. 52

Proprits des MCO
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Nasdaq.in7http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/AR1.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Nasdaq.in7


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Thorme 10.3: Sous les hypothses TS.1 - TS.5,E(2) = 2, o 2 = 1nk1

nt=1 u

2t .

Thorme 10.4 o thorme de Gauss-Markov:

Sous les hypothses TS.1 - TS.5, j est BLUE,i = 0, . . . , k (conditionnellement X).

mme proprits quavec des sries cross-section.

Pour effectuer de linfrence statistique il fautgalement supposer:MLR.6 u N(0, 2) et indpendant des xj normalit.

TS.6 u N(0, 2) et indpendant de X normalit.Linfrence classique est dapplication.


Exemple 10.2 et exercice 10.7


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En utilisant la base de donnes INTDEF.wf1, estimez lemodle de tx dintrt suivant:i3t = 0 + 1inft + 2deft + ut,

o i3 est le tx dintrt obligataire 3 mois, inf est le txdinflation annuel bas sur lindice des prix laconsommation et def est le dficit budgtaire en % duPNB.

En Octobre 1979, la FED a chang sa politique pourmodifier la masse montaire en utilisant directementlinstrument du tx dintrt.

Comment tenir compte de cette information ? Est-ce que cela change les rsultats ?


Trend linaire
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/INTDEF.wf1


55/122

Beaucoup de sries ont un trend. Ex:Output par heure aux USA (47-87).

Modle du type: yt = 0 + 1t + et, t = 1, . . . , n.

Quand et = 0, yt = yt yt1 = 1. Ceteris paribus, 1 mesure la yt due au passagedu temps.

E(yt) = 0 + 1t. Croissant ou dcroissant enfonction de 1.

V ar(yt) = V ar(et). Le trend na pas deffet sur la

variance de yt. On appelle ce type de trend: trend linaire.


Trend exponentiel
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figure102.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figure102.eps


56/122

Beaucoup de sries sont mieux reprsentes par destrend exponentiels.

Ex: Srie mensuelle reprsentant le nombre de

demandeurs demploi dans le canton dAnderson danslIndiana sur la priode 1980.1 1988.11. Figures:Chmeurs et log(Chmeurs).

Appelle plutt une modlisation du typelog(yt) = 0 + 1t + et, t = 1, . . . , n.

comme log(yt) ytyt1yt1 pour log(yt) petit,

log(yt) = 1 est approximativement le taux decroissance moyen par priode de yt.


Trend quadratique
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Chomeurs.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/logChomeurs.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/logChomeurs.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Chomeurs.eps


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Autre modle: yt = 0 + 1t + 2t2 + et, t = 1, . . . , n. ytt = 1 + 22t. Si 1 > 0 et 2 < 0, le trend a uneforme en bosse.


Exemple


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Donnes annuelles (1947-1988) sur linvestissementimmobilier (invpc) et sur un indice des prix immobilier(price, 1982 = 1). Graphique des donnes.

Modle simple sans trend.Llasticit Investissement-Indice de prix est trs leve:1.241 et statistiquement > 0.

Modle simple avec trend.Llasticit Investissement-Indice de prix est ngativemais non significative. Par contre le trend est significatif

et implique environ une hausse de 1% par an de invpc.De plus le R2 est pass de 0.208 0.341.

relation fallacieuse explique par un trend commun,c--d lexistence dune variable omise qui expliquelvolution conjointe des deux sries. Econometrie approfondie p. 58

Autre interprtation
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figureinvhous.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous1.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous2.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous2.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous1.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/Figureinvhous.eps


59/122

Modle estim: yt = 0 + 1xt1 + 2xt2 + 3t.Il est facile de montrer que lon peut obtenir galement1 et 2 de cette manire.

Rgresser par MCO:yt sur cst et trend; sauver les rsidus: yt.xt1 sur cst et trend;

sauver les rsidus: xt1.

xt2 sur cst et trend; sauver les rsidus: xt2.Rgresser par MCO yt sur x

t1 et x

t2 (avec ou sans

constante).

Revenons lexemple prcdant. Graphiqueslog(invpc) et log(price).

Important: le R2 = 0.008

sur les variables

dtrendes, log(price) nexplique rien de lvolution delog(invpc). Econometrie approfondie p. 59
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous3.outhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_linvpc.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_lprice.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_lprice.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/detrend_linvpc.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre10/OLSInvHous3.out


60/122

Sries temporelles (plus) avances: Chapitre 11


Rappels


61/122

Nous avons tudi les proprits des MCO enchantillon fini.

Nous avons obtenu les mme proprits avec des

sries temporelles quavec des sries cross-sectionmais au prix dhypothses trs fortes.

Nous allons tenter de relcher certaines hypothses

comme celle dexognit stricte, hypothse viole sipar exemple X comprend yti avec i > 0.

On ne pourra plus tudier le comportement enchantillon fini des MCO mais bien le comportement

asymptotique (n grand).On va devoir introduire pour cela 2 nouveaux concepts:la stationnarit et la dpendance faible.


Stationnarit


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Dfinition formelle: Le processus{xt : t = 1, 2, . . .} eststrictement stationnaire si pour chaque collectiondindices de temps1 t1 < t2 < . . . < tm, la distributionjointe de(x

t1, x

t2, . . . , x

tm) est la mme que la

distribution jointe de(xt1+h, xt2+h, . . . , xtm+h), entierh 1.Les xt peuvent tre corrls mais la corrlation doit tre

constante.Exemple de processus non-stationnaire:yt = 0 + 1t + et, t = 1, . . . , n et et iid(0, 1). E(yt) = 0 + 1t.Par contre, yt 0 1t est stationnaire.Il est trs difficile de tester lhypothse de stationnarit.


Processus Covariance-stationnaire


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Dfinition: Un processus stochastique{xt : t = 1, 2, . . .}avec second moment fini [E(x2t ) < ] estcovariance-stationnairesi:

i) E(xt) est constante;ii) V ar(xt) est constante;iii) t, h 1,Cov(xt, xt+h) dpend seulement deh etnon det.

implique uniquement les 2 premiers moments.Si un processus stationnaire a E(x2t ) < il estcovariance-stationnaire.

Linverse nest pas vrai.

Exemples : Rejet et non rejet de lhypothses decovariance-stationnarit.


Dpendance faible
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Rejet_covstat.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/nonRejet_covstat.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/nonRejet_covstat.epshttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Rejet_covstat.eps


64/122

Dfinition 1: Un processus stationnaire{xt : t = 1, 2, . . .}est faiblement dpendant sixt etxt+h sontindpendant au fur et mesure que h .

Dfinition 2: Un processus covariance-stationnaire{xt : t = 1, 2, . . .} est faiblement dpendant siCorr(xt, xt+h) 0 suffisamment rapidement sih .

Cette hypothse remplace celle dchantillon alatoirepermettant au thorme centrale limite et la loi desgrands nombres de sappliquer aux sries temporelles.


Exemple: MA(1)


65/122

M A(1) : xt = et + 1et1, o et i.i.d.(0, 2e ). Corr(xt, xt+1) = 11+2

1

.

Corr(xt, xt+h) = 0 h > 1.M A(1) est faiblement dpendent.

Exemple de processus M A(1).


Exemple: AR(1)
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMA1.ox


66/122

AR(1) : yt = 1yt1 + et, o et i.i.d.(0, 2e ).Si |1| < 1 Corr(yt, yt+h) = h1 h 1.AR(1) est faiblement dpendent si

|1|

< 1 car dans cecas, h1 0 si h .Exemple de processus AR(1) stable.

Voir les dtails mathmatiques dans le bouquin.


http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimAR1.ox


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Nous allons montrer que les MCO sont encore valablesavec des hypothses plus faibles que celles postules auChapitre 10.Hypothses de base:

TS.1 yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut linaire en lesparamtres.

TS.1 yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut linaire en les

paramtres et (xt, yt) : t = 1, 2, . . . est stationnaire etfaiblement dpendant.




68/122

TS.2 E(ut|X) = 0 t moyenne conditionnelle nulletant donn les variables explicatives t= exognit stricte.

TS.2 E(ut|xt) = 0 moyenne conditionnelle nulletant donn les variables explicatives contemporaines

= exognit contemporaine implique que E(ut) = 0 et Cov(xtj , ut) = 0,j = 1, . . . , k.




69/122

TS.3 Pas de variable explicative constante et pas decollinarit parfaite.

TS.3 Idem.

Thorme 11.1: Sous les hypothses TS.1, TS.2 etTS.3, plimj = j j = 0, . . . , k.

AR(1): yt = 0 + 1yt1 + ut, o E(ut|yt1, yt2, . . .) = 0. E(yt|yt1, yt2, . . .) = E(yt|yt1) = 0 + 1yt1. seulement yt1 affecte la valeur espre de yt.

la valeur espre de y

test une fonction linaire de

yt1.


Estimation du modle AR(1)


70/122

Comme xt contient seulement yt1,E(ut|yt1, yt2, . . .) = 0 implique que lhypothse TS.2tient.

Par contre TS.2 ne tient pas. En effet cette hypothseimplique que t, ut est non corrl avecx1, . . . , xt, . . . , xn. Ceci est faux pour un processusAR(1) carCov(xt+1, ut) = Cov(yt, ut) = Cov(0 + 1yt1 + ut, ut) =21Cov(yt1, ut) + Cov(ut, ut) = 0 +

2 > 0, alors queCov(yt1, ut) = 0 exognit contemporaine.

Pour que lhypothse de dpendance faible tienne il fautque |1| < 1. Thorme 11.1: Convergence desMCO.

Illustration: Modle classique et Modle AR(1).Econometrie approfondie p. 70

http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.ox


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TS.4 V ar(ut|X) = V ar(u) = 2,t = 1, . . . , n homoscdasticit.

TS.4 V ar(ut|xt) = 2,t = 1, . . . , n homoscdasticitcontemporaine.

TS.5 Corr(ut, us|X) = 0, t = s pas de corrlationsrielle.

TS.5 E(utus|xt, xs) = 0, t = s pas de corrlationsrielle.En pratique on omet souvent le conditionnement sur xtet xs et on vrifie que ut et us sont non-corrls. Econometrie approfondie p. 71

http://-/?-http://-/?-


72/122

Thorme 11.2: Sous les hypothses TS.1 - TS.5, lesestimateurs MCO sont asymptotiquement normalementdistribus. De plus, les cart-types standards sontasymptotiquement valides ainsi que les t, F et LMtests.Illustration: Modle classique et Modle AR(1).

Exemple: Tester lhypothse defficience des marchs.yt est le rendement hebdomadaire en % (le mercredi)du New York Stock Exchange composite index. Uneforme faible de lhypothse defficience des march

stipule que linformation publique disponible en t 1 nedoit pas permettre pour prdire yt E(yt|yt1, yt2, . . .) = E(yt).

Estimer un

AR(q)et tester

H0 :coefficient

AR(q)sont

nuls. Econometrie approfondie p. 72

Sries temporelles trs persistantes
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/NYSE.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/NYSE.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCAR1.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMC.ox


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Beaucoup de sries chronologiques sont trspersistantes, ce qui peut mener au rejet de lhypothsede dpendance faible voque plus haut.

Lexemple le plus courant est celui dune marchalatoire.

yt = yt1 + et, t = 1, 2, . . ., o et iid(0, 2e ).

AR(1) avec 1 = 1. yt = et + et1 + . . . + e1 + y0. E(yt) = E(et) + E(et1) + . . . + E(e1) + E(y0). E(yt) = E(y0), t 1. V ar(yt) =V ar(et) + V ar(et

1) + . . . + V ar(e1) + V ar(y0) = t

2e .


Sries temporelles trs persistantes
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoire.ox


74/122

Persistance ? yt+h = et+h + et+h1 + . . . + et+1 + yt.

E(yt+h

|yt) = yt,

h

1.

Alors que pour un AR(1) : E(yt+h|yt) = h1yt. Corr(yt, yt+h) =

t/(t + h) 1 pour t grand.

une marche alatoire nest pascovariance-stationnaire. une marche alatoire nest pas faiblement

dpendante.Illustration.


Exemple de marche alatoire
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/Sim_covstat_rejected.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/Sim_covstat_rejected.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/CorrMarcheAleatoire.ox


75/122

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

2

4

6

8

10

12

14 Taux dintrt US obligataire 3 mois


Implication conomique


76/122

Si y est faiblement dpendant, une de politiqueconomique affectant y (ex: PNB) aujourdhui aura peudeffet dans quelques annes.

Par contre, si y suit une marche alatoire (ou plusgnralement a une racine unitaire, c--d 1 = 1), une de politique conomique affectant y aujourdhui auraun effet important dans plusieurs annes.

Tester la prsence dune racine unitaire a donc uneimplication conomique importante.


Marche alatoire avec tendance (drift)


77/122

yt = 0 + yt1 + et : AR(1) avec constante. yt = 0t + et + et1 + . . . + e1 + y0.

E(yt) = 0t si E(y0) = 0.

E(yt+h|yt) = 0h + yt, h 1. V ar(yt) = t2e .

Exemple de marche alatoire avec tendance.Comment dtecter une RU ?


Inspection Visuelle
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoireDrift.oxhttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre11/Ox/SimMCMarcheAleatoireDrift.ox


78/122

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

60

80

100

120

140

160

180 NYSE stock price index


Correlogramme


79/122

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 ACFNYSE stock price index


Difficile de distinguer RU et trend


80/122

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

0

50

100

yt

= 0.1+0.2t+et

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.25

0.50

0.75

1.00ACFy

t


Tester la prsence dune RU


81/122

Modle AR(1) : yt = + yt1 + et.y0 est suppos observ et E(et|yt1, yt2, . . . , y0) = 0.RU si = 1

H0 : = 1 et H1 : < 1.

Notons que: yt yt1 = + ( 1)yt1 + et. yt = + yt1 + et.RU si H

0: = 0 et H

1: < 0.

Problme sous H0, yt1 nest pas faiblement dpendantet donc les t-stats nont pas une distribution standard(thorme centrale limite pas applicable, mme pour n

grand). Il faut utiliser des valeurs critiques tabules parDickey Fuller (1979).


Tester la prsence dune RU


82/122

Valeurs critiques asymptotiques pour un test de RUavec constante mais sans trend: 1% 2.5% 5% 10%

Valeur critique -3.43 -3.12 -2.86 -2.57Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.

Notez que 5% la valeur critique traditionnelle pour n

grand est -1.65 contre -2.86.Limite: dans le test DF usuel, on suppose sous H0 queyt na pas dautocorrlation.


Test ADF


83/122

Le test ADF (Augment) gnralise le test de DF:yt = + yt1 + 1yt1 + . . . + pytp + et.

Les valeurs critiques sont les mmes que le test de DF.

Les t-stats de 1, . . . , p sont standardsasymptotiquement.

Le F-test 1 = . . . = p = 0 est valide asymptotiquement.

Inclure le bon nombre de lags est important car celapourrait affecter la fiabilit du test de RU. En effet, lesvaleurs critiques sont calcules en supposant que toute

la dynamique de yt a t modlise.Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.


Test ADF avec trend


84/122

Nous avons voqu le fait quil est parfois difficile dedistinguer RU et tendance.

une srie peut donc tre stationnaire autour dun

trend, c--d yt t est faiblement dpendant.Il est donc important dinclure un trend dans le test ADFsi celui-ci est apparent (visuellement).

Le test ADF (Augment) gnralise le test de DF:yt = + t + yt1 + 1yt1 + . . . + pytp + et.

Sous H0 : = 0 et sous H1 : yt est stationnaire autour

dun trend.


Test ADF avec trend


85/122

Les valeurs critiques sont diffrentes.Valeurs critiques asymptotiques pour un test de RUavec constante et avec trend:

1% 2.5% 5% 10%Valeur critique -3.96 -3.66 -3.41 -3.12

Le t-stat relatif au trend na pas une distributionstandard.

Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.

Il y a beaucoup dautres tests de RU qui ont tous leursavantages et inconvnients.


Que faire si yt a une RU ?


86/122

Si yt = + yt1 + et yt yt yt1 = + et.Si par contre yt est stationnaire, yt est dit Intgrdordre 1 ou I(1) et yt est dit Intgr dordre 0 ou I(0).

Si lapplication le permet, on peut donc estimer parMCO un modle sur yt.

Dans beaucoup dapplications conomiques, on dfinit

des rendements en %: rt = 100log(yt) 100yt

yt1yt1 .

Si diffrentier les sries nest pas possible de part lanature de lapplication, on peut avoir recourt des

techniques plus avances connues sous le nomCointgration (voir section 18.4), permettant demodliser yt et non rt.

Quest-ce quune rgression fallacieuse (ou spuriousregression) ? Econometrie approfondie p. 86


87/122

Corrlation srielle et htroskedasticit: Chapitre 12


Biais des MCO et autocorrlation

t 0 1 t t


88/122

Supposons que yt = 0 + 1xt + ut.Supposons que le terme derreur suit unAR(1) : ut = ut1 + et avec | < 1| et et iid(0, 2e ).

Chapitre 10: TS.1-TS.3 MCO non-biaiss pourautant que x soit strictement exogne.

Chapitre 11: TS.1-TS.3 MCO consistant pourautant que yt soit faiblement dpendant et E(ut|xt) = 0.Rien nest dit sur le fait que ut ne puisse pas suivre unAR(1).

Par contre les MCO ne sont plus BLUE car violation deTS.5 et TS.5.


Efficience-Infrence des MCO

t 0 1 t t


89/122

Estimation du modle yt = 0 + 1xt + ut par MCO, out suppos iid(0, 2) et pour simplifier x = 0.

Rappelons que ut suit en ralit un AR(1).

1 = 1 + SST1x

ni=1 xtut, o SSTx =

ni=1 x2t .

V ar(1) = SST2x V ar(

ni=1

xtut)

= SST2

x

n

i=1

x2

t

V ar(ut) + 2n1

t=1

nt

j=1

xtxt+jE(utut+j)

=2

SSTx+ 2

2

SST2x

n1

t=1

nt

j=1

jxtxt+j


Efficience-Infrence des MCO


90/122

La formule traditionnelle ignore le second terme.Si > 0 on sous-estime V ar(1).Si < 0

on sur-estime V ar(1).

Question: Supposons que ut = et + et1. Montrez quela formule traditionnelle pour calculer V ar(1) estincorrecte si

= 0.


Tester la prsence dautocorrlation

D l dl l


91/122

Dans le modle gnral:yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut comment tester laprsence de corrlation srielle ?

Deux types de tests:1. Tests bass sur lhypothse que X est strictementexogne: t-test ou DW.

2. Tests bass sur lhypothse que X nest passtrictement exogne.


Si X est strictement exogne

S t 0 + 1 t + t


92/122

Supposons que yt = 0 + 1xt + ut.Nous voulons tester si le terme derreur suit unAR(1) : ut = ut1 + et avec | < 1|.H0 : = 0.Dveloppons tout dabord un test valide quand n estgrand et quand X est strictement exogne.

Hypothses supplmentaires disant en quelque sorteque et est iid:E(et|ut1, ut2, . . .) = 0 et V ar(et|ut1) = V ar(et) = 2e .

Si les ut taient observs on pourrait utiliser leThorme 11.2 pour valider lutilisation asymptotiquedes t-tests dans la rgression ut = ut1 + et.

Que ce passe-t-il si on remplaceut

parut

? A noter queut dpend de 0 et de 1. Econometrie approfondie p. 92

Marche suivre pour le t-test

E ti yt 0 + 1xt + ut t bt i ut


93/122

Estimer yt = 0 + 1xt + ut et obtenir ut.Estimer ut = ut1 + et.

Utiliser un t-test pour tester H0 : = 0 contre

H1 : 0.


Test de Durbin-Watson

L t t d D bi W t t t t t t t


94/122

Le test de Durbin-Watson est une autre test pour testerla corrlation srielle dordre 1 sous lhypothse que Xest strictement exogne.

La statistique DW =

n

t=2(ut

ut1)

2nt=1

u2t , o ut est le rsidudune rgression du typeyt = 0 + 1x1t + . . . + betakxkt + ut.

Il est facile de montrer que DW 2(1 ).Durbin et Watson (1951) ont driv la distribution deDW conditionnellement X sous lhypothse que les

hypothses du modle linaire classique sont vrifies(incluant la normalit).

La distribution de DW dpend de n, k, et du fait quon ainclut une constante ou pas.


Test de Durbin-Watson

Notons que


95/122

Notons quent=2(ut ut1)2 =

nt=2 u

2t +n

t=2 u2t1 2

nt=2 utut1.

Si = 1 DW = 0.

Si = 1 DW = 4.Si = 0 DW = 2.H0 : = 0 contre gnralement H1 : > 0.

Durbin et Watson (1951) reportent des valeurs critiquesinfrieures dL et suprieures dU.

Si dL

DW

dU, on ne rejette pas H0.

La plupart des logiciels conomtriques reportent DWmais pas les valeurs critiques.


Table de Durbin-Watson pour H1 : > 0


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Si X nest pas strictement exogne

Durbin (1970 propose un autre test valable si X nest


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Durbin (1970 propose un autre test valable si X n estpas strictement exogne, par exemple si le modlecontient yt1 comme variable explicative.

i) Estimer le modle yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut etobtenir ut, t = 1, 2, . . . , n.ii) Estimer le modle ut = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut1,

t = 2, 3, . . . , n et obtenir ainsi que t.

iii) Utiliser t de la manire usuelle pour testerH0 : = 0 contre H1 : 0.

On rgresse ut sur xt et ut

1 et donc on permet

chaque xtj dtre corrl avec ut1.

t a approximativement une distribution en t si n estgrand.


Tester un AR(q)

i) Estimer le modle yt = 0 + 1xt1 + + kxtk + ut etb i


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i) Estimer le modle y = + x + . . . + x + u etobtenir ut, t = 1, 2, . . . , n.ii) Estimer le modle

ut = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + 1ut1 + . . . + qutq,t = q + 1, q + 2, . . . , n.iii) Effectuer le F-test suivant H0 : 1 = . . . = q = 0contre H1 : un des j 0,

j = 1, . . . , q.

Si les xt sont supposs strictement exognes, ont peutles omettre dans les tapes i) et ii).

A noter que ces tests supposentV ar(ut|xt, ut1, . . . , utq) = 2. Il existe une version deces tests robuste lhtroskedasticit comme on leverra plus loin.


Tester un AR(q)

Une alternative a F -test est dutiliser un LagrangeM l i li (LM) T ( ) 2


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Une alternative a F-test est d utiliser un LagrangeMultiplier (LM) Test: LM = (n q)R2u,o R2u est le R

2 de la rgressionut = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + 1ut

1 + . . . + qut

q,

t = q + 1, q + 2, . . . , n.Sous H0, LM 2q asymptotiquement.

Ce test est connu sous le nom de test deBreusch-Godfrey.

Il est test est disponible en Eviews (avec le F-test).

Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.ci3t = 0 + 1ci3t1.


Correction pour corrlation srielle

Si on dtecte de la corrlation srielle on peut modifierl dl i iti l t t d bt i dl


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Si on dtecte de la corrlation srielle, on peut modifierle modle initial pour tenter dobtenir un modledynamiquement complet (ex: AR(1) AR(2)).Dans certains cas nous ne sommes pas intress parmodliser cette dynamique lintrt rside pluttdans les autres variables incluses dans le modle.

Mais linfrence est compromise

Que faire ?

Calculer des cart-types robustes nimporte quelleforme de corrlation srielle.


cart-types robustes

Considrons le modle yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut,t 1


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Considrons le modle y + + + + ,t = 1, . . . , n.

Comment obtenir un cart-type pour 1 robuste la

corrlation srielle ?xt1 = 0 + 2xt2 . . . + kxtk + rt, o E(rt) = 0 etCorr(rt, xtj) = 0, j 2.

Il est possible de montrer que Avar(1) = V ar(n

i=1 rtut)(n

i=1E(r2t ))

2 ,

o Avar dnote la variance asymptotique.

Sous lhypothse TS.5, at rtut est non corrlsriellement et donc la formule traditionnelle de V ar(1)est valide. Par contre si TS.5 ne tient pas, Avar(1) doittenir compte de la corrlation entre at et as

t

= s.


cart-types robustes

Newey et West (1987) et Wooldridge (1989) ont montrA ( ) t t ti d l i i t


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Newey et West (1987) et Wooldridge (1989) ont montrque Avar(1) peut tre estim de la manire suivante.

i) Estimer par MCO yt = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + ut,

t = 1, . . . , n. se(1) dnote lcart-type de 1 et lcart-type de ut.

ii) Estimer la rgression auxiliaire:

xt1 = 0 + 2xt2 . . . + kxtk + rt.iii) Calculer at = rtut, t = 1, . . . , n.iv) Pour une valuer g > 0 donne, calculer:

v =n

t=1 a2t + 2

gh=1[1 h/(g + 1)]

n

t=h+1 atath. g contrle la quantit" de corrlation srielle que

nous permettons.


cart-types robustes

Ex: g = 1, v =n

t=1 a2t +n

t=2 atat1.


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Ex: g ,

.v) Lcart-type robuste la corrlation srielle de 1 est:se(1) = [se(1)/2]

v.

On peut montrer que cet estimateur est aussi robuste toute forme dhtroskedasticit cas plus gnral dece qui est expos au Chapitre 8.

Comment choisir g ?La thorie nous dit que g doit crotre avec n.


Choix de g

Certains travaux ont suggr pour:des donnes annuelles g = 1 2;


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Certains travaux ont suggr pour:- des donnes annuelles g = 1, 2;- des donnes trimestrielles g = 4, 8;- des donnes mensuelles

g = 12, 24.

Newey et West (1987) recommandent de prendre lapartie entire de 4(n/100)2/9 implment en Eviews.Exemple: Taux dintrt US obligataire 3 mois.ci3t = 0 + 1ci3t1.


Htroscdasticit

Pour beaucoup de sries temporelles, lhypothse TS.4ou TS 4 dhomoscdasticit est viole


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ou beaucoup de s es te po e es, ypot seou TS.4 d homoscdasticit est viole.

Exemple: Rendements journaliers du NYSE

naffecte pas le caractre non-biais ou convergentdes MCO mais invalide linfrence statistiquetraditionnelle.

Il existe deux manires daborder le problme li lhtroscdasticit.

i) Corriger les cart-types pour effectuer de linfrencecorrectement.

ii) Modliser la dynamique prsente dans la variance.


cart-types robustes la White (1980)

White (1980) propose une mthode permettant derendre les cart-types robustes toute forme
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre12/FIGNYSE_rend.gwghttp://c/Cours/Econom2/Wooldridge/latex/Chapitre12/FIGNYSE_rend.gwg


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( ) p p prendre les cart types robustes toute formedhtroscdasticit.

offre une solution intressante, pour autant que

lintrt ne se porte que sur la modlisation de lamoyenne conditionnelle.

Eviews, ainsi que beaucoup dautres logiciels

conomtriques, offre cette option.Il est possible de montrer que la formule de White(1980) est un cas particulier de la formule de Newey et

West (1987) qui permet de tenir compte galementdune possible autocorrlation des rsidus.

Exemple: AR(1) sur NYSE


Tester la prsence dhtroscdasticit

Avant de modliser la dynamique prsente dans lavariance il est judicieux de tester la prsence
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1


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y q pvariance, il est judicieux de tester la prsencedhtroscdasticit afin davoir une meilleure ide dela spcification adopter.

Pour appliquer les tests prsents ci-dessous il fautsupposer que les rsidus ut sont non corrlsriellement tester avant.Test de Breusch-Pagan:u2t = 0 + 1xt1 + . . . + kxtk + vt; H0 : 1 = . . . + k = 0.

Pour utiliser un F-test, il faut que les cart-types des

MCO soient valables et donct que vt satisfasse TS.4 ouTS.4 et TS.5 ou TS.5.

Exemple:

AR(1) sur NYSE: Estimer u2

t = 0 + 1returnt1 + etEconometrie approfondie p. 107

Modles ARCH

Considrons un modle simple: yt = 0 + 1zt + ut.Une caractristique largement admise des sries
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/nyse.wf1


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pUne caractristique largement admise des sriesfinancires frquence leve est que la variance nestpas constante au court du temps et quil existe desgrappes de volatilit. Si la variance en t est grande, elle le seraprobablement demain et les jours qui suivent.

Si la variance en t est petite, elle le seraprobablement demain et les jours qui suivent.

Engle (1982) a propos un modle appel ARCH:

Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.


Modles ARCH

La caractristique du modle ARCH(1) est que:E(u2t |ut 1, ut 2, . . .) = E(u2t |ut 1) = 0 + 1u2t 1, alors


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q ( ) qE(ut |ut1, ut2, . . .) E(ut |ut1) 0 + 1ut1, alorsque E(u2t |ut1, ut2, . . .) = 0.

Les ut sont non corrls sriellement alors que les u2t lesont.

Conditions de positivit: E(u2t |ut1) > 0, t 0 > 0 et1

0.

Si 1 = 0 homoscdasticit. on peut tester la prsence deffets ARCH en

estimant ce modle (sur ut), voir une version plustendue (plus de retards).

On peut tester 1, . . . , q = 0 en utilisant un LMtest ouF

test.


[ps,default,slideColor,colorBG]prosper[latin1]inputenc pstricks,pst-node,pst-text,pst-3d amsmath


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Pooling de donnes cross-section ou mthodes simplesde donnes de panel: Chapitre 13


Pooling

Une srie cross-section constitue bien souvent unensemble de donnes relatives des units (individus,


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(firmes, etc.) interroges un moment donn.

Dans certains cas, lenqute est rpte plusieurs foisdonnant lieu des chantillons diffrents, reprsentatifsde la population.

La technique du pooling suppose que les diffrents

chantillons sont chaque fois tirs alatoirement de lapopulation.

On nobserve pas ncessairement les mmes units. On dispose de plusieurs chantillons indpendants. Par consquent, Corr(ut, us) = 0, t = s et donc onpeut donc empiler les enqutes et effectuer une

analyse MCO traditionnelle. Econometrie approfondie p. 111

Panel

Par contre, lorsquon observe la mme unit au courtdu temps, on parle de donnes de panel ou


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longitudinales.

Par consquent, on ne peut pas supposer que lesobservations sont indpendantes. Un facteur non-observ (comme le QI) qui affecte lesalaire dun individu en 1995 va galement affecter son

salaire en 2000. Requiert des techniques particulires pour traiter ceproblme.

Empiler les chantillons et utiliser les MCO donnedes estimateurs biaiss.


Technique de pooling

Beaucoup denqutes auprs des mnages sontrptes au court du temps.


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Vu que le taux dattrition est souvent assez grand, onveille interroger de nouvelles personnes pouraccrotre lchantillon. On a alors des chantillons indpendants.Pourquoi effectuer plusieurs enqutes ?

Pour avoir plus dobservations et donc plus deprcision dans lestimation des paramtres et descart-types.


Technique de pooling

Pour effectuer des tests ncessitant lutilisationdobservations diffrents moments du temps.


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Exemple: Pour tester lefficacit dune politiqueconomique il faut des observations avant et aprs la

mise en oeuvre de la politique.Etude de cas: La base de donnes FERTIL1.wf1concerne ltude de Sanders (1994) sur la fertilit aux

USA.Frquence: une enqute tous les 2 ans de 1972 1984 7 vagues.

La question pose est Comment volue la fertilit aucourt du temps ? aprs avoir contrl pour desfacteurs tels que ducation ge, race, rgion ( 16 ans),environnement ( 16 ans).


Variable dpendante: KIDS

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -7.742457 3.051767 -2.537040 0.0113EDUC -0.128427 0.018349 -6.999272 0.0000
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/fertil1.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/fertil1.wf1


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AGE 0.532135 0.138386 3.845283 0.0001AGESQ -0.005804 0.001564 -3.710324 0.0002BLACK 1.075658 0.173536 6.198484 0.0000EAST 0.217324 0.132788 1.636626 0.1020NORTHCEN 0.363114 0.120897 3.003501 0.0027WEST 0.197603 0.166913 1.183867 0.2367FARM -0.052557 0.147190 -0.357072 0.7211OTHRURAL -0.162854 0.175442 -0.928248 0.3535TOWN 0.084353 0.124531 0.677367 0.4983SMCITY 0.211879 0.160296 1.321799 0.1865

Y74 0.268183 0.172716 1.552737 0.1208Y76 -0.097379 0.179046 -0.543881 0.5866Y78 -0.068666 0.181684 -0.377945 0.7055Y80 -0.071305 0.182771 -0.390136 0.6965Y82 -0.522484 0.172436 -3.030016 0.0025Y84 -0.545166 0.174516 -3.123871 0.0018

R-squared 0.129512 Mean dependent var 2.743136Adjusted R-squared 0.116192 S.D. dependent var 1.653899S.E. of regression 1.554847 Akaike info criterion 3.736447Sum squared resid 2685.898 Schwarz criterion 3.816627Log likelihood -2091.224 F-statistic 9.723282Durbin-Watson stat 2.010694 Prob(F-statistic) 0.000000


Donnes de Panel 2 priodes

Supposons maintenant que nous disposons desdonnes individuelles pour lesquelles un individu estb t


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observ en t = 1 et t = 2.

Exemple: la base de donne CRIME2 comprend desdonnes sur les taux de criminalit et de chmage pour46 villes amricaines en 1982 et 1987.

Estimation pour lanne 1987 : Rsultat.

Comment expliquer ce rsultat ? Si chmageaugmente, le crime diminue.

Variables omises observables ? On pourrait contrler

pour des facteurs tels que (la distribution de) lge,ducation, etc.


Donnes de Panel 2 priodes

Variables omises non-observables ? On peut imaginerque certains de ces facteurs sont constants au court dut t t i i t t d t
http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/CRIME2.wf1http://c/Cours/Econom2/Wooldridge/data/Eviews/CRIME2.wf1


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temps et certains varient au court du temps.

yit = 0 + 0d2t + 1xit + ai + uit, t = 1, 2.

i unit et t temps.d2t = 0 si t = 1 et d2t = 1 si t = 2 intercept diffrentpour t = 1 ou 2.

ai capture tous les facteur non-observ affectant yit effet non-observ ou fixe

Ce modle sappelle donc modle effet non-observou effet fixe.

uit est le terme derreur idiosyncratique ou variant dansle temps.


Exemple

crmrteit = 0 + 0d87t + 1unemit + ai + uit, t = 1, 2.ai reprend tous les autres facteurs affectant le taux de


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criminalit qui ne varient pas entre t = 1 et 2.

caractristiques gographiques (localisations auxUSA). caractristiques dmographiques (age, race,ducation, etc.): a vrifier.

certaines villes peuvent avoir leurs proprescomptabiliser les crimes.

Comment estimer 1 ?

Pooling ?


Pooling

yit = 0 + 0d2t + 1xit + vit, t = 1, 2. vit = ai + uit


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Pour estimer ce modle par MCO il faut supposer que

ai est non corrl avec xit sinon vit (erreur compos)serait corrl avec xit.

Si ce nest pas le cas les MCO donne lieu un biaisdhtrognit non observe.

Biais d lomission dune variable constante aucourt du temps.

Exemple: CRIME.

92 observations: 46 villes et 2priodes.


Panel

Si ai est corrl avec xit, la technique du pooling estdonc inapproprie.


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Solution simple: estimer un modle en diffrencepremire.

yi1 = 0 + 1xi1 + ai + ui1 (t = 1)

yi2 = (0 + 0) + 1xi2 + ai + ui2 (t = 2)

Par consquent,

(yi2 yi1) = 0 + 1(xi2 xi1) + (ui2 ui1)yi = 0 + 1xi + ui


Panel

yi = 0 + 1xi + ui peut tre estim par MCO si leshypothses traditionnelles sont valides.


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En particulier, il faut que Corr(ui, xi) = 0, ce qui estnaturellement vrai si Corr(uit, xit) = 0,

t = 1, 2.

Dans notre exemple Corr(ui, unemi) = 0 ?

Faux si par exemple si leffort dapplication de la loi(

uit) augmente plus dans des villes o le taux dechmage diminue Corr(uit,unemit) < 0 biais desMCO.

Important: on ne peut estimer par cette mthode leffet

de variables constantes au court du temps (zi).Exemple: Distance par rapport la capitale zi = 0.Exemple: CRIME.


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