c Christophe Bertault - MPSI Convexit
Exercice 1
1) Montrer que la fonction x 7 ln lnx est concave sur ]1,[.2)
Montrer que pour tous x, y ]1,[ : ln x ln y 6 ln x+ y
2.
Exercice 2
On note f la fonction dfinie sur [0, 1[ par f(0) = 0 et pour
tout x ]0, 1[ : f(x) = 1ln x
.
1) Etudier la continuit et la drivabilit de f sur [0, 1[.2)
Etudier la convexit/concavit de f sur [0, 1[, ses ventuels points
dinflexion etles tangentes en ces points.
3) Tracer lallure de la courbe reprsentative de f .
Exercice 3
1) Montrer que la fonction x 7 ln(1 + ex) est convexe sur R.
2) Montrer que pour tous (xk)16k6n (R
+
)n: 1+
(n
k=1
xk
) 1n
6
(n
k=1
(1 + xk)
) 1n
.
3) En dduire que pour tous (xk)16k6n, (yk)16k6n (R
+
)n:
(n
k=1
xk
) 1n
+
(n
k=1
yk
) 1n
6
(n
k=1
(xk + yk)
) 1n
.
Exercice 4
Soient p, q ]1,[ tels que 1p+
1
q= 1 et (xk)16k6n, (yk)16k6n Rn.
1) a) Montrer que pour tous x, y R+ : x1
p y1
q 6x
p+
y
q.
Cette ingalit est encore vraie si x = 0 ou y = 0 avec la
convention usuelle0 = 0 pour > 0.
b) En dduire lingalit de Hlder :
n
k=1
xkyk
6(
nk=1
|xk|p) 1
p
(n
k=1
|yk|q) 1
q
.
2) En remarquant que pour tout k J1, nK : |xk+yk|p 6(|xk|+
|yk|
)|xk+yk|p1
et en utilisant lingalit de Hlder, montrer lingalit de Minkowski
:
(n
k=1
|xk + yk|p) 1
p
6
(n
k=1
|xk|p) 1
p
+
(n
k=1
|yk|p) 1
p
.
Exercice 5
1) Soient f : I J et g : J R deux fonctions convexes. Montrer
que si g estcroissante, alors g f est convexe sur I .
2) Montrer que la compose de deux fonctions convexes nest pas
forcment convexe.
Exercice 6
On suppose lintervalle I ouvert. Soit f une fonction convexe
bijective de I sur J .
1) Montrer que f est strictement monotone sur I .2) En dduire
que f1 est convexe ou concave sur J .
Exercice 7
1) Soit f : R R une fonction convexe et majore. Montrer que f
est constante.2) Ce rsultat subsiste-t-il si f nest pas dfinie sur
tout R ?
Exercice 8
Soit f : R+ R une fonction convexe.1) Montrer que lim
x
f(x)
xexiste. On note cette limite.
2) On suppose ici que R et on note g la fonction x 7 f(x) x.a)
Montrer que g est convexe.b) En dduire que g est dcroissante.c) En
dduire enfin que lim
x
(f(x) x) existe.
3) Interpter les rsultats de cet exercice en termes
gomtriques.
Exercice 9
Soit f : I R convexe.1) Soient a, b I . On suppose a < b et
f(a) 6 f(b). Montrer qualors f est croissantesur I [b,[.
2) On note lensemble des rels c pour lesquels f est croissante
sur I [c,[. Onnote la borne infrieure de dans R.a) Montrer que f
est croissante sur I ],[.b) Montrer que f est strictement
dcroissante sur I ], [.
3) Conclusion ?
Exercice 10
La mthode de Newton, explicitement au programme de MPSI, est une
mthode clas-sique de calcul approch des zros dune fonction, trs
puissante quand elle peut treutilise.
Soit f C2(I,R). On suppose que f sannule en un unique point z I
au voisinageduquel f est dfinie gauche et droite, et que f ne
sannule pas sur I . On va approxi-mer z par une suite dfinie par
rcurrence et valuer ensuite la vitesse de convergencede cette
suite.
1) On note F la fonction qui, tout x I , associe labscisse du
point dintersectionentre laxe des abscisses et la tangente de f en
x. Justifier la bonne dfinition deF sur I et en dterminer une
expression explicite.
2) Puisque f est dfinie au voisinage de z gauche et droite, il
existe > 0 telque ]z , z + [ I .a) i) Montrer que : F (x) z
=
xz
f (z)
2f (z)(x z)2 + o((x z)2).
1
c Christophe Bertault - MPSI Convexit
ii) En dduire quil existe > 0 etK > 0 tels que pour tout x
I ]z, z+[ :F (x) z 6 K|x z|2,puis quil existe ]0, ] tel que pour
tout x ]z , z + [ :
F (x) z 6 |x z|210
.
iii) En dduire que ]z , z + [ est stable par F .b) Soit x0 ]z ,
z + [ fix. On peut grce a)iii) poser xn+1 = F (xn) pourtout n N.i)
Reprsenter graphiquement f et, sur le mme graphe, le principe de
construc-tion de la suite (xn)nN.
ii) Montrer que pour tout n N : |xn+1 z| 6 |xn z|2
10.
iii) En dduire que (xn)nN converge vers z.iv) A cause de la
majoration au carr dans ii), la convergence de (xn)nNest dite
quadratique. Comment le nombre de dcimales exactes de z volue-t-il
chaque tape de lalgorithme ? Comment voluerait-il si on avait
unemajoration gomtrique de la forme |xn z| 6 10n ?
3) On suppose f strictement croissante et convexe sur I et on
pose D = I [z,[.a) Soit x D. Montrer lingalit z 6 F (x) 6 x.b) Soit
x0 D. On a montr en a) que F (D) D. On peut donc poser, pourtout n
N : xn+1 = F (xn).Montrer que (xn)nN est dcroissante, puis que
cette suite converge vers z.
c) Pourquoi redmontrer en b) un rsultat de convergence tabli en
2) ?Remarque : On a suppos f strictement croissante et convexe sur
I et on vientdapprocher z par une suite dfinie par rcurrence. On
pourrait montrer que cersultat est conserv si on suppose seulement
f strictement monotone et convexeou concave sur I , condition de
bien choisir lintervalle D.
4) Soit a R+.a) Montrer quon peut utiliser la mthode de Newton
avec f : x 7 x2 a pourapprocher
a. Calculer la fonction F correspondante.
b) Montrer quon peut utiliser la mthode de Newton avec f : x 7
1x a pour
approcher1
a. Calculer la fonction F correspondante.
c) A quoi peuvent bien servir lapproximation des racines carres
et des inverses ?
2
