c Christophe Bertault - MPSI Convexit

Exercice 1

1) Montrer que la fonction x 7 ln lnx est concave sur ]1,[.2) Montrer que pour tous x, y ]1,[ : ln x ln y 6 ln x+ y

2.

Exercice 2

On note f la fonction dfinie sur [0, 1[ par f(0) = 0 et pour tout x ]0, 1[ : f(x) = 1ln x

.

1) Etudier la continuit et la drivabilit de f sur [0, 1[.2) Etudier la convexit/concavit de f sur [0, 1[, ses ventuels points dinflexion etles tangentes en ces points.

3) Tracer lallure de la courbe reprsentative de f .

Exercice 3

1) Montrer que la fonction x 7 ln(1 + ex) est convexe sur R.

2) Montrer que pour tous (xk)16k6n (R

+

)n: 1+

(n

k=1

xk

) 1n

6

(n

k=1

(1 + xk)

) 1n

.

3) En dduire que pour tous (xk)16k6n, (yk)16k6n (R

+

)n:

(n

k=1

xk

) 1n

+

(n

k=1

yk

) 1n

6

(n

k=1

(xk + yk)

) 1n

.

Exercice 4

Soient p, q ]1,[ tels que 1p+

1

q= 1 et (xk)16k6n, (yk)16k6n Rn.

1) a) Montrer que pour tous x, y R+ : x1

p y1

q 6x

p+

y

q.

Cette ingalit est encore vraie si x = 0 ou y = 0 avec la convention usuelle0 = 0 pour > 0.

b) En dduire lingalit de Hlder :

n

k=1

xkyk

6(

nk=1

|xk|p) 1

p

(n

k=1

|yk|q) 1

q

.

2) En remarquant que pour tout k J1, nK : |xk+yk|p 6(|xk|+ |yk|

)|xk+yk|p1

et en utilisant lingalit de Hlder, montrer lingalit de Minkowski :

(n

k=1

|xk + yk|p) 1

p

6

(n

k=1

|xk|p) 1

p

+

(n

k=1

|yk|p) 1

p

.

Exercice 5

1) Soient f : I J et g : J R deux fonctions convexes. Montrer que si g estcroissante, alors g f est convexe sur I .

2) Montrer que la compose de deux fonctions convexes nest pas forcment convexe.

Exercice 6

On suppose lintervalle I ouvert. Soit f une fonction convexe bijective de I sur J .

1) Montrer que f est strictement monotone sur I .2) En dduire que f1 est convexe ou concave sur J .

Exercice 7

1) Soit f : R R une fonction convexe et majore. Montrer que f est constante.2) Ce rsultat subsiste-t-il si f nest pas dfinie sur tout R ?

Exercice 8

Soit f : R+ R une fonction convexe.1) Montrer que lim

x

f(x)

xexiste. On note cette limite.

2) On suppose ici que R et on note g la fonction x 7 f(x) x.a) Montrer que g est convexe.b) En dduire que g est dcroissante.c) En dduire enfin que lim

x

(f(x) x) existe.

3) Interpter les rsultats de cet exercice en termes gomtriques.

Exercice 9

Soit f : I R convexe.1) Soient a, b I . On suppose a < b et f(a) 6 f(b). Montrer qualors f est croissantesur I [b,[.

2) On note lensemble des rels c pour lesquels f est croissante sur I [c,[. Onnote la borne infrieure de dans R.a) Montrer que f est croissante sur I ],[.b) Montrer que f est strictement dcroissante sur I ], [.

3) Conclusion ?

Exercice 10

La mthode de Newton, explicitement au programme de MPSI, est une mthode clas-sique de calcul approch des zros dune fonction, trs puissante quand elle peut treutilise.

Soit f C2(I,R). On suppose que f sannule en un unique point z I au voisinageduquel f est dfinie gauche et droite, et que f ne sannule pas sur I . On va approxi-mer z par une suite dfinie par rcurrence et valuer ensuite la vitesse de convergencede cette suite.

1) On note F la fonction qui, tout x I , associe labscisse du point dintersectionentre laxe des abscisses et la tangente de f en x. Justifier la bonne dfinition deF sur I et en dterminer une expression explicite.

2) Puisque f est dfinie au voisinage de z gauche et droite, il existe > 0 telque ]z , z + [ I .a) i) Montrer que : F (x) z =

xz

f (z)

2f (z)(x z)2 + o((x z)2).

1

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ii) En dduire quil existe > 0 etK > 0 tels que pour tout x I ]z, z+[ :F (x) z 6 K|x z|2,puis quil existe ]0, ] tel que pour tout x ]z , z + [ :

F (x) z 6 |x z|210

.

iii) En dduire que ]z , z + [ est stable par F .b) Soit x0 ]z , z + [ fix. On peut grce a)iii) poser xn+1 = F (xn) pourtout n N.i) Reprsenter graphiquement f et, sur le mme graphe, le principe de construc-tion de la suite (xn)nN.

ii) Montrer que pour tout n N : |xn+1 z| 6 |xn z|2

10.

iii) En dduire que (xn)nN converge vers z.iv) A cause de la majoration au carr dans ii), la convergence de (xn)nNest dite quadratique. Comment le nombre de dcimales exactes de z volue-t-il chaque tape de lalgorithme ? Comment voluerait-il si on avait unemajoration gomtrique de la forme |xn z| 6 10n ?

3) On suppose f strictement croissante et convexe sur I et on pose D = I [z,[.a) Soit x D. Montrer lingalit z 6 F (x) 6 x.b) Soit x0 D. On a montr en a) que F (D) D. On peut donc poser, pourtout n N : xn+1 = F (xn).Montrer que (xn)nN est dcroissante, puis que cette suite converge vers z.

c) Pourquoi redmontrer en b) un rsultat de convergence tabli en 2) ?Remarque : On a suppos f strictement croissante et convexe sur I et on vientdapprocher z par une suite dfinie par rcurrence. On pourrait montrer que cersultat est conserv si on suppose seulement f strictement monotone et convexeou concave sur I , condition de bien choisir lintervalle D.

4) Soit a R+.a) Montrer quon peut utiliser la mthode de Newton avec f : x 7 x2 a pourapprocher

a. Calculer la fonction F correspondante.

b) Montrer quon peut utiliser la mthode de Newton avec f : x 7 1x a pour

approcher1

a. Calculer la fonction F correspondante.

c) A quoi peuvent bien servir lapproximation des racines carres et des inverses ?

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